高中数学 第三章 推理与证明 3.3 综合法与分析法自我

高中数学第三章推理与证明 3.3 综合法与分析法自我小测北师
大版选修1-2
1．锐角三角形的内角A、B满足
1
=tan A tan B
sin2A
-，则有( )．
A．sin 2A－cos B＝0 B．sin 2A＋cos B＝0 C．sin 2A－sin B＝0 D．sin 2A＋sin B＝0
2．若
ln2
=
2
a，
ln3
3
b=，
ln5
=
5
c，则( )．
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
3．若x，y∈R，且2x2＋y2＝6，则x2＋y2＋2x的最大值是( )．
A．4 B．5 C．6 D．7
4．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)
为偶函数，则f(－1)，f(4)，
1
5
2
f
⎛⎫
⎪
⎝⎭
的大小关系是__________．
5．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________.
6．已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0.
7．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
22
1125
+
2
a b
a b
⎛⎫⎛⎫
++≥
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.
8．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：111111 222
a b c b c c a a b
++≥
+++
.
已知对所有实数x，不等式
2
2
2222
2121
log+2log+log<0
14
a a a
x x
a a a
(-)(-)
-
恒成立，求
a的取值范围．
参考答案
千里之行始于足下 1．A 由已知得
sin 1sin =
cos 2sin cos A B
A A cosA B
-⋅， ∴22sin 1=tan 2sin cos A B A A -，∴cos 2=tan sin 2A
B A
-，
即－cot 2A ＝tan B ，∴tan 2=tan 2A B π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
， ∴2=2
A B π
π+
-，∴2=
2
A B π
-，∴2=2
A B π
-
.
∵cos 2=sin 22A A π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，∴sin 2A ＝cos B ， ∴sin 2A －cos B ＝0. 2．C ln 2ln 33ln 22ln 31
=
==(ln 8ln 9)<02366
a b ----，所以a ＜b . 同理，可得c ＜a ，因而c ＜a ＜b .
3．D 由2222
=62,[=2y x x t x y x
⎧-∈-⎪⎨++⎪⎩ 得t ＝x 2
＋6－2x 2
＋2x ＝－x 2＋2x ＋6 ＝－(x －1)2
＋7.
∵1[∈，
∴当x ＝1时，t 有最大值7.
4．1(4)>(1)>52f f f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
由函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，可知x ＝2为函数对称轴，且y ＝f (x )在(2，＋∞)为减函数．
5．1
2
-
观察已知条件中有三个角α，β，γ，而所求结论中只有两个角α，β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin 2
γ＋cos 2
γ＝1消去γ.
由已知，得sin γ＝－(sin α＋sin β)， cos γ＝－(cos α＋cos β)，
∴(sin α＋sin β)2
＋(cos α＋cos β)2
＝sin 2
γ＋cos 2
γ＝1， 整理得出cos(α－β)的值即可．
6．证明：要证ab ＋bc ＋ca ≤0， ∵a ＋b ＋c ＝0，
故只要证ab ＋bc ＋ca ≤(a ＋b ＋c )2
， 即证a 2
＋b 2
＋c 2
＋ab ＋bc ＋ca ≥0， 亦即证
12
[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2
]≥0， 而这是显然的，∴原不等式成立．
7
．证明：∵2a b +≤2
2222a b a b ++⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭.
∴22
2
2
111112111252=.2222
a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛
⎫+ +++++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝
⎭+++≥≥≥ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭
∴22
11252a b a b ⎛
⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
8．证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，
∴
1111222a b a b
⎛⎫+≥≥ ⎪
+⎝⎭，
1111
222b c b c ⎛⎫+≥≥ ⎪
+⎝⎭，
1111
222c a c a
⎛⎫+≥≥ ⎪
+⎝⎭. 三个不等式相加即得
111111
222a b c b c c a a b
++≥++
+++. 百尺竿头更进一步
解：令2
22222
2121=[log ]2log 14a a a y x log x a a a (-)(-)⎛⎫++ ⎪-⎝
⎭，要使各对数都有意义，必须满足条件
2
2
21>02>0>0111>04a a a
a a a a a
(-)
⎧⎪⎪
⎪⇒⎨--⎪
⎪(-)⎪⎩，①
抛物线开口向下，函数二次项系数应为负值，故必有221log <0a a
(-)
，② 抛物线与x 轴无交点，则判别式
2
222222211=2log 4log log <014a a a a a a ⎡⎤(-)(-)⎛⎫⎡
⎤- ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦
V .③ 由①知a ＞1或a ＜0； 由②有221
log +log 2<0a a
-， 即22
211
log log <log 2
a a -， 解得0＜a ＜2.
联立①与②有1＜a ＜2；再解③，先观察对数表达式中真数式的结构， 令2
=log 1
a z a -，则可转化为关于z 的二次不等式(1＋z )2
－(1－z )·2(－1－z )＜0， 整理得－(z ＋1)(z －3)＜0. 解得z ＞3或z ＜－1，即有22log >log 81a a -或221log <log 12
a a -. ∴8
<
7
a 或a ＜－1. 联立①②③得出a 的取值范围为81<<7
a .。