【推荐重点】2019高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 直接证明(二)学案 苏教版选修1-2

2.2.1 直接证明(二) 课时目标 1.进一步理解综合法和分析法.2.利用综合法、分析法解决一些数学问题和简单的应用问题．
1．综合法证题由因导果，分析法是____________．
2．分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路，综合法条理清晰，重于表述．
一、填空题
1．已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝1－ab ，则a ＋b 的取值范围是________．
2．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y
，则A 与B 的大小关系为____________． 3．已知函数y ＝x ＋a x 在[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________．
4．关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实根，则a 的取值范围为________．
5．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3一定是____________三
角形．
6．已知x >0，y >0，且x 3＋y 4
＝1，则xy 的最大值为______． 7．已知tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________． 8．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1) (n ∈N *)，则n ＝________.
二、解答题
9．如果3sin β＝sin(2α＋β)．求证：tan(α＋β)＝2tan α.
10．已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c . 用分析法证明：ab 1＋ab
<a ＋b 1＋a ＋b .
能力提升
11．用综合法证明：
1
log519
＋
2
log319
＋
3
log219
<2.
12．已知a>0，b>0，用两种方法证明：a
b
＋
b
a
≥a＋b.
1．在审题时，要尽可能的挖掘题目条件提供的信息，熟练地对文字语言、符号语言、图形语言进行转换．
2．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．
2．2.1 直接证明(二)
答案
知识梳理
1．执果索因
作业设计
1．[22－2,1)
解析 a ＋b ＝1－ab ≥1－⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，设a ＋b ＝t ， 则有t 2＋4t －4≥0，∴t ≥22－2或t ≤－22－2(舍)，又a ＋b ＝1－ab <1，∴a ＋b ∈[22－2,1)．
2．A <B
解析 x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y
1＋x ＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y
. 3．(－∞，4]
解析 y ＝x ＋a x ，当a ≤0时，显然在[2，＋∞)上是增函数；
当a >0时，y ＝x ＋a x 在[a ，＋∞)上是增函数， ∴a ≤2，得0<a ≤4.综上，a ≤4.
4．[－3,0)
5．等边
解析 ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴O 是△P 1P 2P 3的重心．又∵|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，
∴O 是△P 1P 2P 3的外心，
∴△P 1P 2P 3是等边三角形．
6．3
解析 ∵1＝x 3＋y 4≥2xy 12＝xy 3.
∴xy ≤3，当且仅当x ＝32
，y ＝2时等号成立． 7．49
解析 由tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋11－tan x ＝2，
可得tan x ＝13，∴tan 2x ＝34
. ∴tan x tan 2x ＝13×43＝49
. 8．2
解析 根据f (2)＝log a 2＋2－b <log a a ＋2－3＝0，
f (3)＝lo
g a 3＋3－b >log a a ＋3－4＝0，
而函数f (x )在(0，＋∞)上连续，且单调递增，故函数f (x )的零点在区间(2,3)内，故n ＝2.
9．证明 ∵3sin β＝sin(2α＋β)，
∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．
∴3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α.
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
两边同除以cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝2tan α.
10．证明 依题意a >0，b >0，
所以1＋ab >0,1＋a ＋b >0， 所以要证ab 1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b
， 只需证ab (1＋a ＋b )<(1＋ab )(a ＋b )，
只需证ab <a ＋b ，只需证ab <(a ＋b )2
，
只需证a 2＋b 2＋ab >0， 因为a 2＋b 2＋ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34
b 2>0成立， 所以ab 1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b
成立． 11．证明 因为log a b ＝1log b a
， 所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192
＝log 19(5×32×23
)＝log 19360.
因为log 19360<log 19361＝2，
所以1log 519＋2log 319＋3log 219
<2. 12．证明 方法一 (综合法)：
因为a >0，b >0，
所以a b ＋b a －a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a
＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝
a －
b 2a ＋b ab ≥0，
所以a b ＋b a ≥a ＋b . 方法二 (分析法)：
要证a b ＋b a
≥a ＋b ， 只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ， 即证(a －b )(a －b )≥0，
因为a >0，b >0，a －b 与a －b 同号， 所以(a －b )(a －b )≥0成立， 所以
a b ＋b a
≥a ＋b 成立．。