一维谐振子的本征值问题
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
力学量本征值问题的代数解法
2
加上自然单位：归一化的基态波函数
激发态波函数： n(x) 位
xn
1 x (a)n 0 n!
0
(
x)
(
)1/
4
e
2
，加上长度自然单
x
2
a 1 (x 1 d ) 2 dx
n(x)
1 ( 2 )1/ 4 (x 1 d ) en 2x2 / 2
n!
dx
二、角动量的本征值与本征态 （1）
j jm ( j m 1)( j m) jm 1
角动量的共同本征函数―球谐函数
[Lˆ2, Lˆ z ] 0
Lˆ2Ylm l(l 1)2Ylm LˆzYlm mYlm
[Lˆz , Lˆx ] iLˆy [Lˆz , Lˆy ] iLˆx
一维谐振子的哈密顿量用 a 和 a 表示为：
H 1 p2 1 x2 1 { i (a a)}2 1 { 1 (a a)}2 (aa 1 )
2 2 22
22
2
注意： (a a)2 (a a)(a a) a2 aa aa a2
定义： Nˆ aa 因此 H (Nˆ 1) ，Nˆ 称为粒子数算符。
[Nˆ , a] n (Nˆa aNˆ ) n Nˆa n aNˆ n a n
Nˆa n aNˆ n a n an n a n (n 1)a n 即：Nˆ (a n ) (n 1)(a n ) 若令 n a n 则有：Nˆ n (n 1) n ，对比 Nˆ n n n ，可 以看出 a n n 就是算符 Nˆ 属于本征值 (n 1)
可以证明
[ j , j ] i j , α,β,γ x, y, z
因此这三个算符 jx ，jy 和 jz 可组成一个角动量算符：j
一维谐振子的本征函数 传播因子
一维谐振子的本征函数传播因子一维谐振子的本征函数和传播因子是量子力学中非常重要的概念，对于理解和研究束缚系统以及量子力学基本原理具有重要意义。
本文将从深度和广度两个方面探讨一维谐振子的本征函数和传播因子，以便更全面地理解这一主题。
一、一维谐振子的本征函数1. 本征函数的定义和基本性质一维谐振子的本征函数是指满足薛定谔方程的解，描述了系统的可能状态。
本节将从数学角度介绍本征函数的定义和基本性质，为后续深入探讨打下基础。
2. 本征函数的物理意义本节将从物理学角度解释一维谐振子的本征函数代表着系统的可能状态，以及如何通过本征函数来描述系统的能量级和波函数。
3. 本征函数的计算方法介绍一维谐振子本征函数的计算方法，包括解薛定谔方程和使用数值方法等，帮助读者更加深入地理解本征函数的实际应用。
二、一维谐振子的传播因子1. 传播因子的定义和物理意义一维谐振子的传播因子描述了系统在空间中的传播特性，本节将介绍传播因子的定义和物理意义，包括传播速度和传播如何受势能影响等方面。
2. 传播因子的数学表达通过数学公式和推导，介绍一维谐振子的传播因子在数学上的表达方式，为读者展示传播因子的具体形式和计算方法。
3. 传播因子的应用介绍传播因子在物理学和工程领域的应用，包括波函数演化、能量传递和量子隧穿效应等，帮助读者理解传播因子在实际问题中的作用和意义。
总结与展望通过本文的介绍，我们全面地认识了一维谐振子的本征函数和传播因子，从数学和物理两个角度进行了深入探讨，帮助读者更好地理解这一重要的量子力学概念。
未来，我们可以进一步研究多维谐振子系统的本征函数和传播因子，以及在更加复杂情况下的应用，为量子力学的发展提供更多的思路和方法。
个人观点在研究和撰写这篇文章的过程中，我深刻地体会到一维谐振子的本征函数和传播因子对于量子力学的重要性。
通过深入地挖掘和解释这些概念，我对量子力学的基本原理和应用有了更加深刻的理解，也为我的学术研究提供了更多的思路和方法。
一维谐振子的本征值问题
一维谐振子的本征值问题姜罗罗赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrdinger 波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrdinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrdinger 创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。
一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schrdinger 波动力学解法。
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题初中物理题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题作者单位：响水滩乡中心学校作者姓名：宁国强2019年9月28日在坐标表象中处理一维线性谐振子问题响水滩中心学校宁国强摘要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。
关键词：一维线性谐振子；坐标表象；一、能量本征值、本征函数的求解取自然平衡位置为坐标原点, 并选原点为势能零点, 则一维线性谐振子的势能为V (x ) =12μωx （1）22其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。
一维谐振子的哈密顿函数为H =p22μ12μωx （2）22体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ödinger 方程）为⎛ 2d 2122ˆ-+μωx 22⎛2μdx⎛⎛ψ⎛(x )=E ψ(x ) （3）严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：ψ(x )−−→0 （4）x →∞将方程（3）无量纲化，为此，令2ξ==αx ，α=λ=2E ω（5）（3）式可改写为d ψd ξ+λ-ξ(2)ψ=0 （6）这是一个变系数二阶常微分方程。
为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。
当⎛⎛ξ⎛⎛很大时, λ与ξ2相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为d ψd ξ22-ξψ=02 （7）±ξ/22它的渐近解为ψ~e ξ→±∞时，所以ψ e ξ2。
因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，2/2不满足边界条件(4)式，应弃之。
波函数指数上只能取负号，即ψ e -ξ/2。
方程(6)在ξ为有限处的根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式：ψ(ξ)=A eξ22H (ξ) （8）式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得d2H2d ξ-2ξd H（9）+(λ-1)H =0d ξ用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。
16-4 一维谐振子问题
v − i h∇ ⇔ p
a v ∗ ˆ p = ∫ ψ pψdx
=0
2 a nπx d nπx = ∫ sin (−ih ) sin dx a 0 a dx a
0
在一维无限深方势阱中， 在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均 值与粒子所处的本征态的级数， 没有关系。 值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。 粒子的动能的平均值： 粒子的动能的平均值： 在势阱内部，势能为零， 在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能 在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。 量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。
α=
µω
最简单的几个厄米多项式为： 最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 (ξ ) = 1,
n=1,
H 1 (ξ ) = 2ξ ,
− iEnt / h
n=2,
H 2 (ξ ) = 4ξ 2 − 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
ψ n ( x, t ) = ψ n ( x)e
= N ne
−α 2 x 2 2
————一维谐振子的定态薛定谔方程 一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程 一维谐振子的能量本征值方程
h2 d2 1 2 2 + µω x ψ ( x) = Eψ ( x) − 2 2 2 µ dx
为了简洁起见，引入三个无量纲参量： 为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
a
2
πx dx a
=
2 πh 2 me a
3
∫0 sin
−7
π
me a3
= 1.17 × 10 N
试求： 例2:如果粒子的波函数为 ψ ( r , θ , ϕ ) ，试求： 如果粒子的波函数为 内找到粒子的概率； 在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率； 到 的球壳内找到粒子的概率 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 球坐标系下的体积元的表达式： 球坐标系下的体积元的表达式：
量子力学3.3一维谐振子
x 的 n 次多项式，当 n 为奇数时，只存在奇幂次； 因 H n ( x ) 为
当 n 为偶数时，只存在偶幂次。
( 1) n 。 所以： n ( x ) ( 1) n n ( x ) ，即宇称为
(3) n 有 n 1 个极大值，有 n 个零点（与经典分布不同） ，分 布关于 y 0 对称。
1 2 2 x 2 0 ( x) e 3
（偶宇称）
（奇宇称）
5 n 2, 第二激发态 E2 ， 2 1 1/ 2 x 2 2 2 ( x) (2 x 1)e 2 2
2 2
（偶宇称）
三、结果讨论
1.能级
1 E n (n ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
E n E n 1 E n
即能级是等间距的。 1 E （基态能量） (2)存在零点能 0 。 2 在T 0 时也有振动，这是旧量子论中没有的，已被实验所
证实，这纯属量子效应，是由于微观粒子具有波粒二象性所导 致的。
§3.3
一维谐振子
引
言
1.经典谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力 F k x 作 用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
d 2x 2 k x x 2 x 0 k dt 其解为 x A cos t 。这种运动称为简谐振动，作这种运
代入方程(4)得u( )所满足的方程 2 d H dH 2 ( 1) H ( ) 0-------- 3 2 d d
这就是所谓的Hermite 方程。
0为方程的常点，可在 0邻域用幂级
一维谐振子能量本征值
一维谐振子能量本征值哎，今天咱们聊聊一维谐振子的能量本征值，听起来挺高大上的对吧？别担心，咱们尽量把这玩意儿说得简单点，就像跟朋友唠嗑一样。
想象一下，咱们有一个小球，在一根弹簧上来回跳动。
这个弹簧就像是物理学里的魔法，能把小球的运动变得有趣又复杂。
小球越靠近弹簧的中心，运动越平稳，离得越远，哎呀，能量就越大，就像咱们人也有一种追求，离得太远了总是想回家。
你知道吗，咱们说的能量本征值其实就是这个小球在不同位置上的“工作状态”。
小球在弹簧上运动的样子，跟我们生活中的很多事情都有点像。
比如说，工作压力大了，心情自然低落，想要放松，就得找个地方好好待着。
就像这个小球，越是待在弹簧中心，越能感受到宁静，嘿，真是说得太对了。
能量本征值就是这些状态的“身份证”，它告诉你在某个特定位置，小球有多少能量，就像我们每个人都有自己的小秘密，藏在心里不想让别人知道。
怎么计算这些能量值呢？其实不复杂，咱们用一个公式就能搞定。
这个公式里有一个神秘的“普朗克常数”，听起来高大上吧？但它其实就像一个神秘的调味品，让整个计算变得有滋有味。
接着还有一个叫“量子数”的东西，听着就像是给小球贴上了标签，告诉你它属于哪个能量层次。
每个能量层次都有自己的位置，越高的层次，能量就越大，嘿，真是跟升职加薪一样，让人羡慕不已。
一维谐振子的能量本征值按照“量子化”来分级，就像咱们上学时的考试分数，一分一分往上涨。
最底下那一层，能量最少，咱们叫它基态，这就像是小球乖乖待在弹簧，真是无忧无虑。
再往上，能量逐渐增加，运动也越来越活泼，就像你朋友聚会时那种热闹气氛，嘿，越来越嗨了。
这种状态让人感觉像是打开了一扇新窗户，外面的世界五光十色，充满了惊喜。
别以为只有小球才有能量，咱们也不能落下。
你知道吗，能量本征值不仅关乎物理，还关乎我们生活中的方方面面。
就像我们每天都在努力追求自己的目标，有时候很顺利，有时候又觉得自己像个跌跌撞撞的小球，真是一波三折。
不过，只要咱们保持乐观，努力向前，就能找到那个属于自己的“基态”，然后逐渐升华，迎接新的挑战。
16-4一维谐振子问题
一、一维谐振子的定态薛定谔方程
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本 的问题，它是物体在稳定平衡位置附近作小振动 这类常见问题的普遍概括。
在经典力学中，简谐振动的定义：
任何物理量 x 的变化规律若满足方程式
d2x 2x 0
dt 2
并且ω是决定于系统自身的常量，则该物理量的变
化过程就是简谐振动。
简谐振动物体受到的线性回复力 F kx
取系统的平衡位置作为系统势能的零点，简谐振动
系统的势能
U (x) 1 kx2 2
k
U (x) 1 2 x2
2
U (x)
简谐振动系统的总能量
U total
1 2
k A2
1 2
2 A2
简谐振动运动方程的解
x A cos(t )
2.7.4
n叫振动量子数。
相应的 Hn ( ) 为
Hn ( ) (1)n e 2
dn
d n
e 2
从而其波函数为：
1 2x2
n (x) Nne 2 Hn ( x)
式中归一化常数 Nn 为：
Nn 2n n!
由（2.7.2）可见，一维谐振子的能量也是
量子化的，并且能量间隔相等，为 h 。
一维谐振子基态能量：E0
)
0
(
x
)dx
1
0
( x )
0
( x )dx
16%
———微观粒子的隧道效应
0(x)
14
e , 2 x2 / 2
1(x)
2 x e 2 x2 / 2 , 14
2
(x)
1
14
2 2 x 2 1 e , 2x2 / 2
2.7 一维谐振子
hν
例题 设粒子处在一维无限深势阱中
0 V (x) = ∞ | x |< a / 2 | x |> a / 2
处于基态n =1 ，求粒子的动量分布。
解： 析 由于V(x)对称，解为偶宇称态， 分
很容易求出此对称方势阱当n =1 时的波函数 ψ1(x)。这是粒子按照位置的分布。
按照动量的分布只要作Fourier 变换即可。
二、薛定谔方程及解
d2ψ 2m + 2 [E V (x)] = 0 ψ 2 dx h
1 d2ψ 2m 或 + 2 [E mω2 x2 ] = 0 ψ 2 dx h 2
理想的谐振子是一个无限深势阱， ψ 束 态 因 | x |→∞时 V(x) →∞， (x) →0为 缚 。 为 ，
为化简上述方程，方便求解，引进无量纲参数
归一化波函数为 ψn (x) = Ae
是一个实函数！
2008.5
1 α 2x2 2
Hn (αx)
1/ 2
其 中
α A= n 2 n! π
Quantum Mechanics
在求归一化系数A时，要用到厄米多项式 的 正交性关系
∞
∞
∫e
ξ 2
Hn (ξ )Hm (ξ )dξ = 2 n! πδmn
经典： 经典：
在x = 0处粒子的速率最大，概率最小。
基 谐 子 允 在| x |≤ α1(| ξ |≤1)的 域 态 振 只 许 区 中 动 而| x |≥ α 属 经 禁 。 运 ， 于 典 区
1
2008.5
Quantum Mechanics
在| αx |=1 ， 能 处 势
mω 1 1 2 1 2 1 2 V (x) = kx = k / α = mω /( ) = hω 2 2 2 2 h
量子力学中的一维谐振子问题求解
量子力学中的一维谐振子问题求解量子力学是研究微观粒子行为的一门学科，它描述了微观世界中的粒子的运动和相互作用。
谐振子是量子力学中一个经典的模型，它在多个领域中都有广泛的应用，如原子物理、固体物理和量子计算等。
在本文中，我们将探讨一维谐振子问题的求解方法。
一维谐振子是指一个质量为m的粒子在势能为V(x) = 1/2 kx²的势场中运动。
其中，k是弹性系数，x是粒子相对平衡位置的位移。
根据量子力学的原理，我们可以用薛定谔方程来描述一维谐振子的运动。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了粒子的波函数随时间的演化。
对于一维谐振子，薛定谔方程可以写成如下形式：Hψ(x) = Eψ(x)其中，H是哈密顿算符，定义为H = -ħ²/2m d²/dx² + 1/2 kx²。
ψ(x)是波函数，描述了粒子在不同位置的概率分布。
E是能量的本征值，对应于不同的能级。
为了求解一维谐振子的薛定谔方程，我们可以使用分离变量法。
假设波函数可以表示为ψ(x) = φ(x)χ(t)，其中φ(x)是位置的波函数，χ(t)是时间的波函数。
将这个形式代入薛定谔方程，可以得到两个方程：-ħ²/2m d²φ(x)/dx² + 1/2 kx²φ(x) = Eφ(x)iħ dχ(t)/dt = Etχ(t)第一个方程是一个关于位置的定态薛定谔方程，它描述了粒子在不同位置的运动。
第二个方程是一个关于时间的薛定谔方程，它描述了波函数随时间的演化。
对于定态薛定谔方程，我们可以使用数学方法求解。
一种常用的方法是使用升降算符。
升降算符是一对算符，可以将波函数的能级提升或降低一个单位。
对于一维谐振子，升降算符定义为a⁺ = (ħ/mω)^(1/2)(-d/dx + iωx)和a = (ħ/mω)^(1/2)(-d/dx - iωx)，其中ω = (k/m)^(1/2)是谐振子的频率。
一维电谐振子能量本征问题的代数解法研究
在量子力学中一维电谐振子是重要的模型系
统中的一者ꎬ任意势在稳定平衡点附近可以用谐振
子势来近似ꎮ 谐振子是存在简单解析解的量子系
１
１
ｍω２ ｘ２ － ｑε ＝ ｍω２ [ ( ｘ － ｘ０ ) ２ － ｘ２０ ] ꎬ
２
２
其中 ｘ０ ＝ ｑε / ｍω２ ꎮ
令
ｘ ′ ＝ ｘ － ｘ０ ꎬ
统ꎬ量子谐振子可用来近似描述分子运动ꎬ所以对
子的定态能量和波函数ꎬ结果表明升降算符方法和平移算符方法较精确解方法推导过程更加简
洁ꎬ微扰近似方法得到的结果与三种方法得到的结果是一致的ꎮ
关键词: 精确解方法ꎻ升降算符方法ꎻ平移算符方法ꎻ微扰近似方法
中图分类号: Ｏ４３１
文献标识码: Ａ
０ 引 言
将式(２) 中势能项作如下变形
于谐振子的解的研究就格外重要ꎮ 例如:肖奎等对
则哈密顿算符变为
＾
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演
示 [１] ꎻ张小伟给出了关于电场中线性谐振子问题
的求解 [２] ꎻ赵清锋用待定系数法求解一维线性谐
振子在微扰体系下的解析解 [３] ꎻ此外还有对二维
谐振子、谐振子的概率密度与时间的关系、同调谐
振子谱空间上的对称性和参量双粒子模型等方面
２
(０)
φ ｎ ( ｘ) ＝ ψ (０)
ｎ ( ｘ′) ＝ ψ ｎ ( ｘ － ｘ ０ ) ꎮ
１ 精确解方法
Ｈ０ ＝
＾
ｐ２′
１
１
＋ ｍω２ ｘ２′ － ｍω２ ｘ２０ ꎮ
２ｍ
２
２
(３)
其中 ｎ ＝ ０ꎬ１ꎬ２ꎬ ꎮ 因此
一维谐振子的能量本征值
一维谐振子的能量本征值一维谐振子的能量本征值，这个听起来有点高深，其实说白了就是在聊一些物理里的小秘密。
想象一下你在玩秋千，秋千在那儿晃来晃去，你在上面开心地叫喊。
这个秋千就像我们说的一维谐振子，尽管它看起来简单，但里面的原理可复杂多了。
我们可以想象，一维谐振子就像一个小球，挂在一根弹簧上，随便晃一晃就能感觉到那种弹力的回馈。
弹簧的拉力和小球的位置有着千丝万缕的联系，这就是我们今天要聊的能量本征值。
能量本征值，听起来就像个魔法词，实际上就是告诉我们在特定条件下，能量会以固定的量子状态出现。
哇，量子！这是个让人又爱又恨的词。
你可能会想，量子是个啥？其实就是一些微小粒子的行为，就像在说你身边的小蚂蚁，有时候它们的行动看似随机，实际上遵循着一些看不见的规则。
想象一下，一个小孩在游乐场里玩，各种各样的游乐设施，虽然表面上看是随意的，但其实每个游乐设施都有自己的玩法和限制。
谐振子的能量就是这样的“游乐设施”，它只能在特定的能量水平上“玩”。
再往深了说，能量本征值可以通过一些方程算出来，比如著名的薛定谔方程。
这个方程就像一把钥匙，帮我们打开了量子世界的大门。
哦，听起来是不是很炫酷？这就像你找到了一本秘密手册，里面全是你想要的答案。
就拿一维谐振子来说，它的能量本征值可以用一个公式来表示，像是一个公式游戏，让我们在数字的海洋中遨游。
你可能会发现，这个公式里有个常数，叫做普朗克常数，它就像一个神秘的朋友，时不时地给你提示。
咱们再说说这些能量本征值的含义。
它们就像是不同的音符。
当你弹钢琴时，不同的键发出不同的声音。
能量本征值就像这些音符，描述着谐振子可以“演奏”的曲调。
每个曲调都是独特的，有的高亢激昂，有的低沉舒缓。
换句话说，一维谐振子的能量本征值让我们能够理解这个小家伙在不同状态下的行为，真是让人目不暇接啊。
这一切听上去是不是有点抽象？不怕，我来给你个小例子。
想象一下你在家里，手里拿着一个篮球，准备在院子里投篮。
CH09 力学量本征值的代数解法
ˆ N | n a a | n n n 得 1 a a | n n n a | n 1 n | n n
[ a , a ] 1 利用 有 a a aa 1 代入上式
即
m | aa 1 | n m | a n | n 1
NEXT
由此可得
ˆ a n (n 1)a n . N
ˆ 的本征态，相应本 a | n 也是 N 这说明， 征值为(n 1) 。 ˆ 的本征态 | n 出发，逐次 如此类推，从 N ˆ 的一系列本征态 用a 运算，可得出 N
| n , a | n , a | n ,
2
相应的本征值为
移项，得 上式对任意m都成立，所以
a | n 1
或
n 1 | n
a | n n | n 1
a | n n 1 | n 1
连同
这就是下降和上升算符的定义，很有用处。
例题 以及
利用
a | n n 1 | n 1
a | n n | n 1
1 2 1 2 H p x 2 2
x, p i,
问题：如何分解 分解 令
1 2 1 2 H p x 2 2
1 2 1 1 2 (p x ) ( x ip) ( x ip) 2 2 2 1 1 a ( x ip), a ( x ip), 2 2
其逆为
| 0 , a | 0 , a | 0 ,
2
ˆ 本征值为 N
H 本征值为
0,
1,
2,
1/ 2,
3 / 2,
5 / 2,
一维量子谐振子问题
(2)E<U0的情况： 此时方程为：
k 2 0,
k32 0,
x 0 or x a 0xa
其中，k3
2(U0 E) 。在粒子从左方入射时有：
A eikx B eikx ,
x0
( x) F ek3x G ek3x ,
0 xa
C
e
ik
x
,
xa
让 和 在 x=0 和 x=a 处连续,我们得到4个方程，从中可
U1(x a) C11U1(x) C12U2 (x) U2 (x a) C21U1(x) C22U2 (x)
3.设Ψ(x)为周期场中同一能量的任意解:
(x) AU1(x) BU2 (x) (x a) ( AC11 BC21)U1(x) ( AC12 BC22 )U 2 (x)
i
]
k1
|
A |2
JD
k1
| c |2 ,
JR
k1
|
A |2
透射系数与反射系数为：
D
JD J
(k12
4k12k22 k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
R
JR J
(k12
(k12 k22 )2 sin 2 k2a k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
显而易见： D R 1
在周期场中，薛定谔方程的能量本征函数有且仅有两个
独立的解Ψ1和Ψ2 ，并满足下列性质：
1(x a) 11(x)
证明：
2 (x a) 22 (x)
1. 若Ψ(x)为薛定谔方程的能量本征函数,则Ψ(x+a)应为方程 对应于同一能量的解的本征函数。
2. 设U1(X)、U2(X)为薛定谔方程的独立能量本征函数，因二 次方程只有两个独立的解，故有：
一维谐振子的本征值问题.
一维谐振子的本征值问题姜罗罗赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。
一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ödinger 波动力学解法。
2.7 一维谐振子问题
V (a) V0
V x
V 0 0 x a x x a
1 2V V0 2! x 2
( x a )2
x a
2V 其中：k 2 x
例如双原子分子，两原 子间的势V是二者相对距 离x的函数，如图所示。 在 x = a 处，V 有一极小 值V0 。在 x = a 附近势 可以展开成泰勒级数：
Hn ( )
归一化系数
封闭形式解：
n d H n ( ) (1) n exp[ 2 ] n exp[ 2 ] d
H n ( ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。 由上式可以看出，
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：
dH n 2nH n 1 ( ) d H n 1 2H n 2nH n 1 0
1 2
（5）厄密多项式 附加有限性条件得到了 H(ξ)的 一个多项式，该多项式称为 厄密 多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波 函数可表示为：
2 n N n exp[ 1 ]H n ( ) 2
H 2H ( 1) H 0
H n 2H n 2nH n 0
d n1 d n1
e
]d
2
(1)
2 n 1 N n
[ H n ( )][
d d
d n1 d n1
]d (1)
2 nn Nn dn d n
[
H n ( )]e d
(1)
n ( x)
2 n n! e
2 x 2 / 2
k
为此考察相邻 两项之比：
exp[ 2 ] 1
2
1!
15-5一维谐振子
波函数的一般形式为
或者
n ( ) An e
2 x 2 2
2 2
H n ( )
n ( x) N n e
H n (x )
式中Hn( )称为厄米多项式，具体形式为
H n ( ) ( 1) e
n
2
dn d
n
e
- 2
2
由此得出n = 0, 1, 2, 3, 4的厄米多项式分别为
H 1 ( ) 2 , H 2 ( ) 4 2 2 ,
H 0 ( ) 1,
H 4 ( ) 16 4 48 2 12 .
H 3 ( ) 8 3 12 ,
( x) n ( x)dx 1 ，得 由归一化条件 n N n ( 1 2 n )1 2 2 n!
[ 2 d
2 2
o
x
2 dx
1 2
2 x 2 ] ( x ) E ( x )
令
2E ,
1
将变量x变换为
所以
d 2 ( ) d 2
x
( 2 ) ( ) 0
求解这个方程，并使解满足束缚态条件，就可以得 到一维谐振子的能量本征函数和能量本征值。
时间因子的一维谐振子的定态波函数为 n ( x, t ) n ( x)e iEnt /
N n (x ) e
2 x 2 2
H n (x ) e iEnt /
3
当时，应有0，所以
2E 2n 1 , n 0, 1, 2,
a
2π 2 2 me a 4
第二章波动力学基础一、填空1.一维谐振子的能量本征值En与_____
第二章 波动力学基础一、填空1. 一维谐振子的能量本征值E n 与_____有关，能量是量子化的.最低的能量是____，称为_____.能级都是等间距的，间隔都是____.2. 定态的性质：粒子坐标的____和____不随时间变化；任何不显含时间变量的力学量的____和____不随时间变化.二、概念与名词解释1. 态叠加原理；2. 概率流守恒定律；3. 定态，束缚态；4. 奇宇称，偶宇称三、计算1. 由下列定态波函数计算几率流密度： (1) ikr 1e r 1=ψ, (2)ikr 2e r 1-=ψ.从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波.2. 设()()为常数a Ae x 22x a 21-=ϕ(1) 求归一化常数 (2) .?p ?x x ==3. 设在t=0时，粒子的状态为 φ=A[sin 2kx+(coskx)/2]，求粒子动量和能量的平均值.4. 已知做直线运动的粒子处于状态ix11)x (-=ϕ(1) 将φ(x)归一化；(2) 求出粒子坐标取值概率为最大处的位置.5. 若粒子处于状态 ⎪⎩⎪⎨⎧>β-≤≤<=ϕ)a x ()x e x p (B )a x 0()kx sin(A )0x (0)x (其中k,β为已知常数。
求归一化常数，并给出在1≤x ≤a 区域内发现粒子的概率.6. 粒子处在势能()⎪⎩⎪⎨⎧+<<+≤≤+≤≤+><∞=b)a x a (,U b)2a x b a a x 0(,0b)2a x 0x (,x U 0当和当和当的场中运动，求在能量小于U 0的情况下，决定能量的关系式.7. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.8. 一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-0x 00x Axe x x的状态. 求归一化系数A ，粒子的动量分布函数及动量平均值。
9. 若线谐振子处于第一激发态，)x a 21aexp(-)2a ((x)222131π=ϕ，求其坐标概率最大的位置，其中a>0.10. 设粒子的能量E>0，求粒子在势阱()⎩⎨⎧><= 0)(x 00)(x U x U 0壁x=0处的反射系数.11. 一维谐振子处在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ω--π=ϕt 2i 2x a exp a (x)221/2状态， 求：势能的平均值；动量的概率分布函数；动量的平均值.12. 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤-<≤<∞=x b ,0bx a ,U a x 0,U 0x ,x U 10求束缚态的能级所满足的方程，其中U 0>0,U 1>0.13. 粒子在如下三维势场()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧><∞≤≤==⎩⎨⎧><∞≤≤==b/2)(x -b/2),(x b/2)y (-b/2 0U 0U a/2)(x -a/2),(x a/2)x (-a/2 0U z y,,x U y z x 中运动, 求粒子的能量和对应的波函数.14. 设粒子处于一维势阱中⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a)(x 0a)x (0 U 0)(x U(x) 0，式中U 0>0.若粒子具有一个E=－U 0/4的本征态，试确定此势阱的宽度.15. 设粒子在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数a x cos a x sin 4(x)2πππ=ϕ描述，求粒子能量的可能值和相应的概率.16. 在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动的粒子，如果粒子的状态由波函数φ(x)=Ax(a-x)描述，A 为归一化常数，求粒子的能量的概率分布和能量的平均值.17. 一个粒子处与中心势场⎩⎨⎧<≥=a)(r 0a)(r U )r (U 0中，设其径向波函数为R(r)=u(r)/r ，u(r)满足的方程为0)r (u r )1l (l ))r (U E (2)r (u dr d 2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--μ+ ，若l=0，求该粒子小于U 0的能量和相应的本征函数.18. 粒子在势场⎩⎨⎧≥<δ-=0)(xU 0)(x (x)a U )x (U 10中运动，试给出小于零的能量本征值和本征函数，其中U 1>0,U 0a>0.19. 粒子在如下势场中运动⎩⎨⎧>ω≤∞=0)(x /2x m 0)(x )x (U 22，求其能级. 20. 粒子在双δ势阱U(x)= -U 0d[δ(x+a)+ δ(x-a)]中运动，求其束缚能级满足的方程.21. 设两个方势垒的形状分别是⎩⎨⎧≤≤><<=⎩⎨⎧≤≤<=c)x (b U c)x b,x (a 0)x (U , a)x (0 U 0)(x 0)x (U 21，求粒子连续贯穿两个方势垒的贯穿系数.22. 求势场U(x)= -U 0/(e x/a +1)，入射粒子能量E>0时的反射系数.23. 能量为E=3U 0的粒子射向如下势场⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=a)(x 2U a)x (0 U 0)(x 0U(x)0 0，求粒子的透射和反射系数.24. 能量为E>0的粒子通过如下势阱U(x)= -U 0δ(x)，求粒子的透射和反射系数，其中U 0>0.25. 氢原子处在基态0a /r 30e a 1-π=ψ, 求：(1) r 的平均值； (2) 势能-e 2/r 的平均值； (3) 最可几的半径；(4) 动能的平均值；(5) 动量的几率分布函数.26. 设氢原子处于状态()()()()()/2,Y r R 3/2,Y r R ,,r 11211021ϕθ-ϕθ=ϕθψ-，求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值, 这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.27. 粒子处于状态()⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛πξ=ψ2202124x x p i exp 21x ，式中ξ为常量. 求粒子的动量平均值, 并计算测不准关系()()_______2_____2p x ∆∆28. 设粒子在一维势垒宽度为a 的无限高势垒中运动，求粒子作用在势垒壁上的平均力.29. 设氢原子处在基态，求：它在动量表象中的表示式；p x 和p x 2的平均值；x 和x 2的平均值.30. 设势场为U(r)= -a/r+A/r 2(a 、A>0)，求粒子的能量本征值.31. 设势场为U(r)= Br 2+A/r 2 (A 、B>0)，求粒子的能量本征值.32. 一个质量为m 的粒子被限制在半径为r=a 和r=b 的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其他势场.求粒子的基态能量和基态波函数.33. 求一维薛定谔方程在势场V(x)= -Ze 2/x 下的能级和波函数，并与势场⎩⎨⎧≤∞>=0)(x 0)(x /x Ze -V(x)2的结果相比较. 四、证明1. 证明在定态中, 几率流密度与时间无关.2. 设粒子处于复位势V(r)=V 1(r)+iV 2(r)中，式中V 1(r)和V 2(r)皆为实函数，证明此时粒子的概率不守恒.3. 设粒子处于实位势V(r)中，证明在任意束缚态下其能量平均值为τ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡φφ+φ∇⋅φ∇=τρ=d )r ()r )V (r (*)r ()r (*2m d E 2 式中ρ为能量密度.4. 证明属于不同本征能量的束缚态本征函数是正交的.5. 利用厄米多项式的递推关系H n+1(ξ)-2ξH n (ξ)+2n H n-1(ξ)=0，证明[][]22n n 2-n n 21n 1-n n /2(x) 2)1)(n (n (x)1)(2n (x) 1)-n(n (x)x /(x) 1)/2(n (x) n/2(x)x αφ+++φ++φ=φαφ++φ=φ++，式中φn (x)为线谐振子的第n 个本征波函数， /m ω=α.进而证明在任意本征态下，坐标的平均值为零，势能的平均值为相应本征能量的一半.6. 证明对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值.7. 在一维势场中运动的粒子, 势能对原点对称:U(-x)=U(x), 证明粒子的定态波函数具有确定的宇称.8. 证明对于任意势垒，粒子的反射系数R 和透射系数D 之和等于1.9. 粒子在势能为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=)a x (U )a x 0(0)0x (U )x (U 21当当当的场中运动，证明对于能量E<U 1<U 2的状态，能量由21mU 2k arcsin mU 2k arcsinn ka --π=关系式决定，其中2/mE 2k = 10. 证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的.11. 证明在非相对论量子力学中，在辏力场V(r)中运动的粒子，其束缚态满足322r L 21dr )r (dV 2m )0(π-π=ϕ，式中φ(0)是原点波函数，L 2是角动量平方（选ћ=1为单位）.五、综合题1. 利用氢原子的能谱公式，写出：(1) 电子偶素(positronium)，即e +-e -形成的束缚态的能级；(2) 以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级；(3) μ+和e -形成的束缚态(Muonium)的能级.2. 一个质量为m 的粒子在一个三维方势阱V(r)中运动.(1) 证明：对于一个半径R 一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态，并计算这一极小值.(2) 在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？(3) 上述(1)、(2)结果中的一般性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若⎩⎨⎧><≤≤<λ=）或b x a (x 0b)x (a 0f(x)U(x)，保持f(x)不变，讨论不同的λ值.3. 一电子在一无限大接地平面导体的上方运动，它被自己的像电荷吸收，但电子不能穿透导体表面.试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件，并求出电子的能级和在基态时，电子和导体表面之间的平均距离.4. 质量为m 的非相对论粒子在一势场中运动，势场是U(x,y,z)=A(x 2+y 2+2λxy)+B(z 2+2μz)，其中A>0,B>0,|λ|<1，μ是任意的，求：(1) 能量的本征值；(2) 使势变成⎩⎨⎧μ<∞μ>=任意）、＋任意）、y x ,-(z y x ,-(z U U new ，求基态能量.5. 一个刚体具有惯性矩I z ，可以自由的在x-y 平面中运动.令θ为x 轴与转动轴之间的夹角，求：(1) 能量本征值和相应的本征函数；(2) 若在t=0时，转子由波包φ(0)=Asin 2θ描述，求t>0时的φ(t).6. 考虑一维波函数φ(x)=A(x/x 0)n e -x/x0，其中A 、n 、x 0是常数，(1) 利用薛定谔方程，求势场U(x)和能量E.（这时φ(x)可视为当x →∞时V(x)→0的薛定谔方程的本征函数）.(2) 比较你所给出的势场和轨道角动量为l 的氢原子态的有效径向势的异同.7. 通常在量子力学薛定谔方程中，若已知全部能谱和全部本征函数，可以反过来推出相互作用势，这称为反散射问题.若只知道部分能谱和波函数，有时也可给出关于势场的一些性质.证明：(1) 若势场满足d 2V/dr 2>或<0，则零点波函数满足|φ2s (0) |>或<|φ1s (0) |；(2) 记势场V(r)中粒子状态为l n r r l ,n φ=，则若，0r 1)l(l V dr d 222>⎥⎦⎤⎢⎣⎡++必有|φ0l (0) |≤|φ1l (0) |.8. 对于2P 和3D 能级，定义ε=E 2P －E 3D ，u=r φ2P ，v=r φ3D .势场满足V=λ2V(λr)，λ是小参量，证明：(1) 在(0,∞)区间中，u 2-v 2有且仅有一个零点；(2) 令W(x)=x[2V+x(dV/dx)]，则若满足W(0)=0，且d 2W/dx 2≥或≤0，相应的必有d ε/d λ≤或≥0.9. 粒子在势壁附近的行为，可从下面近似模型出发考虑. 一粒子在一维势场⎩⎨⎧<∞>δ=-d)(x-d)(x (x)U -U(x)0中运动，求： (1) 当势壁离粒子很远时，对束缚态能量的修正值.并据此说明“远离”的意义；(2) 至少存在一个束缚态时，U 0和d 应满足的条件.10. 一维薛定谔方程的本征值谱可依次排列成：E 1<E 2<…<E n <….(1) 若势场U 1(x)给的本征值为E 1n ，U 2(x)给的本征值为E 2n ，且U 1(x) ≤ U 2(x)，证明必有E 1n ≤E 2n .(2) 考虑势场,a)x ( /2ka a)x ( /2kx U(x)22⎪⎩⎪⎨⎧≥<=求这个势所能具有的最大的束缚态的数目N.11. 放射性同位素83Bi 212衰变成81Tl 208，同时放出能量为6.1MeV 的α粒子.(1) 为了计算寿命，首先讨论如下图有限高势垒，计算一个质量为M 的粒子从左边入射的透射系数T ，粒子的能量为E ，并设T<<1；(2) 利用上面的结果，选择敏感的势垒参数来近似α粒子势，对83Bi 212的寿命做一个粗略的数值估计.12. 一束单一能量E 的非相对论中子打到一个厚度为t 的平板平面上，在这平板中。
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摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光5[-。
学等领域]13一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
1.矩阵力学解法取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成221kx V x =（１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令μωk=（２）它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势222ˆ212ˆˆx p H μωμ+= (3) 在能量Hˆ表象中，由于 ]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(p xf ix x f -=∂ (4a) ]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(x pf i x pf=∂ (4b) 因此有]ˆˆˆˆ[ˆˆˆ2H P P H i x x H --==∂∂μω (5a)]ˆˆˆˆ[ˆˆˆH X X H i pp H -==∂∂μ (5b) 取Hˆ表象的矩阵元ij ，由于 ij ij ij E H δ= (6)故有ij j i ij p E E ixˆ)(ˆ2--=μω (7a) ij j i ij xE E ipˆ)(ˆ-=μ(7b) 由于Hˆ矩阵的对角性， (7a)，(7b) 两式中的矩阵乘法的取和消失了。
且只是ij ϕ和ij p 两个未知量的方程，与x ，p 的其它矩阵元无关，这是谐振子特性的体现，从而使得求解矩阵元大为简化。
得ω ±=-j i E E (8)则有ωε )(+=i E i ， ...2,1,0±±=i 10≤≤ε (9)不为零的矩阵元为)(1,1,-++=i j i j ij ij p p δδ (10a) )(ˆˆ1,1,-++=i j i j ij ij x xδδ (10b) 由(6)式得ωε )(2,121,+=+-+i p p ii i i (11)此式的解为211,++=+εi c p i i (12) 由(10b)式可知0≥i ，为满足此条件应有00,1=-p 即0211=++-εc 得 21=ε (13) 则ω )21(+=i E i ， i =1，2… (14) 2. Dirac 算符算子代数解法 求解一维谐振子能量本征值由(3)式，采用自然单位1===μω ，则)(2122p x H +=(15) 因此H 具有相空中的旋转不变性，令)ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxd dxp i xa+=+= (16a) )ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxd dxp i xa-=-=+ (16b) 利用 i p x=]ˆ,ˆ[，容易得 1]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[=-=+p x i a a(17) 对H 进行因式分解21ˆ)21ˆˆ(]1)ˆˆ)(ˆˆ[(21ˆ+=+=+++-=+N a a x x d d x x d d H(18)式中a a Nˆˆˆ+= (19) 则[Hˆ，N ˆ]=0 (20) 因为0ˆˆˆˆ2≥==+ϕϕϕϕϕa a a N(21)N a a a a Nˆˆˆ)ˆˆ(ˆ===++++ (22) 所以Nˆ为正定Hermite 算符，H ˆ亦为正定Hermite 算符 设n n n N=ˆ (23) n 为正数，n 表示Nˆ的一个本征态，由(17)(18)式得 a a Nˆ]ˆ,ˆ[-= (24a) ++=a a Nˆ]ˆ,ˆ[ (24b) n a n n N a a N n a N+++++=+=ˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆˆ (25a) n a n n N a a N n aN ˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆ-=+=(25b) 因此可知，若n 为Nˆ的本征态，且本征值为n ，则n a ˆ与n a +ˆ也是N ˆ的本征态，且本征值为n-1，n+1。
由(25a)式可知n aˆ是N ˆ的本征态，从N ˆ的某个本征态n 出发，逐次用降算符a ˆ运算可得N ˆ的一系列本征态，n ， n aˆ， 2ˆa n ， … (26) 相应的本征值为n ， n-1， n-2， (27)因为N ˆ为正定Hermite 算符，它的所有本征值必须0≥。
设N ˆ的最小本征值为0n ，本征态为0n 。
故它的必须满足0ˆ0=n a(28) 由此可得0ˆˆˆ00==+n a a n N (29) 即0n 是N ˆ的本征值，对应本征值为0n =0，因此0n 可记为0。
由(25b)式可知，n a +ˆ也是N ˆ的本征态，从N ˆ 的最小本征值 0n =0对应的本征态0出发，逐次运用算符+aˆ可得N ˆ的全部本征态 0， +aˆ0， 2)ˆ(+a 0， … (30) 相应本征值为0， 1， 2， (31)可以得 Nˆ的归一化本征态 0)ˆ(!1n an n +=(32) 它是Hˆ的本征态 0ˆn E n H = (33) 21+=n E n ， n=0，1，2… (34) 添上能量单位，ω )21(+=n E n ， n=0，1，2 (35)求解波函数由(28)式 aˆ0=0即00)ˆˆ(21=+p x得， 0)()ˆˆ(210=+x xd dxϕαα，μωα= (36)解得 20022)(x eN x αϕ-= (37)由归一化条件1)(2=⎰∞∞dx x n ϕ得，210)2(α=N (38)由(32)式得0)ˆ(!1n an n +=，即 )()ˆ(!1)(0x a n x nn ϕϕ+==22122)()!2(x n ne dx d x n n αααα-- (39) 令x αξ=，则(36)式可写成:22122)()!2()(x n nn e d d n n αξξαξϕ--= =22)(ξξ-e H N n n (40)n N =21)!2(n n nα(41) 22)()1()(ξξξξξ---=e d d e H n n n (42) 易得)(x n ϕ=n)1(-)(x n ϕ， 即n 的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性。
Hermite 多项式的递推关系1)ˆˆ(21ˆ-=+=n n n xd dxn a(43) 11)ˆˆ(21ˆ++=-=+n n n xd dxn a(44) 因此211222)()()(21ξξξξξξ----=+eH N n eH N d dn n n n (45)211222)(1)()(21ξξξξξξ-++-+=-eH N n eH N d d n n n n (46)由(45)(46)两式得12121-+++=n nn n n ξ (47) 即2112112222)(2)(21)(ξξξξξξξ----++-++=eH N ne H N n eH N n n n n n n=212122)(22)()1(221ξξξξ---++++eH N n neH n N n n n n n 得)(2)()(211ξξξξ-++=n n n nH H H (48)由(43)得22)()(21ξξξξ-+eH N d dn n =22)(21ξξξ-e H N d dn n=2112)(ξξ---eH N n n n (49)而nN N n n 21-=(50)由(49)(50)两式得)(2)(1ξξξ-=n n nH H d d(51) 相干态与压缩态 2.4.1相干态由(24)式a a Nˆ]ˆ,ˆ[-=≠0。
N ˆ，a ˆ不对易。
又由(43)式1ˆ-=n n n a ，所以除n=0 以外，一般n 不是Nˆ的本征态。
而且设N ˆ的本征态为α则α必须包含所有的n 。
设 n C n n )(0αα∑∞== (52)满足方程αλα=aˆ (53) λ为本征值，利用式(43)，得n C n n ∑∞==0λαλ=n C a n n ∑∞=0=10-∑∞=n n C n n (54)即得10-''=∑∑∞=''∞=n n C n C n n n n λ (55)以1-'n 左乘上式，得1110-'-''=-'∑∑∞=''∞=n n n C n n C n n n n λ (56)利用正交归一条件n n n n '='δ，得1-=n n C nC λ(57)依次递推，即得0!C n C nn λ=(58)0C 为归一化常数，归一化条件为2∑∞==n n C αα=nn n n C ∑∞=022!λ=1 (59)由于2!λλen nn n=∑∞= (60)所以2120i C ee λδ-= (61)通常可以取0C 为正实数，即取 δ=0 ，这时α=n C n n ∑∞=0=n n en ∑∞=-0221!2λλ (62)此即为谐振子的相干态。