2020年考研数学一真题及解析
2020年考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2020考研数学一真题及解析【完整版】
( x, y2
y))
|
0
3.答案：A 解析：
f (x, y)在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0
lim f (x, y) f (0, 0) f x(0, 0) x f y(0, 0) y 0
x0 y0
x2 y2
即 lim f (x, y) f x(0, 0) x f y(0, 0) y 0
4 12 6
P(BAC) P(B AUC) P(B) P[B(AUC)] P(B) P(BA) P(BC) P(ABC) 1 0 1 0 1
4 12 6
P(CBA) P(C BUA) P(C) P[CU (BUA)] P(C) P(CB) P(CA) P(ABC) 1 1 1 0 1
1
2 f y 2
48y
当 x 0, y 0时.A 0.B 1.C 0
AC B2 0 故不是极值.
当x1y 1 时 6 12
A 1.B 1.C 4.
AC
B2
0.A
1
0故
1, 6
1 12
是极小值点
极小值
f
1 6
,
1 12
1 3 6
8
1 12
3
6 1 12
1 216
16.（本题满分 10 分）
x0 y0
x2 y2
n x, y, f (x, y) f x(0, 0)x f y(0, 0) y f (x, y)
n x, y, f (x, y)
lim
0 存在
( x, y)(0,0)
x2 y2
选 A.
4.设 R 为幂级数 anr n 的收敛半径，r 是实数，则（ ） n1
明过程或演算步骤. 15.（本题满分 10 分）
2020年考研数学一真题及答案解析
（4）【答案】（A）.
【解析】若 anrn 发散，则 r R ，否则，若 r R ，由阿贝尔定理知， anrn
n 1
n 1
绝对收敛，矛盾. 故应选（A）.
（5）若矩阵 A 经过初等列变换化成 B ，则
（）
（A）存在矩阵 P ，使得 PA B.
（B）存在矩阵 P ，使得 BP A.
（C）存在矩阵 P ，使得 PB A.
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一
ai
点，法向量 αi
bi
,
i
1, 2,3 .则
ci
（）
（A） α1 可由 α2 , α3 线性表示.
（B） α2 可由 α1, α3 线性表示.
（C） α3 可由 α1, α2 线性表示. （6）【答案】（C）.
f x
,
f y
, 1
0,0
fx0, 0, fy 0, 0 , 1 ，故
n x, y, f x, y fx0, 0 x fy 0, 0 y f x, y x2 y2 ，
3
n x, y, f x, y
x2 y2
则 lim
lim
0. 故应选（A）.
x, y0,0
x2 y2
x, y0,0
x2 y2
（4） 设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径， r 是实数，则 n 1
（）
（A） anrn 发散时， r R . n 1
（B） anrn 发散时， r R . n 1
（C） r R 时， anrn 发散. n 1
2020-数一真题答案解析
e
1 x−
1
−
1 ln(1 +
x)
=
lim
x→0
ln(1+ x) − ex (ex −1) ln(1+
+1 x)
=
lim
x→0
ln(1 +
x) − x2
ex
+1
2020 数学（一）真题 第 5 页 共 13 页
1 − ex = lim 1+ x = −1.
x→0 2x
（10）若
=x y =
∑ 可得
P
100 i =1
Xi
55
的近似值为
(A) 1− Φ(1)
(B) Φ(1)
(C) 1− Φ(2)
(D) Φ(2)
【答案】B.
【解析】由题意= EX 1= ，DX 1 ，
2
4
∑ E
100 i =1
= Xi X
1= 00EX
50 ，
∑ D
1= i0=01 X i
1= 00DX
25 .
∞
∑ (C) | r | R 时， a2nr2n 发散 n=1
∞
∑ (B) a2nr2n 收敛时， | r | R n=1
∞
∑ (D) | r | R 时， a2nr2n 收敛 n=1
【答案】A.
（5）若矩阵 A 经初等列变换化成 B ，则
(A) 存在矩阵 P ，使得 PA = B
(B) 存在矩阵 P ，使得 BP = A
1 x2 2 0
5
= 52 ⋅
1 2
2
⋅ x5 .
（2）设函数 f (x) 在区间 (−1，1) 内有定义，且 lim f (x) = 0 ，则 x→0
2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析
2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析1. 【单项选择题】当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：2. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C参考解析：3. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A 参考解析：4. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A参考解析：5. 【单项选择题】若矩阵A经初等列变换化成B，则( )．A. 存在矩阵P，使得PA=BB. 存在矩阵P，使得BP=AC. 存在矩阵P，使得PB=AD. 方程组Ax=0与Bx=0同解正确答案：B参考解析：6. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C 参考解析：7. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：D 参考解析：8. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：B参考解析：9. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-1【解析】10. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】11. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：n+am【解析】12. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：4e13. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：a4-4a2【解析】14. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：15. 【解答题】求函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：16. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：17. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：18. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：19. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：20. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：21. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：22. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：23. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：。
2020年考研数学(一)真题及解析
2020年考研数学（一）真题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1. +→0x 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）A.()⎰-xt dt e 012B.0ln(1x dt +⎰C.⎰xdt t sin 02sin D.⎰-xdt t cos 103sin【答案】D【解析】()A 22++3200(1)(1)1lim lim33xxt t x x e dt e dt x x →→--==⎰⎰，可知0x +→，2301(1)~3x t e dt x -⎰， ()B ++500222limlim ln(155xx x xx dt→→==+⎰，可知5202ln(1~5x dt x +⎰，0x +→ ()C +++s 3in 2200020sin sin(sin )co cos 1limlim lim 333s x x x xx x t dt x x x →→→===⋅⎰，可知sin 2301sin ~3x t dt x ⎰，0x +→()D ++1co 50s 0limlim x x x →→-===⎰，可知1cos 50~x -⎰，0x +→ 通过对比，⎰-xdt t cos 103sin 的阶数最高，故选()D2. 设函数()x f 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0=→x f x ，则（ ）A. 当()0lim=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.B. 当()0lim2=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.C. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim=→xx f x .D. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim2=→xx f x .【答案】C 【解析】当()f x 在0x =处可导时，由()0(0)lim 0x f f x →==，且0()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x →→-'==-，也即0()lim x f x x →存在，从而()0lim0=→xx f x ，故选C 3. 设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，()0,01,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂∂∂=y f x f n 非零向量d 与n 垂直，则（ ）A.()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在. B.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x n y x 存在.C. ()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x d y x 存在. D.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x d y x .【答案】A【解析】函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，(,)(0,0)(0,0)(0,0)0x y f x y f f x f y→→''---=，00(,)(0,0)(0,0)0x y f x y f x f y→→''--=由于()(),,,n x y f x y ⋅=(0,0)(0,0)(,)x y f x f y f x y ''+-，所以()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在4. 设R 为幂级数1nn n a r∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）A.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥. B.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≤.C.R r ≥时，1nn n a r∞=∑发散. D. R r ≤时，1nn n a r∞=∑发散.【答案】A【解析】R 为1nn n a r∞=∑的收敛半径，所以1nn n a r∞=∑在(,)R R -必收敛，所以1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥.故选A5. 若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（ ）A. 存在矩阵P ，使得B PA =.B.存在矩阵P ，使得A BP =.C.存在矩阵P ，使得A PB =.D. 方程组0=Ax 与0=Bx 同解. 【答案】B【解析】A 经过初等列变换化成B ，存在可逆矩阵1P 使得1AP B =,令11PP -=，得出A BP =,故选B6. 已知直线12121212:c c b b y a a x L -=-=-与直线23232322:c c b b y a a x L -=-=-相交于 一点，法向量i i i i a b c α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3,2,1=i . 则 A. 1a 可由32,a a 线性表示. B. 2a 可由31,a a 线性表示. C.3a 可由21,a a 线性表示. D. 321,,a a a 线性无关. 【答案】C【解析】令22211112:x a y b c L t a b c ---===，即有21212121=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由2L 方程得32323223=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两条线相交，得2132++t t αααα=即2123123+(1)t t t t ααααααα-=⇔+-=，故选C 7. 设A ，B ，C 为三个随机事件，且()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ， ()()121==BC P AC P ，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 A. 43. B. 32. C. 21. D. 125. 【答案】D【解析】()()()(())P ABC P ABUC P A P A BUC ==-111()()()()004126P A P AB P AC P ABC =--+=--+=()()()(())P BAC P B AUC P B P B AUC ==-111()()()()004126P B P AB P BC P ABC =--+=--+=()()()(())P CAB P C AUB P B P C AUB ==-1111()()()()04121212P C P CB P CA P ABC =--+=--+=所以1115()()()661212P ABC P ABC P ABC ++=++= 8. 设n x x x ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，其中()()2110====X P X P ， ()x Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=100155i i X P 的近似值为A. ()11Φ-.B. ()1Φ.C.()2,01Φ-.D.()2,0Φ. 【答案】B【解析】由题意12EX =，14DX =,根据中心极限定理1001~(50,25)i i X N =∑,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑=100155i i X P=10050(1)iX P ⎛⎫- ⎪≤=Φ⎝⎭∑二、填空题：9~14小题，每小题2分，共24分.请将解答写在答题纸指定位置上. 9. ()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--→x e x x 1ln 111lim 0 . 【答案】-1【解析】()()()()2000ln 11ln 1111lim lim lim 1ln 1(1)ln 1x x x x x x x x e x e e x e x x →→→⎡⎤⎡⎤+-++-+-==⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦ =()2222001111ln 1122lim lim 1xx x x x x x x e x x→→----++-+==-10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧++=+=1ln 122t t y t x ，则==122t dx y d .【答案】【解析】1dy dy dt dx dx dt t ===22231=dy dy d d d y dt dx dt dx dx dt dx t t t⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===--得212t d y dx==11. 若函数()x f 满足()()()()00>=+'+''a x f x f a x f ，且()m f =0，()n f ='0，则()f x dx +∞=⎰.【答案】n am +【解析】特征方程210a λλ++=，则1212,1a λλλλ+=-⋅=，所以两个特征根都是负的。
2020考研数学(一)答案解析
π
1
2
π
E ( XY ) E ( X sin X )2π
x sin x
dx
02x sin xdx
π
π
2
2
π
2
π
π
02xd cos x
x cos x|0202cos xdx
π
π
2
sin x|
π
2
.
02
π
π
9
故 cov( X , Y )2π0π2.
三、解答题
（15）（本题满分10分）
f ( x) 0.
x
x
综上，
f ( x )d x
f ( x ) af ( x)
lim
f
( x ) af ( x )
f (0) af (0)
am n.
0
0
x
2f
12.f(x,y)0xyext2dt，则
．
x y
(1,1)
（12）【答案】4e.
【解析】因为
2f
2f
，又
f
ex xy2xxex3y2,
x y
y x
x , y0,0x2y2
x , y0,0
x2y2
（4） 设R为幂级数anxn的收敛半径，r是实数，则
（
）
n1
（A）anrn发散时，
r
R.
n 1
（B）anrn发散时，
r
R.
n 1
（C）
r
R时，anrn发散.
n 1
（D）
r
R时，anrn发散.
n 1
（4）【答案】（A）.
【解析】若anrn发散，则
2020年考研数学一(数学301)试题真题及答案解析
绝密☆启用前2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案解析（科目代码：301）考生注意爭项1.答题前，考生须在试題册指定位置上填⅛*⅛⅛Λ和考生编号：在答题卡指定位豈上填写报考单位、考生⅛X¼考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试.題册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在各题卡的“试卷条形码粘贴位置"框中。
不按规定粘貼条形码而影响试卷结果的，责任由考生自负。
3.选择題的答案必须涂写在暮题卡相应题号的选项上，非选择題的答案必须朽写在答題纸指定位置的边框区域内。
超出答題区域写的答案无效：在草稿纸、试題册上答题无效。
4. ,字迹工整、笔迹清5.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：(1・8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，请将选项前的字母填在答题纸上)1. Λ-→O + Ibb 下列无穷小屋瑕高阶是(> A. £ (e , -∖)dt B. £ ln( 1 + TF Jt)D. L 品皿JO 2.设函数/⑴在区间(∙1,1)内有定义∙ Klim/(x) = 0,则<>x→0A. 当lim ⅛^ = 0, /(x)在x = 0 4导.B. 当 Iimx→OC. 当/(x)在.V = O 处可导时，I 叫簫=0.・ 7∣(0.0)2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试黑=0, /(Λ∙)在X = O 可导.VX 2Ii m Iyjg))LO 存在(χ.y)→(0.0)∣χ2 *『2Ii m (严/3))LO 存在 (x.r)→<o.θ) L.2 丄 “2Iim 宀(冒"Z))LO 存在(X ty)→( 0.0) JX2 + #2 4. 设人为幕级数Xa 2lt x 2,t的收敛半径，厂是实数，则（〉JF=IA. Jt∕2n x 2rt 发散时，H≥RB. ∑c∣2n x 2n 发散时，p∣≤RC. ∣r∣≥∕?Ibb £旳”卫"发散rt≡lD. ∣r∣≤^U'h £吆“"发散rt=l5. 若矩阵A 经初等列变换化成B ,贝Ij （） A. 心在矩阵P,使W PA = Ii B. 存在矩阵P,使W BP = A C. 白：在矩阵P ,使得PB = A D. 力程组AX = 0⅛Λv = 0同解6. 己知直线LJd = i =二与貫线A ,X Ξ= J2A = £z £i 相交于•点,Glb ∖c∖“2方 2°2A.B.Iim(x.r )→(0.0)C.D.法向*O l= b i ,/ =1,23 则 < 〉ς.A. q可由吆坷线性表示B-血可由。
2020考研数一真题答案及详细解析
一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。
3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。
CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。
ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。
2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。
1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。
2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0X—r•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X3, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。
J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。
2020年考研数学一真题及答案(全)
2020年考研数学一真题及答案(全)全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1.若函数 $f(x)=\begin{cases}1-\cos x。
& x>0 \\ a x + b。
& x\leq 0\end{cases}$ 在 $x$ 连续，则 $ab=$答案：A详解：由 $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$ 得 $ab=1$。
2.设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x)f'(x)>0$，则A) $f(1)>f(-1)$；(B) $f(1)f(-1)$；(D) $f(1)<f(-1)$。
答案：C详解：$f(x)f'(x)>0$ 表示 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和$(0,+\infty)$ 上单调，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在$(0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $f(1)>f(-1)$。
3.函数 $f(x,y,z)=xy+z$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿着向量$n=(1,2,2)$ 的方向导数为A) $12$；(B) $6$；(C) $4$；(D) $2$。
答案：D详解：方向余弦$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=\frac{1}{3}$，$\cos\beta=\frac{2}{3}$，$\cos\gamma=\frac{2}{3}$，偏导数$f_x'=2xy$，$f_y'=x^2$，$f_z'=2z$，代入 $\cos\alphaf_x'+\cos\beta f_y'+\cos\gamma f_z'$ 即可。
2020年数学一真题含答案
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上.（1）当+0x →下列无穷小的阶最高的是（）.（A ）2(1)dt xt e -⎰（B）(0ln 1dtx+⎰（C ）sin 2sin dtxt ⎰（D）1cos 0-⎰【答案】（D ）【详解】(A)22'20((1))1(0)xt x e dt e x x +-=-→⎰(B)3'2(ln(1)ln(1(0)x x x +=+→⎰(C)sin 2'220(sin )sin(sin )cos (0)xt dt x x x x +=→⎰(D).1cos '40()(0)x cx x -+=→⎰（2）函数()f x 在(1,1)-有定义，且0lim ()0x f x →=，则（）．（A）若0x →=，则()f x 在0x =可导；（B ）若2()lim0x f x x →=，则()f x 在0x =可导；（C ）若()f x 在0x =可导，则0x →=；（D ）若()f x 在0x =可导，则20()lim0x f x x→=.【答案】（C ）【详解】（A ）反例()||f x x =（B ）反例0,0()1,00,0x f x x x <⎧⎪==⎨⎪>⎩（D)反例2()f x x=（3）函数(,)f x y 在(0,0)可微，(0,0)0f =，(0,0)(,,1)f fn x y →∂∂=-∂∂非零向量α→与n →垂直，则（）（A）(,)limx y →存在（B）(,)limx y →存在（C）(,)limx y →（D）(,)limx y →存在【答案】（A ）【详解】因为(,)f x y 在(0,0)可微所以0x y →→''-⋅-⋅=又因为(,,(,))(,)x y n x y f x y x f y f f x y →''⋅=⋅-⋅-所以00x y →→''⋅-⋅-=从而00x y →→=即(,)lim 0x y →=，故选（A ）.（4）设R 为幂级数nnn a x∞=∑收敛半径，r 为实数，则（）（A ）当220nn n ar∞=∑发散时，则||r R ≥（B ）当220nnn ar ∞=∑收敛时，则||r R ≤（C ）当||r R ≥时，则220nnn ar ∞=∑发散（D ）当||r R ≤时，则220n nn ar ∞=∑收敛【答案】（D ）【详解】由级数收敛半径的性质得D 正确。
2020考研数学一真题及答案
0 0⎰⎰x →0→ →2020考研数学一真题及答案一、选择题：1~8 小题，第小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. x → 0+ 时，下列无穷小阶数最高的是 A. ⎰ x (e t 2-1)d tB.⎰ x ln (1+ t 3)d tC.sin x sin t 2d t1-cos xD.1. 答案：Dsin 3 t d t2. 设函数 f (x ) 在区间（-1，1）内有定义，且lim f ( x ) = 0, 则（ ）A. 当limxB. 当limx →0f (x )= 0, f ( x )在x = 0 处可导. | x |f (x )= 0, f ( x )在x = 0 处可导.C. 当 f (x )在x = 0处可导时,limx 0D. 当 f (x )在x = 0处可导时,limx →0f (x ) = 0.| x |f (x )= 0.x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 22. 答案：B解析: limf (x )= 0 ∴limf (x )= 0 ∴ limf (x )= 0, lim f (x ) = 0x →0x →0| x |x →0+x x →0-x∴limf (x )= 0, lim f ( x ) = 0x →0xx →0∴lim f (x ) - f (0) = lim f (x ) = 0 = f '(0) x →0 x - 0 x →0 x∴ f (x ) 在 x = 0 处可导∴选 Blim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0) | n ⋅ ( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| n ⨯( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| d ⋅ ( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| d ⨯( x , y , f ( x , y )) |= 03. 答案：A解析：f (x , y )在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0∴limx →0 y →0f (x , y ) - f (0, 0) - f x '(0, 0) ⋅ x - f y '(0, 0) ⋅ y= 0即lim x →0y →0f (x , y ) - f x '(0, 0) ⋅ x - f y '(0, 0) ⋅ y= 0n ⋅ ( x , y , f (x , y ) ) = f x '(0, 0)x + f y '(0, 0) y - f (x , y )n ⋅ ( x , y , f (x , y ) )A. B. C. D.4.设 R 为幂级数∑ a r 的收敛半径，r 是实数，则（）A.∑ a r 发散时，| r |≥ RB.∑ a r 发散时，| r |≤ RC.| r |≥ R 时，∑ a r 发散D.| r |≤ R 时，∑ a r 发散∵R 为幂级数∑ a x 的收敛半径.∴∑ a x 在(-R , R ) 内必收敛.∴∑ a r 发散时，| r |≥ R .1 1 ∴ lim( x , y )→(0,0)= 0 存在∴选 A.∞n n n =1∞n n n =1∞n nn =1∞n nn =1∞n nn =14. 答案：A解析：∞n n n =1∞n n n =1∞n n n =1∴选 A. 5. 若矩阵 A 经初等列变换化成 B ，则（ ）A. 存在矩阵 P ，使得 PA =BB. 存在矩阵 P ，使得 BP =AC. 存在矩阵 P ，使得 PB =AD. 方程组 Ax =0 与 Bx =0 同解 5. 答案：B 解析：A 经初等列变换化成 B. ∴存在可逆矩阵 P 1 使得 AP 1 = B∴ A = BP -1令P = P -1∴ A = BP .∴选B .6.已知直线 L : x - a 2 = y - b 2 = 2 - c 2 与直线 L : x - a 3 = y - b 3 = 2 - c 3 相交于一点，法1⎡a i ⎤ a 1 b 1 c 1a 2b 2c 2 向量 a = ⎢b ⎥,i = 1, 2, 3. 则i ⎢ i ⎥ ⎢⎣c i ⎥⎦A. a 1 可由 a 2 , a 3 线性表示B. a 2 可由 a 1, a 3 线性表示C. a 3 可由 a 1, a 2 线性表示D. a 1, a 2 , a 3 线性无关6.答案：C 解析：令 L 的方程x - a 2 = y - b 2= z - c 2 = t1⎛ x ⎫ a 1 b 1 c 1⎛ a 2 ⎫ ⎛ a 1 ⎫ 即有y ⎪ = b ⎪ + tb ⎪ =α + t α ⎪ 2 ⎪ 1 ⎪ 2 1 z ⎪c ⎪ c ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 1 ⎭ ⎛ x ⎫ ⎛ a 3 ⎫ ⎛ a 2 ⎫ 由 L 的方程得 y ⎪= b ⎪ + t b ⎪ =α + t α 2 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎪ 32 z ⎪ c ⎪ c ⎪ ⎝ ⎭ ⎝3 ⎭ ⎝ 2 ⎭由直线 L 1 与 L 2 相交得存在 t 使α2 + t α1 =α3 + t α2即α3 = t α1 + (1- t )α2 ，α3 可由α1 ,α2 线性表示，故应选C. 7. 设 A,B,C 为三个随机事件，且 P ( A ) = P (B ) = P (C ) =1, P ( AB ) = 0 4P ( AC ) = P (BC ) = 1123A. 4 2B. 3 1C.2，则 A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为25D.127.答案：D解析： P( ABC ) =P( ABUC) =P( A) -P[ A(BUC)]=P( A) -P( AB +AC)=P( A) +P( AB) -P( AC) +P( ABC)=1- 0 -1+ 0 =1 4 12 6P(BAC ) =P(BAUC) =P(B) -P[B( AUC)] =P(B) -P(BA) -P(BC) +P( ABC)=1- 0 -1+ 0 =1 4 12 6P(CBA) =P(CBUA) =P(C) -P[CU (BUA)] =P(C) -P(CB) -P(CA) +P( ABC)=1-1-1+ 0 =14 12 12 12P( ABC +ABC +ABC) =P( ABC ) +P( ABC ) +P( ABC)=1+1+1=5 6 6 12 12选择D8.设X1 , X 2,…, X n为来自总体X 的简单随机样本，其中P( X = 0) =P( X = 1) =1, Φ(x) 表2⎛100 ⎫示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P ∑X i ≤ 55⎪的近似值为⎝i=1 ⎭A.1-Φ(1)B. Φ(1)C.1-Φ(2)D. Φ(2)8.答案：B解析：由题意EX =1, DX =1 2 4∑ ⎣ ⎦⎝ ⎭⎛ 100 ⎫ ⎛ 100 ⎫ E ∑ X i ⎪ X = 100EX = 50. D ∑ X i ⎪ = 100DX = 25 ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭100由中心极限定理X i~ N (50, 25)i =1⎧ 100⎫ ⎧ 100⎫ ⎪∑ X i - 55 55 - 50⎪ ∴ P ⎨∑ X i ≤ 55⎬ = P ⎨ i =1 ≤ 55 ⎬ = Φ(1) ⎩ i =1 ⎭ ⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎭故选择 B二、填空题：9—14 小题，每小题 2 分，共 24 分。
2020考研数学一真题及答案解析
（2） 证明随机变量 Y 服从标准正态分布。
【详解】（Ⅰ）
F x, y PX1 x,Y y
综上所述,最终 M 0
（20）（本题满分 11 分）
设二次型
f
x1, x2
x12
4 x1x2
4 x22
经正交变化
x1 x2
Q
y1 y2
化为二次型
g
y1,
y2
ay12
4x1x2
6 y22
,其中
ab. (1) 求 a , b 的值
(2) 求正交变换矩阵 Q
【详解】（Ⅰ）设
f
xT
2 4
1 0
2
0
,故2
2,1T
;
P2
1
2
2
1
;
4
综上所述，
Q
P1P2 1
5 3
5
3 5
4 5
.
（21）（本题满分 11 分）
设 A 为 2 阶矩阵, P , A ,其中 是非零向量且不是 A 的特征向量.
(1)证明 P 为可逆矩阵.
(2)若 A2 A 6 0 ,求 P1AP ,并判断 A 是否相似于对角矩阵. 【详解】（Ⅰ） 不是特征向量且 0 ，则 A k ，即 A , 线性无关，
（C） 0
．
x ln(1 t3 )dt
（B） 0
1cos x sin3 tdt
（D） 0
【答案】（D）．
（2）设函数
f
(x)
在区间 (1,1)
lim
有定义，且 x0
f
(x)
0
，则（）
lim f (x) 0
x0 x
（A）当
2020年考研数学一答案+解析
使 AQ1Q2 Qt B ，则 A B Q1Q2 Qt ，即 A BP ，选（B）。
（6）已知直线 L1 :
x a2 a1
y b2 b1
2 c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
2 c3 c2
相交与一
ai
点，法向量 i
bi
,
i
1, 2,3 ，则（
）
ci
（A） a1 可由 a2, a3 线性表示
sinx
（C） sin t2dt sin sin2 x x2 0
（D）
1cos x
sin t2 dt
sin(1 cos x)2 sin x 1 x3
0
2
经比较，选（D）
（2）设函数 f x 在区间 1,1 内有定义，且 lim f x 0, 则（ ） x0
f x
（A）当 lim
4 12 6
P(ABC) P(C A B) P(C) P(C(A B))
P(ABC) P(AB C) P( A) P(A(B C))
111 P( A) P( AB) P( AC) P( ABC) = ；
4 12 6
P(ABC) P(B A C) P(B) P(B( A C))
111 P(B) P( AB) P(BC) P( ABC) = ；
Born to win
2020 全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）当 x 0 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）
2020考研数学一真题及答案解析
I xf xy 2x ydydz yf (xy) 2y xdzdx zf xy z dxdy
.
【详解】将曲面 Z x2 y2 向 xoy 面投影得 Dxy
Dxy 为1
x2
y2
4
，又
Z
' x
x x2
y2
,
Z
' y
y x2 y2
I
{[ xf
(
xy)
又 G(0) G(1) 0 ,从而 G(x) 0 ,即 f (x) Mx , 0 x 1 .
因此 f(1) M ,从而 M 0 .
综上所述,最终 M 0
（20）（本题满分 11 分）
设二次型
f
x1, x2
x12
4 x1x2
4 x22
经正交变化
x1 x2
Q
y1 y2
化为二次型
,
AC A
1
B2 =3>0 0
x y
1 6 1 12
，为极小值点
f (1 , 1 ) 1 极小值为 6 12 216
（16）（本题满分 10 分）
I
计算
L
4x 4x2
y y
2
dx
x y 4x2 y2
dy
,其中
L为
x2
y2
2
,方向为逆时针方向.
【详解】补曲线 L1 : 4x2 y2 2 ，逆时针方向
（C）3 可由1 ，2 线性表示
（D）1,2 ,3 线性无关
【答案】（C）．
（7）
PA
PB
PC
1 4
,
P AB
0,
P AC
2020年考研数学一真题详细答案解析
一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。
3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。
CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。
ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。
2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。
1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。
2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0Xr•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。
J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。
2020考研数学(一)答案解析
2020 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题与参考答案选择题1）【答案】（ D ） .x t 2解析】因为 lim 0xe t 21 dtx3故 x 0 时， 0xe t 21 dt 是 x 的 3 阶无穷小；1）当 x 0 时，下列无穷小量最高阶是A）x e t 21 dt .B ) 0x ln 1 t 3dt .C）sinxsint 2dt.dt .D ) 01 cos因为 lim x 0 +xln 15x 2dt lim ln 1 x 0 +5 3x 025x 32limx 30 + 5 3x 22故 x 0 时，因为 limsinxsin t 2 dt lim sin sin x 2cos x limsin 2xlim故 x 0 时，x 3x 0 +0sin x sin t 2 dt 是 x 的 3 阶无穷小；x 0 +3x 23x2 3,lime x 1limx 0 +3x 2x 2 x 0+ 3x 2对于选项（ C ）：当 f0, x 0,x 在 x 0 处可导时， x在 x 0 处连续，故因为 lim 01 cos x+ 0 t d t x 01 cos xsin t 2dt lim+x 0 2in 1 cos x sin x lim + x 0 1 cos x sin x sin 1 cos x 22cos x1,1 cos x 1 1 1 又 01 cos x t dt t2 1 cos x 2 x 4 ， 2 0 2 8 故 x 0 时， 01 cos x sin t 2 dt 是 x 的 4 阶无穷小； 综上， x 0 时，无穷小量中最高阶的是 01 cos x sin t 2 dt . 故应选（ D ）. x 0（2 ）设函数 f x 在区间 1,1 内有定义，且 lim f x 0, 则 （ ） （A ） （B ） lim （C ）f x 在 x 0 处可导 . f x 0 时， f x 在 x 0 处可导 . x 0 x2f x 在 x 0 处可导时， limx 0f xD ）当 f x 在 x 0 处可导时， lim f x0 .x 0x 22）【答案】（ C ）.【解析】对于选项（ A ）：取 f x x ，满足已知，但 f x 在 x 0 处不可导，排除（ A ）x, x 0,对于选项（ B ）： f x满足已知，但 f x 在 x 0 处不可导，排除（ B ）f 0 lim f x 0, 且 f 0 存在，不妨设 f 0 limf x f 0lim f xA,x 0x 0x x 0 xx , y 0,01 f x 0, 0 , f y 0, 0 , 1 ，故0,0则 lim n x , y , f x , y lim x 2y 20. 故应选（ A ） .22x , y , f x , y f x 0, 0 x f y 0, 0 y则lim f xx 0 xf x x0 . 同理可排除（ D ）. x故应选（ C ）.3）设函数 f x 在点 0, 0 处可微， f 0, 0 0, nxy0,0，非零向量 d 与n 垂直，则limx , y0,0B ） limx , y 0,0n x , y , f x , yx 2 y 2C ） lim0 存在 .0 存在 .0 存在 .D ）limx , y0,0d x , y , f x , yx 2 y 20 存在 .3）【答案】（ A ） .解析】因 f x 在点 0, 0 处可微，且 f 0, 0 0 ，故f x , y f 0, 0 f x0, 0 x f y 0, 0y 2因为 n , xyx , y0,0x 2 y 2x , y0,0 x y（4）设R 为幂级数 a n x n的收敛半径，r 是实数，则（）n 1（A） a n r n发散时，r R .n 1（B ） a n r n发散时，r R .n 1（C）r R 时， a n r n发散.n 1（D）r R 时， a n r n发散.n 1【解析】若a n r n发散，则r R ，否则，若r R ，由阿贝尔定理知， a n r n n 1 n 1绝对收敛，矛盾. 故应选（A ）.（5）若矩阵A 经过初等列变换化成B ，则（）（A ）存在矩阵P ，使得 PA B.（B）存在矩阵P ，使得 BP A.（C ）存在矩阵P ，使得 PB A.（D ）方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解.【解析】A 经过初等列变换化成B ，相当于A 右乘可逆矩阵P 变成B ，即存在可逆矩阵Q ，使得AQ B ，得BQ 1 A .取P Q 1，则存在矩阵P ，使得 BP A.故应选（B ）6）已知直线 L :x a 2 y b 2 z c 2 与直线 L :x a 312a 1b 1c 1a 2（）（B ）α2 可由α1 , α3 线性表示 .D ）α1 ,α2 , α3线性无关 .a 1a 2【解析】已知 量L , L 相交于一 12点，故向，即α ,1b 与 2b αcc 12线性无关12a 1 a 2 a 3a 2且有 b , b12, bb ，即α32, ,α αα 12 3线1 性相关 .1cccc1232故α1 ,α2 , α3 线性相关，则α3 可由 α1 , α2 线性表示，且表示法唯一 .故应选（ C ）7）设 A, B , C 为三个随机事件，且1P A P B P C4 , P AB 0, P ACP BC 121,则 A, B , C 恰有一 个事件发生的概率为（）（A ） 3.2（B ）2.1（C ） 1.（D ） 5.43 2127）【答案】（ D ）【解析】事件 A, B , C 中前有一个发生的概率可用至少一个发生的概率减去至少发生两个的概率表示，即 P （ ABC ABC ABC ） P （ A B C ） P （ AB AC BC ）,y b 3 z c 3 相交于 b 2c 2a i点，法向量α b , i 1, 2, 3. 则iici（A ）α1 可由α2 , α3 线性表示 . （C ）α3 可由α1 , α2 线性表示 .而 P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC) 因 P( AB) 0 ，故 P ( ABC) 0 ，从而 P ( AB AC BC ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC )P ( ABC )P ( ABC ) P ( ABC)0 12111 12 0 6 ,7 1 5故 P ( ABC ABC ABC) 12 6 12. 故应选（ D ）.P ( A B C) 34 0 121 121 0 1278）设 X 1 , X 2 , , X 100 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P X 0 P X 1x 表示标准正态分布，则利用中心极限定理可得 P X i（A ）11 .（B ） 1 .100 i 155 的近似值为（C ) 1 0.2 . (D )1,2)0.28）【答案】（ B ）100 【解析】由中心极限定理知，1001 12D （ X ） 100 25，故i 1i2 2X i 近似服从 N ( i 1 1002) ，其中 E ( X i ) 50 ，i 1100PX i i 1 55100X i 5055 50 5(1) .故应选（ B ）.二、填空题119. lim xex 01 ln(1 x) 9)【答案】 1.解析】0 f (x )dx解析】由已知，得lim 1 1 lim ln(1 x) e x1x 0 e x 1limxln(1 x) x 0 e 1 ln(1 x) 12x x 1 x 2limx 0x 21x2x 2lim x 02x 2 x 2 1. x 2t 21,10. 已知y ln(t t2d2y则2dx10）【答案】 2 .解析】因为dydx dy dt dx11 2t 2t2 t 21d 2 y dx 2dt d dy 2 t 2 d dy dt dxdx d1dt tdx dtdt dx dx 1 2tt 2 13t故dd x 22yt1 t2 1 t32. 11. 设 y f ( x) 满足 f ( x )af (x )f (x ) 0 (a0), f (0) m, f (0)n ，则f (x )dxf ( x ) af (x ) dx 0 f (x ) af (x)当0 a 2 时， 1,2a 4 a 2 i，故ax4 a 2 x C sin 4a 22 C 1 cos 2 x C 2 sin 2 x , a a x 4 a 2 4 a 2 2e 2 C 1 cos2x C 2 sin2 x从而 lim f ( x ) xlim xf ( x) 0.当a2 时，1,21 ， 故f x C 1 C 2 x e xf x C 1 C 2 x e x C 2e x从而 x lim f ( x )limxf ( x)0.当 a 2 时， a a 24 ，故1,2a a 24 a a 24 f x C 1e 2x C 2e2 xf x a a 2 4C 1ea a224 x a a 2 4C2e a a 224 x ,22从而 lim f ( x ) x lim f ( x) 0. x综上，f ( x )d xf ( x ) af ( x) limf( x ) af ( x ) f (0) af (0) am nxxt2 2f12. f(x, y) 0xye xt2dt ，则．x y (1,1)12）【答案】 4e .解析】因为 f f ，又 fe x xy 2x xex 3 y 2,x yy x y从而axe 2f x efxE ( X ) 0,πE ( XY ) E ( X sin X ) 2 π x sin x πdx2π2 π2xd cos x x cos x |02πππ2 π2x y(1,1)df d xye x 3d xe x 3dx x 1 3x 2 x 14e.a0 1113. 行列式 0a 1 11 1 a 011 0a（13）【答案】a2a24 .a a 0 0a 0 0 00 a 1 10 a 1 1 1 1 a 01 2a 0 0 0 a a0 0 a aa 11a 2 a 0 a a 34a a 2 a 2 0 a a14）设 X 服从区间ππ, 上的均匀分布， Y22sin X ，则 cov X , Y解析】由题意 X 的概率密度为 f （ x ）1,πxππ220, 其他.又 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ),Y sin X ,ππ02 x sin xdxπ20 cos xdx解析】a 01 10 a 1 11 1 a 0 1 1 0 a4 .而sin x| 02.故 cov( X , Y ) 2π 0 π2.三、解答题15 ）（本题满分 10 分）求f ( x , y ) x 3 8 y 3 xy 的极值 .（15）【解析】 x因为 f 3 x 2y , f 24 y 2 x, y1,2x联立方程组 fx3 x2y 0, 解得x 0,6f y24 y x0, y 0,1y1211故驻点为 0, 0 ,,612在点 0, 0 处：A f xx 0, 0 0,B f xy 0, 01,C f yy 0, 0 0,AC B 21 0 ，故 0, 0 不是极值点 . 11在点 , 处：6 12A f 1, 1xx1 0, Bf1xy11, C fyy1, 14, 6 126 1 26 12211AC B 4 1 0 ，故, 是极小值点， 极小值为 6 121 f6 113 1311112 6126 12 216（16 ）（本题满分 10 分）4x y x y2 2计算 I L 4 x 2 y 2 dx 4x 2 y 2dy ，其中 L 为 x y2 ， 方向为逆时针方向 （16）【解析】补曲线 L : 4 x 2 y 22 , 其中 0 为一个很小的数，使得 4x 2 y2 21 在曲线 L 的内部，方向顺时针，则4x y22L L 1 4 x2y 2d x 4 x 2L 1 4 x2y 2 d x 4x 2 y 2 dy记P4 x 2 y 2, Q4x 2 y 2，因为P 4 x 2 3 8 xy y 2 Q4 x 2 8xy y 21 dxdyπ22从而 I2lim n 2n n 117) 本题满分 10 分）设数列 a n 满足 a 1 1, ( n 1) a n 1 ( n12)a n .证明：当 x 1 时，幂级数 a n x n收敛， 并求其和函数17）【证明】由1) a ( nn 11)a ，2nan 1n 2 ，从而n 1limnan 1an故当 x 1 时，幂级数a n x n收敛.当 x 1 时，设 S x a n x n ，且 n 1 a 11, 则 24 x 2 y 2 ,x4x 2由格林公式知，L L 14x y4 x 2 y 2 d x 4x 2 y 2 d y 0.4 x y x y L14x 2 y 2dx d yL 1x y dx x y dyπ.S xna n xn IV1na n x n 1n 1n 21n 1a x n 1 (n )a x n n 1 n 1n 1 2 n1nan xn n 1a n x nn 1 n 2 n 1n11 x n 1 na n x n 12Sx1xS x 12S x ,12S x , 整理得11S x 2 1 x S x 1 x ，xy 2 y x d z d x zf xy z dx d y.18）【解析】因 为曲面 z x 2 y 2 1 x 2 y 24 的下侧，故由转换投影法知， xy 2 y x d z d x zf xy z dxdyxf xy 2 x y d ydz yfxf xy 2 x y d yd z yf xf xy 2 x yzyf xy2 y x z zf xyzdxdyxfD2y 22222f xyxxy 2 x y2π 4 .yyxy 2 y x2xy进而有 1 x S x 1解之得 S x C 2.1x由题意知， S 0 0 ，故 C 2 ，从而有 S x （18 ）（本题满分 10 分）为曲面 z x 2 y 2 1 x 2 y 2 4 的下侧，2 1x2. f x 为连续函数，计算19 ）（本题满分10 分）设f x 在区间0, 2 上具有一阶连续导数，且f 0 f 2 0, M max x0,2 f x证明：（Ⅰ）存在0, 2 ，使得 fⅡ ）若对任意x 0, 2 ， f x M ，则 M 0 .19 ）【证明】（Ⅰ）因 f x0, 2 上连续，故存在最大值 M max x0,2x.，则对0,2 ，都有 f0 ，命题成立，因f0 f 2 0, 故存在x0 0, 2 ，使得 f x 0M.当x00,1 ，由拉格朗日中值定理知，存在1 0, x 00,1 ，使得1 x0 ,则有f 1当x0则有f 2当x0综上，存在Ⅱ）假设当x0当x0MM .x0 x01, 2 ，由拉格朗日中值定理知，存在1，2 x0 , 2 1, 2 ，使得f x0M .2x0 2x0由拉格朗日中值定理知，存在f30,1 ，使得0, 2 ，使得 f0 ，因对任意x 0, 2 ，有 f0,1 或x01, 2 时，存在0, 2 ，M ，由（Ⅰ ）知，使得 f M ，矛盾，从而有1 时，有 f 1M ，则f 1M ，不妨设f 1 M .构造函数g x f x Mx, x 0,1 .11因为 g x g x 0, x 0,1 ，即 f x x M 0, 故 g x 单调不增 . 又 g 0 0, g 1 0 ，从而Mx , x 0,1 . 构造函数 h x f x Mx 2 M , x 1, 2 . 因为 h x ，故 h x 单调不减 . 0, h 2 0 ，从而 h x 0, x 1, 2 ，即 f x Mx 2M .综上，当 x 0 时， f Mx, 0 x 1, 因为 Mx 2 M , 1 x 2.故与 f x 在 x 若 f 1M ， 综上，若对任意 lim f x x 1 lim Mx MM 0, x 1 x 1 f x f 1 limx 1 x 1处可导矛盾，从而当limMx 2M M x 1x 1 x 0 1 时，有 M 0 . 则可构造 g x f x Mx, h x f x Mx M 0,同理可证 .x 0, 2 ， M ，则 M 0 . 20 ）（本题满分 11 分） 设二次型 f x 1 , x 222 x 12 4 x 1 x 24x 22 经正交变换 x1x2Qy 1化为二次型y22 g y 1 , y 2 ay 1 4 y 12 by 2 , 其中 aⅠ）求 a , b 的值； Ⅱ）求正交矩阵 Q .20）【解析】 Ⅰ ）设二次型 f 的矩阵为 A ，则 A 又 f 经正交变换 X QY 化成 g y 12, y 2ay 122 by 22, 即X QYf X T AX =YTQ T AQY Y2b2 ，由于 Q 为正交矩阵，故 A 与 B 相似且合同，bβ2 , 1β，则 P 2 为正交矩阵，且有 P 2 1BP 2因此 Q T AQ =t 故r A tr A B ,1即4 a b, ab 4 0,解得 a 4, b 1 或 a 1, b 4.又a b ，故 a 4, b 1.Ⅱ）由（ Ⅰ）知， B =2 ，且2又与B 相似.12 4可知， A 与 B 特征值均为 15.0, 2的特征向量对于 1 0 ，解 A 0E x0 ，得 的属于特征值的特征向量对于 2 5 ，解 A 5E x0 ，得 A 的属于特征值α1 , α2 已经正交化，故直接单位化，得 β1α1α12, β2α2故可取 P 1β1 , 2β ，则 P 1 为正交矩阵，且有 P 11AP 1 5的特征向量对于B 0E x 0 ，得 B 的属于特征值的特征向量对于B 5E x 0 ，得 B 的属于特征值故可取 P 2 则有 P 1 APP 1BP ，因此P P 1 AP P 1 B .2 2 2 1 1 20 112 11 24取Q = P P 1P P T 5 5551 2 1 21 2 255QT = P1 P2 T TP 2 P 1T ,Q 1 = P1 P2 T 1 P2 T 1 P1 1P 2 P 1T.综上，有 Q 为正交矩阵，且满足 Q TAQ B . （21 ）（本题满分 11 分）设 A 为 2阶矩阵， P = α , A ，α其 中α是非零向量，且不是 A 的特征向量 （Ⅰ）证明 P 为可逆矩阵； （Ⅱ）若 A 2α + A α 6α0 ，求 P 1AP 并判断 A 是否相似于对角阵 .（21）【解析】（Ⅰ）若α与 A α线性相关，则α与 A α成比例，即有 A αk α . 由于α是 非零向量，故根据特征值、特征向量的定义知，α是 A 的属于特征值 k 的特征向量 与已知矛盾， 故 α与 A α无关，从而P 可逆. （Ⅱ）由A 2α+ A α 6α知，A 2αA α6α, 则AP = A α , A α A α2α, A A α , A α 6 α0 606α , A αP11116记B，则有 AP = PB, 得 P 1 AP B ，故 A 与 B 相似.11因为B E62632 ,1 135, 则455135511可知， B 的特征值为13,22.故 A 的特征值也为 1 3, 2 2.因此 A 可相似对角化22. （本题满分 11 分） 设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 相互独立，其中 X 1 和 X 2 服从标准正态分布， X 3 的概率分 布为 P{ X 3 0} P{ X 3 1} 12 ，Y X 3 X 1 (1 X 3 ) X 2 . Ⅰ）求二维随机变量 （X 1 ,Y ）的分布函数，结果用标准正态分布函数 x 表示；Ⅱ ）证明随机变量 Y 服从标准正态分布 . 22）【解析】 Ⅰ）由F ( x , y) P{ X 1 x, Y y} P{ X 1 x,[ X 3 X 1 (1 X 3 ) X 2 ] y}x,[ X 3 X 1 (1 X 3 ) X 2 ] y, X 3 0} P{ X 1 x,[ X 3 X 1 x, X 2 y, X 3 0} P{ X 1 x, X 1 y, X 3 1}12P{ X 1P{ X 1又X2 , X3 相互独立，故F(x,y)x, X 112 ( x )(y)(1 X 3 ) X 2 ]P{ X 1 x , y, X 3 1}X 1 y} .当x时， F(x,y) 12(x) (y)12 (y)12 y ) ( x) 1当x时， F(x,y) 12(x) (y) 12(x) 12x ) ( y) 1 .综上，1( y )2F ( x , y)12( x )Ⅱ）由（ Ⅰ）有，F Y ( y ) lim F x ( x , y)lim 1( x ) x2故 Y 服从标准正态分布．y,y.1( y )1( y ) 1( y )( y),23 ）（本题满分 11 分）1 e,t 0, 设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为： F （t ）0, 其他 .其中 , m 为参数且大于零 .（Ⅰ）求概率 P{T t}与 P{T s t | T s}，其中 s 0, t 0 ；（ Ⅱ）任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 t 1,t 2 ,t n ，若 m 已知，求 的最大似然估计值 .（Ⅰ）P{T t } 1 P{T t } 1 F (t ) 1 1 [1 e ] e( t )m其他.meⅡ ）由题意得，T 的概率密度为 f （t ） F （t ）0,t 0, 其他.n似然函数 L ( )f (t i ; )i 1nm 1 t ii 1 mn(t i )me i 1, ti0,1 e ( )mP{T s t | T s}P{T s t , T s} P{T s}P{T s t } P{T s}1 F (t s) 1 F ( s )( t s )m1 [1 e ]mm ms ( t s)ms )m0,50x ln 1 t 3 dt 是 x 的2 阶无穷小；i )当 t 0 时， L ( ) m ne i1 mnln L ( ) n ln m lni mnmn ln(t i )m，i 1d ln L ( ) 令d 1 nmn m t i m 1 t i )2 mnnt i mi 1m 10 ，解之得 的最大似然估计值为 mn iti m .。
2020考研数学一真题及解析【完整版】
2020考研数学一真题及解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.x 0 时，下列无穷小阶数最高的是A. 0xe t 21d tB. 0xln 1+t 3d t C.sin 20sin d xt tD.1cos 30sin d x t t1.答案：D解析：A.232001~3xx t x e dt t dtB.35322002ln 1~5x x t dt t dt x C.sin 223001sin ~3xxt dt t dt x D.2311cos 3220sin ~xx tdt t dt25122025x t 5252152x2.设函数()f x 在区间（-1，1）内有定义，且0lim ()0,x f x 则（）A.当0()lim 0,()0||x f x f x x x在处可导.B.当2()lim0,()0x f x f x x x在处可导.C.当()()0lim0.||x f x f x x x 在处可导时,D.当2()()0lim 0.x f x f x x x在处可导时,2.答案：B解析:0200()()()()lim 0lim 0lim 0,lim 0||x x x x f x f x f x f x x x x x00()lim 0,lim ()0x x f x f x x00()(0)()lim lim 0(0)0x x f x f f x f x x()f x 在0x 处可导 选B3.设函数(,)f x y 在点（0，0）处可微，(0,0)(0,0)0,,,1f ff x yn 且非零向量d 与n 垂直，则（）A.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在n B.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在n C.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在d D.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x yd 3.答案：A 解析：(,)(0,0)f x y 在处可微.(0,0)0f =22(,)(0,0)(0,0)(0,0)lim 0x y x y f x y f f x f yx y即2200(,)(0,0)(0,0)lim 0x yx y f x y f x f y x y,,(,)(0,0)(0,0)(,)x y n x y f x y f x f y f x y22(,)(0,0),,(,)lim 0x y n x y f x y x y存在选A.4.设R 为幂级数1nn n a r的收敛半径，r 是实数，则（）A.1nn n a r发散时，||r R B.1nnn a r发散时，||r RC.||r R 时，1n nn a r发散D.||r R 时，1nnn a r发散4.答案：A 解析：∵R 为幂级数1nn n a x的收敛半径.∴1n nn a x在(,)R R 内必收敛.∴1nnn a r发散时，||r R .∴选A.5.若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（）A.存在矩阵P ，使得PA =BB.存在矩阵P ，使得BP =AC.存在矩阵P ，使得PB =AD.方程组Ax =0与Bx =0同解5.答案：B 解析：A 经初等列变换化成B.存在可逆矩阵1P使得1AP B 1111A BP P P 令..A BPB 选6.已知直线22211112:x a y b c L a b c 与直线33322222:x a y b c L a b c相交于一点，相交于一点，法法向量,1,2,3.i i i i a a b i c则A.1a 可由23,a a 线性表示B.2a 可由13,a a 线性表示C.3a 可由12,a a 线性表示D.123,,a a a 线性无关6.答案：C 解析：令1L的方程222111=x a y b z c t a b c即有21212121=a a x y b t b t z c c由2L 的方程得32323223=a a x yb t b t zc c由直线1L 与2L 相交得存在t 使2132t t 即312(1)t t ，3 可由12, 线性表示，故应选C.7.设A,B,C 为三个随机事件，且1()()(),()04P A P B P C P AB 1()()12P AC P BC，则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为A.34B.23C.12D.5127.答案：D解析：()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC ()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC选择D8.设12,,,nX X X…为来自总体X 的简单随机样本，其中1(0)(1),()2P X P X x 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155i i P X的近似值为A.1(1) B.(1) C.1(2) D.(2)8.答案：B解析：由题意11,24EX DX1001001110050.10025i i i i E X X EX D X DX由中心极限定理1001~(50,25)i i X N∴1001001155555055(1)55i i i i X P X P故选择B二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。