概率论课件抽样分布

1 ~ F ( n2 , n1 ) F
得证!
1 P{ F (n2 , n1 )} F
例1 查表求下列分位数的值
z0.05 , z0.9 ,
解
2 0.05
(20),
2 0.01
(200), t0.05 (10), t0.975 (10),
2 0.05 (20) 31.41,
n 1 ( ) 2 n 1 t 2 f (t) (1 ) 2 , t n n( n ) 2
当n充分大时，其图形类似于标准正态 分布密度函数的图形.
3、F分布
设U (m),V (n), 且U ,V 相互独立,
2 2
U /m 则称随机变量F 的分布为自由度 V /n 是m,n的分布,记为F F (m, n).
t (n) z ;
1 (3) F1 (n, m) . F (m, n)
证明（3）:设F~F(n1,n2),则
P{F F1 (n1 , n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 (n1 , n2 ) 1 1 P{ } F F1 (n1 , n2 )
U V /2
n
t (2)
2 (n 1)
(2)
X1
N (0,1), X i2
i 2
T
n -1X 1
X
i 2
n

X1
2 i
X
i 2
n
t (n 1) n 1
2 i
(3)
X
i 1
3
2 i
(3), X
2 i 4
3
n
2 i
(n 3)
2
T
3 n 2 1 X i 3 i 1
X
i 4
n
2 i
因为E( X1 X 2 ) 0, D( X1 X 2 ) 2
X1 X 2 所以 U 2
N (0,1)
又 V (X X )
2 3 2 4
(2)
2
所以 T
X1 X 2
2 X 3 X 1 2 2 4

X1 X 2 2 2 2 (X3 X4 ) / 2
n/2 1 y f ( y ) 2 ( n / 2) 0,
n 1 y 2 2
e ,y0 y0
由 分布的定义，不难得到以下性质：
2
2 Y ~ (n) , 则 1. 设
E (Y ) n, D(Y ) 2n
2. 设 X 1 ~ 2 (n1 ), X 2 ~ 2 (n2 ), 且X1,X2相互
2 (n)
N (0,1)分布， 2 ( n)分布，t ( n)分布，F ( m, n)分布的
2 -分位数分别记为z , , t (n)和F ( m, n), 它们的值
可以在附表中查到。
分位数的性质：
(1) z1 z , t1 t ;
2 (2)当n充分大时(一般n 45)， (n) n 2nz ,
2
F (1, n)
例2 设总体X～N(0,1), X1, X2, …., Xn为简单随 机样本,试问下列统计量个服从什么分布?
(1)
X1 X 2
X
2 3
X
1 2 2 4

(2)
n -1X 1
解 (1)
X
i 2
n
n 3 2 1 X i 3 i 1 (3)
2 i
t0.975 (10) t0.025 (10) 2.2281,
t0.01 (100) z0.01 2.33, F0.05 (8,10) 3.07, F0.99 (30,10) 1/ F0.01 (10,30) 1/ 2.98 0.336
5.2.2几个常见的抽样分布 2 定理5.1 设总体X N ( , ), ( X 1 , X 2 ,
n1 n2

n1 n2 2
x0
x0
例1 已知X～t(n),证明X2～F(1,n). 证 因为X～t(n), 所以存在Y1～N(0,1),Y2～χ2 (n),使 得
由定义知
Y1 X Y2 / n
Y
2 1
(1)
2
而 所以
Y Y /1 X Y2 / n Y2 / n
2
2 1
2 1
X
t0.01 (100), F0.05 (8,10), F0.99 (30,10)
z0.05 1.645,
z0.9 z0.1 1.28,
2 0.01 (200) 200 2 200z0.01 200 20 2.33 246.6,
t0.05 (10) 1.8125,
1、
2

2
分布
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X 1, X 2 ,, X n 相互独立, 都服从标准 正态分布N(0,1), 则称随机变量：
X X 2 X n
2 2 1 2
2
2
所服从的分布为自由度为 n 的 分布. 记为
~ (n)
2 2
2.2—分布的密度函数f(y)曲线
由定义可见， 若X
1 F (m, n), 则 X
F (n, m)。
若X~F(n1,n2)， X的概率密度为
( ) n1 n1 n 1 n2 ( n2 )( n2 x) f ( x; n1 , n2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0
n1 n2 2
n1 1 2
1 x
独立，则 X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 )
这个性质叫 分布的可加性.
2
2 Y ~ (n) , 则当n充分大时 3. 设
Y n 2n
的分布近似标准正态分布N(0,1).
2、t 分布 2 定义: 设X～N(0,1) , Y～ (n) , 且X与Y相互 独立，则称变量 X T Y n 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 记为T～t(n). t(n)的概率密度为
X
i 4
n

2 X i 3 i 1
2 i
X
i 4
n
F (3, n 3)
2 i
n3
3. 分位数 设X为连续型随机变量，其概率密 度为f(x),对于给定的：0<<1，称满足
P{X x }

的 x 为此分布的上分位数,它的几何意义如下：
x
f ( x)dLeabharlann Baidu ,