辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期10月月度质量监测(月考)数学试卷+解析

2024-2025（上）10月月度质量监测
高三数学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则中的元素个数为（
）
{
}2
A x x =∈Z …{}ln(1)
B x y x ==-A B ⋂A.3 B.4
C.5
D.6
【答案】A 【解析】
【分析】先求集合A 、B ，再根据交集的定义求出即可求解.
A B ⋂【详解】解:因为集合，，{}
{}22,1,0,1,2A x x =∈=--Z …{}
1B x x =<所以，{}2,1,0A B =-- 故选：A .
2.已知是方程的一个根，则（ ）12i +250()x mx m ++=∈R m =A.－2 B.2 C. D.－1
i 【答案】A 【解析】
【分析】法一:将复数代入二次方程，利用复数相等求解；法二：利韦达定理求解.
【详解】方法1：由题意知，即，解得. 2
(12i)(12i)50m ++++=2(42)i 0m m +++=2m =-方法2：根据虚根成对知1－2i 也是方程的根，由韦达定理得，所以. (12i)(12i)m ++-=-2m =-故选:A.
3.不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）2320x x ++>A. B.，(1,)
-+∞[1-)
∞+C.，， D.，，(-∞2][1-⋃-)
∞+(1-)(+∞-∞⋃2)
-
【答案】A 【解析】
【分析】解不等式，根据集合的包含关系求出答案即可． 【详解】，
2320x x ++> ，
(1)(2)0x x ∴++>解得：或，
1x >-2x <-故不等式成立的一个充分不必要条件是， 2320x x ++>(1,)-+∞故选：．
A 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．
4. 已知，且
（ ）． π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
cos 2πsin 4θθ=⎛
⎫- ⎪⎝
⎭tan 2θ=A.
B.
C. D. 7
24
247
724
±
247
±
【答案】D 【解析】
【分析】由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得， 7cos sin 5
θθ+=
结合求出
的值，再根据正切的二倍角公式即可.
22cos sin
1θθ+=tan θ【详解】
)cos2cos sin s in 4θθθπθ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭故， 7
cos sin 5
θθ+=
又因为，且．
π0,2
θ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
22cos sin 1θθ+=故，或，，则或，
3cos 5
θ=
4sin 5θ=4cos 5θ=3
sin 5θ=4tan 3θ=34故，
22tan 24
tan21tan 7
θθθ==±-故选：D ．
5. 若，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
a b
A.
B. C.
D.
a b = a b ∥1a b ⋅= 22
a b = 【答案】D 【解析】
【分析】，是两个单位向量，则，但，方向不能确定，即可判断AB ；利用数量积的定
a b 1a b == a b
义与性质可判断CD ．
【详解】，是两个单位向量，则，但，方向不能确定，故选项AB 错误； a b 1a b == a b ，只有，同向共线时，才有，故选项C 错误； cos co ,,s a b a b b a b a ⋅== a b
cos ,1a b = ，，，选项D 正确.
221a a == 221b b == 22
a b ∴= 故选：D.
6. 如图，在直角梯形ABCD 中，，，，将直角梯形ABCD 沿对角AD AB BC ⊥222BC AD AB ===线折起，使平面平面BCD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
ABD ⊥
A. 0
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
【分析】取BD 的中点F ，连接AF ，则，通过面面垂直的性质定理可得到平面BCD ． AF BD ⊥AF ⊥过C 作，且使，连接AE ，EF ，BE ，FC 则为所求的角， CE 1
2
CE BD =
ACE ∠在分别求出的大小，即可求出答案.
AEC △CE AC ，【详解】在直角梯形ABCD 中，因为，，，所以，
222BC AD AB ===AD AB BC ⊥
，取BD 的中点F ，连接AF ，则．
BD CD ==AF BD ⊥又因为平面平面BCD 且交于BD ，所以平面BCD ． ABD ⊥AF ⊥过C 作，且使，连接AE ，EF ，BE ，FC 则为所求的角． CE 1
2
CE BD =
ACE ∠
在中，中，． Rt AFC △AC =
Rt AFE AE =
因为为直角三角形． CE =
AEC △
所以AC 与BD cos CE ACE AC ∠=
=
故选：B.
7. 设正实数满足，则下列说法错误的是（ ） ,x y 23x y +=A. 的最小值为4 B. 的最大值为
3
y x y
+xy 98
C.
的最大值为2 D. 的最小值为
224x y +92
【答案】C 【解析】
【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.
【详解】对于A ，，当且仅当时取等号，故32224y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=1x y ==A 正确；
对于B ，，当且仅当，即时取等号，故2
112199
2222248
x y xy x y +⎛⎫=⋅⋅≤⨯=⨯= ⎪⎝⎭2x y =33,24x y ==B 正确；
对于C ，， 223336x y +=++≤+=+=
，当且仅当，即时，故C 错误；
+≤
2x y =33
,24
x y ==对于D ，，当且仅当时取等号，故D 正确.
222
994(2)49482x y x y xy +=+-≥-⨯=33,24
x y ==故选：C.
8. 定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程
()0,∞+()f x ()0,x ∈+∞()ln 1f f x x ⎡⎤-=⎣⎦有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
()()f x f x m ⋅'=m
A. B. C. D. (),1-∞()0,1(]0,1(]
,1-∞【答案】B 【解析】
【分析】由条件单调函数，对任意的都有，故必有
()f x ()0,x ∈+∞()ln 1f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，且，即可求得，再根据导数研究函数的性质，求得方程
()ln f x x t -=()1=f t ()f x 有两个不同的实根满足的条件，求得的取值范围.
()()f x f x m ⋅'=m 【详解】由于函数为单调函数，则不妨设，则， ()f x ()ln f x x t -=()1=f t 且，解得，所以. ()ln 1ln f t t t t -=-=1t =()()1
ln 1,f x x f x x
'=+=设， ()()()ln 1
x g x f x f x x
=
'+=⋅则方程有两个不同的实数根等价于函数与有两个不同的交点. ()()f x f x m ⋅'=()ln 1x g x x
+=
y m
=， ()222ln 11ln 1ln x x x g x x
x x x x '-⎛
⎫'=+=-=-
⎪⎝⎭易得当时，；当时，， (0,1)x ∈()0g x '>(1,)x ∈+∞()0g x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减， ()g x (0,1)(1,)+∞所以.
max ()(1)0g x g ==又，且当时，. 10g e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
x →+∞()0g x →
故函数与有两个不同的交点则. ()ln 1x g x x
+=
y m
=()0,1m ∈
故选：B
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 以下是真命题的是（ ）
A. 已知，为非零向量，若，则与的夹角为锐角 a b a b a b +>- a b
B. 已知，，为两两非共线向量，若，则
a b c
a b a c ⋅=⋅ ()
a c
b ⊥- C. 在三角形中，若，则三角形是等腰三角形
ABC cos cos a A b B ⋅=⋅ABC D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心 【答案】BD 【解析】
【分析】A ：将已知条件两边同时平方，整理得到，结合平面向量的数量积的定义得到
0a b ⋅>
，由平面向量的夹角范围可得，进而可以判断选项；B ：将已知条件变形为
cos ,0a b >
,0,2a b π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，结合平面向量数量积即可判断选项；
()
0a b c ⋅-=
C ：结合正弦定理化简整理即可判断三角形的形状；
D ：作出图形，证得，即可得到，结合三角形外心的性质即可判PAO PBO PCO ≅≅ AO BO CO ==断.
【详解】A ：因为，两边同时平方，得，即
a b a b +>- ()(
)
2
2
a b
a b +>-
，所以，因此，因为，所以
222222a b a b a b a b ++⋅>+-⋅
0a b ⋅> cos ,0a b > [],0,a b π∈ ，因此与的夹角为锐角或零角，故A 错误；
,0,2a b π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
a b
B ：因为，所以，又因为，，为两两非共线向量，则，所
a b a c ⋅=⋅ ()
0a b c ⋅-= a b c
0,0a b c ≠-≠ 以，故B 正确；
()
a c
b ⊥-
C ：因为，结合余弦定理得，所以，所以
cos cos a A b B ⋅=⋅sin cos sin cos A A B B ⋅=⋅sin 2sin 2A B =或，即或，所以角形是等腰三角形或直角三角形，故C 错
22A B =22A B π+=A B =2
A B π
+=
ABC 误； D ：
设三棱锥的顶点在底面的射影为，所以底面，又因为底面P ABC -P ABC O ⊥PO ABC AO ⊂ABC ，底面，底面，所以，又因为三棱锥的三条侧BO ⊂ABC CO ⊂ABC ,,PO AO PO BO PO CO ⊥⊥⊥棱与底面所成的角相等，所以，所以，所以
PAO PBO PCO ∠=∠=∠PAO PBO PCO ≅≅ ，所以点是的外心，故D 正确；
AO BO CO ==O ABC V 故选：BD.
10. 八一广场位置处于解放碑繁华地段，紧挨着得意世界、大融城、八一好吃街等．重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备在八一广场上对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的A 最顶端，为解放碑的基座（即在的正下方），在广场内（与在同一水平面内）选取，两点，B B A B C D 则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度的是（ ）
AB
A. ，，，
B. ，，， CD ACB ∠BCD ∠BDC ∠CD ACB ∠BCD ∠ADC ∠
C. ，，，
D. ，，
CD ACB ∠BCD ∠ACD ∠BC BD 2
ACB ADB π
∠+∠=
【答案】ABD 【解析】
【分析】A 、B 、C 根据正弦定理、余弦定理和直角三角形性质判断所给条件是否构成解三角形条件；D 选项根据相似三角形性质判断.
【详解】由题意可知平面，由此进行下列判断：
AB ⊥BCD
A 选项，在中，根据，，，可利用正弦定理求得，再根据求得
BCD △CD BCD ∠BDC ∠BC tan ACB ∠，故A 正确；
AB B 选项，由，借助直角三角形和余弦定理，用和表示出，，，，ACB ∠BCD ∠AB CD BC BD AC AD 然后结合在中利用余弦定理列方程，解方程求得，故B 正确；
ADC ∠ACD AB C 选项，，，，四个条件，无法通过解三角形求得，故C 错误； CD ACB ∠BCD ∠ACD ∠AB D 选项，根据，可得与相似，根据相似比可解方程求得π2
ACB ADB ∠+∠=
ABC V DBA AB BD
BC AB =，故D 正确，
AB 故选：ABD ．
11. 设定义在R 上的函数与的导函数分别为和．若，
()f x ()g x ()f x '()g x '()()42f x g x --=，且为奇函数，则（ ）．
()()2g x f x ''=-()2f x +A. ，
B.
R x ∀∈()()40f x f x ++-=()()354g g +=C.
D.
()2023
1
0k f k ==∑()2023
1
0k g k ==∑【答案】AC 【解析】
【分析】由为奇函数，结合奇函数的性质判断A ，由条件证明为周期为的函数，利用组
()2f x +()f x 4合求和法求
判断C ，根据条件证明，由此判断BD.
()2023
1
k f k =∑()()22g x f x =--【详解】对A ，又∵为奇函数，
()2f x +则图像关于对称，且， ()y f x =()2,0()()220f x f x ++-=所以，A 正确；
()()40f x f x ++-=对于C ，∵，则， ()(2)g x f x ''=-()()2g x f x a =-+则，又， ()()42g x f x a -=-+()()42f x g x --=所以， ()()22f x f x a =-++令，可得，即.
1x =20a +=2a =-所以，又
()(2)f x f x =-()()40f x f x ++-=
所以， ()()()22f x f x f x +=--+=-所以，
()()()24f x f x f x =-+=+∴的周期，所以， ()y f x =4T =()()04f f =由可得，
()()220f x f x ++-=，，，
()()130f f +=()()400f f +=()20f =所以，，
()00f =()40f =∴
，C 正确；
[]2023
1
()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)0k f k f f f f f f f ==++++++=∑对B ，，则是周期的函数，，()()22g x f x =--()g x 4T =()()()()3512324g g f f +=-+-=-B 错误；
对D ，，，所以
()()()1120242023f f f -=-+=()()()()022********f f f f ==+=，
20232023
1
1
()(1)2(0)2(1)2(2021)2()22023k k g k f f f f f k ===--+-+-+⋯+-=-⨯∑∑所以
，D 错误.
2023
1
()4046k g k ==-∑故选：AC.
【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等知识点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养.
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设函数（且），若，则
()log a f x x =0a >1a ≠()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=______．
()()()222122021f x f x f x ++⋅⋅⋅+=【答案】2020 【解析】 【分析】
根据对数的运算法则计算．
【详解】∵，∴；
()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=()122021log 1010a x x x ⋅⋅⋅=
∴
()
()
(
)()
()
(
)
222
222
122021122021log log log a a a f x f x f x x x x =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+．
()()2222
12320211220212l 2020og a f x x x x x x x =+==⋅⋅⋅故答案为：2020．
13. 如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则
ABC V 4AB =3AC =90A ∠=︒PQ A 的取值范围是__．
BP CQ ⋅
【答案】 [6,4]-【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算可得出，运用平面向量数,BP AP AB CQ AQ AC AP AC =-=-=--
量积的运算性质解决即可.
【详解】由题知，中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直ABC V 4AB =3AC =90A ∠=︒PQ A 径，
所以为的中点，，
A PQ 1,,5AP AP QA BC ===
因为，
,BP AP AB CQ AQ AC AP AC =-=-=--
所以
()()()()BP CQ AP AB AP AC AB AP AC AP ⋅=-⋅--=-+ ,
2()1AB AC AP AP AB AC AP CB =⋅-+⋅-=-+⋅ 因为，即
AP CB AP CB AP CB -⋅≤⋅≤⋅ 55AP CB -≤⋅≤ 所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值，
614AP CB -≤-+⋅≤
,AP CB 所以的取值范围是， BP CQ ⋅
[6,4]-故答案为：
[6,4]-14. 已知棱长为2的正方体中，为的中点，P 是平面内的动点，且满足1111ABCD A B C D -M AB ABCD 条件，则动点P 在平面内形成的轨迹是______． 13PD PM =ABCD 【答案】圆
【解析】
【分析】分别以为x 轴，y 轴，z 轴，利用空间两点距离的坐标表示求轨迹方程即可． 1,,DA DC DD 【详解】分别以为x 轴，y 轴，z 轴，则，
1,,DA DC DD 1(0,0,2),(2,1,0)D M
设，由题意可得， (,,0)P x y 22222(02)9[(2)(1)]x y x y ++-=-+-化简可得，易知轨迹是圆. 2
2
9941
0248
x y x y +--+=故答案为：圆
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在① ；② ()两个条件中，任选一个，补充在下1n n a a +-=+184n n a a n --=-2n ≥面问题中，并求解.
问题：已知数列中，，__________. {}n a 13a =（1）求； n a （2）若数列的前项和为，证明：. 1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
n n T 11
32n
T ≤<【答案】条件选择见解析；（1）；（2）证明见解析. 2
41=-n a n 【解析】 【分析】
若选① ：（1）由，根据
是首项为
1n n a a +-=2=2，公差为2的等差数列，可得结果；（2）由利用裂项求和方法求和2111114122121n a n n n ⎛⎫
==- ⎪--+⎝⎭
得，进一步可证
. n T 1132
n T ≤<
若选② ：（1）由()利用累加法可求得；（2）由
184n n a a n --=-2n ≥n a 利用裂项求和方法求和得，进一步可证. 2111114122121n a n n n
⎛⎫==-
⎪--+⎝⎭n T 1132
n T ≤<【详解】若选① ：
（1）由，
，
1n n a a +-=
13a
=2
=，
2
=，所以
是首项为2，公差为2的等差数列，
2=，所以； 2n =2
41=-n a n （2）证明：由（1）得
， 2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭
所以， 111111
1213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111221n ⎛⎫=- ⎪
+⎝⎭11242n =-+因为，所以，
1
042n >+12
n T <又因为随着的增大而增大，所以，
11
242
n T n =-+n 113n T T ≥=综上.
1132
n T ≤<若选② ：
（1）由()可得：
184n n a a n --=-2n ≥当时， 2n ≥112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ，
(84)(812)123n n =-+-+++ [(84)12](1)
32
n n -+-=
+241n =-当时，，符合，
1n =13a =2
41=-n a n 所以当时，； *n N ∈2
41=-n a n （2）证明：由（1）得
， 2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭
所以， 111111
1213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11242
n =-+
因为
，所以，
1
042n >+12
n T <又因为随着的增大而增大，所以，
11
242
n T n =-+n 113n T T ≥=综上.
1132
n T ≤<【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
一、公式法：根据等差或等比数列的通项公式或进行求解；
1(1)n a a n d =+-1
1n n a a q -=二、前项和法：根据进行求解；
n 11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩三、与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后别忘了n S n a n S n a 1n S -1n a -检验是否适合用上面的方法求出的通项；
1a 四、累加法：当数列中有，即第项与第项的差是个有规律的数时，就可以用这种1()n n a a f n --=n 1n -方法；
五、累乘法：当数列中有，即第项与第项的积是个有规律的数时，就可以用这种{}n a 1
()n
n a f n a -=n 1n -方法；
六、构造法：①一次函数法：在数列中有（均为常数，且）， {}n a 1n n a ka b -=+,k b 0k ≠一般化方法：设，得到，，根据数列是以为公1()n n a m k a m -+=+(1)b k m =-1
b
m k =-1{}1n b a k -+
-k 比的等比数列，可求出； n a ②取倒数法：这种方法适用于（）（均为常数，），两边取倒数
1
1n n n ka a ma p
--=
+n ≥2,n ∈N ∗,,k m p 0m ≠后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子； 1n n a ka b -=+③取对数法：一般情况下适用于（为非零常数）
1k
l
n n a a -=,k l 七、“（为常数且不为0，）”型的数列求通项，方法是等式的两边同除以1n
n n a ba c +=+,b c *n N ∈n a 1n c +，得到一个“”型的数列，再用上面的六种方法里的“一次函数法”便可求出的通项，从而1n n a ka b -=+n
n
a c 求出.
n a
16. 已知函数（为常数）.
()2
cos 2cos 1f x x x x a =+-+a
（1）求的单调递增区间； ()f x （2）若在上有最小值，求的值. ()f x 0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
1a 【答案】（1）；（2）.
(),3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
2【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后解()y f x =()2sin 26f x x a π⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
不等式，可得出函数的单调递增区间； ()222262
k x k k πππ
π-
≤+≤π+∈Z ()y f x =（2）由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
26x π+()y f x =值，进而可求得实数的值.
a
【详解】（1）()2
cos 2cos 12cos 2f x x x x a x x a
=+-+=
++
， 122cos 22sin 226x x a x a π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
令，解得.
()222262
k x k k ππππ-
≤+≤π+∈Z ()36k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈所以，函数的单调递增区间为；
()y f x =(),3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
（2）当时，
，所以，
02
x π
≤≤
726
6
6x π
π
π≤+
≤
1sin 2126x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭所以，解得. ()min 12112f x a a ⎛⎫
=⨯-
+=-= ⎪⎝⎭
2a =【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间和最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
17. 已知圆，A （1，1）为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点，且∠PAQ＝，M 是PQ 的中点． 229x y +=90︒（1）求点M 的轨迹曲线C 的方程；
（2）设对曲线C 上任意一点H ，在直线ED 上是否存在与点E 不重合的点F ，使是
9111
(,),(,)2222
E D HE H
F 常数，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由
【答案】（1）；
22
11422x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭（2）见解析. 【解析】
【分析】（1）利用直角三角形的中线定理及垂径定理，得到
利用两点距1
||||||2
AM PQ PM ===离公式求出动点的轨迹方程．
（2）先设出F 的坐标，将用点点距表示出，化简得到，利用解得HE HF
215(12)4248t x t x -++
-212815244
t t -=-
+t 的值即可．
【详解】（1）设点，由，得 (,)M x y 90PAQ ∠=︒1
||||||2
AM PQ PM ===化简得， 2
2
7
02
x y x y +---
=即.
22
11422x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭（2）点，，直线方程为，
91,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
ED 12y =假设存在点，满足条件，设，则有，
19,22F t t ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,()H x y 22
11422x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
22291||22HE x y ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22
91424822x x x ⎛⎫⎛
⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
2
221||()2HF x t y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2
22115()4(12)24x t x t x t ⎛
⎫=-+--=-++ ⎪⎝
⎭当是常数，是常数， ||||HE HF 2215(12)||4||248t x t HE HF x -++
⎛⎫= ⎪
-⎝⎭∴，∴或（舍），∴， 2128
15244
t t -=-+32t =92
t =32t =∴存在满足条件. 31,22
F ⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了分式型定值问题的求解，考查了运算能力，属于中档题． 18. 已知数列与等比数列满足．
{}n a {}n b 3(N )n a
n b n *
=∈
（1）试判断是何种数列； {}n a （2）若，求. 813a a m +=1220b b b 【答案】（1）数列是等差数列；
{}n a （2） 103m 【解析】
【分析】（1）由可知为等差数列； 13log n n a a q +-={}n a （2）利用等差数列的前项和以及指数运算的性质即可求解. n 【小问1详解】
设数列的公比为，则， {}n b q 0q >因为，所以，所以.
3
n
n a b =113a b =11
33n a a n n b q
-=⋅=方程两边取以3为底的对数， 得，
11
313log (3)(1)log a
n n a q
a n q -=⋅=+-由于， []113133(log )(1)log log n n a a a n q a n q q +-=+-+-=所以数列是以为公差的等差数列． {}n a 3log q 【小问2详解】
因为， 120813a a a a m +=+=所以=10m ，
120122020()
2
a a a a a ++++=
所以.
20
122012*********
33a a a a a
a
m b b b +++=== 19. 已知函数，.
()ln f x x x =()()1f x g x x
+=（1）求函数的单调区间；
()f x （2）当，且时，证明：. 12x x <()()12g x g x =122x x +>【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 【解析】
【分析】（1）利用导函数的符号求单调区间；
（2）分析法将问题化为证
，再应用换元及导数研究恒成立，即可证. 212
121
2ln 0x x x x x x ->>【小问1详解】
由题设，的定义域为，令，得. ()f x ()0,∞+()1ln 0f x x =+='1
e
x =当时，，在上单调递增； 1e x >
()0f x '>()f x 1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭当时，，在上单调递减. 10e x <<
()0f x '<()f x 10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
所以单调递减区间为，单调递增区间为. ()f x 10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
1,e
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【小问2详解】
因为，故，（）. ()ln f x x x =()()11ln f x g x x x
x
+=
=+
x >0由（），得，即.
()()12g x g x =12x x <1212
11
ln ln x x x x +
=+212121ln 0x x x x x x -=>要证，需证，即证. 122x x +>()212121212ln x x x
x x x x x -+⋅
>212121
2ln x x x x x x ->设（），则要证（）. 21x t x =1t >1
2ln t t t
->1t >令且，则.
()12ln h t t t t
=--1t >()2
2121110h t t t t ⎛⎫
'=+-=-> ⎪⎝⎭所以在上单调递增，则，即. ()h t ()1,+∞()()10h t h >=1
2ln t t t
->所以，得证.
122x x +>。