2019高考数学专题八选修4系列第2讲不等式选讲配套作业文

第2讲 不等式选讲
配套作业
1．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.
(1)解不等式|g (x )|<5；
(2)若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，
所以－7<|x －1|<3，
解得－2<x <4.
(2)因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，
所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，
又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，
g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5， 所以实数a 的取值范围为a ≥－1或a ≤－5.
2．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|.
(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥2的解集；
(2)若f (x )≥5－x 对∀x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．
解 (1)当a ＝3时，即求解|2x －3|＋|x －1|≥2，
①当x ≥32
时，2x －3＋x －1≥2，∴x ≥2； ②当1<x <32
时，3－2x ＋x －1≥2,2－x ≥2，x ≤0，无解； ③当x ≤1时，3－2x ＋1－x ≥2，∴3x ≤2，∴x ≤23
. 综上，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤23或x ≥2.
(2)f (x )≥5－x 恒成立，
即|2x －a |≥5－x －|x －1|恒成立，
令g (x )＝5－x －|x －1|
＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－2x ，x ≥1，4，x <1，则函数图象如图．
∴a 2
≥3，∴a ≥6. 3．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|.
(1)若∃x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的范围；
(2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集．
解 (1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤2，7－2x ，2<x <5，
－3，x ≥5，
其对应图象如图所示．
易知f (x )min ＝－3，
∴m ≥－3，即m 的取值范围为[－3，＋∞)．
(2)x 2
－8x ＋15＋f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－8x ＋18，x ≤2，x 2－10x ＋22，2<x <5，
x 2－8x ＋12，x ≥5，
①x ≤2，x 2
－8x ＋18≤0，解集为∅. ②2<x <5，x 2－10x ＋22≤0,5－3≤x <5.
③x ≥5，x 2
－8x ＋12≤0,5≤x ≤6.
综上所述，不等式的解集为{x |5－3≤x ≤6}．
4．(2018·广西模拟)(1)解不等式：|2x －1|－|x |<1；
(2)设f (x )＝x 2－x ＋1，实数a 满足|x －a |<1，
求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．
解 (1)当x <0时，原不等式可化为－2x ＋x <0，
解得x >0，所以x 不存在；
当0≤x <12
时，原不等式可化为－2x －x <0， 解得x >0，所以0<x <12
； 当12
≤x 时，原不等式可化为2x －1－x <1， 解得x <2，所以12
≤x <2. 综上，原不等式的解集为{x |0<x <2}．
(2)证明：因为|f (x )－f (a )|＝|x 2－x －a 2
＋a |＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)，
所以|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．
5．(2018·唐山模拟)设函数f (x )＝|x ＋a ＋1|＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －4a (a >0)． (1)证明：f (x )≥5；
(2)若f (1)<6成立，求实数a 的取值范围．
解 (1)证明：f (x )＝|x ＋a ＋1|＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －4a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a ＋－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4a ＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1＋4a . ∵a >0，∴f (x )≥a ＋1＋4a ≥2a ·4a
＋1＝5.当且仅当a ＝2时“＝”成立． (2)由f (1)<6得：|a ＋2|＋⎪
⎪⎪⎪⎪⎪1－4a <6， ∵a >0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－4a <4－a ，|a －4|a
<4－a ①当a ≥4时，不等式|a －4|a
<4－a 无解； ②当0<a <4时，不等式|a －4|a
<4－a ， 所以1<a <4.
综上，实数a 的取值范围是(1,4)．
6．(2018·衡水模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0.
(1)当m ＝－1时，解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ；
(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围．
解 (1)当m ＝－1时，f (x )＋f (－x )＝|x ＋1|＋|x －1|，
设F (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x <1，
2x ，x ≥1，
当x <－1时，－2x ≥2－x ，解得x ≤－2；
当－1≤x <1时，2≥2－x ，解得0≤x <1；
当x ≥1时，2x ≥2－x ，解得x ≥1.
综上，原不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥0}．
(2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0.
设g (x )＝f (x )＋f (2x )，
当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；
当m <x <m 2时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－m
2<g (x )<－m ；
当x ≥m 2
时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ， 则g (x )≥－m 2
. 则g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－m 2，＋∞， 由题知不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，则1>－m 2
，解得m >－2，由于m <0，故m 的取值范围是(－2，0)．
7．(2018·沈阳模拟)已知a ＞0，b ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最小值为1. (1)证明：2a ＋b ＝2；
(2)若a ＋2b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．
解 (1)证明：∵a >0，b >0，∴－a <b 2
， ∴f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b | ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －a ＋b ，x ≤－a ，－x ＋a ＋b ，－a <x <b 2，3x ＋a －b ，x ≥b 2
. 显然f (x )在⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，b 2上单调递减， 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2，＋∞上单调递增． ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2＝a ＋b 2， ∴a ＋b 2
＝1，∴2a ＋b ＝2. (2)∵a ＋2b ≥tab 恒成立，
∴a ＋2b ab
≥t 恒成立． a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝12(2a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b ＋2a ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1＋4＋2a b ＋2b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝92. 当且仅当a ＝b ＝23时， a ＋2b ab 取得最小值92
. ∴t ≤92
.
∴t 的最大值为92
. 8．(2018·福州模拟)已知x ，y ，z 是正实数，且x ＋2y ＋3z ＝1.
(1)求1x ＋1y ＋1z
的最小值； (2)求证：x 2＋y 2＋z 2≥114. 解 (1)1x ＋1y ＋1z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z (x ＋2y ＋3z )＝6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3z x ＋x z ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3z y ＋2y z ≥6＋22＋23＋26，当且仅当x ＝2y ＝3z 时，等号成立，
所以1x ＋1y ＋1z
的最小值为6＋22＋23＋2 6. (2)证明：由柯西不等式，得(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝1，所以x 2＋y 2＋z 2≥114.。