液体的平衡方程

瑞士学者（Euler）1775年首先提出的 物理意义:
静水压强沿某个方向的变化率
与该方向单位体积的质量力相等
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• 液体平衡微分方程形式 2
p X × dx x p Y × dy y p Z × dz z
+)
dp
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz） x y z
前侧面
dx )dydz Xdxdydz 0 2 dy 右侧面 )dxdz Ydxdydz 0 2 dz )dxdy Zdxdydz 0 2 10
上侧面
p dx p dx （p )dydz p （ )dydz Xdxdydz 0 x 2 x 2 p dy p dy （p )dxdz p （ )dxdz Ydxdydz 0 y 2 y 2 p dz p dz （p )dxdy p （ )dxdy Zdxdydz 0 z 2 z 2
3
泰勒展开式
1 f ( x ) f ( x 0 ) f ' ( x 0 )( x x 0 ) f ' ' ( x 0 )( x x 0 )2 ... 2!
x x0
x O x0-δ x0 x0+δ
4
z
A
dz
dx dy O y
x
在平衡液体中，取一块平行六面微元体
5
W ( Xdx Ydy Zdx )dm dUdm
在等压面上有
z
M
dU 0
，则 W R ds 0 R d s 也即等压面和质量力正交。
R θ ds y
O
x
图 等压面和质量力正交
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例1 如果液体在静止状态下，作用于其上的质量力只有 重力，那么就局部范围，等压面一定是一个水平面； 就大范围讲，等压面是一个处处与地心正交的曲面。
使对坐标的偏导数等于单位质量力在坐标投影，即
X Y y x Y Z y z Z X z x
U X x U Y y U Z z
dU ( x , y , z )
U U U dx dy dz Xdx Ydy Zdz x x x
9
z
Z
p dy p y 2
A
dz
p
p dy y 2
dx dy O y
后侧面
x
左侧面 底侧面
p （p x p （p y p （p z
dx p )dydz p （ 2 x dy p )dxdz p （ 2 y dz p )dxdy p （ 2 z
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2.2 液体的平衡方程
2.2.2 质量力性质
由式可见
p X x p Y y p Z z
Y X y x Z Y y z Z X z x
14
由理论力学可知：存在一个与坐标有关的力势函数，
dp＝ ( Xdx Ydy Zdz） ( U U U dx dy dz ) dU x y z
dp＝ dU
19
dp＝ dU
积分上式，则
p＝U C
或者
p p0 (U U0 )
式中， p0 ,U 0 为自由液面上的压强和力势函数
20
2.2 液体的平衡方程
以 dx d ydz 除上式，并化简，得到液体平衡微分方程形式1
p X x p Y y p Z z
11
• 液体平衡微分方程形式 1
p X x p Y y p Z z
欧拉平衡微分方程式
（其他形状也可，但六面体方便）
z
A
dz
dx dy O y
x
该六面体在质量力和表面力的作用下处于平衡 设形心点坐标： A=A(x,y,z) ，边长：dx,dy,dz
6
z
p dy p y 2
A
dz
p
p dy y 2
dx dy O y
表面力 设形心点坐标为 A=A(x,y,z) ，边长为dx,dy,dz
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U X x U Y y U Z z
U U U dU ( x , y , z ) dx dy dz Xdx Ydy Zdz x x x
表明:
作用在液体上的质量力必须是有势力， 液体才能保持平衡
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比较两式
26
例2
旋转液体中的相对平衡 一个盛有液体的原容器，以定常角速度绕铅垂
轴旋转， 液面的形状是一个曲面，以后将证明其是一
个旋转抛物面
27
28
z
ω2r
g O
2 y ωy
f
ω2r
ω2 x
R r θ x y
x
O
ω
29
例3 沿底面作等加速直线运动的容器中 液体相对平衡， 液面是一个斜平面
z
30
31
X= -a
22
2
等压面和质量力正交
23
证 明 有一质点 M 质量为dm ，在质量力作用下
R ( Xi Yj Zk )dm
沿等压面移动一个微分距离ds = (dxi+ dyj+ dzk)
R z θ ds O x 图 等压面和质量力正交
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M
y
则质量力所作的功为
W R ds ( X i Y j Z k )dm ( dxi dy j dzk )
2 水静力学
1
2.1 静水压强及其特性
2.2 液体的平衡方程
2.3 重力作用下的液体平衡
2.4 几种质量力同时作用下的液体平衡 2.5 压强的度量与量测
2.6 作用于平面上的静水总压力 2.7 作用于曲面上的静水总压力
2
2.2 液体的平衡方程
2.2.1 液体平衡微分方程
液体处于平衡状态时，作用于液体上的各种力 及其坐标间的微分关系
15
U X x U Y y U Z z
具有上式关系的力称为有势力，或保守力
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U X x U Y y U Z z
有势力所做的功与路径无关
而只与起点和终点的坐标有关 重力、惯性力都属于有势力
a
f
g x
32
X= -a
等压面 a
f
g x
33
2.2.3 等压面
等压面
液体中压强相等的点连成的面（曲面，或平面）
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等压面性质
等压面具有两个性质 1 在平衡液体中等压面就是等势面
p＝constant dp 0 dU 0
对于不可压缩液体，ρ为常数
故在等压面上 p = constant 即 dU =0 , U = constant
x
侧面中心点
（x , y dy , z) 2
压强
（p
（p
面积
d xd z
左侧面
p dy ) y 2
p dy ) y 2
右侧面
（x , y
dy , z) 2
d xd z
7
z
Z
A
Y X
dy O y： z：
Xdxdydz Ydxdydz
Zdxdydz
8
z
Z
p dy p y 2
A
dz
p
p dy y 2
dx
dy
O y
x
p dx p dx （p )dydz p （ 考虑微元体的所有力，则 x 2 )dydz Zdx d ydz 0 x 2 p dy p dy （p )dxdz p （ )dxdz Ydx d ydz 0 y 2 y 2 p dz p dz （p )dxdy p （ )dxdy Zdx d ydz 0