2023-2024学年河北省保定市唐县高一上册期中考试数学试题(含解析)

2023-2024学年河北省保定市唐县高一上册期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}12B x x =-<<，则A B = （）
A ．{}1,0-
B ．{}1,0,1-
C ．{}0,1
D ．{}
0,1,2【正确答案】C
【分析】利用交集的定义可求得集合A B ⋂.
【详解】因为集合{}1,0,1,2,3A =-，{}12B x x =-<<，则{}0,1A B = .故选：C.
2．命题“0x ∀>，21x >”的否定是（）
A ．0x ∀≤，21x ≤
B ．0x ∃≤，21
x ≤C ．0x ∀>，21
x ≤D ．0x ∃>，21
x ≤【正确答案】D
【分析】由命题的否定的定义判断．【详解】全称命题的否定是特称命题．
命题“0x ∀>，21x >”的否定是：0x ∃>，21x ≤．故选：D ．
3．函数()f x x
=的定义域为（）
A ．(],2-∞
B ．(),2-∞
C ．()(],00,2-∞⋃
D ．[)
2,+∞【正确答案】C
【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果.【详解】由题意得：20
0x x -≥⎧⎨≠⎩
得：2x ≤且0x ≠，()f x \定义域为()(],00,2-∞⋃.
故选：C.
4．已知函数()122
2,1
2,1x x f x x x a x +⎧<=⎨++≥⎩
，有()()06f f a =，则实数=a （）
A ．1
2或4B ．1
2或2
C ．2或9
D ．2或4
【正确答案】D
【分析】由分段函数求值运算可得方程2680a a -+=，求解即可
【详解】()02f =，()()()22
02246f f f a a ==++=，即2680a a -+=，解得2a =或4a =.
故选：D
5．我国西北某地长期土地沙漠化严重，近几年通过各种方法防沙治沙效果显著，两年间沙地面积从500公顷下降为320公顷，则这两年的平均下降率为（）A ．9%B ．10%C ．18%
D ．20%
【正确答案】D
【分析】由平均变化率的计算方法直接求解即可.
【详解】平均下降率为120%=.故选：D.
6．某汽车制造厂建造了一个高科技自动化生产车间，据市场分析这个车间产出的总利润y （单位：千万元）与运行年数()x x *
∈N 满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个
车间运行（）年时，其产出的年平均利润
y
x
最大．
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【正确答案】B
【分析】根据图象可求得二次函数解析式，由此可得3620y x x x ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭，根据基本不等式取等条件可求得结果.
【详解】由题意可设：()()218y a x x =--，
由图象可知：当10x =时，6464y a =-=，解得：1a =-，
()()22182036y x x x x ∴=---=-+-，
36
20208y x x x ⎛
⎫∴
=-++≤-+= ⎪⎝⎭
（当且仅当6x =时取等号），∴当车间运行6年时，其产出的年平均利润
y
x
最大.故选：B.
7．设函数()f x 的图象关于点()1,1对称，则下列函数中为奇函数的是（）
A ．()11f x --
B ．()11f x -+
C ．()11f x +-
D ．()11
f x ++【正确答案】C
【分析】根据奇函数图象关于()0,0对称，可通过函数平移变换得到所求函数.
【详解】由题意知：将()f x 图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数关于点()0,0对称，则所得函数为奇函数，()11f x ∴+-为奇函数.
故选：C.
8．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2
32f x f x x x =+-，则()f x 的单调递增区间为（
）
A ．(],10-∞-和[]0,1
B ．(],5-∞-和[]0,1
C ．[]10,0-和[)1,+∞
D ．[]5,0-和[)
1,+∞【正确答案】B
【分析】当0x ≥可求得()2
12f x x x =-+；当0x <时，0x ->，由已知关系式可得
()()232f x f x x x =-+-，进而得到()21
52f x x x =--；由二次函数性质可得单调递增区间.
【详解】当0x ≥时，()()2
32f x f x x x =+-，则()212
f x x x =-+，
()f x \在[]0,1上单调递增；
当0x <时，0x ->，()2
12
f x x x ∴-=--，
()()222231
3232522
f x f x x x x x x x x x ∴=-+-=--+-=--，
()f x \在(],5-∞-上单调递增；
综上所述：()f x 的单调递增区间为(],5-∞-和[]0,1.故选：B.
二、多选题
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）
A ．()f x x =和()g x =
B ．()1f x x =+和()21
1
x g x x -=
+
C ．()()1,01,0
x x
f x
g x x x
>⎧=
=⎨
-<⎩和D ．()f x =
()g x =【正确答案】AC
【分析】根据相同函数的对应法则、定义域都相同，结合各选项的函数解析式化简并求出定义域，即可确定正确答案.
【详解】A ：()||g x x ==与()f x x =定义域和对应法则都相同，为同一函数；B ：()21
11
x g x x x -==-+定义域为{|1}x x ≠-，而()1f x x =+定义域为R ，它们的定义域、对
应法则都不同，不为同一函数；
C ：1,0()1,0x f x x >⎧=⎨
-<⎩
与()g x 定义域和对应法则都相同，为同一函数；
D ：()g x =={|1}x x ≥
，而()f x =定义域为{|1x x ≥或
1}x ≤-，它们定义域不同，不为同一函数.
故选：AC
10．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（）
A ．1y x =-
B ．y x x
=C ．3
y x =D ．2
y x =【正确答案】BC
【分析】CD 选项是幂函数，可以直接进行判断，A 选项从奇函数和偶函数的定义判断，B 选项先化为分段函数，画出函数图象，即可说明是奇函数，也是R 上的增函数
【详解】()1f x x -=--，故()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，所以()1f x x =-既不是奇函数也不是偶函数，2y x =是偶函数，所以排除选项AD ；
因为()22,0
,0x x g x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩
，如图是函数图象，当0x <时，0x ->，故
()()()2
2g x x x g x -=-==-，所以y x x =是奇函数，且在R 上是增函数，故B 正确；
因为3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确.故选：BC.
11．已知函数()||
12x f x a b ⎛⎫
=⋅+ ⎪⎝⎭
的图象过原点，且无限接近直线2y =，但又不与该直线相交，
则（）
A ．2a =-，2
b =B ．()f x 的值域为[)
0,2C ．若0x y <<，则()()f x f y <D ．若()()f x f y =，且x y ≠，则0
x y +=【正确答案】ABD
【分析】()f x 过原点得0a b +=，由x →∞
()12f x a b b ∞⎛⎫=+→ ⎪⎝⎭，可判断A ；由(]||
1012，
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
x 得[)||
122022，⎛⎫
-+∈ ⎪⎝⎭
x 可判断B ；画出()f x 的图象可判断C ；由()f x 为偶函数可判断D.【详解】∵()f x 过原点，∴()00f =，∴0a b +=①，
又∵x →∞时，||
102x ⎛⎫→ ⎪⎝⎭，∴x →∞时，()12f x a b b ∞
⎛⎫
=+→ ⎪⎝⎭
，
由题，图象无限接近直线2y =，则2b =②，
由①②知2a =-，2b =，故A 正确；
所以()||
1222⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x f x ，(]||
1012，
⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，[)||
122022，⎛⎫
-+∈ ⎪⎝⎭
x ，所以B 正确；由图知，()f x 在(]0x ∞∈-，
上单调递减，因为0x y <<，则()()>f x f y ，故C 错误；
∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，
又∵()()f y f x =，∴()()f y f x =-，∴x y -=，∴0x y +=，故D 正确.故选：ABD.
12．
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数
的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数2
()||
a
f x x x =+
（a R ∈）的图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【正确答案】BCD
【分析】由函数的性质按照0a =、0a >、a<0分类，结合函数图象的特征即可得解.
【详解】函数2
()||a f x x x =+
的定义域为{}0x x ≠，且()()2
()||
a f x x f x x -=-+
=-，
所以该函数为偶函数，下面只讨论()0,x ∈+∞时的情况：2
(),0a f x x x
x =+>，
当0a =时，2()f x x =，图象为B ；
当0a >时，2
222()x x x a a a f x x x =+=++≥=，图象为D ；若a<0时，函数2
(),0a f x x x
x =+>单调递增，图象为C ；
所以函数的图象可能为BCD.故选：BCD.
三、填空题
13．函数()=
f x ______.【正确答案】[4,5)(5,)
+∞ 利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，列不等式组求得自变量的取值范围即可．
【详解】要使函数()5
=
-f x x 有意义，则4050x x -≥⎧⎨-≠⎩
，
解得4x ≥且，5x ≠±，
故函数的定义域为[4,5)(5,)+∞ ，故[4,5)(5,)+∞ ．
14．已知函数2()48f x x kx =--在[5，20]上具有单调性，实数k 的取值范围是____________
【正确答案】
【详解】函数2()48f x x kx =--在[]5,20上具有单调性，
只需或，即或
∴实数k 的取值范围为
15．已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______.【正确答案】4
【分析】利用基本不等式可将24ab a b =++转化为ab 的不等式，求解不等式可得ab 的最小值．
【详解】0a > ，0b >，，
可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号．
)
1
20∴
≥
，
2≥1≤-（舍去），4ab ∴≥．
故ab 的最小值为4.故4．
本题考查基本不等式，将24ab a b =++转化为不等式是关键，考查等价转化思想与方程思想，属于中档题.
四、双空题
16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜．税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间
税率（%）
速算扣除数
1[0，36000]302(36000，]1025203(，300000]2016924(，420000]253192
5
(，660000]
30
N
小华的全年应纳税所得额为元，则全年应缴个税为360003%6400010%7480⨯+⨯=元．还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额
⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为10000010%25207480
⨯-=元．按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为元时，全年应缴个税为______，表中的
N =______.
【正确答案】
23080
52920
【分析】根据全年应纳税所得额⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数，计算小李的全年应纳税所得额为元时应缴个税，计算全年应纳税所得额为元时应缴个税数，列方程求出N 的值.
【详解】根据全年应纳税所得额⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数，可得小李的全年应纳税所得额为元时，应缴个税为00200000201692023080⨯-=（元），
当全年应纳税所得额为元时，即全年应缴个税为0000005000003036000310800010N ⨯-=⨯+⨯00000015600020120000258000030+⨯+⨯+⨯，
解得52920N =（元）.故23080；52920
五、解答题
17．已知集合{|42}A x x =-≤≤，2{|450}B x x x =+->，{|11}C x m x m =-<<+.（1）求A B ⋃；
（2）若B C =∅ ，求实数m 的取值范围.
【正确答案】（1）{|5x x <-或4}x ≥-；（2）[]4,0-.
（1）先解一元二次不等式化简集合B ，再进行并集运算即可；（2）由B C =∅ 列不等关系，解得参数范围即可.
【详解】解：（1）由2450x x +->，得5x <-或1x >，所以{|5B x x =<-或1}x >，所以{|5A B x x =<- 或4}x ≥-；
（2）若B C =∅ ，则需1511m m -≥-⎧⎨+≤⎩
，解得40m m ≥-⎧⎨≤⎩，
故实数m 的取值范围为[]4,0-.
18．已知函数23,[1,2]
(){3,(2,5]
x x f x x x -∈-=-∈．
（1）在如图给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；
（2）写出()f x 的单调递增区间及值域；（3）求不等式()1f x >的解集．【正确答案】（1）见解析
（2）()f x 的单调递增区间[1,0],[2,5]-，值域为[1,3]-；
（3）[(1,5]
-⋃【分析】（1）要利用描点法分别画出f(x)在区间[-1,2]和(2,5]内的图象.（2）再借助图象可求出其单调递增区间.并且求出值域.（3）由图象可观察出函数值大于1时对应的x 的取值集合.【详解】（1）
（2）由图可知()f x 的单调递增区间[1,0],[2,5]-，值域为[1,3]-；
（3）令231x -=
，解得x
；
令31x -=，解得2x =.
结合图象可知的解集为(]
4,5⎡-⋃⎣19．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =
+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()511450C x x x
=+-（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【正确答案】（1）2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
（2）100千件【分析】（1）根据题意，分080x <<，80x ≥两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.
【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得：
当080x <<时，2211()(0.051000)102004020033⎛⎫=⨯-+-=-+- ⎪⎝⎭
L x x x x x x ．当80x ≥时，10000()(0.051000)511450200L x x x x ⎛⎫=⨯-+-- ⎪⎝⎭
100001250⎛⎫=-+ ⎝
⎭x x 所以2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
（2）当080x <<时，21()(60)10003
L x x =--+．此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)1000L =万元．
当80x ≥
时，10000()125012502L x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝
⎭
12502001050=-=．此时10000x x
=，即100x =时，()L x 取得最大值1050万元．由于10001050<，
答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，
最大利润为1050万元
本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.
20．在2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，广州市某村施行“封村”行动．为了更好地服务于村民，村卫生室需建造一间地面面积为30平方米且墙高为3米的长方体供给监测站供给监测站的背面靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米360元，屋顶和地面以及其他报价共计21600元，设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(310)x ≤≤．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低，最低报价为多少？
(2)现有乙工程队也参与此监测站建造竞标，其给出的整体报价为2160(2)+a x x
元(0)a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．
【正确答案】(1)当左右两面墙的长度为5米时，甲工程队报价最低，最低报价为43200元
(2)012.8
a <<【分析】（1）由题意，整理甲工程队报价关于x 的表达式，利用基本不等式，可得答案；
（2）由题意，将问题转化为证明不等式恒成立问题，利用参变分离，构造新函数，利用函数单调性，求得最值，可得答案.
【详解】（1）由题意，屋子的左右两侧墙的长度均为x 米，则正面新建墙体的长为30x 米，设甲工程队报价为y 元，
()302533602600321600216021600,310y x x x x x ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+=++≤≤ ⎪⎝⎭，
21602160043200y ≥⨯=，当且仅当25x x =，5x =时等号成立，当左右两面墙的长度为5米时，甲工程队报价最低，最低报价为43200元.
（2）由题意可得，()2160225216021600a x x x x +⎛⎫++> ⎪⎝⎭
对任意[]3,10x ∈恒成立.
即()()252x a x x x ++>，从而()252
x a x +>+，恒成立，令2x t +=，()()[]225396,5,122x t t t x t t
++==++∈+，令96y t t =++，任意取[]12,5,12t t ∈，设12t t >，则()()1212121212
99966t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由12120,259t t t t ->>>，则1212
9966t t t t ++>++即96y t t
=++在[]5,12t ∈上单调递增，故当5t =时，min 12.8y =，所以012.8a <<.
21．已知二次函数2()21(0)g x mx mx n m =-++>在区间[0,3]上有最大值4，最小值0．
(1)求函数()g x 的解析式；
(2)设()2()g x x f x x -=
．若0-f 在1,6464⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
x 时恒成立，求k 的取值范围．【正确答案】(1)2()21g x x x =-+；
(2)33.
k ≥【分析】（1）根据二次函数的性质讨论对称轴，即可求解最值，可得解析式．
（2
）化简已知得21k ≥+
,t =得241k t t ≥-+在1[,8]8t ∈恒成立，利用二次函数求出函数的最大值即得解.
【详解】（1）2()21(0)g x mx mx n m =-++>其对称轴x ＝1，x ∈[0，3]上，
∴当x ＝1时，()g x 取得最小值为﹣m +n +1＝0①．
当x ＝3时，()g x 取得最大值为3m +n +1＝4②．
由①②解得m ＝1，n ＝0，
故得函数()g x 的解析式为2()21g x x x =-+.
（2）由题得()2()241g x x x x f x x x
--+==
，0f -≤Q
0≤，
所以10x kx --≤，所以1x kx -+≤，所以211k
x ≥
--，1,[,8]
8t t =∈，所以241k t t ≥-+在1[,8]8t ∈恒成立.又函数2()41h t t t =-+在8t =时最大值为33.
所以33.
k ≥22．已知函数()(2)||(R)f x x x a a =-+∈，
(1)当1a =-时，①求函数()f x 单调递增区间；②求函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎣⎦
的值域；(2)当[3,3]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．
【正确答案】(1)①函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
；②[]30,0-；(2)3-
【分析】（1）由已知，将1a =-代入原函数，去掉绝对值，分别在1x >和1x ≤两种情况下
讨论二次函数的单调区间，根据得到的函数()f x 的单调性，在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上可确定最值点，从而确定值域；
（2）分别在3a -≥，2a -≤以及23a <-<三种情况下，结合二次函数的对称轴与端点值的大小即可确定函数()f x 的最大值，从而求解出()g a 的解析式，然后根据函数()g a 的单调性，在求解()g a 的最小值.
【详解】（1）当1a =-时，函数()(2)|1|f x x x =--，
当1x >时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+，
此时，函数()f x 在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，当1x ≤时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+-，
此时，函数()f x 在(],1-∞上单调递增，
所以函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
；因为函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，所以函数()f x 在区间[]4,1-上单调递增，在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
所以min 3()min (4),()2f x f f ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，max 7()max (1),()4f x f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，因为(4)(42)(14)30f -=--+=-，1()(2)()4
3331222f -=-=-，(1)(12)(11)0f =--=，3()(2)()16
7771444f ==---，所以函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
的值域为[]30,0-；（2）由已知可得，22(2)()(2)2,()(2)()(2)2,x x a x a x a x a f x x x a x a x a x a ⎧-+=+--≥=⎨--+=-+-+<⎩
，当3a -≥时，即3a ≤-时，2()(2)2f x x a x a =-+-+，对称轴为2522a x -=
≥，当232
a -≥时，即4a ≤-时，函数()f x 在区间[3,3]-上单调递增，所以()(3)3g a f a ==--，当
52322
a -≤<时，即43a -<≤-时，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以24
2244()()a a g a f a ++=-=，当2a -≤时，即2a ≥-时，若[3,2]x ∈-，()0f x ≤，若[2,3]x ∈，()0f x >，
因为当(]2,3x ∈时，2()(2)2f x x a x a =+--，对称轴为222
a x -=≤，所以函数()f x 在区间(]2,3上单调递增，所以()(3)3g a f a ==+，
当23a <-<，即32a -<<-时，此时2252a -<
<，当22
a a -≥-，即22a -≤<时，函数()f x 在区间[)3,a --上单调递增，在区间2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递增，
所以{}{}()max (3),()max 3,03g a f f a a a =-=+=+，当
22
a a -<-，即32a -<<-时，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间(],3a -上单调递增，
所以244()max (3),()max ,4232a a a g a f a f ⎧⎫++⎧⎫⎭
-+=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩若24434
a a a +++≥
，即2a -≤<-时，()3g a a =+，若24434a a a +++<
，即3a -≤<-244()4
a a g a ++=，
综上所述，23,44(),443,4a a a a g a a a a ⎧+≥-⎪++⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎪⎩
，函数()3g a a =--在区间(],4-∞-上单调递减，函数244()4a a g a ++=
在区间(4,--上单调递减，函数()3g a a =+
在区间)⎡-+∞⎣上单调递增，
所以min 33()(g a g -=-=-=在涉及二次函数有关的函数单调性、最值和值域的求解问题时，解题的关键是能够够结合对称轴的位置，分段函数分段处对参数进行讨论，在参数不同范围的情况下确定最值点的位置.。