新疆阿克苏地区(新版)2024高考数学人教版能力评测(巩固卷)完整试卷

新疆阿克苏地区（新版）2024高考数学人教版能力评测(巩固卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
关于曲线．给出下列三个结论：
①曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
②曲线上任意一点到原点的距离都不大于
③曲线上任意一点到原点的距离都不小于2
其中，正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
第(2)题
已知，则（）
A．1B．－1C．D．
第(3)题
设复数满足，则的实部为（）
A．0B．1C．-1D．i
第(4)题
已知直线与曲线相切，则的最大值为
A．B．C
．D．
第(5)题
已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
第(6)题
已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）
A．B．
C．D．
第(7)题
“直线与直线没有公共点”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
第(8)题
已知集合，，则等于（）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
已知长轴长、短轴长和焦距分别为、和的椭圆，点是椭圆与其长轴的一个交点，点是椭圆与其短轴
的一个交点，点和为其焦点，．点在椭圆上，若，则（）
A．，，成等差数列
B．，，成等比数列
C．椭圆的离心率
D．的面积不小于的面积
第(2)题
下列命题中正确是（）
A．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均增加0.5个单位
C．若随机变量的期望，则
D ．若，且，则
第(3)题
如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（）
A ．当时，的值最小
B ．当时，
C ．若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆
D
．直线与平面所成角的正弦值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，点满足
，且.若，则双曲线C的离心率是___________.
第(2)题
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，.若关于直线的对称点P恰好在椭圆C上，则椭圆C的离心
率为______.
第(3)题
在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，M是C的右支上
一点，直线l与C相切于点M．由点出发的入射光线碰到点M后反射光线为MQ，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）
交x轴于点N，此时直线l起到了反射镜的作用．若，则C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
已知函数，.
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）设函数，若函数的最小值是，求m的值；
（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点A，在函数的图象上都存在一点B，使得
，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围.
第(2)题
在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，
，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
(1)若，求；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．
第(3)题
设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可
称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，
互质，若，，则；③若，则，其中.
(1)若数列满足，，其前项和为，证明：；
(2)若为奇数，求证：能被整除；
(3)对于整数与，，求证：可整除.
第(4)题
设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数的值域.
第(5)题
如图，在直三棱柱中，，点F是的中点，点E满足.
(1)求证：；
(2)
若，，直线与平面所成的角为，求的值.。