概率论课件抽样分布
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统计学(8)抽样分布ppt课件
23
三、两个样本方差比的抽样分 布
1. 两个总体都为正态分布，即X1~N(μ1,σ12)的一个样本， Y1，Y2，… ，Yn2是来自正态总体X2~N(μ2,σ22 )
2. 从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本
3. 两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为(n1-1)， 分母自由度为(n2-1) F分布，即
第八章 抽样分布
ppt课件完整
1
• 统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
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2
所谓统计推断，就是根据概率论所揭示的随机变 量的一般规律性，利用抽样调查所获得的样本信息， 对总体的某些性质或数量特征进行推断。
参数估计
统计推断 假设检验
这两类问题的基本原理是一致的，只是侧重点不同 而已。 参数估计问题侧重于用样本统计量估计总体的某一 未知参数； 假设检验问题侧重于用样本资料验证总体是否具有 某种性质或数量特征。
21
一、两个样本均值之差的抽样分 布
1. 两个总体都为正态分布，即 X1 ~N(1,12，) X2 ~N(2,22)
2. 两个样本均值之差 X1 X2的抽样分布服从正态分 布，其分布的数学期望为两个总体均值之差
E(X1X2)12
•
方差为各自的方差之和
2
2
2 X1X2
1
2
n n 1
2
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X
n
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15
二、样本比例的抽样分 布
比例：
1. 比例：指总体(或样本)中具有某种属性的单位与 全部单位总数之比。
• 例1：不同性别的人与全部人数之比
• 例2：合格品与全部产品总数之比
《抽样和抽样分布》课件
《抽样和抽样分布》ppt课件
$number {01}
目录
• 抽样调查的基本概念 • 抽样分布的基础知识 • 抽样分布的原理 • 抽样误差的评估 • 实际应用中的抽样技术 • 案例分析
01
抽样调查的基本概念
抽样的定义和意义
定义
抽样是从总体中选取一部分个体 进行研究的方法。
意义
通过对部分个体的研究，推断出 总体的特征，以节省时间和资源 。
适用场景
当总体中存在周期性变化 或某种明显的模式时，系 统抽样能够提高样本的代 表性。
注意事项
要确保抽样的间隔与总体 中的变化模式相匹配，以 避免偏差。
分层抽样
分层抽样
注意事项
将总体分成若干层，然后从每层中随 机抽取一定数量的样本。
要确保分层依据合理，且层内样本的 抽取方法一致，以避免层间和层内的 偏差。
抽样误差的衡量指标
抽样平均误差
抽样平均误差是衡量抽样误差大小的指标，它反映了样本统 计量与总体参数之间的平均偏差。
抽样变异系数
抽样变异系数是衡量非系统抽样误差的指标，它反映了由于 随机性引起的样本统计量与总体参数之间的偏差程度。
05
实际应用中的抽样技术系统ຫໍສະໝຸດ 样010203
系统抽样
按照某种规则，每隔一定 数量的个体进行抽样，直 到达到所需的样本量。
步骤 1. 明确研究目的和要求。 2. 确定总体和样本规模。
抽样的原则和步骤
01 02 03
3. 选择合适的抽样方法。 4. 制定详细的抽样计划。
5. 实施抽样调查。
02
抽样分布的基础知识
总体和样本
1 2
3
总体
研究对象的全体集合。
样本
$number {01}
目录
• 抽样调查的基本概念 • 抽样分布的基础知识 • 抽样分布的原理 • 抽样误差的评估 • 实际应用中的抽样技术 • 案例分析
01
抽样调查的基本概念
抽样的定义和意义
定义
抽样是从总体中选取一部分个体 进行研究的方法。
意义
通过对部分个体的研究，推断出 总体的特征，以节省时间和资源 。
适用场景
当总体中存在周期性变化 或某种明显的模式时，系 统抽样能够提高样本的代 表性。
注意事项
要确保抽样的间隔与总体 中的变化模式相匹配，以 避免偏差。
分层抽样
分层抽样
注意事项
将总体分成若干层，然后从每层中随 机抽取一定数量的样本。
要确保分层依据合理，且层内样本的 抽取方法一致，以避免层间和层内的 偏差。
抽样误差的衡量指标
抽样平均误差
抽样平均误差是衡量抽样误差大小的指标，它反映了样本统 计量与总体参数之间的平均偏差。
抽样变异系数
抽样变异系数是衡量非系统抽样误差的指标，它反映了由于 随机性引起的样本统计量与总体参数之间的偏差程度。
05
实际应用中的抽样技术系统ຫໍສະໝຸດ 样010203
系统抽样
按照某种规则，每隔一定 数量的个体进行抽样，直 到达到所需的样本量。
步骤 1. 明确研究目的和要求。 2. 确定总体和样本规模。
抽样的原则和步骤
01 02 03
3. 选择合适的抽样方法。 4. 制定详细的抽样计划。
5. 实施抽样调查。
02
抽样分布的基础知识
总体和样本
1 2
3
总体
研究对象的全体集合。
样本
抽样与抽样分布 ppt课件
可以按自然区域或行政区域进行分层，使抽样的组织 和实施都比较方便
分层抽样的样本分布在各个层内，从而使样本在总体 中的分布比较均匀
如果分层抽样做得好，便可以提高估计的精度
系统抽样
(systematic sampling)
1. 将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺 序排列，在规定的范围内随机地抽取一个 单位作为初始单位，然后按事先规定好的 规则确定其他样本单位
样本容量。样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样本 容量也可大可小，因而，样本是不确定的、可变的。
抽样的目的一部分，而且样本的抽取又具有随机性， 因此，样本的内部构成与总体的内部构成总是具有一定 的差异，样本不能完全代表总体，抽样估计总是存在一 定的代表性误差。
1. 将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样 时直接抽取群，然后对中选群中的所有单 位全部实施调查
2. 特点
抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便
调查的实施 缺点是估计的精度较差
多阶段抽样
(multi-stage sampling)
1. 先抽取群，但并不是调查群内的所有单位，而是再 进行一步抽样，从选中的群中抽取出若干个单位进 行调查
1. 由简单随机抽样形成的样本 2. 从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为
样本，使得每一个容量为n样本都有相同 的机会(概率)被抽中 3. 参数估计和假设检验所依据的主要是简单 随机样本
简单随机抽样
(用Excel对分类数据随机抽样)
【例】某 班级共有 30 名 学 生 ， 他们的名 单如右表。 用 Excel 抽 出一个由5 个学生构 成的随机 样本
分层抽样的样本分布在各个层内，从而使样本在总体 中的分布比较均匀
如果分层抽样做得好，便可以提高估计的精度
系统抽样
(systematic sampling)
1. 将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺 序排列，在规定的范围内随机地抽取一个 单位作为初始单位，然后按事先规定好的 规则确定其他样本单位
样本容量。样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样本 容量也可大可小，因而，样本是不确定的、可变的。
抽样的目的一部分，而且样本的抽取又具有随机性， 因此，样本的内部构成与总体的内部构成总是具有一定 的差异，样本不能完全代表总体，抽样估计总是存在一 定的代表性误差。
1. 将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样 时直接抽取群，然后对中选群中的所有单 位全部实施调查
2. 特点
抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便
调查的实施 缺点是估计的精度较差
多阶段抽样
(multi-stage sampling)
1. 先抽取群，但并不是调查群内的所有单位，而是再 进行一步抽样，从选中的群中抽取出若干个单位进 行调查
1. 由简单随机抽样形成的样本 2. 从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为
样本，使得每一个容量为n样本都有相同 的机会(概率)被抽中 3. 参数估计和假设检验所依据的主要是简单 随机样本
简单随机抽样
(用Excel对分类数据随机抽样)
【例】某 班级共有 30 名 学 生 ， 他们的名 单如右表。 用 Excel 抽 出一个由5 个学生构 成的随机 样本
东华大学《概率论与数理统计》课件 第6章样本与抽样分布
X
的
n
一
个
样
本的
观察
值
,
则g( x1 , x2 , xn )是统计量g( X1 , X 2 , X n )的观察值.
例1 设总体X 服从两点分布b(1, p) ，其中p 是未知参数，
X1,
,
X
是
5
来自X的简
单
随机样本.试指出
X1
X
，
2
max
1 i 5
X
i
,
X5 2 p,
( X5 X1)2
哪些是统计量,哪些不是统计量，为什么？
从国产轿车中抽5辆进行耗 油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
对总体X在相同条件下，进行n次重复、独立观察，其结果依次记 为 X1,X2,…,Xn.这样得到的随机变量X1,X2,…,Xn.是来自总体的一个简单 随机样本，其特点是：
1. 代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布. 2. 独立性：X1,X2,…,Xn相互独立.
k同分布,
E(
X
k i
)
k
k 1, 2, , n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1 , A2 , , Ak ) P g(1, 2 , , k )
其中g为连续函数.
矩估计法的理论依据
2. 经验分布函数
设X1, X2,
,
X
是
n
总
体
F的
一
个Hale Waihona Puke 本，用S(
x
则称变量
t X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
抽样与抽样分布概论(PPT 43页)
在独立试验序列中，m 是事件A 在n 次试验中发生
的次数，p 是事件A 发生的概率，对于任意给定的
0 有 limP( m p ) 1
n n
当多次重复观察某个现象时，该现象发生的频率 与该现象发证的概率之间的差距是非常小的，是 用频率去代替概率提供理论依据。
4.2.2 中心极限定理（Central Limit Theorem）
样本均值的抽样分布(数学期望与方差)
样本均值的数学期望
E(x)
样本均值的方差 重复抽样
2 x
2
n
不重复抽样
2 x
2
n
N N
n 1
教材P88
4.4.2 样本比率的抽样分布
总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位 总数之比,称为比率。不
同性别的人与全部人数之比
合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比
总体比率可表示为Biblioteka N0 N或1
N1 N
样本比率可表示为
p
n0 n
或
1
p
n1 n
样本比率的抽样分布
在重复选取容量为n的样本时，由样本比率的所 有可能取值形成的相对频数分布，一种理论概率 分布。
当样本容量很大时，样本比率的抽样分布可用正 态分布近似。
n
22
1 (
n)
n 1 x
x2 e 2
x
0
2
0x 0
2分布及其特点
E(x)=n D(x)=2n
自由度增大，期望和方差随之增大。
的次数，p 是事件A 发生的概率，对于任意给定的
0 有 limP( m p ) 1
n n
当多次重复观察某个现象时，该现象发生的频率 与该现象发证的概率之间的差距是非常小的，是 用频率去代替概率提供理论依据。
4.2.2 中心极限定理（Central Limit Theorem）
样本均值的抽样分布(数学期望与方差)
样本均值的数学期望
E(x)
样本均值的方差 重复抽样
2 x
2
n
不重复抽样
2 x
2
n
N N
n 1
教材P88
4.4.2 样本比率的抽样分布
总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位 总数之比,称为比率。不
同性别的人与全部人数之比
合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比
总体比率可表示为Biblioteka N0 N或1
N1 N
样本比率可表示为
p
n0 n
或
1
p
n1 n
样本比率的抽样分布
在重复选取容量为n的样本时，由样本比率的所 有可能取值形成的相对频数分布，一种理论概率 分布。
当样本容量很大时，样本比率的抽样分布可用正 态分布近似。
n
22
1 (
n)
n 1 x
x2 e 2
x
0
2
0x 0
2分布及其特点
E(x)=n D(x)=2n
自由度增大，期望和方差随之增大。
第2章 概率分布与抽样分布.ppt
例4-1 抛硬币的结果不是正面就是反面，如果 每次硬币为正面的概率是0.5。则抛硬币10 次 中6次正面的概率为多少？
（1）建立“BINOMDIST函数.xls”工作表，输 入有关数据，如图4-1所示。
（2）在单元格C2中输入公式 “=BINOMDIST(B2,B3,B4,FALSE)”，按回车 键显示结果等于0.205078，如图4-2所示。表示 抛10硬币出现6次的概率为0.205078。
返回首页Βιβλιοθήκη 4.1.1 概率与概率分布
Excel提供的离散概率分布包括： l BINOMDIST：二项分布 l CRITBINOM：累积二项分布（依临界值，找
最小整数K） l HYPGEOMDIST：超几何分布 l NEGBINOMDIST：负二项分布 l POISSON：泊松分布
Excel提供的连续概率分布包括： l BETADIST：累积概率密度函数 l BETAINV：累积概率密度函数的反函数 l EXPONDIST：指数分布函数 l GAMMADIST：伽玛分布函数 l GAMMAINV：伽玛累积分布函数的反函数 l LOGNORMDIST：对数正态累加分布函数
1．正态分布函数
（1）正态分布函数。 （2）标准正态分布函数。 （3）正态分布函数的反函数。 （4）标准正态分布函数的反函数。
2．绘制正态分布图形
（1）建立正态分布基本数据。 （2）绘制正态分布图形。
图4-7 “序列”对话框
图4-8 结果显示（4~117行隐藏）
图4-9 “坐标轴格式”对话框
值； ，即样本均值抽样分布的方差等于
x
n
总体方差除以样本容量的平方根，即
V(x)
2 x
2 ，
n
此式又称为标准误差，是抽样分布的标准差。
概率第6章 样本及抽样分布PPT课件
Xi
i 1, 2,
,n
显然Y1,Y2, ,Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
于是
2
n i 1
(
X
i
)2
n
Yi 2
i 1
2
n
(2)
X1
X2
~
N
(0,
2
2
),
(
X1 X
2 2
2
)2
~
2 (1)
2X3
X4
X5
~
N(0, 6
2 ), (2X3
X4
6 2
X 5 )2
~
[说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)，
则样本（X1,X2,…,Xn）具有联合密度函数：
n
fn x1, x2, xn f xi
i1
3
统计量：样本的不含任何未知参数的函数。
常用统计量：设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的样本
1.
样本均值
定理6.4：t n分布的概率密度为：f t, n
n1 2
n
n 2
1
t2 n
n1 2
,
t
对给定的 ,
0
1, 称满足条件
t n
f
t, n dt
的点t
n
为t n分布的上分位数。t分布的上分位数可查t分布表
f (x)
n 10
f x
t1 (n) t (n)
n4
n 1
3 2 1 0 1 2 3
Y1 g1 X1, , X n1 ,Y2 g2 X n11, , X n2 , ,Yk gk X , n1 nk11 , X n
抽样分布与抽样误差PPT(51张)
按无关标志排队，其抽样效果相当于简单随机抽样； 按有关标志排队，其抽样效果相当于类型抽样。
4·整群抽样（集团抽样）
—— 将总体全部单位分为若干“群”，然后 随机抽取一部分“群”，被抽中群体的所有 单位构成样本
例：总体群数R=16 样本群数r=4
A D
E
B F G
CM N
J H
L K
P O I
LP HD
样本比例的抽样分布
(数学期望与方差)
1. 样本比例的数学期望
E(p)
2. 样本比例的方差
– 重复抽样
p2
(1)
n
–
不重复抽样
2 p
(1)Nn
n N1
第二节 抽样误差
一、抽样误差的概念 二、抽样平均误差 三、抽样极限误差
指样本估计量与总体参数之间数量抽样Biblioteka 差 上的差异，仅指由于按照随机原则
•第一个
•第二个观察值
•观察值
•1
•2
•3
•4
•1
•1,1
•1,2
•1,3
•1,4
•2
•2,1
•2,2
•2,3
•2,4
•3
•3,1
•3,2
•3,3
•3,4
•4
•4,1
•4,2
•4,3
•4,4
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
•16个样本的均值（x）
•第一个 •观察值
•第二个观察值 •1 •2 •3 •4
•
值越来越接近被估计的总体参数
P(ˆ ) 较大的样本容量
B
较小的样本容量
A
ˆ
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X
i 4
n
2 i
因为E( X1 X 2 ) 0, D( X1 X 2 ) 2
X1 X 2 所以 U 2
N (0,1)
又 V (X X )
2 3 2 4
(2)
2
所以 T
X1 X 2
2 X 3 X 1 2 2 4
X1 X 2 2 2 2 (X3 X4 ) / 2
独立，则 X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 )
这个性质叫 分布的可加性.
2
2 Y ~ (n) , 则当n充分大时 3. 设
Y n 2n
的分布近似标准正态分布N(0,1).
2、t 分布 2 定义: 设X～N(0,1) , Y～ (n) , 且X与Y相互 独立，则称变量 X T Y n 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 记为T～t(n). t(n)的概率密度为
t0.975 (10) t0.025 (10) 2.2281,
t0.01 (100) z0.01 2.33, F0.05 (8,10) 3.07, F0.99 (30,10) 1/ F0.01 (10,30) 1/ 2.98 0.336
5.2.2几个常见的抽样分布 2 定理5.1 设总体X N ( , ), ( X 1 , X 2 ,
1 ~ F ( n2 , n1 ) F
得证!
1 P{ F (n2 , n1 )} F
例1 查表求下列分位数的值
z0.05 , z0.9 ,
解
2 0.05
(20),
2 0.01
(200), t0.05 (10), t0.975 (10),
2 0.05 (20) 31.41,
由定义可见， 若X
1 F (m, n), 则 X
F (n, m)。
若X~F(n1,n2)， X的概率密度为
( ) n1 n1 n 1 n2 ( n2 )( n2 x) f ( x; n1 , n2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0
n1 n2 2
n1 1 2
1 x
t (n) z ;
1 (3) F1 (n, m) . F (m, n)
证明（3）:设F~F(n1,n2),则
P{F F1 (n1 , n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 (n1 , n2 ) 1 1 P{ } F F1 (n1 , n2 )
2 (n)
N (0,1)分布， 2 ( n)分布，t ( n)分布，F ( m, n)分布的
2 -分位数分别记为z , , t (n)和F ( m, n), 它们的值
可以在附表中查到。
分位数的性质：
(1) z1 z , t1 t ;
2 (2)当n充分大时(一般n 45)， (n) n 2nz ,
X
i 4
n
2 X i 3 i 1
2 i
X
i 4
n
F (3, n 3)
2 i
n3
3. 分位数 设X为连续型随机变量，其概率密 度为f(x),对于给定的：0<<1，称满足
P{X x }
的 x 为此分布的上分位数,它的几何意义如下：
x
f ( x)dx ,
1、
2
2
分布
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X 1, X 2 ,, X n 相互独立, 都服从标准 正态分布N(0,1), 则称随机变量：
X X 2 X n
2 2 1 2
2
2
所服从的分布为自由度为 n 的 分布. 记为
~ (n)
2 2
2.2—分布的密度函数f(y)曲线
n/2 1 y f ( y ) 2 ( n / 2) 0,
n 1 y 2 2
e ,y0 y0
由 分布的定义，不难得到以下性质：
2
2 Y ~ (n) , 则 1. 设
E (Y ) n, D(Y ) 2n
2. 设 X 1 ~ 2 (n1 ), X 2 ~ 2 (n2 ), 且X1,X2相互
U V /2
n
t (2)
2 (n 1)
(2)
X1
N (0,1), X i2
i 2
T
n -1X 1
X
i 2
n
X1
2 i
X
i 2
n
t (n 1) n 1
2 i
(3)
X
i 1
3
2 i
(3), X
2 i 4
3
n
2 i
(n 3)
2
T
3 n 2 1 X i 3 i 1
2
F (1, n)
例2 设总体X～N(0,1), X1, X2, …., Xn为简单随 机样本,试问下列统计量个服从什么分布?
(1)
X1 X 2
X
2 3
X
1 2 2 4
(2)
n -1X 1
解 (1)
X
i 2
n
n 3 2 1 X i 3 i 1 (3)
2 i
t0.01 (100), F0.05 (8,10), F0.99 (30,10)
z0.05 1.645,
z0.9 z0.1 1.28,
2 0.01 (200) 200 2 200z0.01 200 20 2.33 246.6,
t0.05 (10) 1.8125,
n1 n2
n1 n2 2
x0
x0
例1 已知X～t(n),证明X2～F(1,n). 证 因为X～t(n), 所以存在Y1～N(0,1),Y2～χ2 (n),使 得
由定义知
Y1 X Y2 / n
Y
2 1
(1)
2
而 所以
Y Y /1 X Y2 / n Y2 / n
2
2 1
2 1
X
n 1 ( ) 2 n 1 t 2 f (t) (1 ) 2 , t n n( n ) 2
当n充分大时，其图形类似于标准正态 分布密度函数的图形.
3、F分布
设U (m),V (n), 且U ,V 相互独立,
2 2
U /m 则称随机变量F 的分布为自由度 V /n 是m,n的分布,记为F F (m, n).