2010届海淀区高三年级数学(理科)第一学期期末试题及答案

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北京市海淀区届高三上学期期末练习数学理试题含答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2015.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）抛物线22x y =-的焦点坐标是（）（A ）(1,0)-（B ）(1,0)（C ）1(0,)2-（D ）1(0,)2（2）如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z =（）A1-2Oyx（A ）34i --（B ）54i +（C ）54i -（D ）34i -（3）当向量(2,2)==-a c ，(1,0)=b 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（）（A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（4）已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=. 若12l l ⊥，则实数a 的值是（）（A ）0（B ）2或1-（C ）0或3-（D ）3-（5）设不等式组220,10,10x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为D . 则区域D 上的点到坐标原点的距离的最小值是（）（A ）1（B ）22（C ）12（D ）5（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（）344俯视图侧（左）视图正（主）视图（A ）234 （B ）12（C ）83（D ）62（7）某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31()(10)10V t H t =-（H 为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /h)v . 那么瞬时融化速度等于3(m /h)v 的时刻是图中的（）t 4t 3t 2100t 1tOV（A ）1t（B ）2t（C ）3t（D ）4t（8）已知点A 在曲线2:(0)P y x x =>上， A e 过原点O ，且与y 轴的另一个交点为M .若线段OM ,A e 和曲线P 上分别存在点B 、点C 和点D ，使得四边形ABCD （点,,,A B C D 顺时针排列）是正方形，则称点A 为曲线P 的“完美点”. 那么下列结论中正确的是（）（A ）曲线P 上不存在“完美点”（B ）曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1（C ）曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于12且小于1 （D ）曲线P 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试及答案

海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知=-=αα2cos ,53cos 则（）A ．257 B ．257-C ．2524D ．2524-2．已知抛物线的方程为y 2=4x ，则此抛物线的焦点坐标为（）A ．（－1，0）B ．（0，－1）C ．（1，0）D ．（0，1）3．设集合1,,},4,3,2,1{22=+∈=nym xA n m A 则方程表示焦点位于x 轴上的椭圆有（）A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个4．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题： ①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③5．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响.已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为（）A ．0.3B ．0.6C ．0.75D ．0.96．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐标是（） A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π7．已知向量),sin 3,cos 3(),sin ,cos 2(ββαα==b a 若向量a 与b 的夹角为60°，则直线 21)s i n ()c o s (021s i n c o s 22=++-=+-ββααy x y x 与圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且过圆心8．动点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上异于椭圆顶点（±a ，0）的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1、P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（）A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知双曲线1422=-xy，则其渐近线方程是，离心率e= .10．在复平面内，复数i z i z 32,121+=+=对应的点分别为A 、B 、O 为坐标原点，OB OA OP λ+=.若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是 .11．等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=. 12．已知正四棱锥P —ABCD 中，PA=2，AB=2，M 是侧棱PC 的中点，则异面直线PA 与BM 所成角大小为 .13．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C上，则平面区域C 1的面积为，|PQ|的最小值为 . 14．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在 DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行六面体表面所围成的几何体中较小体积值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c a C b c o s )2(c o s -=. （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行与x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量 ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1 （Ⅰ）求证：AM ⊥平面A 1BC ；（Ⅱ）求二面角B —AM —C 的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABM 的距离.18．（本小题共14分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a ＜2时，求函数]30[1)()(2，在区间---=ax x x f x g 的最小值.19．（本小题共14分）设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的焦点分别为F 1（－1，0）、F 2（1，0），右准线l 交x 轴于点A ，且.221AF AF =（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.20．（本小题共13分）已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意;4)1(,3)(],1,0[=≥∈f x f x ，且总有②若.3)()()(,1,0,021212121-+≥+≤+≥≥x f x f x x f x x x x 则有（Ⅰ）求f （0）的值；（Ⅱ）求证：4)(≤x f ；（Ⅲ）当33)(,...)3,2,1](31,31(1+<=∈-x x f n x n n时，试证明：.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案B C A D C B C A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．x y 2±=，（缺一扣1分）25 10．3121-<<-λ 11．－912．4π13．π48+，122- 14．92π三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………2分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ………………………………………3分 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………5分3π=B ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+==ac c a -+=∴227………………………………………………………………8分又ac c a c a 216)(222++==+3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），其距离为32 满足题意………………………………………1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方和为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分 1|2|12++-=∴kk ，43=k ，………………………………………………………4分故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设点M 的坐标为)0)(,(000≠y y x ，Q 点坐标为（x ，y ）则N 点坐标是),0(0y …7分,ON OM OQ +=2,)2,(),(0000y y x x y x y x ===∴即………………………………………………9分又)0(44,4222020≠=+∴=+y yx y x ……………………………………………11分∴Q 点的轨迹方程是)0(,116422≠=+y yx…………………………………………12分轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点. …………………………………13分注：多端点时，合计扣1分.17．（共13分）证明：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，易知面⊥11A ACC 面ABC ， ︒=∠90ACB ，11A A C C BC 面⊥∴，……………………………………………………………2分 11A A C C AM 面⊆ AM BC ⊥∴B BA BC BA AM =⊥11 ，且BC A AM 1平面⊥∴……………………………………………………………4分解：（Ⅱ）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（Ⅰ）可知AM ⊥OB ，且AM ⊥OC ，所以∠BOC 为二面角 B －AM －C 的平面角，…………………………5分在Rt △ACM 和Rt △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠AA 1C=∠MAC ∴Rt △ACM~ Rt △A 1AC ∴AC 2= MC ²AA 1 ∴26=MC ……………………………………7分∴在Rt △ACM 中，223=AMCO AM MC AC ⋅=⋅21211=∴CO∴在Rt △BCO 中，1tan ==COBC BOC .︒=∠∴45BOC ，故所求二面角的大小为45°………………………………9分（Ⅲ）设点C 到平面ABM 的距离为h ，易知2=BO ，可知2322232121=⨯⨯=⋅⋅=∆BO AM S ABM ……………………………10分A B C M A B M C V V --= ………………………………………………………………11分 A B C A B MS MC hS∆∆⋅=∴313122232326=⨯=⋅=∴∆∆A B MA B CS S MC h∴点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一…………………………4分（Ⅱ）如图以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A ，设 M （0，0，z 1） 1BA AM ⊥ .01=⋅∴BA AM 即06031=++-z ，故261=z ，所以)26,0,0(M …………………6分设向量m =（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m ⊥AM ，m ⊥AB ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AB m AM m 即,030263⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-y x z x 令x =1，平面AMB 的一个法向量为m =)2,3,1(，……………………………………………………………………8分显然向量CB 是平面AMC 的一个法向量22||||,cos =⋅⋅>=<CB m CB m CB m易知，m 与CB 所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为 45°. ………………………………………………………………………………9分（Ⅲ）所求距离为：2263||==⋅m CB m即点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）.1)2(212)1(2)('++=+-+=x x x x x x f …………………………2分由0)('>x f 得012>-<<-x x 或；由0)('<x f ，得.012<<--<x x 或又)(x f 定义域为（－1，+∞）∴所以函数f (x )的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（－1，0）…5分（Ⅱ）)1(212)(x n ax x x g +--=，定义域为（－1，+∞） 1)2(122)('+--=+--=x ax a x a x g ……………………………………………7分0202,20>->-∴<<aa a a 且由0)('>x g 得aa x ->2，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a a上单调递增；由0)('<x g 得aa x -<<-21，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛--a a2,1上单调递减…………8分 ①时 )(,320x g a a<-<在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 2,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-3,2a a 上单调递增； ∴在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ； (2)30<<a …10分②当)(,32,223x g aa a ≥-<≤时在（0，3）上单调递减，∴在区间[0，3]上，42136)3()(min n a g x g --==…………………………13分综上可知，当230<<a 时，在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ；当223<≤a 时，在区间[0，3]上42136)3()(min n a g x g --==.…14分19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意，),0,(,22||221a A C F F ∴==…………………………………2分212AF AF = 2F ∴为AF 1的中点……………………………………………3分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+yx……………………………………………………5分（Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==abDE ，此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .…7 分当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ∶)1(+=x k y ，代入椭圆方程，消去 y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x kkx x y x E y x D 则…………………………………8分所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-kkx x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||kk x x kDE ++=-+=，同理，.32)11(34)1(32)1)1((34||2222kkkkMN ++=-++-=………………………………10分所以，四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||kkkk MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=kkkk ，…………………………………12分令uuu S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得因为,2122≥+=kk u当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S .综上可知，四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596.…………………14分20．（共13分）解：（Ⅰ）令021==x x ，由①对于任意]1,0[∈x ，总有3)0(,3)(≥∴≥f x f ……………………………1分又由②得 3)0(,3)0(2)0(≤-≥f f f 即；……………………………………2分 .3)0(=∴f …………………………………………………………………………3分证明：（Ⅱ）任取2121]1,0[,x x x x <∈且设，则3)()()]([)(1211212--+≥-+=x x f x f x x x f x f ，因为1012≤-<x x ，所以03)(,3)(1212≥--≥-x x f x x f 即，).()(21x f x f ≤∴………………………………………………………………5分 .4)1()(,]1,0[=≤∈∴f x f x 时当……………………………………………7分（Ⅲ）先用数学归纳法证明：)(331)31(*11N n f n n ∈+≤-- （1）当n =1时，331314)1()31(+=+===f f ，不等式成立；（2）假设当n=k 时，)(331)31(*11N k f k k ∈+≤--由6)31()31()31(3)3131()31()]3131(31[)31(1-++≥-++≥++=-kkkkkkkkkk f f f f f f f得≤)31(3kf 9316)31(11+≤+--k k f331)31(+≤∴kkf即当n=k+1时，不等式成立. 由（1）（2）可知，不等式331)31(+≤∴kkf 对一切正整数都成立.于是，当)31(331331333,...)3,2,1](31,31(111---≥+=+⨯>+=∈n n nn nf x n x 时，，而x ∈[0，1]，f （x ）单调递增)31()31(1-<∴n nf f 所以33)31()31(1+<<∴-x f f n n……………………………………13分。

2010年北京海淀区高考一模试题：数学(理)

2010年北京海淀区高考一模试题：数学（理）一、选择题（共7小题；共35分）1. 一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为______A. B. C. D.2. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在四边形中，，且，则四边形是 ______A. 矩形B. 菱形C. 直角梯形D. 等腰梯形4. 在平面直角坐标系中，点的直角坐标为．若以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是______A. B. C. D.5. 已知等差数列，，，等比数列，，，则该等差数列的公差为______A. 或B. 或C.D.6. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是______A. B. C. D.7. 已知数列：，，，具有性质：对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：①数列，，具有性质；②数列，，，具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列，，具有性质，则．其中真命题有______A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（共2小题；共10分）8. 给定下列四个命题：① " "是" "的充分不必要条件；②若" "为真，则" "为真；③若，则；④若集合，则．其中为真命题的是______（填上所有正确命题的序号）．9. 在二项式的展开式中，的系数是，则实数的值为______．三、解答题（共5小题；共65分）10. 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在区域返券元；停在区域返券元；停在区域不返券．例如：消费元，可转动转盘次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）若某位顾客消费元，求返券金额不低于元的概率；（2）若某位顾客恰好消费元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）．求随机变量的分布列和数学期望．11. 如图，三棱柱中，侧面底面，，，且，为中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置．12. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．13. 已知函数其中为常数，且．（1）当时，求在上的值域；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．14. 已知数列满足：，为偶数为奇数（1）求的值；（2）设，试求数列的通项公式；（3）对于任意的正整数，试讨论与的大小关系．四、选择题（共1小题；共5分）15. 在同一坐标系中画出函数，，的图象，可能正确的是______A. B.C. D.五、填空题（共3小题；共15分）16. 某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这名同学中学习时间在小时内的人数为______．17. 已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是______．18. 在平面直角坐标系中，点集，，则（1）点集所表示的区域的面积为______；（2）点集所表示的区域的面积为______．六、解答题（共1小题；共13分）19. 已知函数的图象如图所示．（1）求，的值；（2）设，求函数的单调递增区间．答案第一部分1. A2. C3. B4. C5. C6. A7. B第二部分8. ①④9.第三部分10. （1）若返券金额不低于元，则指针落在或区域．因为所以消费元的顾客，返券金额不低于元的概率是．（2）由题意得，该顾客可转动转盘次．随机变量的可能值为，则所以，随机变量的分布列为：其数学期望11. （1）因为，且为的中点，所以．又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面．（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．由题意可知，，又，∴．所以得，，，，，，则有：，，．设平面的一个法向量为，则有令得，．所以．．因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以．（3）设，，即，得所以，得令平面，得，即，得，即存在这样的点，为的中点．12. （1）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆两焦点坐标分别为，．所以所以，又，，故椭圆的方程为．（2）当直线轴，计算得到：，，，不符合题意．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，消去得显然成立，设，，则又圆的半径．所以化简，得，即，解得．所以，．故圆的方程为：．13. （1）当时，得令，即，解得，所以函数在上为增函数，据此，函数在上为增函数，而，，所以函数在上的值域为（2）由令，得即当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；若，即，易得函数在上为增函数，此时，，要使对恒成立，只需即可，所以有，即而，即，所以此时无解．若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，要使对恒成立，只需，即，由和得．若，即，易得函数在上为减函数，此时，，要使对恒成立，只需即可，所以有，即，又因为，所以．综合上述，实数的取值范围是14. （1）∵，，，，∴；；．（2）由题设，对于任意的正整数，都有：∴．∴数列是以为首项，为公差的等差数列．（3）对于任意的正整数，当或时，；当时，；当时，证明如下：首先，由可知时，；其次，对于任意的正整数，时，；时所以，时，事实上，我们可以证明：对于任意正整数，（*）（证明见后），所以，此时，综上可知：结论得证．对于任意正整数，（*）的证明如下：①当（）时，，满足（*）式．②当时，，满足（*）式．③当时，于是，只须证明，如此递推，可归结为①或②的情形，于是（*）得证．第四部分15. D第五部分16.17.18. ；第六部分19. （1）由图象，得则由图象过点，得因为，所以（2）由（1）得从而当即时，函数单调递增．因此，函数的单调增区间为。

北京市海淀区高三上学期期末考试理科数学试卷

北京市海淀区高三上学期期末考试理科数学试卷一 . 选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项）（ 1）已知 sin1，那么 cos 的值为（）2A .1 B.1C.3 D.3 2222（2）过点 A （ 4， a ）和点 B （ 5，b ）的直线与直线 y ＝ x ＋m 平行，则 |AB| 的值为（）A . 6B.2C. 2D. 不可以确立（ 3）函数 f ( x) 3cos2x4 sin x cosx 的最小正周期为（）A .B. 2C.D. 24（ 4）已知 |a| 1， |b| 2， c a b ， c ⊥ a ，则 a 与 b 夹角大小为（）A .B.5C.D.2663 3（5）已知 m 、 n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，给出以下四个命题①若 m ⊥ ， m ⊥ ，则 ∥②若 m， n ， m ∥ n ，则 ∥③若 m ∥ n ， m ⊥ ，则 n ⊥④若 m ⊥ ， m，则 ⊥此中正确命题的个数为（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个（ 6）将函数 ysin x3 cosx 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（ a 0），所得图象对于 y 轴对称，则 a 的最小值为（） A .7B.C.D.6 263（ 7 ）一个三棱锥 S — ABC 的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两相互垂直，且长度分别为 1、 6、 3。

已知该三棱锥的四个极点都在一个球面上，则这个球的表面积为（）A.16B. 32C. 36D. 641 1（8）已知曲线 C： x 2 y 2 1，给出以下四个命题：①曲线 C与两坐标轴围成的图形面积不大于12②曲线 C上的点到原点的距离的最小值为24③曲线 C对于点（1，1）中心对称44④当 x 0， 1时，曲线 C上全部点处的切线斜率为负值此中正确命题个数为（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二 . 填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

北京市海淀区高三第一学期期末考试数学(理科)共10页word资料

北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U ，A B ⊆，那么下列结论中可能不成立的是（）（A ）AB A = （B ）A B B =（C ）()U A B ≠∅ð （D ）()U B A =∅ð（2）抛物线22y x =的准线方程为（）（A ）18y =-（B ）14y =- （C ）12y =- （D ）1y =- （3）将函数cos 2y x =的图象按向量(,1)4a π=平移后得到函数()f x 的图象，那么（）（A ）()sin 21f x x =-+ （B ）()sin 21f x x =+ （C ）()sin 21f x x =-- （D ）()sin 21f x x =- （4）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a c 3=，30B =?，那么角C 等于（）（A ）120° （B ）105° （C ）90° （D ）75° （5）位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90︒，且A 、B 两地间的球面距离为3R π（R 为地球半径），那么x 等于（）（A ）30 （B ） 45 （C ） 60 （D ）75 （6）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的R x Î都有1(1)()22f x f x +=-+恒成立，且1()12f =，则(62)f 等于（）（A ）1 （B ） 62 （C ） 64 （D ）83（7）已知{},1,2,3,4,5αβÎ，那么使得sin cos 0αβ?的数对(),αβ共有（）(A) 9个 (B) 11个 (C) 12个 (D) 13个（8）如果对于空间任意()2n n ³条直线总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n （）（A ）最大值为3 （B ）最大值为4 （C ）最大值为5 （D ）不存在最大值二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. （9）22462limnnn ++++= .（10）如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî，，那么()2f f 轾=臌；不等式()1212f x -?的解集是 .（11）已知点1F 、2F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，若12PF F ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为_____________.（12）若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .（13）已知直线0=++m y x 与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，||||OA OB AB +?，那么实数m 的取值范围是 .（14）已知：对于给定的*q N Î及映射*:,N f AB B．若集合C A Í，且C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集． ① 对于2q =，{},,A a b c =，映射:1,f x x A ，那么集合A 的所有好子集的个数为；② 对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,A π=，映射:f A B ®的对应关系如下表：x12 3 4 5 6π()f x1 1 1 1 1yz若当且仅当C 中含有π和至少A 中2个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的数组(),,q y z ：．三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知函数22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++---. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在25,1236ππ轾犏-犏臌上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值. （16）（本小题共12分）已知函数)(x g 是2()(0)f x x x =>的反函数，点),(00y x M 、),(00x y N 分别是)(x f 、)(x g 图象上的点，1l 、2l 分别是函数)(x f 、)(x g 的图象在N M ,两点处的切线，且1l ∥2l ．（Ⅰ）求M 、N 两点的坐标；（Ⅱ）求经过原点O 及M 、N 的圆的方程．（17）（本小题共14分）已知正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱AB的中点，11,BC AA ==.（Ⅰ）求证：//1BC 平面DC A 1；（Ⅱ）求1C 到平面1A DC 的距离；（Ⅲ）求二面角1D AC A --的大小.（18）（本小题共14分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关. 若1≤T ，则销售利润为0元；若31≤<T ，则销售利润为100元；若3>T ，则销售利润为200元. 设每台该种电器的无故障使用时间1≤T ，31≤<T 及3>T 这三种情况发生的概率分别为321,,p p p ，又知21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根，且32p p =.（Ⅰ）求321,,p p p 的值；（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列；（Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值. （19）（本小题共14分）已知点()0,1A 、()0,1B -，P 是一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设()2,0Q ，过点()1,0-的直线l 交C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式tan S MQN λ≤恒成立，求λ的最小值. （20）（本小题共14分）如果正数数列{}n a 满足：对任意的正数M ，都存在正整数0n ，使得0n a M >，则称数列{}n a 是一个无界正数列．（Ⅰ）若()32s i n ()1,2,3,n a n n =+=， 1, 1,3,5,,1, 2,4,6,,2n n nb n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎩分别判断数列{}n a 、{}n b 是D C 1B 1A 1CBA否为无界正数列，并说明理由；（Ⅱ）若2n a n =+，是否存在正整数k ，使得对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立；（Ⅲ）若数列{}n a 是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m ，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 2009.01一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）CABAB DDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）1 （10）1，[0,1] （111（12）94（13）(2,[2,2)- （14） 4，(5,1,3) 三、解答题（本大题共6小题,共80分） (15)（本小题共12分）解：（Ⅰ）22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++-- 2sin(2)6x π=- ………………………………………………4分所以22T ππ==. ………………………………………………5分由()3222262Z k x k k πππππ+???得所以函数)(x f 的最小正周期为π，单调递减区间为5[,]36k k ππππ++()k ∈Z .………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）有()2sin(2)6f x x π=-.因为25,1236x ππ轾犏?犏臌，所以112,639x πππ轾犏-?犏臌. 因为411sin()sin sin 339πππ-=<，所以当12x π=-时，函数)(x f取得最小值-3x π=时，函数)(x f 取得最大值2.………………………………………………12分（16）（本小题共12分）解：（Ⅰ）因为2()(0)f x x x =>，所以()0)g x x =>.从而,2)(x x f ='()g x ¢=. ………………………………………………3分所以切线21,l l 的斜率分别为,2)(001x x f k ='=00221)(y y g k ='=.又2000(0)y x x =>，所以2012k x =. ………………………………………………4分因为两切线21,l l 平行，所以21k k =. ………………………………………………5分从而20(2)1x =.因为00x >，所以012x =. 所以N M ,两点的坐标分别为)21,41(),41,21(. ………………………………………7分（Ⅱ）设过O 、M 、N 三点的圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.因为圆过原点，所以0F =.因为M 、N 关于直线y x =对称，所以圆心在直线y x =上. 所以D E =.又因为11(,)24M 在圆上，所以512D E ==-. 所以过O 、M 、N 三点的圆的方程为：225501212x y x y +--=. ………………12分（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG .在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形， ∴DG ∥1BC . ………………………………………2分∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC .………………………………………4分解法一：（Ⅱ）连结1DC ，设1C 到平面1A DC 的距离为h .∵四边形11ACC A 是平行四边形，∴1118C A CD V -=. ………………………………………6分在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点， ∵AD 是1A D 在平面ABC 内的射影，∴1CD A D ^. ………………………………………8分∴111313C A DC A DCV h S -∆==. ………………………………………9分（Ⅲ）过点D 作DE AC ⊥交AC 于E ，过点D 作1DF A C ⊥交1A C 于F ，连结EF .∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，DE ⊂平面ABC ，平面ABC平面11ACC A AC =，∴DE ⊥平面11ACC A .∴EF 是DF 在平面11ACC A 内的射影.∴DFE Ð是二面角1D AC A --的平面角. ………………………………………12分在直角三角形ADC中，AD DC DE AC ×==同理可求：118A D DC DF AC ×==.∴DFE ?………………………………………14分解法二：过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作F ED C 1B 1A 1CBAOE BC ⊥交11B C 于E .因为平面ABC ⊥平面11CBB C ，所以AO ⊥平面11CBB C .分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为11,BC AA ==，ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC 的中点.则()0,0,0O ，A ⎛ ⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1A ⎛ ⎝⎭，1(4D ，112C ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………6分（Ⅱ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则取x =1A DC 的一个法向量为()3,1,3n =-. ………………………………………8分∴1C 到平面1A DC 的距离为：13913CC n n⋅=………………………………………10分 (Ⅲ)解：同（Ⅱ）可求平面1ACA 的一个法向量为()13,0,1n =-. …………………………12分设二面角1D AC A --的大小为θ，则1cos cos ,n n θ=<>=∴θ=. ………………………………………14分（18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知得1321=++p p p .21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根, ∴511=p ,5232==p p . ………………………………………3分（Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400. ………………………………………4分()400=ξP =2545252=⨯. ………………………………………9分随机变量ξ的分布列为：ξ 0 100 200 300 400P251 254 258 258 254………………………………………11分（Ⅲ）销售利润总和的平均值为E ξ=2544002583002582002541002510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=240. ∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.………………………………………14分注：只求出E ξ，没有说明平均值为240元，扣1分. （19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(),x y ，则直线,PA PB 的斜率分别是11,y y x x-+. 由条件得1112y y x x-+?-. 即()22102x y x +=?. 所以动点P 的轨迹C 的方程为()22102x y x +=?. ………………………………………5分注：无0x ¹扣1分. （Ⅱ）设点,M N 的坐标分别是()()1122,,,x y x y .当直线l 垂直于x 轴时，21212111,,2x x y y y ==-=-=. 所以()()()1122112,,2,2,QM x y QN x y x y =-=-=--. 所以()22111722QM QNx y ?--=. ………………………………………7分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为()1y k x =+,由221,2(1)x y y k x ìïï+=ïíïï=+ïî得()2222124220k x k x k +++-=. 所以 2122, 21422212221k k x x k k x x +-=+-=+. ………………………………………9分所以()()()12121212122224QM QNx x y y x x x x y y ?--+=-+++.因为()()11221,1y k x y k x =+=+，所以()()()()2221212217131712422212QM QNk x x k x x k k ?++-+++=-<+.综上所述⋅的最大值是217. ………………………………………11分因为tan S MQN λ≤恒成立,即1sin ||||sin 2cos MQN QM QN MQN MQNλ⋅≤恒成立. 由于()2171302212QM QNk ?->+. 所以cos 0MQN >.所以2QM QN λ⋅≤恒成立. ………………………………………13分所以λ的最小值为174. ………………………………………14分注：没有判断MQN Ð为锐角，扣1分. （20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）{}n a 不是无界正数列．理由如下：取M = 5，显然32sin()5n a n =+≤，不存在正整数0n 满足05n a >；{}n b 是无界正数列．理由如下：对任意的正数M ，取0n 为大于2M 的一个偶数，有0012122n n M b M ++=>>，所以{}n b 是无界正数列． ………………………………………4分（Ⅱ）存在满足题意的正整数k .理由如下：当3n ³时，因为12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即取3k =，对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立. ……………………9分注：k 为大于或等于3的整数即可.（Ⅲ）证明：因为数列{}n a 是单调递增的正数列，所以12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即12123111n n n a a a a n a a a a +++++<-+. 因为{}n a 是无界正数列，取12M a =，由定义知存在正整数1n ，使1112n a a +>. 所以1112123112n n a a a n a a a ++++<-.由定义可知{}n a 是无穷数列，考察数列11n a +，12n a +，13n a +，…，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数2n ，使得()112112122123112n n n n n n a a a n n a a a ++++++++<--.重复上述操作，直到确定相应的正整数4018n .则401840181212140184017231111222n n a a a n n n n n a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<-+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即存在正整数4018m n =，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<成立. ………………………………………14分。

2010年高考《数学(理科)》试题及参考答案(北京卷)

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合=-====-P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( )A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．π1213B ．π127 C ．π125 D ．－π1254．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( ) A ．54 B ．45 C ．43 D ．345．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+>+b a byax y b x a 与的曲线大致是( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径xyxy xyxyOOOOABCD6．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( )A ．C A sin sin <B ．C A cos cos <C ．tgC tgA <D ．ctgC ctgA <7．椭圆ϕϕϕ(sin 3,cos 54⎩⎨⎧=+=y x 为参数）的焦点坐标为( ) A ．（0，0），（0，－8） B ．（0，0），（－8，0）C ．（0，0），（0，8）D ．（0，0），（8，0）8．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A ．42B ．30C ．20D ．1210．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在11．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于( )A ．8B ．2C ．－4D ．－812．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0=+==y x y x ，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是( ) A ．95B ．91C ．88D ．752003年普通高等学校春季招生考试A B CDEFG H JL数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题号二三总分 17 18 19 20 21 22 分数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则=rR14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱毫米） 110 115 120 125 130 135 （）145 舒张压（水银柱毫米） 70 73 75 78 80 83 （）8815．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by ax 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是16．若存在常数0>p ，使得函数 =)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x p px f 则∈-的一个正周期为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式：.1)1(log)2(log 21221-->--x x x18．（本小题满分12分）rr↑↓（1）（2）xyOPF 1F已知函数)(,2cos 4sin 5cos6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点， EF ∩BD=G .（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；（Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ；（Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .ABCD EFGB 1C 1D 1A 120．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列；（Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.ABCO 1O 222．（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线1l相切，点C在l上.x:-=（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．332 14．（140）（85） 15．32 16．2p 注：填2p 的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式变形为)22(log)2(log21221->--x x x .所以，原不等式3230,203,01,0)1)(2(22201,02222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x .故原不等式的解集为}32|{<<x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得.所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos 6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1c o s 32c o s )1c o s 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）证法一：连结AC.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，故EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又 EF ⊥D 1D∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. （Ⅱ）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H.∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H.解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H. ∵422221111=⋅==B A B D ，,174144sin sin 2211111=+==∠=∠GB B B GB B H B D∴.17171617441=⋅==H D d 解法二：∵△D 1HB 1～△B 1BG ， ∴GB B D BB H D 11111=，∴.1717161442221211=+===GB B B H D d解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半，即21112121B B H D G B =⋅⋅， .1717161211===∴GB BB H D d（Ⅲ）EF B EF B D EFD B S d V V V 1111131∆--⋅⋅===.31617221171631=⋅⋅⋅⋅=20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为50503000)150)(503000100()(⨯-----=x x x x f ，整理得307050)4050(5012100016250)(22+--=-+-=x x xx f BO n-1O nACABCDEFG B 1C 1D 1A 1B 1BG DD 1HB 1BG DD 1H所以，当x =4050时，)(x f 最大，最大值为307050)4050(=f ，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. （Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，则,633021l tg l r =︒=.2130sin 11=︒=+---nn n n r r r r所以,12),2(3122111lra n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列.（Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为x y 42=.（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=xy x y x y 4)1(3)1(32由消y 得.3,31,03103212===+-x x x x 解得所以A 点坐标为)332,31(，B 点坐标为（3，32-），.3162||21=++=x x AB假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131(,)316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.① ② )332,31()32,3(-xy 42=l32-332xyA OB P(1,0)-1因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得，即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y . 又2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB .当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ，即CAB y ∠>,392时为钝角.当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即CBA y ∠-<时3310为钝角.又222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y ++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二：以AB 为直径的圆的方程为222)38()332()35(=++-y x . 圆心)332,35(-到直线1:-=x l 的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )332,1(--.当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点A 且与AB 垂直的直线方程为9321).31(33332=-=-=-y x x y 得令.过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(3332-=+x y . 令33101-=-=y x 得.又由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是).32(9323310≠>-<y y y 或。

2010北京高考理科数学试题及答案

。
（ 12 ）如图， e O 的弦 ED ， CB 的延长线交于点 A 。若 BD ⊥ AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则 DE＝（ 13 ）已知双曲线；CE＝。
x2 y 2 − = 1的离心率为 2 ，焦点与椭圆 a 2 b2
χ2 γ2 + = 1 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 25 9
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（C）一个圆和一条射线
（D）一条直线和一条射线
( xb − a ) 为一次函数”的（6）a、b 为非零向量。“ a ⊥ b ”是“函数 f ( x ) = ( xa + b )g
（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（B）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件
所以 CF g BE = 0 − 1 + 1 = 0 , CF gDE = − 1 + 0 + 1 = 0 所以 CF ⊥ BE , CF ⊥ DE . 所以 CF ⊥ BDE. (III) 由（II）知， CF = (
uuu r uuu r
uuu r
2 2 , ,1) 是平面 BDE 的一个法向量. 2 2 uuu r uuu r
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共 13 分）已知函数 f (x) = 2 cos 2 x + sin 2 x − 4 cos x 。（Ⅰ）求 f = ( ) 的值；（Ⅱ）求 f (x) 的最大值和最小值。
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海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2010.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．函数1(0)y x x x=+>的值域为A ．[)2,+∞B ．(2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(][),22,-∞-+∞2．如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为A． B ．6 C．D ．33．已知双曲线2213yx -=，那么它的焦点到渐近线的距离为 A ．1BC ．3D ．44．已知,m n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是A ．//,//m βαβB ．,m βαβ⊥⊥C ．,,m n n m αα⊥⊥⊄D ．m 上有不同的两个点到α的距离相等5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为A ．16 B ．15C ．13D ．256．如图，向量-a b 等于 A ．1224--e e B ．1242--e e C ．123-e eD ．123-+e e7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 A ．72种 B ．54种 C ．36种 D ．18种8．点P 在曲线C ：2214x y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：4x =于B 点，满足PA PB =或PA AB =，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是 A ．曲线.C .上的所有点都是“H 点” B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点”第II 卷（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．若直线l 的参数方程为1 23x t t y t =+⎧⎨=-⎩，（为参数），，则直线l 的斜率为_______________.10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为1，则输入的实数x 值为________________. 11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为__________________.12．设关于x 的不等式2*2()x x nx n -<∈N 的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S的值为_______________________.13．在区间[0,2]上任取两个数,a b ，那么函数22()f x x ax b =++无零点的概率为_________. 14．考虑以下数列{}n a ，*n N ∈：① 21n a n n =++；② 21n a n =+；③ ln 1n na n =+. 其中满足性质“对任意正整数n ，212n nn a a a +++≤都成立”的数列有（写出满足条件的所有序号）；若数列{}n a 满足上述性质，且11a =，2058a =，则10a 的最小值为 .正视图侧视图俯视图三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c C π=，5b =，ABC ∆的面积为（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求sin()6A π+的值.16．（本小题满分13分）某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：（Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分；（Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.17．（本小题满分13分）已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱BC ，AD 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面PFB ；（Ⅱ）已知二面角P -BF -CP -ABCD 的体积.第一空得分情况第二空得分情况ABECPD F18.（本小题满分13分）已知函数2()1x af x x +=+（其中a R ∈）.（Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为12y x b =+，求实数,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19．（本小题满分14分）已知抛物线:W 2y ax =经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同直线12,l l . （Ⅰ）求抛物线W 的方程及准线方程；（Ⅱ）当直线1l 与抛物线W 相切时，求直线2l 与抛物线W 所围成封闭区域的面积；（Ⅲ）设直线12,l l 分别交抛物线W 于B ，C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC 的方程.20．（本小题满分14分）给定项数为m *(,3)m N m ∈≥的数列{}n a ，其中{0,1}i a ∈(1,2,,)i m = .若存在一个正整数(21)k k m ≤≤-，若数列{}n a 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的k 项恰好按次序对应相等，则称数列{}n a 是“k 阶可重复数列”，例如数列{}n a0,1,1,0,1,1,0.因为1234,,,a a a a 与4567,,,a a a a 按次序对应相等，所以数列{}n a 是“4阶可重复数列”. （Ⅰ）分别判断下列数列①{}:0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0.n b ②{}:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.n c 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若数为m 的数列{}n a 一定是 “3阶可重复数列”，则m 的最小值是多少？说明理由；（III ）假设数列{}n a 不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且41a =，求数列{}n a 的最后一项m a 的值.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准 2010．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．3- 10．34 11．2412π+ 12．10100 13．3414．②③;28 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）[来源:Z,xx,] 解：（Ⅰ）由已知，3C π=，5b =，因为 1s i n 2ABC S ab C ∆= ，即 115s i n23a π⋅ ， ………………..1分解得 8a = .………………..3分由余弦定理可得:2642580cos493c π=+-=, ………………..5分所以 7c =. ………………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）有4925641cos 707A +-==,………………..9分由于A 是三角形的内角，易知 sin A = ………………..10分所以 s i n ()s i nc o sc o s s i n666A A A πππ+=+ ………………..11分1172=+⨯1314= . ………………..13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为x ，则由表中数据可得: 01983802069823023.011000x ⨯+⨯+⨯+⨯== ，……………….4分据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.……………….5分（Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，……………….7分记“第一空答对”为事件A ，“第二空答对”为事件B ，则“第一空答错”为事件A ， “第二空答错”为事件B .若要第一空得分不低于第二空得分，则A 发生或A 与B 同时发生，……………….9分故有： ()()0.80.20.70.94P A P A B +⋅=+⨯= .……………….12分答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94. ……………….13分[来源:学科网]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为E ，F 分别为正方形ABCD 的两边BC ，AD 的中点，所以BE FD ∥,所以，BEDF 为平行四边形,……………….2分得//ED FB ，……………….3分又因为FB ⊂平面PFB ，且ED ⊄平面PFB ,……………….4分所以DE ∥平面PFB .……………….5分（Ⅱ）如图，以D 为原点，射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设PD =a , 可得如下点的坐标：P (0,0,a ),F (1,0,0),B (2,2,0) 则有：(1,0,),(1,2,0),PF a FB =-=因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m ，设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则可得=0PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩n n 即 0+2=0x a zx y -=⎧⎨⎩令x =1,得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n .……………….9分由已知，二面角P-BF-C:1cos<,>||||⋅===m nm nm n, ……………….10分解得a =2. ……………….11分因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为182433P ABCDV-=⨯⨯=. ……………….13分18.（本小题满分13分）解：由2()1x af xx+=+，可得222()(1)x x af xx+-'=+. ……………….2分（Ⅰ）因为函数()f x在点(1,(1))f处的切线为12y x b=+，得:1(1)21(1)2ff b⎧'=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……………….4分解得112ab=⎧⎪⎨=⎪⎩……………….5分（Ⅱ）令()0f x'>，得220x x a+->…①……………….6分当440a∆=+≤，即1a≤-时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞. ……………….8分当440a∆=+>，即1a>-时，不等式①的解为1x>-+或1x<-……………….10分又因为1x≠-，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-和(1)-++∞，单调递减区间为(11)--和(1,1--..……………….12分所以，当1a≤-时，函数()f x的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞；当1a>-时，函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-和(1)-+∞，单调递减区间为(11)--和(1,1--. .……………….13分解：（Ⅰ）由于A (2,1)在抛物线2y ax =上，所以 14a =，即14a =. ……………….2分故所求抛物线的方程为214y x =，其准线方程为1y =-. ……………….3分（Ⅱ）当直线1l 与抛物线相切时，由21x y ='=，可知直线1l 的斜率为1，其倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为135︒，故直线2l 的斜率为1-，所以2l 的方程为3y x =-+ …….4分将其代入抛物线的方程214y x =，得 24120x x +-=, 解得 122,6x x ==-, …….5分所以直线2l 与抛物线所围成封闭区域的面积为:2222266611(3)d d (3)d 44x x x x x x x ----+-=-+-⎰⎰⎰……………….6分223611(3)212x x x -=-+-643=……………….8分（Ⅲ）不妨设直线AB 的方程为1(2) (0)y k x k -=->，……………….9分由21(2)14y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩ 得24840x kx k -+-=, ……………….10分易知该方程有一个根为2，所以另一个根为42k -，所以点B 的坐标为2(42,441)k k k --+, 同理可得C 点坐标为2(42,441)k k k --++,……………….11分所以||BC=, ……………….12分线段BC 的中点为2(2,41)k -+，因为以BC 为直径的圆与准线1y =-相切，所以241(1)2k +--=,由于0k >，解得k =. …………….13分此时，点B的坐标为2,3-，点C的坐标为(2,3-+，直线BC1=-，所以，BC的方程为(3[2)]y x --=--，即10x y +-=. …….14分解：（Ⅰ）记数列①为{}n b ，因为23456,,,,b b b b b 与678910,,,,b b b b b 按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;记数列②为{}n c ，因为12345,,,,c c c c c 、23456,,,,c c c c c 、34567,,,,c c c c c 、45678,,,,c c c c c 、 56789,,,,c c c c c 、678910,,,,c c c c c 没有完全相同的，所以{}n c 不是“5阶可重复数列”.……………….3分（Ⅱ）因为数列{}n a 的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有328=种不同的情形.若m ＝11，则数列{}n a 中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”；若m ＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则310m ≤<时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{}n a .所以，要使数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”，则m 的最小值是11. ……………….8分（III ）由于数列{}n a 在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{}n a 的末项m a 后再添加一项01或，则存在i j ≠，使得1234,,,,i i i i i a a a a a ++++与321,,,,0m m m m a a a a ---按次序对应相等，或1234,,,,j j j j j a a a a a ++++与321,,,,1m m m m a a a a ---按次序对应相等，如果1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---不能按次序对应相等，那么必有2,4i j m ≤≤-，i j ≠，使得123,,,i i i i a a a a +++、123,,,j j j j a a a a +++与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等.此时考虑11,i j a a --和4m a -，其中必有两个相同，这就导致数列{}n a 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{}n a 是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{}n a 不是“5阶可重复数列”矛盾！所以1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等，从而4 1.m a a ==……………….14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

2010年高考北京卷理科数学试题及答案解析

2 A （ 2 ， 2 ，0）， D （ 2， 0， 0），E（0， 0， 1），F（ 2 ， 2 2 2 �� 2 ，1）。所以 CF =（ 2 ， 2 ，1）， BE =（0，－ 2 ， �� 2 CF DE １），＝（－，0 ，１）。所以 · BE = 0-1+1=0， �� CF · DE =－１＋０＋１＝０。所以 CF⊥BE，CF⊥DE，所以 CF⊥平面 BDE 2 2 �� （III）由（ II）知， CF =（ 2 ， 2 ，1），是平面 BDE 的一个法向量，设平面 ABE 的 � � �� 法向量 n =（x,y,z）,则 n · BA =0， n · BE =0。 ⎧ ⎪ ( x , y , z ) ⋅ ( 2, 0, 0) = 0 ⎨ ⎩( x, y, z ) ⋅ (0, − 2,1) = 0 即⎪ � �� 0,1, 2 2 2 n CF 所以 x=0 ，且 z= y 。令 y=1 ，则 z= 。所以 n= （），从而 cos（，） � �� n ⋅ CF 3 � �� = 2 n ⋅ CF
www. @ k s @5 u . c o m
2i 对应的点的坐标为 1− i
。
2π ，则 a = 3
。
3 sin C 1 π π sin B = ⋅ b = 2 ×1 = B = , A= = B c 2 3 6 6 解析：，因此，故 a = b = 1 （11）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知 a＝。若要从身高在[ 120 , 130），

2010年北京高考数学(理科)试题与答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）集合2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3}（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程（ρ-1）（θπ-）=0（ρ≥0）表示的图形是（A ）两个圆（B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线（D ）一条直线和一条射线（6）若a ,b 是非零向量，“a ⊥b ”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞](8)如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2010届海淀区高三年级数学(理科)第一学期期中试题及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学 (理科) 2009.11本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,第I 卷1至2页,第II 卷3至9页,共150分.考试时间120分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷(选择题共40分)注意事项：1.答卷前将学校、班级、姓名填写清楚.2.选择题的每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知全集U 为实数集，{}}{220,1A x x x Bx x =-<=≥，则U A B ð= （）A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x <D ．∅ 2．命题“0>∀x ，都有02≤-x x ”的否定是（）A. 0>∃x ，使得02≤-x x B. 0>∃x ，使得02>-x x C. 0>∀x ，都有02>-x x D. 0≤∀x ，都有02>-x x3．已知等差数列{}n a 中，10795=-+a a a ，记n n a a a S +++= 21，则13S 的值为（） A ．130B ．260C ．156D ．1684．已知α是第四象限角，5tan()12πα-=，则sin α=（）A ．15B ．15-C ．513D ．513-5．已知向量a =（1，k ），=b （2，1），若a 与b 的夹角大小为︒90，则实数k 的值为（） A ．12-B ．12C ．2-D ．26．函数1()()sin 2xf x x =-在区间［0，π2］上的零点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为（）A ．)5()1()3(ππf f f >>- B ．)5()3()1(ππf f f >->C ．)3()1()5(ππ->>f f f D ．)1()5()3(f f f >>-ππ8．对于定义域为R 的函数()f x ，给出下列命题：①若函数()f x 满足条件(1)(1)2f x f x -+-=，则函数()f x 的图象关于点（0，1）对称； ②若函数()f x 满足条件(1)(1)f x f x -=-，则函数()f x 的图象关于y 轴对称； ③在同一坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-其图象关于直线1x =对称； ④在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-其图象关于y 轴对称. 其中，真命题的个数是（）A ．1 B. 2 C. 3 D. 4第II 卷(共110分)注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．若点(2,在幂函数)(x f y =的图象上，则()f x = .10．计算=+⎰ex xx 1d )12( .11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 若a =4c =，60A =，则b =__________．12．把函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移ϕ(0)ϕ>个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值是 .13. 已知函数2 1()(2) 1ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 .14．已知数列{}n b 满足11=b ，x b =2（*x ∈N ），*11||(2,)n n n b b b n n +-=-≥∈N . ①若2=x ，则该数列前10项和为；②若前100项中恰好含有30项为0，则x 的值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知函数2()(sin cos )+cos 2f x x x x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值，并写出x 相应的取值．16．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 中，13,a =481a =*()n ∈N .（Ⅰ）若{}n b 为等差数列，且满足2152,b a b a ==，求数列{}n b 的通项公式; （Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n b a =,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .17．（本小题满分13分）已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为-8，其导函数()y f x '=的图象经过点(2,0)-，如图所示.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x k =-在区间[3,2]-上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分13分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强设AB =2x ,BC =y . （Ⅰ）写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围；（Ⅱ）求当x 取何值时，凹槽的强度最大.19．（本小题满分14分）设数列{}na 的前n 项和为n S ，满足1n n S tS n --=(2n ≥，*n ∈N ，t 为常数) ，且11a =. （Ⅰ）当2t =时，求2a 和3a ；（Ⅱ）若{1}n a +是等比数列，求t 的值；（Ⅲ）求n S .图1 图220．（本小题满分13分）设函数()1(0)11[][[][x xf x x x x x x+=>⋅]++]+1，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如1[2]=2,[]0,[1.8]13==.（Ⅰ）求3()2f 的值；（Ⅱ）若在区间[2,3)上存在x ，使得()f x k ≤成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）求函数()f x 的值域.海淀区2009-2010学年高三第一学期期中练习数学（理科） 2009.11 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9 10． 2e 11．1或3 12．12π13．23y x =-- 14． 9，6或7 （第一个空答对给2分，第二个空答对给3分）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为222()(sin cos )+cos 2sin 2sin cos cos cos 2 f x x x x x x x x x =+=+++1sin 2cos 2x x =++ -----------------------------------------2分)4x π+----------------------------------------4分所以,22T ππ==，即函数()f x 的最小正周期为π ---------------6分（Ⅱ）因为02x π≤≤，得52444x πππ≤+≤，所以有sin(2)124x π-≤+≤ ---------------------8分1)4x π-≤+≤，即01)14x π≤++≤+---------10分所以，函数()f x 的最大值为1+ ----------------12分此时，因为52444x πππ≤+≤，所以，242x ππ+=，即8x π=. -------13分16. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）在等比数列{}n a 中，13,a =481a =.所以，由341a a q =得3813q =，即327q =，3q =. ---------------2分因此，1333n n n a -=⨯=. ----------------4分在等差数列{}n b 中，根据题意，21523,9b a b a ==== --------------------6分可得，52932523b b d --===- ---------------------7分所以，2(2)3(2)221n b b n d n n =+-=+-⨯=- ---------------------8分（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n b a =，则3log 3n n b n ==， ------------------10分因此有122311111111122334(1)n n b b b b b b n n ++++=++++⨯⨯⨯+1111111(1)()()()223341nn =-+-+-++-+ -----12分1111n n n =-=++ . ----------------------14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()324,()f x ax bx y f x ''=++=且的图象过点(2,0)-，所以2-为23240ax bx ++=的根，代入得：310a b -+= …① -----------2分由图象可知，()f x 在2x =-时取得极小值，即(2)8f -=-得 2b a =…② ---------------------- 4分由①②解得 1,2a b =-=- ∴32()24.f x x x x =--+ ---------------------- 6分（Ⅱ）由题意，方程()f x k =在区间[3,2]-上有两个不等实根，即方程3224x x x k --+=在区间[3,2]-上有两个不等实根.2()344f x x x '=--+，令()0f x '=，解得2x =-或23x =--------------- 8分可列表：----------------------11分由表可知，当8k =-或40327k -<<时，方程3224x x x k --+=在区间[3,2]-上有两个不等实根，即函数()y f x k =-在区间[3,2]-上有两个不同的零点. ------13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为x π. 所以 422x y xπ=++，得4(2)2xy π-+=----------------------4分依题意知：0x y <<得404x π<<+所以，4(2)2xy π-+=（404x π<<+）. ----------------------6分（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T ，横截面的面积为S ，则有2(2)2xT S x y π=-----------------------8分24(2))22xxx ππ-+=⋅-23(2)]2x x π=-+24)24343x ππ=--+++ ----------------------11分因为440434ππ<<++,所以，当443x π=+时，凹槽的强度最大.答: 当443x π=+时，凹槽的强度最大. --------------13分19．（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）当2n ≥时，1n n S tS n --=，当3n ≥时，121n n S tS n ---=-， ----------------------1分两式相减得：11n n a ta --=（*）(3)n ≥ ----------------------2分2n =时，212S tS -= ，得 1212a a ta +-=因为11a =，得 211a ta -=故 11n n a ta --=（*） (2)n ≥----------------------3分因为2t =，所以21213a a =+=，32217a a =+=----------------------4分（Ⅱ）由（*）可知112n n a ta -+=+（2n ≥），若{1}n a +是等比数列，则1231,1,1a a a +++成等比数列即2213(1)(1)(1)a a a +=++----------------------6分因为212312,12,12a a t a t t +=+=++=++所以22(2)2(2)t t t +=++ 即220t t -=所以0t =或2t =. 经检验，符合题意. ----------------------9分（Ⅲ）由（*）可知2121221(1)111n n n n n n a ta t ta t a t ttt -----=+=++=++==++++ （2n ≥）----------------------11分当1t =时，1111n n a n =+++=个此时，12(1)122n n n n S a a a n +=+++=+++= --------------------12分当1t ≠时，11nn ta t-=-此时，12n n S a a a =+++211111ntttt--=+++--2(1)(1)(1)1nt t t t-+-++-=-(1)11nt t n t t---=-12(1)(1)n tt n t t ++--=-所以12(1)(1)2(1)(1)(1)n n n n t S tt n t t t ++⎧=⎪⎪=⎨+--⎪≠⎪-⎩----------------------14分解法二：（Ⅰ）因为 2t =及1n n S tS n --=，得12n n S S n --=所以 121()22a a a +-=且11a =，解得 23a = ----------------------2分同理 12312()2()3a a a a a ++-+=，解得 37a = ----------------------4分（Ⅱ）当3n ≥时，1n n S tS n --=，得 121n n S tS n ---=-， ----------------------5分两式相减得：11n n a ta --=（**） ----------------------6分即 112n n a ta -+=+当t ＝0时，12n a +=，显然{1}n a +是等比数列----------------------7分当0t ≠时，令112n n n b a ta -=+=+，可得12n n b tb t -=+- 因为 {1}n a +是等比数列，所以{}n b 为等比数列，当2n ≥时，211n n n b b b +-⋅=恒成立，----------------------8分即 2(2)[(2)]n n n b t tb t b t--+-⋅= 恒成立，化简得 2(2)(1)(2)0nt t b t-+--=恒成立，即2(2)(1)0(2)0t t t -+=⎧⎨-=⎩，解得2t =综合上述，0t =或2t =----------------------9分（Ⅲ）当1t =时，由（**）得11n n a a --=数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 (1)122n n n S n +=+++=--------------------10分当1t ≠时，由（**）得11n n a ta -=+ 设1()n n a k t a k -+=+（k 为常数）整理得1(1)n n a ta t k -=+- 显然 11k t =---------------------12分所以111()11n n a t a t t -+=+--即数列1{}1n a t +-是以111t +-为首项，t 为公比的等比数列所以111(1)11n n a t t t -+=+--，即 1111n n t a tt t -=---所以122(1)(1)(1)111(1)1(1)nnn n tt n t t n t t n t t S tt t tt +--+---=-=+=-----所以12(1)(1)2(1)(1)(1)n n n n t S tt n t t t ++⎧=⎪⎪=⎨+--⎪≠⎪-⎩----------------------14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为32[]1,[]023==，所以3231323().3232212[][][][]12323f +==⋅+++-------------2分（Ⅱ）因为23x ≤<，所以1[]2,[]0x x==,----------------------3分则11()()3f x x x =+.求导得211()(1)3f x x'=-，当23x ≤<时，显然有()0f x '>, 所以()f x 在区间[2,3)上递增,----------------------5分即可得()f x 在区间[2,3)上的值域为510[,)69,在区间[2,3)上存在x ，使得()f x k ≤成立，所以56k ≥. --------------------7分（Ⅲ）由于()f x 的表达式关于x 与1x对称，且x >0，不妨设x ≥1. 当x =1时，1x=1，则()112f =;----------------------8分当x >1时，设x = n +α，n ∈N *，0≤α<1. 则[x ]= n ，10x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以()1()1n n f x f n n ααα+++=+=+.-----------------9分 ()1g x xx=+ 设，'21()10,g x x=->()g x 在[1，+∞)上是增函数，又1n n n α≤+<+，11n n n nn n αα1∴+≤++<+1+++1,当2x ≥时，()()1111,,211n n n n n f x I n n n n ⎡⎫+++⎪⎢+∈=∈≥⎪⎢++⎪⎢⎪⎣⎭*N当(1,2)x ∈时，()15(1,4f x I ∈)= ………… 11分故(1,)x ∈+∞时，()f x 的值域为I 1∪I 2∪…∪I n ∪…设()()22111111,11111n n n n n n n a b n n n n n +++++====+++++,则[),n n n I a b =. ()()1212n n n a a n n n +--=++ ,∴当n ≥2时，a 2= a 3< a 4<…< a n <…又b n 单调递减，∴ b 2> b 3>…> b n >…∴[ a 2，b 2)= I 2⊃≠I 3⊃≠I 4⊃≠…⊃≠I n ⊃≠…----------------------12分[)[)1112225510,1,,,,469I a b I a b ⎡⎫⎡⎫====⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭, ∴ I 1∪I 2∪…∪I n ∪… = I 1∪I 2 =5510551,,,46964⎡⎫⎡⎫⎡⎫=⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭.综上所述，()f x 的值域为155,264⎧⎫⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭.----------------------13分说明：其他正确解法按相应步骤给分.。

北京市海淀区高三上学期期末数学理科试题

数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.说明：第9，14题第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π()sin()14f x x x =-+cos )]1x x x =-+ …………………………….1分2cos (sin cos )1x x x =-+22cos sin 2cos 1x x x =-+ …………………………….5分（两个倍角公式，每个各2分）sin2cos2x x =-π)4x =- …………………………….6分所以函数()f x 的最小正周期2ππ||T ω==. …………………………….7分（Ⅱ）因为ππ[]126x ∈，，所以ππ2[]63x ∈，，所以πππ(2)[]41212x -∈-，. (8)分当ππ2412x -=-时，函数()f x 取得最小值π)12-; …………………………….10分当ππ2412x -=时，函数()f x 取得最大值π12, …………………………….12分ππ)sin()01212-=, 所以函数()f x 在区间ππ[]126，上的最大值与最小值的和为0. (13)分16.解：（Ⅰ）设持续i 天为事件,1,2,3,4i A i =，用药持续最多一个周期为事件B ， …………………………….1分所以2312341121212()()()()()()3333333P A P A P A P A ==⋅=⋅=⋅，，，， …………………………….5分则123465()(()()()81P B P A P A P A P A =+++=）. …………………………….6分法二：设用药持续最多一个周期为事件B ，则B 为用药超过一个周期， …………………………….1分所以4216()()381P B ==, …………………………….3分所以4265()1()381P B =-=. …………………………….6分（Ⅱ）随机变量η可以取1,2， …………………………….7分所以33441211(1)()()3339P C η==+=,18(2)199P η==-=, …………………………….11分所以181712999E η=⋅+⋅=. …………………………….13分17．解：（Ⅰ）过点F 作FH AD ，交PA 于H ,连接BH ,因为13PF PD =，所以13HF AD BC ==. …………………………….1分又FH AD ，AD BC ，所以HF BC . …………………………….2分所以BCFH为平行四边形, 所以CFBH . (3)分又BH ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB , ………………….4分（一个都没写的，则这1分不给）所以CF平面PAD . …………………………….5分（Ⅱ）因为梯形ABCD 中，AD BC ，AD AB ⊥, 所以BC AB ⊥.因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB PB BC ⊥⊥，, 如图，以B 为原点，,,BC BA BP所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, …………………………….6分HFADCBPPBCDAF yzx所以(1,0,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3)C D A P .设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =，平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =, 因为(3,3,3),(0,0,3),PD BP =-=所以00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩， …………………………….7分取1x =得到(1,1,0)n =-, …………………………….8分同理可得(0,1,1)m =, …………………………….9分所以1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-, …………………………….10分因为二面角B PD A --为锐角，所以二面角B PD A--为π3. …………………………….11分（Ⅲ）假设存在点M ，设(3,3,3)PM PD λλλλ==-，所以(13,3,33)CM CP PM λλλλ=+=-+-, …………………………….12分所以93(33)0PA CM λλ⋅=-+-=，解得12λ=, …………………………….13分所以存在点M，且12PM PD ==. …………………………….14分18．解：（Ⅰ）因为1()(1)ln f x kx k x x=-+-, 所以22211(1)1'()k kx k x f x k x x x +-++=-+=， …………………………….1分当12k =时，21(2)(1)2'()x x f x x--=. …………………………….2分令21(2)(1)2'()0x x f x x --== ，得121,2x x ==， (3)分所以'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：…………………………….6分所以()f x 在1x =处取得极大值1(1)2f =-，在2x =处取得极小值13(2)ln 222f =-. …………………………….7分函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(2,)+∞, ()f x 的单调递减区间为(1,2).…………………………….8分（Ⅱ）证明：不等式()1f x >在区间[1,e]上无解，等价于()1f x ≤在区间[1,e]上恒成立，即函数()f x 在区间[1,e]上的最大值小于等于1.因为21()(1)'()k x x k f x x--=，令'()0f x =，得121,1x x k==.…………………………….9分因为01k <<时，所以11k>. 当1e k≥时，'()0f x ≤对[1,e]x ∈成立，函数()f x 在区间[1,e]上单调递减，……………………….10分所以函数()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)11f k =-<, 所以不等式()1f x >在区间[1,e]上无解； …………………………….11分当1e k<时，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)f 或(e)f . ……………………………….12分此时(1)11f k =-<, 1(e)e (1)ef k k =-+-，所以1(e)1e (1)1ef k k -=-+--111(e 1)2(e 1)2e 30e e ek =---<---=--< .综上，当01k <<时，关于x 的不等式()1f x >在区间[1,e]上无解. …………………………….13分19．解：（Ⅰ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上，令0y =，得4x =±，所以4a =. …………………………….1分又离心率为，所以e c a ==，所以c =分所以2224b a c =-=, …………………………….3分所以W 的方程为221164x y +=.…………………………….4分（Ⅱ）法一：设点1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP的方程为(4)y k x =+， …………………………….5分与椭圆方程联立得22(4)1164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简得到2222(14)3264160k x k x k +++-=,…………………………….6分因为4-为上面方程的一个根，所以21232(4)14k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+. …………………………….7分所以||AP =.…………………………….8分因为圆心到直线AP的距离为d =， (9)分所以||AQ ===, …………………………….10分因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….11分代入得到22222||1433113||111PQ k k AP k k k +==-==-+++. …………………………….13分显然23331k-≠+，所以不存在直线AP，使得||3||PQ AP =. …………………………….14分法二：设点1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP的方程为4x my =-， …………………………….5分与椭圆方程联立得2241164x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得到22(4)80m y my +-=, 由2640m ∆=>得0m ≠. (6)分显然0是上面方程的一个根，所以另一个根，即1284my m =+. …………………………….7分由1||0|AP y =-=， …………………………….8分因为圆心到直线AP的距离为d =， …………………………….9分所以||AQ===……………….10分因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQAP AP AP-==-，…………………………….11分代入得到222||4311||11PQ mAP m m+=-=-=++, …………………………….13分若2331m=+，则0m=，与0m≠矛盾，矛盾，所以不存在直线AP，使得||3||PQAP=. ……………………………. 14分法三：假设存在点P，使得||3||PQAP=，则||4||AQAP=，得||4||QPyy=. …………………………….5分显然直线AP的斜率不为零，设直线AP的方程为4x my =-， …………………………….6分由2241164x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 22(4)80m y my +-=,由2640m ∆=>得0m ≠， …………………………….7分所以284P m y m =+. …………………………….9分同理可得281Q my m =+， …………………………….11分所以由||4||Q P y y =得22441m m +=+， …………………………….13分则0m =，与0m ≠矛盾，所以不存在直线AP，使得||3||PQ AP =. (1)4分20.解：（Ⅰ）因为{}n a 是P 数列，且10a =，所以3202||||a a a a =-=，所以43222a a a a a =-=-,所以221a a -=，解得212a =-, …………………………….1分所以354311,||22a a a a ==-=. …………………………….3分(Ⅱ) 假设P 数列{}n a 的项都是正数，即120,0,0n n n a a a ++>>>，所以21n n n a a a ++=-，3210n n n n a a a a +++=-=-<，与假设矛盾.故P 数列{}n a 的项不可能全是正数, …………………………….5分假设P 数列{}n a 的项都是负数，则0,n a <而210n n n a a a ++=->,与假设矛盾, …………………………….7分故P 数列{}n a 的项不可能全是负数.(Ⅲ)由(Ⅱ)可知P 数列{}n a 中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数. 因此存在最小的正整数k 满足10,0k k a a +<>（5k ≤）. 设1,(,0)k k a a a b a b +=-=>，则2345,,,k k k k a b a a a a b a b a ++++=+==-=-.678910,,,,k k k k k a b a b a b a a a a b a a a b +++++=-+=-+=-=-=, 故有9k k a a +=, 即数列{}n a 是周期为9的数列 …………………………….9分由上可知18,,,k k k a a a ++⋅⋅⋅这9项中4,k k a a +为负数，5,8k k a a ++这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数.因为20169224=⨯,所以当1k =时，2243672m =⨯=;当25k ≤≤时，121,,,k a a a -⋅⋅⋅这1k -项中至多有一项为负数，而且负数项只能是1k a -,记12016,,,k k a a a +⋅⋅⋅这2007k -项中负数项的个数为t ，当2,3,4k =时，若10,k a -< 则11k k k k b a a a a a +-==->=，故8k a +为负数，此时671t =，671+1=672m =；若10,k a ->则11k k k k b a a a a a +-==-<=，故5k a +为负数. 此时672t =，672m =，当5k =时，1k a -必须为负数，671t =，672m =, (12)分综上可知m 的取值集合为{672}. …………………………….13分说明：1. 正确给出m 的值，给1分2. 证明中正确合理地求出数列{}n a 的周期给2分，但是通过特例说明的不给分3. 正确合理说明m 取值情况给2分。

2010—2011海淀区高三数学(理)期末考试题(带答案)

2010—2011海淀区高三数学(理)期末考试题(带答案)D海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 12345678答案B D DC A BD C第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分） 9． 222x y x += (1,0) 10． 180 11． 512．M P Ne e e << 13．① ④ 14． 432 (1)2 3 (01)k k k k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共12分）解：（I ）xx x f 2cos )32cos()(--=πxx x 2cos 3sin2sin 3cos2cos -+=ππ.......................................2分x x 2cos 212sin 23-=)62sin(π-=x . .......................................4分)2,0(π∈x ， )65,6(62πππ-∈-∴x ， .......................................5分 ]1,21()62sin(-∈-∴πx ，即)(x f 在(0,2π）的值域为]1,21(- . .......................................6分（II ）由（I ）可知，)62sin()(π-=A A f ， 1)62sin(=-∴πA ， ......................................7分 π<<A 0 ， 611626πππ<-<-∴A ， .....................................8分 3,262πππ==-∴A A . ....................................9分 Abc c b a cos 2222-+= ， .....................................10分把73a b ==，代入，得到2320cc -+=， ..................................11分1=∴c 或2=c . ....................................12分 16.（共13分）解：（I ）方法一设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ，故591092)(=⨯=X E ， ....................................... 2分则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯ . ....................................... 3分设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ，故1313)(=⨯=Y E ， ....................................... 5分则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ . ....................................... 6分 36.3> ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分方法二：（I ）设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，212291(0)(1)101009918(2)(1)1010100981(4)().10100P P C P ξξξ==-===⋅-====；；所以ξ的分布列为 ξ 0 2 4 p 1100 18100 81100.......................................2分6.3=∴ξE .......................................3分同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，3123223318(0)(1);327114(3)(1);339112(6)()(1);33911(9)().327P P C P C P ηηηη==-===⋅-===-====所以η的分布列为：η0 3 6 9p 827 49 29127.......................................5分3E η∴=， .......................................6分 ηξE E > ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分（Ⅱ）设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分在B 区投篮得0分为事件1C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得0分为事件2C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得3分为事件3C ，则123C C C C =，其中123,,C C C 为互斥事件. .......................................9分则： 123123188******** ()()= ()()()1002710027100975P C P C C C P C P C P C =++=⨯+⨯+⨯=故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975 ..................................13分17. （共14分）解：（I ）棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2， ∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥ . .......................................1分又1A O ⊥平面ABCD, BD ⊂平面ABCD ， 1AO BD ∴⊥ . .......................................2分又1AC AO O =，1,AC AO ⊂平面11ACC A ， ⊥∴BD 平面11ACC A ， .......................................3分 ⊂1AA 平面11ACC A ， ∴ BD ⊥1AA . .......................................4分（Ⅱ）连结1BC四边形ABCD 为菱形，AC BD O =O ∴是BD 的中点. ....................................... 5分又点F 为1DC 的中点， ∴在1DBC ∆中，1//BC OF ， .......................................6分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ∴//OF 平面11BCC B .......................................8分（III ）以O 为坐标系的原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ． 601=∠∴AO A ，在AO A Rt 1∆中，可得11,3,AO AO ==在Rt AOB ∆中，22413OB AB AO =--A BC1B 1C 1AD F1D O得1(1,0,0),3),(0,3,0),3,0)A A D B - ...............................10分设平面D AA 1的法向量为),,(1111z y x n= ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴00111AD n AA n)0,3,1(),3,0,1(1--=-= 11113030x z x ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 可设)1,1,3(1-=n .......................................11分又 BD ⊥平面11ACC A所以，平面11A ACC 的法向量为23,0)n OB == .......................................12分 55353,cos 212121-=⋅-=⋅>=<∴n n n n , 二面角D —1AA —C 为锐角，故二面角D —1AA —C 的余弦值是55 . ....................................14分18. （共13分）解：2211(21)()1(1)(1)a x ax a f x a x x x --+-'=--=+++，1x >-， .......................................2分（I ）由题意可得13(1)24a f -'==-，解得3a =， ....................................3分因为(1)ln 24f =-，此时在点(1,(1))f 处的切线方程为(ln24)2(1)y x --=--，即2ln22y x =-+-，与直线:21l y x =-+平行，故所求a 的值为3. ....................4分（II ）令()0f x '=，得到1212,0x x a =-= ，由12a ≥可知120a -≤ ，即10x ≤. ................................5分 ① 即12a =时，12120x x a =-==. 所以,2'2()0,(1,)2(1)x f x x x =-≤∈-+∞+， ................................6分故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分② 当112a <<时，1120a -<-<，即1210x x -<<=，所以，在区间1(1,2)a --和(0,)+∞上，'()0f x <； ...............................8分在区间1(2,0)a -上，'()0f x >. .................................9分故 ()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-. .........10分 ③当1a ≥时，1121x a=-≤-，所以，在区间(1,0)-上()0f x '>； ................................11分在区间(0,)+∞上()0f x '< ， ...............................12分故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. ............................13分综上讨论可得：当12a =时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞；当112a <<时，函数()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-；当1a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.19. （共14分）解：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2p x =-， .....................................1分由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p p MF =--=+=，解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. ......................................3分（Ⅱ）联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=.依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-. ..............................................4分设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， .............................................5分设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==， ........................6分又22221212121212||()()(14)()5[()4]5(6432)AB x x y y y y y y y y b =-+-+-+-=+.所以 ||25(6432)8AB r b =+， .........................................7分解得85b =-. .........................................8分所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. ............................................9分方法二：联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消掉y 并化简整理得22(416)40xb x b -++=，依题意应有2216(4)160b b ∆=+->，解得2b >-. ............................................4分设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212416,4x x b x x b +=+= . .............................................5分设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-，因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==. .....................................6分又2222121212121215||()()(1)()[()4]5(6432)44AB x x y y x x x x x x b =-+-+-+-+，又||28AB r ==5(6432)8b +， .............................................7分解得85b =-， ..............................................8分所以12485x x +=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. .............................................9分（Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，...........................................10分直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l 的距离55d ， .................................................11分所以321||4224222AOB SAB d b b b b ∆==-++ ..................................................12分令32()2g b bb =+，20b -<<， 24()343()3g b b b b b '=+=+， b 4(2,)3-- 43- 4(,0)3-()g b ' ＋0 － ()g b 极大由上表可得()g b 最大值为432()327g -= . ...............................................13分所以当43b =-时，AOB ∆323. ...............................................14分20．（共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P ． ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分（Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠．对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈，则有1212t t x x m -=-≠, 所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000，所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤，使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠，所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉.又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈,即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中，因此2kk +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤，当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =时，取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ，都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

北京市海淀区高三第一学期期末理科数学试题

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）复数12ii+= A. 2i - B. 2i + C. 2i -- D. 2i -+ （2）在极坐标系中Ox ，方程2sin ρθ=表示的圆为A. B. C. D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.4 B.5 C.6 D.7（4）设m 是不为零的实数，则“0m f ”是“方程221x y m m-=表示的曲线为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为A. 3B. 6C. 3或3-D.6或6-（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为 A. 15 B. 25 C. 35 D. 45（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ①三棱锥的体积为16②三棱锥的四个面全是直角三角形 ③三棱锥的四个面的面积最大的是3所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③（8）已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =f 的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 A.使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 B.使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个 C. 使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个 D. 使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 . （10）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 .（11）设抛物线2:4C y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于,A B 两点，则OA OB +=u u u r u u u r.（12）已知(51)nx -的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n = .（13）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为 .（14）对任意实数k ，定义集合20(,)20,0k x y D x y x y x y R kx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭. ①若集合k D 表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是； ②当0k =时，若对任意的(,)k x y D ∈，有(3)1y a x ≥+-恒成立，且存在(,)k x y D ∈，使得x y a -≤成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。

北京市海淀区2010届高三年级第一学期期末练习

北京市海淀区2010届高三年级第一学期期末练习化学试题第I卷（选择题共27分）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页共100分。

考试时间90分钟。

答题时请将第Ⅰ卷每小题的正确答案选出后，填在第4页答卷表格的相应空格中，若仅答在第Ⅰ卷上则不给分。

请将第Ⅱ卷各题的答案直接答在试卷的相应位置上。

可能用到的相对原子质量：H：1 C：12 N：14 O：16 Na：23 S：32 Cl：35.5 Fe：56本卷共14道小题，每小题3分，共42分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一个选项。

1．化学与生活、社会密切相关。

下列说法正确的是（）A．用NaOH溶液雕刻工艺玻璃上的纹饰B．Na2O可用于呼吸面具中作为氧气的来源C．工业上硝酸可用于制化肥、农药、炸药和染料等D．向煤中加入适量CaSO4，可大大减少燃烧产物中SO2的量2．以下四种标签，适合贴在无水乙醇试剂瓶上的是（）3．下列有机物命名正确的是（）4．下列生活中常见有机物的应用，不正确．．．的是（）A．青霉素是重要的抗生素B．为提高运动员的兴奋程度服用麻黄碱C．为增强对传染病的抵抗力服用适量维生素CD．使用酚醛树脂做绝缘、隔热、难燃和隔音器材5．下列获取物质的方法，不正确．．．的是（）A．用电石和饱和食盐水制取乙炔B．通过石油分馏得到甲烷、乙烯和苯C．用碳酸钠和氢氧化钙反应制氢氧化钠D．将氯气通入氢氧化钠溶液得到漂白液6．下列实验操作正确的是（）7．实验室从海带灰中提取碘的操作过程，仪器选用不正确．．．的是（）A．称取3g左右的干海带——托盘天平B．灼烧干海带至完全变成灰烬——蒸发皿C．过滤煮沸后的海带灰水混合液——漏斗D．用四氯化碳从氧化后的海带灰浸取液中提取碘——分液漏斗8．下列实验操作正确的是（）A．制乙酸酯时，迅速将乙醇注入浓硫酸中B．手上沾有少量苯酚，立即用氢氧化钠溶液清洗C．少量浓硫酸沾在皮肤上，立即用大量清水冲洗D．用氢气还原氧化铜时，加热一段时间后再通入氢气9．某有机物的结构简式为，其不可能．．．发生的反应有（）①加成反应②取代反应③消去反应④氧化反应⑤水解反应⑥与氢氧化钠反应⑦与稀盐酸反应A．②③④B．①④⑥C．③⑤⑦D．⑦10．下列做法正确的是（）A．蒸干FeCl3溶液得到FeCl3固体B．用稀硝酸除去Cu粉中混有的CuOC．将工业乙醇蒸馏得到96.5%的乙醇D．用BaCl2除去NaOH溶液中混有的少量Na2SO411．已知：2CO(g)+O2(g)2CO2(g) △=-566kJ·mol-1N2(g)+O2(g)2NO(g) △=+180kJ·mol-1则2CO(g)+2NO(g)N2(g)+2CO2(g) 的△是A．-386 kJ·mol-1B．+386 kJ·mol-1C．-746 kJ·mol-1D．+746 kJ·mol-112．下列根据反应原理设计的应用，不正确．．．的是（）A ．CO -23+H 2O HCO 3-+OH -热的纯碱溶液清洗油污B ．Al 3++3H2OAl(OH)3+3H +明矾净水 C ．TiCl 4+(x+2)H 2O(过量) TiO 2·xH 2O ↓+4HCl D ．SnCl 2+H 2O Sn(OH)Cl ↓+HCl 配制氯化亚锡溶液时加入氢氧化钠 13．上列在限定条件溶液中的各组离子，能够大量共存的是（） A ．pH=3 的溶液：Na +、Cl -、Fe 2+、ClO - B ．与Al 能产生氢气的溶液：K +、SO -24、CO -23、NH 4+C ．使酚酞试液变红的溶液：Na +、Cl -、SO -24、Al 3+D ．水电离的H +浓度为1×10-12mol ·L -1的溶液：K +、Ba 2+、Cl -、Br -14．高功率Ni/MH （M 表示储氢合金）电池已经用于混合动力汽车。