一元二次方程根的分布教学设计
一元二次方程根的分布教案
一元二次方程根的分布教案
一、教学目标：
1.理解一元二次方程根的分布的含义和基本形式。
2.掌握根据一元二次方程的系数，判断方程根的分布情况的方法。
3.能够根据题目要求，正确地写出方程的解。
4.通过互动环节，增强学生对于知识点的理解和应用能力。
二、教学内容及步骤：
1.讲解一元二次方程根的分布的含义和基本形式。
通过实例引导学生理解一元二次方程根的分布的含义。
介绍一元二次方程根的分布的基本形式。
提出互动问题：让学生尝试根据一元二次方程的系数，判断方程根的分布情况。
2.示范判断方程根的分布的方法。
通过实例示范，让学生掌握判断方程根的分布的方法。
对于不同类型的一元二次方程，强调需要注意的点和技巧。
鼓励学生提出自己的理解和问题，进行即时互动交流。
3.小组讨论与案例分析。
学生分组进行讨论，分享自己对于一元二次方程根的分布的理解和判断方法的应用。
提供一些实际案例，让学生在实际应用中巩固判断方程根的分布的能
力。
鼓励小组之间进行交流和讨论，分享解题思路和方法。
4.题目练习和讲解。
提供一些具有代表性的题目，让学生进行练习。
对于学生的答案和问题，进行即时讲解和纠正。
通过互动环节，引导学生深入思考和理解一元二次方程根的分布的含义和基本形式。
5.回顾与总结。
回顾一元二次方程根的分布的含义和基本形式，强调重点和难点。
总结判断方程根分布的方法和应用技巧。
通过互动环节，鼓励学生提出自己的问题和想法，进行讨论和交流。
人教版高中数学必修一教案：一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布教学设计一、教学分析（一）教学内容分析本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。
这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。
它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。
从而提升学生对数学知识的应用能力。
通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。
（二）教学对象分析高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。
学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识，已经具有用数学知识解决实际问题的能力。
学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。
通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。
（三）教学环境分析由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。
采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。
多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术，使传统的教学方式得到补充。
在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。
（四）教学手段采用多媒体网络教学。
《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。
”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。
一元二次方程根的分布学案
一元二次方程根的分布【学习目标】结合二次函数的图象能找出一元二次方程根的分布与函数系数间的关系【预习要点】（1）方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有 ⇔函数()y f x =有（2）连续函数()y f x =在[,]a b 上存在零点⇔ ()()___0f a f b ⋅ （3）函数21y x mx =++在(,2]-∞为减函数⇔ _________（4）方程02=++c bx ax （0≠a ）根的个数与24b ac ∆=-有怎样的关系？（5）韦达定理：若方程02=++c bx ax （0≠a ）的实根为1x 、2x ，则12x x +=12x x ⋅=【学习内容】例1：已知2(3)0x m x m +-+=，根据一下条件求m 的取值范围 ⑴方程有两个不同实数根 ⑵方程有两正根⑶方程有两负根 ⑷两根都小于1⑸两根都大于12⑹一个根大于1，一个根小于1⑺两根都在(0,2) ⑻两根仅有1根在(0,2)⑼两根一个在(2,0)-另一根在(1,2)内 ⑽两根异号，且负根绝对值大于整根⑾一根小于2一根大于4总结：根的分布主要有两种题型：（1）两个根在同一个范围，需要考虑对称轴、∆、以及特殊值（2）两个根不在同一个范围，只需要考虑特殊值就行不论哪种题型，最关键的地方在于数形结合练习1：当m取什么实数时，方程2x m x m--+-=分别有: ①两个实根；②一4(2)(5)0正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1.例2：（1）已知关于x的方程2--++=有两个负根，求k的取k x k k(2)(36)60值范围.（2）已知二次方程2m x mx-++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),则m的(2)310取值范围是例3：已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，a∈R}，若A ∪B＝A，求a的取值范围．【课后练习】1.若方程2x-(k+2)x+4=0有两负根，则k的取值范围是_______.2.方程x2－2|x|＝a(a∈R)有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_______3.已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜－2}，则不等式6x2－5x＋a＞0的解集为．4.已知方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，则实数a的取值范围是．5.已知二次方程2-++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),则m的取值范围(2)310m x mx是 .思考题：已知函数f（x）＝x2＋2bx十c（c＜b＜1），f（1）＝0，且方程f（x）＋1＝0有实根，（1）证明：－3＜c≤－1且b≥0；（2）若m是方程f（x）＋1＝0的一个实根，判断f（m－4）的正负，并说明理由．【自我总结】（1）本节课你学到的知识点有 （2）你还有那些疑惑？一元二次方程f(x)=ax 2+bx+c=0实数根分布表一般的，可以通过数形结合得到以下结论： 根的情况 0a >时图 0a <时图充要条件两个根均小于m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥∆m abm af 20)(0⇔⎪⎩⎪⎨⎧>--<-+-≥∆0))((002121m x m x m x m x两个根都大于n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥∆n ab n af 20)(0⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥∆0))((002121n x n x n x n x 一个大于m ，另一个小于m 的根12()()0()0x m x m af m --<⇔<在区间(,)m n 内有且仅有一个根()()0f m f n <在区间(,)m n 之外有两个根⎩⎨⎧<<0)(0)(n af m af 在区间(,)m n 内有两个实根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0)(0)(20n af m af n a b m。
《一元二次方程根的分布》教学设计_1
教学内容（章节）一元二次方程根的分布课程类型新授课课时安排1课时班级高一（7）班教学目标：知识与能力：加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识，通过数学结合掌握一元二次方程根的分布情况。
过程与方法：体验“观察-猜想-验证”探索问题的方法，领会由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数学结合思想的理解。
情感态度与价值观：通过一元二次方程根与二次函数图象的联系，体会事物间相互变化的辩证关系。
教学重点、难点：重点：利用函数图象求解有关一元二次方程根的分布情况。
难点：函数与方程，数形结合思想的渗透。
教具：黑板、粉笔、PPT、展台。
教学方法：讲授法、启发诱导法、练习巩固法、讨论探究法。
教学进程：【环节一：回顾旧知】回忆方程的根与函数零点的知识。
零点的定义：对于函数)(x f y =，使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。
强调：零点是一个实数，不是一个点。
方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点零点存在性原理：如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。
【设计意图】由刚刚学过的方程的根与函数的零点的知识导入，让学生思考一元二次方程根的分布与零点的关系，充分激发学生学习的积极性。
【环节二：创设情境，层层递进】探究一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系例1.方程0122=++ax x 的两根都小于2，求实数a 的取值范围。
【设计意图】让学生进行探究，相互交流，从学生熟知的，具体的一元二次方程根的分布入手，设置学生的最近思维发展区，使新知识与原来的知识形成联系，分析出这一类题目的通法。
【师生活动】教师：方程的根等价于函数的零点，所以研究二次方程的根可以转化为研究二次函数的零点。
问题转化为12)(2++=ax x x f 有两个小于二的零点，如何保证二次函数有两个小于二的零点呢，决定二次函数图象的因素有哪些呢？学生：开口方向，对称轴位置，判别式，与y 轴交点。
一元二次方程实根的分布(教案设计)
一元二次方程实根的分布 教师：丁金霞 班级：高一（8）
教学目的： 1．较熟练的讨论一元二次方程根的分布;
2.把一元二次方程根的分布问题转化为函数问题
3．培养转化的能力，综合分析、解决问题的能力；
教学重难点：一元二次方程根的分布问题转化为函数问题
内容分析：说明函数、方程、二者密不可分，通过这一点可以研究一元二次方程实数根的分布 教学过程：
一、复习引入：
1、韦达定理：方程02=++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 2. 一元二次方程的根与对应的一元二次函数的关系
3.零点的判定方法
4．问题：已知方程06)3(2
=+++-m x m x 有两个不相等的正根,求m 的取值范围。
变式：把原题中“两个不相等的正根”改为“两个大于2的不相等的实根”， 求m 的取值范围。
二、讲解新课：
例1，如果方程06)3(2=+++-m x m x 有两个均大于2的不相等的实根， 求m 的取值范
围。
例2，如果方程06)3(2=+++-m x m x 的两个实根都在（2，4）之间， 求m 的取值范围。
例3，如果方程06)3(2=+++-m x m x 的两个实根一个小于2，一个大于2， 求m 的取值
范围。
例4，如果方程06)3(2=+++-m x m x 的两个实根一个在（1，2）之间，一个在（4，6）
之间， 求m 的取值范围。
点评：
三，学生练习
求m 的取值范围，使方程012
=-+mx x 的两个实根一个比2大，一个比0小。
四，课堂小结
五，作业《导学练》。
一元二次方程根的分布教案
一元二次方程根的分布
【学习目标】
1. 能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2. 体会高中数学中“函数与方程”的思想方法，“数形结合”的思想。
3. 进一步理解函数与方程的关系，让学生学会借助图像辅助分析。
【学习重点】
一元二次方程根的分布。
数形结合法。
【学习难点】
数型结合思想，根的分布的复杂变形。
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
【典型例题】
例1. m 为何实数值时，关于x 的方程0)3(2=++-m mx x
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
变式题：m 为何实数值时，关于x 的方程0)3(2=++-m mx x 有两个大于1的根.
例2. 若8x 4+8(a －2)x 2－a+5>0对于任意实数x 均成立，求实数a 的取值范围.
例3.关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根,求实数m 的取值范围。
课堂小练习：
【布置作业】。
根的分布教案
一元二次方程根的分布汤丽娅一、教材及学情分析二次函数是重要的初等函数类型，一元二次方程是初中阶段学习的一个重要内容，含参的一元二次方程根的分布实际上是综合应用一元二次方程根与系数的关系、二次函数的基本性质、分类讨论思想、数形结合思想等思想方法来解决的一类专题性内容，是基于人教版九年级二次函数与人教版A版高中教材必修1第二章函数的基本性质的一节专题教学或研究性学习。
本节教学结合解一元二次方程及根与系数的关系、二次函数的性质、函数的基本性质，是初等函数思想方法，特别是数形结合思想应用的典型。
虽然教材并没有单独成节，但教材中却处处渗透着这一内容。
一元二次方程根的分布问题是二次函数性质的集中体现，是对函数的基本思想方法的巩固和提升，是难得的好素材。
本节教学内容是在学生初中已初步探讨学习了正比例函数、反比例函数、一次函数等简单函数，高中探讨了集合工具和函数的基本性质（单调性、奇偶性等）的基础上重新回到一元二次方程根的问题上，学生既能提升对函数、方程等知识的认识，又能提升对分类讨论、数形结合、转化等数学思想的认识，提高解决问题的能力，巩固、完善学生的函数知识、方法体系。
二、教学目标1、知识与能力目标：加深对一元二次方程、二次函数的认识；利用函数知识、方法重新审视一元二次方程更本质的规律；会熟练利用二次函数的图象性质解决一元二次方程根的分布问题。
2、过程与方法目标：经历观察、归纳、概括等数学活动过程，获得一元二次方程根的分布与系数的重新夺得关系的条件限制（不等式组）；通过运算获得具体、简洁的数量关系；通过创造性思维提出新的问题并尝试通过合作、交流解决所提出的新问题；并会运用规律解决综合问题，并对此进行反思、推广。
3、情感态度与价值观目标：体会二次函数乃至函数知识、思想的丰富多彩；能积极参与数学学习活动，体验数学学习充满着的探索性和创造性，锻炼克服困难的意志，建立自信；培养对知识的科学态度和辩证唯物主义观点。
三、重难点分析重点：一元二次方程根的分布的函数解法难点：利用换元法将不熟悉的方程转化为一元二次方程四、教法与教具设计教法：采用高中数学“问题解决”教学方法：创设问题情境——发现问题——探索问题——解决问题——发现问题——探索（新）问题——……；采用多媒体演示，提高效率；师生互动，活跃课堂气氛。
高一数学教案一元二次方程根的分布
高一数学教案一元二次方程根的分布教材： 一元二次方程根的分布目的： 介绍符号〝f(x)〞，并要求学生明白得一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的根的分布与系数a,b,c 之间的关系，并能处理有关咨询题。
过程：一、为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号〝f(x)〞。
如：二次函数记作f(x)= ax 2+bx+c (a ≠0) x=1时的函数值记作f(1) 即f(1)=a+b+c 二、 例一 关于x 的方程 (k -2)x 2-(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k 的取值范畴。
解：()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-+≥⋅--+=∆02602630624632k k k k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<-≤≤-⇒2022652k k k k 或 052<≤-⇒k此题要紧依靠∆及韦达定理求解，但此法有时不大奏效。
例二 实数a 在什么范畴内取值时，关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3。
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f ⇒ -12<a<0例三 关于x 的方程x 2-2tx+t 2-1=0的两个实根介于-2和4之间，求实数t 解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 31<<-⇒t此题既利用了函数值，还利用了∆及顶点坐标来解题。
三、作业题〔补充〕*1. 关于x 的方程x 2+ax+a -1=0，有异号的两个实根，求a 的取值范畴。
(a<1)*2. 假如方程x 2+2(a+3)x+(2a -3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a 的取值范畴。
一元二次方程实根的分布教学设计
课时框架
（用图示的方式说明包括的具体内容及相互关系）创设情境----发现问题----探究问题----解决问题------发现新问题------探索新问题----练习——小结
单元学习主题设计检验提示
检验指标
实现程度
1.主题是否与课标要求相一致？
是
2.主题是否是一个或多个学科领域中的核心或起着核心作用？能否反映学科本质?（可以利用知识网、概念图、思维导有挑战性的、能吸引师生兴趣的学习问题或任务？
能，可以吸引师生学习的兴趣
4.主题是否与生活、生产中的真问题相关？能否让学生理解主题的意义和价值。
主题与生活，生产中的真问题相关，学生能理解主题的意义和价值。
5.与主题相关的资源是否丰富？
很丰富。
【作业表单2：单元学习主题设计及检验提示单】
单元学习主题
一元二次方程实根的分布教学设计
设计意图说明
二次函数是中学数学的一条主线，它不但把初中高中知识有机地衔接起来，高中数学学习过程几乎到处能见到它的踪影，例如三角函数求最值问题，三次函数极值和最值问题，高考常见八大优美函数大都能转化成二次函数来解决，解析几何弦长等最值问题，立体几何等面积和体积的最值问题，极坐标和参数方程也常涉及二次函数最值问题。它蕴含了高中数学重要数学思想。
《一元二次方程根的分布》(生本四学)教学导学案
专题：一元二次方程根的分布问题【预学展示】探究活动：由于一元二次方程的根可以转化为对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标，因此在处理一元二次方程根的分布问题时，可以将其转化为相应二次函数图像的处理问题.例1.当一元二次方程()032=+-+m x m x 满足下列条件时,求出m 的取值范围.（1） 有两个不同正根; （2）有两个负根; （3）一个正根，一个负根.思考：例1（1）能否借助二次函数()m x m x x f +-+=3)(2的图像解决?试画出符合条件的图像并写出满足条件.【自学探究】1．一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的根的基本分布——零分布 两个正根两个负根一正根一负根图像条件【助力提升】例1.当一元二次方程()032=+-+m x m x 满足下列条件时,求出m 的取值范围.（4）两个根都大于21; （5） 两个根都小于1; （6）一个根大于1，一个根小于1.2．一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的根的非零分布——k 分布两个根都大于k两根都小于k一个根大于k ，一个根小于k图 像条件【助力提升】例1.当一元二次方程()032=+-+m x m x 满足下列条件时,求出m 的取值范围.（7）两个根都在()2,0内; （8）一个根在()0,2-内，另一个根在()3,1内.3．一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的根的非零分布—区间型()21,k k 分布【评学反思】通过以上的分析探究，在利用二次函数的图像来分析一元二次方程根的分布时，关键在于要考虑二次函数图像的哪些条件？①__________________; ②__________________;③__________________与________________的大小关系; ④____________________所对应的_______________的正负.【评学反思】关于x 的一元二次方程()()01212=-++-m x m x m 的一个根小于0，另一个根大于2，则m 的取值范围为_____________.探究：若该方程的两个根都不在区间）（2,0内，m 的取值范围为___________.。
有关一元二次方程根教学设计（通用6篇）
有关一元二次方程根教学设计（通用6篇）有关一元二次方程根教学设计（通用6篇）作为一名教师，通常需要准备好一份教学设计，教学设计是连接基础理论与实践的桥梁，对于教学理论与实践的紧密结合具有沟通作用。
那么大家知道规范的教学设计是怎么写的吗？下面是小编精心整理的有关一元二次方程根教学设计，希望能够帮助到大家。
一元二次方程根教学设计篇1教学目标掌握b2—4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2—4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2—4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用。
通过复习用配方法解一元二次方程的b2—4ac>0、b2—4ac=0、b2—4ac<0各一题，•分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。
重难点关键1。
重点：b2—4ac>0 一元二次方程有两个不相等的实根；b2—4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数；b2—4ac<0 一元二次方程没有实根。
2。
难点与关键从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2—4ac的情况与根的情况的关系。
教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）用公式法解下列方程。
（1）2x2—3x=0 （2）3x2—2 x+1=0 （3）4x2+x+1=0老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2—4ac=9>0，•有两个不相等的实根；（2）b2—4ac=12—12=0，有两个相等的实根；（3）b2—4ac=│—4×4×1│=<0，•方程没有实根。
二、探索新知方程b2—4ac的值b2—4ac的符号x1、x2的关系（填相等、不等或不存在）2x2—3x=03x2—2 x+1=04x2+x+1=0请观察上表，结合b2—4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。
高中数学旧人教版教时教案(广西专用)：一元二次方程根的分布
第十六教时教材： 一元二次方程根的分布目的： 介绍符号“f(x)”，并要求学生理解一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a0)的根的分布与系数a,b,c 之间的关系，并能处理有关问题。
过程：一、为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号“f(x)”。
如：二次函数记作f(x)= ax 2+bx+c (a0) x=1时的函数值记作f(1) 即f(1)=a+b+c二、 例一 已知关于x 的方程 (k2)x 2(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k 的取值范围。
解：()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-+≥⋅--+=∆02602630624632k k k k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<-≤≤-⇒2022652k k k k 或 052<≤-⇒k此题主要依靠∆及韦达定理求解，但此法有时不大奏效。
例二 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x 25x+a=0的一根大于2而小于0，另一根大于1而小于3。
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f ⇒ 12<a<0例三 已知关于x 的方程x 22tx+t 21=0的两个实根介于2和4之间，求实数t 的取值。
解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 31<<-⇒t此题既利用了函数值，还利用了∆及顶点坐标来解题。
三、作业题（补充）*1. 关于x 的方程x 2+ax+a 1=0，有异号的两个实根，求a 的取值范围。
(a<1)*2. 如果方程x 2+2(a+3)x+(2a 3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a 的取值范围。
高中数学 一元二次方程的根的分布问题教案 苏教版必修1
一元二次方程的根的分布问题 一、定理： 设：f (x )=ax 2+bx +c （a ＞0），△=b 2－4ac定理1 方程f (x )=0的两实根都大于（或小于）给定的实数m 的充要条件是 定理2 方程f (x)=0的两实根在区间（m ，n ）的充要条件是 定理3 方程f (x)=0的两实根分别在区间（p ，q ）与（q ，r ）内的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧><>0)(0)(0)(r f q f p f定理4 方程f (x)=0的两实根分别在区间（p ，q ）与（r ，s ）（r ≥q ）的充要条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>0)(0)(0)(0)(s f r f q f p f 定理5 方程f (x)=0的两实根中一根小于m ，另一根大于n （m ＜n ）的充要条件是 定理6 方程f (x)=0的两实根x 1、x 2满足x 1＜m ＜x 2的充要条件是x y o m －a b 2 －a b2 x y o mxyo －a b 2 m n p q rp q r s xy o m n m x 1 x 2小结：⑴若两实根分布在同一开区间．．．（m ，n ），则必须考虑三点：①判别式△≥0；②对称轴在所给区间内，即m ＜a b2 ＜n ；③在区间端点处函数值的符号，即f (m)＞0且f (n)＞0.⑵若两实根分布在两个不同的开区间．．．内，则只要考虑在区间端点处函数值的符号.二、例题：例1、若方程（k 2+1）x 2－2（k+1）x+1=0的两根在区间（0，1）内，求k 的取值范围.例2、求实数m ，使方程7x 2－（m+13）x+m 2－m －2=0有两实根，且它们分别在区间（0，1）与（1，2）中.例3、方程x 2+（a 2－1）x+a －2=0有一根大于1，另一根小于－1，求a 的取值范围.例4、若方程x 2－11x+m=0的两根都大于5，求m 的取值范围.例5、若方程x 2 l ga －2x+1=0的一根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围.例6、若a ＞b ＞0，证明方程0112=+-+-b x a x ，有两相异实根，且一根在（b ，a ）之间，另一根比b 小.练习题1、 已知方程x 2－2x+ l g （2a 2－a ）=0有一正根和一负根，求实数a 的取值范围.2、求使方程x 2－2mx+m+1=0有两实根，且一根大于5，一根小于5的实数m 的取值范围.3、方程x 2+2（k+3）x+2k+4=0有两个相异实根， ⑴若一根大于3，另一根小于1，求k 的取值范围； ⑵若两根都在区间（－2，2）内，求k 的取值范围； ⑶若方程有且只有一个实根在（1，2）内，另一根不在其内，求k 的取值范围.4、设a 是任意实数，二次方程3x 2－1=a （2x －1）有两个不等的实根，证明两根中至少有一个在区间（0，1）之间.。
高一数学 一元二次方程根的分布教案
城东蜊市阳光实验学校师范大学附属中学高一数学教案：一元二次方程根的分布教材：一元二次方程根的分布目的：介绍符号“f(x)〞，并要求学生理解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的分布与系数a,b,c 之间的关系，并能处理有关问题。
过程： 一、为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号“f(x)〞。
如：二次函数记作f(x)=ax2+bx+c(a 0)x=1时的函数值记作f(1)即f(1)=a+b+c二、例一关于x 的方程(k 2)x2(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k 的取值范围。
解：()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-+≥⋅--+=∆02602630624632k k k k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<-≤≤-⇒2022652k k k k 或052<≤-⇒k 此题主要依靠∆及韦达定理求解，但此法有时不大奏效。
例二实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x25x+a=0的一根大于2而小于0，另一根大于1而小于3。
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f 解：⇒12<a<0此题利用函数图象及函数值来“控制〞一元二次方程根的分布。
例三关于x 的方程x22tx+t21=0的两个实根介于2和4之间，务实数t 的取值。
解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 31<<-⇒t此题既利用了函数值，还利用了∆及顶点坐标来解题。
三、作业题〔补充〕*1.关于x 的方程x2+ax+a 1=0，有异号的两个实根，求a 的取值范围。
(a<1) *2.假设方程x2+2(a+3)x+(2a 3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，务实数a 的取值范围。
根的分布教案
一元二次方程根的分布汤丽娅一、教材及学情分析二次函数是重要的初等函数类型，一元二次方程是初中阶段学习的一个重要内容，含参的一元二次方程根的分布实际上是综合应用一元二次方程根与系数的关系、二次函数的基本性质、分类讨论思想、数形结合思想等思想方法来解决的一类专题性内容，是基于人教版九年级二次函数与人教版A版高中教材必修1第二章函数的基本性质的一节专题教学或研究性学习。
本节教学结合解一元二次方程及根与系数的关系、二次函数的性质、函数的基本性质，是初等函数思想方法，特别是数形结合思想应用的典型。
虽然教材并没有单独成节，但教材中却处处渗透着这一内容。
一元二次方程根的分布问题是二次函数性质的集中体现，是对函数的基本思想方法的巩固和提升，是难得的好素材。
本节教学内容是在学生初中已初步探讨学习了正比例函数、反比例函数、一次函数等简单函数，高中探讨了集合工具和函数的基本性质（单调性、奇偶性等）的基础上重新回到一元二次方程根的问题上，学生既能提升对函数、方程等知识的认识，又能提升对分类讨论、数形结合、转化等数学思想的认识，提高解决问题的能力，巩固、完善学生的函数知识、方法体系。
二、教学目标1、知识与能力目标：加深对一元二次方程、二次函数的认识；利用函数知识、方法重新审视一元二次方程更本质的规律；会熟练利用二次函数的图象性质解决一元二次方程根的分布问题。
2、过程与方法目标：经历观察、归纳、概括等数学活动过程，获得一元二次方程根的分布与系数的重新夺得关系的条件限制（不等式组）；通过运算获得具体、简洁的数量关系；通过创造性思维提出新的问题并尝试通过合作、交流解决所提出的新问题；并会运用规律解决综合问题，并对此进行反思、推广。
3、情感态度与价值观目标：体会二次函数乃至函数知识、思想的丰富多彩；能积极参与数学学习活动，体验数学学习充满着的探索性和创造性，锻炼克服困难的意志，建立自信；培养对知识的科学态度和辩证唯物主义观点。
三、重难点分析重点：一元二次方程根的分布的函数解法难点：利用换元法将不熟悉的方程转化为一元二次方程四、教法与教具设计教法：采用高中数学“问题解决”教学方法：创设问题情境——发现问题——探索问题——解决问题——发现问题——探索（新）问题——……；采用多媒体演示，提高效率；师生互动，活跃课堂气氛。
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一元二次方程根的分布教学设计
大庆一中高中部孙庆夺
一、教学分析
（一）教学内容分析
本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。
这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。
它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。
从而提升学生对数学知识的应用能力。
通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。
（二）教学对象分析
高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。
学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识，
已经具有用数学知识解决实际问题的能力。
学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。
通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。
（三）教学环境分析
由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。
采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。
多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术，
使传统的教学方式得到补充。
在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。
（四）教学手段
采用多媒体网络教学。
《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。
”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。
（五）教学方式
自主式探究，学案式导学。
自主探究，学案导学的教学方式，能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位，培养学生的数学应用意识、合作精神，这与《新课标》的要求是吻合的。
二、教学目标
１.知识与能力
加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重新审视一元二次方程．
２.过程与方法
体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。
３.情感态度与价值观
培养学生不断发现，探索新知的精神。
体会数学严谨细致之美，简洁朴实之美．
激发学生积极思考、勇于探索，提高学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学分析和解决问题的意识。
三、教学重点，难点
1．重点：利用函数图象求解有关一元二次方程根的分布问题
2．难点：函数与方程，数形结合思想的渗透
四、教法与教具选择：
1．教学方法：学案式导学、开放式探究、启发式引导、互动式讨论.
2．教学手段：运用几何画板、多媒体.
五、教学过程
（一）、创设情景，导入新课：
若
的两根都大于
，求参数m的取值范围
学生给出两种常见的解答方法，方法一：
问题1：不等式组和方程两根都大于
等价吗？
方法二：
问题2：不等式好解吗？
【设计意图】从学生最熟悉的二次方程根的问题出发，直达学生知识的薄弱点。
使学生认识到用初中所学的韦达定理解决前后不等价，而解不等式会出现好想不好解的情况，激发学生研究该问题的兴趣。
问题3：那么，对于这样的问题如何求解呢？
【设计意图】激发兴趣，直接切入研究的课题。
（板书课题：一元二次方程根的分布）
（二）、教师引导，发现规律：
从学生最熟悉的0分布着手：
求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的实数m的取值范围.
(1)两个正根;
学生给出如下答案：
问题1：这种方法借助于初中所学习的韦达定理，在前面的学习中我们学习了函数与方程知识，此题是否还有其他解法呢？
【设计意图】引导学生积极思考，提示学生能否用函数与方程知识解决根的分布问题。
问题2：方程的根等价于函数的零点，所以研究二次方程的根可以转化为研究二次函数的零点。
问题转化为f(x)=x2-mx-m+3有两个正零点，如何保证二次函数有两个正零点呢，决定二次函数图象的因素有哪些呢？
【设计意图】引导学生用函数零点研究方程根的分布，考虑初中所学习的影响二次函数图象的因素。
开口方向，对称轴位置，判别式，与y轴交点
设f(x)=x2-mx-m+3 ，
问题3：对于方程有两个负根的情况，以上的方法是否适用呢？
【设计意图】引导学生用两种方法解决该问题，通过结果检验方法依旧成立方法一：
；方法二:
问题4：对于方程有一个正根，一个负根的情况，以上的方法是否适用呢？
【设计意图】引导学生用两种方法解决该问题，通过结果检验方法依旧成立
方法一：
；方法二:
问题5：思考:处理一元二次方程根的分布问题, 通常要考虑哪些因素呢？
【设计意图】根据由特殊到一般的研究方式，引导学生总结用一元二次函数零点研究一元二次方程根的分布问题的要素。
(1)判别式;（要特别注意是否该带等号） (2)对称轴与区间端点的位置关系;
(3)区间端点函数值f(m),f(n),f(k)等的符号.
注意：二次项系数是否为0; 开口方向;
问题6：请大家合作探究完成以下问题，并把答案展示在黑板上？
【设计意图】运用以上因素不同情况根的分布问题，同时与引入的问题遥相呼应。
(4)
两个根都大于
;
(5)两个根都小于
1;
(6)一个根小于
1
，一个根大于1;
问题6：请大家完成学案中的表格？
【设计意图】有特殊到一般，总结规律
分布情况
两根都小于
,
即
两根都大于
,
即
一根小于
，一根大于
,
即
大致图象（
）
得出结论
问题7：请大家合作探究完成以下问题，并把答案展示在黑板上？
(7)两根都在0与2之间;
(8)一个根小于0,另一根大于2;
(9)一根在0与1之间,另一根在2与3之间;
问题8：请大家完成学案中的表格？
表二：（根在区间上的分布）
分布情况
两根都在
内一根在
内,另一根在
内,
两根分别在区间
外，即在区间两侧,即
（a > 0）
大致图象（
）
得出的结论
（四）、总结归纳，掌握规律
问题1：研究一元二次方程根的分布，我们需要考虑哪些因素？
问题2：本节讨论问题的数学思想方法是什么？
【设计意图】引导学生对所学的知识、数学思想方法进行小结，并对学生的学习过程进行反思，为今后的学习进行有效调控打下坚实的基础。
（五）、课堂检测：
【设计意图】课堂检测是对本节课重点和难点知识的应用和巩固，通过学生的回答,可了解学生对于根的分布理解是否到位，列不等式的过程中要素是否考虑全面。
（六）、布置作业：
1.必做作业：学案课后练习1、2、3、4
2.选做作业：学案课后思考 1、2
【设计意图】布置作业有梯度，避免一刀切，使学有余力的学生进一步训练逆向思维，使知识掌握更加深刻
（七）、板书设计
一元二次方程根的分布
1.判别式：（要特别注意是否该带等号）；
2.对称轴与区间端点的位置关系;
3.区间端点函数值f(m),f(n),f(k)等的符号. 注意：二次项系数是否为0; 开口方向; 学生展示1 学生展示2
【教学反思】
心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动.”思维永远是从问题开始的，因此，本节课采用了问题引入、诱导、解疑，
指导学生去发现的方法，使学生始终处于兴奋的状态之中。
观察、归纳是发现知识、获得知识的基本思维形式，在教学过程中，通过问题设疑、创设问题情境，引导学生从特殊的、个别的属性，通过联想、类比，归纳出具有普遍性的、一般的、整体的性质。