弹性力学-用差分法和变分法解平面问题
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弹性力学简明教程
弹性简明课程是教育部第十个五年计划的国家计划教科书。
在第二版的基础上，它保留了原有的体系和特征，并根据教学改革的需要和相关的新国家标准进行了修订。
根据从浅到深的原理，本书安排了平面问题的理论和解决方案，空间问题的理论和解决方案以及薄板弯曲的理论。
着重介绍了弹性的数值解，如差分法，变分法和有限元法。
简明课程作为一本介绍性的弹性教科书，着重于基础理论（基础概念，基本方程式和基本解）的阐述和应用，以便学生在掌握基础知识的基础上阅读和应用弹性文献。
理论，并可以初步应用弹性数值解来解决实际工程问题。
主符号表第1章简介1-1弹性的内容1-2弹性的一些基本概念1-3弹性的基本假设第二章平面问题的基本理论2-1平面应力问题和平面应变问题2-2平衡微分方程2-3平面问题中点的应力状态2-4几何方程式刚体位移2-5物理方程式2-6边界条件2-7 Saint Venant原理及其应用2-8通过位移求解平面问题2-9通过应力相容方程求解平面问题2-10在恒力下简化的应力函数练习第三章平面问题的直角坐标解3-1逆解和半逆解多项式解。
3-2矩形梁纯弯曲的计算3-3位移分量3-4均布荷载下的简支梁3-5重力和液压作用下的楔形体第四章平面问题的极坐标解4-1极坐标中的平衡微分方程4-2极坐标中的几何方程和物理方程4-3极坐标中的应力函数和相容性方程4-4应力分量的坐标转换公式4- 5轴对称应力和相应的位移4-6圆环或圆柱体上的压力均匀分布4-7压力通道孔口处的应力集中4-8圆孔4-9边界上的集中力4-10边界上的分布力第5章用差分法和变分法求解平面问题5-1差分公式的推导5-2应力函数的微分分解5-3应力函数的微分分解的例子5-4弹性体的变形势能和外力势能5 -5位移变化方程5-6位移变化方法5-7位移变化方法示例..第6章使用有限元方法解决平面问题。
6-1基本数量和方程的矩阵表示。
6-2有限元方法的概念。
6-3单元的位移模式和解的收敛性。
弹性力学简明教程第四版第五章：有限差分发和变分法概论
§5－2应力函数的差分解
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f x2
y x （3）由于 f 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（5－1）
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f x2
y x （3）由于 f 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（5－1）
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件
弹性力学用差分法和 变分法解平面问题课 件
目 录
• 引言 • 差分法解平面问题 • 变分法解平面问题 • 有限元法的基本原理 • 弹性力学问题的有限元解法实例 • 总结与展望
01
引言
弹性力学简介
01 弹性力学的定义和研究内容
02 弹性力学与其他力学分支的关系
03
弹性力学的发展历程和应用领域
差分法和变分法概述
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f，如节点力平衡条件 、位移边界条件等。
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点的位移。
三维弹性力学问题的有限元解法
建立刚度矩阵
根据每个三维单元的物理特性，建立刚度 矩阵K，该矩阵包含了材料的弹性常数和
每个节点的位移信息。
A 定义三维离散网格
将连续的弹性体离散化为Biblioteka 限个小 的三维单元，每个单元之间通过节
点连接。
B
C
D
求解节点位移
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点 的位移。
建立约束方程
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f ，如节点力平衡条件、位移边界条件等。
06
总结与展望
差分法和变分法的优缺点比较
直观易懂，易于编程实现
差分法优点
对于稳定问题，解的精度和收敛速 度一般较好
差分法和变分法的优缺点比较
差分法的定义和基本原理 变分法的定义和基本原理 差分法和变分法在弹性力学中的应用
平面问题概述
平面问题的定义和分 类
弹性力学中的平面问 题及其研究意义
平面问题的基本特点 和求解方法
02
差分法解平面问题
差分法的基本原理
01
有限差分法是一种将连续的物理问题离散化为网格上的数学问 题的方法。
目 录
• 引言 • 差分法解平面问题 • 变分法解平面问题 • 有限元法的基本原理 • 弹性力学问题的有限元解法实例 • 总结与展望
01
引言
弹性力学简介
01 弹性力学的定义和研究内容
02 弹性力学与其他力学分支的关系
03
弹性力学的发展历程和应用领域
差分法和变分法概述
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f，如节点力平衡条件 、位移边界条件等。
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点的位移。
三维弹性力学问题的有限元解法
建立刚度矩阵
根据每个三维单元的物理特性，建立刚度 矩阵K，该矩阵包含了材料的弹性常数和
每个节点的位移信息。
A 定义三维离散网格
将连续的弹性体离散化为Biblioteka 限个小 的三维单元，每个单元之间通过节
点连接。
B
C
D
求解节点位移
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点 的位移。
建立约束方程
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f ，如节点力平衡条件、位移边界条件等。
06
总结与展望
差分法和变分法的优缺点比较
直观易懂，易于编程实现
差分法优点
对于稳定问题，解的精度和收敛速 度一般较好
差分法和变分法的优缺点比较
差分法的定义和基本原理 变分法的定义和基本原理 差分法和变分法在弹性力学中的应用
平面问题概述
平面问题的定义和分 类
弹性力学中的平面问 题及其研究意义
平面问题的基本特点 和求解方法
02
差分法解平面问题
差分法的基本原理
01
有限差分法是一种将连续的物理问题离散化为网格上的数学问 题的方法。
弹性力学第二章平面问题的基本理论
圣维南定理
总结词
圣维南定理是弹性力学中的一个重要定理，它表明在弹性体的局部区域，改变内力的分布不会影响该 区域以外的应力分布。
详细描述
圣维南定理指出，在一个弹性体上施加一个集中力或分布力，只会影响该力作用点附近的应力分布， 而不会影响远离作用点的应力分布。这个定理在解决弹性力学问题时非常重要，因为它可以帮助我们 忽略某些局部细节，从而简化问题。
04
弹性力学的基本方程
平衡方程
平衡方程描述了弹性体在受力作用下的平衡状态，其数学表达式为：$frac{partial sigma_{xx}}{partial x} + frac{partial sigma_{xy}}{partial y} = 0$，其中 $sigma_{xx}$和$sigma_{xy}$分别为应力分量。
几何方程反映了物体在变形过程中满足连续性和均匀性的条 件，是解决弹性力学问题的重要基础。
本构方程
本构方程描述了应力与应变之间的关系，其数学表达式为： $sigma_{xx} = lambdaepsilon_{xx} + 2muepsilon_{xx}$， 其中$lambda$和$mu$分别为拉梅常数，$epsilon_{xx}$为 应变分量。
平面应变问题的应用场景
1 2 3
土木工程
在桥梁、建筑等土木工程结构中，常常需要考虑 平面应变问题，以分析结构的稳定性、承载能力 和抗震性能。
机械工程
在机械零件和设备的设计中，如板、壳等结构， 也需要考虑平面应变问题，以确保其在使用过程 中的安全性和稳定性。
地球科学
在地质工程、地震工程等领域，平面应变问题也 是重要的研究内容，用于分析地壳的应力分布、 地震波传播等。
弹性力学第二章平面问题的 基本理论
差分法公式推导xin
变分法： 是弹性力学中另一独立的求解方法。在
变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建 立变分方程，进行求解。弹性力学中的变分法和微分方 程是沟通的，可以互相导出。
有限元法 : 首先将区域离散化，把连续体变化为
离散结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散 结构，从而建立求解的方法。有限元法应用计算机进行 计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。
14
也可能是应力函数等等。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
1 差分法定义
x
第一节 差分公式的推导
12
h
84 5
2 推导差分公式
11 3 0 1 9 A 13
726
10
B
h
y
14
f
?
f0
?
?? ?f ?? (x ? ? ?x ?0
x0 ) ?
1 2!
????
?2 f ?x2
? ?? (x ? ?0
第一节 差分公式的推导
????
?2 f ?x?y
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?? ???x
????
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?
????
?f ?y
??? ?1
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????
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??? ?3
2h
12
?
f6 ? f5 ? f7 ? f8 2h 2h 2h
?
1 4h2
[(f6
?
f8 ) ? ( f5 ?
f7 )]
?
2(
f1
?
f2
?
f3
?
f4) ?
( f5 ?
f6
?
f7
变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建 立变分方程，进行求解。弹性力学中的变分法和微分方 程是沟通的，可以互相导出。
有限元法 : 首先将区域离散化，把连续体变化为
离散结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散 结构，从而建立求解的方法。有限元法应用计算机进行 计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。
14
也可能是应力函数等等。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
1 差分法定义
x
第一节 差分公式的推导
12
h
84 5
2 推导差分公式
11 3 0 1 9 A 13
726
10
B
h
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14
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第一节 差分公式的推导
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12
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[(f6
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f1
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f2
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f3
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( f5 ?
f6
?
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用差分法和变分法解平面问题 (2)
n 0 , p σn σ.
斜面上沿坐标向的应力分量为
px l , py m , pz n .
代入 px , py , pz , 得到
lσ x mσ
m yx n y n zy l
zx xy
lσ, mσ
,
(a)
nσ z l xz m yz nσ。
第五章 空间问题的基本理论
考虑方向余弦关系式,有
y
2 yz
2 zx
2 xy
)σ
(σxσ
yσz
σx
2 yz
σ y
2 zx
σz
2 xy
2
yz
zx
xy
)
0.
(c)
第五章 空间问题的基本理论
应力主向
3.应力主向
设主应力 σ1的主向为l1, m1, n1。代入式
(a)中的前两式，整理后得
yx
(σ y
m1 l1
zx
σ1
)
m1 l1
n1 l1
(σx
zy
第五章 空间问题的基本理论
Fx : Fy : Fz : Mx : My : Mz :
ab
a b (τ zx )z0 d x d y 0,
ab
a b (τ zy )z0 d x d y 0,
ab
a b (σ z )z0 d x d y F;
ab
a b (σ z )z0 y d x d y Fb,
平衡条件
取出微小的平行六面体，d v d x d y d z，
考虑其平衡条件:
F 0, x
Fy 0, Fz 0; (a)
M x 0, M y 0, M z 0. (b)
第五章 空间问题的基本理论
斜面上沿坐标向的应力分量为
px l , py m , pz n .
代入 px , py , pz , 得到
lσ x mσ
m yx n y n zy l
zx xy
lσ, mσ
,
(a)
nσ z l xz m yz nσ。
第五章 空间问题的基本理论
考虑方向余弦关系式,有
y
2 yz
2 zx
2 xy
)σ
(σxσ
yσz
σx
2 yz
σ y
2 zx
σz
2 xy
2
yz
zx
xy
)
0.
(c)
第五章 空间问题的基本理论
应力主向
3.应力主向
设主应力 σ1的主向为l1, m1, n1。代入式
(a)中的前两式，整理后得
yx
(σ y
m1 l1
zx
σ1
)
m1 l1
n1 l1
(σx
zy
第五章 空间问题的基本理论
Fx : Fy : Fz : Mx : My : Mz :
ab
a b (τ zx )z0 d x d y 0,
ab
a b (τ zy )z0 d x d y 0,
ab
a b (σ z )z0 d x d y F;
ab
a b (σ z )z0 y d x d y Fb,
平衡条件
取出微小的平行六面体，d v d x d y d z，
考虑其平衡条件:
F 0, x
Fy 0, Fz 0; (a)
M x 0, M y 0, M z 0. (b)
第五章 空间问题的基本理论
弹性力学—第五章—差分法
对于距边界内一行的结点建立的方 程须用到边界上的结点以及边界外 一行上的结点的应力函数值。因此 首先我们要用边界条件确定边界上 的点的应力函数值。
y h x 12 8 4 5 11 3 0 1 9 7 2 6 10 B 14 h A 13
应力函数的差分解（3）
o
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB) y
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB)
n
得到：
应力函数的差分解（7）
由于在应力函数中加上一个线性函 o 数不影响应力的解，因此我们可以 假想通过在应力函数中加上一个特 殊的线性函数使得应力函数在A点的 值以及对x和y的一阶偏导都为零。 x y 从而使1-3式有如下简化形式： y A
-dx dy ds
h x 12 8 4 5 11 3 0 1 9 7 2 6 10 B 14 h A 13
y
应力函数的差分解（12）
将应力函数在B点周围泰勒展开： 0
将0，1以及9点的坐标代入上式：
1
B 9
差分法实例（1）
问题：正方形的深梁，上边受有均布 向下的铅直载荷q，由下角点处的反力 维持平衡，试求应力分量。 解答：取坐标轴如图所示，并取网 格间距为六分之一边长。利用对称 性，只取左边一半做研究。
y
可得到：
应力函数的差分解（11）
差分法解平面问题的步骤： 1）在边界上任意选定一个结点作 为基点使 。 2）然后由 式计算面力的矩及面 力之和计算边界上各结点的 值及 必需的一些 ， 值。 3）将边界外一行各虚结点的 值 用边界内相应的结点处的 值表示。 4）对边界内各结点建立差分方程， 求解方程并计算应力分量。
q
y h x 12 8 4 5 11 3 0 1 9 7 2 6 10 B 14 h A 13
应力函数的差分解（3）
o
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB) y
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB)
n
得到：
应力函数的差分解（7）
由于在应力函数中加上一个线性函 o 数不影响应力的解，因此我们可以 假想通过在应力函数中加上一个特 殊的线性函数使得应力函数在A点的 值以及对x和y的一阶偏导都为零。 x y 从而使1-3式有如下简化形式： y A
-dx dy ds
h x 12 8 4 5 11 3 0 1 9 7 2 6 10 B 14 h A 13
y
应力函数的差分解（12）
将应力函数在B点周围泰勒展开： 0
将0，1以及9点的坐标代入上式：
1
B 9
差分法实例（1）
问题：正方形的深梁，上边受有均布 向下的铅直载荷q，由下角点处的反力 维持平衡，试求应力分量。 解答：取坐标轴如图所示，并取网 格间距为六分之一边长。利用对称 性，只取左边一半做研究。
y
可得到：
应力函数的差分解（11）
差分法解平面问题的步骤： 1）在边界上任意选定一个结点作 为基点使 。 2）然后由 式计算面力的矩及面 力之和计算边界上各结点的 值及 必需的一些 ， 值。 3）将边界外一行各虚结点的 值 用边界内相应的结点处的 值表示。 4）对边界内各结点建立差分方程， 求解方程并计算应力分量。
q
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件
分析差分解法的优点和局限性，探讨其在实际应用中的适用范围。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
弹性力学有限元第五章 变分法解平面问题
用V表示外力的势能(以u,v=0的自然状态下的势能为0)，它等于外 力在实际位移上所做的功冠以负号，则：
d U V 0
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
d U V 0
U+V是形变势能和外力势能的总和，可以看出，在给定的外力作 用下，实际存在的位移应使总势能的变分成为零。 最小势能原理
积分可得形变势能。 平面应变问题作弹性常数的替换。
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
设有平面问题中的任一单位厚度的弹性体，在外力作用下平衡。
u,v为其实际位移分量，假设这些位移分量发生了位移变分(虚位 移)d u, d v，成为：u u d u v v d v
考察其能量方面的变化。
b a a
增量的主要部分定义为泛函的变分，则
f f 代入d f，则 d I d y d y dx a y y
b
d I d f dx
b a
显然，存在关系式： d
b
a
f dx d f dx
a
b
只要积分的上下限不变，变分的运算和定积分运算可以交换次序
U1 U1 U1 dxdy f xd u f yd v dxdy f xd u f yd v ds e x de x e y de y g xy dg xy
虚功方程：方程右边各项称为应力在虚应变上的虚功。 如果在虚位移发生之前，弹性体是出于平衡状态，那么在虚位移过程 中，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。
b
第五章 变分法解平面问题
§5-1 变分法简介
弹性力学及有限单元法_邵国建_用差分法和变分法解平面问题
y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑷ 由式(i)的第三式，可求出边界点的 Φ B
值; 由式(i)的前两式，可求出边界点
的
Φ ( )B x
， ( Φ ) B 值，然后再求出边
y
界外一行虚结点的 Φ 值。
第五章 用差分法和变分法解平面问题 求解步骤
4.应力函数差分解的步骤 （1）在边界上选定基点A， 令
式( f )，(g)分别是应力边界条件的微分，积 分形式。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑵由全微分dΦ Φ d x Φ d y 求边界点的 ΦB
x y
通过分部积分 u d v d(uv) v d u, 从A到B积分，得
Φ Φ ΦB ΦA ( xB xA )( ) A ( yB y A )( ) A x y
边界条件
将上式和式(d)代入式(b)，得
d y 2Φ d x 2Φ ( ) ( ) fx, 2 d s y d s xy
d x 2Φ d y 2Φ ( ) ( ) fy. 2 d s x d s xy
即
d Φ ( ) f x , d s y
d Φ ( ) fy. d s x
Φ Φ 然后计算边界上各结点的 Φ，x ， y ；
Φ Φ ΦA ( )A ( )A 0 ， x y
（2）由边界结点的
外一行虚结点的 Φ 值；
Φ Φ ， 值，求出边界 x y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
求解步骤
（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，
联立求各结点的 Φ 值；
Φ Φ [ΦA , ( )A,( ) A ] 0, 故边界结点的 Φ x y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑷ 由式(i)的第三式，可求出边界点的 Φ B
值; 由式(i)的前两式，可求出边界点
的
Φ ( )B x
， ( Φ ) B 值，然后再求出边
y
界外一行虚结点的 Φ 值。
第五章 用差分法和变分法解平面问题 求解步骤
4.应力函数差分解的步骤 （1）在边界上选定基点A， 令
式( f )，(g)分别是应力边界条件的微分，积 分形式。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑵由全微分dΦ Φ d x Φ d y 求边界点的 ΦB
x y
通过分部积分 u d v d(uv) v d u, 从A到B积分，得
Φ Φ ΦB ΦA ( xB xA )( ) A ( yB y A )( ) A x y
边界条件
将上式和式(d)代入式(b)，得
d y 2Φ d x 2Φ ( ) ( ) fx, 2 d s y d s xy
d x 2Φ d y 2Φ ( ) ( ) fy. 2 d s x d s xy
即
d Φ ( ) f x , d s y
d Φ ( ) fy. d s x
Φ Φ 然后计算边界上各结点的 Φ，x ， y ；
Φ Φ ΦA ( )A ( )A 0 ， x y
（2）由边界结点的
外一行虚结点的 Φ 值；
Φ Φ ， 值，求出边界 x y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
求解步骤
（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，
联立求各结点的 Φ 值；
Φ Φ [ΦA , ( )A,( ) A ] 0, 故边界结点的 Φ x y
5-用差分法和变分法解平面问题
2015/11/4
土木工程与力学学院 蒋一萱
5
§5.1
0
差分公式的推导
8 11 3 7 12 4 5 0 1 2 6 10
x
h
9
设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 坐标的变化而变化。
A
13
f f2 f4 2h y 0
(5 2)
2 f f2 f4 2 f0 2 y 2h 0 2 f 1 2 [( f 6 f 8 ) ( f 5 f 7 )] xy 0 4h
(5 5) (5 6) (5 7)
h
f f2 f4 2h y 0
2 f f y xy x 0 0 1 2 f 6 f8 f 5 f 7 4h
f f f 6 f 5 f 7 f8 y y 1 3 2h 2h 2h 2h
2015/11/4
土木工程与力学学院 蒋一萱
4
差分法是沿用已久的一种数值解法。随着 计算机的普及和相应的软件发展，此法成为解 弹性力学问题的一种有效的方法。 差分法—把基本方程和边界条件(微分方程)近 似的改用差分方程(代数方程)来表示，把求解微分 方程的问题改换为求解代数方程的问题。 差分法的数学基础：泰勒公式 这种近似方法属于数学上的近似
x
h A
x 0
2 1 2 2 [(2 4 ) 20 ] y 0 h 2 1 2 2 [(1 3 ) 20 ] x 0 h 2 1 [(5 7 ) (6 8 )] 2 x y 4 h 0
弹性力学-05用变分法解平面问题_OK
2021/7/22
7
§5-5 位移变分方程
1. 虚功原理（虚位移原理）
对于连续变形体的虚功原理：一个连续变形体处于平衡状态的充要条件
是，外力在虚位移上所做的虚功 dW 等于应力在虚应变上所做的虚功 。
( A
fx u
f y v)dxdy
s ( fx u f y v)ds
A ( x x y y xy xy )dxdy
m
m
下面导出形变势能的变分： 由式（5-2）， 可知：
（a）
U
E
2(1 2 )
于是：
A
u x
2
U
2
yvU (A2i ,Bjux)
v y
1
2
v xu y2ຫໍສະໝຸດ dxdyUm
U Ai
Ai
m
U B j
Bj
m
U Ai
Ai
U B j
Bj
（b）
将式（a）、（b）代入位移变分方程（5-4）：
19
§5-7 位移变分法的例题
例：图示薄板，宽度为 a，高度为 b，左边和下边受 连杆支承，右边和上边分别受均布压力 q1和 q2
作用，不计体力。试求薄板的位移。
解：（1）假设位移分量
u x( A1 A2 x A3 y ...)
（a）
v y(B1 B2 x B3 y ...)
总能满足位移边界条件：
xy
E 2(1
)
xy
可得只用形变分量表示的比能：
2021/7/22
U1
E
2(1 2 )
2 x
2 y
2 x y
1
2
2 xy
（f）
弹性力学-05(差分法与变分法)
（5-6）
y
h
说明： 以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为 中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。
§5-2 应力函数的差分解
1. 应力函数的差分方程
应力分量的差分表示 x
12
8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：
2 2 2 x 2 , y 2 , xy xy y x
B A d A x dx A y dy B 2 B 分步积分： x A x 2 dx x x A B B
两边积分，有：
d dx dy x y
s是x 的函数： —s —x 2 dx dx 2 x x x d ds dx ds x dx d 2 ds dx 2 ds x x
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4
4
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
B
O
B y y A Xds B A
A
yB
（ d）
xB
B
– dx
dy ds
B A Y ds x B x A
Y
X
y
h
说明： 以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为 中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。
§5-2 应力函数的差分解
1. 应力函数的差分方程
应力分量的差分表示 x
12
8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：
2 2 2 x 2 , y 2 , xy xy y x
B A d A x dx A y dy B 2 B 分步积分： x A x 2 dx x x A B B
两边积分，有：
d dx dy x y
s是x 的函数： —s —x 2 dx dx 2 x x x d ds dx ds x dx d 2 ds dx 2 ds x x
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4
4
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
B
O
B y y A Xds B A
A
yB
（ d）
xB
B
– dx
dy ds
B A Y ds x B x A
Y
X
第5章 差分法及变分法解平面问题
力分量 f x、f y 求得于 B 、( ) B、( ) B 。取 A = ( ) A = ( ) A，于是
x
x
y
y
x
y
式（e）及式（d）简化为：
B ( ) B f x ds A y
B ( ) B f y ds A x
（5-13） （5-14）
值及 x
) A ( ) A 0， x y
值。 y
（2）应用式（5-16），将边界外一行各虚结点处的F值用边界内的 相应结点处的F值来表示。
（3）对边界内的各结点建立差分方程（5-12），联立求解这些结点 处的F值。
（4）按式（5-16），算出边界外一行各虚结点处的F值。 （5）按式（5-11）计算应力分量。
将 M 、 L 的已知值代入，并注意到16 1 ，得
211 16 2 2 3 8 4 4 5 7 20qh 2 0 （d）
对面内各点可建立和上相似的方程，共可建立15个，联立求解可得：
2 1 4.36qh， 2 3.89qh 2 ， 3 2.47qh 2
B B B A ( x B x A )( ) A ( y B y A )( ) A ( y B y ) f x ds ( x x B ) f y ds（e） A A x y
由式（e）及式（d）可见，若已知 A 、 ( ) A、 ( ) A ，即可由面
14 10 13 9 ( ) ( )A ， x B 2h x 2h 13 9 2h( ) A ， 14 10 2h( ) B x x
（5-16）
2. 差分法的解题步骤
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h2 2 f f f1 f 0 h 2 2 x x 0
(c) (d)
联立（c）、（d），解得差分公式：
f1 f3 f 2h x 0
弹性力学
(1)
2 f f1 f3 2 f 0 2 h2 x 0
(5)
7
一 差分公式的推导
4 f x 4 1 h 4 [6 f 0 4( f1 f 3 ) ( f 9 f11 )] 0 (6)
4 f 1 x 2y 2 h 4 [4 f 0 2( f1 f 2 f 3 f 4 ) ( f 5 f 6 f 7 f8 )] 0 4 f y 4 1 h 4 [6 f 0 4( f 2 f 4 ) ( f10 f12 )] 0
因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解， 得出函数表示的精确解答。
对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函 数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有差分法、变分法和有限单元法。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
3
一 差分公式的推导
差分法是微分方程的一种数值解法， 它不是去求解函数f(x)， 而是求函数在一些结点上的值 。 f 1, f 2
将微分用有限差分来代替
dx x x2 x1
df f f 2 f1
将导数用有限差商来代替
f
f ( x)
f1 f 2 f3
d f f f 2 f1 ; d x x x2 x1
题化为求解差分方程问题。
弹性力学
ox1 x2 x3x Nhomakorabea将微分方程用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问
f f 2 f f y 1 y 3 1 2 [( f 6 f8 ) ( f5 f 7 )] 2h 4h xy 0 x y 0
弹性力学 用差分法和变分法解平面问题
弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 8
第五章
内容提要
用差分法和变分法解平面问题
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程
四、位移变分法
徐芝纶院士(1911-1999)
五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
二 弹性体的形变势能和外力势能
变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。 泛函－－是以函数为自变量的一类函数。
《弹性力学》
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第五章
内容提要
用差分法和变分法解平面问题
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程
四、位移变分法
徐芝纶院士(1911-1999)
五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
一 差分公式的推导
弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移 之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程 和边界条件。
差分公式(１)及(３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示 中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。 以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值， 可称为端点导数公式。 应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。 因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点 一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在 无法应用前者时才不得不应用后者。
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能） （1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，
可看成是作用于微小单元上的“外力”。
（2）因应力和应变均从0增长到 σ , ，故单位体积上，
(2)
6
用差分法和变分法解平面问题
一 差分公式的推导
同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：
f f2 f4 2h y 0 2 f f2 f4 2 f0 2 y h2 0 (3) (4)
以上（１） —（４）是基本差分公式，从而可导出其它 的差分公式如下：
弹性力学变分法，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能、 外力势能），又称为能量法。
弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独 立解法，分为： 位移变分法：取位移函数为自变量，并以势能极小值条 件导出变分方程。 应力变分法：取应力函数为自变量，并以余能极小值条 件导出变分方程。
弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 10
弹性力学
1 3 f 2 ( x x0 ) 3! x 3 0
3 ( x x ) ... 0 0
(a)
5
用差分法和变分法解平面问题
一 差分公式的推导
只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。 于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：
1 2 f f f f 0 ( x x0 ) 2 2! x 0 x 2 ( x x ) 0 0 0
0
(b)
在结点３，x=x0-h；在结点1， x=x0+h。代入(b) 得：
h2 2 f f f 3 f 0 h 2 x 0 2 x
用差分法和变分法解平面问题
4
一 差分公式的推导
在弹性体上，用相隔等间距h而平
行于坐标轴的两组平行线织成正方形
网格。 设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续 函数，该函数在平行于x轴的一根网线
上，如在3-０-１上，它只随x坐标的改
变而变化。在邻近结点０处，函数f可 展为泰勒级数如下：
1 2 f f f f 0 ( x x0 ) 2 2! x x 0
(c) (d)
联立（c）、（d），解得差分公式：
f1 f3 f 2h x 0
弹性力学
(1)
2 f f1 f3 2 f 0 2 h2 x 0
(5)
7
一 差分公式的推导
4 f x 4 1 h 4 [6 f 0 4( f1 f 3 ) ( f 9 f11 )] 0 (6)
4 f 1 x 2y 2 h 4 [4 f 0 2( f1 f 2 f 3 f 4 ) ( f 5 f 6 f 7 f8 )] 0 4 f y 4 1 h 4 [6 f 0 4( f 2 f 4 ) ( f10 f12 )] 0
因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解， 得出函数表示的精确解答。
对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函 数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有差分法、变分法和有限单元法。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
3
一 差分公式的推导
差分法是微分方程的一种数值解法， 它不是去求解函数f(x)， 而是求函数在一些结点上的值 。 f 1, f 2
将微分用有限差分来代替
dx x x2 x1
df f f 2 f1
将导数用有限差商来代替
f
f ( x)
f1 f 2 f3
d f f f 2 f1 ; d x x x2 x1
题化为求解差分方程问题。
弹性力学
ox1 x2 x3x Nhomakorabea将微分方程用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问
f f 2 f f y 1 y 3 1 2 [( f 6 f8 ) ( f5 f 7 )] 2h 4h xy 0 x y 0
弹性力学 用差分法和变分法解平面问题
弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 8
第五章
内容提要
用差分法和变分法解平面问题
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程
四、位移变分法
徐芝纶院士(1911-1999)
五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
二 弹性体的形变势能和外力势能
变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。 泛函－－是以函数为自变量的一类函数。
《弹性力学》
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第五章
内容提要
用差分法和变分法解平面问题
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程
四、位移变分法
徐芝纶院士(1911-1999)
五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
一 差分公式的推导
弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移 之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程 和边界条件。
差分公式(１)及(３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示 中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。 以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值， 可称为端点导数公式。 应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。 因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点 一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在 无法应用前者时才不得不应用后者。
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能） （1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，
可看成是作用于微小单元上的“外力”。
（2）因应力和应变均从0增长到 σ , ，故单位体积上，
(2)
6
用差分法和变分法解平面问题
一 差分公式的推导
同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：
f f2 f4 2h y 0 2 f f2 f4 2 f0 2 y h2 0 (3) (4)
以上（１） —（４）是基本差分公式，从而可导出其它 的差分公式如下：
弹性力学变分法，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能、 外力势能），又称为能量法。
弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独 立解法，分为： 位移变分法：取位移函数为自变量，并以势能极小值条 件导出变分方程。 应力变分法：取应力函数为自变量，并以余能极小值条 件导出变分方程。
弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 10
弹性力学
1 3 f 2 ( x x0 ) 3! x 3 0
3 ( x x ) ... 0 0
(a)
5
用差分法和变分法解平面问题
一 差分公式的推导
只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。 于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：
1 2 f f f f 0 ( x x0 ) 2 2! x 0 x 2 ( x x ) 0 0 0
0
(b)
在结点３，x=x0-h；在结点1， x=x0+h。代入(b) 得：
h2 2 f f f 3 f 0 h 2 x 0 2 x
用差分法和变分法解平面问题
4
一 差分公式的推导
在弹性体上，用相隔等间距h而平
行于坐标轴的两组平行线织成正方形
网格。 设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续 函数，该函数在平行于x轴的一根网线
上，如在3-０-１上，它只随x坐标的改
变而变化。在邻近结点０处，函数f可 展为泰勒级数如下：
1 2 f f f f 0 ( x x0 ) 2 2! x x 0