证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分(推荐文档)
线段和差倍分的证法
设 ＝ ， ＝ ） ， ，
Ｂ Ｄ ＝五
Ｄ Ｈ ＿ ／ ／
ｌ 、
Ｋ Ｂ ’ 。 即Ａ Ｂ＝ ３ Ａ Ｃ
七、 借助辅助四法 例７ 如图， 在 四边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， 对角线 Ａ Ｃ平 分 ／ ＿ Ｄ Ａ Ｂ， 若／ ＿Ｄ Ａ Ｂ １ ２ ０ 。 ， ＬＢ与 ＬＤ互补 ， 试证 明 Ａ 曰＋
。
点 曰作 Ｂ Ｅ－ Ｌ Ａ Ｄ交 Ａ Ｄ延长线 于 Ｅ 点 Ｄ为 Ａ Ｅ 中点．
’
．
ＣＥ＋ＢＥ＝ＥＦ ＋Ｅ Ｇ＝２ Ａ Ｄ．
求证
Ａ Ｂ＝ ３ Ａ Ｃ ．
注
因题设 中有 平行的条件 ， 可 考虑用此法证．
曰 ．
简证
延长 Ｂ Ｅ、 Ａ Ｃ交 于
Ａ
四、 代 数 法
例 ４ 如图， 已知 锐 角 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｄ上Ｂ Ｃ且 Ａ Ｄ＝
▲ Ａ 数学大｛ ｝ Ｉ 暴 ０ ． １ ▲ Ｉ ｖ； 。 ． 。 ＋ 。 ． 。 ． 。
则Ｄ Ｅ＝Ｃ Ｅ・ ｃ ｏ ｓ ＬＣ Ｅ Ｄ， ＝ Ｂ Ｃ・ ｃ ｏ ｓ ＬＣ Ｂ Ｆ，
．
。Ｌ Ｃ ＢＦ ＝ Ｃ ＤＥ． ． ‘ ． ＤＥ ＝Ｂ Ｆ ．
．
‘ ．
Ａ Ｂ＋ Ａ Ｄ：（ Ａ Ｆ＋ Ｆ） ＋（ Ａ Ｅ— Ｏ Ｅ）＝ Ａ Ｆ＋ Ａ Ｅ，
又 Ａ Ｅ ＝ Ａ Ｆ ： Ａ Ｃ － ｃ ０ ｓ ６ ｏ 。 ＝ ÷ Ａ ｃ ， ． ． ． Ａ Ｂ ＋ Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｃ ．
三、 比 例 法
、
（ ２ ） 设 Ｂ＝ＬＡ Ｃ Ｂ＝ ａ ， 则Ｐ Ｅ＝Ｐ Ｂ・ ｓ ｉ ｎ ｃ ￣ ，
ＰＦ：ＰＣ ・ｓ ｉ ｎ ａ．
‘
Ｄ
线段与角的和差倍分计算
线段与角的和差倍分计算
在几何学中，我们经常遇到线段与角之间的和、差和倍分计算问题。
这些计算方法是为了帮助我们更好地理解图形的性质和关系。
本文将详细
介绍线段与角之间的和、差和倍分计算方法。
一、线段的和、差计算
1.线段的和计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的和，即线段AB+BC。
计算方法是将线段AB和BC的长度相加，即AB+BC。
2.线段的差计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的差，即线段AB-BC。
计算方法是将线段AB的长度减去线段BC的长度，
即AB-BC。
二、角的和、差计算
1.角的和计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的和，即
角α+角β。
计算方法是将两个角的度数相加，即α+β。
2.角的差计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的差，即
角α-角β。
计算方法是将角α的度数减去角β的度数，即α-β。
三、线段与角的倍分计算
1.线段的倍分计算：给定线段AB，我们需要计算出线段AB的一半或
一四分之一的长度。
计算方法是将线段AB的长度除以2或4，即AB/2或AB/4
2.角的倍分计算：给定角α，我们需要计算出角α的一半或一四分
之一的度数。
计算方法是将角α的度数除以2或4，即α/2或α/4
以上是线段与角的和、差和倍分计算的基本方法。
在实际应用中，我们还可以利用一些几何定理和性质来简化计算，例如角的补角、互补角和对应角等关系。
八年级数学专题：证明线段的和差问题常用两种方法
八年级数学专题：证明线段的和差问题常用两种方法
总结归纳初中数学典型例题、常考易错题，中考试题等，提炼通法，构建模型，助力中小学数学教育。
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线段的和差问题
要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：
一、可在长线段上截取与两条线段中一条
相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线
段相等（割）
二、把一个三角形移到另一位置，使两线
段补成一条线段，再证明它与长线段相等（补）
三、注意辅助线的作法及语言的表达，辅
助线只能实现一种功能。
三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)
四、利用全等三角形证线段之间的和差倍分问题证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。
(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。
(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。
后两种方法，就是通常所说的截长补短。
例1.已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。
（证明略）例2.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC证明：在EA上截取EF=BE，连结CF∵CE⊥AB于E（已知）∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）∴∠1=∠B（等边对等角）∵∠1+∠2=180°（平角定义）∠B+∠D=180°（已知）∴∠2=∠D（等角的补角相等）（再往下证明略）3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。
（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。
分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。
“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。
2021年中考数学热点专题复习：例析线段和差倍分问题的求解策略
2021年中考数学热点专题复习：例析线段和差倍分问题的求解策略在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题．一、利用全等形或相似形对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的．例1如图1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD ＝45°，AD与BE交于点F，连CF．(1)求证：BF＝2AE；(2)若CD＝2，求AD的长．分析由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC＝2AE，故问题(1)只要证明BF＝AC．(2)略．例2如图2，点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于点F．(1)求证：△AEB∽△OFC；(2)AD＝2OF．二、取长补短法对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的相等问题（俗称取长补短法）．例3 如图3，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，且AB＝BD，BM⊥AC于点M，求证：AM＝CD＋CM．证明（延长法）延长DC至点N，使CN＝C M，下面只要证明AM＝DN即可．连BN，则由AB＝BD，得∠ACB＝∠ADB＝∠BAD＝∠BCN，又CN＝CM，BC为公共边，例4 如图4，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME．解 (1)略；(2)证法1（截取法）如图4，连BD 交AC 于点O ，分别证明AO ＝DF ，OM ＝ME 即可．证法2（延长法）如图5，延长DF 至点N ，使FN ＝ME ，只要证AM ＝DN 即可．连CN 、MB ．同证法1可得△BCD 为正三角形，M 是正△BCD 的中心．三、几何变换法用几何变换法证明线段的和差倍分问题，实质上是利用几何变换将线段移动，使较短线段在适当的位置进行“集中”，使隐含的数量关系明显化，从而达到证明的目的． 例5 如图6，⊙O 外接于正方形ABCD ，P 为劣弧AD 上任意一点，求证：PA PC PB+恒为定值，并求出此定值．证明 当P 与A 重合时，易知 2PA PC AC PB AB+==；一般情况下，可将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得△CBQ，则综上，无论P为劣弧AD上哪一点，PA PCPB恒为定值2，得证．例6 如图7，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC边的中点，F在DC边的延长线上，且∠BAE＝∠EAF，求证：AB＝AF＋CF．解将△ABE绕点E顺时针旋转180°，得到△GCE，则由AB∥CD、E为BC边的中点知点G在DC的延长线上．。
【精品】角的和、差、倍、分问题
第一节角的和、差、倍、分【典型例题】二倍角问题的辅助线添法己知：如图所示，MBC中，ZA = 2ZB,CD平分£4C3・求证：BC=AC+AD.例2已知：如图所示，在AABC中，ZA = 2ZB,AB=2AC.求证：ZC = 90°.例3 已知：在A4BC中，ZACB = 2，B.求证：2AC>A3.例4已知：AD是A4BC的中线，ZC = 2ZB,AC = -BC.求证：A4OC是等边三2 角形.证明角的和、差、倍、分例1如图所示，已知AABC中，ZC>ZB, AD是角平分线，AELBC于E,求证:ZZ)AE = ^(ZC-ZB)例2如图所示，己知：E为A4BC的边BC延长线上一点，ZABG匕ACE的平分线相交于D.求证：ZZ) = -ZA.2例3如图所示，己知：ZVIBC中，/ABC和/4CB的平分线相交于点0.求证:4。
= 9。
+ 捉.B' C例4如图所示，己知DO平分ZADC, BO平分ZABC,求证：ZA + ZC = 2ZO.例5如图所示，已知AB>AC, AD平分ABAC, EF LAD,垂足为G, EF交AB于E,交AC于F,交BC的延长线于M.求证：ZM =^（ZACB-ZB）.例6如图所示，已知AABC中，AB=AC, CD L AB交BA延长线于D, E, F分别是AC、BC的中点.证明：ZEDF = 90°--ZBAC.2【大展身手】1如图所示，已知D为AABC内任意一点，求证：ZBDC =ZA + ZABD+ ZACD.2如图所示，线段BP、BE把ZABC三等分，线段CP、CE把4C8三等分.求证: ZBPC=-(ZA + ZBEC).3如图所示，AA8C中，延长BC到D, ZABC与匕4CO的平分线相交于E点，ZEBC 与匕ECD的平分线相交于F点，求证：ZF = -ZA. 4【小试锋芒】1求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.2 如图所示，MBC中，外角ZCBD, ZBCE的平分线交于点0 ,求证:E = 9。
中考基础题——线段、角的计算与证明问题
中考基础题——线段、角的计算与证明问题
中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。
第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。
可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
在这个专题中，我们对各真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。
线段、角的和差倍
线段、角的和差倍分例1.已知：△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是高求证：DC ＝AB ＋BD分析一：用分解法，把DC 分成两部分，分别证与AB ，BD 相等。
可以高AD 为轴作△ADB 的对称三角形△ADE ，再证EC ＝AE 。
∵∠AEB ＝∠B ＝2∠C 且∠AEB ＝∠C ＋∠EAC ，∴∠EAC ＝∠C 辅助线是在DC 上取DE ＝DB ，连结AE 。
分析二：用合成法，把AB ，BD 合成一线段，证它与DC 相等。
仍然以高AD 为轴，作出DC 的对称线段DF 。
为便于证明，辅助线用延长DB 到F ，使BF ＝AB ，连结AF ，则可得∠ABD ＝2∠F ＝2∠C 。
例2.已知：△ABC 中，两条高AD 和BE 相交于H ，两条边BC 和AC 的中垂线相交于O ，垂足是M ，N求证：AH ＝2MO ， BH ＝2NO 证明一：（加倍法――作出OM ，ON 的2倍） 连结并延长CO 到G 使OG ＝CO 连结AG ，BG 则BG ∥OM ，BG ＝2MO ，AG ∥ON ，AG ＝2NO ∴四边形AGBH 是平行四边形，∴AH ＝BG ＝2MO ，BH ＝AG ＝2NO证明二：（折半法――作出AH ，BH分别取AH ，BH 的中点F ，G 连结FG ，MN 则FG ＝MN ＝21AB ，FG ∥MN ∥AB 又∵OM ∥AD ， ∴∠OMN＝∠HGF （两边分别平行的两锐角相等） 同理∠ONM ＝∠HFG ∴△OMN ≌△HFG ……例3.已知：在正方形ABCD 中，点E 在AB 上且CE ＝AD ＋AE ，F 是AB 的中点求证：∠DCE ＝2∠BCF分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE ＝AD ＋AE 条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。
我们可将AE （它的等量DG ）加在正方形边CD 的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD （它的等量AG ）加在AE 的延长线上（如右图）后一种想法更容易些。
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD是△ABC的中线，ABEF和ACGH是分别以AB和AC 为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD证明：延长AD至N使AD=DN则ABNC是平行四边形∴CN=AB=FA AC=AH又∠FAH+∠BAC=180°∠BAC+∠ACN=180°∴△FAH≌△NCA ∴FH=AN ∴FH=2AD例2、△ABC中，∠B=2∠C，AD是高，M是BC边上的中点。
求证：DM=12AB 证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 则 MN ∥AC ∠1=∠C ∠2=∠B ∴∠2=2∠1 ∴∠1=∠DNM ∴DM=DN又 AN=DN=ND ∴DM=12AB 例3 △ABC 中，AB=AC ，E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且DB=AC 。
求证：CD=2CE证明：过B 作CD 的中线BF则 BF ∥12AC ∠A=∠DBF ∵AB=AC ，E 是AB 的中点∴BF=AE又DB=AC ∴△AEC ≌△BFD ∴DF=CE ∴CD=2CE作业：1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求证：AF=12FC 2、AB 和AC 分别切⊙O 于B 和C ，BD 是直径。
求证∠BAC=2∠CBD3、圆内接△ABC 的AB=AC ，过C 作切线交AB 的延长线于D ，DE 垂直于AC 的延长线于E 。
中考数冲刺几何题型专项突破：专题一截长补短证明线段和差倍分等问题
中考数冲刺几何题型专项突破专题一截长补短证明线段和差倍分问题【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法截长法：如图2,在EF上截取EG=AB,在证明GF = CD即可；补短法：如图3,延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH = EF即可.【类型】一、截长截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BM OA DFC ( SAS),则MC=FC=FG , △ BCM^ DCF ,可得△ MCF为等腰直角三角形，又可证△ CFE=45 , △ CFG=90 ,△ CFGS MCF, Fg CM,可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF , 于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM为平行四边形，可得CM=FG=CF ；可得△ BFC=\ BDC=45 ，得△ MCF=90 ；于是△ BM OA DFC (AAS ), BM=DF ,又得△ BMC^DFC=135于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BCD和厶MCF。
方法三：如图3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△ DFK，可证得△ DFC=\ KFG=135 ，所以△ DFCX A KFG（SAS），所以KG=DC=BC ，△FKG=A FDC=A CBF，KGA BC，得四边形BCGK 为平行四边形，BK=CG ，于是BF=BK+KF=CG+DF.方法四:如图3所示，在BF上截取BK=CG ,可得四边形BCGK为平行四边形,BC=GK=DC , BC A KG ,△GKF=A CBF=A CDF,根据四边形BCFD为圆的内接四边形,可证得△ BFC=45，△ DFC=\ KFG，于是△ DCFX A KGF （AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BDC 和^ KDF。
线段及角的和差倍分计算
线段及角的和差倍分计算
首先我们来介绍线段的和、差计算方法。
1.线段的和计算：
设线段AB的长度为a，线段BC的长度为b，那么线段AC的长度为
a+b。
2.线段的差计算：
设线段AB的长度为a，线段BC的长度为b，那么线段AC的长度为，
a-b，即两个线段长度的差的绝对值。
接下来我们来介绍角的和、差计算方法。
1.角的和计算：
设角A的度数为α，角B的度数为β，那么角A和角B的度数和为
α+β。
2.角的差计算：
设角A的度数为α，角B的度数为β，那么角A和角B的度数差为，α-β，即两个角度数的差的绝对值。
--------------------------------------------
下面我们来介绍线段和角的倍数计算方法。
1.线段的倍数计算：
设线段AB的长度为a，倍数为n，那么线段AB的n倍长度为na。
2.角的倍数计算：
设角A的度数为α，倍数为n，那么角A的n倍度数为nα。
需要注
意的是，角度的n倍有时候不是一个具体的度数，而是一种表示角度大小
关系的相对概念。
线段和角的等分计算方法：
1.线段的等分计算：
设线段AB的长度为a，要将其等分成n份，那么每一份的长度为a/n。
例如，要将线段AB等分成3份，那么每一份的长度为a/3
2.角的等分计算：
设角A的度数为α，要将其等分成n份，那么每一份的度数为α/n。
例如，要将角A等分成2份，那么每一份的度数为α/2。
【初三】线段、角的和差倍分
初中数学竞赛专题选讲线段、角的和差倍分一、内容提要证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。
一.转化为证明相等的一般方法㈠通过作图转化1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等㈡应用有关定理转化1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶17.有关比例线段定理二.用代数恒等式的证明1.由左证到右或由右证到左2.左右两边分别化简为同一个第三式3.证明左边减去右边的差为零4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论二、例题例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高求证：DC＝AB＋BD分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。
∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。
线段及角的和差倍分计算
3、根据图形填空 （1）∠AOC=∠AOB -∠__B_O_C = ∠__A_O_D -∠COD
B
D
C
O
A
(2)若∠AOC=30°，∠BOC=80°，射线OC平分∠AOD， 则∠COD=__3_0_°__,∠BOD=__5_0_°__,并说明理由．
(4)结论：已知线段 AB，点 C 是线段 AB 上任意一点，点 M，N
分别是线段 AC 与线段 BC 的中点，则 MN＝12AB.
在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5 cm，点O是
线段AC的中点，且OB＝1.5 cm，则BC的长是 ( D )
A．6 cm
B．8 cm
C．2 cm或6 cm
综上，在CD之间(含C、D点)建一个加油站M时，所行驶的总路程最 少，所行驶的总时间最少．
如图3，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D， E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝9，求线段DE的长．
图3 解：根据 EB＝9 得出 CB＝18，则 AB＝AC＋CB＝26，则 DB ＝A2B＝13，所以 DE＝DB－EB＝4.
图7
解：(1)∠BOD＝∠BOC＋∠COD， ∵OB是 ∠AOC的平分线，∴∠BOC＝∠AOB＝40°. ∵OD是∠COE的平分线，∴∠COD＝∠DOE＝30°， ∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝70°；
(2)∠AOB＝12(∠AOE－ ∠COE)＝12(∠AOE－ 2∠ COD)＝12× (140°－2×30°)＝40°.
∴∠α＝80°，∠β＝100°.
如图10，从点O引出6条射线OA，OB，OC，OD， OE，OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE， ∠EOF＝140°，求∠COD的度数．
平面几何中线段“和差倍分”问题的证明
利用 “ 平 行线 间距 离相 等 ” 、 “ 夹 在 平行 线 间 的 平 行 线段 相 等 ” 等定理 ， 可通过添加平行线 ， 将 某
些 线段 “ 送” 到 恰 当位置 ， 从 而获得 证题 思路 ．
证法 ２ 如图 ３ ， 延长 Ｃ Ａ至 点 Ｇ， 使Ａ Ｇ＝Ａ Ｅ， 联结 Ｄ Ｃ， Ｄ Ｂ， ＤＧ ． 易证 ＡＡ Ｄ Ｅ ＡＡ Ｄ Ｇ， 从 而 可 证
故 Ⅱ＝ｋ ＋ ｂ—ｃ为整 数． （ ３ ） 令 ０＝ｂ＝ｃ＝ ＝１ ， 则 是平 方数 ， 因此不 一定 成 立． ＋ ＋Ｃ＝３ ， 不
若ｈ ， ｍ 的奇偶 性不 同 ， 则 １ ６ ａ＋ ４ ｂ＝（ ｈ＋ ， ） （ ｈ—ｍ）
为奇 数 ， 这与１ ６ ａ＋ ４ ６为偶 数矛 盾．
等． 证法 １ 与 证法 ２正好 是 “ 割” 与“ 补” 的 ２种 方
法．
现 矛盾 的转 移 ， 从而达 到化 未知 为 已知 、 化难 为易 、 化 繁为 简 的 目的． 本 文拟对 这类 问题 的常用 解法 作
一
例２ 在 锐 角 ＡＡ Ｂ Ｃ中， ／ ＿ ＿ Ａ Ｃ Ｂ ＝６ ０ 。 ， ０ 为 ＡＡ Ｂ Ｃ外 接 圆 的 圆心 ， Ｈ为垂心 ， Ｏ Ｈ 的延 长 线 交
若和 差 倍 分 ＂问 题 的 证 明
●倪 建荣 （ 秀州中学分校 浙江嘉兴 ３ １ ４ ０ ０ ０ ）
△Ｂ Ｄ Ｅ △Ｃ Ｄ Ｇ， 得 Ｂ Ｅ＝Ｃ Ｇ， 即Ａ Ｂ—Ａ Ｃ＝ ２ Ａ Ｅ ．
线段“ 和差 倍分 ” 问题是 几何 证 明的 重要 内容 之一 ， 这类 问题 的证 明方 法灵 活 多变 、 技巧 性 强 ， 且
相关 线 段或 其 延 长线 上 构 造 能 够 表 示 线 段 “ 和差
初中数学竞赛精品标准教程及练习40线段角的和差倍分
初中数学竞赛精品标准教程及练习40线段角的和差倍分线段角是指由两条线段所夹成的角，其中一条线段称为角的边，另一
条线段称为角的腿。
线段角的和、差、倍分是数学竞赛中常见的考点，也
是数学中的重要概念之一、下面将对线段角的和、差、倍分进行详细介绍。
一、线段角的和
线段角的和是指由两个线段角相加得到的角。
当两个角的腿和边分别
相等时，这两个角的和就等于两个腿与边的和构成的角。
具体而言，设有
两个线段角∠AOB和∠BOC，其中∠AOB的腿OA和OB的长度分别为a和b，∠BOC的腿OB和OC的长度分别为b和c。
那么，∠AOB和∠BOC的和
∠AOC可以表示为∠AOB+∠BOC=∠AOC。
二、线段角的差
线段角的差是指由两个线段角相减得到的角。
和线段角的和类似，当
两个角的腿和边分别相等时，这两个角的差就等于两个腿和边的差构成的角。
具体而言，设有两个线段角∠AOD和∠DOC，其中∠AOD的腿OA和OD
的长度分别为a和b，∠DOC的腿OD和OC的长度分别为b和c。
那么，
∠AOD和∠DOC的差∠AOC可以表示为∠AOD-∠DOC=∠AOC。
三、线段角的倍分
线段角的倍分是指将一个线段角分成若干等份，其中每一份称为该角
的倍分。
具体而言，设有一个线段角∠AOC，要将其分成n等份，即将该
角分成n个相等的角AO_1C、O_1O_2C、O_2O_3C、..、O_{n-1}OC。
那么，每一个倍分的度数可以表示为∠AO_iC=1/n*∠AOC，其中i=1,2,3,...,n-
1。
推证线段的和差倍分
推证线段的和差倍分
刘巍
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2015(000)012
【摘要】1．证明一条线段等于两条线段的和例1 已知：如图1，△ABC中，〈B=2〈C，AD是高，求证：DC=AB＋BD．分解法把较长线段分成两部分，证明它们分别等于两条较短线段．
【总页数】2页(P8-8,7)
【作者】刘巍
【作者单位】辽宁省大连市保税区青云湖学校,116104
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.平面几何中线段“和差倍分”问题的证明
2.线段和差倍分的证法
3.线段的和差倍分及其作图
4.线段和差倍分的证法
5.线段和角的和差倍分
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证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明：延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C ,AD 是高，M 是BC 边上的中点。
$•••1求证：DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1线交AC 于F ,求证：AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。
求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。
求证：BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E ,证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。
求证：CD=2CE证明：过B 作CD 的中线BFV AB=AC , E 是AB 的中点又 DB=ACBD 交 AE 于 F 且 FD=2AB 。
求证：/ ABD=2 / DBC:丄 4=2/ 5 即/ ABD=2 / DBC例5若圆内接四边形的对角线互相垂直，则圆心到四边形一边是我们就想法造这个量。
在^ DHCFHA FCB 中 / DHCh FCB / BDCh F••• AD=CF • AD=20E例6 E 是正方形ABCD 勺CD 边的中点。
F 是EC 的中点。
求证: / DAE= / FAB证明：作/ FAD 的平分线交BC 于 H,交DC 的延长线于G则/ 1 = Z2=Z G ••• FA=FG证明：取FD 的中点 M ，连接 AM ，贝J AB=FM=MD=AM •••/ 1 = / 2 / 3二/ 4的距离等于这边的对边的一半。
分析：从图上看，0E 与AD 之间没 有任何关系，这时我们就要想法找一个 量与他们俩都有关系的量。
借助这个量进行等量传递。
但这个量也找不到。
于证明：过B 作直径BF ，连接CROEg CFDDAHB5AF=4 a=FG CG=FG-FC=a•••△ ABHm GCI^A ADE作业:4、ABCD^正方形, P是CD上一点，AP二PC+BCM是CD的中点。
求证：/ BAP二N MAD5、△ ABC中, AB=AC D是AC的中点，DE平分/ ADB 交AB于E。
圆ADE交BD于F。
求证：① BF=2E②BF=2AE6、求证：三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍。
、证明三倍以外的倍分问题1、方法：①当是偶数倍时，采取折半再折半或折半传递。
②当是奇数倍时采用传递或减一传递。
1 例1 △ ABC中，E是AB的中点。
D是AC上一点，且CD=21DA。
BD 交CE 于F。
求证：FD=4 BE1 证明：作EGX1 AD求证：外角/ ACD=2B•••/ ACDh 2+Z 1=3/ B例3 E 是平行四边形ABC □的边AB 的中点，F 在AD 上，且AF^AD FE 交 AC 于 G 求证：AGg AC5•••△ AF3A CHG • CG=4AG1••• AG 二-AC5c 1 cP,且 PC 二PO 求证：AC 3 BD••• EG 二CD BG=GD △ GEF^A DCF• FD=1BE例2 △ ABC 中，/ C 是钝角,E C 垂直于BC 交AB 于E 且BE=2AC 证明：作CF// AB 则/仁/ B证明：延长FE 交CB 的延长线于H贝仏 AFE^A BHE 二 AF=BHV AD=3AF ••• CH=4AF例4 AB 是©O 的直径。
弦CD 交AB 于取BE 中点G,连接CG 则/ B 二/ 4 / A 二/B证明：连接0G 0D则/仁/ C二/ D/ 3二/ 1+Z C=2/ 1/ BOD/ 3+/ D=3/ 1C 1 C二BD作业:?、△ ABC中，AC垂直2 BC AD// BC交BD于D, BD交AC于E 且ED=2AB 求证：/ ABE= /3ABC8、延长© 0的半径0A到B,使AB=OA CD切O 0于D,且CD不经过AB之间。
BCICD于Co 求证：/ ABC/ CAD9 、AB弧= 120°, PA PB切O0于A、B°O0 分别切AB弧、PA PB于C、D F。
求证：O 0的周长=1 O0的周长。
3、证线段或角的和差方法1、在长者上截一短者，证明余者等于另一短者。
方法2、延长一短者，使其等于二短者之和。
证明延长后与长者相等。
例1 △ ABC是圆内接正三角形，P是BC弧上任一点。
求证:PA二PB+PC。
证明：在AP上截AE二PC,连接BE•••/ 1 = / 2 AB=AC PC=AE得证。
（右图可用于证法3和证法4）例2 △ ABC 中, AB=ACZ A=100° ,BD 是角平分线。
求证:BD +AD =BC/ A=100° AB=AC •••/ ABC / C=4ff•••△ ABE^A CBP ••• BE=B P•••/ 3二/4=6O°.・. BP 二BE 二EP ••• PA 二PB+PE证法2:在AP 上截AE 二PB 连接CE 则^ ACE^A BCP 艮据/ APC=60 可证PEC 是正二角形，从而命题得证。
证法3、延长BP 交AC 的延长线于E ，则 / BPA+^ APC+^ CP E=180 / ACB+Z BCP 吃PCE=180 , 可证△ PCE 是正三角形。
继而可证△ BEC^AAPC 从而命题得证。
证法4、延长BP 至E ,使P E=PC 连接CE 从而可证^ PCE 是正三角形。
继而可证△BEC^AAPC 从而命题证明：在BC 上截BE=BD 贝y/ 3二/ 4 •••/ 1 = / 2=20°/ 3=/ 4=80° / 5=180° - / ADB-/ 3=40° =/ C••• DE =EC又A 、B 、E 、D 四点共圆••• AD =ED • BD +AD =BC证法2 延长BD 至E,使DE=ADP 心在BC上截BF=BA 则^ ABD^A FBD••• AD=FD=DE Z ADBy BDF=60•••/ FDC=60 二/ EDC• △ CED^A CFD •••/ DEC y DFC=80 二/FCE••• BC=BE=BD+DE=BD+AD作业10、在^ ABC中, y B=2/ C, AD是角平分线。
求证：AB+BD=AC11、△ ABC中, CE是高，AB二AC D是BC延长线上一点，DF丄AB 于F，DML AC交AC延长线于M。
求证：DM=DF-CE12、E、F分别是正方形ABCD边BC和CD上的点且/ EAF=45。
求证：EF=BE+DF方法3、利用三角形的面积。
判断：当结论中的三条线段分别是底边相等的三个三角形的高时，考虑利用三角形的面积进行证明。
例3求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高。
已知：如图AB=AC P吐AB PDIAC CF丄AB求证：CF二PE+PD证明：S A AP B2 AB • PES A APC= AC - PD1&ABC=S APB+SA PC• 2 AB・CF=, AB・PE+1 AB・PDCF二PE+PD方法4:利用等量传递CEL MN于E。
求证：DE二BD+CE例4 如图Rt △ ABC中，/ A=90°AB二AC MN过A, BEU MN于D,例5如图G是^ ABC的重心, 直线MN过GMN于E, CFL MN于F。
求证：AD=BE+CF证明：连接AG并延长交BC于H,1作HI L MN于I，则HI=2AG AD 2•••△ HIG• GGf A T= 2••• AD=2HI AD=BE+CF 例6定理：直角三角形内切圆的直径等于两条直角边的和减斜边的差。
已知：如图Rt △ABC中/ C=9ff O O分别切BC CA AB于D E、F,设OO的直径是d求证：d=AC+BC-AB证明：连接OE OD则CD+CE=dV DC=BC-BD=BC-BF CE=AC-AE=AC-AF••• DC+CE二BC+AC-(BF+AF)二BC+AC-AB N••• DE二DA+AE二证明:ADL MN于D, BE!AMH CB••• d二AC+BC-AB作业:13、求证：正三角形内任一点到三边的距离之和等于高。
14、在^ ABC中，角平分线BD CE相交于Q 过0作MN/ BC分别交AB AC于M N。
求证：MN二BM+CN一对角线上两顶点到MN的距离之和等于另一条对角线上两顶点到MN的距离之和。
16、CD是Rt△ ABC斜边上的高。
求证：内切于^ ABC △ CAD △ CBD勺三个圆的半径的和等于CD四、证线段或角的和差倍分方法：1、先作出和差，再证明倍分。
方法：2、先证明倍分，再计算和差。
（此法多用于证线段）方法：3、用计算的方法——纯代数法证明和差倍分。
（此15、MN是平行四边形ABCD^外任一条直线。
求证:法多用于证角，便于计算。
）注意：在证明角的和差倍分时，涉及到的量比较多，往往用单一字母表示角进行计算。
例1 △ ABC中，AB >AC , AD是角平分线，M是BC的中点,1EM丄AD交AB于E,求证：BE=2 (AB-AC )证明：在AB上截AF=AC则FC丄AD ••• EM // FC BF=AB-ACV BM=MC ••• BE=EF• BE=1 BF=2 (AB-AC)例2 梯形ABCD 的腰CD 丄BA 。