2021高考江苏版(文)数学一轮复习课件： 第2章 第11课 函数与方程

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2．判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断． (2)根据零点存在性定理，结合函数性质来 判断． (3)将函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为 函数 y＝f(x)与 y＝g(x)图象公共点的个数来判 断． 3．利用函数零点求参数范围的常用方法： 直接法、分离参数法、数形结合法．
(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数
的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
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高三一轮总复习 [变式训练 2] (2015·湖北高考)函数 f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2 的零点个数为
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4．函数 f(x)＝3x－x2 的零点所在区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(－2，－1)；④(－1,0)． ④ [∵f(－2)＝－395，f(－1)＝－23， f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5， ∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0， f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0.]
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课时分层训练〔十一〕 点击图标进入…
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高三一轮总复习 [变式训练 1] 设 f(x)＝ln x＋x－2，在下列区间中，包含函数 f(x)的零点所 在的区间为________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． ② [函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2 图 象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：
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(2)当 x＞0 时，作函数 y＝ln x 和 y＝x2－2x 的图象，
由图知，当 x＞0 时，f(x)有 2 个零点；
当 x≤0 时，由 f(x)＝0 得 x＝－14，
综上，f(x)有 3 个零点．] [规律方法] 判断函数零点个数的方法：
(1)解方程法：所对应方程 f(x)＝0 有几个不同的实数解就有几个零点．
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(1)(0,3) (2)(3，＋∞) [(1)∵函数 f(x)＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增， 又函数 f(x)＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－ 1－a)＜0，即 a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.
f(2)＝ln 2－120＜0，
f(3)＝ln 3－121＞0， ∴x0∈(2,3)，即 k＝2.]
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[规律方法] 确定函数 f(x)的零点所在区间的 2 种常用方法 1．定义法：使用零点存在性定理，函数 y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续 的，当 f(a)·f(b)<0 时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点． 2．图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑 用图象法求解，如 f(x)＝g(x)－h(x)，作出 y＝g(x)和 y＝h(x)的图象，其交点的横 坐标即为函数 f(x)的零点．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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函数零点的应用
已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上 f(x) ＝x，若关于 x 的方程 f(x)＝logax 有三个不同的实根，求 a 的取值范围.
【导学号：62172060】 [思路点拨] 先作出函数 f(x)的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满 足的条件．
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抓
根
底
·
自
主 学
第二章 函数概念与基本初等函数(Ⅰ) 课
习
时
第 11 课 函数与方程
分 层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
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[最新考纲] 内容
函数与方程
要求
A
B
C
√
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1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使函数 y＝f(x)的值为 0 的_实__数__x__叫作函数 y＝ f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与_x_轴___有交点⇔函数 y＝f(x)有 _零__点__．
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3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
与 x 轴的交点 零点个数
_(_x_1,_0_)，__(_x_2_,0_)_ 2
_(_x_1,_0_) _ 1
Δ＜0
无交点 0
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(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且_f(_a_)_·__f(_b_)<__0， 那么，函数 y＝f(x)在区间_(_a_，__b_)_上有零点，即存在 c∈(a，b)，使得__f(_c_)＝__0__， 这个_c__也就是方程 f(x)＝0 的根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且__f_(a_)_·__f(_b_)_<_0__的函数 y＝f(x)，通过不断地 把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近_零__点___，进 而得到零点近似值的方法叫作二分法．
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5．函数 f(x)＝ax＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范 围是________．
13，1 [∵函数 f(x)的图象为直线，由题意可得 f(－1)f(1)＜0， ∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得13＜a＜1， ∴实数 a 的取值范围是13，1.]
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函数零点所在区间的判断
(1)函数 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上________(填“存在”或“不
存在”)零点．
(2)已知函数 f(x)＝ln x－12x－2 的零点为 x0，则 x0 所在的区间是(k，k＋1)(k∈ Z)，则 k＝________.
________． 2 [f(x)＝2sin
xsinx＋π2－x2＝2sin
xcos
x－x2＝sin
2x－x2，由
f(x)＝0，得
sin
2x＝x2.
设 y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．
由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数 f(x)有两个零点．]
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[解] 由 f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为 4，又函数为偶函 数，所以 f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，
所以函数图象关于 x＝2 对称，且 f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程 f(x)＝logax
有三个不同的根，则满足af＞6＜1，2， f10＞2，
(2)作出 f(x)的图象如图所示．当 x>m 时，x2－2mx＋4m ＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程 f(x)＝b 有三个不同的根， 则有 4m－m2<m，即 m2－3m>0.又 m>0，解得 m>3.]
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[思想与方法] 1．转化思想在函数零点问题中的应用 方程解的个数问题可转化为两个函数图象 交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问 题可转化为函数值域问题．
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[变式训练 3] (1)函数 f(x)＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内， 则实数 a 的取值范围是________．
(2)(2016·山东高考)已知函数 f(x)＝|xx2|－，2xm≤xm＋，4m，x>m， 其中 m>0.若存在 实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________．
(1)存在 (2)2 [(1)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，
f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，
∴f(1)·f(8)＜0，
又 f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图象是连续的，
故 f(x)＝x2－3x－18 在 x∈[1,8]上存在零点．
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( ) (2)函数 y＝f(x)，x∈D 在区间(a，b)⊆D 内有零点(函数图象连续不断)， 则 f(a)·f(b)＜0.( ) (3)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有 一个零点．( ) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在 b2－4ac＜0 时没有零点．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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2．(教材改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是________． 1 [∵f(－1)＝1e－3＜0，f(0)＝1＞0， ∴f(x)在(－1,0)内有零点， 又 f(x)为增函数，∴函数 f(x)有且只有一个零点．]
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3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________．(填序号) ①y＝cos x； ②y＝sin x； ③y＝ln x； ④y＝x2＋1. ① [由于 y＝sin x 是奇函数；y＝ln x 是非奇非偶函数，y＝x2＋1 是偶函数 但没有零点，只有 y＝cos x 是偶函数又有零点．]
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[易错与防范] 1．函数的零点不是点，是方程 f(x)＝0 的 实根． 2．函数零点的存在性定理只能判断函数在 某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不 变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处 函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点 的充分不必要条件．
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可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]
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判断函数零点的个数
(1)函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为________.
【导学号：62172059】
(2)函数 f(x)＝l4nx＋x－1，x2＋x≤2x0，x＞0， 的零点个数为________． (1)2 (2)3 [(1)令 f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， 可得|log0.5x|＝12x. 设 g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图 象，可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点．
法二：令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18 在 x∈[1,8]上存在零点．
(2)∵f(x)＝ln x－12x－2 在(0，＋∞)上是增函数，
又 f(1)＝ln 1－12－1＝ln 1－2＜0，
a＞1， 如图，即loga6＜2，
loga10＞2，
解得 6＜a＜ 10.
故 a 的取值范围是( 6， 10)．
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[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确 定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的 图象，然后数形结合求解．