拉氏变换基本性质

(t)sest dt
limest f (t) f (o ) sF (s) t
f (t)是指数阶函数lim est f (t) 0 t
L[ df (t) ] sF (s) f (0 )可以推广到高阶 dt
(见p183,4 - 29和4－31式）
*几点说明
a.如果所处理里的函数为有始函数 即 f (t) 0 t 0 则f (0 ), f ' (0 ), f (n1) (0 )
lim
t
f
(t)
lim
s0
s
(s 3) (s 1)2 (s 2)
0
已知 :
L[
f
(t )]
N (s) (s 1)3
(1)如果 N(s)=3 利用初值定理求f(t)的展开式
f (t) a0 a1t a2t 2 a3t 3 中前两项中
非零项.
解:由题义可知L[
f
(t)]
(s
3 1)3
1 (1 e s ) 2 1
s
1 e2s
单对称方波
u(t) 2u(t 1) u(t 2)
1 (1 2es e2s ) s
抽样信号的拉氏变换
抽样序列
T (t) (t nT ) n0
抽样序列的拉氏变换
T (s)
e SnT
n0
1
1 e ST
时域抽样信号
f s (t) f (t) T (t)
F(s) F1(s) 1 esT 0
例：周期信号的拉氏变换
LT
f1(t) F1(s)
第一周期的拉氏变换
LT
利用时移特性
f1(t nT ) esnT F1(s)
LT
f (t nT ) F1(s) eSnT
n0
n0
1
F1(s) eST
利用无穷递减等比 级数求和 s a1
1- q
例1：求全波整流周期信号的拉氏变换
dt
dt
设：f1(t) eat u(t)
f1 (t )
1...t 0
f2 (t) eat ...t 0
f2 (t)
df1 dt
(t)
aeatu(t ) L[ df1 dt
]
1
s
a
a
sF1(s)
df2 2 (t) aeatu(t)
dt
L[df2 dt
]
2
s
a a
s
s
a
1
sF2 (s)
且 f (t) F(s)
则 lim f (t) f (0 ) lim sF(s)
t0
s
证明:利用时域微分特性
L[ df ] df estdt sF (s) f (0 ) dt 0 dt
先假定f(t)在原点连续,则 df 在原点处不
dt
包含冲激.于是
lim df est dt 0 即lim sF (s) f (0 ) 0
设f (t) sin 0t f (t)u(t) sin 0 (t)u(t) f (t t0 )u(t) sin 0 (t t0 )u(t) f (t)u(t t0 ) sin 0tu(t t0 ) f (t t0 )u(t t0 ) sin 0 (t t0 )u(t t0 )
采用 0系统还是采用 0 系统,所求得的初值
总是 f (0 )
b.若F(s)是有理代数式,则F(s)必须是真分式 即F(s)分子的阶次应低于分母的阶次,若不是 真分式,则应用长除法,使F(s)中出现真分式,而 初值f (0) 等于真分式 F0(s) 逆变换 f 0(t). c.物理解释:s ( j ) 相当于接入信
s 0 dt
s 0 dt
lim
[f
(0 )
f
(0 )](t)est dt
0
f
(0 )
f
(0 )
s 0
即 lim sF (s) f (0 ) f (0 ) f (0 ) s f (0 ) lim sF (s) s
*几点说明
a.要注意初值f(t) 为t=0 时刻的值,而不是
f(t)在t= 0 时刻的值,无论拉氏变换F(s)是
通过复频域中的F(s)乘以s取 s 0 的极
限得到而不必求F(s)的反变换 *两点说明:
a. lim f (t) 存在等价于限制F(s)的极点 t
在s左半平面内和原点仅有单阶极点．
b.物理解释：s 0 j 0 相当于直流状态
因而得到电路稳定的终值．
p251.4 5分别求下列逆变换的初值和终值.
n0
n0
L[ fS (t)]
0
f (nT ) (t nT )eStdt
n0
f (nT )ensT
n0
抽样信号的拉氏变换可表示为S域级数
(二).时域微分积分特性
1.若f (t) F (s),则df sF (s) f (0 ) dt
Res 0
和 d n f sn F (s) sn1 f (0 ) sn2 f ' (0 ) f n1(0 ) dt n
拉氏变换的基本性质（2）
尺度变换 初值定理
f (at)
1 F s a a
lim f (t) f (0 ) lim SF(s)
t 0
s
终值 lim f (t) f () lim SF(s)
定理
t
s0
f1(t) * f2 (t)
卷积
定理
f1(t). f2 (t)
F1(s).F2 (s)
1
s
s
3(3s 2 3s (s 1)3
1)
9
a3
3 2
f (t) 3 t 2 3 t 3 22
点评 :
1.利用初值定理时 ,需要判断象函数 F(s)是否为真分式。
为真分式式时,可直接利用初值定理求初值f (0 );若为
＝sin tu(t) - sin tu(t - T ) 2
利用 sin( B) sin cos cossin
和T 2 sin (t T ) sin t
2
f (t) sin tu(t) sin( (t T )u(t T ) 22
L[ f (t)] L[sin tu(t) sin (t T )u(t T )] 22
傅立叶变换的时移性质
若: f (t) F( j) 则: f (t t0) F( j)e jt0
这个性质表明信号在时域中的延时和频域中 的移相是相对应的.
2.四个不同的函数
a. f (t)u(t) b. f (t t0)u(t) c. f (t)u(t t0) d. f (t t0)u(t t0)
f
(0 )
这里还要说明一个基本问题,即不要把单边拉氏 变换理解为只能用于因果信号. 如在利用微分和 积分定理求非因果信号的单边拉氏变换时,这样 理解，可能会得出错误的结果,如
f 2(t) t0 1 结 果 就 错 了.
若 误 认 为f 2 (t) t0 0
c.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.
2.时域积分特性 若 f (t) F(s) 则
0
t
拉 :
f ( )d F(s)且 t
f ( )d
F(s)
f ( )d
0
s
s
s
付: f (t) F( j),则 t f ( )d 1 F( j)
j
求:
df
t
3 f (t) 2
f ( )d
u(t)
dt
t
f (0 ) 2, f ( )d 0
抽样信号的拉氏变换
Fs (s)
f (nT )eSnT
n0
*抽样信号的拉氏变换
T (t) (t nT )
n0
Fra Baidu bibliotek
L[T (t)] 0 (t nt)eStdt n0
1
1 eST
fs (t) f (t)T (t)
f (nT ) (t nT ) f (nT ) (t nT )
T s
(1 e 2 )
s2 2
E
*台阶函数
f
(t)
E
u(t)
E
u(t
T
)
E
u(t
T
)
E
u(t
3T
)
Eu(t
T
T)
4
4 44 24
4
E u(t) 4
E 4s
f (t)
E
sT
[1 e 4
4s
sT
e 2
3sT
e 4
4esT ]
*单边周期函数的拉氏变换定理:若接通的 周期函数f(t)的第一个周期的拉氏变换为F1 (s) 则函数f(t)的拉氏变换为
(s 6)
(s 3)
1. (s 2)(s 5)
2. (s 1)2 (s 2)
解:1. f (0 ) lim s (s 6) 1 s (s 2)(s 5)
lim f (t) lim s (s 6) 0
t
s0 (s 2)(s 5)
2. f (0 ) lim s
s3
0
s (s 1)2 (s 2)
设f (t) sint
sin 0t u(t)
t 0
sin0t u(t t0)
t 0 t0
sin0(t t0) u(t)
0 t0
t
sin0(t t0)u(t t0)
t 0 t0
3.时移特性的应用p250.4-2 (1)
sin t 0 t T
1. f (t)
2
0 t为其它值时
解: f (t) sin t[u(t) u(t T )] 2
2j F1(s) * F2 (s)
P189.表4.2 拉氏变换的性质
4.时域平移 2.对t微分
f (t) f (t t0 )
3.对t积分 7.初值
重点讨论
8.终值
0
(一).时域平移特性和应用
t0
t
1.时移性
设 f (t) F(s)
则 f (t to )u(t to) est0 F (s) to o
f
(0 )
a0
lim S
S
3 (s 1)3
0
L[f '(t)] 3s f (0 ) 3s
(s 1)3
(s 1)3
f
'(0 )
a1
lim
s
s 3s (s 1)3
0
L[ f '' (t)] 3s2 f '' (0 ) 3s2
(s 1)3
(s 1)3
lim f '' (0 ) 2a2
都为零.那么
L[df ] sF (s) dt
L[
d
nf dt
(t)
n
]
s
n
F
(s)
但若f(t)在t=0有跃变,应嵌入一个冲激.
为什么微分得变换式里与f (0 )有关?
虽 然: L[ f (t)] L[ f (t)u(t)]
但L[ d [ f (t)u(t)]不 一 定 和L[ d f (t)]相 等 。
解:
t
f ( )d
sF (s) f (0 ) 3F (s) 2[ F (s)
] 1
s
s
s
F (s)
2s 1 s2 3s
2
1 s 1
s
3 2
f (t) [et 3e2t ]
初始条件自动包含在变换式中，一步 求出系统的全响应。
三.初值和终值定理 1.初值定理 df 若f(t) 及其导数 dt 可以进行拉氏变换
号的突变高频分量.所以可以给出相应的初值
f (0 )
d.由上式也说明,根据象函数F(s)判断原函数 是否否包含冲激函数及其各阶导数存在
2.终值定理
若f(t)及其导数可以进行拉氏变换且
lim f (t) 存在,则 lim f (t) lim sF(s)
t
t
s0
证明见p188
终值定理表明信号在时域中 f ()值,可以
f (t)
1
0 TT
2
f0 (t)
1
t
0T
2
(1
e
T 2
)
1
S2 2
S T
t
1 e 2
sin t[u(t) u(t T )]
T
2
LT
信号加窗 第一周期
2
T
(1
e
T 2
)
S2 2
求图示信号的拉氏变换.
f (t) 包络函数 et
12
乘衰减指数 周期对称方波
1 1 es s 1 es
1 (1 e(S 1) ) (s 1) (1 e(S 1) )
S
S
3S 2 (S 1)3
3
3 a2 2
L[
d
3f dt
(t
3
)
]
3S 3 (S 1)3
f
'' (0 )
3S 3
3(3S 2 3S 1)
(S 1)3 3
(S 1)3
L[
f
(3) (t)]
3s3 (s 1)3
f
'' (0)
3s3 (s 1)3
3
lim f (3) (0 ) 6a3
n1
sn F (s) snr1 f (r) (0 ) r0
证明:
L[
f
' (t)]
df
(t) est dt
est df
(t )
0 dt
0
令 : u est dv df (t) v f (t) du sest
udv uv vdu
L[
f
' (t)]
est
f
(t ) 0
0
f
s 0 dt
s
f (0) f (0 ) f (0 ) lim sF(s) s
再假定f(t)在原点有跃变,则f(t)的导数可写成
df df1 [ f (0 ) f (0 )](t) dt dt
t0
其中f 1(t)在t=0连续,于是
lim df (t) est dt lim df1 est dt
四.拉氏变换的基本性质(1)
线性 微分 积分 时移
n
ki fi (t)
i1
df (t) dt
t
f ( )d
f (t t0 )u(t t0 )
n
ki.LT [ f (t)]
i 1
SF(s) f (0 )
F (s) f '(0 )
s
s
est0 F (s)
频移
f (t)eat
F(s a)