2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学实验学校九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学实验学校九年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定
2．（3分）方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5的解是（）
A．x＝5B．x＝5 或x＝6
C．x＝7D．x＝5 或x＝7
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB 为（）
A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm
̂所在圆相切于点A，B．若该圆半4．（3分）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，P A，PB分别与AMB
̂的长是（）
径是9cm，∠P＝40°，则AMB
A．11πB．7πC．13πD．9π
5．（3分）当用配方法解一元二次方程x2﹣3＝4x时，下列方程变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝7
6．（3分）2023年连花清瘟胶囊经过两次降价，从每盒43元下调至13.8元，设平均每次降价百分率为x，
则下面所列方程正确的是（ ） A ．43（1﹣x 2）＝13.8 B ．43（1﹣x ）2＝13.8
C ．43（1﹣2x ）＝13.8
D ．13.8（1+x ）2＝43
7．（3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径AD ＝4，∠ABC ＝∠DAC ，则AC ＝（ ）
A ．2
B ．2√3
C ．2√2
D ．3
8．（3分）如图，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，AB ̂与AB 垂直的半径OC 交于点D 且CD ＝2OD ，则折痕AB 的长为（ ）
A ．4√2
B ．8√2
C ．6
D ．6√3
9．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 出发沿AB 以3cm /s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；同时，点Q 从点C 出发沿边CD 以2cm /s 的速度向点D 移动．设运动时间为t ，当PQ ＝10cm 时，t ＝（ ）
A ．8
3
B ．8
5
或4
C ．85
或
245
D ．4
10．（3分）如图，O 为等边△ABC 的外心，四边形OCDE 为正方形．现有以下结论：①O 是△ABE 外心； ②O 是△ACD 的外心；③∠EBC ＝45°；④设BE ＝x ，则S 四边形ABCE =√3
4x 2；⑤若点M ，N 分别在线段BA ，BC 上运动（不含端点），随着点E 运动到每一个确定位置时，△EMN 的周长都有最小值，(C △EMN )min =(√3−1)BE ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．①③④
B ．②③⑤
C ．②④
D ．①③④⑤
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）
11．（3分）若矩形的长和宽是方程x 2﹣6x +m ＝0（0＜m ≤9）的两根，则矩形的周长为 ． 12．（3分）已知⊙O 的半径是一元二次方程x 2﹣2x ﹣8＝0的一个根，圆心O 到直线l 的距离d ＝5，则直线l 与⊙O 的位置关系是 ．
13．（3分）如图，在正十边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10中，连接A 1A 4、A 1A 7，则∠A 4A 1A 7＝ °．
14．（3分）若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0有一个根为0，则m 的值是 ． 15．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ．若BD ＝10，AD ＝3，则
AC BC
= ．
16．（3分）如图，扇形OAB 的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE 的顶点C 、D 、E 分别在OA 、AB ̂、OB 上，AF ⊥ED ，交ED 的延长线于点F ．则图中阴影部分面积是 ．
17．（3分）如图，BC =4√3，点D 是以BC 为直径的半圆上不同于B 、C 的一个动点，将线段BD 绕着点B 逆时针旋转60°得到线段BA ，则线段AC 的取值范围是 ．
18．（3分）如图，在半圆O 中，C 是半圆上的一个点，将AC ̂沿弦AC 折叠交直径AB 于点D ，点E 是AD ̂的中点，连接OE ，若OE 的最小值为√6−√3，则AB ＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）用适当的方法解下列方程． （1）x 2﹣2x ﹣1＝0 （2）（2x +1）（x ﹣3）＝﹣6 （3）（2x ﹣1）2﹣9＝0 （4）（x ﹣3）2+2x （x ﹣3）＝0
20．（7分）如图，P A 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B 若直径AC ＝12cm ，∠P ＝60°，求弦AB 的长．
21．（8分）已知一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当其中一个根为1时，求另一个根．
（2）证明不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
22．（9分）如图，是一个△ABC纸板，其中∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝3．
操作（1）：可以剪出一个直径在直角边AC上的最大半圆，请用无刻度直尺和圆规作出符合条件的半圆；
操作（2）：若将（1）中的半圆剪下，围成一个圆锥的侧面，剩下部分能再剪出一个完整的圆作为圆锥的底面吗？若能，求出底面半径；若不能，请说明理由．
23．（12分）关于x的一元二次方程√2ax2+2cx+√2b=0，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“勾系方程”：；
（2）求证：关于x的“勾系方程”√2ax2+2cx+√2b=0必有实数根；
（3）如图，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程√2ax2+ 10x+√2b=0是“勾系方程”，求∠BDC．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，作直线EC交⊙O于点C，连接AC、BC，使得∠BCE＝∠CAB，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：直线EC是⊙O的切线；
（2）若BE＝1，CE＝2，求⊙O的半径及AD的长．
25．（10分）某杨梅采摘园收费信息如下表：
（1）某社团共35人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1530元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？
（2）某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价384元，求这次参加团建的共多少人？
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，﹣5），以原点O为圆心，3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴负半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时直线AP的解析式．
27．（12分）定义1：如图1，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转θ（θ＝120°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，实数a为点P的横坐标．
定义2：在平面斜坐标系xOy中，若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
（1）已知⊙O的半径为1，△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
①如图2，点B（0，0），C（0，2），点A的横坐标的最小值为，在P1(−√3
3，√3
3
)，P2(
2√3
3
，
√3
3
)这两个点中，点A可以与点重合；
②若点A（1，0），点B（0，m），m＜0，∠B＝90°，BA＝BC，点C在x轴下方．求满足条件的点C
轨迹长度；
（2）已知⊙O的半径为r，点A（r，r），点C（4，0）．若平面斜坐标系xOy中存在点B，使得△ABC 是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学实验学校九年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定
【分析】OP＝5，A为线段PO的中点，则OA＝2.5，因而点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．
【解答】解：∵OA=1
2
OP＝2.5，⊙O的半径为3，
∴OA＜⊙O半径，
∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．
故选：A．
2．（3分）方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5的解是（）
A．x＝5B．x＝5 或x＝6
C．x＝7D．x＝5 或x＝7
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程移项得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0，
解得：x＝5或x＝7，
故选：D．
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB 为（）
A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为4cm，求出直径即可．
【解答】解：如图，连接OD、OC，
∵BC＝CD＝DA＝4cm，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4cm，
∴⊙O的直径AB为8cm．
故选：D．
̂所在圆相切于点A，B．若该圆半4．（3分）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，P A，PB分别与AMB
̂的长是（）
径是9cm，∠P＝40°，则AMB
A．11πB．7πC．13πD．9π
̂所在圆相切于点A，B，∠P＝40°可【分析】根据题意，先找到圆心O，然后根据P A，PB分别与AMB
以得到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
̂所在圆的圆心为O，连接OA，OB，
【解答】解：设AMB
̂所在圆相切于点A，B．
∵P A，PB分别与AMB
∴OA⊥P A，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB ＝140°，
∴优弧AMB 对应的圆心角为360°﹣140°＝220°， ∴优弧AMB 的长是：220π×9180
=11π（cm ）．
故选：A ．
5．（3分）当用配方法解一元二次方程x 2﹣3＝4x 时，下列方程变形正确的是（ ） A ．（x ﹣2）2＝2
B ．（x ﹣2）2＝4
C ．（x ﹣2）2＝1
D ．（x ﹣2）2＝7
【分析】原方程变形为x 2﹣4x ＝3，再在两边都加上那个22，即可得． 【解答】解：x 2﹣4x ＝3， x 2﹣4x +4＝3+4，即（x ﹣2）2＝7， 故选：D ．
6．（3分）2023年连花清瘟胶囊经过两次降价，从每盒43元下调至13.8元，设平均每次降价百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．43（1﹣x 2）＝13.8 B ．43（1﹣x ）2＝13.8
C ．43（1﹣2x ）＝13.8
D ．13.8（1+x ）2＝43
【分析】根据药品经过两次降价，每瓶零售价由43元降为13.8元，可以列出方程43（1﹣x ）2＝13.8，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得， 43（1﹣x ）2＝13.8． 故选：B ．
7．（3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径AD ＝4，∠ABC ＝∠DAC ，则AC ＝（ ）
A．2B．2√3C．2√2D．3
【分析】连接CD，由AD是⊙O的直径，得∠ACD＝90°，由∠ABC＝∠DAC，∠ABC＝∠D，得∠DAC＝∠D，则AC＝DC，所以AD=√AC2+DC2=√2AC＝4，求得AC＝2√2，于是得到问题的答案．【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABC＝∠DAC，∠ABC＝∠D，
∴∠DAC＝∠D，
∴AC＝DC，
∵AD＝4，且AD=√AC2+DC2=√2AC2=√2AC，
∴√2AC＝4，
∴AC＝2√2，
故选：C．
̂与AB垂直的半径OC交于点D且CD＝2OD，则折痕8．（3分）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，AB
AB的长为（）
A．4√2B．8√2C．6D．6√3
【分析】延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB，
∵CE ⊥AB ，
∴E 为AB 的中点，
∵OC ＝6，CD ＝2OD ，
∴CD ＝4，OD ＝2，OB ＝6，
∴DE =12（2OC ﹣CD ）=12（6×2﹣4）=
12
×8＝4， ∴OE ＝DE ﹣OD ＝4﹣2＝2，
在Rt △OEB 中，
∵OE 2+BE 2＝OB 2，
∴BE =√OB 2−OE 2=√62−22=4√2
∴AB ＝2BE ＝8√2．
故选：B ．
9．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 出发沿AB 以3cm /s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；同时，点Q 从点C 出发沿边CD 以2cm /s 的速度向点D 移动．设运动时间为t ，当PQ ＝10cm 时，t ＝（ ）
A ．83
B ．85或4
C ．85或245
D ．4
【分析】过点P 作PE ⊥CD 于点E ，则PE ＝BC ＝6cm ，利用时间＝路程÷速度，可求出点P 到达点B 所需时间，当运动时间为t （0＜t ≤163）s 时，EQ ＝|16﹣5t |，利用勾股定理，可列出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：过点P 作PE ⊥CD 于点E ，则PE ＝BC ＝6cm ，如图所示.
16÷3=163（s ）．
当运动时间为t （0＜t ≤163
）s 时，AP ＝3t cm ，DQ ＝（16﹣2t ）cm ，EQ ＝|（16﹣2t ）﹣3t |＝|16﹣5t |， 根据题意得：PQ 2＝PE 2+EQ 2，
即102＝62+（16﹣5t ）2，
整理得：（16﹣5t ）2＝82，
∴16﹣5t ＝8或16﹣5t ＝﹣8，
解得：t 1=85，t 2=245，
∴t 的值为85或245．
故选：C ．
10．（3分）如图，O 为等边△ABC 的外心，四边形OCDE 为正方形．现有以下结论：①O 是△ABE 外心； ②O 是△ACD 的外心；③∠EBC ＝45°；④设BE ＝x ，则S 四边形ABCE =√34x 2；⑤若点M ，N 分别在线
段BA ，BC 上运动（不含端点），随着点E 运动到每一个确定位置时，△EMN 的周长都有最小值，(C △EMN )min =(√3−1)BE ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．①③④
B ．②③⑤
C ．②④
D ．①③④⑤
【分析】本题命题思路是以等边△ABC 外心为背景，进而得到A ，E ，C ，B 四点共圆，从而对角互补，利用旋转△ABE ，可以转化四边形ABCE 为一个规则的等边三角形EBF ，最后利用轴对称性可解决AEMN 周长最小值的问题．
【解答】解：连接OA ，OB ；
∵O 为△ABC 的外心；
∴OA ＝OB ＝OC ；
∵正方形OCED ；
∴OC ＝OE ；
∴OE ＝OA ＝OB ；
∴O 是的△ABE 外心；故①正确．
对于②，连接AD ，OD ，
∵OA ＝OC ≠OD ，
∴O 不是△ACD 的外心；故②错误．
对于③，连接OB ，
∴OC ＝OE ＝OB ，
∴C ，B ，E ，三点共圆；
∴∠EBC =12∠COE ，
∵∠COE ＝90°，
即∠EBC ＝45°；故③正确．
对于④，
∵OC ＝OE ＝OB ＝OA ，
∴E ，A ，B ，C 四点共圆，
如图所示，以点B为旋转中心，把△BAE绕点B逆时针旋转60°，点E的对应点为点F，△ABE≌△CBF，
∵∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠CBF+∠CBE＝60°，
即∠FBE＝60°，
∵∠EAB+∠ECB＝180°，
∴∠FCB+∠ECB＝180°，
∴E，C，F三点共线；
由旋转的性质可得，BE＝BF，
∴△FBE是等边三角形；
∵BE＝x，
过点F作BE的垂线，垂足为P，
∴FP⊥BE，
∵∠PFB＝30°；
在Rt△PFB中，
tan30°=PB
PF
=
x
2
PF
，
∴PF=√3
2
x；
∴S△FBE=1
2
×x×√
3
2
x=√
3
4
x2；，
∵S AECB＝S△FBE，
∴S AECB=√3
4
x2；故④正确．
对于⑤，
如图所示；作EM和EN关于AB和BC的对称线段，
∴EM＝MP，EN＝NQ；C△EMN＝MN+MP+NQ，
当P，M，N，Q四点共线时，C△EMN周长最小：
即C△EMN＝MN+MP+NQ≥PQ，C△EMN＝PQ，
连接EB，
∴EB＝BP＝BQ，连接PQ，
∴△BPQ是等腰三角形；
∵∠EBM＝∠PBM，∠QBN＝∠EBN；
∴∠EBA+∠EBC＝∠PBM+QBN；
∵∠EBA+∠EBC＝60°，
∴∠PBQ＝2∠ABC＝120°；
∴三角形PBQ是以∠PBQ＝120°为顶角的等腰三角形；过点B作PQ的垂线，垂足为L，
∵∠PBL＝30°，
∴BL=1
2 PB；
在Rt△PBL中；
∴PL=√3
2
PB；
∴PQ=√3PQ即PQ=√3BE故⑤错误；综上所述，①③④正确；
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）
11．（3分）若矩形的长和宽是方程x2﹣6x+m＝0（0＜m≤9）的两根，则矩形的周长为12．【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，由于矩形的长和宽是方程x2﹣6x+m＝0（0＜m≤9）的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系得到a+b＝6，然后利用矩形的性质易求得到它的周长．
【解答】解：设矩形的长和宽分别为a、b，
根据题意得a+b＝6，
所以矩形的周长＝2（a+b）＝12．
故答案为：12．
12．（3分）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是相离．
【分析】解一元二次方程可得x1＝﹣2，x2＝4，由题意得⊙O的半径为r＝5，再根据d＞r，可得：直线l与⊙O的位置关系是相离．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x+2）（x﹣4）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝4，
∴⊙O的半径为r＝4，
∵圆心O到直线l的距离d＝5，
∴d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离；
故答案为：相离．
13．（3分）如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝54°．
【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：如图，设正十边形内接于⊙O，连接A7O，A4O，
∵正十边形的各边都相等，
∴∠A7OA4=
3
10
×360°＝108°，
∴∠A 4A 1A 7=12
×108°＝54°． 故答案为：54．
14．（3分）若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0有一个根为0，则m 的值是 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x ＝0代入（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0得关于m 的方程，然后解关于m 的方程后利用一元二次方程的定义确定m 的值．
【解答】解：把x ＝0代入（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0得m 2﹣1＝0，解得m 1＝1，m 2＝﹣1，
而m ﹣1≠0，
所以m ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ．若BD ＝10，AD ＝3，则AC BC = 512 ．
【分析】由切线长定理得BE ＝BD ＝10，AF ＝AD ＝3，则AB ＝13，连接OE 、OF ，则四边形OECF 是正方形，设CE ＝CF ＝m ，由勾股定理得（3+m ）2+（10+m ）2＝132，求得m ＝2，则AC ＝5，BC ＝12，所以AC BC =512，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，BD ＝10，AD ＝3，
∴BE ＝BD ＝10，AF ＝AD ＝3，AB ＝BD +AD ＝10+3＝13，
连接OE 、OF ，则BC ⊥OE ，AC ⊥OF ，
∴∠OEC ＝∠OFC ＝∠C ＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
设CE＝CF＝m，则AC＝3+m，BC＝10+m，∴（3+m）2+（10+m）2＝132，
解得m1＝2，m2＝﹣15（不符合题意，舍去），∴AC＝3+2＝5，BC＝10+2＝12，
∴AC
BC =
5
12
，
故答案为：5
12
．
16．（3分）如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、AB
̂、OB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分面积是√2−1．
【分析】通过观察图形可知DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，阴影部分的面积正好等于长方形ACDF 的面积，根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出AC的长，即可求出长方形ACDF的面积．【解答】解：连接OD，
∵正方形的边长为1，即OC＝CD＝1，
∴OD=√OC2+CD2=√2，
∴AC＝OA﹣OC=√2−1，
∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，
∴图形ACD是面积等于图形BED的面积，
∴S阴＝长方形ACDF的面积＝AC•CD=√2−1．
故答案为：√2−1．
17．（3分）如图，BC=4√3，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，将线段BD绕着点B逆时针旋转60°得到线段BA，则线段AC的取值范围是4√3＜AC≤6+2√3．
【分析】以BC为边作等边△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝4√3=定值，∠BDC＝90°，由图象可知，DM⊥BC时，DM的值最大．OM＝OB•tan∠OBM＝2√3•tan60°＝6，代入AC最大值＝DM最大值＝OD+OM求得最大值；结合AC ＞BC即可得解．
【解答】解：以BC为边作等边△BCM，将线段BD绕着点B逆时针旋转60°得到线段BA，连接AD，AC，如图，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，
∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝4√3，∠BDC＝90°，点D在以BC为直径的半圆⊙O上运动，
由图象可知，DM ⊥BC 时，DM 的值最大，
在Rt △BOM 中，∠OBM ＝60°，
∴OM ＝OB •tan ∠OBM ＝2√3•tan60°＝6，
∴AC 最大值＝DM 最大值＝OD +OM ＝2√3+6．
当D 点无限接近B 点时，AC 的大小无限接近BC ，即AC ＞4√3，
综上，线段AC 的取值范围是4√3＜AC ≤6+2√3．
故答案为：4√3＜AC ≤6+2√3．
18．（3分）如图，在半圆O 中，C 是半圆上的一个点，将AC
̂沿弦AC 折叠交直径AB 于点D ，点E 是AD ̂的中点，连接OE ，若OE 的最小值为√6−√3，则AB ＝ 2√3 ．
【分析】连接CE ，OC ，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O 、C 、E 共线时OE 最小，设AC
̂的弧度为x °，求出CE ̂的弧度为90°，设AB ＝2r ，利用勾股定理求出CE ，即可得出OE ＝CE ﹣OC =√2r −
r =√6−√3，解得2r ＝2√3．
【解答】解：连接CE ，OC ，
由三角形任意两边之差小于第三边得，当O 、C 、E 共线时OE 最小，
设AC
̂的弧度为x °， ∴BC ̂的弧度为：（180﹣x ）°，
∵∠CAD ＝∠CAB ，
∴CD ̂的弧度为：（180﹣x ）°，
由折叠得，CDA
̂的弧度为x °， ∴AD
̂的弧度为：x °﹣（180﹣x ）°＝（2x ﹣180）°， ∵点E 为弧AD 中点，
∴DE ̂的弧度为：（2x ﹣180）°＝（x ﹣90）°，
∴CE ̂的弧度为：（180﹣x ）°+（x ﹣90）°＝90°，
即CE
̂所对圆心角为90°， 设AB ＝2r ，
∴⊙O 半径为r ，
∴CE=√r2+r2=√2r，
∴OE＝CE﹣OC=√2r−r=√6−√3，
∴r=√3，
∴AB＝2r＝2√3．
故答案为：2√3．
三、解答题（本大题共9小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣1＝0
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6
（3）（2x﹣1）2﹣9＝0
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0
【分析】（1）根据配方法进行求解方程即可；
（2）整理后根据因式分解法求解方程即可；
（3）根据直接开平方法进行求解方程即可；
（4）根据因式分解法进行求解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±√2，
∴x1＝1+√2，x2＝1−√2；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6，
整理，得2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1=3
2
，，x2＝1；
（3）（2x﹣1）2﹣9＝0，
（2x﹣1）2＝9，
2x﹣1＝±3，
∴x1＝2，x2＝﹣1；
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
20．（7分）如图，P A、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B若直径AC＝12cm，∠P＝60°，求弦AB 的长．
【分析】连接CB．P A、PB是QO的切线，由切线长定理知P A＝PB；又∠P＝60°，则等腰三角形APB 是等边三角形，则有ABP＝60°；由弦切角定理知，∠P AB＝∠C＝60°，AC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠ABC＝90°，则在Rt△ABC中，有∠CAB＝30°，进而可知AB＝AC sin∠CAB＝
12×√3
2
=6√3（若取近似值，不扣分）．【解答】解：连接CB．
∵P A、PB是⊙O的切线，
∴P A＝PB，
又∵∠P＝60°，
∴∠P AB＝60°；
又∵AC是⊙O的直径，
∴CA⊥P A，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝30°，
而AC＝12，
∴在Rt△ABC中，cos30°=AB AC
，
∴AB＝12×√3
2
=6√3（若取近似值，不扣分）．
21．（8分）已知一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当其中一个根为1时，求另一个根．
（2）证明不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）首先把x＝1代入方程求出a，然后设方程的另一根为x1，根据方程解的定义、根与系数的关系列出方程求出方程的另一根；
（2）计算根的判别式的值得到Δ＞0，则根据根的判别式的意义得到结论；
【解答】（1）∵x＝1是方程x2+ax+a﹣2＝0的根，
∴1+a+a﹣2＝0，
解得a=1 2，
∴方程为x2+1
2
x−
3
2
=0，
∴1×x1=−3 2，
∴x1=−3 2，
即另一根为−3 2；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2），
＝a2﹣4a+8
＝（a﹣2）2+4，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+4＞0
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
22．（9分）如图，是一个△ABC纸板，其中∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝3．
操作（1）：可以剪出一个直径在直角边AC上的最大半圆，请用无刻度直尺和圆规作出符合条件的半圆；
操作（2）：若将（1）中的半圆剪下，围成一个圆锥的侧面，剩下部分能再剪出一个完整的圆作为圆锥的底面吗？若能，求出底面半径；若不能，请说明理由．
【分析】（1）选择AC直角边为直径所在的边，如图，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D；
连接CD，分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，连接两个交点，交AC于点O，点O即为圆心．
（2）设圆锥底面半径为r；于是得到π＝2πr；求得圆锥底面半径r=1
2
，根据直角三角形的性质即可得
到结论．
【解答】解：（1）如图所示；
图中以点O为圆心的半圆是所求作的图形；（2）设圆锥底面半径为r；
∵半圆的弧长为π，
∴π＝2πr；
∴圆锥底面半径r=1 2，
在Rt△ABC中，AC＝3，∠B＝60°，∠C＝90°，∴BC=√3，
∵∠OBC=1
2
∠ABC=30°，
∴OB＝2，OC＝1，
设⊙O'的半径为r'，
在RtΔO'BG中，O'G＝r'，∠O'BG＝30°，∠O'GB＝90°，∴O'B＝2r'，
∵OE+EO'+O'B＝OB＝2，
∴1+3r'＝2，得r′=1 3；
∵r＞r'
∴不能剪出圆锥的底面．
23．（12分）关于x的一元二次方程√2ax2+2cx+√2b=0，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“勾系方程”：3x2+5√2x+4=0（答案不唯一）；
（2）求证：关于x的“勾系方程”√2ax2+2cx+√2b=0必有实数根；
（3）如图，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程√2ax2+ 10x+√2b=0是“勾系方程”，求∠BDC．
【分析】（1）由“勾股方程”满足的条件，即可写出一个“勾系方程”；
（2）由一元二次方程根的判别式，即可判断；
（3）由勾股定理，垂径定理，圆周角定理，即可求解．
【解答】解：（1）3√2x+10x+4√2=0（答案不唯一）；
故答案为：3√2x+10x+4√2=0（答案不唯一）；
（2）证明：∵关于x的一元二次方程√2ax2+2cx+√2b=0是“勾系方程”，
∴a2+b2＝c2且c≠0，a≠0，
Δ＝（2c）2﹣4⋅√2a⋅√2b
＝4c2﹣8ab
＝4（a2+b2）﹣8ab
＝4（a2+b2﹣2ab）
＝4（a﹣b）2；
∵（a﹣b）2≥0
∴Δ≥0
∴方程有两个实数根；
（3）解：∠BDC＝45°，理由如下：
作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OB，OC，∵DC∥AB，
∴EF⊥CD，
∴AE＝BE＝a，CF＝DF＝b，
∵BE2+OE2＝OB2，
∴a2+OE2＝52，
∵√2ax2+10x+√2b=0是“勾系方程，
∴a2+b2＝52，
∴OE＝b＝CF；
∵OB＝OC，
∴Rt△BOE≌Rt△OCF（HL），
∴∠FOC＝∠OBE，
∵∠OBE+∠EOB＝90°，
∴∠FOC+EOB＝90°，
∴∠COB＝90°，
∴∠BDC=1
2
∠BOC=45°．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，作直线EC交⊙O于点C，连接AC、BC，使得∠BCE＝∠CAB，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：直线EC是⊙O的切线；
（2）若BE＝1，CE＝2，求⊙O的半径及AD的长．
【分析】（1）连接OC．证出∠OCE＝90°，由切线的判定可得出结论；
（2）设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r+1，利用勾股定理得到r2+22＝（r+1）2，解得r=3
2
，再证明
△OCE∽△ADE，然后利用相似比可计算出AD的长．【解答】（1）证明：连接OC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA+∠CAB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠CBA＝∠OCB，
又∵∠CAB＝∠BCE，
∴∠OCB+∠BCE＝90°，
即∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为⊙O半径，
∴EC是⊙O切线；
（2）解：设⊙O半径为r，
则OC＝r，OE＝r+1，
在Rt△OEC中，
∵OC2+EC2＝OE2，
∴r2+22＝（r+1）2，
解得：r=3 2，
∴OE=5
2
，AE＝4，OC=
3
2
．
∵OC∥AD，
∴△OCE∽△ADE，
∴OC
AD =
OE
AE
，
即
3
2
AD
=
5
2
4
，
解得：AD=12 5
．
25．（10分）某杨梅采摘园收费信息如下表：
（1）某社团共35人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1530元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？
（2）某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价384元，求这次参加团建的共多少人？
【分析】（1）求出成人票为18元/人时的购买数量，结合该社团的成人数，可得出该社团购买的成人票价为18元/人，设本次活动他们共带出x斤杨梅，根据总费用不超过1530元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（2）设参加团建的共有y人，由300＜384＜396，可得出10＜y＜22，利用购票总价＝单价×数量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵（30﹣18）÷1＝12（人），10+12＝22（人），
∴当成人人数大于或等于22人时，成人票都是18元/人．
∵35﹣10＝25（人），25＞22，
∴该社团购买的成人票价为18元/人．
设本次活动他们共带出x斤杨梅，
根据题意得：10×18+25×18+30x≤1530，
解得：x≤30，
∴x的最大值为30．
答：本次活动他们最多共带出杨梅30斤；
（2）设参加团建的共有y人，
∵30×10＝300（元），18×22＝396（元），300＜384＜396，
∴10＜y＜22．
根据题意得：[30﹣（y﹣10）]•y＝384，
整理得：y2﹣40y+384＝0，
解得：y1＝16，y2＝24（不符合题意，舍去）．
答：参加这次团建的共有16人．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，﹣5），以原点O为圆心，3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴负半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时直线AP的解析式．
【分析】分三种情况，先求得OQ，进而根据三角形面积公式求得AP，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：当AQ与⊙O相切时，如图1，
设AQ切⊙O于点D，连接OQ，交AP于M，连接OD，
∵AD切⊙O于点D，
∴OD ⊥AQ ，OD ＝3，
∵OA ＝5，
∴AD ＝4，
∵A （0，﹣5），
∴OA ＝AQ ＝5，
∴QD ＝1，
∴OQ =√QD 2+OD 2=√10，
∵将△OAP 沿AP 翻折，得到△APQ ．
∴OQ ⊥AP ，OM ＝MQ =
√102，
∵OP ＝t ，OA ＝5，
∴12AP •OM =12OA •OP ，即12AP •√102=12×5×t ， ∴AP =√10t ，
在Rt △AOP 中，AP 2＝OP 2+OA 2，解10t 2＝t 2+25，
解得t =53
，
∴P （−53，0），
∴设直线AP 解析式：y ＝kx ﹣5，
∴0=−53k ﹣5，
解得：k ＝﹣3，
故直线AP 解析式：y ＝﹣3x ﹣5；
当AP 与⊙O 相切时，如图2，
设AP 切⊙O 于点E ，连接OQ ，
∵将△OAP 沿AP 翻折，得到△APQ ．
∴OQ ⊥AP ，
∴OQ 经过点E ，
∴OE ⊥AP ，
∵12AP •OE =12OA •OP ，即3AP ＝5t ， ∴AP =53t ，
在Rt △AOP 中，AP 2＝OP 2+OA 2，解（53t ）2＝t 2+25， 解得t =154
， 则P （−
154，0）， ∵A （0，﹣5），
∴设直线AP 解析式：y ＝kx ﹣5，
∴0=−154
k ﹣5， 解得：k =−43，
故直线AP 解析式：y =−43x ﹣5；
当PQ 与⊙O 相切时，如图3，
设PQ 切⊙O 于点E ，连接OE ，
∴OE ⊥PQ ，
∵AQ ⊥PQ ，
∴OE ∥AQ ，
∴△ODE ∽△ADQ ，
∴OE AQ =OD OD+OA
，即35=OD OD+5， ∴OD =
152， ∴AD =252
， ∴DQ =√AD 2−AQ 2=
5√212， ∴PD ＝DQ ﹣PQ =
5√212−t ， ∵12OD •OP =12PD •OE ，
∴152t ＝（5√212
−t ）×3， 解得t =5√217
， ∴P （−5√217，0），
∴设直线AP 解析式：y ＝kx ﹣5，
0=−5√217
k ﹣5， 解得：k =−√213，
故直线AP 解析式：y =−√213x ﹣5；
当QA 的反向延长线与⊙O 相切时，如图4，
设PQ 切⊙O 于点D ，连接OD ，QA 交y 轴于E ，
∴OD ⊥AQ ，
∴OA 2＝OD 2+AD 2，
∴AD ＝4，
∵OA 2＝AD •AE ，
∴AE =254
， ∵AE •OD ＝OA •OE ，
∴OE =254×35=154， ∴PE ＝t +154，
∵PQ ⊥AQ ，
∴PE 2＝PQ 2+QE 2，即（t +154）2＝t 2+（5+254）2，
解得t ＝15，
则P（﹣15，0），∴0＝﹣15k﹣5，
解得：k=−1 3，
故直线AP解析式：y=−1
3
x﹣5；
综上，△APQ有一边所在直线与⊙O相切时直线AP的解析式：y＝﹣3x﹣5或y=−4
3
x﹣5或y=−√
21
3
x
﹣5或y=−1
3
x﹣5．
27．（12分）定义1：如图1，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转θ（θ＝120°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，实数a为点P的横坐标．
定义2：在平面斜坐标系xOy中，若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
（1）已知⊙O的半径为1，△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
①如图2，点B（0，0），C（0，2），点A的横坐标的最小值为﹣1，在P1(−√3
3，√3
3
)，P2(
2√3
3
，√3
3
)
这两个点中，点A可以与点P1重合；
②若点A（1，0），点B（0，m），m＜0，∠B＝90°，BA＝BC，点C在x轴下方．求满足条件的点C 轨迹长度；
（2）已知⊙O的半径为r，点A（r，r），点C（4，0）．若平面斜坐标系xOy中存在点B，使得△ABC 是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
【分析】（1）①利用“点A关联三角形”的定义解答即可；
②先根据题意求得C1，C2的坐标，再根据题意求出C1D，C2D，最后利用利用勾股定理求出C1C2即可解答；
（2）分三种情况：r＝2，2＜r≤4，r＜4，依次讨论解答即可．
【解答】解：（1）①根据题意，结合图形⊙O与x轴交点的横坐标为﹣1，故点A横坐标的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1，P1；
②如图1，设△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
∵△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
∴线段AC和AB除过点A外，不能与⊙O有交点，
当线段AC除点A外不与⊙O有交点，AC1与⊙O相切，
当线段AB除点A外不与⊙O有交点，
过点B1作x轴的垂线，交x轴于点E，
∵∠AB 1C 1＝90°，BA ＝BC ，
∴∠B 1AC 1＝∠B 1C 1A ＝45°，
∴∠EAB 1＝45°，
∴AE ＝EB ，
∵B （0，m ），
∴OB 1＝﹣m ，
∴OE =−12m ．
根据勾股定理可得，EB 1=√OB 12−OE 2=−
√32m ， ∴AE ＝1+12m ，
可得方程−√32m ＝1+12
m ． 解得m ＝1−√3，
：OB 1=√3−1，
当线段AB 除点A 外不与⊙O 有交点，此时OB 2＝1，
∵∠BAC 1﹣∠B 2AC 2＝∠B 2AC 2﹣∠B 2AC 1，
即∠B 1AB 2＝∠C 1AC 2，
∵AB 1
AC 1=AB 2AC 2=√22
， ∴△AB 1B 2∽△AC 1C 2，
∴B 1B 2
C 1C 2=√22
， ∵B 1B 2＝OB 2﹣OB 1＝1﹣（√3−1）＝2−√3，
∴C 1C 2＝2√2−√6；
（2）如图，符合△ABC 等边三角形的B 点有2个，当r 较小时，没有符合题意的B 点，如图1所示，
随着r 增大，当AB 1与圆O 有交点，直到B 1落在圆O 上，如图2所示，
∵OA ＝OB 1，CA ＝CB 1，
∴OC ⊥AB 1，且平分AB 1，
∴OC 所在直线为四边形OACB 1的对称轴，即∠ACO ＝∠B 1CO ＝30°，∠AOC ＝∠B 1OC ＝60°， 此时，AC 与⊙O 相切，r =12OC =2，
∴r ＝2，此时仍不满足题意，
①当2＜r≤4时，AC与⊙O有两个交点，不符题意，如图3所示；
②当8≥r＞4时，如图4所示，延长OA至D，使得AD＝OC，连接DB2，并延长DB2交x轴于点E，
∵∠OAC+∠OCA＝∠OAC+∠DAB2＝60°，
∴∠OCA＝∠DAB2，
∵OC＝DA，AC＝B2A，
∴△OAC≌△DB2A（SAS），
∴∠B2DA＝∠AOC＝60°，DB2＝OA＝r，OD＝r+4，
在△ODB2中，∠D＝60°，OD＝r+4，DB2＝r，
∴OB22=r2+4r+16＞r2，
即B2在⊙O外部，C在⊙O内部，B2C与必⊙O有一个交点，符合题意，
∴8≥r＞4符合题意，
综上所述，r的取值范围是：8≥r＞4．。