江西省黎川县第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含答案

高二年级数学（文）期末试卷2021．1一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()sin x f x x e =+，则'(0)f 的值为( ) BA ．1B.2C.3D.02．设函数()y f x =在上可导，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-∆等于( ) CA.'(1)fB. 3'(1)fC. 1'(1)3f D.以上都不对3．将点M 的极坐标(10,)3π化成直角坐标是( )BA.(53,5)B.(5,53)C.(5,5)D.(5,5)-- 4．命题 ()00:[1,4],0,p x f x ∃∈-< 则p ⌝是( )DA. [1,4],()0x f x ∀∈-<B. ()00[1,4],0x f x ∃∈-≥C. ()00[1,4],0x f x ∃∈-≤ D. [1,4],()0x f x ∀∈-≥5．下列求导运算正确的是（ ） BA.()222x x '=B.()x x e e '=C.1(ln )x x'=-D.2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭6．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>3 ）CA ．12y x =±B ．2y =C ．2y x =±D ．2y x =±7．.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++中的“…”代表无限次重复，设121211x =++，则可以利用方程121x x=+求得x ，类似地可得到正数222+++=( )AA ．2B ．3C ．22D ．21+8．已知“2()160x a +->”的必要不充分条件是“2x ≤-或3x ≥”，则实数a 的最小值为（ ）AA.2-B.1-C.0D.19．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )D A.3211242y x x x =+- B. 3211322y x x x =+-C.314y x x =-D. 321122y x x x =--10．函数()f x 的定义域为R ，(0)2f =，对任意x R ∈，都有()'()1f x f x +>，则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为（ ）CA ．{|1}x x <-或1x >B ．{|0}x x <C ．{|0}x x >D ．{|1}x x <-或01}x <<11．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆,令我们印象深刻. 如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为: 圆 22:(3)9,Q x y ++= 圆 224:(4)L x y ++=，圆 22:(4)4,S x y -+= 若过原点的直线 l 与圆L 、S 均相切，则l 截圆Q 所得的弦长为（ ）AA. 3B.2C.32D.1解析：法一：设过点O 的直线:l y kx =. 由直线l 与圆L 、圆 S 均相切，得22,1k=+ 解得 213k =⋯ (1). 设点Q 到直线l 的距离为1,d 则x y 12Oy =3x -6y =-x湖面(千米)(千米)1d =⋯ (2). 又圆Q 的半径3r =直线l 截圆Q 所得弦长1l = 结合(1)(2)两式，解得1 3.l =法二：设直线l 与圆L 、圆S 分别切于点A 、B ；与圆Q 的另一个交点为C .取OC 中点D ，连结LA 、SB 、QC 、QD .由90,AOL DOQ ︒∠+∠= 易知 Rt Rt .AOL DQO ∽ 所以直线l 截圆Q 所得弦长||2||2||sin 3.OC OD OQ OQD ==∠=12．若函数11()ln e e x x f x x x m --+=-+++有零点，则实数m 的取值范围是（ ）AA. (,3]-∞-B. (,1]-∞-C. [1,)-+∞D. [3,)+∞解析：11()ln e e ,x x g x x x --+=-++ 则111()1e e ,x x g x x'--+=-+- 易知()g x '为单调递增函数，且(1)0,g '= 所以当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<递减; 当(1,)x ∈+∞时, ()0g x '>, ()g x 递增，所以 ()(1)3,g x g ≥= 所以3m -≥，故选 A . （或者分别研究这两个函数111()ln ,()e ,e x x h x x x x ϕ--=-=+它们的单调性都是在1x =时取得最小值）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)． 13．已知函数2()43'(1)f x x xf =-，则'(1)f =________. 214．命题“若实数a ，b 满足25a b +>，则2a >且1b >”是__假__命题(填“真”或“假”)． 15．已知拋物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F O 为坐标原点，C 的准线为l 且与x 轴相 交于点B ，A 为C 上的一点，直线AO 与直线l 相交于C 点，若BOC BCF ∠=∠, ||6,AF = 则C 的标准方程为 .28y x =解析：因为 ,90,BOC BCF OBC CBF ︒∠=∠∠=∠= 所以 ~,OBC CBF ∆∆则,OB BC BC BF =即2,pBC BC p=解得,BC p = 所以2tan 12p COB p ∠== 联立直线OA 与抛物线方程22y y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得(),A p 所以36,22A p pAF x =+== 则抛物线标准方程为28.y x =16．若函数32()f x x x =-在区间(,3)a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是 ．(3,2]--解析：由题可知: 2()32(32)f x x x x x '=-=-所以函数()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在2(,0),,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，故函数的极大值为 (0)0f =.所以在开区间(,3)a a +内的最大值一定是(0)0,f =又(1)(0)0f f ==, 所以 03,31a a a <<+⎧⎨+≤⎩得实数a 的取值范围是(3,2].--三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)P 且倾斜角为4π的直线与曲线:C 2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）交于,A B 两点．（1）将曲线C 的参数方程转化为普通方程； （2）求||AB 的长． 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2214x y +=……………………5分（2）方法一：直线l的参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），……………………6分将此参数方程代入2214x y +=并化简得2560t +-=……………………8分设点,A B 所对应的参数分别为12,t t，则12t t +=，1265t t =-则12||||AB t t =-=……………………10分方法二：222158014y x x x x y =-⎧⎪⇒-=⎨+=⎪⎩，所以1280,5x x ==，12AB x =-=.18．（本小题满分12分）已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

【解析】假设存在直线l ，设其方程为y x b =+.解方程组222440,x y x y y x b ⎧+-+-=⎨=+⎩ 得222(22)440x b x b b ++++-= ①……………………5分设()()1122,,,,A x y B x y则 21212441,2b b x x b x x +-+=--=. ……………………6分()()()2222121212124424y y (1)22b b b b x b x b x x b x x b b b b +-+-∴=++=+++=+--+=⋅又OA OB ⊥.22121244240,0.22b b b b x x y y +-+-∴+=∴+= ……………………10分 解得 1b = 或 4.b =- 把1b =和4b =-分别代入①式，验证判别式均大于0 . 故存在1b =或 4.b =-所以存在满足条件的直线方程y 10x -+=或y 40.x --=……………………12分19．（本小题满分12分）已知函数21()32xf x e x ax =--．若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求,a b 的值； 若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的最大值．【解析】(1)由题意，得()3,x f x e x a '=--则(0)3,f a '=-又函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为y 2,x b =+则32,a -= 解得 1.a =又21()3,2x f x e x x =--则 (0)3,f = 即 203,b ⨯+= 解得 3.1,b a b =∴==3.……………………6分（2）由题意可知，'()0f x ≥，即 30x e x a --≥ 恒成立, 3x a e x ∴≤-恒成立. 设 ()3,x g x e x =- 则()3 1.x g x e '=- 令()310,x g x e '=-= 解得ln3.x =- …………8分令()0,g x '< 解得ln3,x <-令()0,g x '> 解得ln3,x >-()g x ∴在(,ln3)-∞-上单调递减，在(ln3,)-+∞上单调递增， ……………………10分 ()g x ∴在x =-In3处取得极小值, min ()(ln3)1ln3.g x g ∴=-=+1ln3,a a ∴≤+∴ 的最大值为 1ln3.+ ……………………12分20．（本小题满分12分）“既要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A 与圆弧上的一点C （不同于A,B 两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点C 到点B 设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）. 设BAC θ∠= (弧度)，将绿化带总长度表示为θ的函数()S θ；试确定θ的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：l r α=⋅，其中α为弧所对的圆心角)【解析】 解:如图，连接,BC OC ，在直角三角形ABC 中，100,,AB BAC θ=∠= 所以100cos ,AC θ=由于22,BOC BAC θ∠=∠=则弧BC 的长为250100,l r αθθ=⋅=⋅=()22100cos 100200cos 100,0,2S AC l πθθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴=+=⋅+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……………6分（2）由（1）可知'()200sin 100S θθ=-+， 令()0,S θ'= 解得6πθ=,……………8分 当0,,()0,()6S S πθθθ'⎛⎫∈> ⎪⎝⎭单调递增，当,,()0,()62S S ππθθθ'⎛⎫∈< ⎪⎝⎭单调递减， ……………10分所以当6πθ=时, ()S θ有最大值. ……………12分21．（本小题满分12分）已知动圆M 过点1(2,0),F - 且动圆M 内切于定圆2F :22(2)32,x y -+= 记动圆M 圆心的轨迹为曲线Γ.A BCOθ(1)求曲线Γ的方程;(2)若A 、B 是曲线Γ上两点，点20,3P ⎛⎫⎪⎝⎭ 满足20,PF PA PB ++= 求直线AB 的方程.【解析】(1)由已知可得12124,MF MF F F +=>= 则点M 的轨迹是以1F 、2F 为焦点, 长轴长为2,a c == 因此曲线Γ的方程是221.84x y += ……………5分 (2)因为20PF PA PB ++=, 则点20,3P ⎛⎫⎪⎝⎭是2F AB ∆的重心, 易得直线AB 的斜率存在, 设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+,121212122020,,2,2333x x y y x x y y ++++∴==∴+=-+= ……………………7分 联立 22,184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消 y 得: ()222214280k x kmx m +++-= ()()()2222222216421288840,840k m k m k m k m ∴∆=-+-=-+>∴-+> 且 1224221kmx x k -+==-+①()1211122222y y kx m kx m k x x m k m ∴+=+++=++=-+=② ……………………10分由①②解得 13,,22k m == 则直线AB 的方程为 13,22y x =+ 即 230.x y -+=……………………12分（或者求AB 的中点坐标(-1,1)用点差法求AB 的斜率为12，由点斜式求直线AB 的方程.）22．（本小题满分12分） 已知函数()3(1)2ln .f x x x x =-- （1)求()f x 单调增区间;（2)当1x ≥时，()ln f x a x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(I)()12ln ,f x x '=- 令12()00,e ,f x x '⎛⎫>⇒∈ ⎪⎝⎭ 故()f x 单调增区间为120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭……………………5分(II)()3(1)2ln ln ,(1)0,g x x x x a x g =---= 要使()ln ,f x a x ≤ 即 ()0g x ≤.2ln (),x a x xg x x'--=……………………6分令()2ln ,()12ln ,(1)1h x x a x x h x x h a '=--=--=- ……………………7分 当1x ≥ 时,()0h x '≤恒成立，则()h x 在[1,)+∞单调递减.(1)当1a ≥时,()(1)0,()h x h g x ≤≤在(1,)+∞单调递减，故()(1)0,g x g ≤= 符合要求; (2)当(e,1)a ∈-时,(1)0,(e)e 0,()h h a h x >=--<单调递减，故存在0(1,e)x ∈使得()00,h x =则当()01,x x ∈时()0,()h x g x >单调递增，()g(1)0,g x >=不符合要求;(3)当(,e]a ∈-∞-时,1122e e 10,()a a h a h x --⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，故存在 1201,e ax -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00,h x = 则当()01,x x ∈ 时 ()0,()h x g x >单调递增，()g(1)0,g x >=不符合要求.综上1a ≥. ……………………12分。