《高等代数》期末试卷B

教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期

期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B )

试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷；

2.试题解答全部书写在本试卷上。

班号： 学号 姓名

一、选择题：（每题3分，共15分）

1．当λ=（ ）时，方程组1231

231

222x x x x x x λ++=⎧⎨++=⎩，有无穷多解。

A 1

B 2

C 3

D 4

2．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）。

A 线性相关

B 线性无关

C 线性相关或线性无关

D 不一定

3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ）

的特征向量。

A 2()A E +

B -3A

C *A

D T A

4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ ）。

A 实对称阵

B 正交阵

C 非奇异阵

D 奇异阵

5．设矩阵

A ，

B ，

C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（ ）。

A A 与

B 有相同的特征值

B A 与B 有相同的特征向量

C A 与B 与同一矩阵相似

D A 一定有n 个不同的特征值

1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。 2．若120s ααα++

+=，则向量组12,,

,s ααα必线性 。 3．设向量空间1212{(,,

)|0,}n n i V x x x x x x x R =++

+=∈，则V 是 维

空间。

4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。 5．设矩阵A 满足条件2560A A

E -+=，则矩阵A 的特征值

是 。

6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。

二、填空题：（每题3分，共27分）

7. A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2000000

1k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。

8. 设σ为变换，V 为欧氏空间，若V ∈∀ηξ,都有ηξησξσ,)(),(=，则

σ为 变换。

9. 设(),,,,21n a a a =α，则在n R 中，α= 。

三、计算题：（共4小题，总计46分）

1．（12分）设n 阶矩阵 (2)n ≥，11111

111

1A ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

。求A 的特征值和特征向量，并判断A 是否相似于对角阵。

2．（12分）讨论a 取何值时，方程组⎪⎩⎪

⎨⎧-=++-=++-=++2

23

321

321321ax x x x ax x a x x ax 有解，并求解。

3．（10分）求矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=320230005A 的特征根和相应的特征向量。

4．（12分）求一个正交变换PY X =把二次型

2

3322

22

13213234),,(x x x x x x x x f +++=化为只含有平方项的标准形。

四、证明题：（共1小题，总计12分）

1.（12分）设γβα,,线性无关，证明αγγββα+++,,也线性无关。