2020年陕西省铜川市八年级第二学期期末综合测试数学试题含解析

2020年陕西省铜川市八年级第二学期期末综合测试数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．当1＜a＜2时，代数式2
(2)
a-＋|1－a|的值是( )
A．－1 B．1 C．2a－3 D．3－2a
2．学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的( )
A．B．
C．D．
3．如图所示，等边三角形ABC沿射线BC向右平移到DCE
∆的位置，连接AD、BD，则下列结论：（1）AD BC
=（2）BD与AC互相平分（3）四边形ACED是菱形（4）BD DE
⊥，其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若n是实数，且n＞0，则一次函数y＝﹣nx+n的图象经过的象限是（）
A．一、二、三B．一、三、四C．一、二、四D．二、三、四
5．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，1，8，1，9，1．这组数据的中位数和众数分别为（）
A．8，1 B．1，9 C．8，9 D．9，1
6．小军自制的匀速直线运动遥控车模型甲、乙两车同时分别从A、B出发，沿直线轨道同时到达C处，已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，甲、乙两遥控车与A处的距离1d、2d（米）与时间t（分钟）的函数
关系如图所示，则下列结论中：①AC的距离为120米；②乙的速度为60米/分；③a的值为6
5
；④若甲、
乙两遥控车的距离不少于10米时，两车信号不会产生互相干扰，则两车信号不会产生互相干扰的t的取值
范围是
5
2
t≤≤，其中正确的有（）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ≥1
B ．k ≤4
C ．k ＜1
D ．k ≤1
8．当a 满足条件（ ）时，式子3a +在实数范围内有意义．
A ．a<−3
B ．a≤−3
C ．a>−3
D ．a≥−3
9．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）.
A ．8%
B ．9%
C ．10%
D ．11%
10．一次函数y ＝（k ﹣3）x+2，若y 随x 的增大而增大，则k 的值可以是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
11．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n ＝0的两个实数根分别为x 1＝﹣3，x 2＝4，则m+n ＝_____． 12．如图，在矩形ABCD 中，AE BD ⊥于点E ，对角线AC 、BD 相交于点O ，
且:1:3BE ED =，6AB =，则AE =__________．
13．若直线y ＝x+h 与y ＝2x+3的交点在第二象限，则h 的取值范围是_____．
14．菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若8AC =，6BD =，则菱形ABCD 的周长是___． 15．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____．
16．如图，在△ABC 中，AB =6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME =13
DM ．当AM ⊥BM 时，则BC 的长为____．
17．如图，四边形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝BC ＝2，∠BCD＝30°，∠E＝45°，点D 在CE 上，且CD ＝BC ，点H 是AC 上的一个动点，则HD+HE 最小值为___．
三、解答题
18．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．
（1）证明：AG BE =；
（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由；
（3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于534
吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．
19．（6分）如图，直线MN 与x 轴，y 轴分别相交于A ，C 两点，分别过A ，C 两点作x 轴，y 轴的垂线相交于B 点，且OA ，OC （OA ＞OC ）的长分别是一元二次方程x 2﹣14x+48=0的两个实数根．
（1）求C 点坐标；
（2）求直线MN 的解析式；
（3）在直线MN 上存在点P ，使以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐
标．
20．（6分）某学校为了加强训练学生的篮球和足球运球技能，准备购买一批篮球和足球用于训练，已知1个篮球和2个足球共需116元；2个篮球和3个足球共需204元
()1求购买1个篮球和1个足球各需多少元？
()2若学校准备购进篮球和足球共40个，并且总费用不超过1800元，则篮球最多可购买多少个？ 21．（6分）数学课后，小玲和同桌小娟各自拿出自己的漂亮的正方形手帕，她们俩各有一条方格手帕和
一条绣花手帕，如图，小玲说：“我的方格手帕的边长比你的方格手帕的边长大1．6cm ．”小娟说：“我
的绣花手帕的边长比你的绣花手帕的边长大1．6cm ．”设小玲的两块手帕的面积和为1S ，小娟的两块手帕的面积和为2S ，请同学们运用因式分解的方法算一算2S 与1S 的差．
22．（8分）如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE ＝CF ．求证：四边形DEBF 是平行四边形．
23．（8分）材料一：如图1，由课本91页例2画函数y ＝﹣6x 与y ＝﹣6x+5可知，直线y ＝﹣6x+5可以由直线y ＝﹣6x 向上平移5个单位长度得到由此我们得到正确的结论一：在直线L 1：y=K 1x+b 1与直线L 2：y=K 2x+b 2中，如果K 1=K 2 且b 1≠b 2 ，那么L 1∥L 2，反过来，也成立．
材料二：如图2，由课本92页例3画函数y ＝2x ﹣1与y ＝﹣0.5x+1可知，利用所学知识一定能证出这两
条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线L 1：y=k 1x+b 1 与L 2：y=k 2x+b 2 中，如果k 1·
k 2=-1那么L 1⊥L 2，反过来，也成立
应用举例
已知直线y ＝﹣
16x+5与直线y ＝kx+2互相垂直，则﹣16
k ＝﹣1．所以k ＝6 解决问题
(1)请写出一条直线解析式______，使它与直线y＝x﹣3平行．
(2)如图3，点A坐标为(﹣1，0)，点P是直线y＝﹣3x+2上一动点，当点P运动到何位置时，线段PA的长度最小？并求出此时点P的坐标．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．
（1）求∠B的度数：
（2）求证：BC＝3CE．
25．（10分）根据下列条件求出相应的函数表达式：
（1）直线y=kx+5经过点（-2，-1）；
（2）一次函数中，当x=1时，y=3；当x=-1时，y=1．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵1＜a＜2，
∴2
a （a-2），
(2)
|1-a|=a-1，
∴2
a +|1-a|=-（a-2）+（a-1）=2-1=1．
(2)
故选B．
2．A
【解析】
根据题意：徐徐上升的国旗的高度与时间的变化是稳定的，即为直线上升．
故选A.
3．D
【解析】
【分析】
先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；再结合①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE=∠COD=90°，进而判断④正确.
【详解】
解：如图：∵△ABC，△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD
∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°
∴△ACD是等边三角形
∴AD=AC=BC，故①正确；
由①可得AD=BC
∵AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD、AC互相平分，故②正确；
由①可得AD=AC=CE=DE故四边形ACED是菱形，即③正确
∵四边形ABCD是平行四边形，BA=BC
∴.四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC//DE
∴∠BDE=∠COD=90°
∴BD⊥DE，故④正确
综上可得①②③④正确，共4个.
故选：D
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定与性质，以及平移的性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直. 4．C
【解析】
【分析】
根据题意，在一次函数y＝﹣nx+n中，﹣n＜0，n＞0，结合函数图象的性质可得答案．
【详解】
解：根据题意，在一次函数y＝﹣nx+n中，﹣n＜0，n＞0，
则函数的图象过一、二、四象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的图象的性质，应该识记一次函数y＝kx+b在k、b符号不同情况下所在的象限．5．D
【解析】
试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，1，1，1，
最中间的数是9，则中位数是9；
1出现了3次，出现的次数最多，则众数是1；
故选D．
考点：众数；中位数．
6．C
【解析】
【分析】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】
由图可得，
AC的距离为120米，故①正确；
乙的速度为：（60+120）÷3=60米/分，故②正确；
a的值为：60÷60=1，故③错误；
令[60+（120÷3）t]-60t≥10，得t≤5
2
，
即若甲、乙两遥控车的距离不少于10米时，两车信号不会产生相互干扰，则两车信号不会产生相互干扰
的t的取值范围是0≤t≤5
2
，故④正确；
故选C．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．7．D
【解析】
【分析】
由一元二次方程有实数根可得△=b2﹣4ac=22﹣4×k×1≥0，解不等式即可.
【详解】
∵△=b2﹣4ac=22﹣4×k×1≥0，
解得：k≤1，
故选D．
【点评】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解此类题时切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
8．D
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，即可求得答案．
【详解】
则30
a+≥，
解得：3
a≥-，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次根式的意义，掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键．
9．C
【解析】
分析：设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系
建立方程求出其解即可．
详解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1-x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选C．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
10．D
【解析】
试题分析：根据一次函数的性质，当y随x的增大而增大时，求得k的范围，在选项中找到范围内的值即可．
解：根据一次函数的性质，对于y=（k﹣3）x+2，
当（k﹣3）＞0时，即k＞3时，y随x的增大而增大，
分析选项可得D选项正确．
答案为D．
二、填空题
11．-1
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得出-3+4=-m，-3×4=n，求出即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣3，x2＝4，
∴﹣3+4＝﹣m，﹣3×4＝n，
解得：m＝﹣1，n＝﹣12，
∴m+n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出-3+4=-m，-3×4=n是解此题的关键．
12．
【解析】
【分析】
由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证△ABE≌△AOE，可得AO=AB=BO=DO，由勾股定理可求AE的长．
【详解】
在矩形ABCD 中, AO=CO=BO=DO
∵:1:3BE ED =，BO DO =，
∴BE=EO
∵AE ⊥BD
∴AE 垂直平分BO ．
∴AB=AO
∴AB=AO=BO
∴ABO ∆为等边三角形．
∴∠BAO=60°
∵AE ⊥BD
∴∠BAE=30° ∴132
BE AB ==，
∴AE ==
故答案为：【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
13．32
＜h ＜1 【解析】
【分析】
将两直线解析式联立，求得交点坐标，然后根据交点在第二象限，列出一元一次不等式组，求解即可．
【详解】
将两直线解析式联立得：23y x h y x +⎧⎨+⎩
＝＝ 解得323x h y h -⎧⎨-⎩
＝＝ ∵交点在第二象限
∴30230h h -⎧⎨-⎩
＜＞ ∴32
＜h ＜1 故答案为：32＜h ＜1．
本题考查了二元一次方程组的解法及一元一次不等式组的解法，本题难度不大．
14．20
【解析】
【分析】
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
【详解】
∵菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=8，BD=6，由菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴，
故菱形的周长为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，以及菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB 的长是解题的关键．
15．3 5
【解析】
【分析】
先从平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形找出既是轴对称图形又是中心对称图形的图形，然后根据概率公式求解即可.
【详解】
∵五张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，
∴现从中任意抽取一张，卡片上所写的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为3
5
，
故答案为3
5
．
【点睛】
本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质及概率的计算方法，熟练掌握图形的性质及概率公式是解答本题的关键. 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m
种结果，那么事件A的概率P（A）=m
n
．
16．1
根据直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），求出DM=1
2
AB=3，即可得到ME=1，根据题意求
出DE=DM+ME=4，根据三角形中位线定理可得BC=2DE=1．【详解】
解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，
∴DM=1
2
AB=3，
∵ME=1
3 DM，
∴ME=1，
∴DE=DM+ME=4，
∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴BC=2DE=1，
故答案为：1．
点睛：本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
17
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质及两点之间线段最短进行作答.
【详解】
由题知，四边形ABCD是平行四边形，所以BH＝DH.要求HD＋HE最小，即BH＋HE最小，所以，连接B、E，得到最小值HD＋HE＝BE.过B点作BG⊥CE交于点G，再结合题意，得到GE＝3,BG＝1，由勾股定理得，
BE.所以，HD＋HE.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质及两点之间线段最短，熟练掌握平行四边形的性质及两点之间线段最短是本题解题关键.
三、解答题
18．（1）见解析；（2）不变，见解析；（3）能，1
x=-或1+
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质得到BE=EP，BF=PF，得到BE=BF，根据菱形的性质得到AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，
（2）由菱形的性质得到BE=BF ，AE=FC ，推出△ABC 是等边三角形，求得∠B=∠D=60°，得到∠B=∠D=60°，
于是得到结论；
（3）记AC 与BD 交于点O ，得到∠ABD=30°，解直角三角形得到AO=1，求得S 四边形ABCD ，
当六边形AEFCHG 的面积等于4时，得到S △BEF +S △DGH =4
，设GH 与BD 交于点M ，求得GM=12x ，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【详解】
解:()1折叠后B 落在BD 上，
,BE EP ∴=BF PF = BD 平分,ABC ∠
BE BF ∴=，
∴四边形BEPF 为菱形，同理四边形GDHP 为菱形，
////,// //,AB CD FG BC EH AD ∴
∴四边形AEPG 为平行四边形，
AG EP BE ∴==.
()2不变.
理由如下:由()1得.AG BE =
四边形BEPF 为菱形，
,.BE BF AE FC ∴==
60,BAC ABC ∠=︒为等边三角
60B D ∴∠=∠=︒，
,,EF BE GH DG ∴==
36AEFCHG C AE EF FC CH GH AG AB ∴=+++++==六边形为定值.
()3记AC 与BD 交于点O .
2,60,AB BAC =∠=
30,ABD ∴∠=
1,AO ∴=3,BO =
1
2332ABC S ∴=⨯=23ABCD S ∴=四边形当六边形AEFCHG 5
34时，
5
3
233344DEF DGH S S +==由()1得BE AG =
AE DG ∴=
DG x =
2BE x ∴=-
记GH 与BD 交于点,M
12GM x ∴=，3DM x = 23DHG S x ∴= 同理)2233233BEF
S x x x =-=+ 223333334
x x x -=化简得22410,x x -+= 解得121x =221x =+ ∴当212
x =-或212+时，六边形AEPCHG 534【点睛】 此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x 表示出相关的线段，是一道基础题目．
19．（1）C （0，1）．
（2）y=34
-x+1． （3）P 1（4，3），P 2（325455-
，）P 3（32655，），P 4（256422525-，）． 【解析】
试题分析：
2
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．
试题解析：
（1）解方程x2-14x+42=0得
x1=1，x2=2
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+42=0的两个实数根
∴OC=1，OA=2
∴C（0，1）
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）
由（1）知，OA=2，则A（2，0）
∵点A、C都在直线MN上
∴
解得，
∴直线MN的解析式为y=-x+1
（3）
∵A（2，0），C（0，1）
∴根据题意知B（2，1）
∵点P在直线MN y=-x+1上
∴设P（a，--a+1）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；
解得，a=±，则P 2（-，），P 3（，）
③当PB=BC 时，（a-2）2+（-a+1-1）2=14
解得，a=
，则-a+1=- ∴P 4（，）
综上所述，符合条件的点P 有：P 1（4，3），P 2(-，)，P 3(，)，P 4（，-） 考点：一次函数综合题．
20．（1）购买一个篮球需60元，购买一个足球需28元；（2）篮球最多可购买21个．
【解析】
【分析】
（1）设购买一个篮球x 元，购买一个足球y 元，根据“1个篮球和2个足球共需116元，2个篮球和3个足球共需204元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m 个篮球，则购买的足球数为()40m -，根据费用=单价×数量，分别求出篮球和足球的费用，二者相加便是总费用，总费用不超过1800元，列出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出结论.
【详解】
解：()1设购买一个篮球的需x 元，购买一个足球的需 y 元，
依题意得211623204x y x y +=⎧+=⎨⎩
， 解得{60
28x y ==，
答：购买一个篮球需60元，购买一个足球需28元； ()2设购买m 个篮球，则足球数为()40m -，
依题意得：()6028401800m m +-≤， 解得：1214
m ≤，
而m 为正整数， 21m =最多，
答：篮球最多可购买21个．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，正确列出一元一次不等式.
21．9.62cm
【解析】
【分析】
直接根据题意，列出式子，进行因式分解即可.
【详解】
222221(29.821.2)(29.221.8)S S -=+-+
2222(29.821.8)(29.221.2)=---
(29.821.8)(29.821.8)(29.221.2)(29.221.2)=+--+-
51.6850.48=⨯-⨯
(51.650.4)8=-⨯
9.6=（2cm ）
【点睛】
此题主要考查因式分解的实际应用，熟练掌握，即可解题.
22．证明见解析
【解析】
【分析】
证明：连接BD ，交AC 于点O ，根据四边形ABCD 是平行四边形，得到OA ＝OC ，OB ＝OD ，
由此推出
OE=OF ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到结论.
【详解】
连接BD ，交AC 于点O ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，
∵AE ＝CF ，
∴OA ﹣AE ＝OC ﹣CF ，
即OE ＝OF ，
∵OE ＝OF ，OB ＝OD
∴四边形DEBF 是平行四边形．
此题考查平行四边形的性质及判定，熟记判定定理及性质定理是解题的关键.
23．（1）y＝x；（2）当线段PA的长度最小时，点P的坐标为
11
,
22⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】
【分析】
（1）由两直线平行可得出k1＝k2＝1、b1≠b2＝﹣3，取b1＝0即可得出结论；
（2）过点A作AP⊥直线y＝﹣3x+2于点P，此时线段PA的长度最小，由两直线平行可设直线PA的解析式为y＝
1
3
x+b，由点A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，联立两直线解析式成方程组，再通过解方程组即可求出：当线段PA的长度最小时，点P的坐标．
【详解】
.解：（1）∵两直线平行，
∴k1＝k2＝1，b1≠b2＝﹣3，
∴该直线可以为y＝x．
故答案为y＝x．
（2）过点A作AP⊥直线y＝﹣3x+2于点P，此时线段PA的长度最小，如图所示．
∵直线PA与直线y＝﹣3x+2垂直，
∴设直线PA的解析式为y＝
1
3
x+b．
∵点A（﹣1，0）在直线PA上，
∴
1
3
×（﹣1）+b＝0，解得：b＝
1
3
，
∴直线PA的解析式为y＝
1
3
x+
1
3
．
联立两直线解析式成方程组，得：
32
11
33
y x
y x
=-+
⎧
⎪
⎨
=+
⎪⎩
，解得：
1
2
1
2
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
．
∴当线段PA的长度最小时，点P的坐标为（
1
2
，
1
2
）．
本题考查待定系数法求一次函数解析式、垂线段以及两直线平行或相交，解题的关键是：（1）根据材料一找出与已知直线平行的直线；（2）利用点到直线之间垂直线段最短找出点P 的位置．
24．（1）∠B=30°；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据余角的性质得到∠ECF ＝∠CAF ，求得∠CAD ＝2∠DCB ，由CD 是斜边AB 上的中线，得到CD ＝BD ，推出∠CAB ＝2∠B ，于是得到结论；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵AE ⊥CD ，
∴∠AFC ＝∠ACB ＝90°，
∴∠CAF+∠ACF ＝∠ACF+∠ECF ＝90°，
∴∠ECF ＝∠CAF ，
∵∠EAD ＝∠DCB ，
∴∠CAD ＝2∠DCB ，
∵CD 是斜边AB 上的中线，
∴CD ＝BD ，
∴∠B ＝∠DCB ，
∴∠CAB ＝2∠B ，
∵∠B+∠CAB ＝90°，
∴∠B ＝30°；
（2）∵∠B ＝∠BAE ＝∠CAE ＝30°，
∴AE ＝BE ，CE ＝
12AE ， ∴BC ＝3CE ．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用直角三角形的性质进行边角关系的推导． 25．（1）35y x =+；（2）25y x =-+．
【解析】
【分析】
（1）将点(2,1)--代入即可得；
（2）根据点(1,3)和(1,7)-，直接利用待定系数法即可得．
（1）将点(2,1)--代入直线5y kx =+得：251k -+=- 解得3k =
则函数表达式为35y x =+；
（2）设一次函数的表达式为y ax b =+
由题意，将点(1,3)和(1,7)-代入得：37a b a b +=⎧⎨-+=⎩
解得25a b =-⎧⎨=⎩
则一次函数的表达式为25y x =-+．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求一次函数的表达式，掌握待定系数法是解题关键．。