河南省洛阳市2018-2019学年第一学期期中考试高一数学试题及答案(扫描版)
2018-2019学年河南省天一大联考高一(上)期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A ={x|y =1x }，B ={y|y =1x }，C ={(x ，y)|y =1x }，下列结论正确的是（ ） A ．A ＝BB ．A ＝CC ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解答】解：A ＝{x |x ≠0}，B ＝{y |y ≠0}，C 表示曲线y =1x 上的点形成的集合； ∴A ＝B ． 故选：A ．2．（5分）已知集合A ={1，2}，B ={2，2k }，若B ⊆A ，则实数k 的值为（ ） A ．1或2B ．12C ．1D ．2【解答】解：∵集合A ={1，2}，B ={2，2k}，B ⊆A ， ∴由集合元素的互异性及子集的概念可知2k =1，解得实数k ＝2． 故选：D ．3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝2lgx ，g （x ）＝lgx 2 B ．f(x)=1(x ≠0)，g(x)=x|x| C ．f （x ）＝x ，g （x ）＝10lgxD ．f(x)=2x ，g(x)=√22x【解答】解：A ．f （x ）＝2lgx ，g （x ）＝lgx 2＝2lg |x |，解析式不同，不是同一函数； B ．f （x ）＝1（x ≠0}，g(x)=x|x|={1x ＞0−1x ＜0，解析式不同，不是同一函数；C ．f （x ）＝x 的定义域为R ，g （x ）＝10lgx 的定义域为（0，+∞），定义域不同，不是同一函数；D ．f （x ）＝2x 的定义域为R ，g(x)=√22x =2x 的定义域为R ，定义域和解析式都相同，是同一函数． 故选：D ．4．（5分）某班共50名同学都选择了课外兴趣小组，其中选择音乐的有25人，选择体育的有20人，音乐、体育两个小组都没有选的有18人，则这个班同时选择音乐和体育的人数为（ ）A．15B．14C．13D．8【解答】解：如图，设音乐和体育小组都选的人数为x人则只选择音乐的有（25﹣x）人，只选择体育小组的有（20﹣x）人，由此得（25﹣x）+x+（20﹣x）+18＝50，解得x＝13，∴音乐和体育都选的学生有13人，故选：C．5．（5分）定于集合A，B的一种运算“*”：A*B＝{x|x＝x1﹣x2，x1∈A，x2∈B}．若P＝{1，2，3，4}，Q＝{1，2}，则P*Q中的所有元素之和为（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：P*Q＝{x|x＝x1﹣x2，x1∈P，x2∈Q}＝{﹣1，0，1，2，3}，P*Q中的所有元素之和为5．故选：A．6．（5分）若2a＝0.5，b＝2.70.3，c＝0.32.7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解答】解：∵由2a＝0.5可得a＝log20.5＝﹣1，b＝2.70.3＞2.70＝1，0.30＝1＞c＝0.32.7＞0，∴a＜c＜b．故选：D．7．（5分）已知2x＝3y＝a，且1x+1y=2，则a的值为（）A．√6B．6C．±√6D．36【解答】解：∵2x＝3y＝a，∴xlg2＝ylg3＝lga，∴1x=lg2lga，1y =lg3lga，∴2=1x +1y =lg2lga +lg3lga =lg6lga ， ∴lga =12lg 6=lg √6， 解得a =√6． 故选：A ．8．（5分）函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间是（ ） A ．(0，12)B ．(34，1)C ．(12，34)D ．（1，2）【解答】解：由函数f(x)=2x −1x的在R 上是增函数，f （12）＝1√2−2＜0，f （34）=234−43＞212−34＞0，且f （12）f （34）＜0，可得函数在区间（12，34）上有唯一零点．故选：C ．9．（5分）已知函数f(x)={x 2，x ＜0−x 2，x ≥0，则不等式f （x +1）+f （3﹣2x ）＜0的解集为（ ）A ．（4，+∞）B ．（﹣∞，4）C ．(−∞，23) D ．(23，+∞)【解答】解：函数f(x)={x 2，x ＜0−x 2，x ≥0，是奇函数，在R 上是减函数，不等式f （x +1）+f （3﹣2x ）＜0，可得f （x +1）＜﹣f （3﹣2x ）＝f （2x ﹣3）， 解得：x +1＞2x ﹣3，可得x ＜4，所以不等式f （x +1）+f （3﹣2x ）＜0的解集{x |x ＜4}． 故选：B ．10．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的单调函数，若f [f （x ）﹣e x ]＝1，则f （e ）＝（ ） A ．e eB ．eC ．1D ．0【解答】解：根据题意，f （x ）是定义在R 上的单调函数，若f [f （x ）﹣e x ]＝1， 则f （x ）﹣e x 为常数，设f （x ）﹣e x ＝t ，则f （x ）＝e x +t ， 又由f [f （x ）﹣e x ]＝1，即f （t ）＝1，则有e t +t ＝1， 分析可得：t ＝0， 则f （x ）＝e x ，则f （e ）＝e e ， 故选：A ．11．（5分）已知幂函数f （x ）＝（m ﹣1）x n 的图象过点(2，2√2)，设a ＝f （m ），b ＝f （n ），c ＝f （lnn ），则（ ） A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解答】解：∵幂函数f （x ）＝（m ﹣1）x n 的图象过点(2，2√2)， ∴{m −1=12n =2√2，解得m ＝2，n =32， ∴f （x ）=x 32， ∴f （x ）＝x 32在（0，+∞）是增函数， 0＜ln 32＜1，∴f （2）＞f （32）＞f （ln 32），∴a ＞b ＞c ．即c ＜b ＜a ． 故选：A ．12．（5分）已知函数f(x)={|log 2(x +1)|，−1＜x ≤2−x 2+4x −3，x ＞2，若关于x 的方程f （x ）﹣t ＝0有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．[0，log 23]D ．（0，log 23）【解答】解：方程f （x ）﹣t ＝0有3个不同的实数根，画出y ＝f （x ）的函数图象以及y ＝t 中的图象，|log 23|＞|log 22|＝1， t ∈（0，1）， 故选：B ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设集合A ＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x ＜5}，那么（∁R A ）∩B ＝ [1，5） ． 【解答】解：∵∁R A ＝{x |x ≥1}，∴（∁R A ）∩B ＝{x |1≤x ＜5}． 故答案为：[1，5）． 14．（5分）函数y =1ln(4−x)+√3x −9的定义域是 [2，3）∪（3，4） ．【解答】解：要使函数y =1ln(4−x)+√3x −9有意义，则{4−x ＞04−x ≠13x −9≥0；解得2≤x ＜4，且x ≠3；∴该函数定义域为[2，3）∪（3，4）． 故答案为：[2，3）∪（3，4）．15．（5分）函数f(x)=log 12(x 2−x −6)在定义域（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）上的增区间是 （﹣∞，﹣2） ．【解答】解：根据题意，设t ＝x 2﹣x ﹣6，则y =log 12t ，函数t ＝x 2﹣x ﹣6在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数， 而y =log 12t 为减函数，则函数f （x ）的递增区间为（﹣∞，﹣2）； 故答案为：（﹣∞，﹣2）．16．（5分）函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上递增，若f （1）＝0，f （0）＜0，则不等式xf （x ﹣1）＜0的解集是 （﹣∞，0）∪（0，2） ． 【解答】解：根据题意，f （x ）在（0，+∞）上递增，且f （1）＝0，f （0）＜0， 则在[0，1）上，f （x ）＜0，在（1，+∞）上，f （x ）＞0， 又由函数f （x ）为偶函数，则在区间（﹣1，0]上，f （x ）＜0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x ）＞0， xf （x ﹣1）＜0⇔{x ＜0f(x −1)＞0或{x ＞0f(x −1)＜0，分析可得：x ＜0或0＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，2）； 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，2）．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．17．（10分）计算：（1）(338)−19+(√2×√33)6−(−0.9)0−√(23)23； （2）13lg125+2lg √2+log 5(log 28)×log 35．【解答】解：（1）(338)−19+(√2×√33)6−(−0.9)0−√(23)23 ＝（32）−13+（212+313）6﹣1﹣（23）13＝（23）13+72﹣1﹣（23）13＝71．（2）13lg125+2lg √2+log 5(log 28)×log 35＝lg 5+lg 2+log 53×log 35 ＝lg 10+lg3lg5×lg5lg3 ＝1+1＝2．18．（12分）已知函数f(x)=√log 12(1−12x)的定义域为集合A ，函数g(x)=(12)x−1(−1≤x ≤1)的值域为集合B ． （1）求A ∩B ；（2）设集合C ＝{x |a ≤x ≤3a ﹣2}，若C ∩A ＝C ，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由log 12(1−12x)≥0得，0＜1−12x ≤1；解得0≤x ＜2； ∴A ＝[0，2）； ∵﹣1≤x ≤1； ∴﹣2≤x ﹣1≤0； ∴1≤(12)x−1≤4； ∴B ＝[1，4]； ∴A ∩B ＝[1，2）； （2）∵C ∩A ＝C ； ∴C ⊆A ；∴①C ＝∅时，a ＞3a ﹣2；∴a ＜1；②C ≠∅时，则{a ≥13a −2＜2；解得1≤a ＜43；综上，实数a 的取值范围是(−∞，43)．19．（12分）已知函数f （x ）＝x +ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ）． （1）求f （x ）的定义域，并直接写出f （x ）的单调性； （2）用定义证明函数f （x ）的单调性． 【解答】解：（1）由题意得1+x ＞0且1﹣x ＞0， 解得：﹣1＜x ＜1，故函数的定义域是（﹣1，1）， 函数f （x ）在（﹣1，1）递增；（2）证明：在定义域（﹣1，1）内任取x 1，x 2，且x 1＜x 2， 则f （x 1）﹣f （x 2）＝x 1﹣x 2+ln(1+x 1)(1−x 2)(1−x 1)(1+x 2)，由于﹣1＜x 1＜x 2＜1，故0＜1+x 1＜1+x 2， 故0＜1+x 11+x 2＜1，同理0＜1−x21−x 1＜1，故0＜1+x11+x 2•1−x 21−x 1＜1， 故ln(1+x 1)(1−x 2)(1−x 1)(1+x 2)＜0，由于x 1﹣x 2＜0，故f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 故函数f （x ）为（﹣1，1）上的增函数．20．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x +1﹣a ．（1）证明：对于任意的a ∈R ，g （x ）＝f （x ）﹣1必有两个不同的零点；（2）是否存在实数a 的值，使得y ＝f （x ）在区间（﹣1，0）及（0，2）内各有一个零点？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）令g （x ）＝0，则f （x ）＝1， 即x 2+（2a ﹣1）x ﹣a ＝0，∵△＝（2a ﹣1）2+4a ＝4a 2+1＞0对任意的a ∈R 恒成立， 故x 2+（2a ﹣1）x ﹣a ＝0必有2个不相等的实数根，从而方程f （x ）＝1必有2个不相等的实数根，故对于任意的a ∈R ，g （x ）＝f （x ）﹣1必有2个不同的零点； （2）不存在，理由如下：由题意，要使y ＝f （x ）在区间（﹣1，0）以及（0，2）内各有1个零点，只需{f(−1)＞0f(0)＜0f(2)＞0即{3−3a ＞01−a ＜03a +3＞0，故{a ＜1a ＞1a ＞−1，无解，故不存在实数a 的值，使得y ＝f （x ）在区间（﹣1，0）及（0，2）内各有一个零点． 21．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P 和Q （万元），它们与投入资金m （万元）的关系为：P =320m +30，Q =40+3√m ．今将300万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元． （1）设对乙种产品投入资金x （万元），求总利润y （万元）关于x 的函数； （2）如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润．【解答】解：（1）根据题意，对乙种产品投资x （万元），对甲种产品投资（300﹣x ）（万元）， 那么总利润y =320（300﹣x ）+30+40+3√x =−320x +3√x +115， 由{x ≥75300−x ≥75，解得75≤x ≤225， 所以y =−320x +3√x +1154，其定义域为[75，225]， （2）令t =√x ，因为x ∈[75，225]，故t ∈[5√3，15]， 则y =−320t 2+3t +115=−320（t ﹣10）2+130， 所以当t ＝10时，即x ＝100时，y max ＝130，答：当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大为130万元 22．（12分）已知函数f(x)=1−22x +1． （1）判断函数奇偶性； （2）求函数f （x ）的值域；（3）当x ∈（0，2]时，mf （x ）+2+2x ≥0恒成立，求实数m 的取值范围． 注：函数y =x +ax (a ＞0)在（0，a ]上单调递减，在(√a ，+∞)上单调递增．【解答】解：函数f(x)=1−22x +1．其定义域为R ；f （﹣x ）=1−22−x +1=1−212x+1=1−2⋅2x 1+2x =1+2x −2⋅2x 1+2x =−(2x+1)+21+2x＝﹣（1−2x）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）是奇函数； （2）由函数f （x ）＝y ＝1−22x+1， 可得21−y=2x +1，即2x =21−y −1 ∵2x ＞0， ∴21−y −1＞0，即1+y 1−y＞0解得：﹣1＜y ＜1∴f （x ）的值域（﹣1，1）．（3）当x ∈（0，2]时，mf （x ）+2+2x ≥0恒成立， 即（1−22x+1）m +2+2x ≥0恒成立， 可得（2x ﹣1）m +（2+2x ）（2x +1）≥0； ∵x ∈（0，2]； ∴2x ﹣1＞0则m ≥−(2+2x)(2x+1)2x −1，即﹣m ≤(2+2x)(22+1)2x+1； 令2x ﹣1＝t ，（0，3]；那么y =(2+2x)(2x+1)2x −1=(3+t)(t+2)t =t +6t +5≥2√6+5；当且仅当t =√6时取等号． ∴﹣m ≤2√6+5；可得实数m 的取值范围[−2√6−5，+∞）．。
洛阳市2018-2019学年第一学期期末考试高一数学试卷
洛阳市2018-2019学年第一学期期末考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合A=,B={x|则（）A.{x|x＞1}B.{x|02.下列直线中国第一，二，四象限的是（）A.y=2x+1B.x-2y+1=0C.y-2=-2(x-1)D.-=13.若a=,b=(,c=，则下列大小关系正确的是（）A.cB.cC.aD.4.若圆锥的轴截面（过圆锥轴的一个截面）是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B.2 C.3 D.5.已知直线L1:x+y+=0和直线L2:x+y+=0，下列说法正确的是（）A.若则L1∥L2B.若L1∥L2，则=C.若+=0，则L1⊥L2D.若，则=-16.一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图为圆内接一个正方形，则该几何体的体积为（）A. B.32 C.16 D.7.给出一下命题（其中a,b,l是空间中不同的直线，是空间中不同的平面）；①若a∥b，b,则a∥b；②若a⊥b，b⊥，则a∥；③若⊥，l a，则l⊥；④若l⊥a，l⊥b，a，b，则l⊥⊥，其中正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个8.与直线3x+4y+5=0关于y轴对称的直线的方程为（）A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.4x+3y-5=0D.4x-3y+5=09.已知f(x)=+-1(a且)，f(-1)=2，若实数m满足f(m-1)，则实数m的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，，10.同时与园++6x-7=0和圆+-6y-27=0都相切的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条11.若函数f(x)=(a且)的值域是，，则实数a的取值范围是（）A.（1，）B.（2，）C.，D.，12.如图，在正方体ABCD-中，点F是线段上的动点，则下列说法错误的是（）A.无论点F在上怎么移动，异面直线F与CD所成角都不可能是30°B.无论点F在上怎么移动，都有F⊥ DC.当点F移动至中点时，才有F与D相交于一点，记为点E，且=2D.当点F移动至中点时，直线F与平面BD所成角最大且为60二：填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在空间直角坐标系中，点A（1,0,-2）到点B（-2,4，3）的距离为_______.14.两条平行直线3x-4y-12=0与ax-8y+11=0间的距离是_________.15.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，且PA=5，AB=4，AD=3，则该四棱锥外接球的表面积为________.16.已知函数F(x)=，，，若方程f(x)-kx+2k-1=0 有3个实数根，则k的取值范围是_________.三.解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
洛阳市2018-2019学年第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，,则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合、，然后取交集即可。
【详解】由题意，，即，则；由，解得，则，则，故选B.【点睛】本题考查了集合的交集，考查了对数函数及指数函数的性质，属于基础题。
2.下列直线中过第一、二、四象限的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】若过第一、二、四象限，，，对选项逐个分析即可。
【详解】若过第一、二、四象限，，，选项A 、B、D中直线的斜率都大于0，只有C满足，.【点睛】本题考查了直线的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题。
3.若，，，则下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】，都大于0，，从而可以得到答案。
【详解】由题意，，则，又因为，所以，故答案为A. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的比大小，考查了指数函数、对数函数的性质，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题。
4.若圆锥的横截面（过圆锥轴的一个截面）是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圆锥的底面直径为2，母线为2，代入面积公式可求出侧面积。
【详解】由题意，圆锥的母线长为2，底面半径为1，底面周长为，则该圆锥的侧面积为.故答案为B.【点睛】本题考查了圆锥的性质，考查了圆锥的侧面积，考查了学生的计算能力，属于基础题。
5.已知直线：和直线：，下列说明正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】结合两直线平行（垂直）的充要条件即可选出答案。
【详解】若，则选项B、D都不成立；若，，则直线是一条直线，故选项A不正确；只有C正确。
【点睛】对于直线：和直线：，①；②6.一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是半径为的半圆，俯视图为圆内接一个正方形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】该几何体是由半径为2的半球挖去一个正四棱锥，四棱锥的高为2，底面为正方形，其对角线为4，分别求出2部分的体积并相减即可得到答案。
河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(带答案)
4．cos475°-sin475°的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若扇形的周长为8，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
6．在 中， ，则 一定是
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形
7．要得到函数y= cosx的图象，只需将y= cos（2x+ ）的图象所有点（ ）
21．如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设 = ， = ．
（1）用 ， 表示 ；
（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F．设 =p ， =p ，求 + 的值．
22．已知向量 =（4cos2（ - ），cosx+sinx）， =（sinx，cosx-sinx），设f（x）= • -1
（1）求满足|f（x）|≤1的实数x的集合；
（2）若函数φ（x）= [f（2x）+tf（x）-tf（ -x）]-（1+ ）在[- ， ]上的最大值为2，求实数t的值．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，即可求解 的值，得到答案．
【详解】
由题意，角 的终边经过点 ，且 ，则 ，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量垂直的条件是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3．D
【解析】
【分析】
根据终边相同角的定义及角度制与弧度制的互化，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，可得 ，
故选D．
洛阳市2018-2019高三期中考试理数答案
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洛阳市2019-2020上学期期中考试高一数学试卷及答案
的狓 的取值范围是
Ａ．（２，＋ ∞）
Ｂ．（１ ２，１）∪ （２，＋ ∞）
Ｃ．（０．１ ２）∪ （２，＋ ∞）
Ｄ．（１ ２ ，２）
１１．若偶函数犳（狓）＝犲－（狓－犿）２ （犲是自然对数的底数）的最大值为狀，则犳（狀犿 ）＝
Ａ．犲１
Ｂ．犲１２
Ｃ．犲
Ｄ．１
１２．已知定义在（０．＋ ∞）上的单调函数犳（狓），满足犳（犳（狓）－狓２）＝２，则不等式 犳（狓）＞ ７狓 －１１ 的 解 集 为
２ 狋
＋１，
设 犵（狋）＝狋－
２ 狋
＋１
则函数犵（狋）在狋∈ ［１，＋ ∞）上是增函数． ∴ 犵（狋）ｍｉｎ ＝犵（１）＝０ ∴ 犿 ≤０， ∴ 实数 犿 的取值范围为犿 ≤０．
… …１０ 分 … …１１ 分 … …１２ 分
… …１ 分 … …４ 分
… …６ 分 … …８ 分
… …１０ 分 … …１１ 分 … …１２ 分
槡 １８．解
：（１）（２
１
）１ ２
４
＋
［（－３）４］１ ４
－
（槡５－槡３）０ ＋３
３ ３ ８
＝
（９
）１ ２
４
＋３４×１４
－１＋
（２７）１ ３ ８
＝
３ ２
＋３－１＋
３ ２
＝５
（２）ｌｏｇ２．５６．２５＋ｌｇ０．０１－２１＋ｌｏｇ２３ ＋ｌｏｇ４５·ｌｏｇ５４
＝２＋ｌｇ１０－２ －２·２ｌｏｇ２３ ＋ｌｏｇ４５·ｌｏｇ１４５
（２）当狓 ∈ ［１，＋ ∞）时，犿犳（狓）≤２狓 －２恒成立，求实数 犿 的取值范围．
高 一 数 学 第４ 页 （共 ４ 页 ） （２０１９．１１）
洛阳市２０１９———２０２０学年第一学期期中考试
河南省洛阳市第一高级中学2018-2019学年高一5月月考数学试题(pdf版)
高一月考数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 012？B ．i >2 012?C ．i ≤2 014?D ．i >2 014?2．某网站对“双十二”网上购物的情况做了一项调查，收回的有效问卷共50 000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下表：已知在购买“家用电器”这一类中抽取了92份问卷，则在购买“服饰鞋帽”这一类中应抽取的问卷份数为( )A ．198B ．116C ．99D ．943．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是( ) A ．2 010 B ．－1 C.12 D ．24．一个k 进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k 不可能是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．75. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,86．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5 7．已知流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( )A ．2B ．3C ．5D ．78．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，则n 的值为( )A ．100B ．1 000C ．90D ．9009．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )A ．70,25B ．70,50C ．70,1.04D ．65,2510．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.7811．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差12．自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运动，点Q 在OB 上运动且保持PQ 为定值a (点P ，Q 不与点O 重合)，已知∠AOB ＝π3，a ＝7，则3PQ PO QP QO POQO⋅⋅+的取值范围为( )A ．(12，7]B ．(72，7]C ．(－12，7]D ．(－72，7]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．14．在2019年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：y ∧＝－3.2 x ＋a ∧(参考公式：回归方程 y ∧＝b ∧x ＋a ∧ ， a ∧＝y －b x )，则a ＝________.15．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．11sin cos ,1631()()=33().y a x b x c y f x f x f x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭= 16.已知图像上有一最低点，若图像上各点纵坐标不变，横坐标缩为原来的倍，再左移个单位得，又的所有根从小到大依次相差个单位，则的解析式为__________ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．18．(本小题满分12分)高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(1)根据上面图表，①②③④处的数值分别为________、________、________、________；(2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129,155]中的频率．19．(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)标准煤的几组对照数据．(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧=y －-b ∧x －)20．(本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0.(1)若a ∈{0，1，2，3}，b ∈{0，1，2}，求方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率； (2)若a ∈[0，3]，b ∈[0，2]，求方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率．21. (本小题满分12分)已知f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x 且x ≠2k π＋π2,k ∈Z,且x ≠k π＋π，k ∈Z .①化简f (x )；②是否存在x ，使得tan x2·f (x )与1＋tan 2x2sin x 相等？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0且A 为常数)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A 的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域．参考答案：一、CABDC ABABC DD二、13. 0.25；14. 40；15. [)1+∞，；16 ()=2sin 33f x x π+.三、17: 答案 (1)14 (2)1529解析 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.18. （1）1 0.025 0.1 1(2)略(3)总体平均数约为122.5，总体落在[129,155]上的频率约为0.315. 解析 (1)随机抽出的人数为120.300＝40，由统计知识知④处应填1；③处应填440＝0.1；②处应填1－0.050－0.1－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025；①处应填0.025×40＝1. (2)频率分布直方图如图． (3)利用组中值算得平均数：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129,155]上的频率为610×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.19. 解析 (1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x i 2＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ∧=66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ∧＝y －－b ∧x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故能耗减少了90－70.35＝19.65(吨)．20. 解析 用(a ，b)表示a ，b 取相应值时所对应的一个一元二次方程．要使x 2＋2ax ＋b ＝0有实根，则(2a)2－4b ≥0，即a ≥b.(1)(a ，b)的所有可能取值有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中满足a ≥b 的有9个． 故方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率为912＝34.(2)设事件A 表示“一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根”，则(a ，b)的所有可能取值构成的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，这是一个长方形区域，面积为2×3＝6；构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b}，如图中阴影部分，面积为2×3－12×22＝4.故方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率为46＝23.21.【解析】 ①∵1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＝2cos 2x 2－2sin x 2cos x 22sin 2x 2－2sin x 2cosx 2 ＝2cos x 2(cos x 2－sin x 2)－2sin x 2(cos x 2－sin x 2)＝－cos x2sin x 2， 同理得1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x ＝－sin x2cos x 2.∴f (x )＝－cos x 2sin x 2－sin x 2cos x 2＝－cos 2x 2＋sin 2x 2sin x 2·cos x 2＝－2sin x .且x ≠2k π＋π2，k ∈Z.②若tan x2·f (x )＝1＋tan 2x 2sin x ，则－2tan x 2sin x ＝1＋tan 2x2sin x . ∴2tan x 21＋tan 2x2＝－1，即sin x ＝－1. 此时x ＝2k π＋3π2，(k ∈Z )，即为存在的值．22. 解析 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到 y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像． 因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]． 故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．。
河南省洛阳市2018-2019学年高一上期中考试数学试卷(含答案)
如图所示，定义域为 上的函数 是由一条射线及抛物线的一部分组成，利用该图提供的信息解决下面几个问题.
（1）求 的解析式；
（2）若关于 的方程 有三个不同解，求 的取值范围；
（3）若 ，求 的取值集合.
19.（本题满分12分）设函数
（1）王鹏同学认为，无论 为何值， 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明理由；
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
9.函数 的图象大致为
10.已知 ，且 ，则 的值为
A. 36 B. 6 C. D.
11.已知 ，则 的大小关系是
A. B. C. D.
12.若对任意 ，都有 成立，则 的范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知幂函数 的图象过点 ，则 .
（2）若 是偶函数，求 的值；
（3）在（2）的条件下，画出 的图象并指出其单调递增区间.
20.（本题满分12分）
某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表如下：
为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟产品的月产量 与月份 的关系，模拟函数可选择二次函数 （ 为常数且 ），或函数 （ 为常数）.已知4月份的产量为1.37万件，请问用以上那个函数作为模拟函数较好，请说明理由.
14.已知函数 （ 且 ）恒过定点 ，则 .
15.计算： .
16.已知 是R上的奇函数，当 时， ，若 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围为.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分10分）
设全集 ，集合 ，
（1）求 ；
2018-2019学年河南省洛阳市高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年河南省洛阳市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知角α的终边经过点P（-3，y），且y＜0，cosα=-，则tanα=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，即可求解的值，得到答案．【详解】由题意，角的终边经过点，且，则，∴，所以，故选：C．【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．已知向量=（-2，3），=（x，1），且⊥，则x=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量=（-2，3），=（x，1），又由，则，解得，故选D．【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量垂直的条件是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．把-765°化成2kπ+α（0≤α＜2π），k∈Z）的形式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据终边相同角的定义及角度制与弧度制的互化，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得，故选：D．【点睛】本题主要考查了终边相同角的表示，以及角度制与弧度值的互化，其中将角进行拆分是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．cos475°-sin475°的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用平方差公式以及二倍角的余弦函数，化简即可求解，得到答案．【详解】由题意，可知．故选：A．【点睛】本题主要考查了二倍角的三角函数，及三角函数求值，其中解答中熟记余弦的二倍角公式和特殊角的三角函数值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．若扇形的周长为8，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】设扇形的半径为，弧长为，由且，解得，再利用扇形的面积公式，即可求解．【详解】设扇形的半径为，弧长为，则且，解得，所以该扇形的面积为．故选：B．【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．在中，，则一定是A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】C【解析】此题考查解三角形解：由sin(A+B)=sin(A-B)得，所以，又因为为三角形的内角，故，因此，，所以是直角三角形.选C.答案：C7．要得到函数y=cos x的图象，只需将y=cos （2x+）的图象所有点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度C．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度【答案】A【解析】先根据三角函数的伸缩变换，得到，再根据平移变换，可得到函数，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数图像所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得函数，再将函数图象上个点向右平移个单位长度，即可得函数的图象．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数的伸缩变换和三角函数的平移变换的规则，合理变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．已知tan（α+β）=，tanβ=，则tanα=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用两角差的正切函数的公式，化简，即可求解，得到答案．【详解】由题意知，则，故选：A．【点睛】本题主要考查了两角差的正切函数公式的化简、求值问题，其中解答中合理完成角的配凑，及熟记两角差的正切公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9．对于函数f（x）=-3cos（2x-），下列说法正确的是（）A．在上单调递减B．的图象关于点对称C．在上最大值为3 D．的图象关于直线对称【答案】B【解析】利用型函数的图象和性质，逐一判定四个选项，即可求解，得到答案．【详解】当时，，所以在上先增后减，所以A错误；当时，，所以函数的图象关于点对称，所以B正确；当时，，所以在的最大值为，所以C错误；当时，，所以函数的图象不关于对称，所以D 错，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记余弦型函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．已知向量，满足||=2，|-3|=5，|+3|=1，则在方向上的投影为（）A．B．1 C．D．2【答案】C【解析】通过向量的模求解向量的数量积，然后求解在方向上的投影，得到答案．【详解】由题意，向量满足，可得，解得，则在方向上的投影为．故选：C．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，向量的模的求法，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量的模的公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．已知0＜β＜＜α＜，cos（+α）=-，sin（+β）=，则cos（α+β）=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用同角三角函数的基本关系求得和的值，再利用两角和的余弦公式求得的值，即可求解．【详解】由题意知，，，所以为第二象限角，所以，因为，所以为第二象限角，所以，则，故选：D．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12．在锐角△ABC中，AC=BC=2，=x+y（其中x+y=1），若函数f（λ）=|-λ|的最小值为，则||的最小值为（）A．1 B．C．2 D．【答案】B【解析】因为的最小值为，得到恒成立，当且仅当时等号成立，代入函数中得到，再利用向量的模的计算公式和二次函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】由,因为的最小值为，即恒成立，即恒成立，当且仅当时等号成立，代入函数中得到，所以，所以，当且仅当时，取得最小值，所以的最小值为，故选B．【点睛】本题主要考查了平面向量的和与差的模的最值，其中解答中熟记向量的模的运算公式，以及合理利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题13．若sin（π-α）=-，且α∈（π，），则cosα=______【答案】-.【解析】利用三角函数的诱导公式结合同角三角函数关系进行转化，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可知，所以，因为，所以，所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数值的化简和计算，其中解答中结合三角函数的诱导公式以及同角三角函数关系是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．在△ABC中，||=3，||=5，D是BC边的中点，则•=______【答案】8.【解析】利用已知条件，表示出向量，然后求解向量的数量积,即可得到答案．【详解】在中，,是边上的中点，则,故答案为：．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算是解答的关键，着重考查转化思想以及计算能力，属于基础题．15．已知向量=（6，3），=（sinθ，cosθ），若//，则sin2θ-2cos2θ=______【答案】.【解析】因为，求得，得，在由，即可求解，得到答案．【详解】由题意，因为，所以，即，所以，所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量的共线定理的应用，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟练应用向量的共线定理，合理利用三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．16．在平面直角坐标系xOy中，P（1，），若||=||=||=1，++=，则•的取值范围是______【答案】[-，].【解析】根据题，可得点在以原点为圆心，1为半径的圆上运动的正三角形，设，再利用向量的数量积的运算和三角函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】由，得点在以原点为圆心，1为半径的圆上运动的正三角形，设，则，则因为2，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了单位圆、平面向量数量积的性质及其运算及两角差的余弦公式与辅助角公式的应用，试题的综合性强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．三、解答题17．已知向量=（2，-1），=（m，1）（1）若，的夹角为锐角，求m的取值范围；（2）当3-2=（4，n）时，求m-n的值．【答案】（1）（）.(2)6.【解析】（1）若的夹角为锐角，则且去掉的情况，即可求解；（2）直接根据向量减法的坐标表示及向量相等的条件，即可求解．【详解】（1）由题意，因为，所以，若的夹角为锐角，则，解得，∴的取值范围．（2）由，所以，解得，所以【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示及向量减法的坐标表示，着重考查了运算与求解能力，属于基础试题．18．已知f（α）=，其中α≠kπ（k∈Z）．（1）化简f（α）；（2）若f（+β）=-，β是第四象限的角，求sin（2β+）的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）直接利用三角函数的诱导公式，化简运算，即可求解；（2）由，得，进一步求得，得到sin2与cos2，再由sin （2+）展开两角和的正弦求解．【详解】（1）由题意，可得=；（2）由f（+）==-，得sin．又β是第四象限的角，∴cos=．∴sin2，cos2．∴sin（2+）=sin2cos+cos2sin=．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，及诱导公式及两角差的正弦公式的应用，其中解答中熟记三家函数的恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．已知，的夹角为120°，且||=2，||=3，记=3-2，=2+k（1）若⊥，求实数k的值；（2）当k=时，求向量与的夹角θ．【答案】(1)(2)【解析】（1）根据条件求得，则，根据，利用，从而求出k的值；（2）当时，可求出，从而可求出，再由根据向量夹角的范围，即可求解．【详解】（1）由题意，可知，则，因为，所以解得．（2）当时，，∴，∴，又，∴．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，以及向量夹角公式的应用，其中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20．已知函数f（x）=sin（2ωx+）+sin（2ωx-）+2cos2ωx，其中ω＞0，且函数f（x）的最小正周期为π（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调增区间（3）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-，]上有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)1.(2) [-+kπ，+kπ]，k∈Z，(3)见解析.【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用三角函数周期公式可求的值．（2）由正弦函数的单调性可求的单调增区间．（3）作出函数在上的图象，从图象可看出，可求当曲线与在∈上有两个交点时，2，即可得解实数的取值范围．【详解】（1）由三角恒等变换的公式，可得f（x）=sin（2+）+sin（2-）+2=sin2+cos2+sin2-cos2+1+cos2=sin2+cos2+1，又因为T==π，所以．（2）由2kπ-2+2kπ+，k∈Z，解得：-+kπ+kπ，k∈Z，可得f（x）的单调增区间为：[-+kπ，+kπ]，k∈Z，（3）作出函数在上的图象如图：函数g（x）有两个零点，即方程有两解，亦即曲线与在x∈上有两个交点，从图象可看出f（0）=f（）=2，f（）=+1，所以当曲线与在x∈上有两个交点时，则2，即实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，其中解答合理利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．21．如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设=，=．（1）用，表示；（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F．设=p，=p，求+的值．【答案】(1) 5.【解析】（1）由A，M，D三点共线和C，M，B三点共线，列出方程，即可求解；（2）利用平面向量的线性运算和共线定理，列出方程组，即可求解．【详解】（1）设，则，，∵三点共线，∴共线，从而又C，M，B三点共线，∴共线，同理可得联立①②，解得，故．（2）∵.．∵共线，∴，整理得．【点睛】本题主要考查了平面向量共线定理和平面向量的线性运算，其中解答熟记向量的共线定理和平面向量的线性运算，合理里程方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题．22．已知向量=（4cos2（-），cos x+sin x），=（sin x，cos x-sin x），设f（x）=•-1（1）求满足|f（x）|≤1的实数x的集合；（2）若函数φ（x）=[f（2x）+tf（x）-tf（-x）]-（1+）在[-，]上的最大值为2，求实数t的值．【答案】(1) {x|kπ-≤x≤kπ+，k∈Z}.(2) t=-2或6．【解析】（1）由向量的数量积的坐标表示和二倍角公式、诱导公式，化简可得，再由正弦函数的图象可得所求集合；（2）化简，由换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，可得所求最大值，解方程可得所求值．【详解】（1）由题意，向量（4cos2（-），cosx+sinx），（sinx，cosx-sinx），则f（x）=4sinxcos2（-）+（cosx+sinx）（cosx-sinx）-1=2sinx（1+cos（x-））+cos2x-sin2x-1=1-cos2x+cos2x+2sinx-1=2sinx，|f（x）|1，即为2|sinx|1，即-sinx，可得kπ-x kπ+，k∈Z，则满足|f（x）|1的实数x的集合为{x|kπ-x kπ+，k∈Z}；（2）由题意，函数=[2sin2x+2tsinx-2tcosx]-（1+），可令u=sinx-cosx=sin（x-），x∈[-，]，即有x-∈[-，]，可得u∈[-，1]，sin2x=1-u2，g（u）=1-u2+ut-1-=-（u-t）2+-t，当t＞1即t＞2时，g（u）max=g（1）=t-1，由g（1）=2，可得t=6；当-≤t≤1，即-2≤t≤2时，则g（t）=-t，由-t=2，解得t=-2（4舍去）；当t＜-，即t＜-2时，g（u）max=g（-）=-2-t-t，由-2-t-t=2，可得t=-（舍去）．综上可得t=-2或6．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，以及换元法、二次函数在闭区间上的最值求法，考查分类讨论思想方法，化简运算能力，属于中档题．。
河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末数学测试(解析版)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）已知集合，，则 A ={x|x <2}B ={x|3‒2x >0}()B. ∩B ={x|x <32}A ∩B =⌀D. B ={x|x <32}A ∪B =R解：集合，，∵A ={x|x <2}B ={x|3‒2x >0}={x|x <32}，故A 正确，B 错误；{x|x <32}，故C ，D 错误；{x||x <2}解不等式求出集合B ，结合集合交集和并集的定义，可得结论．本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为 C 1x 2+y 2‒2x =0C 2x 2+y 2‒4y +3=0()条 B. 2条 C. 3条 D. 4条解：圆：化为标准形式是，C 1x 2+y 2‒2x =0(x ‒1)2+y 2=1，半径是；(1,0)r 1=1化为标准形式是，+y 2‒4y +3=0x 2+(y ‒2)2=1，半径是；(0,2)r 2=1，5>r 1+r 2求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条．本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题．a=70.3b=0.37c=ln0.3()3.三个数，，大小的顺序是 a>b>c a>c>b b>a>c c>a>bA. B. C. D.【答案】A【解析】解：由指数函数和对数函数的图象可知：70.3>10<0.37<1ln0.3<0，，，所以ln0.3<0.37<70.3故选：A．a=70.3b=0.37c=ln0.3a=70.3由指数函数和对数函数的图象可以判断，，和0和1的大小，从而可以判断，b=0.37c=ln0.3，的大小．本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质，属基础知识、基本题型的考查．α()4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 m//αn//αm//n m⊥αn⊂αm⊥nA. 若，，则B. 若，，则m⊥αm⊥n n//αm//αm⊥n n⊥αC. 若，，则D. 若，，则【答案】BA.m//αn//α【解析】解：若，，则m，n相交或平行或异面，故A错；m⊥αn⊂αm⊥nB.若，，则，故B正确；m⊥αm⊥n n//αn⊂αC.若，，则或，故C错；m//αm⊥n n//αn⊂αn⊥αD.若，，则或或，故D错．故选：B．A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B.运用线面垂直的性质，即可判断；C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；关键，注意观察空间的直线与平面的模型．在四面体的四个面中，是直角三角形的至多有 P ‒ABC ()个B. 2个C. 3个D. 4个解：如图，平面ABC ，PA ⊥，故四个面均为直角三角形．作出图形，能够做到PA 与AB ，AC 垂直，BC 与BA ，BP 垂直，得解．此题考查了线面垂直等问题，难度不大．上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径r 的取值范围是(x ‒3)2+(y +5)2=r 24x ‒3y ‒2=0B. C. D. (4,6)[4,6)(4,6][4,6]解：依题意可知圆心坐标为，到直线的距离是5，(3,‒5)距离是1的直线有两个和，3y ‒2=04x ‒3y ‒7=04x ‒3y +3=0距离为到距离是．3y ‒7=0|12+15‒7|16+9=44x ‒3y +3=0|12+15+3|16+9=6相交，那么圆也肯定与相交，4x ‒3y +3=04x ‒3y ‒7=0交点个数多于两个，于是圆上点到的距离等于1的点不止两个，4x ‒3y ‒2=0不相交，4x ‒3y +3=04<r<6所以．故选：A．4x‒3y‒2=0先根据圆的方程求得圆心坐标和圆心到已知直线的距离，进而可推断出与直线距离是1的两个直线4x‒3y+3=04x‒3y‒7=0方程，分别求得圆心到这两直线的距离，分析如果与相交那么圆也肯定与相交交点4x‒3y‒2=04x‒3y+3=0个数多于两个，则到直线的距离等于1的点不止2个，进而推断出圆与不相交；同4x‒3y‒7=04x‒3y‒7=04x‒3y+3=0时如果圆与的距离小于等于1那么圆与和交点个数和至多为1个也不4x‒3y‒7=04x‒3y+3=0符合题意，最后综合可知圆只能与相交，与相离，进而求得半径r的范围．..本题主要考查了圆与圆的位置关系和判定考查了学生分析问题和数形结合思想的运用要求学生有严密的逻辑思维能力．f(x)f(‒x)=‒f(x)f(3‒x)=f(x)f(2019)=()7.已知定义在R上的函数满足，，则 ‒3A. B. 0 C. 1 D. 3【答案】Bf(x)f(‒x)=‒f(x)f(0)=0【解析】解：定义在R上的函数满足，可知函数是奇函数，．f(3‒x)=f(x)f(3+x)=f(‒x)=‒f(x)，可得，f(x+6)=‒f(x+3)=f(x)所以，函数的周期是6．f(2019)=f(336×6+3)=f(3)=f(3‒3)=f(0)=0．故选：B．判断函数的奇偶性以及函数的周期性，化简求解函数值即可．本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．()8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 22322B. C. D. 2解：由三视图可得直观图，‒ABCD中，最长的棱为PA，PB2+PC2=22+(22)2根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重..△ABC A(2,0)B(0,4)△心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且x‒y+2=0()拉线的方程为，则顶点C的坐标为 4,0)(‒4,‒2)(‒2,2)(‒3,0)B. C. D.C(m,n)解：设，由重心坐标公式得，的中点为，直线AB 的斜率，(1,2)k =4‒00‒2=‒2的中垂线方程为，即．y ‒2=12(x ‒1)x ‒2y +3=0，解得．2y +3=0+2=0{x =‒1y =1的外心为．(‒1,1)，+(n ‒1)2=32+12=102+n 2+2m ‒2n =8②得：，或，．m =‒4n =0m =0n =4时B ，C 重合，舍去．n =4的坐标是．(‒4,0)的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C 的坐标．本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法．设函数的最小值为，则实数a 的取值范围是 f(x)={x 2‒2x +a,x <124x ‒3,x ≥12‒1()B. C. D. ≥‒2a >‒2a ≥‒14a >‒14解：当时，，x ≥12f(x)=4x ‒3≥2‒3=‒1时，取得最小值；‒1时，，f(x)=x 2‒2x +a =(x ‒1)2+a ‒1运用指数函数的单调性和二次函数的单调性，分别求出当时，当时，函数的值域，由题意可得x ≥12x <12式，计算即可得到．本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 y =x +2(x ‒4)2+(y +2)2=1()B. C. D. 30314233解：要使切线长最小，必须直线上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心y =x +2(4,‒2)由点到直线的距离公式得，m =|4+2+2|2=42由勾股定理求得切线长的最小值为．m 2‒r 2=32‒1=31要使切线长最小，必须直线上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离y =x +2(4,‒2)，由勾股定理可求切线长的最小值．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理得应用．已知函数与的图象关于y 轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减y =f(x)y =F(x)y =f(x)y =F(x)[a,b]时，把区间叫做函数的“不动区间”若区间为函数的“不动区间”，则实数[a,b]y =f(x).[1,2]f(x)=|2x ‒t|的取值范围是 ()B. C. D. (0,2][12,+∞)[12,2][12,2]∪[4,+∞)为函数的“不动区间”，f(x)=|2x‒t|F(x)=|2‒x‒t|[1,2]和函数在上单调性相同，t y=2‒x‒t和函数的单调性相反，2‒x‒t)≤0[1,2]在上恒成立，+2‒x)+t2≤0[1,2]在上恒成立，≤2x[1,2]在上恒成立，，[1,2]f(x)=|2x‒t|f(x)=|2x‒t|F(x)=|2‒x‒t|[1,2]为函数的“不动区间”，则函数和函数在上单调性相‒t)(2‒x‒t)≤0[1,2]在上恒成立，进而得到答案．本题考查的知识点是函数恒成立问题，指数函数的图象和性质，正确理解不动区间的定义，是解答的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）f(x)x∈(‒∞,0)f(x)=2x3+x2f(2)=已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______．12∵x∈(‒∞,0)f(x)=2x3+x2解：当时，，=‒12，f(x)是定义在R上的奇函数，12，故答案为：12x∈(‒∞,0)f(x)=2x3+x2f(‒2)由已知中当时，，先求出，进而根据奇函数的性质，可得答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．，，，，+z 2=32该点到原点的距离是．x 2+y 2+z 2=32=62故答案为：．62设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离．本题考查了空间中点的坐标与应用问题，是基础题．的单调递增区间是______．f(x)=ln (x 2‒2x ‒8)(4,+∞)解：由得或，x 2‒2x ‒8>0x <‒2x >4，则是增函数，2x ‒8y =lnt 的单调递增区间，f(x)=ln (x 2‒2x ‒8)等价为求函数的递增区间，t =x 2‒2x ‒8的递增区间为，2x ‒8(4,+∞)的递增区间为，f(x)(4,+∞)故答案为：(4,+∞)求出函数的定义域，结合复合函数单调性的性质进行求解即可．本题主要考查复合函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．如图，矩形ABCD 中，，，平面ABCD ，若在BC 上只有一个AB =1BC =a PA ⊥满足，则a 的值等于______．PQ ⊥DQ平面ABCD ，，PQ ⊥DQ 由三垂线定理的逆定理可得．DQ ⊥AQ 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上，上有且仅有一个点Q 满足，与圆O 相切，否则相交就有PQ ⊥DQ ∴BC (两点满足垂直，矛盾.)，，，，∴OQ =AB =1∴BC =AD =2故答案为：2．利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．本题体现转化的数学思想，转化为BC 与以线段AD 的中点O 为圆心的圆相切是关键，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）：，：，分别求m 的值，使得和：x +my +6=0l 2(m ‒2)x +3y +2m =0l 1l 2垂直；平行；重合；相交．解：若和垂直，则(1)l 1l 2m ‒2+3m =0若和平行，则(2)l 1l 2m ‒21=3m ≠2m 6若和重合，则3=0±3∴m =‒1(3)l 1l 2m ‒21=3m =2m6若和相交，则由可知且(4)l 1l 2(2)(3)m ≠3m ≠‒1若和垂直，则(1)l 1l 2m ‒2+3m =0本题主要考查了两直线的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线的不同位置的条件一般式方程的表示有两直线和，当a 在区间内变化时，求直线与两坐标轴围ax ‒2y ‒2a +4=02x ‒(1‒a 2)y ‒2‒2a 2=0(0,2)成的四边形面积的最小值．解：，∵0<a <2，与坐标轴的交点，．‒2y =2a ‒4A(0,‒a +2)B(2‒4a ,0)，与坐标轴的交点，‒a 2)y ‒2‒2a 2=0C(a 2+1,0)).和，都经过定点2y ‒2a +4=02x ‒(1‒a 2)y ‒2‒2a 2=0．E =2OCEA =S △BCE ‒S △OAB =12|BC|⋅y E ‒12|OA|⋅|OB|=12(a 2+4a ‒1)×2‒12(2‒a)×(4a ‒2)=a 2‒，当时取等号．+114≥114a =12与坐标轴围成的四边形面积的最小值为．114利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得根据即可得出．y E =2.S 四边形OCEA =S △BCE ‒S △OAB 本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．如图，在圆锥PO 中，已知，圆O 的直径，C 是弧AB 的中点，PO =2AB =2AC 的中点．求异面直线PD 和BC 所成的角求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值．中，，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点，AB =2，=2 ,OD =22，面ABC ，2PO ⊥，tan∠PDO =POOD =2异面直线PD 和BC 所成的角为．arctan 2，D 是AC 的中点，，OC ∴AC ⊥OD 底面ABC ，底面ABC ，，AC ⊂∴AC ⊥PO ，平面POD ，=O ∴AC ⊥平面PAC ，平面平面PAC ，∴POD ⊥POD 中，过O 作于H ，OH ⊥PD 平面PAC ，连结CH ，则CH 是OC 在平面PAC 上的射影，是直线OC 和平面PAC 所成的角．中，，POD OH =PO ⋅ODPO 2+OD 2=2×122+14=23中，．OHC sin∠OCH =OHOC =23和平面PAC 所成角的正弦值为．23由已知得，从而异面直线PD 和BC 所成的角为，由此能求出异面直线PD 和(1)OD//BC ∠PDO POD 中，过O 作于H ，由已知得是直线OC 和平面PAC 所成的角由此能求出直线OH ⊥PD ∠OCH .PAC 所成角的正弦值．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线面解的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．2，．图象的对称轴方程是．f(x)=x 2‒4x +a +3x =2，即时，，解得：；≤2a ≤1f(x )max =f(a)=a 2‒3a +3=3a =0，即时，a +11≤a ≤2，，f(a +1)=a 2‒a ，‒f(a)=3a ‒3>0，解得：，=a 2‒a =3a =1±132即时，，2a >2f(x)max =f(a +1)=a 2‒a =3，1+132或．0a =1+132由函数在R 上至少有一个零点方程至少有一个实数根(1)y =f(x)⇔f(x)=x 2‒4x +a +3=0⇔解出即可；通过对区间端点与对称轴顶点的横坐标2的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出．[a,a +1]本题考查了二次函数零点与一元二次方程的实数根的关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系、二次函数△的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法．如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E 在侧棱上，点FABC ‒A 1B 1C 132AA 1在侧棱上，且，．BB 1AE =22BF =2求证：；CF ⊥C 1E 求二面角的大小．E ‒CF ‒C 1解：由已知可得，，(I)CC 1=32CE =C 1F =23，，+(AE ‒BF )2EF =C 1E =6，，+C 1E 2=C 1F 2CE 2+C 1E 2=C 1C 2，又，C 1E C 1E ⊥CE.EF ∩CE =E 平面CEF平面CEF ，故CF ；⊥C 1E 中，由可得，，CEF (I)EF =CF =6CE =23，所以，+CF 2=CE 2CF ⊥EF ，且，所以平面CF ⊥C 1E EF ∩C 1E =E CF ⊥C 1EF平面，故CF C 1EF ⊥C 1F即为二面角的平面角1E ‒CF ‒C 1是等腰直角三角形，所以，即所求二面角的大小为C 1EF ∠EFC 1=45∘E ‒CF ‒C 145∘欲证平面CEF ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面CEF 内两相交直线垂直，(I)C 1E ⊥C 1E 根据勾股定理可知，，又，满足线面垂直的判定定理，最后根据线面垂直的性质可EF ⊥C 1E C 1E ⊥CE EF ∩CE =E ；E 根据勾股定理可知，根据线面垂直的判定定理可知平面，而平面，则CF ⊥EF CF ⊥C 1EF C 1F ⊂C 1EF CF 即为二面角的平面角，在是等腰直角三角形，求出此角即可．1E ‒CF ‒C 1△C 1EF 本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力．已知直线l ：与x 轴交于A 点，动圆M 与直线l 相切，并且和圆O ：相外切．x =m(m <‒2)x 2+y 2=4求动圆圆心M 的轨迹C 的方程．若过原点且倾斜角为的直线与曲线C 交于M 、N 两点，问是否存在以MN 为直径的圆过点A ？若存在，求π3出实数m 的值；若不存在，说明理由．解：设动圆的圆心M 坐标，(1)(x 0,y 0)与直线l 相切，并且和圆O ：相外切，x 2+y 2=4，即．=x 20+y 20‒2x 0+2‒m =x 20+y 20．20=(4‒2m)x 0+(2‒m )2动圆圆心M 的轨迹C 的方程为．y 2=(4‒2m)x +(2‒m )2MN 为直径的圆过点A ．事实上，过原点倾斜角为的直线方程为．π3y =3x ，得．y =3x (4‒2m)x +(2‒m )23x 2‒(4‒2m)x ‒(2‒m )2=0，，N(x 2,y 2)，=4‒2m 3,x 1x 2=‒(2‒m )23．x 2=‒(2‒m )2MN 为直径的圆过点A ，则，⃗AM ⋅⃗AN =0m,y 1)⋅(x 2‒m,y 2)，解得：m(x 1+x 2)+m 2+y 1y 2=‒(2‒m )23‒m ⋅4‒2m 3+m 2‒(2‒m )2=m 2+12m ‒163=0，舍去．213m 2=‒6+213()时，存在以MN 为直径的圆过点A ．‒213设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆(1)列式求解m 的值，结合m 的范围说明存在以MN 为直径的圆过点A ．⃗AM ⋅⃗AN =0本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．。
河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末数学试卷(解析版)
河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末数学测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A=，B=，则A. A B=B. A BC. A BD. A B=R【答案】A【解析】由得，所以，选A．点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2.已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【解析】【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条．【详解】圆C1：x2+y2﹣2x＝0化为标准形式是（x﹣1）2+y2＝1，圆心是C1（1，0），半径是r1＝1；圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0化为标准形式是x2+（y﹣2）2＝1，圆心是C2（0，2），半径是r2＝1；则|C1C2|r1+r2，∴两圆外离，公切线有4条．故选：D．【点睛】本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题．3.三个数大小的顺序是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，所以.考点：比较大小.4.已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A. 若则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】试题分析：若则或相交或异面，故A错；若，，，由直线和平面垂直的定义知，，故B正确；若，，则或，故C错；若，，则与位置关系不确定，故D错．考点：空间直线和平面的位置关系．5.在四面体的四个面中，是直角三角形的至多有（）A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】作出图形，能够做到P A与AB，AC垂直，BC与BA，BP垂直，得解．【详解】如图，P A⊥平面ABC，CB⊥AB，则CB⊥BP，故四个面均为直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了四面体的结构与特征，考查了线面的垂直关系，属于基础题.6.若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径r的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由题意得，解此不等式求得半径r的取值范围.【详解】由圆的方程可知圆心为，圆心到直线的距离因为圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，所以，解得，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离，绝对值不等式的解法，属于中档题.7.已知定义在上的函数满足，，则（)A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A. 3B. 2C. 2D. 2【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．故选：．9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是（）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】设C 的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB 的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C 点的坐标. 【详解】设C(m ，n),由重心坐标公式得重心为,代入欧拉线方程得： ① AB 的中点为，， 所以AB 的中垂线方程为 联立，解得所以三角形ABC 的外心为， 则，化简得： ② 联立①②得：或，当时，B,C 重合，舍去，所以顶点C 的坐标是故选A.【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.10.设函数的最小值为-1，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：当时，为增函数，最小值为，故当时，，分离参数得，函数开口向下，且对称轴为，故在递增，，即.考点：分段函数的最值.【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当时，为增函数，最小值为.由于这一段函数值域已经包括了最小值，故当时，值域应该不小于，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.11.过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要使切线长最小，则直线上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离，求出后再利用勾股定理求得切线长的最小值.【详解】要使切线长最小，必须直线上的点到圆心的距离最小，此最小值为圆心到直线的距离d，由点到直线的距离可得根据勾股定理知切线长的最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，勾股定理，属于中档题.12.已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C．考点：1、新定义；2、函数的图象．第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. 【答案】12【解析】函数是定义在上的奇函数，，则，.14.在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________. 【答案】【解析】【分析】设出点的坐标，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离.【详解】设该点的坐标因为点到三个坐标轴的距离都是1所以，，，所以故该点到原点的距离为，故填.【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题. 15.函数的单调递增区间是_________。
洛阳市2018-2019学年高三上学期期中考试数学(理)试题及答案
20．（本小题满分 12 分）
函数 f (x) x ex ． （ 1）求 f (x) 的极值； （ 2） k f ( x) 1 x2 x 在 [ 1, ) 上恒成立，求 k 值的集合．
2
21．（本小题满分 12 分）
第Ⅱ卷 (90 分)
二、 填空题： 4×5＝′20′
13． 3 4
2016
14
．
2017
三、解答题 ： 12′× 5+＝10′70′
15
． 3 16 ．①③
17．解 ：（ 1）由条件可知：
1 an 0 ， an an 1 anan 1 可得
1 1，
an 1 an
1
数列
为公差为 1 的等差数列
an
分
．．．．．． 3
第Ⅰ卷 ( 选择题，共 60 分 )
注意事项 ： 1 ． 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑 . 2 ． 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 .
1．集合 A x 1＜ log2 x＜3， x Z ， B x 5 x＜9 ，则 A B （ ）
已知函数 f ( x)
ln x
k 有两个零点 x1 、 x2 ．
x
（ 1）求 k 的取值范围；
（ 2）求证： x1 x2＞ 2 ． e
洛阳市 2016—2017 学年高中三年级期中考试
理科数学参考答案及评分标准 2016.10
第Ⅰ卷 (60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C C B B D D B B C D
河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷-
河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末数学测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A=，B=，则A. A B=B. A BC. A BD. A B=R【答案】A【解析】由得，所以，选A．点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2.已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【解析】【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条．【详解】圆C1：x2+y2﹣2x＝0化为标准形式是（x﹣1）2+y2＝1，圆心是C1（1，0），半径是r1＝1；圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0化为标准形式是x2+（y﹣2）2＝1，圆心是C2（0，2），半径是r2＝1；则|C1C2|r1+r2，∴两圆外离，公切线有4条．故选：D．【点睛】本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题．3.三个数大小的顺序是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，所以.考点：比较大小.4.已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A. 若则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】试题分析：若则或相交或异面，故A错；若，，，由直线和平面垂直的定义知，，故B正确；若，，则或，故C错；若，，则与位置关系不确定，故D错．考点：空间直线和平面的位置关系．5.在四面体的四个面中，是直角三角形的至多有（）A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】作出图形，能够做到PA与AB，AC垂直，BC与BA，BP垂直，得解．【详解】如图，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，则CB⊥BP，故四个面均为直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了四面体的结构与特征，考查了线面的垂直关系，属于基础题.6.若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径r的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由题意得，解此不等式求得半径r的取值范围.【详解】由圆的方程可知圆心为，圆心到直线的距离因为圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，所以，解得，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离，绝对值不等式的解法，属于中档题.7.已知定义在上的函数满足，，则（ )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A. 3B. 2C. 2D. 2【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．故选：．9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.【详解】设C(m，n),由重心坐标公式得重心为,代入欧拉线方程得：①AB的中点为，，所以AB的中垂线方程为联立，解得所以三角形ABC的外心为，则，化简得：②联立①②得：或，当时，B,C重合，舍去，所以顶点C的坐标是故选A.【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.10.设函数的最小值为-1，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，为增函数，最小值为，故当时，，分离参数得，函数开口向下，且对称轴为，故在递增，，即.考点：分段函数的最值.【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当时，为增函数，最小值为.由于这一段函数值域已经包括了最小值，故当时，值域应该不小于，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.11.过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要使切线长最小，则直线上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离，求出后再利用勾股定理求得切线长的最小值.【详解】要使切线长最小，必须直线上的点到圆心的距离最小，此最小值为圆心到直线的距离d，由点到直线的距离可得根据勾股定理知切线长的最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，勾股定理，属于中档题.12.已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C．考点：1、新定义；2、函数的图象．第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. 【答案】12【解析】函数是定义在上的奇函数，，则，.14.在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________. 【答案】【解析】【分析】设出点的坐标，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离.【详解】设该点的坐标因为点到三个坐标轴的距离都是1所以，，，所以故该点到原点的距离为，故填.【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题. 15.函数的单调递增区间是_________。
2018-2019学年河南省洛阳市高一上学期期末考试数学试题
河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末数学测试★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A=，B=，则A. A B=B. A BC. A BD. A B=R【答案】A【解析】由得，所以，选A．点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2.已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【解析】【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条．【详解】圆C1：x2+y2﹣2x＝0化为标准形式是（x﹣1）2+y2＝1，圆心是C1（1，0），半径是r1＝1；圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0化为标准形式是x2+（y﹣2）2＝1，圆心是C2（0，2），半径是r2＝1；则|C1C2|r1+r2，∴两圆外离，公切线有4条．故选：D．【点睛】本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题．3.三个数大小的顺序是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，所以.考点：比较大小.4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A. 若则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】试题分析：若A．若则与可能平行、相交、异面，故A错误； B．若，，则，显然成立；C．若，，则或故C错误；D．若，，则或或与相交.考点：1.命题的真假；2.线面之间的位置关系.视频5.在四面体的四个面中，是直角三角形的至多有A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】作出图形，能够做到PA与AB，AC垂直，BC与BA，BP垂直，得解．【详解】如图，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，则CB⊥BP，故四个面均为直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了四面体的结构与特征，考查了线面的垂直关系，属于基础题.6.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是（）A. (4,6)B.C.D.【答案】A【解析】因为圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为5,所以要使圆上有且只有两个点到直线的距离等于1,r须满足.7.已知定义在上的函数满足，，则（ )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A. 3B. 2C. 2D. 2【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．故选：．9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（，），代入欧拉线方程得：2＝0，整理得：m﹣n+4＝0 ①AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0．联立，解得．∴△ABC的外心为（﹣1，1）．则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4．当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（﹣4，0）．故选：A．【点睛】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法．10.设函数的最小值为-1，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，为增函数，最小值为，故当时，，分离参数得，函数开口向下，且对称轴为，故在递增，，即.考点：分段函数的最值.【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当时，为增函数，最小值为.由于这一段函数值域已经包括了最小值，故当时，值域应该不小于，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.11.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】过圆心向已知直线引垂线，垂足为M，过点M做圆的切线，切线长最短，先求圆心到直线的距离，圆的半径为1，则切线长的最小值为，选B.12.已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C．考点：1、新定义；2、函数的图象．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. 【答案】12【解析】函数是定义在上的奇函数，，则，.14.在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是______．【答案】【答案】【解析】【分析】设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离．【详解】设该点的坐标是（x，y，z），∵该点到三个坐标轴的距离都是1，∴x2+y2＝1，x2+z2＝1，y2+z2＝1，∴x2+y2+z2，∴该点到原点的距离是．故答案为：．【点睛】本题考查了空间中点的坐标与应用问题，是基础题．15.函数的单调递增区间是______．【答案】（4，+∞）【解析】由得，，令，则，时，为减函数；时，为增函数；为增函数，故函数的单调区间是，答案为.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.16.如图，矩形中，，⊥平面，若在上只有一个点满足，则的值等于________.【答案】【解析】试题分析:利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，即a=2．故答案为：2．考点：直线与平面垂直的性质．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知：，：，分别求m的值，使得和：垂直；平行；重合；相交．【答案】（1）；（2）-1；（3）3；（4）且.【解析】【分析】（1）若l1和l2垂直，则m﹣2+3m＝0（2）若l1和l2平行，则（3）若l1和l2重合，则（4）若l1和l2相交，则由（2）（3）的情况去掉即可【详解】若和垂直，则,若和平行，则,,若和重合，则，若和相交，则由可知且【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线的不同位置的条件一般式方程的表示18.有两直线和，当a在区间内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值．【答案】.【解析】【分析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得y E＝2．根据S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB即可得出．【详解】∵0＜a＜2，可得l1：ax﹣2y＝2a﹣4，与坐标轴的交点A（0，﹣a+2），B（2，0）．l2：2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，与坐标轴的交点C（a2+1，0），D（0，）．两直线ax﹣2y﹣2a+4＝0和2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，都经过定点（2，2），即y E＝2．∴S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB|BC|•y E|OA|•|OB|（a21）×2（2﹣a）×（2）＝a2﹣a+3＝（a）2，当a时取等号．∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为．【点睛】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，在圆锥中，已知PO=，圆O的直径AB=2，C是弧AB的中点，D为AC的中点．（1）求异面直线PD和BC所成的角的正切值；（2）求直线和平面所成角的正弦值．【答案】（1）2；（2）【解析】试题分析：（1）异面直线所成的角，往往通过平移转化到一个三角形内求解．本题转化到直角三角形PDO中求解．（2）直线与平面所成的角，应先作出直线在平面内的射影，则斜线与射影所成的角即为所求．本题过点O向平面PAC作垂线，则即为直线与平面所成的角，进而求出其正弦值．试题解析：（1）O，D分别是AB和AC的中点OD//BC异面直线PD和BC所成的角为∠PDO在△ABC中，的中点又（2）因为又所以又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．在在考点：异面直线所成的角、斜线与平面所成的角．20.已知函数.（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；（2）若函数在上的最大值为3，求的值.【答案】(1)；（2）或.【解析】试题分析：（1）由函数在至少有一个零点，方程至少有一个实数根，，解出即可；（2）通过对区间端点与对称轴顶点的横坐标的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出函数在上的最大值，令其等于可得结果.试题解析：（1）由.（2）化简得，当，即时，；当，即时，，，（舍）；当，即时，，综上，或.21.如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且．（1）求证：；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据几何体的结构特征，可以为坐标原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.（1）证明即即可；（2）分别求出平面的一个法向量为和侧面的一个法向量为，根据求出的法向量的夹角来求二面角的大小.试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得（1）证明：，所以.（2），设平面的一个法向量为，由，得，即，解得，可取设侧面的一个法向量为，由，及可取.设二面角的大小为，于是由为锐角可得所以.即所求二面角的大小为.考点：空间向量证明直线与直线垂直及求解二面角.22.已知直线l：与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：相外切．求动圆圆心M的轨迹C的方程．若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（）（2）故不存在以为直径的圆恰好过点【解析】试题分析：（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程；（2）求出过原点且倾斜角为的直线方程，和曲线C联立后利用根与系数关系得到M，N的横纵坐标的和与积，由，得列式求解m的值，结合m的范围说明不存在以MN为直径的圆过点A．试题解析：（1）设动圆圆心为，则，化简得（），这就是动圆圆心的轨迹的方程.（2）直线的方程为，代入曲线的方程得显然.设，，则，，而若以为直径的圆过点，则，∴由此得∴，即.解得>-2故不存在以为直径的圆过点点睛：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的计算能力.。
2018-2019洛阳市高一上学期期中考试数学答案
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2019-2020学年河南省洛阳市高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
C．
(
1 2
,1)
(2,
)
B．
(
1 2
,1)
(0,
)
D． (1 , 2) 2
11．若偶函数 f (x) e(xm)2 (e 是自然对数的底数）的最大值为 n ，则 f (nm ) (
)
A． 1 e
B．
1 e2
C． e
D．1
12．已知定义在 (0, ) 上的单调函数 f (x) ，满足 f ( f (x) x2 ) 2 ，则不等式 f (x) 7x 11
．
4
14．某商品进货单价为 30 元，按 40 元一个销售，能卖 40 个；若销售单位每涨 1 元，销售
量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应该为每个 元．
15．函数 f (x) ln(x 4) ln(1 x) 的单调增区间是 ．
16．已知集合 M {x | m4x 2x1 1 0} ， N {x | 1x1} ，若 M N ，则实数 m 的取
的解集为 ( )
-7-
A．
B．{x | 0 x 7 13 或x 7 13}
7
2
C．{x | 0 x 3 或 x 4}
D．{x | 3 x 7 13} 2
【解答】解： f (x) 是定义在 (0, ) 上的单调函数，
e
e
1 m2 2m 1 m2 2m ，解得 m 0 ，
f (nm ) f （1） e1 1 ． e
故选： A ．
12．已知定义在 (0, ) 上的单调函数 f (x) ，满足 f ( f (x) x2 ) 2 ，则不等式 f (x) 7x 11