统计学—e1微积分基本概念

統計學—e1微積分基本概念
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以下是幾個計算例題：
d dx
x5


5x4
d dx
x2


2x3
d dx

1 x7


d dx
x7


7 x 8

7 x8
d dx
5x


ln
5

5x
d dx
log8
x

1 ln 8

1 x
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於複雜微分式的瞭解。
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以下是上面例題用這種符號改寫後的結果。
d x5 5x4dx
d x2 2x3dx
d

1 x7


d
x7

7 x 8 dx

7 x8
dx
d 5x ln55x dx

ln ln
x a

1 ln a
ln
x
。
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對數函數與指數函數互為反函數，因此有下列性質：
loga ax x ln ex x log ax x log a aloga x x eln x x alog x xlog a ax eln ax exln a
log f x g x log f x log g x
log x loga x log a
其中我們沒有特地標明對數的底為何，表示任何底都成立；另外，上面的第二式稱為對數
函數的換底公式，它可以將原有的底換成任何適當的底。例如我們常希望換成以自然數為
底的對數：
loga
x
dx
dx x
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然數（e）為底，則先換底後再微分，其結果如下：
d dx
ax


d dx
exln a


ln
a

ax
d dx
loga
x

d dx

ln ln
x a


1 ln a

1 x
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第e章 微積分基本概念
e.1 e.2 e.3 e.4 e.5
基本函數的性質02 微分基本公式08 積分基本公式18 多重微分與多重積分25 微積分在統計上的應用32
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e.1 基本函數的性質
一、基本函數的性質
學習微積分必須瞭解數學函數。這裡只介紹三個最常用的函數：多項函數、指數函數 與、對數函數。初級微積分還會介紹三角函數。三角函數比較複雜，而且在初等統計學中 用的並不多，因此本講義將它們省略掉。
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以下是一些指數函數與對數函數的計算例題：
ln5x ln5 ln x ln x3 3ln x
ln 6x4 y2 ln 6 4ln x 2ln y
ln 7x xln 7 ln x ln x
log8 x ln8 3ln 2 e2xy e2exey
多項函數可以寫成
xn 其中 x為變數, n R
原本 xn 表示將 x 連乘 n 次，廣義後，n 不是整數也沒有關係。請區別多項式與多項函數， 多項式是將幾個多項函數加（減）在一起，以下是幾個多項函數的多項式：
x5 3x2 4
2x4 x 53 6x2
以上兩者都是三項的多項式，其中第二個多項式的第二項是以多項式為底的多項函數。
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二、微分基本公式
e.2 微分基本公式
以下是三個基本函數（多項函數、指數函數、對數函數）的微分基本公式：
微分基本公式一
d dx
xn


d
xn dx
nxn1
微分基本公式二
d dx
e x


d
ex dx
ex
微分基本公式三 d ln x d ln x 1
d
log8
x

1 ln 8

1 x
dx
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基本公式一至三呈現只有一個基本函數的微分情況，以下四個基本公式處理基本函數
組合的微分。這些公式中， f x 、 g x 為任意基本函數或其組合，c 為任意實數。
微分基本公式四 d cf x cd f x d c f c d f 微分基本公式五 d f x g x d f x d g x d f g d f d g 微分基本公式六 d f g d f g f d g
loga x 或 loga f x 其中 a R, x為變數, f x為任意函數
若以自然數為底，則寫成
ln x loge x 或 ln f x loge f x 其中 x為變數, f x為任意函數
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對數函數有以下的性質：
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指數函數的變數在指數，以 a 為底的指數函數可以寫成
ax 或 a f x 其中 aR, x為變數, f x為任意函數
指數函數中有一個稱為自然數的特殊底，我們以 e 來代表。e 是一個無理數，其數值大略 如下：
e 2.71828182845905 以自然數為底的指數函數 ex 有下列兩個定義：
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以上微分符號也可以作以下的寫法：
d xn
微分基本公式一
nxn1 d xn nxn1dx
dx
d ex
微分基本公式二
ex d ex exdx
dx
微分基本公式三 d ln x 1 d ln x 1 dx
dx x
x
這種表示法是把 d xn 、 d ex 、 d ln x 、 dx 等微分操作當成一個基本算數單元，這有助
ex 的定義
ex

lim
n
1

x n
n

ex


1 n!
xn
1
x

1 2!
x
2

n0

1 n!
xn

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指數函數有下列特性： ax ay axy
ax bx abx
對數函數是指數函數的反函數，以 a 為底的對數函數可以寫成