椭球面上大地坐标的计算

dB dS
dB dS
A
同理可求出四阶以上的导数和L、A的高阶导数，
代入展开式即可。
d 3B dS 3
B
d 2B dS 2
dB dS
A
2.3.3 大地主题解算
2、高斯平均引数公式 若取大地线中点展开，得：
两式相减，得： 类似地，有：
L2
L1
l
dL dS
M
S
d 3L dS 3
M
S3 24
工程控制网中的地面观测元素的归算
以平均高程面作投影面，范围小，可以用球代替椭球；球 半径采用高斯平均曲率半径。计算公式为：
不难证明：椭球半径的误差对边长归算结果影响很小，而 高差误差对边长归算比较敏感。
2.3.2 椭球面上三角形解算
1、球面角超 三块面积之和为： 代入球面角超定义式，得：
F
4R2
§2.3 椭球面上大地坐标的计算
h
e2 2M 2
sin 2A12
cos2
B2 H 2
2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面 1、水平方向观测值归算到参考椭球面的改正 包括三项改正，称为三差改正。 (1). 垂线偏差改正 (2). 标高差改正 用椭球半径的近似值代入得：
g
S2 6N12
12
sin
Sy
Sx可计算（B，L）
(2). 由（B,L）求解（Sx ,Sy） B1, L0
先计算(B,L)到(B,L0)距离S’，
Sy
按球面三角公式求解Sy和B到B1 的距离，加上B0到B的距离即为Sx.
S
B, L0
Sx
B, L B, L
B0 , L0
2.3.4 大地主题微分公式
dB2
cosA21 A12
短距离 S 120Km 中距离 120Km S 400Km
S 400Km
长距离 解算方法：级数展开：
Legendre级数 Schreiber公式 Gauss平均引数公式
2.3.3 大地主题解算
b
B2 B1
由大地线的
微分
公
dB dS
式，
0
S
d 2B dS 2
0
S2 2
d 3B dS 3
2
2R2
F
4R2
2
2R2
F
4R2
2
2R2
F R2
2.3.2 椭球面上三角形解算
F
1 2
absin
1
a2
b2 24R2
c2
3
1
absin
1 2R2
absin
1
a2
b2 24R2
c2
2R2
按球面三角公式：
当边长小于40公里时，第二项影响小于 0.0004“，可略去
2 Am 2 7m2 9tm2m2 5m4 式，计算a：
2.3.3 大地主题解算
4、测地坐标系与大地坐标系间的坐标转换
(1). 由（Sx ,Sy）求解（B,L）
sx
B1 MdB
B0
B1, L0
Sy
由前面子午弧长反算公式求解B1。 Sx
由（B1,L0）和方位角A=90°， B0,L0
0
S3 6
l
得其一阶导数为：
L2纬度
方位
L差、1
角差
经度差
展开为
dL 和dS
大
0
S
d 2L dS 2
0
S2 2
d 3L dS 3
0
S3 6
地线长度的级数式
a
A2
A1
dA S dS 0
d2A dS 2
0
S2 2
d3A dS 3
0
S3 6
2.3.3 大地主题解算
2
d B 二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算： dS 2 B
dB1
dL1
dd终与AS12点起
A12
的 点 ，
经 的 以
纬 经 及
度 纬 大
（ 度 地
B2,L2）和大地线方位角A2 （B1,L1）和大地线方位角 线长度S的微分关系。
1
，
2.3.4 大地主题微分公式
dS dA12 dA21
M1 cos A12
M1 S
sin
A12
M1 S
因计算Bm , Lm要用到B2 , L2，因此需要叠代计 算。其初值为：
叠代计算公式为：
直到
为止。
最后计算纬度、经度和方位角：
2.3.3 大地主题解算
S
cos Am
bVm2 Nm
S sin Am lNm cosBm
S cos Am
bVm2 Nm
S cos Am
24
N
2 m
S 2 sin 2
dL2
sin
L2
L1
tan
B2
dA21
sinL2 L1
cosB2
0 1 0
cos A21 R
sin A21 R cosB2
sin A21 tan B2 R
一．大地主题正解微分公式
c
S sin A21
R
S cos A21
R cosB2
osL2
L1
sin sin
A21 A12
m
d2A dS 2
M
d2A dS 2
m
代入 2 式，得 dB 的计算公式。并取 dS M
代入 1 式，求出各阶导数后整理得：
d 3B dS 3
M
d 3B dS 3
m
2.3.3 大地主题解算
同理可得：
以上3式具 有4次方精 度，可用于 解算200公 里下的大地 主题。
3
a A2 A1
tm Nm
S2
S
sin
Am
1
24
N
2 m
sin 2 Am
2 tm2 2m2
cos2
Am
2 7m2
9t
2 2
mm
5m4
b
B2Leabharlann B1Vm2 NmS2
S
cos
Am
1
24
N
2 m
sin 2 Am
2 3tm2 2m2
3m2 cos2 Am 1 tm2 m2 4tm2m2
l L2 L1
2.3.3 大地主题解算
S c os Am
bNm Vm2
N m c os2 Bm
2 3tm 2
3t
2 m
2 m
24
bl 2 N m 8
t
2 m
2 m
2 m
b3
Am
tan 1
S sin Am S cos Am
S S sin Am sin Am
S sin Am
Nm cos Bml
2.3.2 椭球面上三角形解算
解算球面三角形的勒让德定理
勒让德定理：对于较小的球面三角形，可
用平面三角公式来解算，只需使三个平面
0
0
0
角等于相应的球面角减去三分之一的球面
1
2
3
角超，而边长保持不变。
c
A
b
B
a
C
sinA 3 sinB 3 sinC
a
b
c
2.3.3 大地主题解算
大地主题解算分类： 正算：已知(B1, L1)，A12，S12，计算(B2, L2)，A21 反算：已知(B1, L1)， (B2, L2)， 计算A12，S12 ，A21
S
2RA sin 1
d 2RA
2RA
d 2RA
d3 48RA3
d
d3 24RA2
D2
H 2
H1 2
1
Hm RA
D2 H2 H1 2
24RA2
32
2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面 椭球面上的弧长为：
S
D2
H2
H1
2
1
Hm R
D2 H2 H12
24R2
32
2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面
计算归算B1到 4椭000球0'08面".3上421的, 长L1 度115046'27".0953
4、已知S12 24909.814m,
A12 75041'29".762
利用Gauss平均引数公式正反算。
A12 cos A12
S2 12N12
e'2 cos2
B1 sin 2A12
2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面 法截弧方向归算到大地线方向的改正 该项改正很小，100公里约0.03“，只有一等控制网 才估计此项改正。
d D2 H 2 H1 2 1 H m RA
Hm
1 2
H1
H2
RA
1 2
R R A12
A21
d
D2 H 2 H1 2
1 H1 RA12 1 H 2 RA21
H1 h1 1 i
H2 h2 2 v
2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面
2、空间边长归算至参考椭球面的改正 测线端点的大地高为： 椭球面上弦长 d 的计算公式 省略H/R的二次项，得：
Nm cos Bm 24
1 m2 9tm2m2
b2l
Nm cos Bm sin 2 Bm l 3 24
代入上式第二项，得： 由此可求得平均方位角和大地线长度如下：
2.3.3 大地主题解算
tm
Nm
S
sin
Am 1
S2
24
N
2 m
最后得起终点的大
s
in
2
A 2 地方位角为： m
tm2
由正算公式的第三
习
题
1、地面观测方向归算到椭球面上需要加哪几项 改正？
2、地面观测距离归算到椭球面上二步改正的几 3、d何P1P1P意1与2义86P7？28.与456为m,控B1制 3点802，2.已3, A知12 ：56038.6
A21 236045.6, B2 38030.6, H1 4130.46m, H2 3950.67m,
1 Nm cos Bm
S
sin
Am
1
S2
24
N
2 m
sin 2 Amtm2
cos2 Am 1m2 9tm2m2
2.3.3 大地主题解算
Bm0
B1
1 2M1
S
cos A12
Am0
A12
1 2 N1
tan
B1S
sin
A12
B Bmk1 Bmk 0.0001 A Amk1 Amk 0.001
sin
A12
M 2 cos A21
M2 S
sin
A21
M2 S
sin
A21
N2 cosB2 sin A21
N2
c os B2 S
c
os
A21
N1
c os B1 S
cos
A12
N
2
c
os
B2
sin
A21
dB1
二．大地主题反解微分公式 NN12cScoSossBB1 2ccoos起以 （sAA12点及 B211大大,ddLd地地BLL1122）线线和方长（位度B角S2与A,L起122）点和的和大微终地分点线关的方系经位。纬角度A21 ，
A21 A12
a
dA
dS M
S
d3A dS 3
M
S3 24
B2 B1
b
dB dS
M
S
d 3B dS 3
M
S3 24
B2
BM
dB dS M
S 2
d 2B dS 2
M
S2 8
d 3B dS 3
M
S3 48
B1 BM
dB dS M
S 2
d 2B dS 2
M
M
S2 8
两式相加，得：
类似地，有：
其中：
将
展开成级数，得：
2
2.3.3 大地主题解算
由大地线的微分公式：ddBS
cos M
A
Vm2 Nm
cos
Am
求导，得：
B
dB dS
m
3 Mm
tmm2
cos A
dB Vm2 sin A A dS m Nm
取：
d2B dS 2
M
d 2B dS 2
S2 8
d 3B dS 3
M
S3 48
1
2.3.3 大地主题解算
dB dS M
dB dS m
B
dB dS
m
Bm
BM
A
dB dS
m
Am
AM
Lm
LM
d 2L dS 2
M
S2 8
,
Am
AM
d2A dS 2
M
S2 8
dB dS M
Bm
BM
d 2B dS 2
Am
2
3t
2 m
2m2
3m2 S 2 cos2 Am 1 tm2 m2 4tm2m2
S sin
Am
lNm
cos Bm
S sin Am
24
N
2 m
S 2 s in 2
Am
t
2 m
S
2
cos2
Am
1
2 m
9t
2
m
2 m
高斯平均引数反算公式 由正算公式，反解得： 右端第二项与第一项相比为小量，可以作近似：