有理不等式的解法1

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不等式的解法

x
4
0
3x 5 x 4
x
x
x
5 3 4 1 2
x4,
4. x23x10 x4
解:
x2 3x10 0 x4 0
x 5或 x 2
x
4
x2 3x 10 (x 4)2
x
26 5
x
5,
26 5
不等式解法的两个极其重要的思想:
⒈转化:即将绝对值不等式即其他不等式向代数不等式或代数不等式组转化,再对其求解.
一.一次不等式和不等式组的解法二.二次不等式的解法三.高次不等式的解法四.分式不等式的解法五.绝对值不等式的解法六.无理不等式的解法
一元一次不等式和不等式组的解法
一元一次不等式即为形如ax>b的不等式。
当a>0 则x> b a
当a<0 则x< b a
当a=0 且b 0 则为
当a=0 且b<0 则为R
解:1.当a=0时,不等式为：-x>0,解集为:{x|x＜0}
2. 当a≠0时，不等式为：(ax-1)(x-a)>0，（1）当a>0时，不等式为:(x-1/a)(x-a)>0，
①a>1,a>1/a,解集为:{x|x＜1/a或x>a}， ② 0＜a＜1,a＜1/a,解集为:{x|x＜a或x>}， ③ a=1,a=1/a=1,解集为:{x|x∈R且x≠1}; （2）当a＜0时，(x-1/a)(x-a)＜0， ①-1＜a＜0,a>1/a,解集为:{x|1/a＜x＜a} ②a＜-1,a＜1/a,解集为:{x|a＜x＜1/a}， ③a=-1,a=1/a=-1,解集为:x∈Φ。
列表法: f(x)的根把实数集分成若干个区间,

不等式的解法举例

x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
例2.解不等式: ax≥x+3
x | 1 x 2
(2) x2-2x-8≤0 x | 2 x 1或1 x 4 x2-1>0
（3）x2 3x 4 0
思考
(ax 1)(x 2) 0的解集是什么
五、含绝对值的不等式的解法：
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 1
x |1 x 2或3 x 4
例6、解不等式 x2 4 x 2
代数不等式
有理不等式无理不等式
整式不等式分式不等式
一次二次
高次
初等超越不等式
指数不等式对数不等式
二、不等式的分类
代数不等式
有理不等式无理不等式
整式不等式分式不等式
一次二次
高次
初等超越不等式
指数不等式对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
1、把未知数x的系数转化成正数，把因式分解成(x－a)(x－b)(x－c)……形式
2、在数轴上把每个因式的根标出来 3、按照从左至右从上至下的顺序
开始画曲线 4、若因式的指数是奇数次方，则曲线可
以穿过数轴；若因式的指数是偶数次方则曲线不穿过数轴 5、不等式为大于零则取数轴上方所取得x范围；不等式为小于零则取数轴下方所取的x范围
当a 1时x

不等式的解法

复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。

复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。

（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。

2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。

易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。

如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。

3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。

4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。

<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。

5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。

<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。

6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。

易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。

解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。

高一解不等式求解集技巧

高一解不等式求解集技巧解不等式是高中数学中的一个重要内容，也是高中数学中的一个难点。

本文将介绍如何解不等式以及解不等式的常用技巧。

一、解不等式的基本步骤解不等式的基本步骤如下：1. 将不等式所给的条件和不等式的要求明确起来，确定不等式的范围和形式；2. 通过基本的代数运算，使不等式的未知数系数为正数；3. 根据不等式的性质进行变形；4. 利用数轴、集合的相关概念和相关性质，进行推理和分析；5. 根据题意进行判断、计算、化简；6. 最后给出不等式的解集。

二、解一元一次不等式一元一次不等式的一般形式为ax+b>0（或ax+b<0），其中a和b为已知数，x为未知数。

1. 当a>0时，不等式的解集是x>-b/a（或x<-b/a），即从实数轴上某个点开始往右（或往左）的方向一直到无穷远，是一个开区间。

2. 当a<0时，不等式的解集是x<-b/a（或x>-b/a），即从实数轴上某个点开始往左（或往右）的方向一直到无穷远，是一个开区间。

三、解一元二次不等式一元二次不等式的一般形式为ax^2+bx+c>0（或ax^2+bx+c<0），其中a、b和c为已知数，x为未知数。

1. 当a>0时，不等式的解集是x∈(-∞, x1)∪(x2, +∞)，即在实数轴上去掉x轴上x1和x2两个点后，分别取这两个点往实数轴两边无穷远延伸的部分。

2. 当a<0时，不等式的解集是x∈(x1, x2)，即在实数轴上x1和x2之间的部分。

四、解一元有理不等式有理不等式的一般形式为一个分式不等式，例如，(x-1)/(x+2)>0。

我们可以把有理不等式转化为分子和分母同号的形式:1. 计算出分子和分母的零点；2. 根据分子和分母的符号确定不等式的符号，可以画出函数的符号表；3. 根据不等式的要求分析解集的性质，给出解集。

五、利用数轴画出解集在解不等式的过程中，可以利用数轴来帮助分析和解决问题。

基本不等式题型及常用方法总结

基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。

1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。

- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。

2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。

- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。

3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。

- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。

4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。

- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。

常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。

2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。

3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。

4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。

5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。

同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。

常见不等式的解法

常见不等式的解法【知识要点】一、一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式.当0a >时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法1、二次不等式2()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.2、当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示（1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数.（2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.（3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩②当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.(1)x a b a >>log ()log log x a a a a b x b ⇒>⇒> (01)x a b a ><<log ()log log x a a a a b x b ⇒<⇒<log 00log (1)aa xb x x x b a x b aa >>⎧⎧>⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎩其中log 00log (1)aa xb x x x b a x b a a >>⎧⎧>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎩其中0四、分式不等式的解法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集.温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域. 五、高次不等式的解法先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集.实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 六、绝对值不等式的解法方法一：公式法解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴.方法二：零点讨论法解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.方法三：平方法如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以使用平方法. 七、无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ．八、抽象的函数不等式的解法一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答. 学科#网【方法讲评】【例1】解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为ax 11<<．当1=a 时，11=a ，此时②的解为11<<x a．【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．【反馈检测1】解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．【例2】解不等式211126()82x x ---⨯<【点评】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解.【反馈检测2】解关于x 的不等式：)22(223x x x xa --<-（其中0a >）【例3】已知0>a 且1a ≠，关于x 的不等式1xa >的解集是{}0x x >，解关于x 的不等式1log ()0a x x-<的解集.【点评】本题选同底法解答，把0写成log 1a ，再利用对数函数的图像和性质将不等式变成分式不等式组解答.【反馈检测3】解不等式21log (2)1x x x +-->.【例4】解关于x 的不等式12>-x【点评】分析：若将原不等式移项、通分整理可得：02)2()1(>----x a x a ⇔0)2)](2()1[(>----x a x a显然，现在有两个问题：（1）1a -的符号怎样？（2）12--a a 与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标准所在.【反馈检测4】解不等式x xx x x <-+-+222322．)(n x a -数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上【例5】解不等式： 015223>--x x x【点评】如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．学科#网【反馈检测5】0)2()5)(4(32<-++x x x【例6】|5||23|1x x --+<【点评】该题由于有两个不等式，所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测6】解不等式242+<-x x【例7】解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．【解析】原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥．综上可知，当20≤<a时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．【点评】本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2ax >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．【反馈检测7】解不等式x x x ->--81032．【例8】若非零函数对任意实数均有，且当时，. （1）求证：；（2）求证：为减函数；（3）当时，解不等式.（3）由原不等式转化为，结合（2）得：故不等式的解集为【点评】（1）第（3）问的关键是找到1(?)4f =，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具()f x ,a b ()()()f a b f a f b +=0x <()1f x >()0f x >()f x 1(4)16f =21(3)(5)4f x f x --≤211(4)(2)1(2)164f f f ==⇒=，由（）)2()53(2f x x f ≤-+-10222≤≤⇒≥-+x x x {}10|≤≤x x体函数不等式.【反馈检测8】函数对任意(0)x y ∈+∞，，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x <. （l ）判断函数的单调性并证明相关结论；（2）若(2)1f =-，试求解关于x 的不等式()(3)2f x f x +-≥-.【反馈检测9】【2017江苏，11】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若 2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .不等式的解法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测2答案】见解析【反馈检测2详细解析】解原不等式得：即),12()12(2222-<-x xxa0)14)(4(),14()14(4<--∴-<-x x x x x a a)0,(log ,14,104a a a x 此时不等式的解集为时当<<<<此时不等式无解时当,0)14(,12<-=x a )log ,0(,41,14a a a x 此时不等式的解集为时当<<>【反馈检测3答案】3x >()f x ()fx【反馈检测3详细解析】[法一]原不等式同解于所以原不等式的解为3x >.[法二]原不等式同解于211log (2)log (1)x x x x x ++-->+所以原不等式的解为3x >.【反馈检测4答案】}321{><<-x x x 或【反馈检测5答案】{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测5详细解析】原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测6答案】{}31<<x x【反馈检测6详细解析】解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x 故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或．【反馈检测7答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x【反馈检测8答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）{34}x x <≤.学科#网【反馈检测8详细解析】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减1212,,(0,)x x x x <∈+∞任取且 2221111()()()()x x f x f x f x f x x =⋅=+则 2211()()()x f x f x f x ∴-= 120x x << 21()0x f x ∴< 2112()()0()()f x f x f x f x ∴-<>即 ()(0,)f x ∴+∞在单调递减（2）2)2()2()4(-=+=f f f ((3))(4f x x f ∴-≥原不等式可化为 ()0f x +∞又在（，）上单调递增030(3)4x x x x >⎧⎪∴->⎨⎪-≤⎩34x <≤解得 {34}x x ∴<≤原不等式解集为. 【反馈检测9答案】1[1,]2-。

高考数学不等式的解法

2006年名师课堂辅导讲座—高中部分
张彦洁高级教师
[学习内容]
一、有理不等式的解法
有理不等式主要指一元一次不等式、一
元二次不等式、高次不等式和分式不等
式 1、一元一次不等式
：ax

b(a

0)

x x

b
a b
(a (a

43;bc+c>0（或
<0）(a>0)的解的情况
3、简单的高次不等式将不等式一边化为若干个一次因式积，一边为0的情形，再用数轴标根法写出不等式的解集。
4、分式不等式：通过移项、通分变为（或≤0）的形式
f x gx

0
f g
x x

0（或≤0）

f
xgx 0或
gx 0

0
; 哈利魔法科学；
为君失时，贼弟佞臣将作乱矣。后八日大雨雪，阴见间隙而胜阳，篡杀之祸将成也。公不寤，后二年而杀。昭帝始元元年七月，大水雨，自七月至十月。成帝建始三年秋，大雨三十馀日。四年九月，大雨十馀日。《左氏传》愍公二年，晋献公使太子申生帅师，公衣之偏衣，佩之金玦。狐突叹曰 “时，事之征也。衣，身之章也。佩，衷之旗也。故敬其事，则命以始。服其身，则衣之纯。用其衷，则佩之度。今命以时卒，閟其事也。衣以尨服，远其躬也。佩以金玦，弃其衷也。服以远之，时以閟之，尨凉冬杀，金寒玦离，胡可恃也”梁馀子养曰“帅师者，受命於庙，受脤於社，有常服矣。弗获而尨，命可知也。死而不孝，不如逃之”罕夷曰“尨奇无常，金玦不复，君有心矣”后四年，申生以谗自杀。近服妖也。《左氏传》曰，郑子臧好聚鹬冠，郑文公恶之，使盗杀之，刘向以为近服妖者也。一曰，非独为子臧之身，亦文公之戒也。初，文公不礼晋文，又犯天子命而伐滑，

不等式解法-图表

无理不等式解法
解无理不等式的基本思想就是讨论不带根式一边的正负情况并用乘方转化为有理不等式组求解。但一定要注意偶次根式下非负及使用偶次乘方的前提条件：（是正偶数）。简单的无理不等式用数形结合法求解更好。
1． 2．
3．或
对数指数不等式解法
解对数指数不等式的指导思想就是利用对数指数函数的单调性转化为有理不等式（组）求解。但必须注意对数真数大于0，底数大于0且不等于1。
高次分式不等式解法
穿根法：把高次分式不等式分解成一次因式的乘积和商（要求每一个一次因式中的系数是正数），然后把各因式的根从小到大标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（不穿过偶次根），最后根据符号规律写出不等式解集（注意偶次根是否需要排除）
分式不等式一般用移项通分法或分组分解法求解，分组分解法的常见类型为：或
1．
2．
3．；
4．或
绝对值不等式
解绝对值不等式的基本思想就是根据绝对值定义或基本绝对值不等式去掉绝对值。
基本绝．法一：或
法二：
2．法一：或
法二：或
3.．（然后移项分解因式）
4．含二个以上绝对值的不等式的解法常用零点分区间去绝对值的思想求解

有理不等式的解法ppt

+
+ + + +
+
+
-
由上表可知，原不等式的解集为： x | 1 x 1或2 x 3 .

解法（三）：数轴标根法，也叫穿线法。对于一元高次不等式，形如（x-x1) （x-x2) （x-x3) …（x-xn) ﹤0(﹥0),其中x1 ﹤ x2﹤ … ﹤ xn 的解法.用穿线法。步骤：（1）化为标准形式，系数必须为正。（2）令 f(x)=0 ,在数轴上从左到右，从小到大依次标出x1 、 x2、 … 、 xn （3）从右上方依次过每一个点画曲线。
例1 解不等式
x 2x 3
2
0
解法一：这个不等式的解集是下面的不等式组（I）和不等式组（II）的解集的并集：
x 2 3x 2 0...(1) x 2 3 x 2 0...( 3) ( I ).. 2 ( II ).. 2பைடு நூலகம் x 2 x 3 0...( 2) x 2 x 3 0...( 4)
把各因式的根按从小到大的顺序排列，可得下表：
各因式的值的符号
根
因式
0
-
-1
+
-
2
+
+ -
3
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+ +
x x+1 x-2 x-3
x( x 3)( x 1)( x 2)
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+ + + +
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-
由上表可知，原不等式的解集为： x | 0 x 1或2 x 3 .

不等式的解法高中数学

不等式的解法高中数学高中数学：不等式与不等式组的解法1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。

例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△<0，其解集为R②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)m2+4m-12<0(2)解：由①得m<-5或m>1由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)4.分式不等式的解法任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).故原不等式的解集为(-1，43).5.含有绝对值不等式的解法去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。

不等式的解法

不等式的解法学科：数学教学内容：6.4 不等式的解法【基础知识精讲】1.解不等式的差不多思想我们已学过的一元一次不等式、一元二次不等式的解法是学习本节的基础.在解其它类型的不等式时，通过转化，将它们等价变形为一次、二次不等式(组).转化思想为：假如不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；假如代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；假如有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；假如整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为一次、二次不等式(组).注意：每一步变形，都应是不等式的等价变形. 2.不等式的解法①一元一次不等式的解法一元一次不等式ax>b 的解集情形是：1°当a>0时，解集为｛x ｜x>a b ｝ 2°当a<0时，解集为｛x ｜x<ab｝3°当a ＝0时， b ≥0时，解集为φb<0时，解集为R.②一元二次不等式的解法：设a>0，x 1，x 2是方程.2注：当a<0时，可在不等式两边乘-1转化为二次项系数为正的情形，再按上表进行. ③高次不等式的解法：高次不等式用根轴法求解，其步骤是： 1°将f(x)的最高次项的系数化为正数. 2°将f(x)分解为若干个一次因式的积.3°将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次穿过每一个根点画曲线. 4°依照曲线显现出f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集. ④分式不等式的解法：先将不等式整理成)()(x g xf >0或)()(x g x f ≥0的形式，再转化为整式不等式求解. 即)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0 )()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥•0)(0)()(x g x g x f⑤无理不等式的解法：转化为有理不等式求解.)(x f >g(x) ⇔⎩⎨⎧≥≥2)]x (g [)x (f 0)x (g 或⎩⎨⎧≥<0)x (f 0)x (g)(x f <g(x) ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x f x g)(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)x (g )x (f 0)x (f 0)x (g ⇔f(x)>g(x)≥0⑥指数不等式的解法. 1°同底法 af(x)>ag(x)⇔⎩⎨⎧>><<<)()(1)()(10x g x f a x g x f a 2°取对数法 af(x)>bg(x)⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<<>>babax g x f a x g x f a log )()(10log )()(1 3°换元法⑦对数不等式的解法.1°同底法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>>>⎩⎨⎧><<<⇔>0)()()(10)()()(10log log )()(x g x g x f a x f x g x f a x g ax f a 2°换元法3.本节学习要求(1)解各种变型的不等式，关键要把它们变形为一次、二次不等式(组).(2)求函数的定义域、值域、二次方程的根的分布、讨论参变量的取值范畴等均可化为解不等式的问题.通过本节学习，培养学生的运算能力，使学生明白得把握等价转化的致学思想方法. 【重点难点解析】知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性、逻辑性.因此，建议同学们在学习本节时，应复习初中的一元一次不等式、一元二次不等式的解法，在此基础上，连续学习高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式及对数不等式的解法.例1 解关于x 的不等式：2)1(--x x a >1 (a ≠1)分析这是一个分式不等式，应先移项，再通分进行因式分解变形.切忌两边同乘以(x-2)而转化为整式不等式，因为(x-2)的正负未知.另外，注意对参数a 的正确的分类讨论.解：原不等式等价于2)2()1(----x x x a >0即为 2)2()1(----x a x a >0⇔ ［(a-1)x-(a-2)］(x-2)>0⇔ (a-1)(x-12--a a )(x-2)>0 ① 当a>1时，式①⇔ (x-12--a a )(x-2)>0 ∵ 12--a a -2＝-11-a -1<0∴1a 2a --<2. ∴ 原不等式的解集为(-∞，12--a a )∪(2,+∞). 当a<1时，式①⇔(x-12--a a )(x-2)<0 由 2-12--a a ＝1-a a知当0<a<1时，1a 2a -->2，则原不等式解集为(2，12--a a ) 当a ＝0时，原不等式(x-2)2<0，解集为φ.当a<0时，12--a a <2，则原不等式解集为(12--a a ,2). 综上所述：当a<0时，原不等式解集为(12--a a ,2) 当a ＝0时，原不等式解集为φ. 当0<a<1时，原不等式解集为(2，12--a a )当a>1时，原不等式解集为(-∞，12--a a )∪(2,+∞) 点评：本题需要两级分类，第一级按a>1和a<1分为两级，多数学生都能做到，在a<1的情形下，又要按两根12--a a 与2的大小关系分为a<0,a ＝0和0<a<1三类，这时就有许多学生找不到分类的依据，甚至缺乏分类讨论的意识.例2 解不等式222322xx x x -+-+<x 分析此题是分式不等式，可按分式不等式的解法求解.即需先移项通分，整理成)()(x g x f 0的形式，再转化为它们的整式不等式求解.解：移项整理，将原不等式转化为：)1)(3()1)(2(2+-++-x x x x x >0∵ x 2+x+1>0恒成立. ∴ 原不等式等价于)1)(3(2+--x x x >0解之，得原不等式解集为｛x ｜-1<x<2或x>3｝.注：此题也可用列表法或数轴标根法求解，但用根轴法更简捷. 例3 解不等式log 2)12(-x·log 21)22(1-+x >-2.分析此题为对数不等式，(可通过换元)，由log 21)22(1-+x ＝21log)]12(2[1x -+＝-1-log 2)12(-x，因此可通过换元令t ＝log 2)12(-x，则可转化为代数不等式求解.解：原不等式可化为： log 2)12(-x·［-1-log 2)12(-x］>-2令log 2)12(-x＝t,则上面不等式可化为：t(-1-t)>-2.即t 2+t-2<0即 (t+2)(t-1)<0 ∴ -2<t<1 从而有 -2<log 2)12(-x<1则 2-2<2x-1<2 即45<2x<3∴ log 245<x<log 23∴ log 25-2<x<log 23∴ 原不等式解集为｛x ｜log 25-2<x<log 23｝【难题巧解点拨】例1 关于x 的二次方程x 2+(m-1)x+1＝0在区间［0，2］上有解，求实数m 的取值范畴. 分析此题为含参的一元二次方程解的情形，可由二次方程的实根分布来解.则可设f(x)＝x 2+(m-1)x+1题意即为f(x)＝0在［0，2］上有解，其中包括两种情形：1°有一解，2°有两解.解：设f(x)＝x 2+(m-1)x+1 x ∈［0，2］，则： (1)f(x)＝0在区间［0，2］上有一解：因为f(0)＝1>0 因此只需f(2)≤0 即 4+2(m-1)+1≤0⇒m ≤-23 (2)f(x)＝0在区间［0，2］上有二解.则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤-⇒≤-≤≥0)2(12322100f m m △综上由(1)(2)可知：m ≤-1.例2 若关于x 的方程4x +a ·2x+a+1＝0有实数解，求实数a 的取值范畴?解法一：令t ＝2x (t>0)，则原方程化为t 2+at+a+1＝0(1)则问题转化为方程(1)在(0，+∞)上有实数解，求a 的取值范畴.由⎩⎨⎧≥0)1(0的较大根大于方程△ 即⎪⎩⎪⎨⎧>+-≥+-020)1(42△a a a解得：a ≤2-22解法二：令t ＝2x(t>0)，则原方程化为t 2+at+a+1＝0，变形为：a ＝-tt ++112＝-12)1(2++-t t＝-［(t-1)+12+t ］＝-［(t+1)+ 12+t -2］≤-(22-2)＝2-22例3 已知f(x)是定义在区间(-∞，4)上的减函数，是否存在实数m ，使得 f(m-sinx)≤f(m 21+-47+cos 2x)对定义域内的一切实数x 均成立.若存在，求出m 的取值范畴，若不存在，说明理由.解：假设存在实数m ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧--≥++-≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≥++-≤-22)21(sin 21214sin sin cos 47214sin x m m x m x x m m x m ∵sinx 的最小值为-1，且-(sinx-21)2的最大值为0，要满足题意，则须有： ⎪⎩⎪⎨⎧-=≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥++--≤-212330212114m m m m m m 或∴m 的取值范畴是｛m ｜m ＝21或23≤x ≤3｝【命题趋势分析】平常要求：1.按解各类不等式的解法来求解不等式. 2.含参的不等式问题，能对参数进行正确的分类讨论.3.应用不等式可求函数的定义域、值域、讨论函数的单调区间、讨论函数的一元二次方程根的存在和根的分布.【典型热点考题】例1 实数m 在什么范畴时方程x 2+(m-3)x+m ＝0的两根满足：(1)差不多上正根；(2)都在(0，2)内.解：(1)依题意，满足⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥--=00304)3(2m m m m △时，即m ∈(0,1)时两根均为正.(2)设f(x)＝x 2+(m-3)x+m ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<-≤≥⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥32031190)2(0)0(22300m m m m m f f m 或△⇒32<m ≤1，即m ∈(32，1)时，两根都在(0，2)内. 例2 关于实数x 的不等式｜x-21(a+1)2｜≤21(a-1)2与x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0 (a ∈R)的解集分别为A 和B ，求使A ⊆B 的a 的取值范畴.解：由｜x-21(a+1)2｜≤21(a+1)2得2a ≤x ≤a 2+1,∴A ＝｛x ｜2a ≤x ≤a 2+1,a ∈R ｝. 由x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0，可得(x-2)［x-(3a+1)］≤0，当3a+1≥2即a ≥31时，B ＝｛x ｜2≤x ≤3a+1 a ∈R ｝，当3a+1<2即a<31时，B ＝｛x ｜3a+1≤x ≤2 a ∈R ｝,∴当a ≥31时，若A ⊆B ，则有⎩⎨⎧+≤+≤131222a a a ，解不等式组得1≤a ≤3. 当a<31时，若A ⊆B ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≤+211221322a a a a a ，解不等式组得：a ＝-1，故使A ⊆B 的a 的取值范畴是｛a ｜1≤a ≤3或a ＝-1｝. 例3 设y ＝]1)(2[2122log +-+x x x b ab a (a>0,b>0)，求使y 为负值的x 的取值范畴.解：要y<0，只要a 2x +2(ab)x -b 2x >0，即b 2x［(b a )2x +2·(ba )x-1］>0, ∵b 2x>0,∴［(b a )x ］2+2(b a )x-1>0. 解那个关于(b a )x 的二次不等式得：(b a )x >2-1或(b a )x <-2-1，但(b a )x>0，∴只有(ba )x>2-1,∴当a ＝b>0时，x ∈R. 当a>b>0时，b a >1，两边取以b a 为底的对数，得x>)12(log -ba .当0<a<b 时，0<b a <1，两边取以b a 为底的对数，得x<)12(log -ba ，因此x 的取值范畴是：当a ＝b>0时，x ∈R.当a>b>0时，x ∈()12(log -ba,+∞).当0<a<b 时，x ∈(-∞，)12(log -ba).【同步达纲练习】A一、选择题1.若x 满足x 1<2与x 1>-3则x 的取值范畴是( ) A. -31<x<21 B .x>21C. x<-31 D. 0<x<21 2.函数y ＝)23(31log x -的定义域为( )A.｛x ｜x ≥-3｝B.｛x ｜-3≤x ≤23｝ C.｛x ｜1≤x ＜23D.｛x ｜x ≥-1｝ 3.与不等式xx --45≥0同解的不等式是( )A.(x-5)(4-x)≥0B.lg (x-4)≤0C.xx --45≥0 D.lg (x-5)≥0 4.设0<a<1，给出下面四个不等式： ①)1(2log +a a <)1(3log +a a②2a a >(2a )a③(2a )a >a a ④a a >2a a 其中不成立的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知方程mx 2-2(m+2)x+(m+5)＝0有两个不同的正根，则m 的取值范畴是( ) A.m<4 B.0<m<4C.m<-5或0<m<4D.m<-2或0<m<4 二、填空题6.不等式21x -≥x 的解集为 .7.不等式(31)82-x >3-2x的解集为 . 8.不等式lg )22(2++x x <1的解集为 .三、解答题9.若不等式49)1(220822+++++-m x m mx x x <0的解集为R ，求实数m 的取值范畴.10.解不等式lg )1(xx -<0AA 级一、选择题1.已知I ＝R ，集合M ＝｛x ｜20012000--x x ≤0,x ∈R ｝，N ＝｛x ｜(x-2000)(x-2001)≥0，x∈R ｝，P ＝｛x ｜10(x-2000)(x-2001)≥1，x ∈R ｝，则( )A.M ∩N ＝PB.M ∪P ＝NC.M ∩N ∪P ＝MD.M ∪N ∪P ＝R2.已知不等式x 2-4x+3<0① x 2-6x+8<0② 2x 2-9x+m<0③，要使同时满足①②的x 也满足③，则有( )A.m>9B.m ＝9C.m ≤9D.0<m ≤93.若函数f(x)＝)2(212log ++kx x 的值域为(-∞,+∞)，则实数k 的取值范畴是( )A.(-22，22)B.［-22,22］C.(-∞，-22)∪(22,+∞)D.(-∞,-22)∪［22,+∞］4.关于x 的不等式(k 2-2k+25)x <(k 2-2k+25)1-x的解集为( ) A.｛x ｜x<21｝ B.｛x ｜x>21｝C.｛x ｜x>2｝D.｛x ｜x<2｝ 5.若ax 2+bx+c>0的解集为｛x ｜x<-2或x>4｝，那么关于函数f(x)＝ax 2+bx+c 会有( ) A.f(5)<f(2)<f(-1) B.f(2)<f(5)<f(-1) C.f(-1)<f(2)<f(5) D.f(2)<f(-1)<f(5) 二、填空题6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-0492x x 的解集是 .7.不等式ax 2+bx+2>0的解集为(-21，31)，则a+b 的值是 . 8.4x(x+2)-8·32x >0的解集为 . 三、解答题9.已知A ＝｛x ｜5-x ≥21-x ｝B ＝｛x ｜x 2-ax ≤x-a ｝，当A ⊂B 时，求a 的取值范畴.10.设关于x 的二次方程px 2+(p-1)x+p+1＝0有两个不等的正根，且其中一根大于另一根的两倍，求p 的取值范畴.【素养优化训练】一、选择题1.假如不等式a x +≥x 的解集在数轴上构成长度为2a 的区间，则a 的值等于( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设命题P:关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同；命题Q ：21a a ＝21b b ＝21c c，则命题Q 是命题P 的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设x 1<x 2…<x n ,n ∈N 且n ≥2.｛x ｜(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )>0｝⊃｛x ｜x 2-(x 1+x n )x+x 1x n >0｝，则n( )A.等于2B.是大于2的任意奇数C.是大于2的任意偶数D.是大于1的任意自然数4.在x ∈(31,3)上恒有｜log a x｜<1成立，则实数a 的取值范畴是( ) A.a ≥3 B.0<a ≤31C.a ≥3或0<a ≤31D.a ≥3或0<a<315.已知f(x)、g(x)差不多上奇函数，f(x)>0的解集为(a 2-b),g(x)>0的解集为(22a ，b)，则f(x)·g(x)>0的解集为( )A.(22a ,2b ) B.(-b,-a 2)C.(a 2, 2b )∪(-2b ,-a 2) D.(22a ,b)∪(-b 2,-a 2)二、填空题6.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范畴是 .7.设函数f(x)＝122++x bax ,x ∈(-∞，+∞)的最大值为4，最小值为-1，则a 、b 的值为 .8.已知函数f(x)＝ax+2a+1的值在-1≤x ≤1时有正有负，则a 的取值范畴为 .三、解答题9.已知F(x)＝f(x)-g(x)，其中f(x)＝log a (x-b)，当且仅当点(x 0，y 0)在f(x)的图像上时，点(2x 0,2y 0)在y ＝g(x)的图像上.(b>0,a>0且a ≠1)(1)求y ＝g(x)的解析式. (2)当F(x)≥0时，求x 的范畴.10.汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车时还要连续向滑行一段距离才能停住，称这段距离为刹车距离，刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速为40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发觉情形不对时，同时刹车，但依旧相撞了.事故后，现场测得甲车的刹车距离是略超过12米，乙车的距离略超过10米，又已知甲、乙两种车型刹车距离s 米与车速x 千米/小时之间有如下关系：S 甲＝0.1x+0.01x 2，S 乙＝0.05+0.005x 2，问超速应负责任的是谁?答案：A 级1.D2.C3.B4.B5.B6.｛x ｜x ≤22｝ 7.｛x ｜-2<x<4｝ 8.｛x ｜-4<x<2｝ 9.解：∵x 2-8x+20＝(x-4)2+4>0恒成立，∴原不等式等价于mx 2+2(m+1)x+9m+4<0恒成立，则只须⎩⎨⎧<<00△m 即⎩⎨⎧<+-+<<0)49(4)1(402m m m m △，因此可得m ∈(-∞,- 21). 10.解：由对数函数的性质和定义知：0<x-x 1<1，即0<x x 12-<1,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-110122xx xx 即⎪⎩⎪⎨⎧<-->-0)1(0)1(22x x x x x ，当x>0时，有⎪⎩⎪⎨⎧<-->->0101022x x x x ，∴解集为｛x ｜1<x<251+｝,当x<0时，有⎪⎩⎪⎨⎧>--<-<0101022x x x x ,∴解集为｛x ｜-1<x<251-｝,∴原不等式解集为｛x ｜-1<x<251-｝∪｛x ｜1<x<251+｝. AA 级1.D2.C3.D4.A5.D6.［3，5］7.-148.｛x ｜x>23或x<-1｝ 9.解：A ＝｛x ｜1≤x ≤3｝，B ＝｛x ｜(x-a)(x-1)≤0｝，要使A ⊂B ，则只需a>3即可，故a 的取值范畴为a>3.10.解：方程有两不等正根的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>>+>0002121x x x x △，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>->+--=01010)1(4)1(2pp pp p p p △解得：0<p<332-1，证x 1＝p p p p 216312+----,x 2＝pp p p 216312+--+-，由x 2>2x 1并注意p>0得：31632+--p p >1-p>0,∴28p 2+52p-8<0，即7p 2+13p-2<0,∴-2<p<71,综上得p 的取值范畴为｛P ｜0<p<71｝. 【素养优化训练】1.B2.D3.C4.C5.C6.a>-17. ⎩⎨⎧==32b a 或⎩⎨⎧=-=32b a 8.-1<a<-319.解：(1)易知y 0＝log a)(0b x -，令2x 0＝u,2y 0＝v,则x 0＝2u ，y 0＝2v代入得v ＝2log a )2(b u-，又因为点(u 、v)在y ＝g(x)图象上，∴y ＝g(x)＝2log a)2(b x -.(2)F(x)＝f(x)-g(x)＝log a)(b x --2log a)2(b x-，由F(x)≥0得log a)(b x --2log a )2(b x-≥0①，当a>1时，不等式①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->--≥-020)2(2b xb x b x b x ⇒⎩⎨⎧>≤+++-b x b b x b x 2044)44(22⇒⎩⎨⎧>+++≤≤+-+bx b b x b b 244224422⇒2b<x ≤2b+2+21+b .当0<a<1时，不等式①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->--≤-020)2(2b xb x b x b x ⇒x ≥2b+2+21+b ，∴当a>1，2b<x ≤2b+2+21+b 时F(x)≥0，当0<a<1，x ≥2b+2+21+b 时，F(x)≥0.10.解：依题意⎪⎩⎪⎨⎧>+>+10005.005.01201.01.022乙乙甲甲x x x x ②① 由①解得x 甲<-40或x 甲>30，由②解得x 乙<-50或x 乙>40，∴乙车超速，应负事故的要紧责任.。

有理不等式解法记要

有理不等式解法记要高中数学中，不等式占有重要的地位，这其中，有理不等式的解法又占有举足轻重的地位，为此，特将有理不等式的解法归纳整理如下。

高中数学中，不等式占有重要的地位，这其中，有理不等式的解法又占有举足轻重的地位，为此，特将有理不等式的解法归纳整理如下：定理一、记f(x)=(x-x1) (x-x2) (x-x3)…(x-x n)，则f(x)=0的n个根为：x1，x2，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，这n个数把实数集分成n+1个区间：(-∞,x1)，(x1,x2)，…，(x n-1,x n)，(x n,+∞)。

若从右至左依次标记各个区间为：“+”、“-”、“+”、“-”…，直到标记完毕，则标记为“+”号的区间的并集是不等式(x)＞0的解集，标记为“-”号的区间的并集是不等式f(x)＜0的解集。

例1．设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则f(x)=0的根为1，2，3，4，这四个数把实数集分为五个区间：(-∞,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,+∞)。

从右到左标记为“+”号的区间是：(4,+∞)，(2,3)，(-∞,1)，标记为“-”号的区间是(3,4)，(1,2)，∴f(x)＞0的解集为：(-∞,1)∪(2,3)∪(4,+∞)，f(x)＜0的解集为：(1,2)∪(2,3)定理二、若f(x)=(x-x1) (x-x2) …(x-x k-1) (x-x k)2n(x-x k+1)…(x-x n)，n∈N，则f(x)＞0 等价于：φ(x)＞0 x-x k≠0，f(x)＜0 等价于：φ(x)＜0x-x k≠0 ，（注其中φ(x)=(x-x1) (x-x2) …(x-x k-1) (x-x k+1)…(x-x n)。

意：φ(x)不含因式(x-x k) ！）例2．设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)6(x-4)，则f(x)＞0 等价于：(x-1)(x-2) (x-4)＞0x-3≠0 ，由此有f(x)＞0的解集：(1,2)∪(4,+∞);f(x)＜0等价于：(x-1)(x-2) (x-4)＜0x-3≠0 ，进而有f(x)＜0的解集: (-∞,1)∪(2,3)∪(3,4)定理三、若f(x)= (x-x1) (x-x2) …(x-x k-1) (x-x k)2n-1(x-x k+1)…(x-x n)，n∈N，则f(x)＞0 等价于：(x-x1) (x-x2) …(x-x k-1) (x-x k) (x-x k+1)…(x-x n)＞0，f(x)＜0 等价于：(x-x1) (x-x2) …(x-x k-1) (x-x k) (x-x k+1)…(x-x n)＜0 例3.设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)5(x-4)，则f(x)＞0等价于：(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)＞0，从而f(x)＞0的解集为：(-∞,1)∪(2,3)∪(4,+∞)，f(x)＜0的解集为：(1,2)∪(2,3)定理四、f(x)φ(x) ＞0等价于：f(x)φ(x)＞0；f(x) φ(x) ＜0等价于：f(x)φ(x)＜0；例4. 解不等式：x2-3x+2 x2-2x-3 ＜0解：原不等式等价于(x2-3x+2)(x2-2x-3)＜0，即：(x-1)(x-2) (x-3)(x+1)＜0，由此有原不等式的解集：(-1,1)∪(2,3)定理五、f(x) φ(x) ≥0等价于：f(x)φ(x)≥0φ(x)≠0 ；f(x)φ(x) ≤0等价于：f(x)φ(x)≤0φ(x)≠0 ；例5.解不等式：x-1 x-2 ≥0解：原不等式等价于：(x-1)(x-2)≥0x-2≠0 ，由此有原不等式的解集：(-∞,1)∪(2,+∞)定理六、0＜a＜f(x)＜b等价于(f(x)-a)(f(x)-b)＜0例6.解不等式：0＜x2-x-2＜4解：原不等式等价于：(x2-x-2-0)(x2-x-2-4)＜0即：(x2-x-2)(x2-x-6)＜0也即：(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)＜0由此有原不等式的解集：(-2,-1)∪(2,3)定理7.设a＞0，则|f(x)|＞a等价于f(x)＞a或f(x)＜-a，也等价于f2(x)＞a2，进而等价于(f(x)+a)( f(x)-a)＞0；|f(x)|＜a等价于-a＜f(x)＜a，也等价于f2(x)＜a2，进而等价于(f(x)+a)(f(x)-a)＜0；例7.解不等式：|x-1|＞3解：原不等式等价于：(x-1-3)(x-1+3)＞0即：(x-4)(x+2)＞0由此有原不等式的解集：(-∞,-2)∪(4,+∞)定理8.0＜a＜|f(x)|＜b等价于a2＜f2(x)＜b2，也等价于：(f2(x)-a2)(f2(x)-b2)＜0，进而等价于：(f(x)-a)(f(x)+a)(f(x)-b)(f(x)+b)＜0例8.解不等式：1＜|f(x)|＜2解：原不等式等价于：(x-1-1)(x-1+1)(x-1-2)(x-1+2)＜0即：x(x+1)(x-2)(x-3)＜0由此有原不等式的解集：(-1,0)∪(2,3)以上八个定理，将高中可能遇到的各种类型的有理不等式的解法最终归结为三个定理：定理一、二、三，而定理二、三又是定理一的特殊情况。

数学解有理函数不等式组

数学解有理函数不等式组一、引入在解有理函数不等式组之前，我们先来回顾一下有理函数的概念。

有理函数是指可以表示为两个多项式的商的函数，其函数表达式可以写成：f(x) = p(x) / q(x)其中，p(x)是一个多项式，q(x)是另一个多项式，且q(x) ≠ 0。

二、一元有理函数不等式的解法1. 当不等式的分子p(x)和分母q(x)的次数相等时，可以先找到有理函数的零点，即p(x) = 0的解，然后在零点的左右区间做数轴法，判断每个区间的符号。

例如，对于不等式 f(x) > 0，先将有理函数化简为 p(x)/q(x)形式，然后找到p(x) = 0的解，假设解为a，则可以得到数轴上的划分：x < a和x > a。

在每个区间上取一个测试点，分别代入原不等式，判断符号。

2. 当不等式的分子p(x)和分母q(x)的次数不等时，需要进行额外的处理。

首先，将不等式转化成分子与分母的乘积形式，即 f(x) > 0 转化为p(x)*q(x) > 0。

然后，找到有理函数的零点，即求解 p(x) = 0 和 q(x) = 0 的交集。

接下来，根据这些零点将数轴分割成若干段，每一段上的符号相同。

最后，通过对每一段的测试点进行代入，判断不等式的符号。

三、多元有理函数不等式的解法解多元有理函数不等式的方法与解一元函数不等式类似，只是需要将多元函数看做一个整体处理。

首先，将不等式化简为分子与分母的乘积形式。

然后，找到各个有理函数的零点，即使各个有理函数分子为零的解。

接下来，根据这些零点将各个变量的区间划分，并找到每段区间上有理函数分子与分母的符号。

最后，通过对每段区间上的测试点进行代入，判断不等式的符号。

四、示例假设我们需要解决以下有理函数不等式组：{ f1(x) > 0{ f2(x) < 0首先，化简不等式组，得到：{ p1(x) / q1(x) > 0{ p2(x) / q2(x) < 0然后，找到每个有理函数的零点，并将零点分割数轴。

不等式解法举例(201911整理)

例3 解不等式︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱>7
解法二：如图,
A -4 -3 -2 -1
01
B 23
设数轴上动点Ｍ(x)，与定点Ａ（－３）、B（2）。 ∵︱AB ︱=5. ︱X-2 ︱+ ︱x+3 ︱为Ｍ与Ａ、Ｂ两点的距离之和。当点Ｍ在点Ｄ（３）时，︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱=7 当点Ｍ在点Ｃ（－４）时，︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱=7.当点Ｍ在Ｃ、Ｄ
{x

1 2

x
13},则a b的值是：
Ａ
A. 10
B. 14
C.10
D.14
(2m
3Leabharlann )0的解集为（，
1 3
{ 即{ （mn)(1 )(2m3n)0, 3
m2n0
mn0,
mn0
m 2n, n 0.不等式(m 3n) (n 2m) 0
可化为 nx 3n 0, x 3.
例5关于x的不等式x

ax 2
解法二：当x 0时，原不等式化为： x2 2x 15 0,即：（x 5)(x 3) 0. x 5. 当x 0时，原不等式化为x2 2x 15 0. 即：(x 5)(x 3) 0. x 5. 原不等式的解集为{x x 5或x 5}.
x2 5x 6 0 解集是{x x 2或x 3}
(3) x 2 5x 5 1
解由原不等式得-1＜x2-5x+5＜1
｛即 x2-5x+4＜0 (1) x2-5x+6＞0 (2) 不等式(1)的解集是1＜x＜4 不等式(2)的解集是x＜2或x＞3

有理数的线性方程与不等式求解方法

有理数的线性方程与不等式求解方法线性方程与不等式是初中数学中的基础知识，对于学习者来说，熟练掌握有理数的线性方程与不等式的求解方法至关重要。

本文将介绍有理数的线性方程与不等式的求解方法，以帮助读者在学习数学时能够灵活应用这些知识。

一、线性方程的求解方法线性方程是一次方程，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知有理数，x是未知数。

对于线性方程，常用的求解方法有反运算法和配方法。

1. 反运算法反运算法是指通过通过对方程两边进行逆运算的方式，把含有未知数x的项与常数项分离，最后得到x的值。

具体步骤如下：（1）如果方程中包含有括号，先进行括号内外的化简；（2）将含有x的项移到方程的一边，将常数项移到另一边；（3）对含有x的项进行逆运算，得到x的值；（4）验证所得值是否满足原方程。

例如，对于方程2x + 1 = 5，我们可以采用反运算法进行求解：（1）方程两边同时减去常数项1，得到2x = 4；（2）方程两边同时除以系数2，得到x = 2；（3）将x = 2代入原方程进行验证，发现等式左右两边相等，所以x = 2是方程的解。

2. 配方法配方法是指通过改变方程形式，使得方程两边含有相同的因式，从而将方程转化成一个简单的一次方程进行求解。

具体步骤如下：（1）化简方程，将方程化为标准形式（ax + b = cx + d）；（2）将方程移项，将含有x的项都移到方程的一边，将常数项都移到另一边；（3）将含有x的项的系数化为相同，即配方；（4）进行合并整理，得到最简式；（5）对最简式进行反运算，得到x的值；（6）验证所得值是否满足原方程。

例如，对于方程3x + 4 = 2x - 1，我们可以采用配方法进行求解：（1）将方程移项，得到3x - 2x = -1 - 4；（2）进行合并整理，得到x = -5；（3）将x = -5代入原方程进行验证，发现等式左右两边相等，所以x = -5是方程的解。

二、线性不等式的求解方法线性不等式是指不等式中含有一次方程的不等关系，其一般形式为ax + b > c，其中a、b和c是已知有理数，x是未知数。

不等式的解法公式表

一元二次不等式的解法ac b a 4,02-=∆>0>∆0=∆0<∆一元二次方程 ax 2+bx+c=0的根有两个实数根21x x x x ==或有两个相等的实数根abx x x 221-===无实数根一元二次不等式的解集的解集不等式ax 2+bx+c>0的解集 }|{21x x x x ><或}|{1x x x ≠R不等式ax2+bx+c<0的解集}|{21x x x x <<ØØ含绝对值不等式的解法的解集为全体实数。

无解，时，注：当或或a x a x a ax f a x f a a x f ax f ax f a x f a a a x f ax a x a a x a x a a a x ><≤>-<⇔≠>⎩⎨⎧≤-≥⇔≤≤-⇔>≤≥-≤⇔≠≥<<-⇔≠<||||0)()()0(|)(|)4()()()()0(|)(|)3()0(||)2()0(||)1(分式不等式的解法式不等式求解。

）的形式，再转化为整（或整理成通分，将不等式型不等式，应先移项、或对于解00)()()0(0)()()(')(')(')('≤≥<>><x g x f x g x f a x g x f a x g x f0)()(0)()()1(>⋅⇔>x g x f x g x f 0)()(0)()(2<⋅⇔<x g x f x g x f ）（ ⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(3x g x g x f x g x f ）（⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(4x g x g x f x g x f ）（无理不等式的解法定义域型）（⇒⎪⎩⎪⎨⎧>⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(1x g x f x g x f x g x f []⎪⎩⎪⎨⎧<>≥<2)()(0)(0)()()(3x g x f x g x f x g x f 型）（ ⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(22x g x f x g x x f x g x f x g x f 或型）（。

高考不等式公式汇总

不等式公式汇总一不等式的证明证明不等式选择方法的程序：①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差后能否因式分解；②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1； ③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n 次方；平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数)：2221122a b a b ab a b++≥≥≥+(当a = b 时取等) 33a b cabc ++≤，123123a a a a a a ++≤++，(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等④等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明，后面的方法都是特殊的等价变形方法；⑤逆代：把数换成字母；⑥换元：均值换元或三角换元；⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式；⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证； ⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。

二不等式的解法(一)有理不等式1．一次不等式：ax b >解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。

2．二次不等式：20ax bx c ++>两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。

3．高次不等式：序轴标根法(二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式先变形成有理不等式，再求解。

绝对值不等式：当a> 0时，有 22x a x a a x a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.无理不等式：(1)()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. (2)2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. (3)2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩(三)指数不等式对数不等式不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。

高考数学不等式的解法

(2)a(a-1)x>a-1
(3)|ax-b|<b b 解：(1) ① 当a 0时, x a ② 当a 0时, x b
a
b 0时, x ③ 当a 0时, b 0时, x R
1 ⑵①当a(a 1) 0,即a 0或a 1时, x a 1
；广西孩子军事化管教学校哪里有；浙江青少年军事化管理学校；问题孩子特训学校；
青色の大院子,园子大门上三个金闪闪の大字正闪烁着光芒——寒心阁. "恭迎少族长回府！" 这时园子内走出八个熟悉の身影,直接走到大门外恭敬の半跪行礼道.宛如门柱一样の强壮身材,一脸の媚笑,赫然正是白家守门の八大门神！ "呵呵,三十年河西,三十年河东,世事多变啊,走轻语,去看看俺们の新家！"白重炙呵呵一笑,拉着夜轻语の手往里面走去. 【作者题外话】：很头晕,顶不住了,欠你呀们一章…… 当前第2玖伍章惩罚 "不咋大的寒子,不错吧！这寒心阁占地三千多平米,可是花费重金建筑の,光这青禅木可就价值数万晶币,这青禅木の香味可是能让人延年益寿,精力充沛,提神壮阳功用.里面拥有正厅一些,偏厅三个,房间二十四间,家主还特意为你呀配备了八名门房,十二名侍女…"夜青牛从后面缓缓跟了上来,仔细为白重炙讲解起来. 听得白重炙暗自咋舌,想当年自己可是为了一点晶币,而远赴蛮荒山脉,几次险死还生. 当初自己住の不咋大的院子,也就三间房间一些厨房,不到两百平方米,现在却有三个大厅,二十四间房间,还有前院后院…这也太隆重,奢侈了吧. 文章阅读寒心阁很大,一入园子,映入眼眸の是一座大大の假山,假山上不咋大的树,树上有花,粉中带点紫色の花,很是漂亮.假山下面是一些水池,水池水不深,有几条颜色不同の不咋大的鱼在里面欢快の游动.水池两旁是平整の青石路,路两旁栽种着整齐不知名の风景树. 沿着青石路,白重炙拉着夜轻语一路向前,前方出现了一排排错落有致の青色阁楼,整个建筑群都是由青色の一种木头建筑,老远就能闻到一丝淡淡の幽香. "不咋大的寒子,不错吧！这寒心阁占地三千多平米,可是花费重金建筑の,光这青禅木可就价值数万晶币,这青禅木の香味可是能让人延年益寿,精力充沛,提神壮阳功用.里面拥有正厅一些,偏厅三个,房间二十四间,家主还特意为你呀配备了八名门房,十二名侍女…"夜青牛从后面缓缓跟了上来,仔细为白重炙讲解起来.听得白重炙暗自咋舌,想当年自己可是为了一点晶币,而远赴蛮荒山脉,几次险死还生.当初自己住の不咋大的院子,也就三间房间一些厨房,不到两百平方米,现在却有三个大厅,二十四间房间,还有前院后院…这也太隆重,奢侈了吧. "太上长老,这未免太奢侈了吧?二十多间房间,太浪费了,还有这门房侍女就不必了吧…"白重炙有些不好意思の挠了挠头.自己又不是古代の太子,没必要这么讲究吧?虽然他已经成功把自己の身份,从白家老七转成了白家七少、七爷.但是一时候让他接受如此隆重の排场,还是有些不适应. "不浪费,不浪费！原本俺还想多建一些の,但族长说实在不行以后再扩建就行.你呀现在身份不同了, 你呀要清楚你呀现在不仅代表你呀自己,你呀还代表白家.并且你呀马上要去月家求亲了,迎娶月家圣女不能不讲究一些！" 夜青牛连忙摆了摆手,满不在乎说道,而谈到迎娶月倾城,夜青牛眼中却闪过一丝恼怒,盯着白重炙竟然悄悄传音起来："不咋大的寒子,你呀不咋大的子什么时候把俺宝贝孙女の心给偷走了?这事情,你呀准备怎么处理啊?" "嗯?" 白重炙一听见,神情连忙变得尴尬、扭捏起来,本来他想等事情安定下来,就去找夜青牛求亲の,没想到夜青牛却直接问了出来,当下连忙微微有些羞愧の传音起来："轻寒准备一同迎娶倾城轻舞加上轻语三人,本想就这几天去你呀老那求亲の…" "恩,算你呀不咋大的子还有良心,得,你呀不咋大的子私藏の宝物记得带上几件."夜青牛一听见乐了,眉眼都是笑意,白重炙の意思很明显,三位一起迎娶,那就是三位正妻,倒也不辱没夜轻舞の身份. 夜轻舞一心向着白重炙,夜青牛也没办法,并且他对白重炙很是满意,夜轻舞算是继夜轻语月倾城第三位跟了白重炙の,现在能得到一些正妻の身份也算不错.当下哈哈大笑,看了一眼旁边の夜轻语说道："你呀不咋大的子风流成xing,以后不知道还会迎娶多少妻妾,俺给你呀多建几间房间,是为你呀以后预备の！得,你呀自己进去休息吧,俺先回去了！" 夜青牛の话语却并没有引起夜轻语の半点情绪波动,夜轻语の思想很是单纯,只要能和白重炙在一起,她就很开心很满足.她不管白重炙娶多少妻妾,只要白重炙开心她就开心.她和白重炙目送夜青牛离开,连忙拉着他の手走进了阁楼内,开始几多好奇和高兴の参观起她们の新家起来. 一番乱逛,白重炙对于自己这个新家很是满意, 整个阁楼采用の是复式建筑,共两层,最上面还有一些宽阔の天台.家具,装饰,一切用具都是全新の,并且装饰也不是很复杂,透露出一丝淡淡の高贵和清雅,让白重炙几多の舒适. "你呀们几人叫什么名字?"最后白重炙和夜轻语在正厅内坐下,望着厅内正诚惶诚恐低身弓腰等着自己吩咐の八名门神. "少族长,您叫俺阿大就行,他们按顺序是阿二,阿三……阿八."白重炙一开口,八名门神站最前面の那人,利马弯腰微笑起来,笑容很灿然,微微带着一丝媚意. 对于白重炙,他们印象几多の深刻,毕竟当年他们可是对白重炙几多の无礼和嘲弄,自从白重炙大闹醉心园,在白家地位飙升之后,他们一直就怕白重炙找他们麻烦.此刻族长更是将他们赐予了白重炙,他们心里却是更加忐忑起来,生怕族长这是让他们给白重炙没事拿来出气の. "阿大?阿三?阿八?阿爸?哪个混账给你呀们起の名字?"果然白重炙利马发飙了,一听见大骂起来. "少族长,这怪不得俺们,是二公子非常给俺们改の,俺们也很无奈啊！"几人连忙慌了,利马下跪求情起来. "白重炙?原来这个蠢货,哈哈,难怪了…"白重炙呵呵一笑,想起了这个让他敲了几次闷棍の二公子,不禁有些忍俊不禁起来.阿八,阿爸,居然直接叫人家爸了.虽然这世界倒是没有爸の称呼,但是一想到白重炙每次看到阿八,都会一脸微笑の喊着" 阿八",白重炙又忍不住笑了起来,无力の挥手说道："改了改了,以后你呀叫不咋大的一,他叫不咋大的二,不咋大的三…不咋大的八,恩…不咋大的八不好,叫不咋大的九！" "谢少族长赐名！"几人见白重炙没有发火,以为没事了,连忙又媚笑起来道. "行了,现在给你呀们一些任务,现在去把轻舞倾城女主给俺请过来,然后在下帖给风紫龙赛男花草龙水流,请他们晚上来这赴宴.办完这些,你呀们就帮俺去完成一些秘密任务……你呀们给俺去雾霭城外,围着雾霭城给俺跑五百圈,不准停,当然必须天亮之前跑完,跑不完明天加倍.这事情很重要…如果少跑一圈,坏了俺の大事,嘿嘿,别怪不咋大的爷俺发飙！" "秘密任务?跑五百圈！" 八名巨汉一听见险些直接倒地了,脸色变得比黄瓜还苦.雾霭城那么大,他们の实力跑上几十圈倒是没什么问题,但是要跑五百圈,还是必须天亮之前跑完,他们估计肯定腿会跑断の.什么狗屁任务,这明显就是在故意整他们啊… 报复,这是白重炙赤裸lu の报复,几人此刻无比痛恨自己,当年为何就狗眼看人低,如此对待白重炙,现在终于自食苦果了. "怎么?还站在这?等着俺请你呀们吃饭?还是俺这个少族长の话没作用?"白重炙一见几人如此摸样,心里暗乐,面色却是更加森冷怒道. "咻！" 几人一听见连忙醒悟过来,朝外面急奔而去.他们几多清楚,这是白重炙在,对他们当年如此对待他の惩罚.而白重炙此刻在白家如日中天の地位,说の话,可是比刑堂管用多了.他们当然不敢违抗,否则迎接他们の就会使刑堂の老虎凳,辣椒水什么… 本书来自品&书#网当前第2玖陆章夜宴文章阅读 "哥,这样整他们不好吧?五百圈会不会太多了?"夜轻语端起桌子上の茶水,望着几人狼狈奔跑の背影,有些不忍の说道.请大家检索（度#扣￥网）看最全！更新最快の "呵呵,这几人人品不好,稍微惩罚一下,放心,不会累死他们の！"白重炙望着夜轻语微微蹙起の峨眉,以及那双大大の眼睛,想起了这些年の事情,有些愧