【指数函数与对数函数】十一大题型归纳(含答案)

【指数函数与对数函数】十一大题型归纳(含答案)
一、指数函数的图像与性质
题型1：判断下列函数的单调性。

（1）y = 2^x
（2）y = 3^(-x)
（3）y = (1/2)^x
答案与解析：
（1）y = 2^x 为增函数。

（2）y = 3^(-x) = (1/3)^x 为减函数。

（3）y = (1/2)^x 为减函数。

二、指数函数的运算
题型2：计算下列各式的值。

（1）2^3 2^2
（2）(1/2)^3 (1/2)^4
（3）2^5 / 2^3
答案与解析：
（1）2^3 2^2 = 2^(3+2) = 2^5 = 32
（2）(1/2)^3 (1/2)^4 = (1/2)^(3+4) = (1/2)^7 = 1/128
（3）2^5 / 2^3 = 2^(5-3) = 2^2 = 4
三、对数函数的图像与性质
题型3：判断下列函数的单调性。

（1）y = log_2(x)
（2）y = log_3(x)
（3）y = log_1/2(x)
答案与解析：
（1）y = log_2(x) 为增函数。

（2）y = log_3(x) 为增函数。

（3）y = log_1/2(x) 为减函数。

四、对数函数的运算
题型4：计算下列各式的值。

（1）log_2(8)
（2）log_3(81)
（3）log_5(1/25)
答案与解析：
（1）log_2(8) = 3，因为 2^3 = 8。

（2）log_3(81) = 4，因为 3^4 = 81。

（3）log_5(1/25) = -2，因为 5^(-2) = 1/25。

五、指数函数与对数函数的互化
题型5：将下列指数式化为对数式。

（1）2^3 = 8
（2）3^2 = 9
答案与解析：
（1）log_2(8) = 3
（2）log_3(9) = 2
六、指数函数与对数函数的方程
题型6：解下列方程。

（1）2^x = 4
（2）3^x = 1/27
答案与解析：
（1）2^x = 4 可化为 log_2(4) = x，解得 x = 2。

（2）3^x = 1/27 可化为 log_3(1/27) = x，解得x = -3。

七、指数函数与对数函数的不等式
题型7：解下列不等式。

（1）2^x > 1
（2）3^x < 1/27
答案与解析：
（1）2^x > 1 可化为 x > 0。

（2）3^x < 1/27 可化为 x < -3。

八、指数函数与对数函数的复合函数
题型8：求函数 y = 2^(x^2) 的单调区间。

答案与解析：
函数 y = 2^(x^2) 的单调增区间为 (-∞, 0]，单调减区间为[0, +∞)。

九、指数函数与对数函数的最值问题
题型9：求函数 y = 3^x - 2^x 的最大值。

答案与解析：
函数 y = 3^x - 2^x 的最大值为 1，当 x = 0 时
取得。

十、指数函数与对数函数的应用题
题型10：某商品的价格以每年 10% 的速度递增，
求 3 年后价格的增长率。

答案与解析：
设初始价格为 P，则 3 年后的价格为 P (1 +
0.1)^3 = 1.331P。

因此，3 年后价格的增长率为
(1.331P - P) / P 100% = 33.1%。

十一、指数函数与对数函数的数列问题
题型11：设数列 {a_n} 的通项公式为 a_n = 2^n，求前 n 项和。

答案与解析：
数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n = 2^1 + 2^2 +
2^3 + ... + 2^n = 2(1 - 2^n) / (1 - 2) = 2^(n+1) - 2。