高考数学知识点总复习ppt课件

第八章 平面解析几何
第6节 直线与圆锥曲线的位置关系
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• 1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系 的思想方法．
• 2．了解圆锥曲线的简单应用． • 3．理解数形结合的思想．
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• [要点梳理] • 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
• (1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立 消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
x＋y＝1 a2)x2＋2a2x－2a2＝0，
实数 a 应满足a1＞ －0a， 2≠0， 4a4＋8a21－a2＞0，
解得 0＜a＜ 2且 a≠1.
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设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝a22－a21，①
x1x2＝a22－a21.
②
又 P(0,1)，由P→A＝152P→B，得(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)，从
消去 y 得 9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝490，
∴所求弦长|MN|＝
1＋12|x2－x1|＝409
2 .
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(2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0)，
设线段 MN 的中点为 Q(x0，y0)， 由三角形重心的性质知B→F＝2F→Q，
又 B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)， 故得 x0＝3，y0＝－2， 即得 Q 的坐标为(3，－2)．
[解析] 右焦点( 3，0)，直线 AB 的方程为 y＝x－ 3.
y＝x－ 3， 由x42＋y2＝1
得 5x2－8 3x＋8＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝853，x1x2＝85，
|AB|＝
1＋1285 32－4×85＝85.
[答案]
8 5
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5. (2015·沈阳模拟)已知点 A(－ 2，0)，点 B( 2，0)，且动 点 P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点 P 的轨迹与直线 y＝k(x－2)有 两个交点的充要条件为 k∈________.
而 x1＝152x2.
③
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由①③，解得xx12＝ ＝1115277··aa2222－ －aa2211，
代入②，得157×1127×a22－a21
＝a22－a21，
即a22－a21＝26809，解得 a＝1173，(a＝－1173舍去)．
[答案]
(1)C
17 (2)13
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• 拓展提高 由位置关系求字母参数时，用 代数法转化为方程的根或不等式解集，也 可以数形结合，求出边界位置，再考虑其 它情况．
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[典例透析]
考向一 根据直线与圆锥曲线的位置求参数
例 1 (1)(2015·合肥模拟)设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交
于点 Q，若过点 Q 的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的
取值范围是( )
A.－12，12 C．[－1,1]
B．[－2,2] D．[－4,4]
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(2)已知双曲线 C：ax22－y2＝1(a＞0)与 l：x＋y＝1 相交于两 个不同的点 A、B，与 y 轴交于点 P，若P→A＝152P→B，则 a＝________.
D．①④⑤
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[解析] ①正确，直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，则直 线 l 与椭圆 C 相切，反之亦成立．
②错误，因为直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行时，也只有 一个公共点，是相交，但并不相切．
③错误，因为直线 l 与抛物线 C 的对称轴平行时，也只有 一个公共点，是相交，但不相切．
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• 思路点拨 直线与圆锥曲线的关系问题， 一般可以直接联立方程，“设而不求”， 把方程组转化成关于x或y的一元二次方程， 利用根与系数的关系及弦长公式求解．
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[解] (1)由已知得 b＝4，且ac＝ 55，即ac22＝15， ∴a2－a2b2＝15，解得 a2＝20， ∴椭圆方程为2x02 ＋1y62 ＝1. 则 4x2＋5y2＝80 与 y＝x－4 联立，
[答案] C
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• 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅 有一个公共点，这样的直线有( )
• A．1条 B．2条 • C．3条 D．4条
• [解析] 与抛物线相切有2条，与对称轴平行 有1条，共3条. 故选C.
• [答案] C
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3．若不论 k 为何值，直线 y＝k(x－2)＋b 与曲线 x2－y2＝1
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则 x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且2x021 ＋1y621 ＝1，2x022 ＋1y622 ＝1，
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以上两式相减得x1＋x220x1－x2
＋y1＋y216y1－y2＝0，
∴kMN＝yx11－－yx22＝－45·xy11＋＋xy22
＝－45×－64＝65，
总有公共点，则 b 的取值范围是( )
A．(－ 3， 3)
B．[－ 3， 3]
C．(－2,2)
D．[－2,2]
[解析] 把 y＝k(x－2)＋b 代入 x2－y2＝1 得 x2－[k(x－2)＋
b]2＝1，
Δ＝4k2(2k－b)2＋4(1－k2)[(2k－b)2＋1]
＝4(1－k2)＋4(2k－b)2＝4(3k2－4bk＋b2＋1)
思路点拨 (1)设直线 l 的方程，将其与抛物线方程联立， 利用 Δ≥0 解得．(2)联立方程组，利用 P、A、B 坐标之间的关 系，建立 a 的方程．
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[解析] (1)由题意得 Q(－2,0)．设 l 的方程为 y＝k(x＋2)， 代入 y2＝8x 得 k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，
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④如果直线 x＝ty＋a 与圆锥曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，
y2)两点，则弦长|AB|＝ 1＋t2|y1－y2|. ⑤若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的两点，则需满足直
线 l 与抛物线 C 的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式
Δ＞0.
其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①④
＝43k2－43bk＋49b2－b32＋1
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＝43k－23b2－b32＋1， 不论 k 取何值，Δ≥0，则 1－b32≥0， 所以b32≤1，所以 b2≤3，则－ 3≤b≤ 3.故选 B.
• [答案] B
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4．(2015·雅安模拟)已知斜率为 1 的直线过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点交椭圆于 A，B 两点，则弦 AB 的长为______________．
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所以 y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3 2，
又点 P(－3,2)到直线 AB：x－y＋2＝0 的距离
d＝|－3－22＋2|＝3
2 2.
所以△PAB 的面积 S＝12|AB|·d＝92.
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考向三 直线与圆锥曲线位置关系的应用
例 3 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上且过
_______
Δ＞0 两个不等的解.
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2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点， A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 |AB| ＝ 1＋k2 |x1 － x2| ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1·x2＝ 1＋k12|y1－y2|＝
x＋2y－2＝0 (3＋4m)y2－8my＋m＝0，
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m≠3， 根据条件得m＞0，
Δ＝64m2－4m4m＋3＞0，
解得14＜m＜3 或 m＞3. [答案] (1)D (2)14＜m＜3 或 m＞3
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考向二 与弦长、弦中点相关的问题 例 2 已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的一个顶点为 B(0,4)， 离心率 e＝ 55，直线 l 交椭圆于 M，N 两点. (1)若直线 l 的方程为 y＝x－4，求弦 MN 的长． (2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方 程的一般式．
[解析] 由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支且 2a＝ 2，c＝ 2，则 b＝ c2－a2＝1，
∴P 点的轨迹方程为 x2－y2＝1(x＞0)，其一条渐近线方程 为 y＝x.若 P 点的轨迹与直线 y＝k(x－2)有两个交点，则需 k∈ (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)
(1)求椭圆 G 的方程； (2)求△PAB 的面积．
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32Βιβλιοθήκη [解] (1)由已知得 c＝2 2，ac＝ 36，解得 a＝2 3. 又 b2＝a2－c2＝4， 所以椭圆 G 的方程为1x22 ＋y42＝1. (2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，
y＝x＋m， 由1x22 ＋y42＝1.
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消去 y 得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0.
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活学活用 1 (1)(2015·沈阳模拟)若直线 y＝kx＋2 与双曲线
x2－y2＝6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是( )
A.－
315，
15 3
B.0，
15 3
C.－ 315，0
D.－ 315，－1
(2)椭圆x32＋ym2＝1(m＞0)与直线 x＋2y－2＝0 有两个不同的
∴当 k＝0 时，直线 l 与抛物线恒有一个交点；当 k≠0 时， Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即 k2≤1，∴－1≤k≤1，且 k≠0，综 上－1≤k≤1.故选 C.
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(2)因为双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点，故知方程 组ax22－y2＝1， 有两组不同的实数解，消去 y 并整理，得(1－