2010届海淀区高三年级数学(理科)第一学期期末试题及答案

海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 （理科） 2010.1

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出

符合题目要求的一项.

1． 函数1(0)y x x x

=+

>的值域为

A ．[)2,+∞

B ．(2,)+∞

C ．(0,)+∞

D ．(][),22,-∞-+∞

2．如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为

A

． B ．6 C

．

D ．3

3．已知双曲线2

2

13

y

x -

=，那么它的焦点到渐近线的距离为

A ．1

B

． C ．3 D ．4

4．已知,m n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是

A ．//,//m βαβ

B ．,m βαβ⊥⊥

C ．,,m n n m αα⊥⊥⊄

D ．m 上有不同的两个点到α的距离相等

5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为

A ．

16

B ．

15

C ．1

3

D ．

25

6．如图，向量-a b 等于

A ．1224--e e

B ．1242--e e

C ．123-e e

D ．123-+e e

7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数

学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 A ．72种 B ．54种 C ．36种 D ．18种

8．点P 在曲线C ：

2

2

14

x

y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：4x =

于B 点，满足PA PB =或PA AB =，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是 A ．曲线.C .上的所有点都是“H 点” B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”

D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点”

第II 卷（共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.

9．若直线l 的参数方程为1 23x t t y t =+⎧⎨

=-⎩，

（为参数）

，

，则直线l 的斜率为_______________. 10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为

1

，

则输入的实数x 值为________________. 11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何

体的表面积为__________________.

12．设关于x 的不等式2*

2()x x nx n

-<∈N 的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和

为n S ，则100S 的值为_______________________.

正视图侧视图

俯视图

13．在区间[0,2]上任取两个数,a b ，那么函数22()f x x ax b =++无零点的概率为_________. 14．考虑以下数列{}n a ，*n N ∈：

① 21n a n n =++；② 21n a n =+；③ ln 1

n n a n =+.

其中满足性质“对任意正整数n ，

212

n n

n a a a +++≤都成立”的数列有 （写出满足

条件的所有序号）；若数列{}n a 满足上述性质，且11a =，2058a =，则10a 的最小值为 .

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15．（本小题满分13分）

在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3

a b c C π=，5b =，A B C ∆

的面积为（Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求sin()

6A π+

的值.

16．（本小题满分13分）

某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：

（Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分； （Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得

分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.

第一空得分情况

第二空得分情况

17． （本小题满分13分）

已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱BC ，AD 的中点.

（Ⅰ）求证：DE ∥平面PFB ； （Ⅱ）已知二面角P -BF -C

6

P -ABCD 的体积.

18.（本小题满分13分） 已知函数2

()1

x a f x x +=

+（其中a R ∈）.

（Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为12y x b

=+，求实数,a b 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间. 19．（本小题满分14分）

已知抛物线:W 2y ax =经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同直线12,l l .

（Ⅰ）求抛物线W 的方程及准线方程；

（Ⅱ）当直线1l 与抛物线W 相切时，求直线2l 与抛物线W 所围成封闭区域的面积； （Ⅲ）设直线12,l l 分别交抛物线W 于B ，C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆

与抛物线的准线相切，求直线BC 的方程.

20．（本小题满分14分）

给定项数为m *(,3)m N m ∈≥的数列{}n a ，其中{0,1}i a ∈(1,2,,)i m = .

若存在一个正整数(21)k k m ≤≤-，若数列{}n a 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的k 项恰好按次序对应相等，则称数列{}n a 是“k 阶可重复数列”，

A

B

E

C

P

D

F