微积分(下))独立作业2答案

高等数学(下)单元独立作业2 班级＿＿＿＿学号＿＿＿姓名＿＿＿
一、填空题：(第1～10题每小题5分，第11题12分，共62分)
1．点(1,2,3)P --关于y 轴的对称点的坐标是_________________；点(1,4,3)P --到x 轴的距离是_______________．
点(1,2,3)P --关于y 轴的对称点的坐标是(1,2,3)；点(1,4,3)P --到x 轴的距离是
5=．
2．设{1,2,3}a =-，{2,3,1}b =--，则23a b -=_________________．
232{1,2,3}3{2,3,1}{8,13,9}a b -=----=-．
3．一向量的模为6，且其方向与向量{2,2,1}--相同，则此向量的坐标为_______________． 与向量{2,2,1}--
{2,2,1}3
--=，所以所求向量为2{2,2,1}{4,4,2}--=--．
4．设向量a 与x 轴、y 轴正向夹角分别为30°和90°，且||4a =，则向量a 在z 轴上的分向量为________________．
22211cos 1cos cos cos 42
γαβγ=--=
⇒=±，所以向量a 在z 轴上的分向量为 1(||cos )422
zk a k k k γ==±⨯=±． 5．已知向量a 与b 的夹角为23
π，且||2a =，||3b =，则(2)a a b ⋅-=________________． 2221(2)22||||||cos 2223()1132a a b a a a b a a b π⋅-=⋅-⋅=-=⨯-⨯⨯-=． 6．已知{1,2,2}a =-，{2,3,1}b =--，则向量b 在向量a 上的投影为______________． 向量b 在向量a 上的投影为
2||3a b a ⋅==-． 7．经过点(2,34)P -，且以{1,2,3}n =--为法向量的平面方程为_____________________． 所求平面方程为(2)2(3)3(4)0x y z ----+=，即2380x y z ---=．
8．经过点(1,2,0)P -，且与平面230x y z +-=垂直的直线方程为___________________． 因为直线的方向向量为{2,3,1}s =-，故所求直线方程为12231
x y z +-==-． 9．点(2,3,1)P -到平面2230x y z -+-=的距离为_______________．
43
=． 10．xOy 面上的曲线2221x y -=绕x 轴旋转而成的曲面方程是________________________． 所求曲面方程是2222()1x y z -+=．
11．写出下列方程所表示的曲面的名称：
(1) 2221x y -=：_________；双曲柱面(2) 222231x y z ++=：_________；椭球面
(3) 222x y z -=：_________；双曲抛物面(4) 222231x y z --=：_______．双叶双曲面
二、解答题：(第12题8分，第13～15题每小题10分，共38分)
12．求同时垂直于向量{1,1,1}a =-和{1,1,1}b =-的单位向量．
111{0,2,2}111
i j k
a b ⨯=-=-，∴所求单位向量为{0,2,2}}||2a b a b ⨯±=±=⨯． 13．求曲线2222221,(1)(1)1x y z x y z ⎧++=⎨+-+-=⎩
在xOy 面上的投影曲线方程． 两式相减得1y z +=，即1z y =-代入2221x y z ++=，得22220x y y +-=，于是所求
投影曲线方程为22220,0.x y y z ⎧+-=⎨=⎩
14．将直线的一般式方程10,2340
x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩化为点向式方程和参数方程． 直线的方向向量为12111{4,1,3}213
i j k
s n n =⨯==---，在方程组中设2z =-，解得
1x =，0y =，即直线经过点(1,0,2)-，因此直线的点向式方程为12413
x y z -+==--，参数方程为14,,23.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩
15．求过点(2,1,3)P 且与直线
11321
x y z +-==-垂直相交的直线的方程． 设所求直线为2131x y z m n
---==，则320m n +-=，设两直线的交点为(,,)x y z ，由已知直线得31x z =--，21y z =-+，代入所求方程得33231z z z m n ----==，消去z 得 21m n +=，从而可解得12m =-，2n =，于是所求直线方程为2131122
x y z ---==-，即 213214x y z ---==-．。