《高考真题》专题21 圆锥曲线综合-2019年高考文数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =2
2
x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C
的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，
5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 【答案】（1）见解析；（2）2
2542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或2
2522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭． 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛
⎫-
⎪⎝⎭
，则2112x y =．
由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11
11
2y x x t
+
=-．
整理得112 2 +1=0. tx y -
设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2
．
（2）由（1）得直线AB 的方程为12
y tx =+
． 由2
122
y tx x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=．
专题21 圆锥曲线综合
于是()2
1212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+．
设M 为线段AB 的中点，则2
1,2M t t ⎛⎫+
⎪⎝
⎭
． 由于EM AB ⊥，而(
)2
,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，
所以(
)
2
20t t t +-=．解得t =0或1t =±． 当t =0时，||EM =2，所求圆的方程为2
2542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；
当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为2
2
522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭．
【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小．
【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ，B 两
点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：1
2
k <-
； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，22
22
143
x y +=．
两式相减，并由
12
12=y y k x x --得1212043
x x y y k +++⋅=． 由题设知
1212x x +=，122y y m +=，于是34k m
=-． 由题设得302m <<，故1
2
k <-．
（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则
331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．
由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以3
4
m =
，从而3(1)2P -，，3||=2FP ．
于是
1||(22
x
FA x ===-．
同理2
||=22
x FB -
． 所以121
4()32
FA FB x x +=-
+=． 故2||=||+||FP FA FB ．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、数学运算．圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系，也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解．
【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线2
2y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 【答案】（1）不会，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：
设1(,0)A x ，2
(,0)B x ，则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-． 又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为12111
2
x x --⋅=-， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况．
（2）BC 的中点坐标为（
2122x ，），可得BC 的中垂线方程为221
()22
x y x x -=-． 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2
m
x =-．
联立22
(21)22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，，又2
2220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩，， 所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（1
22
m --，），半径r =
故圆在y
轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 【名师点睛】解答本题时，设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=，由根与系数的关系得
122x x =-，矛盾，所以不存在；求出过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利
用垂径定理求弦长．直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：
（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方
法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-=； （2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
【命题意图】主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．
【命题规律】圆锥曲线是高考的必考内容，主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用，圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题，综合性较强，常与向量、圆等知识结合，难度较大．在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧，注意掌握． 【知识总结】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （或x ）得到一个关于x （或y ）的一元二次方程，即联立两个方程得
00Ax By C F
x y ++=⎧⎨
=⎩，
（，），消去y （或x ）得ax 2+bx+c=0（或ay 2+by+c=0）．以ax 2+bx+c=0为例进行讨论． （1）当a ≠0时，设一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线l 与圆锥曲线C 相交；Δ=0⇔直线l 与圆锥曲线C 相切；Δ<0⇔直线l 与圆锥曲线C 相离．
（2）当a=0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．
注意：直线与椭圆（或圆）只有一个公共点是直线与椭圆（或圆）相切的充要条件，而直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点只是直线与双曲线（或抛物线）相切的必要不充分条件．
结论：
（1）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
（2）过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
2．圆锥曲线中弦的相关问题
（1）弦长的求解
①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
②当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的
点，则弦长
1
–x2
|y1–y2|（k≠0）；
③当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
（2）弦中点问题
圆锥曲线以P（x0，y0）（y0≠0）为中点的弦所在直线的斜率如下表：
其中k=
12
12
y y x x --（x 1≠x 2），（x 1，y 1），（x 2，y 2）为弦的端点坐标．
【方法总结】
1．直线与圆锥曲线的位置关系问题的常见类型及解题策略： 一是判断位置关系；二是依据位置关系确定参数的范围．
这两类问题在解决方法上是一致的，都是将直线与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解．
（1）直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与圆锥曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．
（2）直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要通过数形结合求解． 2．与圆锥曲线有关的弦长、面积和弦中点问题 （1）有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
①解决涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时，往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． ②面积问题常采用S 三角形=
1
2
×底×高求解，其中底往往是弦长，而高用点到直线的距离公式求解即可，注意选择容易坐标化的弦长为底．有时也可根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．有关求多边形的面积问题，常转化为求三角形的面积问题进行求解．
③求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．
（2）弦中点问题的解决方法 ①用“点差法”求解弦中点问题的步骤
②对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
点差法的用途：
（i）已知弦的中点，求弦所在的直线的斜率或方程；
（ii）求弦（过定点或平行于某条弦）的中点的轨迹方程；
（iii）寻找圆锥曲线方程中系数的关系．
3．与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题
（1）最值问题的求解方法
①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．
③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．
（2）求参数取值范围的常用方法
①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数取值范围．
③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．
④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
4．与圆锥曲线有关的定点、定值问题
（1）求解定点问题常用的方法
①“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明；
②“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．
③求证直线过定点（x0，y0），常利用直线的点斜式方程y–y0=k（x–x0）来证明．
（2）求解定值问题常用的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
5．有关存在性问题的求解策略
（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在并设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在．
（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．
（3）解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先作出结论，后给出证明（理由）．
注意：存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行
讨论，往往涉及对参数的讨论．
1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】椭圆22
22:1(0)x y M a b a b +=>>
的离心率
2e =
，过点(),0A a -和()0,B b
． （1）求椭圆M 的方程；
（2）过点()1,0E 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，且点D 位于第一象限，当3CE
DE
=时，求直线l 的方程．
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）1y x =-．
【解析】（1）据题知，直线AB 的方程为0bx ay ab -+=．
依题意得2e ⎧=⎪==⎪⎩
．
解得2
2a =，2
1b =，所以椭圆M 的方程为2
212
x y +=．
（2）设()11,C x y ，()22,D x y （20x >，20y >）， 设直线l 的方程为()1x my m =+∈R ．
代入椭圆方程整理得：(
)
2
2
2210m y my ++-=．
2880m ∆=+>，
∴12222m y y m +=-+，122
1
2
y y m =-+．① 由
3CE
DE
=，依题意可得：123y y =-，② 结合①②得222222
132
m y m y m =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，消去2y 解得1m =，1m =-（不合题意）．
所以直线l 的方程为1y x =-．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知曲线C 上动点M
与定点
()
F
的距离和它到定直线1:l x =-
，若过()0,1P 的动直线l 与曲线C
相交于A B ，两点．
（1）说明曲线C 的形状，并写出其标准方程；
（2）是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA
QB PB
=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）曲线C 是椭圆，它的标准方程为22
142x y +=；（2）存在点02Q
（，）满足题意． 【解析】（1）设动点M 坐标为M x y （，），点M
到直线1:l x =-d ．
依题意可知
2
MF d
=
2
=
， 化简得22142x y +=，所以曲线C 是椭圆，它的标准方程为22
142
x y +=．
（2）①当直线l 与y 轴垂直时，由椭圆的对称性可知PA PB =，
又因为
QA PA QB
PB
=
，则QA QB =
，从而点Q 必在y 轴上．
②当直线
l 与x 轴垂直时，则((,0,A B ，由①可设()()000,,1Q y y ≠，
由
QA PA QB
PB
=
=
01y =（舍去），或02y =． 则点Q 的坐标只可能是02Q （，）．
下面只需证明直线l 斜率存在且02Q （，）时均有
QA PA QB
PB
=
即可．
设直线l 的方程为1y kx =+，代入22142
x y +=得()
22
21420k x kx ++-=．
设1122121222
42
,2121
k A
x y B x y x x x x k k +-=-++（，），（，），＝， 所以
12
1212
112x x k x x x x ++==， 设点B 关于y 轴对称的点坐标22'B x y （，）-，
因为直线QA 的斜率11111
211
QA y kx k k x x x --=
==-， 同理得直线'QB 的斜率22'222
211
QB y kx k k x x x --=
==-+--， '12112220QA QB k k k k k x x ⎛⎫
-=-+=-= ⎪⎝⎭
，
'QA QB k k =，三点,,'Q A B 共线．
故
12
'
QA QA x PA QB
QB x PB
=
=
=
．
所以存在点02Q （，）满足题意．
【名师点睛】本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型．
3．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】已知椭圆22
22:1(0)x y N a b a b +=>>经过点
(0,1)C
，且离心率为2
．
（1）求椭圆N 的方程； （2）直线1
:3
l y kx =-
与椭圆N 的交点为,A B 两点，线段AB 的中点为M ，是否存在常数λ，使AMC ABC λ=⋅∠∠恒成立，并说明理由．
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）见解析．
【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y N a b a b +=>>经过点()0,1C
，
所以1,
2
c b a ==又因为222
,a c b -=
可解得1,c a ==，焦距为22,c = 所求椭圆的方程为2
212
x y +=．
（2）在常数2,λ=使AMC ABC λ∠=∠恒成立．
证明如下：由221312
y kx x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()
22
91812160,0,k x kx ∆+--=>
设()()1122,,,A x y B x y 则1212
22
1216
,918918k x x x x k k -+=
=++ 又因为()()1122,1,,1,CA C x y x B y =-=-
所以()()12121212441133x x y y x x kx CA CB kx ⎛
⎫⎛⎫
=+--=+-
- ⎪⎪⎭⎝⋅ ⎝⎭
()
()21212416
139k x x k x x =+-++
()
222
1641219183918k k k k k
-=+⋅-⋅++16
09+=，所以CA CB ⊥ 因为线段AB 的中点为M ，所以，所以MC MB =，所以2.AMC ABC ∠=∠ 存在函数2,λ=使2AMC ABC ∠=∠恒成立．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
4．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】设D 是圆22:16O x y +=上的任意一点，m 是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m
上，且满足
2|||EQ ED =．当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）已知点(2,3)P ，过(2,0)F 的直线l 交曲线C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线
,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．
【答案】（1）22
11612
x y +=；（2）见解析．
【解析】（1）设点(),Q x y ，()00,D x y
，因为2EQ =，点Q 在直线m 上， 所以0x x =
，0y y =
．① 因为点D 在圆O ：22
16x y +=上运动，所以220016x y +=．②
将①式代入②式，得曲线C 的方程为22
11612
x y +=．
（2）由题意可知l 的斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =-， 令8x =，得M 的坐标为()8,6k ．
由()22
116122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，得()()2222
43161630k x k x k +-+-=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则有21221643k x x k +=+，()
212216343
k x x k -=+．③ 记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ， 从而11132y k x -=
-，22232y k x -=-，3631822
k k k -=
=--． 因为直线AB 的方程为()2y k x =-，所以()112y k x =-，()222y k x =-，
所以1212123322y y k k x x --+=
+--1212121132222y y x x x x ⎛⎫
=+-+ ⎪----⎝⎭
()1212124
2324
x x k x x x x +-=-⨯
-++．④
把③代入④，得()
2
2
122222164432321163324
4343
k k k k k k k k
k k -++=-⨯=---+++． 又31
2
k k =-
，所以1232k k k +=， 故直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．
【名师点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学】思想，考查了计算能力，属于中档题．
5．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】如图，已知椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，
有114AF BF +=，且12F AF ∠的最大值
π
3
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若A '是A 关于x 轴的对称点，设点(4,0)N ，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，问直线A E '与x 轴是否交于一定点．如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由．
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）定点(1,0)Q ．
【解析】（1）因为点A 为椭圆上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ， 所以12AF BF =，
又114AF BF +=，所以2124BF BF a +==，2a =所以． 又12F AF ∠的最大值为
3
π
，知当A 为上顶点时，12F AF ∠最大， 所以2a c =，所以1c =，所以2223b a c =-=．
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=．
（2）由题知直线NA 的斜率存在，设直线NA 的方程为()4y k x =-．
由()
22414
3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222433264120k x k x k +-+-=．
因为直线NA 与椭圆交于,N A 两点， 所以()
()()
2
2223244364120k k k ∆=--+->，
解得1122
k -
<<． 设()11,A x y ，()22,E x y ，则()11,A x y '-，
且21223243k x x k +=+，2122
641243
k x x k -=+，① 由题意得，直线A E '的方程为()21
2221
y y y y x x x x +-=
--，
令0y =得()
()
221221y x x x x y y -=-
+，
将()114y k x =-，()224y k x =-代入上式整理得()121212248
x x x x x x x -+=
+-．
将①代入上式，得222
2
2
26412322443431328
43
k k k k x k
k -⨯-⨯++==-+，
所以直线A E '与x 轴交于定点()1,0Q ．
【名师点睛】（1）解答解析几何问题的方法是把题目信息坐标化，然后通过代数运算达到求解的目的，由于在解题中需要用到大量的计算，所以采取相应的措施以减少计算量，如“设而不求”、“整体代换”等
方法的利用．
（2）解决定点问题时，可根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点． 6．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】
已知抛物线2
2y x =，过点(2,4)A -的直线l 交抛物线于B 、C 两点，设O 为坐标原点，点1(,0)2
P ．
（1）求tan PAO ∠的值；
（2）若PAB △，PBC △，PAC △的面积成等比数列，求直线l 的方程．
【答案】（1）2
tan 21
PAO =
∠；（2）直线l 的方程为20x y +-=或9380x y -+=． 【解析】（1）由题意直线AO ，AP 斜率均存在，且2AO k =-，48
1522
AP k =-=-
+． ∴()tan tan PAO AOP APO ⎡⎤∠=π-∠+∠⎣⎦()()
tan 1OA AP
OA
AP
k k AOP APO k k
-=-∠+=--⋅-()8
225
821
125
-+=-
=
--⋅
． 故2tan 21
PAO ∠=
． （2）由（1）知点P 为抛物线的焦点
据题意，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()()420y k x k -=+≠．
由()2
42,2,
y k x y x ⎧-=+⎪⇒⎨=⎪⎩()
()2
222482240k x k k x k ++-++=． 设()11,B x y 、()22,C x y ，则有2122482k k x x k +-+=-，()2
12
2
24k x x k +=， ()()2
222482424k k k k ∆=+--+()2
44810k k =-+->．
若PAB △，PBC △，PAC △的面积成等比数列，则AB ，BC ，AC 成等比数列，
∴
AB BC BC
AC
=
，即
12121
222
x x x x x x +-=
-+．
∴()()2
212121524x x x x x x +=+++
∴()22
222
244825k k k k k +⎛⎫+--=⨯ ⎪⎝⎭
2248224k k k ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭， 整理得29810k k +-=，解得1k =-或1
9
k =
，均满足>0∆． 故直线l 的方程为20x y +-=或9380x y -+=．
【名师点睛】本题主要考查了直线的倾斜角以及直线与抛物线的弦长问题，属于难题．对于直线与圆锥曲线的弦长的计算：
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求出弦长；
（2）由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，消去y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程．设直线与圆锥曲线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，直线斜率为k
，则弦长公式为
1212AB x x y y =-=-，结合韦达定理即可求解． （3）当直线经过圆锥曲线的焦点时，可利用焦点弦来求弦长．
7．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的两个焦点
()10F c -，，()20F c ，，设P ，Q 分别是椭圆C 的上、下顶点，且四边形12PF QF
的面积为
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）当b c >时，A ，B 为椭圆C 上的动点，且PA PB ⊥，试问：直线AB 是否恒过一定点？若是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
【答案】（1）22143x y +=或22
14x y +=；（2
）恒过定点0，⎛ ⎝⎭
． 【解析】（1）依题意，四边形12PF QF
的面积为
则1
42
b c ⨯
⨯⨯=
bc = 又四边形12PF QF
，记内切圆半径为r ，
由2r π=
，得2
r =
，
由bc ar ==得2a =，
又2224a b c =+=
，且bc =
故1b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22143x y +=或2214
x y +=．
（2）因为b c >，所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=
，则(0P ，
设()11A x y ，，()22B x y ，，由题意知直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为y kx m =+，
则由22
143
x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()222
4384120k x kmx m +++-=， 则122843km x x k -+=+，2122412
43
m x x m -=+，
()()()222264434120*k m k m ∆=-+->，
由PA PB ⊥，可得0AP PB ⋅=，即()(
)(
1212
000x x y y
--+=，
即()12121230x x y y y y +++=，又11y kx m =+，22y kx m =+，
所以2222224124124343m k m k k k --+-+
+222
283043k m m k +++=+，
0=，
解得m =
m =，
又7
m =-
满足()*式， 故直线AB
方程为7
y kx =-
， 所以直线AB
恒过定点0⎛ ⎝⎭
，．
【名师点睛】本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系以及转化思想，考查了向量坐标表示垂直，是一道中档题．
8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知椭圆C ：
2222
1(0)x y a b a b +=>>
的离心率为2
，点A 在椭圆上，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P 、M 、N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求出该定值．
【答案】（1）22184
x y +=；（2
）【解析】（1
）由题有2222242
1c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，∴28a =，24b =，
∴椭圆C 的方程为22
184
x y +=．
（2）当直线PN 的斜率k 不存在时，直线PN
的方程为x =
x =
从而有PN =
所以11
22
S PN OM =
=⨯= 当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为()0y kx m m =+≠，()11,P x y ，()22,N x y ， 将直线PN 的方程代入椭圆C 的方程，整理得(
)2
2
2124280k
x
kmx m +++-=，
所以122412km x x k -+=+，2122
28
12m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+， 由OM OP ON =+，得2242,1212km
m M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
． 将M 点的坐标代入椭圆C 方程得2212m k =+．
又点O 到直线PN
的距离为d =
12PN x =-，
∴12S d PN m x x =⋅=⨯
-
124x x =
== 综上，平行四边形OPMN
的面积S 为定值
【名师点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．
9．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】设椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>，
右顶点是()2,0A ，离心率为1
2
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 与椭圆交于两点,M N （,M N 不同于点A ），若0AM AN ⋅=，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．
【解析】（1）右顶点是()2,0A ，离心率为1
2
， 所以1
2,
2
c a a ==，∴1c
=，则b = ∴椭圆的标准方程为22
143
x y +=．
（2）当直线MN 斜率不存在时，设:MN l x m =，
与椭圆方程22
143x y +=
联立得：y =
MN =
设直线MN 与x 轴交于点B ，MB AB =
2m =-，
∴27m =
或2m =（舍），∴直线m 过定点2,07⎛⎫
⎪⎝⎭
； 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 斜率为k ，()()1122,,,M x y N x y ，
则直线():0MN y kx b k =+≠，
与椭圆方程22143
x y +=联立，得()
222
4384120k x kbx b +++-=，
122843kb x x k +=-+，2122
41243
b x x k -=-+，()()()22
12121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++， ()()()2
2284434120,kb k b k ∆=-+->∈R ，
0AM AN ⋅=，则()()11222,2,0x y x y --=，
即()121212240x x x x y y -+++=， ∴2274160b k kb ++=，∴2
7
b k =-或2b k =-， ∴直线2:7MN l y k x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭或()2y k x =-，∴直线过定点2,07⎛⎫
⎪⎝⎭
或()2,0舍去， 综上知直线过定点2,07⎛⎫
⎪⎝⎭
． 【名师点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
10．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】抛物线C ：()2
20x py p =>的焦点为F ，抛
物线过点(),1P p ．
（1）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；
（2）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上．
【答案】（1）抛物线的标准方程为2
4x y =，准线l 的方程为1y =-；（2）详见解析．
【解析】（1）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为2
4x y =，准线l 的方程为1y =-．
（2）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立
241
x y
y kx ⎧=⎨
=+⎩，得，2440x kx --=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-．
∴()2
2221212122168x x x x x x k +=+-=+．
由214y x =
得，1
'2
y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()111222
12
12y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨
⎪-=-⎪⎩， 即21122211
24
1124
y x x x y x x x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，两式相加，得
()()2212121148
y x x x x x =
+-+，化简，得()
221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上．
【名师点睛】本题考查了求抛物线方程和直线与圆锥曲线方程的交点，用导数求切线方程的斜率． 11．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任
意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ． （1）当M 的坐标为（0，–1）时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M ．
【答案】（1）22
(1)4x y +-=（2）见证明．
【解析】（1）当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，
由24,1,
x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=．① 令2
(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±．
代入方程①，解得A （2，1），B （–2，1）．
设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =．
故过,,M A B 三点的圆的方程为22
(1)4x y +-=．
（2）设0(,1)M x -，由已知得2
4
x y =，12y x '=，
设切点分别为2
11(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB x k =，
切线MA 的方程为211
1()42x x y x x -=-，即2111124y x x x =-，
切线MB 的方程为222
2()42
x x y x x -=-，即2221124y x x x =-．
又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111
124x x x -=-．① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得2
02211124
x x x -=-．②
所以1x ，2x 是方程2
011124
x x x -=-的两实根，
由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．
因为2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ，2
220(,1)4x MB x x =-+uuu r ，
所以22
121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++uuu r uuu r
222
2
1212012012121()()21164
x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=． 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．
【名师点睛】本题考查利用直线与抛物线的位置关系，求出切线的斜率，又考查了利用导数，研究抛物线的切线问题，同时考查了求过三点的圆的方程．考查了方程思想、数学运算能力．
12．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知抛物线2
2(0)y px p =>上一点3,2M m ⎛⎫
⎪⎝⎭
到它的准线的距离为52
． （1）求p 的值；
（2）在直线l 上任意一点(),2P a -作曲线C 的切线，切点分别为,M N ，求证：直线MN 过定点． 【答案】（1）2；（2）证明见解析．
【解析】（1）抛物线2
20E y px p =>：（）的准线为2
p
x =-
， 由已知得32M m ，⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为52
， ∴
35
222
p +=，∴2p =，∴E 方程24y x =， （2）由已知可设112222l x m y l x m y =+=+：，：，
由2142
y x x m y ⎧=⎨=+⎩，化简得21480y m y --=， 设1122A x y C x y （，），（，），则1214y y m +=，
∴12M y m =，又2
122M x m =+，即()
211222M m m +，
， 同理可得：(
)
2
22222N m m +，
， ∴()()()211222
12
21221
02222MN m m k m m m m m m -=
=+≠++-+， ∴()
21112
1
222MN y m x m m m -=
--+：，
即()1212
1
22y x m m m m =
-++，
∵12l l ，的斜率之积为–2， ∴
12112m m ⋅=-，即1212
m m =-， ∴()12
1
3MN y x m m ：=
-+即直线MN 过定点30（，）
， 当120m m +=时，不妨设1200m m ><，，
则12m m =
=，
直线MN 也过点()30，
， 综上，即直线MN 过定点()30，
． 【名师点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线过定点问题的综合应用，属于难档题．判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ；（2）点斜式
()0,y k x x =-直线过定点()0,0x ．
13．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知椭圆22
:143
x y C +=的左、
右焦点为12,F F ，点()
,P mn 在椭圆C 上．
（1）设点P 到直线:4l x =的距离为d ，证明：2
d
PF 为定值；
（2）若02,,m A B <<是椭圆C 上的两个动点（都不与P 重合），直线,PA PB 的斜率互为相反数，求直线AB 的斜率（结果用n 表示）
【答案】（1）见解析；（2
【解析】（1）由已知，得22
4,3a b ==，所以2221c a b =-=，即()()121
,0,1,0F F -， 因为点(),P m n 在椭圆22:143x y C +=上，所以22143m n +=，即22
314m n ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，
又
2PF ==
1
42m ==-， 所以242
14
2
m d
PF m -==-为定值． （2）当02m <<时，则0n ≠，直线,PA PB 的斜率一定存在．
设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的斜率为k ，则PA 的方程为()y n k x m -=-，即y k
x k m n =-+，
与椭圆C 的方程2
2
3412x y +=，联立组成方程组，消去y ，
整理得(
)()2
2
348k
x
k km n x +--()2
4120km n +--=，
由韦达定理，得()2
1
2
412
34km n m x k
--⋅=+，于是()()2
1112
412
,34km n x y kx km n k m
--=
=-++，
根据直线PB 的斜率为k -，将上式中的k 用k -代替， 得()()()(
)
2
2
222412412
,3434km n km n x k m
k m
---+-=
=
⎡⎤++-⎣⎦
22y kx km n =-++，
于是()()1212km km y y kx n kx n -=-+--++()122k x x km =+-，
()()()()
222241*********km n km n k km k m k m ⎡⎤--+-⎢⎥=+-++⎢⎥⎣⎦
()()
()
22222
2
82423434k m n m k k k m +--+=⋅+()
22
2
824634n m k k m
--=⋅+， ()(
)
()()2
2
1222
412
412
3434km n km n x x k m
k m
--+--=
-
++()()()()
22
224163434km n km n kmn k m k m
⎡⎤
--+⎣
⎦==-++，
注意到223412m n +=得221243n m -=
，于是m = 因此，直线AB 的斜率为()
2212
12824616AB
n m k y y k x x kmn
---==-
-2223412638842m n m m mn mn n n
-+====
．
【名师点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，设而求的思想，准确计算是得解，是中档题．
14．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
直线10x y +-=被圆222
x y b +=
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点P ，使得PA PB ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标和PA PB ⋅的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）5,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，716-．
【解析】（1）∵椭圆C
的离心率为
2
，∴a =， ∵圆222
x y b +=的圆心到直线10x y +-=
的距离为2
d =
=
， ∴直线10x y +-=被圆222
x y b +=截得的弦长为
== 解得1b =
，故a ==C 的方程为2
212
x y +=．
（2）设(),0P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，
当直线l 与x 轴不重合时，设l 的方程：1x my =+．
由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=，1221222212m y y m y y m -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∴12242x x m +=+，2122312
m x x m -=++，
()()1122,,PB x t y t A y P x ⋅=-⋅-()2121212x x t x x t y y =-+++
222
34112
m t t m ---=+++222413312
t m t m +⎛
⎫+ ⎪⎝⎭=-+++， 当
4123t +=，即54t =时，PA PA ⋅的值与m 无关，此时7
16
PA PB ⋅=-． 当直线l 与x 轴重合且54t =
时，552,0,044P P B A ⎛
⎫⎛⎫⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎭⎝⎭25721616=
-=-． ∴存在点5,04P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得PA PB ⋅为定值716-．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能。