康定市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

康定市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）
A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅
2．下列判断正确的是（）
A．①不是棱柱B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱台
3．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（）
A．12+ B．12+23πC．12+24πD．12+π
4．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n=n2+2n（n∈N*），则++…+=（）
A．B．C．D．
5．设M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（）
A．B．
C．D．
6．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若=+x+y，则（）
A．x=﹣B．x=C．x=﹣D．x=
7．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
8．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
10．若集合M={y|y=2x，x≤1}，N={x|≤0}，则N∩M（）
A．（1﹣1，] B．（0，1] C．[﹣1，1] D．（﹣1，2]
11．已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的范围是（）
A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．[﹣∞，3] D．[﹣∞，3）
12．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可
知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．已知圆C的方程为22230
x y y
+--=，过点()
1,2
P-的直线与圆C交于,A B两点，若使AB
最小则直线的方程是．
14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是．
15．若函数
63e
()()
32e
x
x
b
f x x
a
=-∈R为奇函数，则ab=___________．
【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．
16．已知等差数列{a n}中，a3=，则cos（a1+a2+a6）=．
17．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．
18．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
①若AC=BD，则四边形EFGH是；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH是．
三、解答题
19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；
（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．
20．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
21．设f（x）=ax2﹣（a+1）x+1
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，0），C（1，1）
（1）求点C到直线AB的距离；
（2）求AB边的高所在直线的方程．
23．本小题满分12分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.
Ⅰ若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y单位:元关于当天需求量n单位:件,n∈N的函数解析式；
,整理得下表:
,求这50天的日利润单位:元的平均数；
②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间[400,550]内的概率.
24．已知函数f（x）=2|x﹣2|+ax（x∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点，求a的取值范围．
康定市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，
∵B={x|﹣1＜x＜1}，
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=
∴B⊊A．
故选B．
2．【答案】C
【解析】解：①是底面为梯形的棱柱；
②的两个底面不平行，不是圆台；
③是四棱锥；
④不是由棱锥截来的，
故选：C．
3．【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，
其表面积为
S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]
=12+24π．
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
4．【答案】D
【解析】解：∵S n=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．
∴==，
∴++…+=++…+
=
=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．【答案】B
【解析】解：A项定义域为[﹣2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．
故选B．
【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
6．【答案】A
【解析】解：根据题意，得；
=+（+）
=++
=﹣+，
又∵=+x+y，
∴x=﹣，y=，
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量的应用问题，是基础题目．
7．【答案】D
【解析】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；
当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；
当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；
所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．
故选D．
8．【答案】B
【解析】解：若f（x）的图象关于x=对称，
则2×+θ=+kπ，
解得θ=﹣+kπ，k∈Z，此时θ=﹣不一定成立，
反之成立，
即“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．
9．【答案】A
【解析】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），
直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；
故．
故选A．
【点评】本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．
10．【答案】B
【解析】解：由M中y=2x，x≤1，得到0＜y≤2，即M=（0，2]，
由N中不等式变形得：（x﹣1）（x+1）≤0，且x+1≠0，
解得：﹣1＜x≤1，即N=（﹣1，1]，
则M∩N=（0，1]，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
11．【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，
若A⊆B，则a＞3，
故选：B ．
【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题．
12．【答案】 C
【解析】解：设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R= 故选C ．
【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
二、填空题
13．【答案】30x y -+= 【解析】
试题分析：由圆C 的方程为2
2
230x y y +--=，表示圆心在(0,1)C ，半径为的圆，点()1,2P -到圆心的距
()1,2P -在圆内，所以当AB CP ⊥时，AB 最小，此时
11,1CP k k =-=，由点斜式方程可得，直线的方程为21y x -=+，即30x y -+=.
考点：直线与圆的位置关系的应用. 14．【答案】 （﹣3，21） ．
【解析】解：∵数列{a n }是等差数列，
∴S 9=9a 1+36d=x （a 1+2d ）+y （a 1+5d ）=（x+y ）a 1+（2x+5y ）d ，
由待定系数法可得
，解得x=3，y=6．
∵﹣3＜3a 3＜3，0＜6a 6＜18，
∴两式相加即得﹣3＜S 9＜21． ∴S 9的取值范围是（﹣3，21）． 故答案为：（﹣3，21）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
15．【答案】2016
【解析】因为函数()f x 为奇函数且x ∈R ，则由(0)0f =，得0063e 032e
b
a -=，整理，得2016a
b =．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵数列{a n }为等差数列，且a 3=，
∴a 1+a 2+a 6=3a 1+6d=3（a 1+2d ）=3a 3=3×=
，
∴cos （a 1+a 2+a 6）=cos =
．
故答案是：．
17．【答案】
．
【解析】解：∵△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），
∴圆心到直线ax+by=1的距离d=，
即d=
=
，
整理得a 2+2b 2
=2，
则点P （a ，b ）与点Q （1，0）之间距离d==≥，
∴点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．
18．【答案】 菱形 ； 矩形 ．
【解析】解：如图所示：①∵EF ∥AC ，GH ∥AC 且EF=AC ，GH=AC
∴四边形EFGH 是平行四边形
又∵AC=BD ∴EF=FG
∴四边形EFGH 是菱形．
②由①知四边形EFGH 是平行四边形 又∵AC ⊥BD ，
∴EF ⊥FG
∴四边形EFGH 是矩形． 故答案为：菱形，矩形
【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x ）×10=1，解得x=0.018，
前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．
（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，
∴这2人成绩均不低于90分的概率P=
=．
【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．
20．【答案】
【解析】
【专题】概率与统计．
【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；
（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．
【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株
数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概
率为=；
（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==
∴所求的分布列为
Y 51 48 45 42
P
数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46
【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＞0，即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，
即有（ax﹣1）（x﹣1）＞0，
当a=0时，即有1﹣x＞0，解得x＜1；
当a＜0时，即有（x﹣1）（x﹣）＜0，
由1＞可得＜x＜1；
当a=1时，（x ﹣1）2
＞0，即有x ∈R ，x ≠1；
当a ＞1时，1＞，可得x ＞1或x ＜；
当0＜a ＜1时，1＜，可得x ＜1或x ＞． 综上可得，a=0时，解集为{x|x ＜1}；
a ＜0时，解集为{x|＜x ＜1}； a=1时，解集为{x|x ∈R ，x ≠1}；
a ＞1时，解集为{x|x ＞1或x ＜}；
0＜a ＜1时，解集为{x|x ＜1或x ＞}．
（2）对任意的a ∈[﹣1，1]，不等式f （x ）＞0恒成立， 即为ax 2﹣（a+1）x+1＞0，
即a （x 2
﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a ∈[﹣1，1]恒成立．
设g （a ）=a （x 2
﹣1）﹣x+1，a ∈[﹣1，1]．
则g （﹣1）＞0，且g （1）＞0，
即﹣（x 2﹣1）﹣x+1＞0，且（x 2
﹣1）﹣x+1＞0，
即（x ﹣1）（x+2）＜0，且x （x ﹣1）＞0， 解得﹣2＜x ＜1，且x ＞1或x ＜0． 可得﹣2＜x ＜0．
故x 的取值范围是（﹣2，0）．
22．【答案】
【解析】解（1）∵
，
∴根据直线的斜截式方程，直线AB ：
，化成一般式为：4x ﹣3y+12=0，
∴根据点到直线的距离公式，点C 到直线AB 的距离为
；
（2）由（1）得直线AB 的斜率为，∴AB 边的高所在直线的斜率为，
由直线的点斜式方程为：
，化成一般式方程为：3x+4y ﹣7=0，
∴AB 边的高所在直线的方程为3x+4y ﹣7=0．
23．【答案】
【解析】：Ⅰ当日需求量10n ≥时,利润为5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+；
当需求量10n <时，利润50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 与日需求量n 的函数关系式为：30200,10,60100,10,n n n N
y n n n N
+≥∈⎧=⎨
-<∈⎩
Ⅱ50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元.
①
3809
4401150015530105605
477.2
50
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ② 若利润在区间[400,550]内的概率为11151018
5025
P ++==
24．【答案】
【解析】解：（1）当a=1时，f （x ）=2|x ﹣2|+x=…（2分）
所以，f （x ）在（﹣∞，2）递减，在[2，+∞）递增，
故最小值为f （2）=2； …（4分）
（2）f （x ）=
，…（6分）
要使函数f （x ）有最小值，需，
∴﹣2≤a ≤2，…（8分）
故a 的取值范围为[﹣2，2]． …（9分）
（3）∵sinx ∈[﹣1，1]，∴f （sinx ）=（a ﹣2）sinx+4，
“h （x ）=f （sinx ）﹣2=（a ﹣2）sinx+2存在零点”等价于“方程（a ﹣2）sinx+2=0有解”，
亦即有解，
∴
，…（11分）
解得a ≤0或a ≥4，…（13分）
∴a 的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）…（14分）
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质，是解决本题的关键．。