2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(五)数学(解析版)
压轴25 直线的方程 备战2021年高考数学二轮必刷压轴题精选精炼(解析版)
压轴25 直线的方程一、单选题1. 若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P (1,1)平分，则AB 所在直线的方程为A. 9x +4y −13=0B. 4x +9y −13=0C. x +2y −3=0D. x +3y −3=0 【答案】B【解析】解：设过点A(1,1)的直线与椭圆相交于两点，E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，由中点坐标公式可知：{x 1+x 22=1y 1+y22=1， 则{x 129+y 124=1x 229+y 224=1，两式相减得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)9+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，∴y 1−y2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的方程为：y −1=−49(x −1)，整理得：4x +9y −13=0， 故选B ．2. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F(−c,0)，上顶点为A ，离心率为√32，直线FA 与抛物线E:y 2=4cx 交于M ，N 两点，则|MA|+|NA|=A. 2√3aB. 5aC. 4√3aD. 10a【答案】D 【解析】解：如图，离心率为√32，即c a =√32，解得a =2b ，c =√3b ，由F(−c,0)，A(0,b)，则k AF =bc =√33，∴直线FA 的方程y =√33x +b ，又y2=4cx，即y2=4√3bx与y=√33x+b联立消去y得，x2−10√3bx+3b2=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，∴x1+x2=10√3b，则|MA|+|NA|=(√33)1+x2)=√310√3b=20b=10a．故选D．3.下列四个命题：①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示；②经过任意两个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(x2−x1)(x−x1)=(y2−y1)(y−y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示；④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示．其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：经过定点P0(x0,y0)，且斜率存在的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示，①故为假命题；把直线的两点式方程变形，即(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)，故②为假命题；不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程xa +yb=1表示，故③为假命题；经过定点A(0,b)，且斜率存在的直线都可以用方程y=kx+b表示，故④为假命题；故选A．4.已知直线l1:mx−y+m=0与直线l2:x+my−1=0的交点为P，若点Q为直线l3:x−y+3=0上的一个动点，则|PQ|的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：易知直线l1:mx−y+m=0过定点A(−1,0)，直线l2:x+my−1=0过定点B(1,0)，当m=0时l1⊥l2，当m≠0时，l1与l2斜率乘积为m·(−1m)=−1，所以l1⊥l2，所以点P 在以AB 为直径的圆上，圆的方程为x 2+y 2=1， 圆心(0,0)到直线x −y +3=0的距离为√2=3√22， 所以|PQ|的最小值为圆心到直线x −y +3=0的距离减去半径，即32√2−1， 故选B ．5. 如已知点A(−1,0),B(1,0),C(0,1)，直线y =kx +b(k >0)将三角形ABC 分割成面积相等的两个部分，则b 的取值范围是A. (1−√22,12) B. (1−√22,12] C. [13,12)D. (0,12]【答案】A【解析】解：由题意可得，三角形ABC 的面积为12⋅AB ⋅OC =1， 由于直线y =kx +b(k >0)与x 轴的交点为M(−b k ,0)，由直线y =kx +b(k >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b >0， 故−bk <0，故点M 在射线OA 上．设直线y =kx +b 和BC 的交点为N ，则由{y =kx +b x +y =1可得点N 的坐标为(1−b k+1,k+bk+1)．①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，故N (12,12)， 把A 、N 两点的坐标代入直线y =kx +b ，求得k =b =13．②若点M 在点O 和点A 之间，此时b >13，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即12⋅MB ⋅y N =12，即 12×(1+bk )·k+bk+1=12，可得k =b 21−2b >0，求得b <12 ， 故有13<b <12．③若点M 在点A 的左侧，则b <13，由点M 的横坐标−bk <−1，求得b >k ． 设直线y =kx +b 和AC 的交点为P ，则由{y =kx +b y =x +1求得点P 的坐标为(1−b k−1,k−b k−1)，此时，由题意可得，△CPN 的面积等于12，即12⋅(1−b)⋅|x N −x P |=12， 即12(1−b )·|1−bk+1−1−bk−1|=12，化简可得2(1−b)2=|k 2−1|． 由于此时b >k >0，0<k <1，∴2(1−b)2=|k 2−1|=1−k 2 ．两边开方可得√2(1−b )=√1−k 2<1，∴1−b <√2，化简可得b >1−√22，故有1−√22<b <13．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得b 的取值范围应是(1−√22,12) ，故选A ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)向圆C:(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点A. (−12,1)B. (−1,32)C. (−12,32)D. (−1,12)【答案】B【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)，向圆C ：(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，则切线长为√PC 2−r 2=√42+(m −1)2−(m 2+5)=√12−2m ，∴以点P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为(x −1)2+(y −4)2=12−2m ， ∴直线AB 的方程为[(x −m)2+y 2]−[(x −1)2+(y −4)2]=(m 2+5)−(12−2m)， 整理得：(x +4y −5)−m(1+x)=0． 令{x +4y −5=0x +1=0，解得{x =−1,y =32． 所以直线AB 过定点(−1,32)． 故答案为(−1,32)． 故选B ．7. 已知直线2x +y +2+λ(2−y)=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S(λ)，当λ∈(0,+∞)时，S(λ)的最小值是A. 12B. 10C. 8D. 4【答案】C【解析】解：如图，由直线2x +y +2+λ(2−y)=0，分别可得与坐标轴的交点(−1−λ,0)，(0,2+2λλ−1)，λ∈(0,+∞)，则S(λ)=12(1+λ)×2+2λλ−1=λ−1+4λ−1+4≥2×2+4=8，当且仅当λ=3时取等号．故选C ．8. 已知直线(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0恒过定点P ，则与圆C:(x −2)2+(y +3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为A. (x −2)2+(y +3)2=36B. (x −2)2+(y +3)2=25C. (x −2)2+(y +3)2=18D.(x −2)2+(y +3)2=9【答案】B【解析】解：因为(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0，所以λ(2x +3y −1)+3x −2y +5=0， {2x +3y −1=03x −2y +5=0，解得{x =−1y =1，即P(−1,1)，C:(x −2)2+(y +3)2=16的圆心为(2,−3)， 则所求圆的半径为√(2+1)2+(1+3)2=5， 故所求圆的方程为，故选B ．9. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)，直y =kx +m (k >0)将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，则m 的取值范围是A. (0,1)B. (13,12]C. (13,4−√102] D.【答案】D【解析】解：∵点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)， 如图，四边形的面积为12×(4+2)×1=3，①若直线在第一象限与CD 相交，设交点为F ， 则直线必与OA 交于一点，设为E ， 连接BF ，DE ，要使直线平分梯形， 只须CF +BE =DF +AE =3，设BE =t ，则E 点坐标为(2−t,0)，F 点坐标为(t −2,1)，EF 关于(0,12)对称，此时m=12②若直线与梯形在第一象限的交点在BC上，设交点为F，BC所在直线的方程为x+y=2．此时直线与AB相交，或者与AD相交，(1)若与AB相交，设交点为E点坐标为(t,0)，则BE=2−t，∴三角形BEF在BE边上的高为32−t ≤1，F点横坐标为(2−32−t,32−t)，其中−2≤t≤−1，经计算，m=3(−t−1t)+4(−2≤t≤−1)，当t=−1时，m有最大值12，t=−2时，m有最小值613，(2)若两交点分别在AD和BC上，如图，此时，过A点时，m最大，为617，当斜率k→0时，有最小值(取不到)4−√102，综上，m∈(4−√102,1 2 ]故选D．二、填空题10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为______．【答案】3√2【解析】解：因为点A(−4,0)，B(0,4)， 所以直线AB 的方程为x −y +4=0． 设P (x 0,y 0)，因为P 是直线AB 上一点，所以y 0=x 0+4.①又因为以AP 为直线的圆的方程为：x (x −x 0)+y (y −y 0)=0， 即x 2+y 2−xx 0−yy 0=0．由{x 2+y 2=4x 2+y 2−xx 0−yy 0=0两式相减得xx 0+yy 0=4，② 即直线CD 的方程为xx 0+yy 0=4．又因为线段CD 的中点为M ，所以直线OM 的方程为：xy 0−yx 0=0.③ 联立①②③消去x 0，y 0得点M 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12．又因为 A(−4,0)，所以|AM |max =√(−4+12)2+(12)2+√22=3√2．故答案为3√2．11. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=72，且2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)，直线√S n+1x +√S n y =1与两坐标轴围成的三角形的面积为T n ，则T 1+T 2+T 3+...+T 2159的值为__________． 【答案】21592160【解析】解：由2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)可得， √S n+2−√S n+1=√S n+1−√S n ，则{√S n }为等差数列， 又 S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，∵√S n 为等差数列，∴a 1=d2，又a 4=72，a 4=a 1+3d ， 则a 4=a 1+3d =d2+3d =72d =72， 故d =1，S n =n 22，√S n =√n 22,√S n ⋅S n+1=√n 22⋅(n+1)22=n⋅(n+1)2，因直线√S n+1x +√S n y =1， 当x =0时，y =S ， 当y =0时，x =S ，T n=2S√S =12⋅1n⋅(n+1)2=1n⋅(n+1)=1n−1n+1，T1+T2+T3+⋯+T2159=1−12+12−13+13−14+⋯+12159−12160=1−12160=21592160．12.若动点P在直线a：x−2y−2=0上，动点Q在直线b：x−2y−6=0上，记线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，则x02+y02的取值范围为________．【答案】[165,16]【解析】解：由题意知，直线a：x−2y−2=0与直线b：x−2y−6=0平行，因为动点P在直线a上，动点Q在直线b上，所以PQ的中点M在与a，b平行，且到a，b的距离相等的直线上，设该直线为l，则直线l的方程为x−2y−4=0．因为线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，所以点M(x0,y0)在圆(x−2)2+(y+1)2=5的内部或在圆上，设直线l交圆于点A，B，则点M在线段AB上运动．联立直线l与圆的方程，得{x−2y−4=0,(x−2)2+(y+1)2=5,解得A(4,0)，B(0,−2)．因为x02+y02=|OM|2，x02+y02表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离的平方为最小，所以x02+y02的最小值为(()22=165，当M与A重合时，x02+y02取得最大值，且最大值为42+02=16，即x02+y02的最大值为16，所以x02+y02的取值范围是[165,16]．13.已知直线l：恒过定点A，点B，C为圆O：上的两动点，满足，则弦BC长度的最大值为______．【答案】4√5【解析】解：直线l：，即为，可得时，，即直线l恒过定点，取BC的中点M，连接AM，OM，OB，圆O：的半径，设，则，由，可得， 由，可得，设，则，再由cosα⩽1，即，，解得5⩽a 2⩽20，即√5⩽a ⩽2√5，可得a 的最大值为2√5，此时A ，M ，O 三点共线， 则弦长BC 的最大值为4√5， 故答案为：4√5．三、解答题14. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y =kx +t(t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1.求证：直线l 经过定点． 【答案】(1)解：设椭圆的焦距为2c ， 则{c =11b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a =√2b =1c =1,∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 1,x 2)， 由{x 22+y 2=1y =kx +t, 消去y 得：(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0，由韦达定理得： x 1+x 2=−4kt2k 2+1，x 1x 2=2t 2−22k 2+1，……① ∵A(0,1)，P(x 1,y 1)， ∴直线AP 的方程为：y =y 1−1x 1x +1，∴M(−x 1y 1−1,0)，同理：N(−x 2y 2−1,0)，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ∴x 1x 2y 1−1y 2−1=1，化简得x 1x 2−y 1y 2+(y 1+y 2)−1=0，∴(1−k 2)x 1x 2+(k −kt )(x 1+x 2)−t 2+2t −1=0， 将①代入并化简有：t 2+2t −3=0， ∴t =−3或t =1(舍)，∴直线l 的方程为：y =kx −3，经过定点(0,−3)．15. 在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(1,0)，设△ABC 的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知|CP|=1，记动点C 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)过G(2,0)的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA ⊥x 轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若S △SMG =6S △SHN ，求直线MN 的方程． 【答案】解：(1)由题意可知，|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|AP |+|BQ |=2|CP |+|AB |=4>|AB |， ∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)， 设曲线E 方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0,y ≠0)，则c =1，2a =4， ∴a =2，b 2=a 2−c 2=3， 即曲线E 的方程为：x 24+y 23=1(y ≠0)；(2)∵HA ⊥x 轴，∴H (−1,32)，设S(0,y 0)，则−y 0−2=−323，∴y 0=1，即S(0,1)． ∵a =2c ，∴|SG |=2|SH |，∴S △SMGS △SHN=12|SM ||SG |sin∠MSG 12|SN ||SH |sin∠NSH =2|SM ||SN |=6，∴|SM ||SN |=3，即SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3SN⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)，SN⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−1)，∴x1=−3x2．①当直线MN的斜率不存在时，MN的方程为x=0，此时|SM||SN|=√3+1√3−1=2+√3，不符合条件；②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+1．联立{y=kx+1x24+y23=1，整理得：(3+4k2)x2+8kx−8=0，∴{x1+x2=−8k3+4k2x1x2=−83+4k2，将x1=−3x2代入得：{−2x2=−8k3+4k2−3x22=−83+4k2,∴3(4k3+4k2)2=83+4k2，解得：k=±√62，故直线MN的方程为y=√62x+1或y=−√62x+1．16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行．(1)求直线l的斜率；(2)已知圆C：x2+y2−4x=0与直线l相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；(3)在(2)的圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行，∴直线l的斜率k=k AB=2−01−(−1)=1．(2)∵圆C：x2+y2−4x=0，∴圆C的标准方程为：(x−2)2+y2=4，圆心C(2,0)，半径为2，由(1)知直线l的斜率k=1，设直线l的方程为x−y−m=0，则圆心C到直线l的距离d=√2=√2，∵MN=AB=√22+22=2√2，而CM2=d2+(MN2)2，∴4=(2+m)22+2，解得m=0或m=−4，故直线l的方程为x−y=0或x−y+4=0．(3)假设圆C上存在点P，设P(x,y)，则(x−2)2+y2=4，PA2+PB2=(x+1)2+(y−0)2+(x−1)2+(y−2)2=12，整理，得x2+y2−2y−3=0，即x2+(y−1)2=4，∵|2−2| <√(2−0)2+(0−1)2<2+2，∴圆(x −2)2+y 2=4与圆x 2+(y −1)2=4相交，∴点P 的个数为2．17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2,4)，圆O ：x 2+y 2=4与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．(1)若直线l 与y 轴交于D ，且DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16，求直线l 的方程； (2)设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1+k 2的值；(3)设AB 的中点为M ，点N(43,0)，若MN =√133OM ，求△QAB 的面积． 【答案】解：(1)若直线l 垂直于x 轴，则其方程为x =2，与圆只有一个交点，不合题意． 故l 存在斜率，设直线l 的方程为：y −4=k(x −2)，即：kx −y −2k +4=0， 则圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1，因为直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，所以d =√k 2+1<2，解得k >34． 又D(0,−2k +4)，Q(2,0)，所以DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k −4)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k)， 所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+2k(2k −4)=16， 解得k =3或k =−1(舍去)，所以直线l 的方程为：y =3x −2；(2)由题意可知，联立{y −4=k(x −2),x 2+y 2=4,, 得(1+k 2)x 2−4k(k −2)x +(2k −4)2−4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=4k(k−2)1+k 2,x 1·x 2=(2k−4)2−41+k 2,,所以k 1+k 2=y 1x 1−2+y2x 2−2 =k(x 1−2)+4x 1−2+k(x 2−2)+4x 2−2=2k +4x 1−2+4x 2−2 =2k +4(x 1+x 2−4)x 1x 2−2×(x 1+x 2)+4=2k +4×[4k(k −2)1+k 2−4](2k −4)2−41+k 2−2×4k(k −2)1+k 2+4 =2k −4×(8k +4)16 =2k −2k −1=−1．即k 1+k 2的值是−1；(3)设中点M(x 0,y 0)，则由(2)知{x 0=x 1+x 22=2k(k−2)1+k 2,y 0=k(x 0−2)+4=−2(k−2)1+k 2,(∗) 又由MN =√133OM ，得(x 0−43)2+y 02=139(x 02+y 02)， 化简得：x 02+y 02+6x 0−4=0， 将(∗)代入上式并解得：k =3． 因为圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1=10， 所以AB =2√4−d 2=65√10，Q 到直线l 的距离：ℎ=25√10， 所以S △ABQ =12AB ·ℎ=125，即△QAB 的面积为125．。
2021年山东省德州市高考数学(一模)模拟试卷(解析版)
2021年山东省德州市高考数学模拟试卷（一模）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|lg（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（）A．（2，3]B．[﹣4，4]C．[2，4）D．（2，4]2．复数z＝的共轭复数的虚部为（）A．﹣B．C．D．3．已知a，b∈R，则a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（）A．B．C．D．5．已知sinα＝sin（α+）+，则cos（α+）的值为（）A．B．C．D．6．已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．7．设函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a 的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣，）C．[，）D．[，1）8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n}满足x n+1＝x n﹣，则称数列{x n}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{x n}为牛顿数列，设a n＝ln且a1＝1，x n＞2，数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．22021﹣1B．22021﹣2C．（）2021﹣D．（）2021﹣2二、多选题（共4小题）.9．2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（）A．过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差B．过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C．过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数D．过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A、B分别为双曲线的左，右顶点，F1、F2为左、右焦点，|F1F2|＝2c，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30°B．双曲线的离心率e＝C．k1k2为定值D．若I为△PF1F2的内心，满足S＝S+xS（x∈R），则x＝12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A1，则下列结论正确的有（）A．A1D⊥EFB．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的外接球体积为πC．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的体积为D．当BE＝BF＝BC时，点A1到平面DEF的距离为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若二项式（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为．14．已知抛物线C：y2＝4x，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若•＝5，则直线AB过定点．15．已知三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为．16．设定义在D上的函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称P点为函数y＝f（x）的“类对称中心点”，则函数h（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①a sin C＝c sin（A+），②b＝a cos C+c sin A，③a cos B+b cos A＝2c cos A．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆面积为π，sin B ＝2sin C，且_____，求△ABC的面积．18．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．19．2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表所示：（表一）了解情况Y N人数14060（表二）男女合计Y80N40合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2，试求出P1与P2，并比较P1与P2的大小．附：临界值参考表的参考公式P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（K2＝，其中n＝a+b+c+d）20．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．（1）求证：EF⊥DA；（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB ⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．22．已知函数f（x）＝xe3x﹣（a+1）lnx+﹣1，g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+．定义新函数d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|min．（1）当a≤﹣2时，讨论函数g（x）的单调性；（2）若新函数d（f，g）的值域为[0，+∞），求a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|lg（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（）A．（2，3]B．[﹣4，4]C．[2，4）D．（2，4]解：∵A＝{x|16﹣x2≥0}＝{x|﹣4≤x≤4}，B＝{x|0＜x﹣2≤10}＝{x|2＜x≤12}，∴A∩B＝（2，4]．故选：D．2．复数z＝的共轭复数的虚部为（）A．﹣B．C．D．解：z＝＝＝＝，∴＝，∴复数z＝的共轭复数的虚部为，故选：D．3．已知a，b∈R，则a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a＜b，当a＝0时，不能够推出a2（e a﹣e b）＜0，故a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的不充分条件，由a2（e a﹣e b）＜0⇒e a﹣e b＜0⇒e a＜e b⇒a＜b，故a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的必要条件，综上所述：a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的必要不充分条件．故选：B．4．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（）A．B．C．D．解：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．设田忌的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，齐王的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，所有的基本事件有6种，分别为：（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cb），（Ab，Bc，Cb），（Ac，Bb，ca），（Ac，Ba，Cb），比赛结束时，田忌得2分的基本事件为：（Ab，Bc，Ca），只有1种，∴比赛结束时，田忌得2分的概率P＝．故选：C．5．已知sinα＝sin（α+）+，则cos（α+）的值为（）A．B．C．D．解：∵sinα＝sin（α+）+，∴sinα＝sinα+cosα+，∴sinα﹣cosα＝，即﹣cos（α+）＝，∴cos（α+）＝﹣．故选：B．6．已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．解：向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，可得＝＝＝7，＝＝16+4＝20，cos＜，＞＝＝＝．故选：A．7．设函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a 的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣，）C．[，）D．[，1）解：函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，设g（x）＝xe x，y＝ax，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜a，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax的下方，∵g′（x）＝（x+1）e x，∴当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，∴当x＝﹣1时，[g（x）]min＝g（﹣1）＝﹣．当x＝0时，g（0）＝0，当x＝﹣2时，g（﹣2）＝﹣，直线y＝ax恒过（0，0），斜率为a，故﹣a＞g（﹣1）＝﹣，且g（﹣2）＝﹣≥﹣2a，解得≤a＜，∴a的取值范围是[，）．故选：C．8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n}满足x n+1＝x n﹣，则称数列{x n}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{x n}为牛顿数列，设a n＝ln且a1＝1，x n＞2，数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．22021﹣1B．22021﹣2C．（）2021﹣D．（）2021﹣2解：∵f（x）＝x2﹣x﹣2，∴f′（x）＝2x﹣1，又∵x n+1＝x n﹣＝x n﹣，∴x n+1+1＝x n﹣+1＝，x n+1﹣2＝x n﹣2﹣＝，∴＝＝（）2，∵a n＝ln且a1＝1，x n＞2，∴a n+1＝ln＝ln（）2＝2ln＝2a n，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴S2021＝＝22021﹣1，故选：A．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（）A．过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差B．过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C．过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数D．过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率解：对于A，甲的极差为42﹣36＝6，乙的极差为41﹣34＝7，所以“甲”的极差小于“乙”的极差，A正确；对于B，甲的平均数是×（36+37+37+38+40+42）＝，乙的平均数为×（34+36+38+39+40+41）＝，所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，B错误；对于C，甲的中位数是×（37+38）＝37.5，乙的中位数是×（38+39）＝38.5，所以，“甲”的中位数小于“乙”的中位数，C正确；对于D，过去6年甲的平均增长率为：﹣1；乙的平均增长率为：﹣1，且＜，所以“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率，D正确．故选：ACD．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称解：根据函数的图象：周期，解得T＝π，故ω＝2．进一步求得A＝2．当x＝时，f（）＝2sin（+φ）＝﹣1，由于|φ|＜π，所以φ＝．所以f（x）＝2sin（2x+），函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（3x+）的图象，故对于A：函数的最小正周期为T＝，故A正确；对于B：由于x∈[，]，所以，故函数g（x）在区间[，]上单调递减，故B错误；对于C：当x＝时，g（）＝2sin（）＝﹣2，故函数g（x）的图象关于直线x＝对称，故C正确；对于D：当x＝时，g（）＝2，故D错误．故选：AC．11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A、B分别为双曲线的左，右顶点，F1、F2为左、右焦点，|F1F2|＝2c，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30°B．双曲线的离心率e＝C．k1k2为定值D．若I为△PF1F2的内心，满足S＝S+xS（x∈R），则x＝解：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，A中，PF2⊥x轴时，P的坐标为：（c，）即P（c，c），所以tan∠PF1F2＝＝＝，所以∠PF1F2≠30°，所以A不正确；B中，因为b2＝ac，所以可得c2﹣a2＝ac，可得e2﹣e﹣1＝0，又e＞1，解得：e＝，所以B正确；C，设P（x0，y0），则﹣＝1，所以y02＝b2•，由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），所以k1k2＝＝＝，由b2＝ac，可得k1k2＝＝，所以C正确；D中因为S＝S+xS，所以|PF1|•r＝|PF2|•r+x•|F1F2|•r，可得x＝＝＝＝，所以D正确；故选：BCD．12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A1，则下列结论正确的有（）A．A1D⊥EFB．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的外接球体积为πC．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的体积为D．当BE＝BF＝BC时，点A1到平面DEF的距离为解：取EF的中点O，连接OA1，OD，由题意可得DE＝DF，A1E＝A1F，所以OD⊥EF，A1O⊥EF，DO∩A1O＝O，所以EF⊥平面A1OD，所以EF⊥A1D，故A正确；当BE＝BE＝BC＝2时，A1E＝A1F＝2，EF＝2，可得A1E⊥A1F，又A1E⊥A1D，A1F⊥A1D，可把三棱锥A1﹣EDF放到以A1D，A1E，A1F为相邻棱的长方体中，可得长方体的对角线长为＝2，故外接球的半径为，体积为π×（）3＝8π，故B错误；当BE＝BF＝BC＝1时，EF＝，cos∠EA1F＝＝，所以sin∠EA1F＝＝，S＝A1E•A1F•sin∠EA1F＝×3×3×＝，V＝V＝S•A1D＝××4＝，故C正确；当BE＝BF＝1时，设A1到面DEF的距离为h，则V＝S△DEF h＝×（4×4﹣2××4×3﹣×1×1）h＝×h＝，解得h＝，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若二项式（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为80．解：∵（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，∴2n＝32，解得n＝5，∴该二项式展开式中含有x3项的系数为•23＝80，故答案为：80．14．已知抛物线C：y2＝4x，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若•＝5，则直线AB过定点（5，0）．解：设直线AB的方程为x＝my+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：y2﹣4my﹣4b＝0，所以y1y2＝﹣4b，x1x2＝＝b2，因为•＝5⇒x1x2+y1y2＝6，所以b2﹣4b＝5，可得b＝5或b＝0，因为点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，直线AB不过原点，所以b＝5，所以直线恒过点（5，0），故答案为：（5，0）．15．已知三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为2，以顶点P 为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为3π．解：如图，AP＝，PN＝4，则AN＝2，∠APN＝，∴∠NPM＝，∴，同理，，，故球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于，故答案为：3π．16．设定义在D上的函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称P点为函数y＝f（x）的“类对称中心点”，则函数h（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标为（，1）．解：h′（x）＝+，h（x0）＝+lnx0，（x0＞0），即函数h（x）的定义域为D＝（0，+∞），所以函数h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为：y﹣（+lnx0）＝（+）（x﹣x0），则g（x）＝（+）（x﹣x0）++lnx0，设F（x）＝h（x）﹣g（x）＝+lnx﹣[（+）（x﹣x0）++lnx0]，则F（x0）＝0，所以F′（x）＝h′（x）﹣g′（x）＝+﹣（+）＝+﹣＝+＝（﹣），当x0＜，即0＜x0＜时，F（x）在（x0，）上单调递减，所以F（x）＜F（x0）＝0，所以＜0，＞0，当x0＞，即x0＞时，F（x）在（，x0）上单调递增，所以F（x）＞F（x0）＝0，所以＜0，＞0，所以y＝F（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”，若x0＝，即x＝时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，所以＞0，＜0，综上，可得y＝h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标，又h（）＝+ln＝1，故答案为：（，1）．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①a sin C＝c sin（A+），②b＝a cos C+c sin A，③a cos B+b cos A＝2c cos A．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆面积为π，sin B ＝2sin C，且_____，求△ABC的面积．解：若选①a sin C＝c sin（A+），由正弦定理得sin AinC＝sin C sin（A+），因为sin C＞0，所以sin A＝sin（A+）＝sin A+cos A，故tan A＝，由A为三角形内角得A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝；若选②b＝a cos C+c sin A，由正弦定理sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C sin A，整理得cos A sin C＝sin C sin A，因为sin C＞0，故tan A＝，由A为三角形内角得A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝；若选③a cos B+b cos A＝2c cos A，由正弦定理得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，即sin（A+B）＝2sin C cos A＝sin C，因为siinC＞0，所以cos A＝，故A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝．18．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．【解答】（1）解：由a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2可得：a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣2）2n+2（n≥2），两式相减得：na n＝（n﹣1）2n+1﹣（n﹣2）2n＝n×2n，即a n＝2n，n≥2，又当n＝1时，有a1＝2也适合上式，∴a n＝2n；（2）证明：由（1）可得：＝＝（﹣），∴T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＜（1+）＝．19．2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表所示：（表一）了解情况Y N人数14060（表二）男女合计Y80N40合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2，试求出P1与P2，并比较P1与P2的大小．附：临界值参考表的参考公式P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（K2＝，其中n＝a+b+c+d）解：（1）根据题意填写列联表，如下：男女合计Y8060140N204060合计100100200根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524＞6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，根据列联表得出男性了解“云课堂”倡议的概率为＝，女性了解“云课堂”倡议的概率为＝，所以计算概率P1＝••＝，概率P2＝••＝，所以P1＞P2．20．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．（1）求证：EF⊥DA；（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，在四棱锥D﹣ABCN中，CN⊂平面CDN，BM⊄平面CDN，∴BM∥平面CDN，又平面BMEF∩平面CDN＝EF，∴BM∥EF，∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，又DA⊂平面ADN，∴EF⊥DA；（2）解：存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．∵DA＝DN，AM＝MN＝1，连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，∴DM⊥平面ABCN．如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，），B（0，1，0），M（0，0，0），N（﹣1，0，0），，，，设，（0＜λ＜1），则E（λ﹣1，0，），＝（λ﹣1，0，），设平面BMEF的一个法向量为，则，不妨令x＝，则z＝1﹣λ，，设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有sinα＝|cos＜＞|＝＝，解得或（舍）．∴，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，E为棱DN上靠近N点的四等分点．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB ⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．解：（1）由题意可知，b＝2，a﹣c＝﹣1，又a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1，所以椭圆的标准方程为：；（2）设四边形ACBD的面积为S，则S＝，①当AB⊥x轴时，|AB|＝，|CD|＝2a，所以S＝，②当CD⊥x轴时，|CD|＝，|AB|＝2a，所以S＝，③当AB与CD都不与x轴垂直时，直线AB的斜率存在且不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为﹣，则设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程，消去y整理可得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20＝0，所以x，所以|AB|＝＝（*），过F2做直线CD的平行线和椭圆E交于点C1，D1，由对称性知|C1D1|＝|CD|，在（*）中的k换成﹣，得|C1D1|＝＝，所以|CD|＝，所以S＝|B||CD|＝••＝，令t＝1+k2，则t＞1，所以S＝＝＝，令u＝，则u∈（0，1），所以S＝＝，因为﹣（u﹣）2+∈（20，]，所以S∈[，8）所以四边形ACBD面积的取值范围[，8）．22．已知函数f（x）＝xe3x﹣（a+1）lnx+﹣1，g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+．定义新函数d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|min．（1）当a≤﹣2时，讨论函数g（x）的单调性；（2）若新函数d（f，g）的值域为[0，+∞），求a的取值范围．解：（1）函数g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+，则g′（x）＝﹣+（a+2）x﹣＝（x＞0），①当a+2＝0，即a＝﹣2时，，令g'（x）＞0，解得x＞1，令g'（x）＜0，解得0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；②当a＜﹣2时，，（i）当，即﹣4＜a＜﹣2时，令g'（x）＞0，解得，令g'（x）＜0，解得0＜x＜1或x＞，故g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；（ii）当＝1，即a＝﹣4时，，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减；（iii）当a＜﹣4时，令g'（x）＞0，解得＜x＜1，令g'（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，所以g（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增．综上所述，当a＝﹣2时，g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；当a＝﹣4时，以g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增．（2）因为|f（x）﹣g（x）|min∈[0，+∞），所以f（x）﹣g（x）＝0有解，即a+2＝在（0，+∞）上有解，令h（x）＝，则，令μ（x）＝3x2e3x+lnx，则，故μ（x）在（0，+∞）上单调递增，又，故存在x0，使，当x∈（0，x0）时，μ（x）＜0，即h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，μ（x）＞0，即h'（x）＞0，则h（x）单调递增，故h（x）的最小值为h（x0）＝且x→+∞，h（x）→+∞，由，可得，即，令V（x）＝xlnx（x＞1），V'（x）＝2+lnx＞0，所以V（x）在（1，+∞）上单调递增，又，即3x0＝﹣lnx0，所以，故h（x）的最小值为，故a+2≥3，所以a≥1．。
2024年新高考版数学专题1_1.2 常用逻辑用语(分层集训)
2.(2023届福建龙岩一中月考,3)下列命题中,错误的命题是 ( ) A.函数f(x)=x与g(x)=( x )2不是同一个函数 B.命题“∃x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”
C.设函数f(x)=
2x 2x , x
2,
x 0,
0,
则f(x)在R上单调递增
2.(2022福建龙岩一模,1)已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“M ⊆N”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B
3.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D
2.(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C
4.(2021山东淄博模拟,5)已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
()
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0 答案 B
D. 1 + 1 ≠0
ab
5.(多选)(2021辽宁省实验中学二模,4)下列四个选项中,q是p的充分必要 条件的是 ( )
A.p:
2021届高三新高考模拟数学试题(解析版)
2021届高三新高考模拟英语试题第一部分阅读(共两节, 满分50分)第一节(共15小题;每小题2. 5分, 满分37. 5分)阅读下列短文, 从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
ABest Cookbooks for KidsBest Overall: Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!)◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartWith the help of this best-selling cookbook, your kids will become masters in the kitchen! Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat ! )is ideal for children aged 6 to 12, as it includes detailed explanations of basic cooking techniques, plus more than 50 kid-friendly recipes. This award-winning cookbook is a comprehensive guide for cooking novices, explaining skills and recipes in kid-friendly language.Best for Basic Learner: Better Homes and Gardens New Junior Cookbook◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartIf you want to teach your kids cooking terms, tools and techniques, you need the Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.This 128-page cookbook has more than 65 kid-friendlyrecipes, and it’s perfect for introducing kids aged 5 to 12 to the wonderful world of cooking. It includes a detailed section on cooking terms, kitchen safety, tools (including pictures), and healthy cooking. It also addresses how to measure ingredients and how to read recipes.Best Classic: Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls◎Buy on Amazon◎Buy on Target◎Buy on WalmartThe first edition of this classic kids’ cookbook was published more than 60 years ago, and the Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls is still a favorite for kids and adults alike. The recipes are ideal for children aged 8 to 12. This cookbook is an authentic reproduction of the original 1957 edition, which many baby boomers learned from themselves! Many older buyers write that they had the same cookbook growing up and love sharing the classic recipes with the next generation.Best Vegetarian: The Help Yourself Cookbook for Kids◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartThis vegan cookbook is best for children aged 6 to 12, and its aim is to teach kids about healthy eating by involving them in the cooking process. The book features 60 plant-based recipes for you to make with your family, including meals, snacks, drinks and desserts.1. Which cookbook can be purchased on Target?A. Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!).B. Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.C. Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls.D. The Help Yourself Cookbook for Kids.2. What can we know about Better Homes and Gardens New Junior Cookbook?A. It is an award-winning cookbook.B. It teaches the kids about kitchen safety.C. It includes 60 plant-based recipes.D. It was published more than 60 years ago.3. What is the similarity between Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!) and The Help Yourself Cookbook for Kids?A. They are both designed for kids aged 6-12.B. They have recipes based on plants.C. They have recipes for whatever you want.D. They explain how to measure ingredients.『语篇解读』本文主要介绍了四本适合孩子们的食谱。
解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)
专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。
押第1题 集合(新高考)(解析版)--2023年新高考数学临考题号押题
押新高考卷1题集合考点3年考题考情分析集合2022年新高考Ⅰ卷第1题2022年新高考Ⅱ卷第1题2021年新高考Ⅰ卷第1题2021年新高考Ⅱ卷第2题2020年新高考Ⅰ卷第1题2020年新高考Ⅱ卷第1题高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的新高考试题，均考查集合间的交集、并集和补集的基本运算．可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕集合间的基本关系展开命题．1.集合有n 个元素，子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空真子集个数为22n -个.2.{}B x A x x B A ∈∈=且 ，{}B x A x x B A ∈∈=或 3.{}Ax U x x A C U ∉∈=且1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N ⋂=（）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.5．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U 故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.6．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）设集合A={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A {2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.。
2021年高考数学模拟试卷(文科)(五)含解析
2021年高考数学模拟试卷（文科）（五）含解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A．B．C．±1 D．x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）2．已知A={y|y=log2A．B．（0，1）C．D．∅3．“0≤m≤1”是“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．35．将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左．向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．46．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．7．曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为（）A．B．C．D．28．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（4）•g （﹣4）＜0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知f（x+1）=f（x﹣1），f（x）=f（﹣x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，则f（x）=0在区间[0，xx]内根的个数为（）A．1006 B．1007 C．xx D．xx10．已知函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11．已知函数，则=．12．已知实数x∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是．13．已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，若{a n}是正项等比数列，且，则a6+a8等于．14．已知平面区域P：．设圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=2，若圆心C∈P且圆C 与直线x+y﹣7=0相切，则z=2a﹣b的最大值为．15．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|2x﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确结论的序号）．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，f（A）=1，求b+c的最大值．17．甲乙二人有4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）写出甲乙抽到牌的所有情况．（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？18．在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如图1）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如图2），已知D是AB的中点．（1）求证：CD∥平面AEF；（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．19．已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16 （1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．20．已知函数f（x）=x+﹣alnx（a＞﹣1）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，e]（e=2.718…为自然数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．21．如图，椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交C于A，B 两点，△ABF1的周长为8，且F2与抛物线y2=4x的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且=λ，=μ，求λ+μ的值；（Ⅲ）是否存在实数t，使得|AF2|+|BF2|=t|AF2|•|BF2|恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．xx年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（文科）（五）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A．B．C．±1 D．【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的模的求法直接求出b的值，即可得到复数的虚部．【解答】解：复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，所以，解得b=．故选D．2．已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．B．（0，1）C．D．∅【考点】交集及其运算．【分析】由题设条件知A={y|y＞0}，B={y|0＜y＜}，由此能够得到A∩B的值．【解答】解：∵，∴=．故选A．3．“0≤m≤1”是“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】f（x）是连续函数，从而f（x）是否有零点就看是否满足，从而从两个方向判断：先看“0≤m≤1”能否得到“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”，再看“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”能否得到“0≤m≤1”，并且f（x）的最大值为m，最小值为m﹣2．【解答】解：（1）若0≤m≤1，﹣1≤sinx≤1；∴﹣2≤sinx+m﹣1≤1；即f（x）∈[﹣2，1]；∴此时f（x）存在零点；“0≤m≤1”是“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”的充分条件；（2）若“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”，则f（x）的最大值m≥0，最小值m﹣2≤0；∴0≤m≤2；∴得不到0≤m≤1；∴“0≤m≤1”不是“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”的必要条件；∴综上得“0≤m≤1”是“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”的充分不必要条件．故选：A．4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．5．将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左．向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由三角函数的图象平移得到平移后的两个函数的解析式，再由两函数的对称轴重合得到ωx+=ωx﹣或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z．由此求得最小正数ω的值．【解答】解：把函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin[ω（x+）﹣]=2sin（ωx+π），向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin[ω（x﹣）﹣]=2sin（ωx﹣π）．∵所得的两个图象对称轴重合，∴ωx+π=ωx﹣π①，或ωx+π=ωx﹣π+kπ，k∈Z ②．解①得ω=0，不合题意；解②得ω=2k，k∈Z．∴ω的最小值为2．故选：C．6．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据条件求出店A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p；得到=，再代入离心率计算公式即可得到答案．【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．7．曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为（）A．B．C．D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，由e s+2s+1=2．解得s=0．可得切点P，因此曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离．【解答】解：f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，则e s+2s+1=2．解得s=0．∴切点为P（0，2），∴曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离d==．故选：B．8．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（4）•g （﹣4）＜0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用条件f（4）g（﹣4）＜0，确定a的大小，从而确定函数的单调性．【解答】解：由题意f（x）=a x﹣2是指数型的，g（x）=log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（4）•g（﹣4）＜0，可得出g（﹣4）＜0，由此特征可以确定C、D两选项不正确，由g（﹣4）＜0得log a4＜0，∴0＜a＜1，故其底数a∈（0，1），由此知f（x）=a x﹣2，是一个减函数，由此知A不对，B选项是正确答案故选：B．9．已知f（x+1）=f（x﹣1），f（x）=f（﹣x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，则f（x）=0在区间[0，xx]内根的个数为（）A．1006 B．1007 C．xx D．xx【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可推出f（x）=0的根为x=k+，k∈Z；从而得到f（x）=0在区间[0，xx]内根的个数．【解答】解：∵f（x）=f（﹣x+2），∴f（x）的图象关于x=1对称，又∵方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，∴方程f（x）=0在[1，2]内有且只有一个根，故方程f（x）=0在[0，2]上有且只有两个根，；又∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x）是周期为2的函数，故f（x）=0的根为x=k+，k∈Z；故f（x）=0在区间[0，xx]内根的个数为xx，故选D．10．已知函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】求导数，利用函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，确定平面区域，根据斜率的几何意义，即可求得斜率的取值范围．【解答】解：求导数可得：f'（x）=x2+2ax+2b∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴f'（x）有两个零点∵﹣1＜x1＜1＜x2＜2，∴﹣1＜﹣a＜2，∴﹣2＜a＜1 ①又f'（﹣1）=﹣2a+2b+1＞0，即2a﹣2b﹣1＜0，②f'（1）=2a+2b+1＜0，③f'（2）=4a+2b+4＞0，即2a+b+2＞0 ④在坐标系aOb中，满足①②③④的可行域如图所示直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率k=，表示可行域中动点M（a，b）与定点D （1，0）连线的斜率由，可得，此时与定点D（1，0）连线的斜率为=﹣由，可得，此时与定点D（1，0）连线的斜率为=∴直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是故选A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11．已知函数，则=．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】利用分段函数的解析式，求解函数值即可．【解答】解：函数，，====．故答案为：．12．已知实数x∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于103得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于103的概率．【解答】解：设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥103得x≥12由几何概型得到输出的x不小于103的概率为P==故答案为：．13．已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，若{a n}是正项等比数列，且，则a6+a8等于．【考点】等比数列的性质；导数的运算．【分析】构造函数F（x）=，由已知可得b=，再由等比数列的性质可得=，结合题意开方可得．【解答】解：构造函数F（x）=，求导数可得F′（x）=＜0，∴函数F（x）=单调递减，故0＜b＜1又+=b+=，解得b=，或b=2（舍去）又∵==，∴==，又{a n}是正项等比数列，∴a6+a8=故答案为：14．已知平面区域P：．设圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=2，若圆心C∈P且圆C 与直线x+y﹣7=0相切，则z=2a﹣b的最大值为15．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为，∵圆心C∈P，且圆C与直线x+y﹣7=0相切，如图，当直线b=2a﹣z点C时﹣z最小，z最大，由得到D（8，1），∴z=2a﹣b的最大值为2×8﹣1=15；故答案为：15．15．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|2x﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是②③（请写出所有正确结论的序号）．【考点】函数的值域．【分析】由“同域函数”及“同域区间”的定义可看出，当方程f（x）=x至少有两个不同解时，函数f（x）存在“同域区间”，并且该函数为“同域函数”，从而根据函数y=f（x）和y=x的交点情况或直接解方程f（x）=x即可判断方程f（x）=x解的情况，从而判断函数f（x）是否为“同域函数”．【解答】解：根据题意知，同域函数y=f（x）满足方程f（x）=x至少有两个不同解；①函数f（x）=和y=x的图象只一个交点，∴方程只一个解；∴该函数不是“同域函数”；②由x2﹣1=x得，x2﹣x﹣1=0，△=1+4＞0；∴该方程有两个不同实数根；∴该函数是“同域函数”；③解|2x﹣1|=x得，x=0，或1；∴该函数为“同域函数”；④方程log2（x﹣1）=x无解；∴该函数不是“同域函数”；∴存在“同域区间”的“同域函数”的序号是②③．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，f（A）=1，求b+c的最大值．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将f（x）解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递增区间；（2）由（1）确定的函数解析式，及f（A）=1，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA的值，及B+C的度数，用B表示出C，由a与sinA 的值，利用正弦定理表示出b与c，代入b+c中，将表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可求出正弦函数的最大值，即为b+c的最大值．【解答】解：（1）f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为T=π，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ﹣≤x≤π+，k∈Z，则f（x）的单调增区间为[kπ﹣，π+]，k∈Z；（2）∵f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，∴2A+=，∴A=，∴B+C=，∵a=，sinA=，∴由正弦定理得：====2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=2（sinB+cosB+sinB）=2（sinB+cosB）=2sin（B+）≤2，∴当B=时，b+c最大为2．17．甲乙二人有4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）写出甲乙抽到牌的所有情况．（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）方片4用4′表示，列举可得共12种不同的情况；（2）甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，4′，所求概率为；（3）列举可得甲胜的概率为P1=，乙胜的概率为P2=，此游戏不公平．【解答】解：（1）方片4用4′表示，则甲乙抽到牌的所有情况为：（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′），（4′，2），（4′，3），（4′，4），共12种不同的情况；（2）甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，4′，因此乙抽出的牌面数字比3大的概率是；（3）甲抽到的牌的数字比乙大，有（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3），（3，2）共5种情况，甲胜的概率为P1=，乙胜的概率为P2=，∵＜，∴此游戏不公平．18．在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如图1）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如图2），已知D是AB的中点．（1）求证：CD∥平面AEF；（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可证得；（2）由线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理即可证得；（3）由等积变换，V C﹣AE F =V A﹣CE F，再运用三棱锥的条件公式，即可得到．【解答】（1）证明：取AF中点M，连结DM，EM，∵D，M分别是AB，AF的中点∴DM是△ABF的中位线，∴DMBF且CEBF，四边形CDME是平行四边形，∴CD∥EM，又EM⊆面AEF且CD⊄面AEF∴CD∥面AEF；（2）证明：由左图知CE⊥AC，CE⊥BC，且右图中：AC∩BC=C，∴CE⊥面ABC，又CD⊂面ABC∴CE⊥CD，∴四边形CDME为矩形，则EM⊥MD，△AEF中EA=EF，M为AF的中点，∴EM⊥AF，且AF∩MD=M，∴EM⊥面ABF，又EM⊂面AEF，∴面AEF⊥面ABF；（3）解：∵V C﹣AE F =V A﹣CE F，由左图知AC⊥CE，又面AEC⊥平面BCEF，且AEC∩平面BCEF=CE，∴AC⊥面BCEF，即AC为三棱锥A﹣CEF的高，∴V A﹣CE F =S△CE F•AC=××1×2×2=．19．已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16 （1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，分别表示出a2a6=55，a2+a7=16联立方程求得d和a1进而根据等差数列通项公式求得a n．（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n，a n+1=c1+c2+…+c n+1两式相减得c n+1等于常数2，进而可得b n，进而根据b1=2a1求得b1则数列{b n}通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则依题意可知d＞0由a2+a7=16，得2a1+7d=16①由a3a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55②由①②联立方程求得得d=2，a1=1或d=﹣2，a1=（排除）∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c na n+1=c1+c2+…+c n+1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴c n+1=2，即c n=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=于是S n=b1+b2+b3+…+b n=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n≥2，．20．已知函数f（x）=x+﹣alnx（a＞﹣1）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，e]（e=2.718…为自然数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）通过令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=a+1，结合a＞﹣1，及x∈（0，+∞），即得结论；（2）由条件可得f（x）=x+﹣alnx在[1，e]上的最小值小于零，结合（1）可知函数的单调性，分①1+a≥e、②1＜1+a＜e、③1+a≤1，三种情况讨论即可．【解答】解：（1）由题可知函数f（x）=x+﹣alnx的定义域为（0，+∞），则f′（x）===，令f′（x）=0，即（x+1）[x﹣（1+a）]=0，解得x=﹣1或x=a+1，∵a＞﹣1，∴a+1＞0，又∵x∈（0，+∞），∴当0＜x＜1+a时，f′（x）＜0；当x＞1+a时，f′（x）＞0．所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1+a），单调递增区间为（1+a，+∞）．（2）若函数f（x）在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，则函数f（x）=x+﹣alnx在[1，e]上的最小值小于零．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，由（1）知，f（x）在[1，e]上单调递减，所以f（x）的最小值为f（e）=，令＜0，解得，∵，∴；②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，由（1）知，函数f（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（1+a）=2+a﹣aln（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，故函数f（x）在[1，e]上的最小值f（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2＞0，故此时没有满足条件的实数a；③当1+a≤1，即﹣1＜a≤0时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）的最小值为f（1）=2+a，∵﹣1＜a≤0，∴f（x）在[1，e]上的最小值f（1）=2+a＞1＞0，故此时没有满足条件的实数a；综上可得，所求实数a的取值范围是（，+∞）．21．如图，椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交C于A，B 两点，△ABF1的周长为8，且F2与抛物线y2=4x的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且=λ，=μ，求λ+μ的值；（Ⅲ）是否存在实数t，使得|AF2|+|BF2|=t|AF2|•|BF2|恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）设椭圆C的标准方程为，抛物线y2=4x的焦点为F2（1，0），可得c．由△ABF1的周长为8，可得4a=8，解得a．再利用b2=a2﹣c2即可得出．（II）由题意可设直线l的方程为：y=k（x﹣1），则M（0，﹣k），设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线方程与椭圆方程联立可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0，利用根与系数的关系、向量的坐标运算可得，μ=，即可得出λ+μ．（III）分类讨论：当直线l⊥x轴时，l的方程为：x=1．联立，解得A，B．即可得出t=．当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为：y=k（x﹣1），不妨设x2＞1＞x1，则|AF2|=，|BF2|=，x2﹣x1=，即可得出=．【解答】解：（I）设椭圆C的标准方程为，抛物线y2=4x的焦点为F2（1，0），∴c=1．∵△ABF1的周长为8，∴4a=8，解得a=2．∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的标准方程为．（II）由题意可设直线l的方程为：y=k（x﹣1），则M（0，﹣k），设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0，则x1+x2=，x1x2=，由=λ，可得（x1，y1+k）=λ（1﹣x1，﹣y1），∴，由=μ，同理可得μ=，∴λ+μ====﹣．∴λ+μ=．（III）①当直线l⊥x轴时，l的方程为：x=1．由，解得A，B．∴|AF2|=|BF2|=，∴|AF2|+|BF2|=3，|AF2|•|BF2|=，可得：|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|．此时t=．②当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为：y=k（x﹣1），不妨设x2＞1＞x1，则|AF2|==，|BF2|==，x2﹣x1===，∴=+===×=．即得：|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|．故存在实数t=，使得|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|．xx年7月3日20936 51C8 凈(23615 5C3F 尿26209 6661 晡32907 808B 肋36032 8CC0 賀22360 5758 坘3]l26656 6820 栠:}*'。
2021年全国新高考II卷数学试题(解析版)
A. {3}
B. {1, 6}
C. {5,6}
D. {1,3}
【答案】B 【解析】
【分析】根据交集、补集的定义可求 A ðU B . 【详解】由题设可得 ðU B 1,5, 6 ，故 A ðUB 1, 6 ，
故选：B.
3. 抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点到直线 y x 1的距离为 2 ，则 p （ ）
10. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足 MN OP
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据线面垂直的判定定理可得 BC 的正误，平移直线 MN 构造所考虑的线线角后可判断 AD 的正
误.
【详解】设正方体的棱长为 2 ， 对于 A，如图（1）所示，连接 AC ，则 MN //AC ， 故 POC （或其补角）为异面直线 OP, MN 所成的角，
D. 第四象限
【答案】A
【解析】
2i
【分析】利用复数的除法可化简
，从而可求对应的点的位置.
1 3i
【详解】 2 i 1 3i
2
i1
10
3i
5 5i 10
1 2
i
，所以该复数对应的点为
1 2
,
1 2
，
该点在第一象限，
故选：A
2. 设集合U {1, 2, 3, 4,5, 6}, A {1, 3, 6}, B {2, 3, 4}，则 A ∩ ðU B （ ）
故选：B. 二､选择题目：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
2021年新高考数学函数压轴小题专题突破 专题5 函数嵌套问题(解析版)
专题5 函数嵌套1．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为( ) A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解析】解：22()(21))(1)(2)x x x f x e x x x e e x x ′=−++−−=+−， ∴当2x <−或1x >时，()0f x ′>，当21x −<<时，()0f x ′<，()f x ∴在(,2)−∞−上单调递增，在(2,1)−上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()f x 的极大值为25(2)f e −=，()f x 的极小值为f （1）e =−． 作出()f x 的函数图象如图所示：25()()()f x mf x m R e−=∈，25()()0f x mf x e ∴−−=，△2200m e=+>， 令()f x t =则，则125t t e=−．不妨设120t t <<，（1）若1t e <−，则2250t e <<，此时1()f x t =无解，2()f x t =有三解； （2）若1t e =−，则225t e =，此时1()f x t =有一解，2()f x t =有两解； （3）若10e t −<<，则225t e >，此时1()f x t =有两解，2()f x t =有一解； 综上，25()()f x mf x e−=有三个不同的实数解．故选：A ．2．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程2()()10f x mf x m −+−=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A．(1,1)2e+ B．(0 C ．1(1,1)e+ D．【解析】解：化简可得0()0x f x x =<…，当0x >时，()0f x …，()f x ′= 当102x <<时，()0f x ′>，当12x >时，()0f x ′<， 故当12x =时，函数()f x有极大值1()2f =； 当0x <时，()0f x ′=<，()f x 为减函数，作出函数()f x 对应的图象如图：∴函数()f x 在(0,)+∞上有一个最大值为1()2f =； 设()t f x =，当t >()t f x =有1个解，当t =()t f x =有2个解，当0t <<时，方程()t f x =有3个解， 当0t =时，方程()t f x =有1个解， 当0t <时，方程()m f x =有0个解，则方程2()()10f x mf x m −+−=等价为210t mt m −+−=，等价为方程21(1)[(1)]0t mt m t t m −+−=−−−=有两个不同的根1t =，或1t m =−， 当1t =时，方程()t f x =有1个解，要使关于x 的方程2()()10f x mf x m −+−=恰好有4个不相等的实数根，则1t m −∈，即01m <−<11m <<+， 则m的取值范围是1) 故选：A ．3．已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x − >= −−+…，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围()A ．(4,2)−− B．(4,−− C ．(3,2)−− D．(3,−−【解析】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x − >= −−+ …，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t 且1t ，2(1,2)t ∈．可得22280112032220122b b b b b =−> ++> ⇒−<<− ++><−< ． 故选：D ．4．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x −+>= −+< ，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R −+−=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(,0)−∞B ．[1，)+∞C ．(,0)[2−∞ ，)+∞D ．(−∞，0)(1∪，)+∞【解析】解：函数22,0()(1),0x x x f x ln x x −+>=−+< 的图象如图： 方程2()2()10()f x af x a a R −+−=∈有四个相异的实数根， 必须()f x 由两个解，一个()1f x >，一个()(0f x ∈，1)， 或者()(0f x ∈，1)，另一个()0f x …，2()2()10()f x af x a a R −+−=∈，可得()f x a =±，当1a >时，1a +>，(0,1)a −．满足题意．当1a =时，2a +=，0a −=，不满足题意． 考察选项可知，D 正确； 故选：D ．5．已知函数33,0()1,0xx x x f x x lnx x ex −= ++> …，若关于x 的方程2()()10f x mf x −−=恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2−，11e + )B ．(2−，0 )(∪ 0，11e + )C ．2321(,)2e e e+−+D ．( 32−，0 )(∪ 0，221)e e e ++【解析】解：当0x …时，3()3f x x x =−，则2()333(1)(1)f x x x x ′=−=−+， 令()0f x ′=得：1x =−，∴当(,1)x ∈−∞−时，()0f x ′<，()f x 单调递减；当(1,0)x ∈−时，()0f x ′>，()f x 单调递增，且(1)2f −=−，(0)0f =，当0x >时，1()x x lnx f x e x +=+，则21()x x lnxf x e x−−′=+，显然f ′（1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0f x ′>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ′<，()f x 单调递减，且f （1）11e=+， 故函数()f x 的大致图象如图所示：，令()t f x =，则关于x 的方程2()()10f x mf x −−=化为关于t 的方程210t mt −−=， △240m =+>，∴方程210t mt −−=有两个不相等的实根，设为1t ，2t ， 由韦达定理得：12t t m +=，1210t t =−<，不妨设10t >，20t <，关于x 的方程2()()10f x mf x −−=恰好有6个不相等的实根， ∴由函数()f x 的图象可知：1101t e<<+，220t −<<，设2()1g t t mt =−−，则(2)0(0)01(1)0g g g e−>< +>，解得：23212e m e e+−<<+， 故选：C ．6．已知函数|1|221,0()21,0x x f x x x x − −= ++< …，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m −++=有五个不同实根，则m 的值是( ) A ．0或12B ．12C ．0D ．不存在【解析】解：画出函数()f x 的图象，如图所示：，当()1f x =时，有三个根，把()1f x =代入方程22()(1)()20f x m f x m −++=得，21(1)20m m −++=， 解得：0m =或12， 当0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=为2()()0f x f x −=，所以()0f x =或1，所以有五个根， 当12m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=为231()()022f x f x −+=，所以()1f x =或12，所以有7个根，舍去，综上所求，0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=有五个不同实根， 故选：C ．7．已知函数2(2),0()|2|,0x x f x x x += −>…，方程2()()0f x af x −=（其中(0,2))a ∈的实根个数为p ，所有这些实根的和为q ，则p 、q 的值分别为( ) A ．6，4B ．4，6C ．4，0D ．6，0【解析】解：2()()0f x af x −= ， ()0f x ∴=或()f x a =．作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知()0f x =有两解，()f x a =有四解． 6p ∴=．由图象可知()0f x =的两解为2x =−，2x =，()f x a =的四个解中，较小的两个关于直线2x =−对称，较大的两个关于直线2x =对称， 0q ∴=．故选：D ．8．已知函数()(1)(1)g x a x ln x =++的图象在点2(1e −，2(1))g e −处的切线与直线610x y ++=垂直( 2.71828e =…是自然对数的底数），函数()f x 满足3()(1)0xf x g x x +−−=，若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b −+=，c R ∈，且0)c <在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，则实数b 的取值范围是()A ．21(1,2]e + B ．221[2,2]e e+−C ．2221[2,]e e e−+ D ．221(2,]e e+ 【解析】解：函数()(1)(1)g x a x ln x =++的导数为()(1)g x aln x a ′=++， 可得()g x 图象在点2(1e −，2(1))g e −处的切线斜率为3a ， 由切线与直线610x y ++=垂直，可得36a =， 解得2a =，()2(1)(1)g x x ln x =++，3()(1)0xf x g x x +−−=，可得2()2f x x lnx =−， 导数为222(1)(1)()2x x f x x x x −+′=−=， 当1x >时，()0f x ′>，()f x 递增；当01x <<时，()0f x ′<，()f x 递减． 即有1x =处()f x 取得最小值1． 则()f x 在1[e，]e 的图象如右：若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b −+=，c R ∈，且0)c < 在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，可令()t f x =，则20t bt c −+=，（1） 可得t 的范围是[1，22]e −，方程（1）判别式为240b c −>，必有两不同的实数解， 设为1t ，2t ，12t t b +=， 可得11t =，22112t e<+…， 即21112b e <−+…， 解得2123b e <+…，① 又212122t e e +<−…， 22112t e <+…， 则21222113t t b e e e+<+=+…，② 由①②求并可得2212b e e <+…， 故选：D ．9．已知函数()1xf x x =+，(1,)x ∈−+∞，若关于x 的方程2()|()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是( ) A ．3(2−，0)B ．3(2−，4)3−C ．3(2−，4]3−D ．4(3−，0)【解析】解：1()11f x x −=++，|()|y f x =，(1,)x ∈−+∞的图象如下：设|()|f x t =，则2|()||()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根， ①0t =时，代入2230t mt m +++=得32m =−，即2302t t −=，另一根为32只有一个交点，舍去②一个在(0,1)上，一个在[1，)+∞上时， 设2()23h t t mt m =+++(0)230(1)1230h m h m m =+>=+++ …，解得3423m −<−…． 故选：C ．10．已知函数2()x x f x e=，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．1(1,2)e −C ．24{1,1}e −D ．24(1,1)e − 【解析】解：函数2()x x f x e=的导数为22()x x x f x e −′=， 当02x <<时，()0f x ′>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x ′<，()f x 递减，可得()f x 在0x =处取得极小值0，在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象，设()t f x =，关于x 的方程2()()10f x mf x m ++−=，即为210t mt m ++−=，解得1t =−或1t m =−，当1t =−时，()1f x =−无实根； 由题意可得当241(0,)t m e =−∈， 解得241m e −=或1m =， 所以24(1m e ∈−，1) 故选：D ．11．已知函数()1x x f x e=−，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合是( )A ．(−∞，2)(2∪，)+∞B ．1(2,)e −+∞C ．1(2,2)e −D ．12e −【解析】解：由题意1()x x f x e −′=．令1()0xx f x e −′==，解得1x =； 且1x >时，()0f x ′<，1x <时，()0f x ′>，所以()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 在1x =处取极大值11e=−． ()f x 大致图象如下：令()t f x =，则2[()]()10f x mf x m ++−=可化为210t mt m ++−=． 假设2m =，则2210t t ++=．解得1t =−，即()1f x =−．根据()f x 图象，很明显此时只有一个解，故2m =不符合题意，由此排除B 选项；假设3m =，则2320t t ++=，解得12t =−，21t =−．即()2f x =−，或()1f x =−．根据()f x 图象，很明显此时方程只有两个解，故3m =不符合题意，由此排除A 选项． 假设12m e=−时，则211(2)10t t e e +−+−=，解得111t e =−，21t =−． 即()1f x =−或1()1f x e=−， 根据()f x 的图象，很明显此时方程只有两个根， 故12m e=−不符合题意，由此排除D 故选：C ．12．已知函数||||()1x x f x e =+，2(),0()2,0f x x g x x x a x = −+>…，且g （1）0=，则关于x 的方程(())10g g x t −−=实根个数的判断正确的是( )A ．当2t <−时，方程(())10g g x t −−=没有相异实根B ．当110t e−+<<或2t =−时，方程(())10g g x t −−=有1个相异实根 C ．当111t e <<+时，方程(())10g g x t −−=有2个相异实根 D ．当111t e−<<−+或01t <…或11t e =+时，方程(())10g g x t −−=有4个相异实根 【解析】解：当0x …时，||||()111x x x x x f x xe e e−−=+=+=−+， 因为g （1）0=，所以120a −+=，所以1a =，所以21,0()21,0x xe x g x x x x −+= −+> …， 图象如图所示：当0x …时，0x −…，0x e >， 则11x xe −+…，当且仅当0x =时等号成立，()g x 在(,1)−∞−上是增加的，在(1,0)−上是减少的；当0x >时，()f x 在(0,1)上是减少的，在(1,)+∞上是增加的，故()(1)0g x g −=…恒成立．故()g x 在(,1)−∞−上是增加的，在(1,1)−上是减少的，在(1,)+∞上是增加的． 令()m g x t =−，则()10g m −=，解得：0m =或2m =，当0m =即()0g x t −=时，()g x t =，当2t <−时，()2g x <−，无解，当2m =即()2g x t −=时，()2g x t =+，当2t <−时，()0g x <，无解，故方程(())10g g x t −−=没有相异实根，故A 正确；当2t =−时，由A 可知：()0g x =，解得1x =， 当110t e −+<<时，12(1,2)t e+∈+， 由上可知()f x 在1x =−时取得极大值为1(1)1g e−=+， 结合图象可知，此时2y t =+与()g x 有且仅有一个交点，故B 正确； 当111t e<<+时，()g x t =或()2g x t =+， 若()g x t =，结合图象可知()g x 与y t =有三个不同的交点，若()2g x t =+，12(3,3)t e+∈+， 此时()g x 与y t =有一个交点，故方程(())10g g x t −−=有4个相异实根，故C 错误； 当111t e −<<−+时，1()2(1,1)g x t e=+∈+， 由C 可知此时有三个不等实根，当01t <…时，()g x t =或()2g x t =+，当()g x t =时，由图可知有两个不等实根，当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 当11t e=+时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根，当()2g x t =+时，由图可知有一个实根，故此时方程(())10g g x t −−=共有9个不等实根，故D 错误．故选：AB ．13．已知函数,1()1,12lnx x f x x x = −< …，则函数()(()1)g x f f x =+的零点是 1 ，若()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x +的最小值是 ．【解析】解：()(()1)g x f f x =+，,1()1,12lnx x f x x x = −< …， 当1x …时，0lnx …，()11f x +…，则(()1)(1)f f x ln lnx +=+，当1x <时，1112x −+>，则(()1)(2)2x f f x ln +=−． (1),1()(()1)(2),12ln lnx x g x f f x x ln x + ∴=+= −< …， 令()0g x =，则1(1)0x ln lnx += …或1(2)02x x ln < −= ， 解得1x =．故函数()(()1)g x f f x =+的零点是1；由上可知，(()1)(()1)f f x ln f x +=+，()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，即(()1)ln f x m +=−有两根，也就是()1m f x e −+=，()1m f x e −=−有两根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x …时，21m lnx e −=−，当1x <时，1112m x e −−=−， 令112m t e −=−>，则 2lnx t =，2t x e =，112x t −=，122x t =−， ∴1222t x x e t +=+−，12t >， 设()22t t e t ϕ=+−，12t >， 则()2t t e ϕ′=−，可得当1(2t ∈，)lnt 时，()0t ϕ′<， 当(,)t lnt ∈+∞时，()0t ϕ′>，则()t ϕ的最小值为(2)422ln ln ϕ=−．12x x ∴+的最小值是422ln −．故答案为：1；422ln −．14．已知函数,1()1,12lnx x f x x x = −< …，若()(()1)F x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x 的取值范围(−∞ ．【解析】解：当1x …时，()0f x lnx =…，则()11f x +…，(()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，当1x <时，1()122x f x =−>，则3()12f x +>， (()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，综上可知，()(()1)(()1)F x f f x m ln f x m =++=++，令()0F x =，得()1m f x e −+=，依题意，()1m f x e −=−有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x …时，21m lnx e −=−，当1x <时，1112m x e −−=−， 令112m t e −=−>，则1221,,1,222t x lnx t x e t x t ==−==−， ∴121(22),2t x x e t t =−>， 设1()(22),2t g t e t t =−>，则()20t g t te ′=−<，()g t ∴在1(,)2+∞上单调递减，∴1()()2g t g <， 12x x ∴的取值范围为(−∞．故答案为：(−∞．15．已知函数,2()48,25x ex x e f x x x x= − > …（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程22()3|()|20f x a f x a −+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 1{}2 ． 【解析】解：当2x …时，令()0xe exf x e −′==，解得1x =， 所以当1x …时，()0f x ′>，则()f x 单调递增，当12x 剟时，()0f x ′<，则()f x 单调递减， 当2x >时，4848()555x f x x x −==−单调递增，且()[0f x ∈，4)5作出函数()f x 的图象如图：（1）当0a =时，方程整理得2()0f x =，只有2个根，不满足条件；（2）若0a >，则当()0f x <时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a ++=++=，则()20f x a =−<，()0f x a =−<，此时各有1解，故当()0f x >时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a −+=−−=，()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）22212e e e ==>，故此时满足题意；或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21245a a e> < …，解得245a e <…， 故2[a e ∈，4)5（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解，当()0f x <时，()2f x a =−和()f x a =−无解，不符合题意．综上：a 的范围是12{}[2e ，4)5故答案为12{}[2e ，4)516．已知函数231,0()26,0a x x f x x lnx x x ++< = −> ，若关于x 的方程()()0f x f x +−=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 (2,0)− ．【解析】解：已知定义在(−∞，0)(0∪，)+∞上的函数231,0()26,0a x x f x x lnx x x ++< = −> ， 若()()0f x f x +−=在定义域上有四个不同的解 等价于231a y x x =++关于原点对称的函数231a y x x=−+−与函数()26(0)f x lnx x x =−>的图象有两个交点， 联立可得226310a lnx x x x −+−+=有两个解， 即23263a xlnx x x x =−++，0x >，可设23()263g x xlnx x x x =−++，0x >，2()32129g x lnx x x ′=+−+，2()1812120g x x x ′′=+−−=…，可得()g x ′在(0,)+∞递增， 由g ′（1）0=，可得01x <<时，()0g x ′<，()g x 递减；1x >时，()0g x ′>，()g x 递增， 即()g x 在1x =处取得极小值且为2−，作出()y g x =的图象，可得20a −<<时，226310a lnx x x x−+−+=有两个解， 故答案为：(2,0)−．17．已知函数21,0()21,0x x f x x x x + = −+> …，若关于x 的方程2()()0f x af x −=恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 (0,1) ．【解析】解：作()f x 的图象如下，，2()()()(())0f x af x f x f x a −=−=， ()0f x ∴=或()f x a =； ()0f x = 有两个不同的解， 故()f x a =有三个不同的解， 故(0,1)a ∈；故答案为：(0,1)．18．已知函数()|1|33f x x x x =−−+．（1）求函数()f x 的零点；（2）若关于x 的方程2()()0(f x mf x n m −+=、)n R ∈恰有5个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】解：（1）由题得2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x −−+<=−−+= −+…， ①当1x <时，令()0f x =，得3x =−或1x =（舍)；②当1x …时，令()0f x =，得1x =或3x =， ∴函数()f x 的零点是3−，1，3；（2）作出函数2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x −−+<=−−+= −+…的大致图象，如图：令()t f x =，若关于x 的方程2()()0f x mf x n −+=恰有5个不同的实数解， 解法一：则函数2()g t t mt n =−+的零点分布情况如下：①当11t =−，2(1,4)t ∈−时，则(1)0(4)0142g g b a −= > −<−< ，得101640142m n m n m ++= −+> −<< ，故(2,3)m ∈−； ②当14t =，2(1,4)t ∈−时，则(4)0(1)0142g g b a = −> −<−< ，得164010142m n m n m −+= ++> −<< ，故(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈−，3)(3∪，8)； 解法二：则方程20t mt n −+=的根的情况如下： ①当11t =−，2(1,4)t ∈−时，由11t =−得10m n ++=，则方程2(1)0t mt m −−+=，即(1)(1)0t t m +−−=，故21(1,4)t m =+∈−，所以(2,3)m ∈−； ②当14t =，2(1,4)t ∈−时，由14t =得1640m n −+=，则方程24(4)0t mt m −+−=，即(4)(4)0t t m −−+=，故24(1,4)t m =−∈−，所以(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈−，3)(3∪，8)．19．已知函数2()sin()2cos 1,468f x x x x R πππ=−−+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()()24410,43f x mf x x −+=∈在内有实数解，求实数m 的取值范围． 【解析】解：（1）23()sin()2cos 1sin cos cos sin cos cos sin()4684646442443f x x x x x x x x ππππππππππππ=−−+=−−=−=−… （3分） ∴函数()f x 的最小正周期为8．…（4分） 令222432k x k ππππππ−−+剟，k Z ∈，求得2108833k x k −+剟，k z ∈，故函数的单调递增区间为210[8,8]33k k −+，k Z ∈…（6分）（2）设()t f x =，4(3x ∈ ，4)，∴2(0,)433x πππ−∈，()(0f x ∴∈，∴方程2410t mt −+=在(0t ∈内有实数解，即当(0t ∈时方程有实数解．…（10分） 11442t t t += 当且仅当…时取等号，4m ∴…，…（8分） 故实数m 的取值范围是[4，)+∞．…（12分） 20．已知函数()g x 对一切实数x ，y R ∈都有()()(22)g x y g y x x y +−=+−成立，且g （1）0=，()(1)(h x g x bx c b =+++，)c R ∈，()()g x f x x=． （Ⅰ）求(0)g 的值和()g x 的解析式；（Ⅱ）记函数()h x 在[1−，1上的最大值为M ，最小值为m ．若4M m −…，当0b >时，求b 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程2(|21|)30|21|x x k f k −+−=−有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）令1x =，0y =得g （1）(0)1g −=−，g （1）0=，(0)1g ∴=， 令0y =得()(0)(2)g x g x x −=−，即2()21g x x x =−+．（Ⅱ）2()(1)h x g x bx c x bx c =+++=++．①当12b −<−，即2b >时，M m h −=（1）(1)24h b −−>，与题设矛盾②当102b −−<…时，即02b <…时，M m h −=（1）2()(1)422b b h −−+…恒成立， 综上可知当02b <…时，b 的最大值为2．（3）当0x =时，210x −=则0x =不是方程的根， 方程2(|21|)30|21|x x k f k −+−=−可化为： 2|21|(23)|21|(12)0x x k k −−+−++=，|21|0x −≠， 令|21|x t −=，则方程化为2(23)(12)0t k t k −+++=，(0)t >， 方程2(|21|)310|21|x x k f k −+−−=−有三个不同的实数解， ∴由|21|x t =−的图象知， 2(23)(12)0t k t k −+++=，(0)t >，有两个根1t 、2t ， 且1201t t <<<或101t <<，21t =． 记2()(23)(12)h t t k t k =−+++，则(0)210(1)0h k h k =+> =−<，此时0k >， 或(0)210(1)032012h k h k k =+> =−= + << ，此时k 无解， 综上实数k 的取值范围是(0,)+∞．。
2021届山东省实验中学高三第二次模拟数学试题(解析版)
2021年山东省实验中高考数学二模试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）2．已知复数z＝（a﹣3i）（3+2i）（a∈R）的实部与虚部的和为7，则a的值为（）A．1B．0C．2D．﹣23．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．已知等差数列{a n}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A．28B．29C．30D．315．已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆心都在直线x+2y+c＝0上，则t+c 的值是（）A．﹣3B．﹣2C．0D．16．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具．经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为．现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．7．两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（）A．48B．50C．98D．688．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时的解析式为f（x）＝，则函数y＝f（x）在x∈[0，4]时的图象与直线y＝﹣1围成封闭图形的面积是（）A．2B．2log23C．4D．4log23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年山东省新高考质量测评联盟高考数学联考试卷(2021.04)(解析版)
2021年山东省新高考质量测评联盟高考数学联考试卷（4月份）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{y|y＝x2﹣2}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]∪[3，+∞）C．[﹣2，1）∪（3，+∞）D．[﹣2，1]∪（3，+∞）2．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则z＝（）A．0B．i C．1+i D．1﹣i3．如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为（）A．B．C．D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．抛物线y＝2x2的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|＝（）A．4B．1C．D．7．五声音阶，古代文献酒常称为“五声”、“五音”等，是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫、商、角、徵（zhi）、羽．如按音高顺序排列，即为：12356宫商角徵羽．中国传统乐学理论对“音阶”这个现代概念，常分别从“音”、“律”、“声”等不同角度揭示其内涵，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，可排成不同音序的种数为（）A．20B．28C．32D．408．已知数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），S n为数列{b n}的前n项和，则S100＝（）A．472B．480C．580D．769二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若a＞b＞0，且ab＝1，则（）A．a＞b+1B．C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞110．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（）A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关11．已知f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程f（x）＝（）n（n∈N*）有2n+2个不相等的实数根B．y＝f（x）与g（x）＝3x的图象上存在2对关于直线y＝x的对称点C．∀x∈[1，8]，有xf（x）≤3恒成立D．当x∈[2n﹣1，2n]，n∈N*，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积S＝112．已知双曲线方程为＝1，A为双曲线右支上任意一点，F1，F2为左、右焦点，△AF1F2的内切圆圆心为I，⊙I与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点M（x0，0）．则以下结论正确的有（）A．|F1N|﹣|F2N|为定值B．I的横坐标为定值C．x0的范围是（0，3）D．⊙I半径的最大值为4三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，则f（）＝．14．平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为．15．若对于任意实数m，函数f（x）＝ωx+cosωx．在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，则ω的最小正整数值为．16．在三棱锥V﹣ABC中．△ABC是边长为6的正三角形．VA＝VB＝VC＝2，其内有n个小球，球O1与三梭锥V﹣ABC的四个面都相切，则球O1的半径为，球O2与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O1都相切，以此类推，……，球O n与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O n﹣1（n≥2，n∈N*）都相切，则球O n 的表面积等于．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，b＝c＝4且满足______．①a sin B＝b cos（A+），②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），③，在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题．（1）求角A；（2）点P为△ABC内一点，当∠BPC＝时，求△BPC面积的最大值．18．随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建﹣一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进人全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如图：月份x234567101125.23342393658.87278满意度y（%）参考数据：x i＝6，＝＝48，＝72，＝2598.48，＝414．（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度y（%）关于月份x的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程y ＝中，＝＝，．19．已知数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n（n∈N*）．（1）求a1的值和{b n}的通项公式；（2）令c n＝2n+1﹣a n ，求．20．已知四边形ABCD，∠BAC＝∠ADC＝90°，DC＝DA ＝AB，将△ADC沿AC翻折至△PAC．（1）若PA＝PB，求证PA⊥BC；（2）若二面角P﹣AC﹣B为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．21．在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）点P为直线x＝3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q，线段PQ的中点为N，问是否存在定点T，满足|PQ|＝2|NT|？若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝+ax+a2lnx（a∈R）f'（x）是f（x）的导函数．（1）若a＞0，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝x+b，求a，b的值；（2）设g（x）＝xf'（x）﹣e x，若g（x）≤0，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{y|y＝x2﹣2}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]∪[3，+∞）C．[﹣2，1）∪（3，+∞）D．[﹣2，1]∪（3，+∞）解：∵|x﹣2|≤1，∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}，∴∁R A＝{x|x＜1或x＞3}，∵y＝x2﹣2≥﹣2，∴B＝{y|y≥﹣2}，∴（∁R A）∩B＝[﹣2，1）∪（3，+∞），故选：C．2．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则z＝（）A．0B．i C．1+i D．1﹣i解：z＝1+i+i2+i3+…+i2021＝．故选：C．3．如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为（）A．B．C．D．解：因为大轮有64齿，小轮有24齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度为2π×＝，故选：D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n解：若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，故A错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n∥β，可得α∥β或α与β相交，相交也不一定垂直，故C错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故D正确．故选：D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：令f（x）＝0，解得，故函数f（x）的零点为，故选项B，D错误；因为，当x＜0时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，故选项C错误，选项A正确．故选：A．6．抛物线y＝2x2的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|＝（）A．4B．1C．D．解：抛物线y＝2x2的焦点F（0，），准线方程为y＝﹣，∴直线AB的方程为y＝x﹣，代入y＝2x2可得2x2﹣x+＝0∴x A+x B＝，y A＝x A﹣，y B＝x B﹣，所以y A+y B＝x A+x B﹣﹣＝﹣＝，由抛物线的定义可知，|AB|＝|AF|+|BF|＝y A+y B+p＝＝．故选：D．7．五声音阶，古代文献酒常称为“五声”、“五音”等，是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫、商、角、徵（zhi）、羽．如按音高顺序排列，即为：12356宫商角徵羽．中国传统乐学理论对“音阶”这个现代概念，常分别从“音”、“律”、“声”等不同角度揭示其内涵，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，可排成不同音序的种数为（）A．20B．28C．32D．40解：根据题意，分3步进行分析：①排好宫、羽、角三种音阶，要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，有2种情况，②排好后，有4个空位，将商安排到4个空位中，有4种情况，③排好后，有5个空位，将徵安排到5个空位中，有5种情况，则有2×4×5＝40种不同的顺序，故选：D．8．已知数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），S n为数列{b n}的前n项和，则S100＝（）A．472B．480C．580D．769解：数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，令m＝1，则a n+1＝a n+a1＝a n+2，故a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}为等差数列，故a n＝2+2（n﹣1）＝2n，由于b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），所以b1＝1，b2＝b3＝2，b4＝b5＝…＝b7＝3，b8＝b9＝…＝b15＝4，b16＝b17＝…＝b31＝5，b32＝b33＝…＝b63＝6，b64＝b65＝…＝b100＝7，故S100＝1+2×2+3×4+4×8+16×5+32×6+37×7＝580．故选：C．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若a＞b＞0，且ab＝1，则（）A．a＞b+1B．C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞1解：由于a＞b＞0，且ab＝1，则a＞1＞b＞0，对于A：，故确定不了与0的关系，故A错误；对于B：a2+1＞b2+1，故，故B正确；对于C：由于f（x）＝为减函数，故f（b）＞f（a），所以，故C错误；对于D：log2（a+b），故D正确；故选：BD．10．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（）A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关解：由条形图可知，五年基础研究经费随年份的增长而增长，呈线性相关，故选项A正确；由折线图可知，从2018～2019，2019～2020的折线的斜率反生变化，故年增长率发生变化，故选项B错误；由条形图对应的斜率以及折线图对应的斜率可知，基础研究经费支出的增长率大于发明专专利授权数的增长率，故选项C正确；由统计图可知，发明专利授权数与基础研究经费支出呈正相关，故选项D错误．故选：AC．11．已知f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程f（x）＝（）n（n∈N*）有2n+2个不相等的实数根B．y＝f（x）与g（x）＝3x的图象上存在2对关于直线y＝x的对称点C．∀x∈[1，8]，有xf（x）≤3恒成立D．当x∈[2n﹣1，2n]，n∈N*，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积S＝1解：当1时，f（x）＝2﹣（6﹣4x）＝4x﹣4，当时，f（x）＝2﹣（4x﹣6）＝8﹣4x，当2＜x＜3时，，f（）＝x﹣2，当3≤x≤4时，，f（）＝4﹣x，由此可知，当2n﹣1≤x≤3•2n﹣1时，f（x）＝24﹣2n（x﹣2n﹣1）；当3•2n﹣1＜x＜2n时，f（x）＝24﹣2n（2n﹣x）．对于A：f（x）与有2n+1个交点，A错误；对于B：作出g（x）关于直线y＝x对称的图像，即g（x）的反函数h（x）＝log3x，由图像可知，f（x）与h（x）有3个交点，即f（x）与g（x）有3对对称点，B错误；对于C：当1≤x≤8时，，C正确；对于D：当2n﹣1≤x≤2n时，函数f（x）与x轴围成的图形为三角形，底为2n﹣2n﹣1，高为，则S＝＝1，D正确．故选：CD．12．已知双曲线方程为＝1，A为双曲线右支上任意一点，F1，F2为左、右焦点，△AF1F2的内切圆圆心为I，⊙I与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点M（x0，0）．则以下结论正确的有（）A．|F1N|﹣|F2N|为定值B．I的横坐标为定值C．x0的范围是（0，3）D．⊙I半径的最大值为4解：双曲线方程为＝1的a＝3，b＝4，c＝5，⊙I与x轴切于点N，与AF1切于点P，与AF2切于点T，因为I的横坐标与N的横坐标相等，设I（x N，r），由切线长相等，可得|PF1|＝|NF1|，|PA|＝|TA|，|TF2|＝|NF2|，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，即有|NF1|﹣|NF2|＝2a，又|NF1|+|NF2|＝2c，解得|NF2|＝c﹣a，可得|ON|＝a，则A，B都正确；由内角平分线的性质定理可得＝＝，即有|AF2|＝3（﹣1）＞c﹣a＝2，解得0＜x＜X0＜3，故C正确；可设A（m，n），m，n＞0，△AF1F2的内切圆的半径为r，则﹣＝1，①又S＝•2c•n＝r（2c+|AF1|+|AF2|），即为5n＝r（5+3+|AF2|）＝r（8+em﹣a）＝r（5+m），化为n＝r（1+m），若r＝4，则n＝4（1+m），②联立①②，可得方程组无解．故D错误．故选：ABC．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，则f（）＝．解：已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，函数f（x）的定义域为R，f′（x）＝cos x﹣2f'（）sin x，所以f′（）＝cos﹣2f'（）sin，解得f′（）＝，所以f（）＝sin+2f'（）cos＝，故答案为：．14．平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为7．解：∵平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．故可建立如图所示的坐标系，则A（3，0），B（0，4），设C（x，y），因为|﹣﹣|＝2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，即表示以D（3，4）为圆心，2为半径的圆上的点，因为OD＝＝5，故||的最大值为：5+2＝7，故答案为：7．15．若对于任意实数m，函数f（x）＝ωx+cosωx．在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，则ω的最小正整数值为10．解：f（x）＝ωx+cos x＝2sin（ωx+），因为f（x1）f（x2）＝4，则f（x1），f（x2）同时为函数的最小或同时为函数的最大值，因为f（x）在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，所以|x1﹣x2|≥T＝＝，故m+1﹣m×，所以ω≥3π，则ω的最小正整整数为10．故答案为：10．16．在三棱锥V﹣ABC中．△ABC是边长为6的正三角形．VA＝VB＝VC＝2，其内有n个小球，球O1与三梭锥V﹣ABC的四个面都相切，则球O1的半径为，球O2与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O1都相切，以此类推，……，球O n与三棱锥V﹣ABC 的三个面和球O n﹣1（n≥2，n∈N*）都相切，则球O n的表面积等于．解：如图，取O为三角形ABC的中心，M为AB的中点，连接OM，VM，则BM＝，OM＝，VM＝，∴VO＝，由对称性可知，球心O1在VO上，且O1O＝r1（r1为球O1的半径），作O1H⊥VM，则O1H＝r1，VO1＝4﹣r1，由Rt△VOM∽Rt△VHO1，可得，即，解得，则球O1的半径为；作球O1与底面ABC平行的切面A1B1C1，则球O2即为三棱锥V﹣A1B1C1的内切球，三棱锥V﹣A1B1C1的高，由V﹣A1B1C1与V﹣ABC相似，且长度相似比为，得，可得，则{r n}构成以为首项，以为公比的等比数列，∴，可得球O n的表面积为．故答案为：；．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，b＝c＝4且满足______．①a sin B＝b cos（A+），②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），③，在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题．（1）求角A；（2）点P为△ABC内一点，当∠BPC＝时，求△BPC面积的最大值．解：选①a sin B＝b cos（A+），由正弦定理得sin A sin B＝sin B cos（A+），因为sin B≠0，所以sin A＝cos（A+）＝，即tan A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；选②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），所以sin（A+B）﹣sin B＝sin（A﹣B），所以sin A cos B+sin B cos A﹣sin B＝sin A cos B﹣sin B cos A，即2sin B cos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；选③，由正弦定理得，整理得，2sin C cos A＝sin B cos A+sin A cos B＝sin（A+B）＝sin C，因为sin C≠0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A ＝；（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝16+16﹣2×＝32﹣16，△BPC中，由余弦定理得a2＝BP2+PC2﹣2BP•PC•cos＝BP2+PC2+BP•PC≥3BP•PC，当且仅当BP＝CP时取等号，所以BP•PC，S△BPC ＝＝，△BPC 面积的最大值．18．随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建﹣一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进人全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如图：月份x234567101125.23342393658.87278满意度y（%）参考数据：x i＝6，＝＝48，＝72，＝2598.48，＝414．（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度y（%）关于月份x的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程y ＝中，＝＝，．解：（1）由题意可知，满意度小于35%的有2个月，不小于35%的由6个月，所以ξ的可能取值为1，2，3，故P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列为：ξ123P故ξ的数学期望为E（ξ）＝1×+2×+3×＝；（2）去掉6月份的数据后可得新数据表如下；月份x234571011满意度y（%）25.233423958.87278则，，，，所以＝＝，所以＝49.714﹣5.75×6＝15.21，故剩下的数据所求出的线性回归方程为y＝5.75x+15.21；19．已知数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n（n∈N*）．（1）求a1的值和{b n}的通项公式；（2）令c n＝2n+1﹣a n，求．解：（1）数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n①．当n＝1时，整理得，解得a1＝1．当n≥2时，4T n﹣1＝a n﹣12+（2n﹣1+2）a n﹣1+4n﹣2+2n﹣1②，①﹣②得：2（b n+b n﹣1）＝（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1），由于a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，所以b n+b n﹣1＞0，整理得b n﹣b n﹣1＝2（常数），由于b1＝1+1＝2，故b n＝2+2（n﹣1）＝2n，所以．（2）由（1）得：c n＝2n+1﹣a n＝2n﹣1+1，所以＝，故＝．20．已知四边形ABCD，∠BAC＝∠ADC＝90°，DC＝DA＝AB，将△ADC沿AC翻折至△PAC．（1）若PA＝PB，求证PA⊥BC；（2）若二面角P﹣AC﹣B为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为DC＝DA＝AB，PA＝PB，所以PB＝PA＝DA＝AB，在△PAB中，有，所以PA⊥PB，又∠ADC＝90°，即∠APC＝90°，所以PA⊥PC，因为PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC；（2）解：取AC的中点E，BC的中点F，连结EF，PE，则EF∥AB，因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，所以EF⊥AC，因为DC＝DA，即PC＝PA，所以PE⊥AC，所以∠PEF为二面角P﹣AC﹣B的平面角，∠PEF＝，设DC＝DA＝AB＝，则，PE＝，以点E为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面PBC的一个法向量为，则，即，令x＝1，则y＝0，，故，所以＝，故直线BC与平面PAB所成角的正弦值为．21．在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）点P为直线x＝3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q，线段PQ的中点为N，问是否存在定点T，满足|PQ|＝2|NT|？若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设M（x，y），因为动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍，所以，化简整理可得，，故动点M的轨迹E的方程为；（2）由题意可知，直线PQ的斜率一定存在，设其方程为y＝kx+m，则点P（3，3k+m），联立直线PQ与椭圆E可得，则（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0，所以，求解可得，所以，椭圆右焦点F2（2，0），所以，，所以，所以QF2⊥PF2，因为N是PQ的中点，所以|QP|＝2|NF2|，所以存在定点T（2，0），满足|PQ|＝2|NT|．22．已知函数f（x）＝+ax+a2lnx（a∈R）f'（x）是f（x）的导函数．（1）若a＞0，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝x+b，求a，b的值；（2）设g（x）＝xf'（x）﹣e x，若g（x）≤0，求实数a的取值范围．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x+a+，所以f′（1）＝+a+＝，解得a＝2或a＝﹣4（舍），所以f（1）＝，所以切点坐标为（1，），代入切线方程得b＝﹣，所以a＝2，b＝﹣．（2）g（x）＝x2+ax+﹣e x，x∈（0，+∞），所以g′（x）＝x+a﹣e x，设h（x）＝x+a﹣e x，x∈（0，+∞），所以h′（x）＝1﹣e x＜0，所以g′（x）在（0，+∞）上是减函数，且g′（x）＜g′（0）＝a﹣1，①当a﹣1≤0时，即a≤1时，g′（x）＜g′（0）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，所以g（x）＜g（0）＝﹣1≤0，解得﹣≤a≤，所以﹣≤a≤1．②当a﹣1＞0时，即a＞1时，g′（0）＝a﹣1＞0，g′（ln2a）＝ln2a﹣a，设m（a）＝ln2a﹣a，所以m′（a）＝﹣1＝＜0，所以m（a）在（1，+∞）上是减函数，所以g′（ln2a）＝ln2a﹣a＜m（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在唯一x0∈（0，ln2a）满足g′（x0）＝0，即x0+a﹣＝0，所以当x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x0，ln2a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（x0）＝x02+ax0+﹣＝（x0+a）2﹣＝﹣≤0，解得0＜≤2，所以0＜x0≤ln2，因为a＝﹣x0且0＜x0≤ln2，设φ（x）＝e x﹣x，x∈（0，ln2]，所以φ′（x）＝e x﹣1＞0，所以φ（x）在（0，ln2]上是增函数，因为φ（0）＝0，φ（ln2）＝2﹣ln2，所以1＜a≤2﹣ln2，综上所述，实数a的取值范围是[﹣，2﹣ln2]．。
(适用于新高考新教材)单元质检卷五 数列 Word版含解析
单元质检卷五 数列(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021湖南永州高三月考)“a ,b ,c 成等比数列”是“a 2,b 2,c 2成等比数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.(2021福建宁德高三三模)在等差数列{a n }中,其前n 项和为S n ,若S 1=S 25,a 3+a 8=32,则S 16=( ) A.80B.160C.176D.198 3.(2021湖北武汉高三月考)“十二平均律”是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的振动数之比完全相等,亦称“十二等程律”,即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音的频率是最初那个音的2倍.设第8个音的频率为f ,则频率为√842f的音是( ) A.第3个音 B.第4个音C.第5个音D.第6个音 4.(2021河北邯郸高三期末)在等差数列{a n }中,a 2+2a 5=15,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 7=( )A.30B.35C.40D.455.(2021湖北武昌高三一模)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若存在m ∈N *,满足S 2m S m =9,a2m a m=5m+1m -1,则数列{a n }的公比为( )A.-2B.2C.-3D.36.(2021浙江金华高三月考)已知数列na n 是等差数列,则( )A.a 3+a 6=2a 4B.a 3+a 6=a 4+a 5C.1a 3+1a 6=2a 4D.1a 3+1a 6=1a 4+1a 57.(2021北京朝阳高三二模)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知a 1=8,a 4=-1,则数列{S n }( ) A.有最大项,有最小项 B .有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项D .无最大项,无最小项8.(2021湖南长郡中学高三二模)在数列{a n }中,a n =1f (n ),其中f (n )为最接近√n 的整数,若数列{a n }的前m 项和为20,则m=( ) A.15B.30C.60D.110二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021山东德州高三期中)在数列{a n}中,a1=1,a n a n-1-a n-1+1=0(n≥2,n∈N*),S n是其前n项和,则()2A.a6=2B.S12=6C.a112=a10a12D.2S11=S10+S1210.(2021河北衡水一中高三月考)已知数列{a n}是等比数列,公比为q,前n项和为S n,下列说法正确的有()为等比数列A.数列1a nB.数列log2a n为等差数列C.数列{a n+a n+1}为等比数列D.若S n=3n-1+r,则r=-1311.(2021广东佛山高三开学考试)若直线3x+4y+n=0(n∈N*)与圆C:(x-2)2+y2=a n2(a n>0)相切,则()A.a1=65B.数列{a n}为等差数列C.圆C可能过坐标原点D.数列{a n}的前10项和为2312.(2021广东珠海高三二模)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可循的,一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形,如图1,在长度为1的线段AB,以线段CD为边在线段AB的上方作一个正方形,然后擦掉线AB上取两个点C,D,使得AC=DB=14段CD,就得到图2;对图2中的最上方的线段EF作同样的操作,得到图3;依次类推,我们就得到以下的一系列图形.设图1,图2,图3,……,图n,各图中的线段长度和为a n,数列{a n}的前n项和为S n,则()A.数列{a n}是等比数列B.S10=6657256C.a n<3恒成立D.存在正数m,使得S n<m恒成立三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021江苏南通高三三模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d,若S2n=2S n+n2,则d=.14.(2021福建三明高三二模)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,a n a n+1=22n+1,则S n=.15.(2021江西南昌高三开学考试)在数列{a n}中,a n+a n+2=n(n∈N*),则数列{a n}的前20项和S20=.16.(2021北京昌平高三模拟)已知数列{a n}的通项公式为a n=ln n,若存在p∈R,使得a n≤pn对任意n ∈N*都成立,则p的取值范围为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021广西南宁高三月考)已知等差数列{a n}满足a n+2a n+1=3n+5.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列1a n a n+1的前n项和为S n.若∀n∈N*,S n<-λ2+4λ(λ为偶数),求实数λ的值.18.(12分)(2021山东泰安高三模拟)已知S n为等比数列{a n}的前n项和,若a3=2,且4a1,3S2,2S3是等差数列{b n}的前三项.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)求数列{b n}的通项公式,并求使得a n>b n的n的取值范围.19.(12分)(2021重庆巴蜀中学高三月考)已知数列{a n}满足a n>0,数列{a n}的前n项和为S n,若,在以下三个条件中任选一个条件填入横线上,完成问题(1)和(2):①a1+3a2+32a3+…+3n-1a n=n·3n(n∈N*);②数列{c n}满足:c n=1a n+1−1a n,a1=3,且{c n}的前n项和为12n+3−13;③S n=(a n+1)24-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}是首项和公比均为2的等比数列,求数列{a b}中有多少个小于2 021的项.n20.(12分)已知数列{a n}的前n项和S n满足:tS n+1-S n=t(a n+1+a n-1),t∈R且t(t-1)≠0,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)已知数列{b n}是等差数列,且b1=3a1,b2=2a2,b3=a3,求数列{a n b n}的前n项和T n.21.(12分)(2021福建龙岩高三期中)已知各项均为正数的无穷数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,nS n+1=(n+1)S n+n(n+1)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记[x]表示不超过x的最大整数,如[0.99]=0,[3.01]=3.令b n=[√a n],求数列{b n}的前51项和T51.22.(12分)(2021天津和平高三模拟)已知函数f(x)=x2+m,其中m∈R,定义数列{a n}如下:a1=0,a n+1=f(a n),n∈N*.(1)当m=1时,求a2,a3,a4的值;(2)是否存在实数m,使a2,a3,a4成公差不为0的等差数列?若存在,请求出实数m的值;若不存在,请说明理由;时,总能找到k∈N*,使得a k>2 021.(3)求证:当m>14单元质检卷五 数列1.A 解析 若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac ,此时a 2c 2=(ac )2=b 4,则a 2,b 2,c 2成等比数列,即充分性成立.反之当a=1,b=1,c=-1时满足a 2,b 2,c 2成等比数列,但a ,b ,c 不成等比数列,即必要性不成立,即“a ,b ,c 成等比数列”是“a 2,b 2,c 2成等比数列”的充分不必要条件.故选A .2.B 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可知,{a 1=25a 1+12×25×24×d ,a 1+2d +a 1+7d =32,即{2a 1+25d =0,2a 1+9d =32,解得{a 1=25,d =-2,故S 16=16×25+12×16×15×(-2)=160.故选B .3.C 解析 由题意知,这13个音的频率成等比数列,设这13个音的频率分别是a 1,a 2,…,a 13,公比为q (q>0),则a13a 1=q 12=2,得q=√212,所以a n =a 8q n-8=(√212)n-8f=2n -812f.令2n -812f=√842f=2-14f ,解得n=5.故选C .4.B 解析 由a 2+2a 5=15得a 2+a 4+a 6=15,即3a 4=15,因此a 4=5,于是S 7=7a 4=7×5=35.故选B .5.B 解析 设数列{a n }的公比为q.若q=1,则S 2m S m=2,与题中条件矛盾,故q ≠1.∵S2m S m=a 1(1-q 2m )1-q a 1(1-q m )1-q=q m +1=9,∴q m=8.∵a 2m a m=a 1q 2m -1a 1q m -1=q m =8=5m+1m -1,∴m=3,∴q 3=8,∴q=2.故选B .6.C 解析 设数列na n 的公差为d ,则4a 4=3a 3+d ,5a 5=3a 3+2d ,6a 6=3a 3+3d ,因此1a 3+1a 6=1a 3+163a 3+3d =123a 3+d =12×4a 4=2a 4,故选项C 正确;a 6=2a 3da 3+1,a 4=4a 3da 3+3,不满足a 3+a 6=2a 4,故选项A 错误;a 5=5a 32da 3+3,a 3+a 6≠a 4+a 5,故选项B 错误;1a 3+1a 6=32a 3+12d ,1a 4+1a 5=2720a 3+1320d ,则1a 3+1a 6≠1a 4+1a 5,故选项D 错误.故选C .7.A 解析 设数列{a n }的公比为q ,则q 3=a 4a 1=-18,所以q=-12,所以S n =a 1(1-q n )1-q=8[1-(-12) n ]1-(-12)=1631--12n.当n 为偶数时,S n =1631-12n,即S 2<S 4<S 6<…<163;当n 为奇数时,S n =163(1+12n),即S 1>S 3>S 5>…>163,所以数列{S n }有最大项S 1,最小项S 2,故选A .8.D 解析 由题意知,函数f (n )为最接近√n 的整数.f (1)=1,f (2)=1,f (3)=2,f (4)=2,f (5)=2,f (6)=2,f (7)=3,f (8)=3,f (9)=3,f (10)=3,f (11)=3, f (12)=3,…,由此可得在最接近√n 的整数f (n )中,有2个1,4个2,6个3,8个4,….又由a n =1f (n ),可得a 1=a 2=1,a 3=a 4=a 5=a 6=12,a 7=a 8=…=a 12=13,…,则a 1+a 2=2,a 3+a 4+a 5+a 6=2,a 7+a 8+…+a 12=2,….因为数列{a n }的前m 项和为20,即S m =10×2=20,可得m 为首项为2,公差为2的等差数列的前10项和,所以m=10×2+10×92×2=110.故选D .9.ABC 解析 当n=2时,有a 2a 1-a 1+1=0,即12a 2-12+1=0,解得a 2=-1,同理可得a 3=2,a 4=12,因此数列{a n }的项以3为周期重复出现,且S 3=a 1+a 2+a 3=12-1+2=32,所以a 6=a 3=2,故选项A正确;S 12=4S 3=4×32=6,故选项B 正确;因为a 11=a 2=-1,a 10=a 1=12,a 12=a 3=2,所以a 112=a 10a 12,故选项C 正确;因为2S 11=2(S 9+a 10+a 11)=23×32+12-1=8,S 10+S 12=S 9+a 10+S 12=3S 3+4S 3+a 10=7×32+12=11,所以2S 11≠S 10+S 12,故选项D 不正确,故选ABC.10.AD 解析 对于A 选项,设b n =1a n ,则b n+1b n =a n a n+1=1q (n ≥1,n ∈N *),所以数列1a n 为等比数列,故A 正确;对于B 选项,若a n <0,则log 2a n 没意义,故B 错误;对于C 选项,当q=-1时,a n +a n+1=0,等比数列的任一项都不能为0,故C 错误;对于D 选项,由题意得q ≠1,S n =a 1(1-q n )1-q=a 1q q -1q n-1-a 1q -1.由S n =3n-1+r 得,q=3,a 1q q -1=1,即a 1=23,所以r=-a 1q -1=-13,故D 正确.故选AD .11.BCD 解析 由圆C :(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0),则圆心C (2,0),半径为a n .因为直线3x+4y+n=0与圆C :(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0)相切,所以圆心C (2,0)到直线3x+4y+n=0的距离为a n ,即√9+16=n+65=a n ,则a 1=75,故选项A 错误;由a n =n+65,可得a n+1-a n =15,所以数列{a n }是以15为公差的等差数列,故选项B 正确;将(0,0)代入C :(x-2)2+y 2=a n 2,解得a n =2.由n+65=2,解得n=4,所以当n=4时,圆C 过坐标原点,故选项C 正确;设数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n =n(75+n+65)2=n (n+13)10,所以S 10=10×(10+13)10=23,故选项D 正确.故选BCD.12.BC 解析 由题意可得a 1=1,a 2=a 1+2×12,a 3=a 2+2×122,以此类推可得a n+1=a n +2×12n ,则a n+1-a n =22n ,所以a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+221+222+…+22n -1=1+1-12n -11-12=3-12n -2,所以数列{a n }不是等比数列,故A 错误;对于B 选项,S 10=3×10-2(1-1210)1-12=26+128=6 657256,故B 正确;对于C 选项,a n =3-12n -2<3恒成立,故C 正确;对于D 选项,因为a n =3-12n -2>0恒成立,且a n+1-a n =3-12n -1-3+12n -2=12n -1>0,则数列{S n }为递增数列,所以数列{S n }无最大值,因此不存在正数m ,使得S n <m ,故D 错误.故选BC .13.1 解析 因为数列{a n }为公差为d 的等差数列,所以S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n (a 1+a 2n ),S n =n (a 1+a n )2.又S 2n =2S n +n 2,所以n (a 1+a 2n )=2×n (a 1+a n )2+n 2,即a 1+a 2n =a 1+a n +n ,所以a 2n -a n =nd=n ,解得d=1.14.2n+1-2 解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q (q>0),首项为a 1(a 1>0). 因为a n a n+1=22n+1,所以a n+1a n+2=22n+3,因此a n+1a n+2an a n+1=22n+322n+1=4,即q 2=4,所以q=2.而a 1a 2=8,即a 12q=8,所以a 1=2,所以S n =2(1-2n )1-2=2n+1-2.15.95 解析 因为a n +a n+2=n (n ∈N *),所以a n+1+a n+3=n+1(n ∈N *),所以a n +a n+1+a n+2+a n+3=2n+1(n ∈N *),所以S 20=a 1+a 2+…+a 20=(a 1+a 2+a 3+a 4)+…+(a 17+a 18+a 19+a 20)=2×1+1+2×5+1+2×9+1+2×13+1+2×17+1=2×(1+5+9+13+17)+5=2×(1+17)×52+5=95. 16.ln33,+∞ 解析 若存在p ∈R ,使得a n ≤pn 对任意的n ∈N *都成立,则p ≥lnnnmax .设f (x )=lnxx(x ∈N *),则f'(x )=1x ·x -lnxx 2.令f'(x )=1-lnxx 2=0,解得x=e,所以函数f (x )在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以函数在x=e 时取最大值.因为n ∈N *,所以当n=3时函数最大值为ln33,所以p 的取值范围是ln33,+∞. 17.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a n +2a n+1=3n+5,所以{a 1+2a 2=8,a 2+2a 3=11即{3a 1+2d =8,3a 1+5d =11,解得{a 1=2,d =1,所以a n =2+(n-1)=n+1.经检验,a n =n+1符合题设,所以数列{a n }的通项公式为a n =n+1. (2)由(1)得,1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2,所以S n =12−13+13−14+…+1n+1−1n+2=12−1n+2. 因为n ∈N *,所以S n <12.又因为∀n ∈N *,S n <-λ2+4λ, 所以-λ2+4λ≥12,即(λ-2)2≤72. 因为λ为偶数,所以实数λ的值为2.18.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q.由4a 1,3S 2,2S 3是等差数列{b n }的前三项,得6S 2=4a 1+2S 3,即3S 2=2a 1+S 3, 所以3(a 1+a 1q )=2a 1+a 1+a 1q+a 1q 2,整理得q 2=2q ,解得q=2. 由a 3=2,得a 1×22=2,所以a 1=12, 所以S n=12(1-2n )1-2=2n -12. (2)由(1)得a n =2n-2,所以4a 1=2,3S 2=92,2S 3=7, 即等差数列{b n }的前三项为2,92,7, 所以b n =2+(n-1)92-2=12(5n-1).由a n >b n ,得12×2n-1>12×(5n-1),即2n-1>5n-1. 令c n =2n-1-5n+1,则有c n+1-c n =2n-1-5.当1≤n ≤3时,c n+1-c n <0,即c 1>c 2>c 3>c 4; 当n ≥4时,c n+1-c n >0,即c 4<c 5<…<c n <…. 而c 1=-3,c 5=-8,c 6=3,所以使a n >b n 的n 的取值范围是{n|n ≥6,n ∈N *}. 19.解 (1)若选①.因为a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n·3n (n ∈N *),所以当n ≥2时,a 1+3a 2+32a 3+…+3n-2a n-1=(n-1)·3n-1, 两式相减得3n-1a n =(2n+1)·3n-1,则a n =2n+1. 又a 1=2+1=3,符合上式,所以a n =2n+1(n ∈N *). 若选②.由于c1+c2+…+c n=1a2−1a1+1a3−1a2+…+1a n+1−1a n=1a n+1−1a1=12n+3−13,又a1=3,所以a n+1=2n+3,因此当n≥2时,a n=2n+1.又a1=2+1=3,符合上式,所以a n=2n+1(n∈N*).若选③.当n=1时,a1=3.因为S n=(a n+1)24-1(n∈N*),所以当n≥2时,S n-1=(a n-1+1)24-1(n∈N*),两式相减得a n=S n-S n-1=(a n+1)24−(a n-1+1)24,即4a n=a n2+2a n+1-a n-12-2an-1-1,所以(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0.又a n>0,所以a n-a n-1=2, 故数列{a n}为等差数列,而a1=3,d=2,所以a n=2n+1.(2)由已知得b n=2n,所以a bn =2b n+1=2n+1+1,易知数列{a bn}为递增数列.又210=1 024<2 021,211=2 048>2 021,所以n+1≤10,n≤9,n∈N*,所以数列{a bn}中有9个小于2 021的项.20.解(1)当n=1时,tS2-S1=t(a2+a1-1),解得a1=t,当n≥2时,tS n+1-S n=t(a n+1+a n-1),tS n-S n-1=t(a n+a n-1-1),两式相减得ta n+1-a n=t(a n+1-a n-1),即a n=ta n-1.又因为a1=t≠0,所以a n-1≠0,即a na n-1=t,所以数列{a n}是以t为首项,t为公比的等比数列,故数列{a n}的通项公式为a n=t n,n∈N*.(2)由题意可知,2b2=b1+b3,即4a2=3a1+a3,所以4t2=3t+t3.因为t≠0,所以t2-4t+3=0,解得t=3,t=1.又因为t≠1,所以t=3,故a n=3n,n∈N*.设数列{b n}的公差为d.由b1=9,b2=18,b3=27,可知d=9,因此b n=b1+(n-1)d=9+9(n-1)=9n,所以a n b n=9n·3n=n·3n+2,所以T n=1×33+2×34+3×35+…+n·3n+2, ①3T n=1×34+2×35+…+(n-1)·3n+2+n·3n+3, ②①-②得-2T n=33+34+35+…+3n+2-n·3n+3=3n+3-272-n·3n+3,所以T n=(2n-1)3n+3+274.21.解(1)因为nS n+1=(n+1)S n+n(n+1),所以S n+1n+1=S nn+1.又因为S1=a1=1,所以数列S nn是以1为首项,1为公差的等差数列,因此S nn=n,即S n=n2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1,又因为a1=1符合上式,故a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)知b n=[√a n]=[√2n-1],当n∈{1,2}时,b n=[√2n-1]=1;当n∈{3,4}时,b n=[√2n-1]=2;当n∈{5,6,7,8}时,b n=[√2n-1]=3;当n∈{9,10,11,12}时,b n=[√2n-1]=4;当n∈{13,14,15,16,17,18}时,b n=[√2n-1]=5;当n∈{19,20,21,22,23,24}时,b n=[√2n-1]=6;当n∈{25,26,…,31,32}时,b n=[√2n-1]=7; 当n∈{33,34,…,37,40}时,b n=[√2n-1]=8;当n∈{41,42,…,49,50}时,b n=[√2n-1]=9;当n=51时,b n=[√2n-1]=10,所以数列{b n}的前51项和T51=2×1+2×2+4×3+4×4+6×5+6×6+8×7+8×8+10×9+1×10=320.22.(1)解因为m=1,所以f(x)=x2+1.因为a1=0,所以a2=f(a1)=f(0)=1,a3=f(a2)=f(1)=2,a4=f(a3)=f(2)=5.(2)解存在.(方法1)假设存在实数m,使得a2,a3,a4成公差不为0的等差数列,则a2=f(0)=m,a3=f(m)=m2+m,a4=f(a3)=(m2+m)2+m.因为a2,a3,a4成等差数列,所以2a3=a2+a4,所以2(m2+m)=m+(m2+m)2+m,化简得m2(m2+2m-1)=0,解得m=0(舍),m=-1±√2.经检验,此时a2,a3,a4的公差不为0,所以存在m=-1±√2,使得a2,a3,a4成公差不为0的等差数列.(方法2)因为a2,a3,a4成等差数列,所以a3-a2=a4-a3,即a22+m-a2=a32+m-a3,所以(a32−a22)-(a3-a2)=0,即(a3-a2)(a3+a2-1)=0.因为公差d≠0,故a3-a2≠0,所以a3+a2-1=0,解得m=-1±√2.经检验,此时a2,a3,a4的公差不为0,所以存在m=-1±√2,使得a2,a3,a4成公差不为0的等差数列.(3)证明因为a n+1-a n=a n2+m-a n=a n-122+m-14≥m-14,且m>14,所以令t=m-14>0,得a n-a n-1≥t,a n-1-a n-2≥t,…,a2-a1≥t.将上述不等式全部相加得a n-a1≥(n-1)t,即a n≥(n-1)t, 因此要使a k>2 021成立,只需(k-1)t>2 021,因此只要取正整数k>2021t+1,就有a k≥(k-1)t>2021t·t=2 021.综上,当m>14时,总能找到k∈N*,使得a k>2 021.11。
2021年山东省高考数学试卷(新高考)含答案
2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)设集合A ={x |-2<x <4}，B ={2，3，4，5}，则A ∩B =(B )A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}【解析】解：∵A ={x |-2<x <4}，B ={2，3，4，5}，∴A ∩B ={x |-2<x <4}∩{2，3，4，5}={2，3}．故选：B ．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2.(5分)已知z =2-i ，则z (z+i )=(C )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i【解析】解：∵z =2-i ，∴z (z+i )=(2-i )(2+i +i )=(2-i )(2+2i )=4+4i -2i -2i 2=6+2i ．故选：C ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.(5分)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(B )A.2B.22C.4D.42【解析】解：由题意，设母线长为l ，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有2π⋅2=π⋅l ，解得l =22，所以该圆锥的母线长为22．故选：B ．【点评】本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．4.(5分)下列区间中，函数f (x )=7sin x -π6单调递增的区间是(A )A.0,π2B.π2，π C.π,3π2D.3π2，2π【解析】解：令-π2+2k π≤x -π6≤π2+2k π，k ∈Z ．则-π3+2k π≤x ≤2π3+2k π，k ∈Z ．当k =0时，x ∈-π3，2π3，0,π2 ⊆-π3，2π3，故选：A ．【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．5.(5分)已知F 1，F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为(C )A.13B.12C.9D.6【解析】解：F 1，F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，|MF 1|+|MF 2|=6，所以|MF 1|⋅|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|22=9，当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，取等号，所以|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为9．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．6.(5分)若tan θ=-2，则sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=(C )A.-65B.-25C.25D.65【解析】解：由题意可得：sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=sin θ(sin 2θ+cos 2θ+2sin θcos θ)sin θ+cos θ=sin θsin θ+cos θ⋅sin 2θ+cos 2θ+2sin θ⋅cos θsin 2θ+cos 2θ=tan θtan θ+1⋅tan θ2+2tan θ+1tan 2θ+1=25．故选：C ．【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，sin 2A +cos 2A =1是解题的关键，属于中等题．7.(5分)若过点(a ,b )可以作曲线y =e x 的两条切线，则(D )A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a【解析】解：法一：函数y =e x 是增函数，y ′=e x >0恒成立，函数的图象如图，y >0，即切点坐标在x 轴上方，如果(a ,b )在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(a ,b )在x 轴或下方时，只有一条切线．如果(a ,b )在曲线上，只有一条切线；(a ,b )在曲线上侧，没有切线；由图象可知(a ,b )在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0<b <e a ．故选：D ．法二：设过点(a ,b )的切线横坐标为t ，则切线方程为y =e t (x -t )+e t ，可得b =e t (a +1-t )，设f (t )=(a +1-t )，可得f ′(t )=e t (a -t )，t ∈(-∞,a )，f ′(t )>0，f (t )是增函数，t ∈(a ,+∞)，f ′(t )<0，f (t )是减函数，因此当且仅当0<b <e a 时，上述关于t 的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：D ．【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．8.(5分)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(B )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【解析】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，两点数和为7的所有可能为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，P (甲)=16，P (乙)=16，P (丙)=56×6=536，P (丁)=66×6=16，A :P (甲丙)=0≠P (甲)P (丙)，B :P (甲丁)=136=P (甲)P (丁)，C :P (乙丙)=136≠P (乙)P (丙)，D :P (丙丁)=0≠P (丙)P (丁)，故选：B ．【点评】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021高考数学押题专练空间几何体(解析版)
押题16 空间几何体【押题方向】空间几何体是高考全国卷每年必考知识点,作为客观题考查的空间几何体试题主要涉及三视图、几何体的表面积与体积、截面等内容,难度有容易题也有难度较大的题，求解本类问题的关键是空间想象能力及运算能力，预测2021年依然会有2道立体几何客观题.依然会遵循前几年的命题风格.【模拟专练】1．（2021·山东德州市·高三一模）已知三棱锥P ABC -中，AP 、AB 、AC 三条棱两两垂直，且长度均为23，以顶点P 为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为______．【答案】3π【详解】 由题可知：AP 、AB 、AC 三条棱两两垂直，且长度均为23如图：所以()222326PC PB BC ====()224232AM AF ==-=， 所以3tan tan 23APF APM ∠=∠==6APF APM π∠=∠= 所以12EPF CPM π∠=∠=，则4123EF MN ππ==⨯=44,2332NE MF ππππ=⨯==⨯= 所以球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为42333ππππ⨯++= 2．（2021·山东烟台市·高三一模）已知正三棱锥 P ABC -的底面边长为2,13面,PAB PBC 分别切于点,M N ，则MN 的长度为___________.【答案】56【详解】如图，设正三棱锥内切球的半径为R ，M 为内切球与侧面PAB 的切点，Q 为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r ， ABC 为等边三角形，223CD BC BD ∴=-=, 2233CH CD ==,133DH CD ==, 22121051393PH PC CH =-=-=, POM PDH △△, OM PO DH PD ∴=, .3PH R PD -= 2213123PB PD ==-=1053323R -=，解得105R = 35sin sin 6PH OMQ PDH PD ∠=∠==,cos sin sin r MQ R OMQ R PMQ R PDH R ∴==∠=∠=∠= 由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故120QMN ∠=︒, 由余弦定理可得22222355252cos12033362136MN r r r r =+-︒==⨯⨯=， 所以56MN = 3．（2021·山东济宁市·高三一模）在长方体1111ABCD A BC D -中，3AB =，14A D A A ==，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，当三角形1BB P 的面积最小时，三棱锥1A BB P -的外接球的体积是______． 【答案】125π6【详解】补全截面EFG 为截面1EFGHQR 如图，设BR AC ⊥，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，1//D P ∴平面1EFGHQR ，易知平面1//ACD 平面1EFGHQR ，P AC ∴∈，且当P 与R 重合时，BP BR =最短，此时1PBB 的面积最小，由等面积法得1122BR AC AB BC ⨯=⨯，即113422BR =⨯⨯，125BP ∴=， 1B B AP ⊥，BP AP ⊥，AP ∴⊥平面1B BP ，则1AP B P ⊥，又1AB B B ⊥，1AB ∴为三棱锥1A BB P -5=．∴三棱锥1A BB P -的外接球的半径为52，体积为35125π2643V π⎛⎫= ⎪⎝⎭=⨯． 故答案为：125π6．4．（2020·山东高三其他模拟）将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________. 【答案】(882)π+ 【详解】因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以直角边长为22，由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径22r =，母线长4l， 则其表面积为()2882r rl πππ+=+.5．（2020·山东高三专题练习）已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以22为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为______________.【答案】3π【详解】如图所示，球面被正方体表面所截得3段相等的弧长，与上底面截得的弧长，是以1D 为圆心，以2为半径的四分之一的圆周，所以11111224A C AB BC ππ===⨯⨯= ， 则所有弧长和为3π【押题专练】1．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，22AB BC ==．将A ，C 分别沿BE ，DF 向上翻折至A '，C '，则A C ''取最小值时，二面角A EF C ''--的正切值是________．【答案】265【详解】 分别取BE ，DF 中点为M 、N ，连接A M '，MF ，C N '，NE ．四边形ABCD 为矩形，22AB BC ==，1AE CF ==，∴翻折前，四边形ABFE 和四边形CDEF 都是正方形，则1EF =，CE DF ∴⊥，AF BE ⊥，即NE DF ⊥，CN DF ⊥，AM BE ⊥，MF BE ⊥，∴翻折后仍有A M BE '⊥，C N DF '⊥，NE DF ⊥，MF BE ⊥，又A M MF M '⋂=，且A M '，MF ⊂平面A MF '，BE ∴⊥平面A MF '；同理可得：DF ⊥平面C NE '，又//DE BF ，且1DE BF ==，∴四边形BFDE 是平行四边形，则//BE DF ，BE ∴、DF 都是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，,BE DF ⊂平面BFDE ，∴平面A MF '⊥平面BFDE ，平面C NE '⊥平面BFDE ．分别记1A ，1C 为点A '，C '在底面的投影，则点A '在底面的投影1A 落在直线MF 上，且沿MF 方向运动；点C '在底面的投影1C 落在直线NE 上，且沿NE 方向运动．当且仅当A C ''为平面A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，此时//A C ME ''，故//A C ''平面MFNE ，则11A A C C ''=．又11//A A C C ''，A '∴，1A ，1C ，C '共面，平面11A ACC ''⋂平面11MFNE AC =，11AC 也是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，此时11Rt A A M Rt C C N ''≌，11MA NC ∴=，又11//AC ME ，11//MA EC ，∴四边形11MACE 为平行四边形， ∴11MA EC =，∴1C 为NE 的中点，1A 为MF 的中点，1124MA NC ∴==， 则11A A C C ''==1262164-=，6221616A F C E ''∴==+=， 将二面角A EF C ''--单独画出如图．过点A '作AP EF '⊥于点P ，过点C '作E C Q F '⊥于点Q ，又1A E AE '==，1C F CF '==，222122cos 222A F EF A E A FE A F EF ''+-'∴∠==='⋅⨯， 则1cos 4FP A F A FE ''=∠=，117216A P '∴=-=同理14EQ=，74C Q'=，则1141314FPFQ==-，过点P作//PG C Q'交FC'于点G，连接A G'，则GP EF⊥，∴A PG'∠即为二面角A EF C''--的平面角，则13FG PGFC QC==''，∴712PG=，13FG=，又22A F A C'''==，1C F'=，则A FC''为等腰直角三角形，∴2cos2A FC''∠=，2211212102cos45229232A F FG A F FGA G''=+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯='∴，在A PG'中，22277103051614436144cos72777224A P PG A GA PGA P PG+-''+-'∠===='⋅⨯⨯，26tan A PG'∴∠=．2．如图，二面角A BD C--的平面角的大小为120︒，120BDA∠=︒，150BDC=∠︒，2AD BD==，3CD=，则四面体ABCD的外接球表面积为________．【答案】116π【详解】在BDA中，120BDA∠=︒，2AD BD==，所以222+cos23ADAB AD BD DBD B A-⋅∠=⋅设BDA的外接圆的半径为1r，则124sinABrBDA==∠，所以12r=，在BDC中，150BDC=∠︒，2BD=，3CD=222+cos13CDBC CD BD DBD B C-⋅∠=⋅，设BDC 的外接圆的半径为2r ，则22213sin BC r BDC ==∠，所以113r =， 又作12,OG BD O G BD ⊥⊥，所以12O GO ∠为二面角A BD C --的平面角，即12120OGO ∠=，所以2211132O G r BD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22221232O G r BD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以()()221223233+23cos12021O O -⨯==⨯，设四面体ABCD 的外接球的球心为O ，球半径为R ，则121227sin O O OG O MO ==∠， 所以2229R OG GD =+=，所以四面体ABCD 的外接球表面积为24429116R πππ=⨯=， 故答案为：116π.3．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，如图所示.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球．现已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足10cm AB BC CD DA DB =====，15cm AC =，则该“鞠”的表面积为___________2cm .【答案】7003π 【详解】由已知得ABD △，CBD 均为等边三角形.如图所示，设球心为O ，BCD △的中心为O '，取BD 的中点F ，连接,,,,AF CF OO OB O B ''，则AF BD ⊥，CF BD ⊥，得BD ⊥平面AFC ， 且可求得53cm AF CF ==，而15cm AC =，所以120AFC ∠=︒.在平面AFC 中过点A 作CF 的垂线，与CF 的延长线交于点E ， 由BD ⊥平面AFC ，得BD AE ⊥，故AE ⊥平面BCD ，过点O 作OG AE ⊥于点G ，则四边形O EGO '是矩形， 则)2103sin 60cm 3O B BC ︒'=⨯=，)153cm 23O F O B ''==， ()15sin 60cm 2AE AF =︒=，53sin 302EF AF =︒=． 设球的半径为R ，OO x '=，则由222OO O B OB ''+=，222OA AG GO =+， 得221003x R +=，2225353152x R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得5cm x =，2175cm 3R = 故三棱锥A BCD -外接球的表面积()227004cm 3S R ππ== 4．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点C 在平面α上，若A 1B 和A 1D 与平面α都成60°角，则A 1C 与平面α所成角的余弦值为______.【答案】13【详解】设直线l 过点A 1且垂直于α，则A 1B 与A 1D 都与直线l 夹角为30°， 连结BD ，由题意得△A 1BD 是等边三角形，取BD 中点E ，由题意得A 1E 可以承担直线l 的角色， 但同时与直线A 1B 、A 1D 夹角为相等的直线，最小也要30°， ∴此时直线l 是唯一的，由题意知A 1C 与直线l （直线A 1E ）的余弦值恰为A 1C 与平面α所成角的正弦， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1C 222222++＝3CE 221222+2A 1E 22(22)(2)-6 ∴设A 1C 与平面α所成角为θ，则sin θ＝22211112AC A E CE AC A E +-⨯⨯2236⨯⨯22， ∴A 1C 与平面α所成角的余弦值为：cos θ2221()3-＝13. 故答案为：13.5．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若B 1P //平面A 1BM ，则C 1P 长度的取值范围是____．【答案】30[2) 【详解】 取BC 中点N ，连结B 1D ，B 1N ，DN ，作CO ⊥DN ，连结C 1O ，因为平面B 1DN ∥平面A 1BM ，所以点P 在底面ABCD 内的轨迹是线段DN （动点P 在底面正方形ABCD 内，不包括边界，故不含点N 和点D ），在1C DN △中，2211152,1()2C D DN C N ===+=， 所以12215262()()222C DN S =-=， 过C 1O ⊥DN ，则当P 与O 重合时，C 1P 长度取最小值，所以C 1P 长度的最小值为1630415C O ==⨯， 当P 与D 重合时，C 1P 长度取最大值，∴C 1P 长度的最大值为C 1D ＝2， ∵P 与D 不重合，∴C 1P 长度的取值范围是30[,2)5． 故答案为：30[,2) .6．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为_____．【答案】41π【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为14136412++=， ∴该球形容器体积的最小值为：4241()412ππ⨯=. 7．在三棱锥D ABC -中，ABC 是以A ∠为直角的等腰直角三角形，DBC △是边长为2的等边三角形，二面角A BC D --的余弦值为6-，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为______. 【答案】8π【详解】如图，设BC 的中点为E ，过点E 作平面ABC 的法线EO ，过BCD △的重心F 作平面DBC 的法线FO ，EO 与FO 交于点O ，则O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心. 又133EF DE ==，6cos DEA ∠=，所以3cos FEO ∠=. 又3cos EF FEO OE ∠==1OE =， 28π.8．已知球O 10以球心O 为中心的正四面体Γ的各条棱均在球O 的外部，若球O 的球面被Γ的四个面截得的曲线的长度之和为8π，则正四面体Γ的体积为_________．【答案】182【详解】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为2π，半径为1，故球心O 到正四210612⎛⎫-= ⎪⎝⎭a ，如图所示，则斜高332AE EF a ==，体高63=AF ，在Rt AEF 和R t AGO 中，13OG EF AO AE ==，即61 23 66a=-，∴6a=，∴23136261823V a a=⋅⋅=⋅=．9．已知菱形ABCD的边长为4，对角线4BD=，将ABD△沿着BD折叠，使得二面角A BD C--为120︒，则三棱锥A BCD-的外接球的表面积为___________.【答案】1123π【详解】如图所示：将ABD△沿BD折起后，取BD中点为E，连接AE，CE，则AE BD⊥，CE BD⊥，所以AEC∠即为二面角A BD C--的平面角，所以120AEC∠=︒；ABD△与BCD△是边长为4的等边三角形.分别记三角形ABD△与BCD△的重心为G、F，则12333EG EA==，12333EF EC==；即EF EG=；因为ABD△与BCD△都是边长为4的等边三角形，所以点G是ABD△的外心，点F是BCD△的外心；记该几何体ABCD的外接球球心为O，连接OF，OG，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ， 所以OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒， 所以43OE =； 因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AECE E =，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ， 所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB ，则外接球半径22221OB OE BE =+=， 所以外接球表面积为1123π. 10．三棱锥A BCD -的一条棱长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为___________.【答案】53π 【详解】解：由题意画出三棱锥的图形，其中1AB BC CD BD AC =====，AD a =.取BC ，AD 的中点分别为E ，F ，可知AE BC ⊥，DE BC ⊥，且AEDE E =，∴BC ⊥平面AED ，∴平面ABC ⊥平面BCD 时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时2AD a ====. 设三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，由球体的对称性知，球心O 在线段EF 上，∴OA OC R ==，又4EF ===，设OF x OE x 4==-，，在三角形AOF 中：222221R ()x 2AD OF =+=+⎝⎭,在三角形OEC 中：2222211R ()x 242OE BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴222221442R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得x =.∴球的半径R 满足2225R 12=+=⎝⎭⎝⎭， ∴三棱锥外接球的表面积为25544123R πππ=⨯=.11．四面体ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，2AB BC CD ===，AD =表面积为__________．【答案】12π【详解】由题意90ABC BCD ∠=∠=︒，2AB BC CD ===，AD =，则AC BD ==， 所以222AB BD AD +=，AB BD ⊥，同理AC CD ⊥，取AD 中点O ，则O 到,,,A B C D 四点的距离相等，O 即为ABCD 外接球的球心，所以球半径为2AD r ==，球表面积为2412ππ==S r ． 故答案为：12π．12．如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，,E F 为1,AA AB 的中点，M 点是正方形11ABB A 内的动点，若1//C M 平面1CD E ，则M 点的轨迹长度为______．2【详解】如图所示，11A B 的中点H ，1BB 的中点G ，连接11,,,,GH C H C G EG HF .可得四边形11EGC D 是平行四边形，∴11//C G D E ，又1C G ⊄平面1CD E ，1D E ⊂平面1CD E ，可得1//C G 平面1CDE .同理可得1//C H CF ，1//C H 平面1CD E ，又111C H CG C =，∴平面1//C GH 平面1CD E . ∵M 点是正方形11ABB A 内的动点，1//C M 平面1CD E ，∴点M 在线段GH 上． ∴M 点的轨迹长度为22112GH =+213．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ､F ､G 分别是棱A B ''､B C '､CD 的中点，则由点E ､F ､G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于___________.33【详解】分别取AD 中点P ，1CC 中点M ，1AA 中点N ，可得出过E ，F ，G 三点的平面截正方体所得截而为正六边形EFMGPN ， 则正六边形的边长2211122MG CG CM =++， 故截面多边形的面积等于233361S ==. 3314．球O 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球，平面11AC B 截球O 的截面面积为π，则球的表面积为________．【答案】6π【详解】设内切球半径为R ，则正方体棱长为2R ，如图，平面11AC B 截球O 所得圆为正11AC B △的内切圆，而截面圆半径为1， 在正11AC B △中122A B R =，∴32216R =，62R = 故内切球的表面积为264(6ππ⋅⋅=． 故答案为：6π 15．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.【答案】11π【详解】由题意该圆台的表面积为2221(21)211S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯=．。
专题05 不等式之恒成立问题(填空题)(解析版))2021年新高考数学考前压轴冲刺(新高考地区专用)
专题05 不等式之恒成立问题2021年新高考填空题考点预测新高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.若不等式|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为 ．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x ﹣2|﹣|x +2|≤4，然后由不等式恒成立可得a 的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x ﹣2|﹣|x +2|≤|（x ﹣2）﹣（x +2）|＝4，当且仅当（x ﹣2）（x +2）≤0，即﹣2≤x ≤2时取等号，∵|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题2.已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为．【分析】设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，讨论4a ﹣2≥0，不符题意；4a﹣2＜0，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），将B的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值．【解答】解：设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，由△＝a2+＞0，可得y＝x2+ax﹣的图象与x轴有两个交点，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，可得4a﹣2≥0，不满足题意；则4a﹣2＜0，即a＜，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），即有（4a﹣2）x2+＝0，即x2＝，代入x2+ax﹣＝0，化为48a2﹣40a+7＝0，解得a＝或a＝＞（舍去），故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题3.若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为．【答案】[25，57]【分析】由题意不等式恒成立化为﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]，求出f（x）的值域，根据一次函数的性质转化为，即；设，求出a、b的表达式，把目标函数z＝|a|+|a+b+25|化为关于y、x的解析式，利用线性规划的知识求出z的取值范围，即可得出结论．【解答】解：对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]；可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，可得f（2）时取得最小值4，f（1）＝f（4）时取得最大值5，所以f（x）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于，（y＝af（x）为f（x）的一次函数，最大值与最小值都在端点处）即，设，则，所以，所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，画出不等式组表示的平面区域，如图所示；当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，所以x＝0，y＝0时z min＝25，x＝4，y＝5时z max＝57；当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，所以x＝0，y＝0时为临界值z min＝25，x＝4，y＝4时z max＝53；综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．故答案为：[25，57]．【知识点】不等式恒成立的问题专项突破一、填空题（共14小题）1.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．【分析】分类讨论，（1）a＝1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．【解答】解：（1）a＝1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝（a﹣1）x﹣1：令y＝0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2＝x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2＝x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a＝，或a＝0（舍去）．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题2.若存在实数b使得关于x的不等式|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4恒成立，则实数a的取值范围是﹣．【答案】[-1，1]【分析】运用正弦函数的值域可得2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，讨论a＝0，a ＞0，a＜0，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．【解答】解：|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4，即为|a（sin2x+4sin x+4）+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），即有|a（2+sin x）2+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），由2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，当a＝0时，显然成立；当a＞0，可得a（2+sin x）+∈[6a，10a]，﹣2﹣b≤a（2+sin x）+≤2﹣b，可得﹣2﹣b≤6a且2﹣b≥10a，可得﹣2﹣6a≤b≤2﹣10a，即﹣2﹣6a≤2﹣10a，可得0＜a≤1；当a＜0，可得a（2+sin x）+∈[10a，6a]，可得﹣2﹣b≤10a且2﹣b≥6a，可得﹣2﹣10a≤b≤2﹣6a，即﹣2﹣10a≤2﹣6a，可得﹣1≤a＜0；综上可得a的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【知识点】不等式恒成立的问题3.若不等式≥a对x＜2恒成立，则a的最大值是﹣【分析】设t＝2﹣x，得出x＝2﹣t，其中t＞0，把化为f（t），利用基本不等式求出f（t）的最小值，由此求出a的最大值．【解答】解：不等式≥a对x＜2恒成立，设t＝2﹣x，则x＝2﹣t，其中t＞0，所以化为f（t）＝＝+t﹣3≥2﹣3＝2﹣3，当且仅当＝t，即t＝时取“＝”，∴f（t）的最小值为2﹣3；∴不等式≥a对x＜2恒成立时，a的最大值是2﹣3．故答案为：2﹣3．【知识点】不等式恒成立的问题4.若不等式|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，则实数a的最大值为．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x﹣2|﹣|x+2|≤4，然后由不等式恒成立可得a的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x﹣2|﹣|x+2|≤|（x﹣2）﹣（x+2）|＝4，当且仅当（x﹣2）（x+2）≤0，即﹣2≤x≤2时取等号，∵|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题5.已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a（x﹣2）+b对一切正实数x恒成立，则当a+b取最小值时，b的值为﹣．【分析】由题意可得只要考虑直线y＝a（x﹣2）+b与y＝lnx相切，设出切点（m，lnm），运用导数的几何意义，可得a，b，m的方程，再由x＝3时，a+b取得最小值，结合构造函数法，运用导数求得最小值，即可得到所求b的值．【解答】解：设y＝lnx的图象与直线y＝a（x﹣2）+b相切的切点为（m，lnm），由y＝lnx的导数为y′＝，可得a＝，lnm＝a（m﹣2）+b，可得b＝2a﹣lna﹣1，由x＝3时，可得a+b≥ln3，可得a+b的最小值为ln3，即有2a﹣lna﹣1＝ln3﹣a，即3a﹣lna＝1+ln3，由y＝3x﹣lnx的导数为y′＝3﹣，可得0＜x＜时，函数y＝3x﹣lnx递减，在x＞时，函数y＝3x﹣lnx递增，可得x＝处函数y取得最小值1+ln3，则3a﹣lna＝1+ln3的解为a＝，即有b＝ln3﹣．故答案为：ln3﹣．【知识点】不等式恒成立的问题6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，若对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则实数λ的取值范围是．【分析】根据等比数列前n项和公式，求得a n，即可求得t的值，代入根据函数的单调性即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：由题意可知：2S n＝3n+1+t，当n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝3n+1+t﹣3n﹣t＝2×3n，∴a n＝3n，由数列{a n}为等比数列，则a1＝3，当n＝1，则a1＝S1＝＝3，则t＝﹣3，∴S n＝（3n﹣1），对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5），即3n+1λ≥27（n﹣5），∴λ≥＝，n∈N*，由对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则λ≥（）max，由函数f（x）＝在[1，+∞），f′（x）＝＝，令f′（x）＝0，则x＝+5，则f（x）在[1，+5）单调递增，在（+5，+∞）单调递减，由n∈N*，f（5）＝0，f（6）＝，∴当n＝6时，取最大值，最大值为，∴实数λ的取值范围[，+∞），故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题、利用导数研究函数的单调性7.已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是﹣【分析】根据题意，分段讨论x≤1和x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，去掉绝对值，利用函数的最大、最小值求得a的取值范围，再求它们的公共部分．【解答】解：函数f（x）＝，当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y＝﹣x2+x﹣3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最大值为﹣；由y＝x2﹣x+3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最小值为，则﹣≤a≤；…①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y＝﹣（x+）≤﹣2＝﹣2（当且仅当x＝＞1）取得最大值﹣2；由y＝x+≥2＝2（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2；…②由①②可得，﹣≤a≤2；综上，a的取值范围是﹣≤a≤2．故答案为：﹣≤a≤2．【知识点】不等式恒成立的问题8.若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．【分析】当x＞0时a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，g（x）﹣=，求得y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数和符号，即可得到所求a的范围．【解答】解：不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，即有a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，由y=lnx﹣x+1的导数为y′=﹣1=，x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得y=lnx﹣x+1的最大值为0，即lnx≤x﹣1，则g（x）﹣=，由y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数为y′=2（1+ln（x+1））﹣2（x+1）=2[ln（x+1）﹣x]，由ln（x+1）＜x，即ln（x+1）﹣x＜0，（x＞0），可得g（x）﹣＜0，即g（x）＜，可得a≥，则a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题9.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．【解答】解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题10.设a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，则a的取值范围为．【答案】3【分析】利用基本不等式，确定x的最小值，即可求得a的最小值．【解答】解：∵a＞0，x＞1，∴x＝（x﹣3）+3≥2+1∵a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，∴2+3≥9．∴a≥3∴a的最小值为3．故答案为：3．【知识点】不等式恒成立的问题11.不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】[2，6）【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2＝0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a＝2时，原不等式即为1＞0，原不等式恒成立，即a＝2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，必须解得，2＜a＜6．综上所述，a的取值范围是2≤a＜6，故答案为：[2，6）．【知识点】不等式恒成立的问题12.若对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，则实数x的取值范围是﹣∞﹣【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【分析】通过变换主元，利用函数恒成立转化为不等式组求解即可．【解答】解：由题意对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，即为a（x2+x）﹣x﹣1＞0对任意a∈[1，2]恒成立，所以，解得x＜﹣1或x＞1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题13.若不等式2kx2+kx+＜0对于一切实数x都成立，则k的取值范围是﹣∞﹣．【答案】（-∞，-2）【分析】根据不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，讨论k＝0和k≠0时，即可求出k的取值范围．【解答】解：不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，k＝0时，不等式化为＜0不成立，k≠0时，应满足，解得k＜﹣2．综上，不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【知识点】二次函数的性质与图象、不等式恒成立的问题14.若关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b的最小值为．【答案】0【分析】设f（x）＝（x2﹣a）（2x+b），x∈（a，b），讨论a＞0和a≤0时，利用f（x）≥0在x∈（a，b）恒成立，即可求出2a+b的最小值．【解答】解：关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，当a＞0时，b＞a＞0，f（x）＝（x2﹣a）（2x+b）的三个零点分别为±，﹣；显然有＞﹣，＞﹣；则f（x）在（a，b）上是单调增函数，f（x）≥0在（a，b）上恒成立，则f（a）＝（a2﹣a）（2a+b）＝a（a﹣1）（2a+b）≥0，即或；则2a+b≥0或无最小值；当a≤0时，x2﹣a≥0恒成立，f（x）≥0时只需2x+b≥0恒成立，又x∈（a，b），∴2a+b≥0；综上所述，2a+b的最小值为0．故答案为：0．【知识点】不等式恒成立的问题。
精品解析：2021年山东省高考数学试卷(新高考全国Ⅰ卷)(解析版)
C. 50°D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点 处的纬度，计算出晷针与点 处的水平面所成角.
【详解】画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线； 是点 处的水平面的截线，依题意可知 ； 是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
2. （）
A. 1B. −1
C. iD. −i
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）
A. 120种B. 90种
C. 60种D. 30种
【答案】C
【解析】
【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；
山东省2021年高考数学压轴卷(含解析)
17.(本小题 10 分)
在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，满足 (2b c) cos A a cos C .
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a 13 ， b c 5 ，求△ABC 的面积.
18.（本小题 12 分）
设数列{an}满足 a1 2a2 3a3 ... nan 2n (n N个
焦点与点 F 重合，则该双曲线的渐近线方程是____．
an1
1 2
an
,an是偶数
16.每项为正整数的数列{an}满足
3an 1,an是奇数 ，且 a6 4 ，数列{an}的前 6 项和的最大值为
S，记 a1 的所有可能取值的和为 T，则 S T _______.
四、解答题.本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省 2021 年高考数学压轴卷（含解析）
一、选择题：本题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合 A={x︱x>－2}且 A∪B=A，则集合 B 可以是（ ）
A. {x︱x2>4 }
B. {x︱ y x 2 }
C. {y︱ y x2 2, x R }
14.已知△ABC 中， AB AC 5， BC 8 ，点 D 是 AC 的中点，M 是边 BC 上一点，则 MC MD 的最小
值是（ ）
A. 3 2
B. －1
C. －2
D. 5 4
x2 y2
15.已知点 F 为抛物线 y2 8x 的焦点，则点 F 坐标为______；若双曲线 a2
A. 平面 ADC⊥平面 ABC
B. 平面 ADC⊥平面 BDC
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2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（五）数学（解析版）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1－i 32－a i为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．22．已知集合A ＝{x |12log x ≥－1}，B ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}，则A ∩B ＝( )A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |－1≤x ≤2}D ．{x |x ≤1}3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则n ∥β的一个充分条件是( ) A ．m ⊥β，且m ⊥n B ．m ∥β，且m ∥n C ．α⊥β，且n ⊥α D ．α∥β，且n ⊂α4．由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，定义个位数字比十位数字大、千位数字是偶数、百位数字为奇数的没有重复数字的四位数为“特征数”．从组成的所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个四位数是“特征数”的概率为( )A.320B.310C.35D.255．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线l 的方程为y ＝kx －1，则切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.12B. 14 C ．2 D ．46．已知在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1D ，AC 上的点，且满足A 1D ＝3MD ，AN ＝2NC ，则异面直线MN 与C 1D 1所成角的余弦值为( )A.255B.55C.33D.247．已知T (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上异于顶点的一动点，过定点⎝⎛⎭⎫－p2，0的直线l 交抛物线于不同的两点M ，N ，若直线TM ，TN 的斜率之和k TM ＋k TN ＝2，则y 0的值为( )A.p2 B ．p C.3p2D ．2p 8．若函数f (x )＝－mx ＋e x －2恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(1，e) B.⎝⎛⎭⎫1e ，1 C.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ D ．(e ，＋∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．近年来，我国国内文化和旅游市场潜力不断释放，大众出游热情持续高涨，行业发展整体呈好的趋势，以下为2011—2019年我国国内旅游收入情况统计图．根据统计图，下列结论正确的是( )A ．与2018年相比，2019年国内旅游收入增幅约为19.61%B ．2011—2019年国内旅游收入的中位数为3.4万亿元C ．2011—2019年国内旅游收入的平均数约为3.5万亿元D ．若每年国内旅游收入y (万亿元)与年份x 线性相关，且满足y ＝b (x －2 010)＋1.205，则估计2020年的国内旅游收入为7.2万亿元10．已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n 的二项展开式中二项式系数之和为256，则下列结论正确的是( )A ．x 2项的系数为560B ．二项展开式中没有常数项C ．各项系数之和为1D ．各项系数中的最大系数为89611．我们定义这样一种运算“⊗”：①对任意a ∈R ，a ⊗0＝0⊗a ＝a ；②对任意a ，b ∈R ，(a ⊗b )⊗c ＝c ⊗(ab )＋(a ⊗c )＋(b ⊗c )．若f (x )＝e x －1⊗e 1－x ，则以下结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (x )在R 上单调递减C ．f (x )的最小值为3D ．f (232)>f (322)>f ⎝⎛⎭⎫log 319 12．若f (x )＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋|sin x |，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )的最大值为 2C ．f (x )的最小值为22D ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(2,4)，a －b ＝(－2,0)，则向量a ，b 的夹角为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－2,0)作垂直于x 轴的直线l ，并与双曲线的渐近线交于M ，N 两点，且△MON 为等边三角形，则该双曲线的标准方程为________．15．在三棱锥P - ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，P A ＝PB ＝2，PC ＝3，则三棱锥P - ABC 的外接球的半径为________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为12，公差为14的等差数列．若[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.5]＝0，[lg 499]＝2，则a n ＝________；数列{[lg a n ]}的前2 000项的和为________．(本题第一空2分，第二空3分．)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在①c ＝1，②b ＝7，③△ABC 外接圆的面积为4921π这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并给出解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝277，________.(1)求角B ；(2)若P 为△ABC 内一点，P A ⊥PB ，∠APC ＝150°，求tan ∠P AB .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }中，a 1＝2b 1＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b 2n ＝b 2n －1＋1，b 2n ＋1＝b 2n ＋a n ，求数列{b n }的前10项和．19．(12分)某电商平台2019年“双十一”的销售额为2 684亿元，为了预测该电商平台在以后“双十一”的销售情况，某部门对该电商平台近10年(2010—2019年)“双十一”的销售额进行了统计，得到下面的散点图以及一些统计量的值(2010年到2019年的年份依次用数字1到10来表示)．(1)以年份编号x 为解释变量，销售额y 为预报变量，在y ＝bx ＋a 和y ＝cx 2＋d中选择一个你认为比较合适的回归模型，并求出该模型(小数点后保留一位有效数字)；(2)根据你得到的模型，计算该电商平台2019年“双十一”的销售额的估计值与2019年实际销售额的误差，并预测该电商平台2020年“双十一”的销售额．附：参考数据：∑i ＝110x i y i ＝77 000，y＝960，∑i ＝110x 2i ＝385，∑i ＝110t i y i ＝654 000，t ＝38.5，∑i ＝110t 2i ＝25 333，其中t i ＝x 2i ，t ＝110∑i ＝110x 2i .参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i v i －n u － v－∑i ＝1nu 2i －n u2，α^＝v －β^u .20．(12分)如图，在多面体ABCDP 中，△ABC 是边长为4的等边三角形，P A ＝AC ，BD ＝CD ＝22，PC ＝PB ＝42，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC .(1)求证：DE ∥平面P AC .(2)线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T - DA - B 为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．21.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1和椭圆C 2：x 2c 2＋y 2b2＝1，其中a >c >b >0，a 2＝b 2＋c 2，C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，且满足e 1︰e 2＝2︰ 3.A ，B 分别是椭圆C 2的右、下顶点，直线AB 与椭圆C 1的另一个交点为P ，且|PB |＝185.(1)求椭圆C 1的方程；(2)与椭圆C 2相切的直线MN 交椭圆C 1于点M ，N ，求|MN |的最大值．22．(12分)已知函数f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 在x ＝1处取得极值． (1)若f (x )在(0,1]上单调递增，求m 的取值范围； (2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求m 的值．五1．答案：D解析：由z ＝1－i 32－a i ＝1＋i2－a i＝(1＋i )(2＋a i )(2－a i )(2＋a i )＝2＋a i ＋2i －a4＋a 2 ＝2－a ＋(2＋a )i 4＋a 2为纯虚数，可得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2＋a ≠0，解得a ＝2，故选D.2．答案：A解析：由对数函数的性质及12log x ≥－1＝12log 2，解得0<x ≤2，所以A ＝{x |12log x ≥－1}＝{x |0<x ≤2}．由二次根式有意义的条件可得－x 2－x ＋2≥0，得到x 2＋x －2≤0，解得－2≤x ≤1，所以B ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}＝{x |－2≤x ≤1}．所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．故选A. 3．答案：D解析：A ，B ，C 选项都有可能得到n ⊂β，故均不正确；对于D ，由α∥β，且n ⊂α可得n ∥β，故α∥β，且n ⊂α是n ∥β的充分条件．故选D.4．答案：A解析：由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，共有A 46＝6×5×4×3＝360(个)．第一步，考虑千位数字，情况有C 13＝3(种)；第二步，考虑百位数字，情况有C 13＝3(种)；第三步，同时考虑个位数字和十位数字，情况有C 24＝6(种)，故共有3×3×6＝54(种)．从所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个数是“特征数”的概率为54360＝320.故选A.5．答案：B解析：由f (x )＝x ＋ln x ，得f ′(x )＝1＋1x，则f ′(x 0)＝1＋1x 0＝k ，得x 0＝1k －1.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝1k －1＋ln 1k －1＝k k －1－1，得ln1k －1＝0，即k ＝2. 所以切线l 的方程为y ＝2x －1，令x ＝0，得到y ＝－1，令y ＝0，得到x ＝12，所求三角形面积为12×12×|－1|＝14，故选B.6．答案：A解析：解法一：取线段AD 上一点E ，使AE ＝2ED ， 连接ME ，NE ，如图所示．因为A 1D ＝3MD ，AN ＝2NC ，所以MD A 1D ＝CN AC ＝DE AD ＝13，所以NE ∥CD ，ME ∥AA 1.又CD ∥C 1D 1，所以易知∠MNE 为异面直线MN 与C 1D 1所成的角． 设该正方体的棱长为3a ，则EN ＝23CD ＝2a ，ME ＝13AA 1＝a ，所以在Rt △MNE 中， MN ＝ME 2＋EN 2＝a 2＋(2a )2＝5a ，所以cos ∠MNE ＝EN MN ＝2a 5a ＝255，故选A.解法二：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 设AB ＝3，则由A 1D ＝3MD ，AN ＝2NC ，得C 1(0,3,3)，D 1(0,0,3)，M (1,0,1)，N (1,2,0)，所以C 1D 1→＝(0，－3,0)，MN →＝(0,2，－1)，则cos 〈C 1D 1→，MN →〉＝C 1D 1→·MN →|C 1D 1→|·|MN →|＝－635＝－255，所以异面直线MN 与C 1D 1所成角的余弦值为255，故选A. 7．答案：B解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p2(k ≠0)， 代入抛物线方程y 2＝2px 中， 消去x 可得y 2－2pk y ＋p 2＝0，则由Δ＝⎝⎛⎭⎫－2pk 2－4p 2>0， 得到－1<k <1且k ≠0，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝p 2.则k TM ＋k TN ＝y 1－y 0x 1－x 0＋y 2－y 0x 2－x 0＝y 1－y 0y 212p －y 202p ＋y 2－y 0y 222p －y 202p ＝2p y 1＋y 0＋2p y 2＋y 0 ＝2p (y 1＋y 2＋2y 0)y 1y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 20＝2p ⎝⎛⎭⎫2pk ＋2y 0p 2＋2p k y 0＋y 20＝2，得2p 2k ＋2py 0＝p 2＋2pky 0＋y 20， 即p 2＋2p k y 0＋y 20－2p 2k－2py 0＝0，得到(y 0－p )(y 0＋2pk －p )＝0，所以y 0＝p .故选B. 8．答案：C解析：解法一：由题意知，f ′(x )＝－m ＋e x －2，当m ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )在R 上单调递增，没有两个不同的零点．当m >0时，由f ′(x )＝－m ＋e x －2＝0，得x ＝2＋ln m ．x >2＋ln m ，f ′(x )>0，函数f (x )在(2＋ln m ，＋∞)上单调递增；x <2＋ln m ，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，2＋ln m )上单调递减．故f (x )在x＝2＋ln m 处取得最小值，所以f (2＋ln m )＝－m (2＋ln m )＋e ln m <0，得m >1e ，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，故选C.解法二：显然，x ＝0不是函数f (x )的零点，令f (x )＝－mx ＋e x －2＝0，得m ＝e x －2x ，构造函数g (x )＝e x －2x ，则g ′(x )＝e x －2(x －1)x 2，令g ′(x )>0得到x >1，令g ′(x )<0得到x <1且x ≠0，画出函数g (x )＝e x －2x 的图象，如图所示，可知当m ≤0时，直线y ＝m 与g (x )的图象不可能有两个交点；当m >0，且x ＝1时g (x )＝e x －2x 取得最小值，所以g (x )min ＝g (1)＝1e .当m >1e 时，g (x )＝e x －2x的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即函数f (x )＝－mx ＋e x －2恰有两个不同的零点，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，故选C.9．答案：AB解析：选项A ，由图可知，2019年国内旅游收入比2018年增长了1万亿元，增幅约为15.1×100%≈0.196 1×100%＝19.61%，故A 选项正确；选项B ，将2011—2019年这九年的国内旅游收入的金额按照由小到大的顺序排列，可得中位数是3.4万亿元，故B 选项正确；选项C,2011—2019年国内旅游收入的平均数约为1.9＋2.3＋2.6＋3.3＋3.4＋3.9＋4.6＋5.1＋6.19≈3.69(万亿元)，故C 选项不正确；选项D ，由题意可得x＝2 011＋2 012＋2 013＋2 014＋2 015＋2 016＋2 017＋2 018＋2 0199＝2 015，将(2 015,3.69)代入y ＝b (x －2010)＋1.205，得5b ＋1.205＝3.69，可得b ＝0.497，所以y ＝0.497(x －2 010)＋1.205，将x ＝2 020代入，可得y ＝6.175，D 选项不正确．故选AB.10．答案：BC解析：由题意可得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝256，所以n ＝8，故⎝⎛⎭⎫2x －1x n的二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8(2x )8－r⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 828－r 38-2x r.令8－3r 2＝2，可得r ＝4，所以x 2的系数为(－1)4C 4824＝1 120，A 项不正确；因为8－3r2不可能等于0，所以二项展开式中没有常数项，B 项正确；令x ＝1，则各项系数之和为1，C 项正确；由⎩⎪⎨⎪⎧|(－1)r C r 828－r |≥|(－1)r ＋1C r ＋1827－r|，|(－1)r C r 828－r |≥|(－1)r －1C r －1829－r|，得2≤r ≤3，当r ＝2时，系数为1 792，当r ＝3时，系数为－1 792，D 项不正确．故选BC.11．答案：AC解析：对任意a ，b ∈R ，(a ⊗b )⊗c ＝c ⊗(ab )＋(a ⊗c )＋(b ⊗c )，令c ＝0，得(a ⊗b )⊗0＝0⊗(ab )＋(a ⊗0)＋(b ⊗0)，得(a ⊗b )⊗0＝a ⊗b ＝ab ＋a ＋b ，所以f (x )＝e x －1⊗e 1－x ＝e x －1＋e 1－x ＋1.f (1－x )＝e －x ＋e x ＋1，f (1＋x )＝e －x ＋e x ＋1，所以f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，A 项正确；f ′(x )＝e x －1－e 1－x ，当x >1时，f ′(x )>0，当x <1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，B 项不正确；f (x )＝e x －1＋e 1－x ＋1≥2e x －1·e 1－x ＋1＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，C 项正确；根据f (x )的图象关于直线x ＝1对称，得f ⎝⎛⎭⎫log 319＝f (log 381)，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增，log 381＝4,1<232<322<4，所以f (232)<f (322)<f (log 381)，所以f (232)<f (322)<f ⎝⎛⎭⎫log 319，故D 项错误．故选AC. 12．答案：ACD解析：研究f (x )在[0，π)上的情况，易得f (x )＝|sin x －cos x |＋|sin x |＝⎩⎨⎧cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，2sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π.因为y ＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4和y ＝|sin x |的最小正周期均为π，所以f (x )＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋|sin x |的最小正周期为π，故A 正确；当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，f (x )单调递减，f (x )∈⎝⎛⎦⎤22，1.当x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π时，f (x )＝2sin x －cos x ＝5sin(x －φ)，其中tan φ＝12，因为tan φ＝12<1，所以可设φ∈⎝⎛⎭⎫0，π4.由0≤x －φ≤π得φ≤x ≤π＋φ.又π<π＋φ<5π4，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以f (x )max ＝5，f (x )min ＝22，所以B 错误，C 正确；因为⎝⎛⎭⎫π4，π2⊆⎣⎡⎭⎫π4，π2＋φ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增，所以D 正确．故选ACD. 13．答案：π4解析：将a ＋b ＝(2,4)，a －b ＝(－2,0)相加，得a ＝(0,2)，相减，得b ＝(2,2)，故cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝42×22＝22，则a ，b 的夹角为π4. 14．答案：x23－y 2＝1解析：解法一：由于△MON 为等边三角形，且双曲线的渐近线关于x 轴对称，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，则可设双曲线的方程为x 23m －y 2m＝1(m >0)，则有4＝3m ＋m ＝4m ，解得m ＝1，所以该双曲线的标准方程为x23－y 2＝1.解法二：由于△MON 为等边三角形，且双曲线的渐近线关于x 轴对称，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°，故b a ＝33.又c 2＝22＝a 2＋b 2，所以a 2＝3，b 2＝1，所以该双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.15．答案：133解析：如图，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，根据AB ＝AC ＝BC ＝2，P A ＝PB ＝2， 得CD ⊥AB ，PD ⊥AB ，且CD ＝PD ＝3，又PC ＝3，所以△PDC 是正三角形，∠PDC ＝60°.设三棱锥P - ABC 的外接球球心为O ，易知O 在△PDC 内部， 过点O 作OE ⊥CD 于点E ，OF ⊥PD 于点F ， 连接OB ，BE ，OD ，则点E ，F 分别是△ABC ，△P AB 的外接圆圆心，且OE ＝OF . 在Rt △ODE 中，∠ODE ＝30°，DE ＝13CD ＝33，所以OE ＝33DE ＝13.在Rt △DBE 中，BE ＝⎝⎛⎭⎫332＋12＝233.设球O 的半径为R ，则R 2＝OE 2＋BE 2＝19＋129＝139，得R ＝133.16．答案：n2 3 782解析：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为12，公差为14的等差数列，所以S n n ＝12＋(n －1)×14＝n ＋14，得S n ＝n 2＋n 4，当n ＝1时，a 1＝S 1＝24＝12；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 4－(n －1)2＋(n －1)4＝n 2.又a 1＝12也适合上式，所以a n ＝n2(n ∈N *)，所以[lg a n ]＝⎣⎡⎦⎤lg n 2， 数列{[lg a n ]}的前2 000项和为[lg a 1]＋[lg a 2]＋[lg a 3]＋…＋[lg a 2 000]． 当n ＝1时，－1≤lg a n <0；当n ＝2,3,4，…，19时，0≤lg a n <1； 当n ＝20,21,22，…，199时，1≤lg a n <2； 当n ＝200,201,202，…，1 999时，2≤lg a n <3； 当n ＝2 000时，lg a n ＝3. 故数列{[lg a n ]}的前2 000项和为 [lg a 1]＋[lg a 2]＋[lg a 3]＋…＋[lg a 2 000]＝－1×1＋18×0＋1×180＋2×1 800＋3＝3 782. 17．解析：(1)若选择①②， 因为cos A ＝277，c ＝1，b ＝7，所以由余弦定理得a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ＝4，所以a ＝2，所以cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－12，所以B ＝120°. 若选择①③，因为cos A ＝277，所以sin A ＝ 1－47＝217. 设△ABC 的外接圆的半径为r ，由正弦定理得r ＝a 2sin A， 因为△ABC 外接圆的面积为4921π， 所以⎝⎛⎭⎫a 2sin A 2π＝4921π，所以a ＝2.由余弦定理得a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ＝4，所以b 2－477b －3＝0， 所以b ＝7或b ＝－377(舍去)， 所以cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－12，B ＝120°. 若选择②③，因为cos A ＝277，所以sin A ＝1－47＝217. 设△ABC 的外接圆的半径为r ， 由正弦定理得r ＝a 2sin A， 因为△ABC 外接圆的面积为4921π， 所以⎝⎛⎭⎫a 2sin A 2π＝4921π，所以a ＝2.由余弦定理得4＝c 2＋7－4c ，解得c ＝1或c ＝3，所以cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－12或12，B ＝120°或60°. (2)选择①②或①③时，解法如下：由题意知∠BPC ＝120°，设∠P AB ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBC 中，∠BCP ＝180°－120°－[120°－(90°－α)]＝30°－α，由正弦定理得2sin 120°＝sin αsin (30°－α)， 所以2sin(30°－α)＝32sin α， 2sin 30°cos α－2cos 30°sin α＝32sin α， 即cos α＝332sin α，所以tan α＝239， 即tan ∠P AB ＝239. 选择②③时解法如下：当∠ABC ＝120°时，由题意知∠BPC ＝120°，设∠P AB ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBC 中，∠BCP ＝180°－120°－[120°－(90°－α)]＝30°－α，由正弦定理得2sin 120°＝sin αsin (30°－α)， 所以2sin(30°－α)＝32sin α， 2sin 30°cos α－2cos 30°sin α＝32sin α， 即cos α＝332sin α，所以tan α＝239， 即tan ∠P AB ＝239. 当∠ABC ＝60°时，同理得∠BCP ＝180°－120°－[60°－(90°－α)]＝90°－α，则由正弦定理得2sin 120°＝3sin αsin (90°－α)， 所以tan α＝439， 即tan ∠P AB ＝439. 18．解析：(1)由S n ＝2S n －1＋2(n ≥2)， ①可得S n －1＝2S n －2＋2(n ≥3)， ②①－②得：S n －S n －1＝2(S n －1－S n －2)，所以a n ＝2a n －1(n ≥3)，又a 2＋a 1＝2a 1＋2，a 1＝2，所以a 2＝4，所以a 2＝2a 1，故{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n .(2)由题意得b 2n －b 2n －1＝1，b 2n ＋1－b 2n ＝2n ，所以b 2n ＋1－b 2n －1＝1＋2n ，则b 2n －1－b 2n －3＝1＋2n －1，b 2n －3－b 2n －5＝1＋2n －2，…，b 5－b 3＝1＋22，b 3－b 1＝1＋21，所以b 2n －1－b 1＝n －1＋(21＋22＋…＋2n －1)＝n －1＋2(1－2n －1)1－2＝2n ＋n －3(n ≥2)， 所以b 2n －1＝2n ＋n －2(n ≥2)，所以b 2n ＝2n ＋n －1(n ≥2)，所以b 2n ＋b 2n －1＝2n ＋1＋2n －3(n ≥2)，易得b 1＋b 2也适合上式，所以{b n }的前10项和为b 1＋b 2＋…＋b 9＋b 10＝(22＋23＋…＋26)＋(－1＋1＋…＋7)＝139.19．解析：(1)由散点图可知，选择回归模型y ＝cx 2＋d 比较合适．令t ＝x 2，则c ^＝∑i ＝110t i y i －10t ·y∑i ＝110t 2i －10t2＝654 000－10×38.5×96025 333－10×38.5×38.5≈27.1，d^＝y－c^·t≈960－27.1×38.5≈－83.4，于是回归模型为y^＝27.1x2－83.4.(2)令x＝10，得y^＝27.1×102－83.4＝2 626.6，又2 626.6－2 684＝－57.4，所以该电商平台2019年“双十一”的销售额的估计值与2019年实际销售额的误差为57.4亿元．令x＝11，得y^＝27.1×112－83.4＝3 195.7，故预测该电商平台2020年“双十一”的销售额为3 195.7亿元．20．解析：(1)证明：因为BD＝CD＝22，△ABC是边长为4的等边三角形，所以BD2＋CD2＝(22)2＋(22)2＝16＝BC2，所以△BDC是等腰直角三角形，∠BDC＝90°.又点E为BC的中点，所以DE⊥BC.因为平面BDC⊥平面ABC，平面BDC∩平面ABC＝BC，所以DE⊥平面ABC.因为PC＝PB＝42，P A＝AC＝AB＝4，所以P A2＋AC2＝42＋42＝32＝PC2，P A2＋AB2＝42＋42＝32＝PB2，所以△P AB与△P AC都是直角三角形，故P A⊥AC，P A⊥AB.又AC∩AB＝A，所以P A⊥平面ABC，所以DE∥P A.因为P A⊂平面P AC，DE⊄平面P AC，所以DE∥平面P AC.(2)连接AE，以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,23，0)，B(－2,0,0)，C(2,0,0)，D(0,0,2)，设存在T(λ，0,0)，使得二面角T -DA -B为直二面角，易知－2≤λ≤2，且λ≠0.设平面BAD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则由BD→＝(2,0,2)，AD→＝(0，－23，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋z 1＝0，－3y 1＋z 1＝0，令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝33， 故n 1＝⎝⎛⎭⎫－1，33，1. 设平面TAD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则由DT →＝(λ，0，－2)，AT →＝(λ，－23，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧λx 2－2z 2＝0，λx 2－23y 2＝0，令z 2＝1，得x 2＝2λ，y 2＝33， 故n 2＝⎝⎛⎭⎫2λ，33，1. 由cos 〈n 1，n 2〉＝－2λ＋33×33＋173× 43＋4λ2＝0， 得13－2λ＋1＝0，故λ＝32. 所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T - DA - B 为直二面角．21．解析：(1)由题意知e 1＝c a ，e 2＝c 2－b 2c ＝2c 2－a 2c . 因为e 1︰e 2＝2︰3，所以3·c a ＝2·2c 2－a 2c， 2a 2c 2－a 2＝3c 2，将等号两边同时平方，得3c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，即(2a 2－c 2)(2a 2－3c 2)＝0，所以a 2＝32c 2. 又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝3b ，c ＝2b ，所以A (2b,0)，B (0，－b )，所以直线AB 的方程为y ＝22x －b ， 与椭圆C 1：x 23b 2＋y 2b2＝1联立并消去y ， 得x 2＋3⎝⎛⎭⎫22x －b 2＝3b 2， 整理得，52x 2－32bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝625b ， 所以P ⎝⎛⎭⎫62b 5，b 5. 因为|PB |＝185，所以 ⎝⎛⎭⎫625b －02＋⎝⎛⎭⎫b 5＋b 2＝185， 得b ＝3，所以a ＝3，椭圆C 1的方程为x 29＋y 23＝1. (2)当直线MN 的斜率不存在时，易得|MN |＝2.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，与椭圆C 2：x 26＋y 23＝1联立并消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0，因为直线MN 与椭圆C 2相切，所以Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)＝0，整理得，6k 2＋3－m 2＝0.(*)将直线MN 与椭圆C 1的方程联立并消去y ，得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－9＝0，由(*)式可得Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－9)＝12(9k 2＋3－m 2)＝36k 2， 设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则x M ＋x N ＝－6km 1＋3k 2，x M x N ＝3m 2－91＋3k 2， 所以|MN |＝1＋k 2|x M －x N | ＝1＋k 2·36k 21＋3k 2＝6k 4＋k 2(1＋3k 2)2. 设1＋3k 2＝t ，则t >1，|MN |＝6t 2＋t －29t 2＝2－2⎝⎛⎭⎫1t －142＋98≤322.因为2<322，所以当t ＝4，即k ＝±1时，|MN |最大，且最大值为322. 22．解析：(1)f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4mx －n ＋1x， 因为函数f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝4m －n ＋1＝0，n ＝4m ＋1，所以f ′(x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1x. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以易知m ＝0时符合题意，当m ≠0时，需(4m ＋1)2－16m >0，得m ≠14. 函数f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 在(0,1]上单调递增，即f ′(x )≥0在(0,1]上恒成立，所以4mx 2－(4m ＋1)x ＋1x≥0在(0,1]上恒成立， 即4mx 2－(4m ＋1)x ＋1≥0在(0,1]上恒成立．记g (x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1，x ∈(0,1]．当m ＝0时，g (x )＝1－x ≥0在(0,1]上恒成立．当m ≠0且m ≠14时， g (x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1＝(4mx －1)(x －1)，则g (x )≥0在(0,1]上恒成立可化为4mx －1≤0在(0,1]上恒成立．当m <0时，4mx －1≤0在(0,1]上恒成立，当m >0且m ≠14时， 4mx －1≤0在(0,1]上恒成立可化为x ≤14m在(0,1]上恒成立， 即1≤14m ，所以0<m <14. 综上，m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，14. (2)当m ＝0时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－x x， 所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)＝－1，不满足题意，所以m ≠0，此时f ′(x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1x. 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝14m ，由(1)知m ≠14. 当m <0时，x 2＝14m<0， f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝ln 1＋2m －(4m ＋1)＝1，解得m ＝－1，符合题意．当m >0时，x 2＝14m>0， 若14m <1，即m >14， 则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，14m 上单调递增， 在⎣⎡⎭⎫14m ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，所以最大值可能在x ＝14m或x ＝e 处取得， 而f ⎝⎛⎭⎫14m ＝ln 14m＋2m ⎝⎛⎭⎫14m 2－14m (4m ＋1) ＝ln 14m －18m－1<0， 所以f (e)＝ln e ＋2m e 2－e(4m ＋1)＝1，解得m ＝12e －4，符合题意． 若1<14m<e ，则f (x )在区间(0,1)上单调递增， 在⎣⎡⎭⎫1，14m 上单调递减， 在⎣⎡⎦⎤14m ，e 上单调递增，所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得，而f (1)＝ln 1＋2m －(4m ＋1)＝－2m －1<0，所以f (e)＝ln e ＋2m e 2－e(4m ＋1)＝1，解得m ＝12e －4，与1<14m <e 矛盾． 若14m≥e ，则f (x )在区间(0,1)上单调递增， 在(1，e]上单调递减，所以最大值在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋2m －(4m ＋1)＝－2m －1<0，故不满足题意．综上，m 的值为－1或12e －4.。