江阴三校2020届高三5月学情检测附加卷答案

0 1 0 5 0 5 1 1 0 5 1 5 b ⎩ ⎨⎪ y = 6
π π 8
2020 届高三 5 月学情调研
数学试题Ⅱ答案
21（B ）．（本题满分 10 分）选修 4—2：矩阵与变换
⎡4 0⎤ ⎡1 2⎤ ⎡4 8⎤ 解：（1） AB = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ；
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
（2）由 B -1 A -1 X
= ⎡5⎤ ，解得 X = AB ⎡5⎤ = ⎡4 8⎤ ⎡5⎤ = ⎡28⎤ ，又因为 X = ⎡a ⎤ ，所以 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦
a = 28 ，
b = 5 ------------------------- 10 分
21（C ）．（本题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 解：因为直线l 的极坐标方程为θ=
π
(ρ∈ R ) ，所以直线l 的普通方程为 y =
3
3x ，
⎧ x = 2 cos α 又因为曲线C 的参数方程为 （α为参数）
， ⎨
y = 1 + cos 2α
所以曲线C 的直角坐标方程为 y = 1 x 2
(x ∈[-2, 2]) ，
2
⎧ x = 0 ⎧
⎪ x = 2 3 联立解方程组得⎨ y = 0 或⎨ y = 6 ．
⎩ ⎪⎩ 根据 x 的范围应舍去 ⎧⎪ x = 2 3
,故 P 点的直角坐标为(0, 0) ………10 分
⎩ 注：多一解扣 2 分
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．卷．卡．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分）
22. 解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到∆PAC ，
∆PBD 为等腰直角三角形．ξ的可能取值为： 0, , 3 2
，共C 2
= 28 种情况，其中：
1
ξ= 0 时，有2 种；ξ=π 时，有3⨯ 4+2 ⨯ 4=20 种；ξ=π 时，有2+4=6 种；
（1）P(ξ= 0) =
2
=
1
28 14
3 2
；--------- 4 分
（2）P(ξ=π
) =
4 + 16
=
5
，P(ξ=
π
) =
6
=
3
．3 28 7 2 28 14
再根据（1）的结论，随机变量ξ的分布列如下表：
根据上表， E(ξ) = 0 ⨯+⨯+⨯=π．--------- 10 分
14 3 7 2 14 84
23.（本小题满分10 分）
解（1 ）设集合A ⊆{1, 2, , 23 -1}，且A 满足（a ），（b ）．则1∈A, 7 ∈A ．由于{1,m,7}(m=2,3, ,6)不满足（b），故A>3．
又 {1, 2, 3, 7},{1, 2, 4, 7}, {1, 2, 5, 7}, {1, 2, 6, 7}, {1, 3, 4, 7 }, {1, 3, 5, 7},{1, 3, 6, 7}, {1,4,5,7},{1,4,6,7},{1,5,6,7}都不满足（b），故A>
4．而集合{1,2,4,6,7}满足（a），（b），所以f(3)=5．
…………………（3 分）
（2）首先证明
f (n +1) ≤f (n) + 2, n =3, 4, ．①
事实上，若A⊆{1,2, ,2n-1}，满足（a），（b），且A的元素个数为f
(n)．令B=A {2n+1-2,2n+1-1}，由于2n+1-2>2n-1，故B=f(n)+2．
又2n+1 - 2 = 2(2n -1), 2n+1 -1 = 1 + (2n+1 - 2) ，所以，集合B ⊆{1, 2, , 2n+1 -1}，且B 满足
（a），（b）．从而
2
f (n +1) ≤B =f (n) + 2 ． ................ （6 分）
其次证明：
f (2n) ≤f (n) +n +1, n = 3, 4, ．②
事实上，设A⊆{1,2, ,2n-1}满足（a），（b），且A的元素个数为f(n)．令
B=A {2(2n-1),22(2n-1), ,2n(2n-1),22n-1}，
由于2(2n -1) < 22 (2n -1) < < 2n (2n -1) < 22n -1 ，
所以B ⊆{1, 2, , 22n -1}，且B =f (n) +n +1 ．而
2k +1 (2n -1) = 2k (2n -1) + 2k (2n -1), k = 0,1, , n-1 ，
22n -1 = 2n (2n -1) + (2n -1) ，
从而B满足（a），（b），于是
f (2n) ≤B =f (n) +n +1 ．.............. （8 分）
f (2n +1) ≤f (n) +n +3 ．③
由①，②得
反复利用②，③可得
f (100) ≤f (50) + 50 +1 ≤f (25) + 25 +1 + 51
≤f (12) +12 + 3 + 77 ≤f (6) + 6 +1+ 92
≤f (3) + 3 +1+ 99 =108 ． ................. （10 分）
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