2008.6.27_任意阶幻方的构造方法

任意阶幻方的构造方法

一、幻方分类

n 表示阶数

二、构造方法

以下幻方均指在n n ⨯（n 行n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上1——2n 所构成的幻方。

1、奇数阶幻方——连续摆数法（如图一：以五阶幻方为例）

① 把1填在第一行正中；

② 把i a ()i ≤2放在1－i a 的右上一格；如：3、5、7、8、20等。

③ 如果i a 所要放的格已超出了顶行，那么就把它放在1－i a 的右一列的最下行；如：2、9、18、25。

④ 如果i a 所要放的格已超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的上一行的最左列；如：4、10、17、23。

⑤ 如果i a 所要放的格已超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内；如：16。

⑥ 如果i a 所要放的格已有数填入，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内。如：6、11、21。

图一

2、单偶数阶幻方()122＋

＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D ；如图二（a ）；

（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方）

② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()

2221a a ——＋、在

C 中填入()22312a a ——＋、在

D 中填入()

22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）；如图二（b ）； （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方）

③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调；如图二（c 、d ），

（不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数）

④ 在C 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与B 中相应方格中的数字对调。

（因为01＝－

m ，所以在C 中没有取数） 图二（d ）即为所求幻方。

图二（a ） 图二（b ）

图二（c ） 图二（d ） 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例）

① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方；如图三（a ）

② 在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色（以便于区分），然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格；如图三（b ）

（正确理解“每行每列中任取一半的方格”。本例中因为4＝m ，所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格） ③ 从左上角的方格开始，按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方，遇到有底色的方格跳过，计数，这样填满了没有底色的方格；如图三（c ）

（从左上角开始按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n阶幻方，当遇到有底色的方格时空出不填即可）

④从右下角的方格开始，按从右到左、从下到上的次序将剩下的数从小到大依次填入n 阶幻方，这样填满了有底色的方格。如图三（d）

图三（d）即为所求幻方。

图三（a）图三（b）

图三（c）图三（d）

参考书目：

1、《幻方及其他——娱乐数学（第二版）经典名题》吴鹤龄编著科学出版社