数学人教B版选修4-4学案：课堂导学2.3圆锥曲线的参数方程含解析

课堂导学
三点剖析
1.利用参数方程求点的轨迹 【例1】已知A 、B
分别是椭圆362x +
9
2
y =1的右顶点和上顶点,动点C
在该椭圆上运动,求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.
分析：本题有两种思考方式，求解时把点C 的坐标设为一般的(x 1，y 1）的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为（6cosθ，3sinθ）的形式，从而予以求解。

解:由动点C 在该椭圆上运动，故据此可设点C 的坐标为(6cosθ，3sinθ），点G 的坐标为(x ，y)，则由题意可知点A(6,0）、B(0，3)。

由重心坐标公式可知
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=++=+=++=θθθθsin 13sin 330,cos 223
cos 606y x , 由此消去θ得到
4
)2(2
-x +（y —1）2=1，即为所求。

温馨提示
本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得更简单、更便捷. 2。

利用参数方程求坐标
【例2】在椭圆7x 2+4y 2=28上求一点，使它到直线l:3x —2y-16=0的距离最短,并求出这一最短距离.
解：把椭圆方程化为
4
2
x +
7
2y =1的形式，
则可设椭圆上点A 坐标为(2cosα,7sinα）,
则A 到直线l 的距离为 d=13
|16sin 72
cos 6|--αα
=13
|16)sin(8|--αβ(其中β=arcsin 4
3）。

∴当β-α=2
π时,d 有最小值，最小值为
13
8=13
13
8
此时α=β—2π，∴sinα=—cosβ=4
7-。

，cosα=sinβ=4
3。

∴A 点坐标为(23，4
7
-
）。

温馨提示
用参数方程解决一些坐标问题,简单易行. 3。

利用参数方程求最值 【例3】实数x 、y
满足9
)2(16)1(2
2++-y x =1,试求x —y 的最大值与最小值，
并指出何时取得最大值与最小值。

分析:本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换，但容易看到会出现开方，很不利于求x-y 的最大值与最小值.这时,根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解,借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决.
解：由已知可设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-.
sin 3
2,cos 4
1
θθy x 即⎩⎨⎧-=+=,2sin 3,1cos 4θθy x
则x —y=(4cosθ+1)-(3sinθ-2)=（4cosθ-3sinθ）+3=5cos （θ+α）+3,其中cosα=5
4，sinα=5
3。

当cos(θ+α)=1,即θ+α=2kπ，k∈Z 时, cosθ=cos(2kπ—α）=cosα=5
4,
sinθ=sin（2kπ-α)=—sinα=—5
3，
x=4×5
4+1=5
21，y=3×（-5
3)-2=5
19-时，x —y 的最大值为8。

同理，当x=5
11-,y=5
1-时，x —y 的最小值为—2。

各个击破 类题演练1
已知双曲线2
2
a
x -22b
y .
=1（a>0,b>0)的动弦BC 平行于虚轴,M 、N 是双曲
线的左、右顶点。

（1)求直线MB 、CN 的交点P 的轨迹方程；
（2)若P(x 1，y 1），B(x 2,y 2），求证：a 是x 1、x 2的比例中项。

(1)解：由题意可设点B(asecθ,btanθ），
则点C （asecθ，-btanθ）,又M(—a,0），N （a ，0）, ∴直线MB 的方程为y=a
a b +θθ
sec tan （x+a ）,
直线CN 的方程为
y=a
a b --θθsec tan (x —a ）。

将以上两式相乘得点P
的轨迹方程为2
2
a x +2
2b
y =1。

（2）证明：因为P 既在MB 上，又在CN 上,由两直线方程消去y 1得x 1=
θ
sec a ,而x 2=asecθ，所以有x 1x 2=a 2，即a 是x 1、x 2的比例中项.
变式提升1
在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨
⎧-=+=1
2,
122
t y t x (t 为参数)表示的曲线是。