精选2019年中考数学复习三角形第24讲直角三角形与锐角三角函数试题(含解析)

第24讲 直角三角形与锐角三角函数
1. (2012，河北)如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C .若∠BOD ＝38°，则∠A ＝52°.
第1题图
【解析】 ∵∠BOD ＝38°，∴∠AOC ＝38°.∵AC ⊥CD 于点C ，∴∠A ＝90°－∠AOC ＝90°－38°＝52°.
2. (2014，河北)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n 不等于(A)
第2题图
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【解析】 如答图．将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n 可以为3，4，5，故n ≠2.
第2题答图
3. (2018，邯郸一模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则Rt △ABC 的中线CD 的长为(A)
第3题图
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
【解析】 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2
＝10.∵CD 是
Rt △ABC 的中线，∴CD ＝12
AB ＝5. 4. (2018，唐山路南区三模)如图，在正方形ABCD 中，AE ⊥BE ，且AE ＝3，BE ＝4，则阴影部分的面积是(C)
第4题图
A. 16
B. 18
C. 19
D. 21
【解析】 ∵AE ⊥BE ，且AE ＝3，BE ＝4，∴在Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝25.∴S 阴影＝S 正方形ABCD －S △ABE ＝AB 2－12AE ·BE ＝25－12
×3×4＝19. .
直角三角形中的边角关系 例1 (2018，扬州高邮模拟)具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是(D)
A. ∠A ＋∠B ＝∠C
B. ∠A －∠B ＝∠C
C. ∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3
D. ∠A ＝∠B ＝3∠C
【解析】 选项A 中∠A ＋∠B ＝∠C ，即2∠C ＝180°，∴∠C ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．同理可证，B ，C 两选项中的△ABC 均是直角三角形．选项D 中∠A ＝∠B ＝3∠C ，即7∠C ＝180°，三个角没有90°角，故此选项中的△ABC 不是直角三角形.
针对训练1 (导学号5892921)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，M 为AB 边的中点，连接ME ，MD ，ED .设AB ＝4，∠DBE ＝30°，则△DEM 的面积为 3.
训练1题图
【解析】 ∵在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴△ABE ，△ADB 是直角三角形．∴EM ，DM 分
别是它们斜边上的中线．∴EM ＝DM ＝12AB .∵ME ＝12
AB ＝MA ，∴∠MAE ＝∠MEA . ∴∠BME ＝2∠MAE .同理MD ＝12
AB ＝MA .∴∠MAD ＝∠MDA .∴∠BMD ＝2∠MAD .∴∠EMD ＝∠BME －∠BMD ＝2∠MAE －2∠MAD ＝2∠DAC ＝2∠DBE ＝60°.所以△DEM 是边长为2的正三角形，所以S △DEM ＝ 3.
针对训练2 (2018，宜城模拟)在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则BC 的长为10或6.
【解析】 本题分两种情况．(1)如答图①，AB ＝10，AC ＝210，AD ＝6.在Rt △ABD 和Rt
△ACD 中，根据勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝2，此时BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10.(2)如答图②，AB ＝10，AC ＝210，AD ＝6.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理，
得BD ＝AB 2－AD 2＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝2，此时BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为
10或6.
训练2答图
锐角三角函数的定义
例2 (2018，哈尔滨道里区模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝3，则BC 的长为
(C)
例2题图
A. 3sin 35°
B. 3cos 35°
C. 3cos 35°
D. 3tan 35° 【解析】 ∵cos 35°＝CB AB ＝CB 3
，∴BC ＝3cos 35°. 针对训练3 (2018，唐山古冶区二模)如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O 的半径为1，圆心O 在格点上，则tan ∠AED 等于
(C)
训练3题图 A. 1 B. 22 C. 12 D. 32
【解析】 ∵AC ＝1，AB ＝2，∴tan ∠ABC ＝AC AB ＝12
.由圆周角定理，得∠AED ＝∠ABC . ∴tan ∠AED ＝12
. 针对训练4 如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于32
，则 sin
∠CAB 等于(B)
训练4题图 A. 332 B. 35 C. 105 D. 310
【解析】 如答图，作CD ⊥AB 于点D .由题意，得AB ＝AC ＝5，BC ＝ 2.由三角形的面积，
得12AB ·CD ＝32.∴CD ＝355.∴sin ∠CAB ＝CD AC ＝35
55
＝35
.
训练4答图
特殊角的三角函数值。