九江市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

江西省九江市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{}
2
60A x x x =--≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则=a （
）
A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4
2．我国冰雪健儿自1992年实现冬奥奖牌数0的突破，到北京冬奥会结束，共获得77块奖牌.现将1992年以来我国冬奥会获得奖牌数量统计如下表：年份199219941998200220062010201420182022奖牌数
3
3
8
8
11
11
9
9
15
则1992年以来我国获得奖牌数的中位数为（
）A ．8B ．9C ．10
D ．11
3．函数4
()2x f x x
=-的零点所在的区间是（）A ．（0，1）
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．（3，4）
4．已知函数()f x 与()g x 的部分图象如图1（粗线为()f x 部分图象，细线为()g x 部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（
）
A ．()()y f g x =
B ．()()y f x g x =
C ．()()
y g f x =D ．()()
f x y
g x =
5．设向量,a b 满足()(),1,2,1a a b b ==- (),0a b >，且//a b →→
，则11a b
+的最小值为（
）
A B ．2C ．4D ．1
6．已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（
）
A ．-7
B ．7
C ．-8
D ．8
7．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，若60A =︒，3
2
a =
，则sin sin sin b c a
B C A
+-+-等于（
）
A ．1
2
B C D ．2
8．如图，已知ABC 为钝角三角形，AC AB BC <<，点P 是ABC 外接圆上的点，则当
PA PB PB PC PC PA
⋅+⋅+⋅ 取最小值时，点P 在（）
A ．BAC ∠所对弧上（不包括弧的端点）
B ．AB
C ∠所对弧上（不包括弧的端点）C ．ACB ∠所对弧上（不包括弧的端点）
D ．ABC 的顶点
二、多选题
9．下列条件判断三角形解的情况，正确的是（）
A ．8a =，16b =，30A =︒有两解
B ．18b =，20c =，60B =︒有一解
C ．15a =，2b =，90A =︒有一解
D ．40a =，30b =，120A =︒有一解
10．下列命题是真命题的有（
）
A ．1
lg 2lg 3lg53
4
-+=B ．命题“0,21x x ∀>>”的否定为“0,21x x ∃≤≤”C ．“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的充分不必要条件D ．若幂函数()()f x x R αα=∈经过点1,28⎛⎫
⎪⎝⎭
，则3
α=-11．下列命题为真命题的是（）
A ．函数()tan f x x =的图象关于点,0()2k k ππ⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭Z 对称
B ．函数()sin ||f x x =是周期函数
C ．设θ为钝角，则sin
cos
2
2
θ
θ
>D ．函数2()cos sin f x x x =+的最小值为1
-
12．已知函数()f x 的定义域为[0,)+∞，当[0,2]x ∈时，242,[0,1]
()42,(1,2]x x x f x x x ⎧-∈=⎨-∈⎩，当2x >，
()(2)f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（
）
A ．当2m =时，(5.5)2
f =B ．当1m >时，函数()f x 的值域为[0,)+∞C ．当1
2
m =
时，()y x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点D ．当01,N m n +<<∈时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[0,2]n 内的交点个数是21
n -三、填空题
13
．已知向量a =r ，(3,)b m =r ，且b 在a
上的投影为3，则m =______．
14．函数()sin sin 3f x x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭图象的对称轴方程为_______________．
15．已知函数()f x 满足()()0f x f x +-=，对任意的12,(0,)x x ∈+∞都有221112
()()
0x f x x f x x x -<-恒成立，且(1)0f =，则关于x 的不等式()0f x <的解集为
__________．
16．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是__________.
四、解答题
17．已知向量||2,||4a b →
→
==.
(1)若()12a b b -⋅=-
，求向量a 与b 的夹角；
(2)在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC 的中点，设,AB a AD b == ，求AE AF
⋅
的值.
18．（1）已知角α的终边经过点()3,4P -，求
sin cos 1
1tan ααα--+的值；
（2
）已知sin ,cos 510
αβ==
，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos(αβ+)的值.19．有A ，B 两个盒子，其中A 盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，B 盒中也装有四张卡片，分别写有函数：()2
1f x x =，()212x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
()3lg f x x =，()42f x x =．
(1)若从B 盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率；
(2)若从A ，B 两盒中各取一张卡片，B 盒中的卡片上的函数恰好具备A 盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“巧合”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“巧合”的概率．
20．已知函数()321([0,2])x
f x x -=-∈，函数()(2)3
g x f x =-+．
（1）求函数()y f x =与()y g x =的解析式，并求出()f x ，()g x 的定义域；
（2）设()22
()[()]h x g x g x =+，试求函数()y h x =的定义域，及最值．
21．由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意，已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB ∠= ，且在该区域
内点R 处有一个路灯，经测量点R 到区域边界PA 、
PB 的距离分别为4m RS =，6m RT =，（m 为长度单位）．陈某准备过点R 修建一条长椅MN （点M 、N 分别落在PA 、PB 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计）
，以供购买冷饮的人休息．
(1)求点P 到点R 的距离；
(2)为优化经营面积，当PM 等于多少时，该三角形PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值．
22．已知函数3()f x x =-.
（1）若R θ∈，()
()2
cos 2sin 220f m f m θθ++-->恒成立，求m 的取值范围；
（2
）若()g x f =，是否存在实数x
，使得
()()
2
g x Q
g x π
+
，
()
2()
g x Q g x π+
都成立？请说明理由.
参考答案：
1．B
【分析】先求出集合,A B ，再根据交集的结果求出a 即可.
【详解】由已知可得{}23A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫
=≤-⎨⎬
⎩
⎭又∵{}21A B x x ⋂=-≤≤，∴12
a
-=，∴2a =-．故选：B ．2．B
【分析】把数表中的奖牌数从小到大排列即可求出中位数.
【详解】将自1992年以来我国冬奥会获得奖牌数从小到大排列为：3，3，8，8，9，9，11，11，15，
所以1992年以来我国获得奖牌数的中位数为9.故选：B 3．B
【分析】先求得函数的单调性，利用函数零点存在性定理，即可得解.【详解】解：因为函数4
,2x y y x
==-均为()0,∞+上的单调递减函数，所以函数4
()2x f x x
=
-在()0,∞+上单调递减，因为(1)20f =>，(2)20f =-<，所以函数4
()2x f x x
=-的零点所在的区间是()1,2.故选：B 4．B
【分析】结合函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确选项.【详解】由图1可知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，
A 选项，()()()()()()f g x f g x f g x -=-=，所以()()y f g x =是偶函数，不符合图2.A 错.C 选项，()()()()g f x g f x -=，所以()()y g f x =是偶函数，不符合图2.C 错.D 选项，()00g =，所以()()
f x y
g x =
的定义域不包括0，不符合图2.D 错.
B 选项，()()()()f x g x f x g x --=-，所以()()y f x g x =是奇函数，符合图2，所以B 符合.故选：B 5．B
【分析】根据向量共线的坐标表示得到2a b +=，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为()(),1,2,1a a b b ==- 且//a b →→
，所以()112a b ⨯=⨯-，即2a b +=，因为0a >、
0b >，所以
(
)1111111
222222
b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当b a
a b =，即1a b ==时取等号；故选：B 6．B
【分析】根据3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，求得sin ,tan αα，再利用两角差的正切公式求解.
【详解】因为3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
所以4
sin ,t 54an 3
αα=
=-，所以41
tan tan
34tan 7441tan tan 143
π
απαπα---⎛⎫-=
== ⎪⎝
⎭+⋅-，故选：B 7．C
【分析】由正弦定理得出对边长度和对角正弦值的比值，然后换元作比即可得出答案.
【详解】由正弦定理，
32sin sin sin b c a
B C A ===，
所以,,b B c C a A ===，
则
)sin sin sin +sin sin sin sin sin sin B C A b c a
B C A B C A
+--==+-+-故选：C.8．C
【分析】先利用平面向量线性运算与数量积将已知向量关系转化为
222
2222
a b c PA PB PC ++++-
，再利用三角形重心在平面向量中的应用进一步转化为2
3PG λ
+ ，得到所求量只与PG 有关，最后由AC AB BC <<确定点P 的位置．【详解】因为()
2
2222AB PB PA
PA PB PA PB =-=+-⋅
，
所以()()
22222
2
1122
PA PB PA PB AB PA PB c ⋅=+-=+- ，同理
()()
2222
22
11,22PB PC PB PC a PC PA PC PA b ⋅=+-⋅=+- 故2222222
a b c PA PB PB PC PC PA PA PB PC ++⋅+⋅+⋅=++- ，
设ABC 的重心为G ，可证2222222
3PA PB PC PG GA GB GC
++=+++ 所以22222222
2
33a b c PA PB PB PC PC PA PG GA GB GC PG λ++⋅+⋅+⋅=+++-+= （λ为定
值），
故只需要P 到重心G 最小，所以点P 在圆心O 与重心G 的连线上，因为AC AB BC <<，易得点P 在C ∠
所对弧上．
故选：C
【点睛】本题考查向量的线性运算和数量积，还考查了三角形重心性质在向量中的应用，属于较难题．9．CD
【分析】结合正弦定理求得正确答案.
【详解】A 选项，由正弦定理得sin sin a b A B
=，816
,sin 1,0150,901sin 2
B B B B ==<<︒=︒
，有唯一解，A 选项错误.
B 选项，由正弦定理得sin sin c b
C B
=
，20sin sin 2
C B
C ==，而c b >，C B >，所以有两解，B 选项错误.
C 选项，15a =，2b =，90A =︒，ABC 是直角三角形，有一解，C 选项正确.
D 选项，由于120A =︒为钝角，a b >，所以有一解，D 选项正确.故选：CD 10．AC
【分析】A 选项利用对数的四则运算即可求出；B 项根据全称命题的否定直接判断；C 项根据充分不必要条件的概念进行判断；根据幂函数求参数.
【详解】对A ：3
3111lg 2lg 3lg 5lg 2lg lg 5lg 25lg10003444⎛⎫-+=-+=÷⨯== ⎪⎝⎭
，故A 正确；
对B ：命题“0,21x x ∀>>”的否定为“0,21x x ∃>≤”，故B 错误；
对C ：αβ=⇒sin sin αβ=，但是sin sin αβ=⇒αβ=，例如：
51
sin sin
6
62
π
π==，但566ππ≠，
所以“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的充分不必要条件，故C 正确；
对D ：因为幂函数()()f x x R α
α=∈经过点1,28⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以128α
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，即322α-=，所以
1
33
α=-≠-，故D 错误.
故选：AC.11．ACD
【分析】根据正切函数的性质及图像可判断A ；由函数()sin ||f x x =的解析式及奇偶性判断B ；由
2
πθπ<<，则422θππ<<，进而判断C ；由215
(sin )24y x =--+，[]sin 1,1x ∈-，结合二
次函数的性质可判断D ；
【详解】对于A ，根据正切函数的性质可知函数()tan f x x =的图象关于点,0()
2k k Z ππ⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭对称，故A 正确；
对于B ，函数sin ,0
()sin sin ,0x x f x x x x ≥⎧==⎨
-<⎩
，且sin ||sin ||x x -=，其图象关于y 轴对称，所以函数不是周期函数，故B 错误；对于C ，θ为钝角，即
2
π
θπ<<，则422θππ<<，可知sin cos 22θθ>，故C 正确；
对于D ，函数222
15cos sin sin sin 1(sin )2
4
y x x x x x =+=-++=--+，[]sin 1,1x ∈-，则当sin 1x =-时，
函数有最小值1-，故D 正确；故选：ACD.
12．BCD
【分析】当2m =时，则()2(2)f x f x =-可转化为(2)2()f x f x +=，从而可求出
()(5.5)4 1.5f f =，求出结果后即可判断A 选项；根据题意，依次求出[0,2]x ∈，(]2,4x ∈，(]4,6x ∈的值域，从而得出函数()f x 的值域，即可判断B 选项；当1
2m =时，当2x >，
1
()(2)2
f x f x =
-，从而得出(]2,4x ∈和(]4,6x ∈时的函数解析式，画出()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，即可判断C 选项；结合函数的图象，确定交点个数，即可判断D 选项.【详解】解：A 选项：已知当2x >，()(2)f x mf x =-（m 为非零常数）当2m =时，则()2(2)f x f x =-可转化为(2)2()
f x f x +=则()()()()()(5.5) 3.522 3.52 1.524 1.5442 1.54f f f f f =+==+==⨯-⨯=，故A 错误；B 选项：当1m >时，()(2)f x mf x =-故当[0,2]x ∈时，()f x 的值域为[]0,2；当(]2,4x ∈时，()f x 的值域为[]0,2m ；
当(]4,6x ∈时，()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦.
随着x 的依次取值，值域将变为[)0,+∞，故B 正确；C 选项：当12m =
时，当2x >，1
()(2)2
f x f x =-，则2
68,[2,3]()4,(3,4]x x x f x x x ⎧-+-∈=⎨-∈⎩，2
1512,[4,5]2
()13,(5,6]2
x x x f x x x ⎧-+-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩，
则()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象如图所示：
由图可知，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点，故C 正确；D 选项：当[)0,2x ∈时，[]()0,2f x ∈；当[)2,4x ∈时，[]()0,2f x m ∈；
当[)4,6x ∈时，2()0,2f x m ⎡⎤∈⋅⋅⋅⎣⎦当[)24,22x n n ∈--时，2
()0,2n f x m -⎡⎤∈⎣⎦；当[]22,2x n n ∈-时，1()0,2n f x m -⎡⎤∈⎣⎦；当(]2,22x n n ∈+时，()0,2n f x m ⎡⎤∈⎣⎦；
若01m <<，则123222222n n n n m m m m m ---<<<<⋅⋅⋅<<，
结合函数图象可知，直线12n y m -=与()y f x =的图象在区间[)0,2，[)2,4⋅⋅⋅[)24,22n n --均有两个交点，在[]22,2n n -上有一个交点，在区间()2,n +∞上无交点，所以()y f x =的图象与直线12n y m -=在[0,2]n 内的交点个数是21n -，故D 正确.故选：BCD.13
【解析】利用数量积的定义得到投影cos a b b a
θ⋅=
，再利用数量积和模长的坐标运算代入计
算即可.
【详解】设a 与b 的夹角是θ，利用投影定义，b 在a
上的投影为cos b θ ，
因为cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，
3,1a b a ⋅=+=
，所以3cos 3
2a b a
b θ⋅+==
=
，解得m =
14．3
x k k Z
π
π=-∈，【分析】由题得(
)6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，再根据整体代换法求解即可.
【详解】解：(
)3sin sin sin sin cos cos sin sin 33
3
2
f x x x x x x x x
πππ⎛
⎫=+-=+-= ⎪⎝
⎭
1cos 226x x x π⎫⎛
⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎭
，
所以，令,6
2
x k k Z π
π
π-
=-
+∈，即,3
x k k Z
π
π=-
+∈所以函数()f x 图象的对称轴方程为,3
x k k Z π
π=-+∈.
故答案为：,3
x k k Z
π
π=-
+∈15．(1,0)(1,)
-È+¥【分析】构造新函数()()g x xf x =，求得函数()g x 为R 上的偶函数，得出()()110g g -==，在由任意的12,(0,)x x ∈+∞都有
221112
()()
0x f x x f x x x -<-恒成立，得到函数()g x 在(0,)+∞为单调
递增函数，结合函数()g x 的取值，即可求解.【详解】由题意，设函数()()g x xf x =，
因为函数()f x 满足()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，
则()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，所以函数()g x 为R 上的偶函数，又由(1)0f =，则()()()11110g g f -==⨯=，因为对任意的12,(0,)x x ∈+∞都有
221112
()()
0x f x x f x x x -<-恒成立，
则函数()g x 在(0,)+∞为单调递增函数，
所以当(1,0)x ∈-时，()()0g x xf x =<，此时()0f x >，当(1,)x ∈+∞时，()()0g x xf x =>，此时()0f x >，所以()0f x >的解集为(1,0)(1,)-È+¥.故答案为：(1,0)(1,)-È+¥.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的综合应用，其中解答中根据题设条
件，构造新函数()()g x xf x =，结合函数()g x 的奇偶性和单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
16
．4,53⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
【分析】利用余弦定理将cos C 表示为关于,a b 的函数表达式，利用锐角ABC 中，222a b c +>，
且2
2
2
a c
b +>，2
2
2
b c a +>，结合已知等式把不等式中的c 换掉，得到2
223
32
b a <<，再利用对
勾函数单调性，求得cos C 的取值范围.【详解】
()()2222222
425cos (22255a b a b a b c a b C ab
ab
ab b a
+++-==
=+，又锐角ABC 中，222a b c +>，且222a c b +>，222b c a +>，将2225a b c +=代入上面三个不等式，得到2232b a >且2232a b >，
∴2223
32b a <<，令b t a =
t <<所以215cos ()C t t =+
在(3
上单减，在(1,2上单增，
又当1t =时，cos C 的值为4
5
，
当3
t =
或t =cos C
，cos B ∴
∈4[5
故答案为：4[517．(1)3
π(2)10
【分析】（1）设向量a 与b
的夹角为θ，根据平面向量数量积的运算律及数量积的定义得到
cos θ，即可得解；
（2）首先用a 、b
表示出AB 与AD ，再根据数量积的运算律计算可得；
(1)
解：设向量a 与b
的夹角为θ，则[0,]θπ∈.
(
)
22cos 24cos 1612
a b b a b b a b b θθ-⋅=⋅-=-=⨯-=-r r r r r
r r r r
解得1cos 2
θ=
又因为[0,]θπ∈，所以3
πθ=.(2)
解：依题意a b ⊥
，所以0a b ⋅= ，
又1122
AE AD DE AD AB a b =+=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r ，
1122AF AB BF AB AD a b =+=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r ，所以221111522224AE AF a b a b a b a b
⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭uuu r uuu r r r r r r r r r 2211511
4161022422a b a b =++⋅=⨯+⨯=r r r r 18．（1）65-；（2
）2
-
【分析】(1)根据三角函数的定义可得sin cos αα、
tan α、，代入直接计算即可；(2)根据同角三角函数的基本关系求出cos sin αβ、
，利用两角和的余弦公式计算即可.【详解】(1)因为角α的终边经过点(3,4)P -，||5OP γ=
=，所以43sin cos 55
αα==-，4tan 3α=-，所以
43
()1
sin cos 165541tan 51()
3
ααα-----==-++-；（2）因(0,)2βπα∈、
，且sin cos 510
αβ==
，
则cos sin 510
αβ==
，cos()cos cos sin sin 5105102
αβαβαβ+=-=
⋅-⋅=-
.19．(1)1
2(2)
5
16
【分析】（1）运用列举法列出从B 盒中任取两张卡片，所有的取法，再由函数()1f x ，()2f x ，
()4f x 的定义域均为R ，函数()3f x 的定义域为()0,∞+，列举出取函数的定义域不同的取法，
根据古典概率公式可求得所求的概率．
（2）列举出从A ，B 两盒中各取一张卡片所有的取法．再由()1f x 是偶函数，()4f x 是奇函
数，()2f x 是减函数，()3f x ，()4f x 是增函数，得出恰为“巧合”的取法，根据古典概率公式可求得所求的概率.（1）
解：B 盒中的4个函数()2
1f x x =，()212x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()3lg f x x =，()42f x x =分别记为1，2，
3，4，
从B 盒中任取两张卡片，所有的取法为()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6种，又函数()1f x ，()2f x ，()4f x 的定义域均为R ，函数()3f x 的定义域为()0,∞+，所取函数的定义域不同的取法有()1,3，()2,3，()3,4，共3种，所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为3162
=．（2）
解：把A 盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减，
则从A ，B 两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4），（偶，1），（偶，2）
，（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3），（增，4），（减，1），（减，2），（减，3）
，（减，4），共16种取法．又()1f x 是偶函数，()4f x 是奇函数，()2f x 是减函数，()3f x ，()4f x 是增函数，恰为“巧合”的有（偶，1），（奇，4），（减，2），（增，3），（增，4），共5种，所以“巧合”的概率为5
16
P =
．20．
（1）f （x ）＝log 3（x +2）﹣1，定义域[﹣1，7]；g （x ）＝log 3x +2，定义域[1，9]；（2）定义域[1，3]，最小值6，最大值13.
【分析】（1）令t ＝3x ﹣2，则x ＝log 3（t +2）﹣1，根据已知可求f （x ），进而可求g （x ）；
（2）结合（1）可求h （x ），然后结合函数的定义域的要求有2
1919
x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解出x 的范围，结合二次函数的性质可求．
【详解】（1）令t ＝3x ﹣2，则x ＝log 3（t +2）﹣1，∵x ∈[0，2]，∴t ∈[﹣1，8]，∵f （3x ﹣2）＝x ﹣1（x ∈[0，2]），∴f （t ）＝log 3（t +2）﹣1，t ∈[﹣1，7]，∴f （x ）＝log 3（x +2）﹣1，x ∈[﹣1，7]，即f （x ）的定义域[﹣1，7]，
∵g （x ）＝f （x ﹣2）+3＝log 3x +2，∴x ﹣2∈[﹣1，7]，∴x ∈[1，9]，即g （x ）的定义域[1，
9]．
（2）∵h （x ）＝[g （x ）]2+g （x 2）＝（log 3x +2）2+222
33()log x log x +=+6log 3x +6，
∵2
1919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩
，∴1≤x ≤3，即函数y ＝h （x ）的定义域[1，3]，∵0≤log 3x ≤1，结合二次函数的性质可知，当log 3x ＝0时，函数取得最小值6，当log 3x ＝1时，函数取得最大值13．
【点睛】本题考查了利用了换元法求函数的解析式及函数的定义域的求解，二次函数值域的求解，属于中档试题．
21．(1)
m 3
(2)当
PM =时，三角形PMN 区域面积取最小值2
【分析】（1）连接ST 、PR ，计算出60SRT ∠= ，利用余弦定理可求得ST 的长；计算出
cos STR ∠，可得出sin PTS ∠，利用正弦定理可求得SP 的长，再利用勾股定理可求得PR 的
长；
（2）利用三角形的面积公式可得出
234
PM PN PM PN ⋅=+，利用基本不等式可求得PM PN ⋅的最小值，即可求得PMN 面积的最小值.
【详解】（1）解：连接ST 、PR ，在RST 中，因为RS PA ⊥，RT PB ⊥，则60SRT ∠= ，
由余弦定理可得：22246246cos 6028ST =+-⨯⨯⨯= ，所以，)m ST =.
在RST 中，由余弦定理可得，222cos 2ST RT SR STR ST RT +-∠==
⋅
在PST 中，()sin sin 90cos 7
PTS STR STR ∠=-∠=∠= ，
由正弦定理可得
sin sin120SP ST PTS =∠ ，解得sin sin1203
ST PTS SP ∠== ．
在直角SPR △中，2
2222112433PR RS SP ⎛=+=+= ⎝⎭
，所以，)m 3PR =.
（2
）解：因为1sin1202PMN S PM PN PM PN =⋅⋅⋅ △，11
462322
PMN PRM PRN
S S S PM PN PM PN =+=⨯+⨯=+△△△．
23PN PM PN ⋅=+≥128PM PN ⋅≥，
当且仅当PM =
)2m 4
PMN S PN =⋅≥△．22．
（1
）1m >；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据()f x 的奇偶性和单调性，将函数值的比较变为自变量的比较，得到2cos 2sin 22m m θθ+<+恒成立，利用参变分离，得到m 的取值范围；
（2）假设x 存在，整
理
()
()
2
g x g x π
+
(2()
g x g x π
+
tan x p =
，
1
tan q x
=，(),p q Q ∈
得到(
1p q -=，按照0p q +=和0p q +≠进行分类讨论，从而证明不存在所需的x .【详解】（1）3()f x x =-，为R 上的奇函数，单调递减，
所以()
()2
cos 2sin 220f m f m θθ++-->恒成立，
可得()()()
2
cos 2sin 2222f m f m f m θθ+>---=+所以2cos 2sin 22m m θθ+<+恒成立
即()2
21sin cos 2m θθ->-恒成立，
当sin 1θ=时，该不等式恒成立，当sin 1θ≠时，()
21sin 21sin m θ
θ-->-，
设
(]1sin 0,2t θ=-∈，则()()()2
2111sin 21sin 2t h t θθθ-----==
-11222t t ≤⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
当且仅当2
t t
=
，即t =时，等号成立，
所以1m >（2
）()()sin sin g x f x x
π==-+=
所以()
sin tan ()
sin 2
2g x x
x g x x ππ+⎛⎫++ ⎪
⎝
⎭
sin ()
122()sin tan x g x g x x x
ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=++假设存在实数x
，使得tan x Q
和1
tan Q x
+都成立，
设tan x p =
，
1
tan q x
+=，(),p q Q ∈
则(
1p q -=
，
)2pq p q +=-，
若0p q +=，则2pq =-
，解得p =
q =
p =
，q 若0p q +≠
2pq p q +=
+
Q ，而
2
pq Q p q
+∈+，所以不成立，综上所述，故不存在实数x
，使得
()()
2
g x Q
g x π
+
，
()
2()
g x Q g x π
+
+都成立.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，诱导公式，同角三角函数关系，研究是否为有理数的问题，涉及分类讨论的思想，属于难题.。