构造特殊三角形解题

构造特殊三角形求解
1、如图，在等腰直角⊿ABC 中，∠A =900,P 是⊿ABC 内一点，P A =1,PB =3,PC
,则∠CP A 的大小是 。

2．已知：如图，P 为等边⊿ABC 内一点，且P A =3,PB =4,PC =5，则∠APB 的度数为 ． 3、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．∠ADC =30°，，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）．（A
） （B ）4 （C
） （D ）4.5
4、如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，如果∠DAC =56°，∠CAB =20°，那么∠BCD = ． 5
P
ABC ∆两顶点A 、B 的距离分别为2、3，则PC 所能达到的最大值为（ ）
A B :5C :6D
6、如图，在ABC ∆中，3,2AB AC ==,以BC 为边的PBC ∆是等边三角形，则AP 的最大值为 ，最小值为 。

7、在正ABC ∆中，P 是ABC ∆内的一点，已知0
130,117APC APB ∠=∠=，则以P A 、PB 、PC 为
边的三角形的每个内角的度数为 。

8、如图，P 是等边⊿ABC 中的一个点，P A =2,PB =PC =4,则⊿ABC 的边长是 。

9、如图：已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝900，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE ＝CF ;②△EPF 是等腰直角三角形;③AEPF S 四边形＝
ABC S ∆2
1
;④EF ＝AP ;当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），上述结论中始终正确的有（ ） A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
A
C A
10、如图所示，P 是矩形ABCD 内一点，3,4,5PA PD PC ===,则PB = 。

11、如图，P 为正方形ABCD 内一点，若123PA PB PC ::=::，则APB ∠的度数是（ ）
A 、120°
B 、135°
C 、145°
D 、150°
12.（2010•永州）探究问题：（1）阅读理解：
①如图（A ），在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时PA +PB +PC 的值为△ABC 的费马距离；
②如图（B ），若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB •CD +BC •DA =AC •BD ．此为托勒密定理；
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C ），已知点P 为等边△ABC 外接圆的BC 上任意一点．求证：PB +PC =PA ；
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC （其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D ），在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆；
第二步：在BC 上任取一点P ′，连接P ′A 、P ′B 、P ′C 、P ′D ．易知P ′A +P ′B +P ′C =P ′A +（P ′B +P ′C ）=P ′A + ；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D ）中找出△ABC 的费马点P ，并请指出线段 的长度即为△ABC 的费马距离． （3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．
已知三村庄A 、B 、C 构成了如图（E ）所示的△ABC （其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120°），现选取一点P 打水井，使从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
（2）①证明：由托勒密定理可知PB •AC+PC •AB=PA •BC ∵△ABC 是等边三角形∴AB=AC=BC ，∴PB+PC=PA ，
②P ′D 、AD ，（3）解：如图，以BC 为边长在△ABC 的外部作等边△BCD ，连接AD ，则知线段AD 的长即为△ABC 的费马距离．∵△BCD 为等边三角形，BC=4，∴∠CBD=60°，BD=BC=4，∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°，
在Rt △ABD 中，∵AB=3，BD=4，∴=5（km ），
∴从水井P （即图中的D 点）到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度的最小值为5km ．（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证． ②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解．
13.如图，在⊿ABC 中，∠ACB =900，BC =2,P 是⊿ABC 内一点，
使得P A +PB +PC 的值最小为ABC 的度数。

解：即P 点是费马点，根据费马点的结论，以BC 边向外作等边△BCD ，AD 长即为PA+PB+PC 的最
小值即，AD=,故∠B = 60° 14、如图，设P 是边长为1的正ABC ∆内的一点，m PA PB PC =++，
2m <。

15、如图，正方形ABCD 内一点E ，E 到A 、B 、C 的边长．
解：以A 为旋转中心，将△ABE 旋转60°得到△AMN ，连NE ，MB ，过M 作MP ⊥BC 交BC 的延长
线于P 点，如图，∴MN=BE ，AN=AE ，∠NAE =60°，∴△ANE 为等边三角形， ∴AE=NE ，∴AE +EB +EC =MN +NE +EC ，当AE +EB +EC 取最小值时，
折线MNEC 成为线段，则MC AB=AM ，∠BAM =60°， ∴△ABM 为等边三角形，∴∠MBC =150°，则∠PBM =30°，
在Rt △PMC 中，设BC=x ，PM=
2
x
，PB x =
所以2
2
2())2
x x x =++所以x =2，∴BC =2，即正方形的边长为2． 16．如图9所示，在等腰⊿ABC 中，AB=AC , ∠BAC =1000,延长AB 到D ，使AD=BC ,连接DC ,则∠BCD 的度数是 .
17、如图：在⊿ABC 中，∠C =900，∠CAD =300,AC=BC=AD ,则∠CBD = 。

18．如图12所示，在⊿ABC 中，AC=BC , ∠ACB =800,在⊿ABC 内取一点M ，使得∠MBA =300,∠MAB =100 那么∠AMC 的度数是
19、如图，在⊿ABC 中，∠ABC =46°，D 是BC 边上一点，DC=AB ，∠DAB =21°，求∠CAD 的度数。

20、如图，在⊿ABC 中，∠ACB =40°，D 是BC 边上一点，BD=AC ，∠DAC =30°，求∠ADB 的度数。

21.已知：如图，在等腰直角⊿ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，点D 是△ABC 内的一点，且AD=AC ，若∠DAC =30°，试探究BD 与CD 的数量关系并加以证明． 解：BD=CD ．
证明：作BE ⊥BC ，AE ⊥AC ，两线相交于点E ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，即AC=BC ，∴四边形AEBC 是正方形， ∵∠DAC=30°，∴∠DAE=60°，∵AD=AC ，∴AD=AE ， ∴△AED 是等边三角形，∴∠AED=60°，∴∠DEB=30°， 在△ADC 和△EDB 中，AD ＝ED ，∠DAC ＝∠DEB ＝30°，AC ＝BE ∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BD=CD ．
22、如图，在等腰⊿ABC 中，延长边AB 到D ，延长边CA 到E ，连接DE ，恰有AD=BC=CE=DE 。

求证：∠BAC =100°。

证明：过C 作AD 的平行线，与过D 所作的BC 的平行线交于点F ，连结EF ，可知BCFD 为平行四边形 ∴DB ＝CF BC ＝DF ∴∠EAD ＝∠ECF 在ΔADE 与ΔCEF 中 AD ＝CE AE ＝DB ＝CF ∠EAD ＝∠ECF ∴ED ＝EF 但ED ＝BC ＝DF ∴ΔDEF 为等边三角形 ∠DEF ＝60° 设∠BAC ＝α，则 ∠ADF ＝∠ABC ＝
12∠DAE ＝1
2
（180°－α ） ∠ADE ＝180°－2∠DAE ＝180°－2（180°－α）＝2α－180°
由∠ADF ＋∠ADE ＝∠EDF ＝60°可知 解之得α＝100° 即∠BAC ＝100°
23.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝70°，P 为形内一点，∠P AB ＝40°，∠PBA ＝20°，求证：P A ＋PB ＝PC ．
截长法证明：过P 作AB 的平行线PD ，再以B 为圆心，AP 为半径画弧，与PD 交于D ，连接BD,CD,过C 作C E ⊥PD 于E ，延长BP 与AC 交于F ，因为P D ∥AB 且AP=BD,则四边形ABDP 为等腰梯形， ∠BAP=∠ABD=40°,∠ABP=20°,∠DBP=∠BPD=20°,AP=BD=PD,又因为AC=BC, ∠CAP=∠CBP=30°.AP=BD,所以⊿AC P ≌⊿BCD,则CP=CD,∠ACP=∠BCP.又因为C E ⊥PD,所以PE=DE=
12
PD, ∠PCE=∠DCE,延长BP 与AC 交于F ，因为∠BAP=40°,∠ABP=20°,∠FAP=30°,所以∠AFP=90°,PF=
12AP,则∠CFP=∠CEP=90°,PE=PF=1
2
PD,CP=CP,所以⊿CF P ≌⊿CEP,∠FCP=∠ECP, ∠FCP=∠PCE=∠ECD=∠DCB=10°,在CP 上截取PG=AP ，则∠CAG=∠GCA=10°,所以CG=AG ,
则⊿AP G ≌⊿BPD,所以AG=BP,所以CP=CG+GP=BP+AP,结论得证。

补短法证明：因为∠ABC=∠BAC=70°，所以AC=BC,∠ACB=40°。

如图，在BP 延长线上取一点G ，使PG=PA ，连接AG,CG ，∠APB=120°,所以∠APG=60°，因此⊿APG 是等边三角形。

由∠PAC=30°=∠GAC,可得AC 为PG 的垂直平分线，所以GC=PC, ∠GCA=∠PCA,
将⊿CAG 逆时针旋转到⊿BCD 的位置。

因此∠GCD=∠GCA+∠ACD=∠ACD+∠BCD=40°, 作C E ⊥PD,交PD 于E ，由PC=DC,得C E ⊥PD,因此P D ∥AB,
由∠DBC=∠GAC=30°, ∠DBA=40°, ∠DBP=20°,所以PD=BD=PG , 此时⊿GC P ≌⊿DCP,所以∠DCP=∠GCP,所以∠GCA=1
2
∠GCP =
14∠GCD=14∠ACB=1
4
×40°=10°, 所以∠GCB=∠GCA+∠ACB=10°+40°=50°=∠GBC,GB=GC,但PC=GC, 所以PC=BG=GP+PB=PA+PB.
19、在△ABC 中,∠ABC =∠BAC =70°,P 为△ABC 内一点,使得:∠P AB =40°,∠PBA =20°.若AP +BP =10，求点P 到BC 的距离。

解：过P 作PD ⊥CB 于D 点，延长BP 到E ，使PE=PA,因为∠APE=60,所以⊿PAE 为等边三角形，以BA 为对称轴，作点E 的对称点F ，连接BF ，作BF 的中点G ，连接PG,PF,因为⊿PAE 为等边三角形，
P C
B A
所以∠E=∠PAE=60,AE=AP=PE,所以∠BAE=40+60=100,由对称性，有∠BAF=∠BAE=100,
AE=AF, ∠AFB=∠E=60, ∠PBA=∠FBA=20,BF=BE,所以⊿PAF 中，有PA=AF, ∠PAF=100+40=140,所以∠AFP=20,所以∠PFB=60—20=40。

因为∠PBA=∠FBA=20,所以∠PBF=∠PFB=40.所以PB=PF,又G 为BF 的中点，所以P G ⊥BG ,因为∠DBG=∠DBA+∠PBA=70+20=90,又∠PDB=90,所以DPGB 为矩形，所以PD=BG ,因为BE=BP+PE=BP+PA=10,所以BF=10,所以
BG=5,PD=5.
24、在△ABC 中，∠ABC =40°，∠ACB =40°，P 为三角形内一点，且∠PCA =20°，∠P AB =20°求∠PBC 的度数
解:取点P 关于BC 的对称点E ，连接BE,PE,CE,AE,则：∠BCE=∠BCP=∠ACB —∠PCA=40—20=20, ∠ECA=∠BCE+∠ACB=60, ∠ABC=∠ACB=40,则AB=AC, ∠BAC=100,又∠PAB=20,则∠CAP=80, ∠CPA=180—∠PCA —∠CAP=80,即∠CPA=∠CAP,得CA=CP=CE,所以⊿AEC 为等边三角形，AB=AC=AE, ∠EAC=60.则∠BEC=∠BAC —∠EAC=40,又∠PAB=20,故∠BAP=∠EAP,又AP=AP 所以⊿BA P ≌⊿EAP,得PE=PB=BE,即⊿PBE 也是等边三角形，故∠PBE=60, ∠PBC=∠EBC=30.
25（2011数学周报杯）、如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2AC 。

点P 在△ABC 内，且P A
，PB ＝5，PC ＝2，求△ABC 的面积。

解：如图，作△ABQ ，使得：∠QAB ＝∠PAC ，∠ABQ ＝∠ACP ， 则△ABQ ∽△ ACP ，由于AB ＝2AC ，∴相似比为2 于是，AQ ＝2 AP ＝23，BQ ＝2CP ＝4
∠QAP ＝∠QAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60° 由AQ ：AP ＝2：1知，∠APQ ＝900 于是，PQ ＝3AP ＝3
∴BP 2＝25＝BQ 2＋PQ 2 从而∠BQP ＝900 作AM ⊥BQ 于M ，由∠BQA ＝1200，知 ∠AQM ＝600，QM ＝3，AM ＝3，于是， ∴AB 2＝BM 2＋AM 2 ＝(4＋3) 2＋32＝28＋83
故S △ABC ＝
2
1
AB •ACsin600＝83AB 2＝2376
26．如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．
A
C
P
B
Q
M
⑴求证：△AMB≌△ENB；
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说
明理由；
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为1
3 时，求正方形的边长．
（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．根据“两点之间线段最短”，得
EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
（I）探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．
如图，⊿ABC
的等边三角形，⊿BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的⊿MDN，点M、N分别在AB、AC上，求⊿AMN的周长。

A D
B C。