苏科版初二数学下学期5月月考试卷

苏科版初二数学下学期5月月考试卷
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
2．如图，在ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EP分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）当∠DOE= °时，四边形BFDE为菱形？
3．把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F
两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．
（1）求证：△BHE≌△DGF；
（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长．
4．某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组．学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，请你过计算估计选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人．
5．如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于F，连接CF．
（1）求证：AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1个单位长度的正方形ABCD的边BC平行于x轴，点A、C分别在直线OM、ON上，点A的坐标为（3，3），矩形EFGH的顶点E、G 也分别在射线OM、ON上，且FG平行于x轴，EF：FG＝3：5．
（1）点B的坐标为，直线ON对应的函数表达式为；
（2）当EF＝3时，求H点的坐标；
（3）若三角形OEG的面积为s1，矩形EFGH的面积为s2，试问s1：s2的值是一个常数吗？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
7．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平形四边形的第四个顶点D的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣3，﹣1）、B （﹣1，0）、C （0，﹣3）
（1）点A 关于坐标原点O 对称的点的坐标为 ．
（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A 1B 1C ，A 1A 的长为 ．
9．解方程：224124
x x x +-=-- 10．如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F ，H 在菱形ABCD 的对角线BD 上．
（1）求证：BG =DE ；
（2）若E 为AD 中点，FH =2，求菱形ABCD 的周长．
11．解方程：x 21x 1x
-=-. 12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 'B 'C '的顶点都在格点上．
（1）将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后得到△A 1BC 1；
（2）若△A 'B 'C '是由△ABC 绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心的坐标是 ．
13．（方法回顾）
（1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP 于点F，若DF＝2.5，BE＝1，则EF＝．
（问题解决）
（2）如图2，菱形ABCD的边长为1.5，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP＝90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD＝180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF＝1，求BE的长．
（思维拓展）
（3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP＝2，连接PB，PD，若△PAD的面积与△PAB的面积之差为m（m＞0），则PB2﹣PD2的值为．（用含m的式子表示）
14．如图，为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点均为格点，在图中已标出线段AB，A，B均为格点，按要求完成下列问题．
（1）以AB为对角线画一个面积最小的菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在（1）中该菱形的边长是，面积是；
（3）以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点，则可画个菱形．
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，BE平分∠ABC，试判断四边形DBFE的形状，
并说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）．
（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．
【解析】
试题分析：（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标．
（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
2．（1）详见解析；（2）90
【分析】
（1）证△DOE≌△BOF（ASA），得DE=BF，即可得出结论；
（2）由∠DOE=90°，得EF⊥BD，即可得出结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
在△EOD 和△FOB 中，EDO FBO DO BO EOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△DOE ≌△BOF （ASA ），
∴DE =BF ，
又∵DE ∥BF ，
∴四边形BFDE 为平行四边形；
（2）∠DOE =90°时，四边形BFDE 为菱形；
理由如下：
由（1）得：四边形BFDE 是平行四边形，
若∠DOE =90°，则EF ⊥BD ，
∴四边形BFDE 为菱形；
故答案为：90．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，证出△DOE ≌△BOF 是解题的关键．
3．（1）见解析 （2）3cm
【分析】
1）先根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC ，再由图形折叠的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，进而可得出△BEH ≌△DFG ；
（2）先根据勾股定理得出BD 的长，进而得出BF 的长，由图形翻折变换的性质得出CG=FG ，设FG=x ，则BG=8﹣x ，再利用勾股定理即可求出x 的值．
【详解】
（1）如图，ABCD 四边形是矩形，
AB CD ∴=，90A C ∠=∠=︒，ABD BDC ∠=∠.
BEH ∆是BAH ∆翻折而成的，1=2∴∠∠，==90A HEB ∠∠︒，AB BE =.
DGF DGC ∆∆是翻折而成的，
3=4∴∠∠，90C DFG ∠=∠=︒，CD DF =，
∴在BEH ∆和DFG ∆中，HEB DFG ∠=∠，BE DF =，2=3∠∠，
BHE DGF ∴∆∆≌.
（2）四边形ABCD 是矩形，6AB =，8BC =，6AB CD ∴==，8AD BC ==，
10BD ∴=，又由（1）知，DF CD =，CG FG =，=1064BF ∴-=. 设FG x =，则8BG x =-，在Rt BGF ∆中，222BG BF FG =+，即
()22284x x -=+，
3x ∴=，即3FG =.
【点睛】
本题主要考查矩形的折叠问题，涉及知识点有全等三角形的证明与性质，勾股定理，折叠性质等知识点，解题关键在于能够灵活运用勾股定理
4．（1）150人；（2）见解析；（3）192人
【分析】
（1）根据书法小组的人数及其对应百分比可得总人数；
（2）根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比即可．
【详解】
（1）参加这次问卷调查的学生人数为：30÷20%=150（人）；
（2）航模的人数为150﹣(30+54+24)=42（人），补全条形统计图如下：
（3）该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有：1200×
24
150
×100%=192（人）．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
5．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由AF∥BC得∠AFE＝∠EBD，继而结合∠AEF＝∠DEB、AE＝DE即可判定全等；（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定证明即可．
【详解】
证明：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB；
（2）∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝DB，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴□ADCF是菱形．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
6．（1）（3，2），
1
2
y x
；（2）H（16，11）；（3）
44
15
，证明见解析．
【分析】
（1）先根据A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1求出C点的坐标，利用待定系数法即可求出直线ON的解析式．
（2）点E在直线OM上，设点E的坐标为（e，e），由题意F（e，e﹣3），G（e+5，e﹣
3），由点G在直线ON上，可得e﹣3＝1
2
（e+5），解得e＝11即可解决问题．
（3）如图，连接EG，延长EF交x轴于J，延长HG交x轴于k．设E（a，a），EF＝3m，
FG＝5m，则G（a+5m，a﹣3m），由点G在直线y＝1
2
x上，可得a﹣3m＝
1
2
（a+5m），推出a＝11m，推出E（11m，11m），H（16m，11m），F（11m，8m），G （16m，8m）J（11m，0），K（16m，0），求出S1，S2即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵A的坐标为（3，3），
∴直线OM的解析式为y＝x，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴B（3，2），
∴C（4，2）
设直线ON的解析式为y＝kx（k≠0），
把C的坐标代入得，2＝4k，解得k＝1
2
，
∴直线ON的解析式为：y＝1
2 x；
故答案是:（3，2），1
2y x
； （2）∵EF ＝3，EF ：FG ＝3：5．
∴FG ＝5， 设矩形EFGH 的宽为3a ，则长为5a ，
∵点E 在直线OM 上，设点E 的坐标为（e ，e ），
∴F （e ，e ﹣3），G （e +5，e ﹣3），
∵点G 在直线ON 上，
∴e ﹣3＝12
（e +5）， 解得e ＝11，
∴H （16，11）．
（3）s 1：s 2的值是一个常数，理由如下：
如图，连接EG ，延长EF 交x 轴于J ，延长HG 交x 轴于k ．
设E （a ，a ），EF ＝3m ，FG ＝5m ，则G （a +5m ，a ﹣3m ），
∵点G 在直线y ＝
12x 上， ∴a ﹣3m ＝12
（a +5m ）， ∴a ＝11m ，
∴E （11m ，11m ），H （16m ，11m ），F （11m ，8m ），G （16m ，8m ）J （11m ，0），K （16m ，0），
∴S △OEG ＝S △OEJ +S 梯形EJKG ﹣S △OKG ＝12×11m ×11m +12（8m +11m ）•5m •12﹣12×16m ×8m ＝44m 2，S 矩形EFGH ＝EF •FG ＝15m 2，
∴12S S ＝224415m m ＝4415
． ∴s 1：s 2的值是一个常数,这个常数是
4415
. 【点晴】
本题是一次函数的综合题,考查待定系数法，一次函数的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7．（1）作图见解析；（2）D(1，1)，(-5，3)，(-3，-1)
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征分别写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）分类讨论：分别以AB、AC、BC为对角线画平行四边形，根据网格的特点，确定对角线后找对边平行，即可写出D点的坐标．
【详解】
---，根据关于原点对称的点解：（1）如图，点A、B、C的坐标分别为(1,0),(4,1),(2,2)
--，描点连线，的坐标特征，则点A、B、C关于原点对称的点分别为(1,0),(4,1),(2,2)
△A1B1C1即为所作：
（2）分别以AB、AC、BC为对角线画平行四边形，如下图所示：
---，
则由图可知D点的坐标分别为：(3,1),(1,1),(5,3)
---．
故答案为：(1,1),(5,3),(3,1)
【点睛】
本题考查了中心对称作图即平行四边形存在问题，在直角坐标系中，已知平行四边形的三个点的坐标，确定第四个点的坐标，以对角线作为分类讨论，不容易漏掉平行四边形的各种情况．
8．（1）（3，1）；（2）作图见解析；26．
【分析】
（1）根据对称性即可得点A 关于坐标原点O 对称的点的坐标；
（2）根据旋转的性质即可将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A 1B 1C ，进而可得A 1A 的长．
【详解】
（1）∵A （﹣3，﹣1），
∴点A 关于坐标原点O 对称的点的坐标为（3，1）．
故答案为：（3，1）；
（2）如图，△A 1B 1C 即为所求，
A 1A 2215+26．
26
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
9．-1
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：(x+2)2-4=x 2-4，
解得：x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
10．(1)详见解析；(2)8
【分析】
（1）先根据矩形的性质、平行线的性质得出,FG HE GFH EHF =∠=∠，再根据邻补角的定义可得BFG DHE ∠=∠，又根据菱形的性质、平行线的性质可得
GBF EDH ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）如图，连接EG ，先根据矩形的性质可得EG 的长，再根据中点的性质、菱形的性质、题（1）的结论可得四边形ABGE 是平行四边形，从而可得AB 的长，然后根据菱形的周长公式即可得．
（1）∵四边形EFGH 是矩形
,//FG HE EH FG ∴=
GFH EHF ∴∠=∠
180,180BFG GFH DHE EHF ∠=︒-∠∠=︒-∠
BFG DHE ∴∠=∠
∵四边形ABCD 是菱形
//AD BC ∴
GBF EDH ∴∠=∠
在BGF ∆和DEH ∆中，BFG DHE GBF EDH FG HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BGF DEH AAS ∴∆≅∆
BG DE ∴=；
（2）如图，连接EG
∵四边形EFGH 是矩形，2FH =
2EG FH ∴==
∵四边形ABCD 是菱形
,//AD BC AD BC ∴=
∵E 为AD 中点
AE DE ∴=
BG DE =
,//AE BG AE BG ∴=
∴四边形ABGE 是平行四边形
2AB EG ∴==
∴菱形ABCD 的周长为248⨯=
故菱形ABCD 的周长为8．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：x 2-2x+2=x 2-x ，
解得：x=2，
检验：当x=2时，方程左右两边相等，
所以x=2是原方程的解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（1）见解析 （2）（3,4）
【分析】
（1）根据网格结构找出点A 、C 绕点B 顺时针旋转90°后的对应点A 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．
【详解】
解：（1）三角形的旋转可以分开看作每条边的旋转，分别找到对应的点，连接即可，故△A 1BC 1如图所示；
（2）连接'AA 并作其垂直平分线，连接'CC 并作其垂直平分线，交点即为旋转中心．如图所示，旋转中心为（3，4），
故答案为（3，4）．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键．
13．（1）1.5；（2）
58
；（3）4m ． 【分析】
（1）【方法回顾】如图1，利用“AAS ”证明ABE ADF ≌，则BE AF =，
AE DF =，然后利用EF AE AF =-得到DF BE EF -=．
（2）【问题解决】证明()DAF ABE ASA △≌△，推出1DF AE AF EF AF ==+=+，AF BE =，再利用勾股定理构建方程解决问题即可．
（3）【思维拓展】如图3中，过点P 作PN BA ⊥交BA 的延长线于N ，PM DA ⊥交DA 的延长线于M ，设PN x =，PM y =．设==AB AD a ，由PAD PAB S S m -=△△，推出1122ay ax m -=，可得2ay ax m -=，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】
解：（1）【方法回顾】如图1中，
四边形ABCD 为正方形，
AB AD ∴=，90BAD ∠=︒，
90BAE DAF ∠+∠=︒，90BAE ABE ∠+∠=︒，
ABE DAF ∴∠=∠， ()ABE ADF AAS ∴△≌△，
BE AF ∴=，AE DF =，
EF AE AF =-， 2.5DF =，1BE = 2.51 1.5EF DF BE ∴=-=-=． 故答案为1.5．
（2）【问题解决】如图2中，
四边形ABCD 是菱形，
AB AD ∴=，
BE AB ⊥，
90ABE DAF ∴∠=∠=︒，
180BAD AFD ∠+∠=︒，即180BAP FAD AFD ∠+∠+∠=︒，
180ADF FAD AFD ∠+∠+∠=︒，
BAP ADF ∴∠=∠，
()DAF ABE ASA ∴△≌△，
1DF AE AF EF AF ∴==+=+，AF BE =，
90DAF ∠=︒，
222AF AD DF ∴+=，
2223()(1)2
AF AF ∴+=+． 58
AF ∴=， 58
BE AF ∴==． （3）【思维拓展】如图3中，过点P 作PN BA ⊥交BA 的延长线于N ，PM DA ⊥交DA 的延长线于M ，设PN x =，PM y =．
90PMA MAN PNA ∠=∠=∠=︒，
∴四边形PMAN 是矩形，
PN AM x ∴==，PM AN y ==，
四边形ABCD 是正方形，
AB AD ∴=，设==AB AD a ，
PAD PAB S S m -=△△，
∴1122
ay ax m -=，
2ay ax m ∴-=， 222222()[()]222()4PB PD x a y y a x ay ax ay ax m ∴-=++-++=-=-=，
故答案为4m ．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
14．（1）见解析；（210，6；（3）3
【分析】
（1）根据菱形的定义以及已知条件画出满足条件的菱形即可．
（2）利用勾股定理，菱形的面积公式计算即可．
（3）画出满足条件的菱形即可判断．
【详解】
解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．
（2）AE＝22
3+1=10，菱形AEBF的面积＝1
2
×6×2＝6，
故答案为10，6．
（3）如图备用图可知：可以画3个菱形，
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了格点作图和菱形的性质应用，涉及了勾股定理等，正确理解，准确利用网格的特点是解题的关键．
15．菱形，理由见解析
【分析】
根据平行四边形的判定得出四边形BDEF是平行四边形，再利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定得出DE＝BD，进而利用菱形的判定解答即可．
【详解】
四边形DBFE是菱形，理由如下：
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠EBF，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∴平行四边形DBEF是菱形．
【点睛】
此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的判定得出四边形BDEF是平行四边形解答．。