初三数学例谈用三角形的面积求线段的“和差”专题辅导

例谈用三角形的面积求线段的“和差”
谭永亮
面积法是一种重要的解题方法，它包括等积变换，以及把几何问题中的线段关系或其它量与量的关系转化为面积关系来解决，这种方法常常能起到化繁为简，化难为易的作用。

例1 如图1，P 是边长为2的正方形ABCD 边CD 上的一点，且PE ⊥BD ，PF ⊥CA ，垂足分别为E 、F ，则PE+PF= 。

略解：连接PO ，由正方形性质得，AC ⊥BD ，AO=BO=CO=DO ，
∵S △PAO +S △PDO =S △AOD ， ∴
DO AO 2
1PF DO 21PE AO 21⋅=⋅+⋅。

∴PE+PF=AO=AD ·sin45°2≈，
例2 在矩形ABCD 中，AD=12，AB=5，P 是AD 上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则PE+PF= 。

略解：连接PO,作AH ⊥BD 于H ，由已知可得， BD=13AD AB 22=+。

AH BD 2
1AD AB 21S AOD ⋅=⋅=
∆ ， 13
6013125BD AD AB AH =⨯=⋅=∴。

∵S △APO +S △DPO =S △ADO ，
AH DO 2
1PF DO 21PE AO 21⋅=⋅+⋅∴。

)DO AO .(13
60AH PF PE ===+∴ 例3 如图3，正方形ABCD 中，边长为a 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 在BD 上，且BE=BC ，P 为EC 上异于E 、C 的点，PM ⊥BD ，PN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，则PM+PN= 。

略解：连接BP ，由正方形性质得AC ⊥BD ，AO=BO=CO=DO ，
∵S △BPE +S △BPC =S △BCE ，
CO BE 2
1PN BC 21PM BE 21⋅=⋅+⋅∴。

PM+PN=CO=a 2
2。

例4 如图4，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上任意一点，过D 分别向AB 、AC 引垂线，垂足分别为E 、F ，CG 是AB 边上的高。

（1）求证：DE+DF=CG 。

（2）若D 在底边BC 的延长线上，（1）中的结论是否还成立？若不成立，又存在怎样的关系？并加以证明。

略证：（1）连接AD ，由S △ABD +S △ACD =S △ABC ，
CG AB 2
1DF AC 21DE AB 21⋅=⋅+⋅∴。

∴DE+DF=CG 。

（2）（1）中的结论不成立，如图5，结论是DE-DF=CG 。

证明：连接AD 。

∵S △ABD +S △ACD =S △ABC ，
DF AC 2
1DE AB 21⋅-⋅∴ CG AB 2
1⋅=， ∴DE-DF=CG 。

例5 （1）如图6，P 是边长为a 的等边△ABC 内的一点，由P 向三边引BC 、AC 、AB 的垂线段PD 、PE 、PF 。

求证：PD+PE+PF 为定值。

（2）如图7，P 是边长为a 的等边△ABC 外的一点，点P 落在∠ABC 的内部，由点分别向BC 、AC 、AB 引垂线段PD 、PE 、PF ，则PD 、PE 、PF 之间还存在与（1）相同的结论吗？如果不是，它们之间又存在什么样的关系，写出它们之间的关系，并加以证明。

（1）略证：连接PA 、PB 、PC ，作AM ⊥BC 于M ，则S △PBC + S △PAB -S △PAC =S △ABC ， PE AB 2
1PE AC 21PD BC 21⋅+⋅+⋅∴ AM BC 2
1⋅=。

a 2
360sin AB AM PF PE PD ≈︒⋅==++。

（2）与（1）的结论不同，正确结论是PD+PF-PE 为定值。

略证：连接PA 、PB 、PC ，作AM ⊥BC 于M ，则
S △PBC +S △PAB -S △PAC =S △ABC ，
AM BC 21PE AC 21PF AB 21PD BC 21⋅=⋅-⋅+⋅∴。

a 2
360sin AB AM PE PF PD ≈︒⋅==-+。

从上面的解题中，我们不难发现，用面积法解题求线段的“和差”需要具备几个条件，
（1）是否有垂线段（即三角形的高）；（2）有无相等的线段；（3）其中有一个三角形的面积是否等于其它几个三角形的面积的“和或差”。