立体几何教案直线在平面上的射影,直线和平面所成的角

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
A
B
C
E
D
从平面外一点向这个
平面所引的垂线段和斜线 段AB、AC、AD、AE… 中，那一条最短？
垂线段比任何一条斜线段都短。
A
OB=OC AB=AC
cos cos1 cos2
最小角原理
平面的斜线和平面所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一条 直线所成的角中最小的角。
练习
P 44 1
练习
1.两条平行直线和一个平面所成的角 相等吗？
2.如果两条直线与一个平面所成的角 相等，它们平行吗？
例1.如图,已知AB为平面的一条斜线, B为垂足,
AO ,O为垂足, BC为内的一条直线,ABC
OB＞OC AB ＞AC
O
C
AB = AC OB=OC
B
AB＞AC OB＞OC
从平面外一点作平面的斜线,则
射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长
相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长
A
定理 从平面外
O
B
一点向这个平面所引
C
的垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长
（2）两条相交直线在同一平面内的射影
一定是相交直线
×（ ）
（3）两条异面直线在同一平面内的射影
要么是平行直线，要么是相交直线 （× ）
（4）若斜线段长相等，则它们在平面内
的射影长也相等
×（ ）
平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成 的锐角，叫做这条直线 和这个平面所成的角。
说 1.平面的斜线和平面所成角的范围是( 0，90 )。
但射影不一定相等。
但射影不一定相等。
米，N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成
角的余弦值。
N ∠MOM'就是MN与β所成的角
N
M
移出图
6
O M' β
M
N'
M
1
O M'
β
O M'
N' 移出图
M 1O M' 6
4
N'
N'
4
N
N
作业
课本 P46 第1、2题
A B
N
MO
从平面内一点发出的
从平面外不同点发出
斜线段，长度虽然相等， 的斜线段，长度虽然相等，
9.7.1
平面的斜线和平面 所成的角
p O
自一点向平面引
垂线，垂足叫做这点在 这个平面上的射影；
这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平 面的垂线段。
A
B
C
一条直线和一个平面 相交，但不和这个平面垂 直，这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的 交点叫做斜足。
的面在定线的平在斜段斜面斜斜线叫线上线线段做上的的上。这一射射任点点影 影意到与， 上一这斜一 。点个足平间
明 2.一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
3.一条直线和平面平行或在平面内，它们所 成的角是0 的角。
直线和平面所成角的范围是[0，90]。
结论
O
AO是平面的斜线, A是
斜足,OB垂直于 , B为
A 1
垂足,则直线AB是斜线
2
B
CD
OA在平面的射影.
AC是内的任一条直线,且BC AC于C .设AO 与AB所成的角为1, AB与AC所成的角为2 , AO 与AC所成的角为 ,则
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
练习
点P是△ABC所在平面外一点，且
P点到△ABC三个顶点距离相等，则P
点在△ABC所在平面上的射影是△ABC
的
心。
A
外
P
C
O
B
练习 判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影
一定是平行直线
×（ ）
60,OBC 45,求斜线AB和平面所成的角.
解 : 依题意,知
ABO为AB和所成的角.
A
由cos ABC cos ABO cos OBC
coBiblioteka Baidu ABO cos ABC
B
O
cos OBC
cos 60 2
C
cos 45 2
ABO 45,即AB与所成的角为45.
例2.线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘