弹性力学-用差分法和变分法解平面问题

差分公式(１)及(３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示 中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。 以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值， 可称为端点导数公式。 应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。 因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点 一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在 无法应用前者时才不得不应用后者。
f f 2 f f y 1 y 3 1 2 [( f 6 f8 ) ( f5 f 7 )] 2h 4h xy 0 x y 0
弹性力学 用差分法和变分法解平面问题
1 2 f f f f 0 ( x x0 ) 2 2! x 0 x 2 ( x x ) 0 0 0
0
(b)
在结点３，x=x0-h；在结点1， x=x0+h。代入(b) 得：
h2 2 f f f 3 f 0 h 2 x 0 2 x
将微分用有限差分来代替
dx x x2 x1
df f f 2 f1
将导数用有限差商来代替
f
f ( x)
f1 f 2 f3
d f f f 2 f1 ; d x x x2 x1
题化为求解差分方程问题。
弹性力学
o
x1 x2 x3
x
将微分方程用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问
(5)
7
一 差分公式的推导
4 f x 4 1 h 4 [6 f 0 4( f1 f 3 ) ( f 9 f11 )] 0 (6)
4 f 1 x 2y 2 h 4 [4 f 0 2( f1 f 2 f 3 f 4 ) ( f 5 f 6 f 7 f8 )] 0 4 f y 4 1 h 4 [6 f 0 4( f 2 f 4 ) ( f10 f12 )] 0
《弹性力学》
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第五章
内容提要
用差分法和变分法解平面问题
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程
四、位移变分法
徐芝纶院士(1911-1999)
五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
一 差分公式的推导
弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移 之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程 和边界条件。
h2 2 f f f1 f 0 h 2 2 x x 0
(c) (d)
联立（c）、（d），解得差分公式：
f1 f3 f 2h x 0
弹性力学
(1)
2 f f1 f3 2 f 0 2 h2 x 0
弹性力学
1 3 f 2 ( x x0 ) 3! x 3 0
Baidu Nhomakorabea
3 ( x x ) ... 0 0
(a)
5
用差分法和变分法解平面问题
一 差分公式的推导
只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。 于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：
弹性力学变分法，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能、 外力势能），又称为能量法。
弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独 立解法，分为： 位移变分法：取位移函数为自变量，并以势能极小值条 件导出变分方程。 应力变分法：取应力函数为自变量，并以余能极小值条 件导出变分方程。
弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 10
(2)
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用差分法和变分法解平面问题
一 差分公式的推导
同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：
f f2 f4 2h y 0 2 f f2 f4 2 f0 2 y h2 0 (3) (4)
以上（１） —（４）是基本差分公式，从而可导出其它 的差分公式如下：
弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 8
第五章
内容提要
用差分法和变分法解平面问题
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程
四、位移变分法
徐芝纶院士(1911-1999)
五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
二 弹性体的形变势能和外力势能
变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。 泛函－－是以函数为自变量的一类函数。
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能） （1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，
可看成是作用于微小单元上的“外力”。
（2）因应力和应变均从0增长到 σ , ，故单位体积上，
用差分法和变分法解平面问题
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一 差分公式的推导
在弹性体上，用相隔等间距h而平
行于坐标轴的两组平行线织成正方形
网格。 设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续 函数，该函数在平行于x轴的一根网线
上，如在3-０-１上，它只随x坐标的改
变而变化。在邻近结点０处，函数f可 展为泰勒级数如下：
1 2 f f f f 0 ( x x0 ) 2 2! x x 0
因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解， 得出函数表示的精确解答。
对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函 数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有差分法、变分法和有限单元法。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
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一 差分公式的推导
差分法是微分方程的一种数值解法， 它不是去求解函数f(x)， 而是求函数在一些结点上的值 。 f 1, f 2