离散数学(集合论)课后总结
离散数学总结
离散数学总结离散数学学习总结一、课程内容介绍：1．集合论部分：集合论是离散数学中第一个抽象难关，在老师的生动讲解下，深入浅出，使得集合论成了相当有趣的知识。
只是对于以后的应用还不是很了解，感觉学好它很重要。
直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。
例如：方程x2－1＝0的实数解集合；26个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法，如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。
例如B和C 是不相交的。
两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交：A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}2．关系二元关系也可简称为关系。
对于二元关系R，如果∈R，可记作xRy；如果R，则记作x y。
例如R1={<1,2>,}，R2={<1,2>,a,b}。
则R1是二元关系，R2不是二元关系，只是一个集合，除非将a和b定义为有序对。
根据上面的记法可以写1R12，aR1b，aR1c等。
给出一个关系的方法有三种:集合表达式，关系矩阵和关系图。
设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用的性质，比如说自反性。
如果R不具有自反性，我们通过在R中添加一部分有序对来改得到新的关系R'，使得R'具有自反性。
但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。
满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。
通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。
3．代数系统代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。
抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
离散数学课程总结
离散数学课程总结离散数学课程总结1一、对课程的理解个人认为离散数学是一门综合性非常强的学科。
本书分为六个部分。
为数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论和初等数论。
其中由于课时紧凑我们忽略了部分学习内容。
感觉它是一门集理论思维与抽象思维于一身的学科。
开始学习大家可能会觉得很简单，学得很轻松，第一部分的数理逻辑在高中时也有所接触，只是现在在高中的基础上更深层次的加入一些元素。
第二部分集合论高中也学过一点基本的，多了二元关系之类。
据课本介绍，其中的偏序关系广泛用于实际问题中，调度问题就是典型的实例。
第三部分的代数结构是完全新的学习内容，开始带有抽象的色彩。
接下来就学习了图论，是个很有意思的部分，不像之前那么枯燥，可以有图形与关系之间的转换。
搜集有关资料得知《离散数学》的特点是：1、知识点集中，概念和定理多：《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。
不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。
掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。
要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。
2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。
通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。
《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。
但是《离散数学》证明题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。
因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法。
同时要善于总结。
通过以上特点介绍使我对离散数学有了不一样的认识。
我们是学计算机专业的学生，离散数学的学习给了我们很多的帮助，虽然这门每个部分的联系不是很紧密。
2024年学习《离散数学》心得体会模板(二篇)
2024年学习《离散数学》心得体会模板《离散数学》学习心得体会随着信息科学技术的不断发展，离散数学作为计算机科学与技术中的重要学科，越来越受到学生们的关注与重视。
作为一门理论性较强的课程，《离散数学》涉及到一系列的离散结构、数学推理和证明方法等内容，对于学生来说具有一定的挑战性。
在2024年的学习过程中，我对《离散数学》有着一些新的体会和收获。
首先，通过学习《离散数学》，我对离散结构有了更深入的了解。
离散结构是计算机科学与技术的基础，也是离散数学的重要内容。
在这门课程中，我学习了集合论、关系、函数、图论等各种离散结构的概念和性质。
通过对离散结构的学习，我逐渐认识到离散数学在计算机科学中的重要性，这为我以后的学习和研究奠定了坚实的基础。
其次，学习《离散数学》让我了解到数学推理的重要性。
离散数学是一门很有理论性的学科，需要进行严密的推理和证明。
在学习中，我逐渐熟悉了数学推理的方法和步骤，比如直接证明、归纳法、反证法等。
这些方法不仅在离散数学中有所应用，在其他学科中也有很大的作用。
通过锻炼数学推理的能力，我对问题的思考和解决能力也有了明显的提升。
此外，学习《离散数学》还让我明白了数学的抽象思维的重要性。
离散数学中的很多概念和性质都具有很高的抽象程度，需要我们用抽象的思维方式去理解和运用。
在学习过程中，我逐渐适应了这种抽象思维的方式，并通过解决问题和做题的过程中熟练掌握了抽象思维的技巧。
这对于我以后在计算机科学和其他领域的学习和研究有着重要的借鉴意义。
此外，通过学习《离散数学》，我也提高了自己的问题解决能力。
离散数学中的问题往往需要我们通过分析和推理找到解决的方法，这对于培养我们的问题解决能力非常重要。
通过实践和思考，我逐渐掌握了解决问题的一般步骤和方法，提高了自己的问题解决能力。
这对于我以后在工作和生活中遇到问题时会有极大的帮助。
综上所述，通过学习《离散数学》，我对离散结构有了更深入的了解，对数学推理和抽象思维有了更高的要求，并提高了自己的问题解决能力。
离散数学知识点总结及应用
离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算：并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词：与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型：自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算：与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用：逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结，希望对你的研究有所帮助。
离散数学期末总结
离散数学期末总结一．知识点第一章.集合论集合论或集论是讨论集合〔由一堆抽象物件构成的整体〕的数学理论，包含集合、元素和成员关系等最基本数学概念。
在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。
本章主要介绍集合的基本概念、运算及幂集合和笛卡尔乘积。
这章是本书的基础部分，要学好离散数学就需要很好的掌控集合的内容。
集合论的概念和方法已经渗透到全部的数学分支，因而各数学分支的完整体系，都是在所取集合上。
第二章．关系关系在我们日常生活中常常会遇到关系这一概念。
但在数学中关系表示集合中元素间的联系。
本章主要学习关系的基本概念、关系的性质、闭包运算、次序关系、等价关系，本章学习的重点：关系的性质、闭包运算、次序关系。
关系这一章是集合论这一章的延伸，对集合论的理解程度对学习关系这一章是特别有影响的。
而关系又是学习下一章代数系统必不可少的，所以本章是特别重要的章节。
第三章．代数系统代数结构也叫做抽象代数，主要讨论抽象的代数系统。
抽象代数讨论的中心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统：半群、群等等。
本章主要学习了运算与半群、群。
学习本章需要学会判断是否是代数系统、群和半群，以及判断代数系统具有哪些运算规律，如：结合、交换律等及单位元、逆元。
这些都在我们计算机编码中表达出重要的作用。
第四章．图论图论〔Graph Theory〕起源于闻名的柯尼斯堡七桥问题，以图为讨论对象。
图论中的图是由假设干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
本章主要学习图的基本概念、路径与回路、图的矩阵表示、平面图和二部图、以及树。
学习的重点：图的矩阵表示、平面图和二部图、以及树。
第五章．数理规律数理规律又称符号规律、理论规律。
它既是数学的一个分支，也是规律学的一个分支。
是用数学方法讨论规律或形式规律。
数理规律是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
离散数学集合论知识点
离散数学集合论知识点
离散数学集合论知识点
集合是离散数学中最基本的概念之一，集合论是研究集合性质、集合运算等问题的学科。
以下是关于集合论的几个重要知识点：
1. 集合的定义和符号表示
集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为该集合的元素，用大括号括起来表示。
例如，{1, 2, 3}表示一个由1、2、3三个元素组成的集合。
通常用小写字母表示集合，例如A、B、C等，用大写字母表示元素。
2. 子集和真子集
集合A是集合B的子集，当且仅当A中的每个元素都是B中的元素。
用符号A⊆B表示。
若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集。
用符号A⊂B表示。
3. 并集和交集
设A和B为两个集合，则它们的并集是由A和B中的元素组成的集合，用符号A∪B表示；它们的交集是A和B中共有的元素组成的集合，用符号A∩B表示。
4. 补集和差集
设U是全集，A是U的一个子集，那么A的补集是U中不属于A的所有元素组成的集合，用符号A'表示。
如果A、B是U的子集，则它们的差集是由属于A 但不属于B的元素组成的集合，用符号A-B表示。
5. 笛卡尔积
设A和B为两个集合，则A和B的笛卡尔积是由所有有序对(a,b)组成的集合，其中a∈A，b∈B。
用符号A×B表示。
例如，若A={1,2}，B={a,b}，则A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。
以上是离散数学集合论的一些基本知识点，它们是其他数学领域的基础，在实际应用中也有广泛的应用。
《离散数学》课程总结
《离散数学》课程总结第一篇：《离散数学》课程总结《离散数学》学期总结转眼之间，这学期要结束了。
我们的离散数学，这门课程的学习也即将接近尾声。
下面就是我对这门课一些认识及自己的学习心得。
首先我们这门课程离散数学到底包含了哪几大部分？每部分具体又有什么内？这门课程在计算机科学中有什么地位？这门课程在我们以后的学习生活中，以及在将来的工作中有什么帮助？下面我将以上几个方面具体谈一谈并将总结一下自己本人在这门课程学习过程中遇到的一些问题和心得体会。
这门课程有数理逻辑，集合论，代数系统和图论四部分。
这四大部分通常被称为离散数学的四大体系。
其中每一部分都是一个独立的学科，内容丰富。
而我们离散数学中的内容是其中最基本，最重要且和计算机科学最密切相关的内容吸收到离散数学中来，并使它们前后贯通，形成一个有机整体。
这门课的主要内容有命题逻辑、谓词逻辑，属于数理逻辑部分，集合论中有集合、二元关系、函数，代数系统包含代数系统基础、群、环、域以及格和布尔代数的知识（这部分我们没有涉及）。
那么这门课程在计算机科学中有着什么样的地位呢，这门课程是计算机科学专业中重要的专业基础课程，核心课程，可以这么说，离散数学，既是一门专业基础课，是一门工具性学科。
这门课讲授的内容，与后续专学习业密切相关。
在这门课里我们讲授了大量的计算机学科专业必要的基本概念，基本理论和基本方法。
为我们以后的学习，工作打下良好基础。
在算法设计，人工智能，计算机网络，神经网络，智能计算等学科中有着重要的作用。
在计算机科学中有着广泛的应用。
通过这门课可以对我们计算机算法的理解和逻辑思维得到提高。
那么我们具体学了什么内容呢？（一）首先集合论是整个数学的基础，（不管是离散数学还是连续数学）如果没有专门学过，那么出现在离散数学中还是很合适的。
至于由集合论引出的二元关系，函数的内容，也是理所应当的。
数理逻辑是一个让人眼前一亮的东西。
我第一次发现，原来有些复杂的推理问题是可以通过“计算”的方法解决的。
离散数学章节总结
离散数学章节总结离散数学章节总结第⼀章[命题逻辑]1.逻辑运算1.否定:Negation? NOT2.交:Conjunction AND3.并:Disjunction OR4.蕴含:Implication IMPLIES5. Biconditional ? IFFXOR2.逆/否/逆否1.逆:converse2.否:inverse3.逆否:conytrapositive3.问题的⼀致性[逻辑等价]→q 等价于?p q 等价于? q→?p2. p q 等价于?p→qp q 等价于?( p→?q)3.(p→q)(p→r) 等价于p→(q r)(p→r)(q→r) 等价于(p q)→r(p→r)(q→r)等价于(p q) →r4.证明等价: 真值表逻辑符号证明找反例(假设左为假右必为假假设右为假左必为假)[ 谓词逻辑]1.量词存在任意量词顺序不能随机改变不全为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x )没有⼀个为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) [ 推理][ 证明]1.证明⽅法:直接证明间接证明反证列举证明(列举所有情况) 构造证明(构造出满⾜结论的元素)2.证明步骤:正向证明反向证明第⼆章[ 集合及运算]1.特殊集合: R Q Z ⽆穷/有限集2.集合表述⽅法: 列举法描述法图表法3.集合运算: 交/并/补/差/取⼦集P(S)/元素数|S|/乘积P ×Q /BA B A B A B A ?=??=? n i iA 1= X A A ∈ ni iA 1= XA A∈容斥原理A i i =1n=Ai1≤i ≤n ∑-A iAj1≤inA ii =1n4.证明集合相等:1.证明互为⼦集 2.从属表 3.逻辑证明[ 函数]1.函数的定义2.术语：定义域，值域，象，原象，范围， (a)/f(A)第五章[序、归纳]1.序：在某种关系下存在最⼩元素则为well-ordered2.第⼀数学归纳法：basic step P(C)成⽴and inductive step P(k)→P(k+1)3.第⼆数学归纳法:basic step:P(c)成⽴ and inductive step: 任意k⼩于等于nP(k) 成⽴→P(n+1) [递归]1.递归：以相同形式⽤⼩的项来定义的⼤的项不能⼀直递归下去（存在初始项）必须存在可以直接解决问题的⼀项①basic step:原有元素② recursive step:原有元素如何产⽣新元素2.字符串的定义：空字符，回⽂3.结构归纳：⽤于证明递归结构对所有元素都成⽴：①basic step:原有元素成⽴②recursive step:⽤递归式导出的新元素成⽴[递归算法]1.定义：把问题转化为相同形式但值更⼩的算法2.递归算法有初始步骤（是可终⽌的）并且递归时⾄少改变⼀个参数值使之向初始步骤靠拢3.递归时间复杂度⾼，可以⽤⾮递归（loop或 stack）来代替[程序的正确性]1.测试与证明：证明更有说服⼒2.证明：①程序会终⽌②（部分正确）程序只要可以终⽌得出的结论都是正确的正确的程序：对任意可能的输⼊都有正确的输出部分正确，完全正确triple：P{S}QP: precondition S: assertion Q:postconditionP{S}Q:当PQ正确时为部分正确当证明了S的可终⽌性为完全正确4.程序的基本语句：赋值，命题，条件，循环5.弱化结论：P{S}R R→Q：P{S}Q强化条件Q→R R{S}P：Q{S}P复合：P{S1}R R{S2}Q: P{S1;S2}Q第六章[加法乘法原理]1.加法乘法原理：⽅法不重复，互不影响，做1or2 m+n 做1and2 mn2.容斥原理：⽅法有重叠：|A B |=|A ||B ||A B |3.包含条件的问题。
离散数学笔记总结
离散数学笔记总结一、命题逻辑。
1. 基本概念。
- 命题：能够判断真假的陈述句。
例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。
- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。
2. 逻辑联结词。
- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。
- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。
- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。
- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。
- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。
3. 命题公式。
- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。
- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。
- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。
4. 逻辑等价与范式。
- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。
例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。
- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。
- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。
- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。
- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。
二、谓词逻辑。
1. 基本概念。
- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。
- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。
例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。
- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。
- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面就来对离散数学中的一些重要知识点进行总结。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
集合的运算有并集、交集、补集等。
集合的并集是由属于两个或多个集合中的所有元素组成的集合。
交集则是由同时属于两个或多个集合的元素组成的集合。
补集是在给定的全集 U 中，不属于某个集合 A 的元素组成的集合。
集合的运算遵循一些基本的定律，如交换律、结合律、分配律等。
这些定律在解决集合相关的问题时非常有用。
二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。
关系可以用集合的形式表示，也可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
不同性质的关系在实际应用中有着不同的意义。
等价关系是一种特殊的关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。
等价关系可以将集合中的元素进行分类，形成等价类。
偏序关系也是一种常见的关系，它具有自反性、反对称性和传递性。
偏序关系可以用来描述元素之间的顺序关系，例如在集合的包含关系中。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型包括单射函数、满射函数和双射函数。
函数的复合是将两个函数依次作用，得到一个新的函数。
函数的逆是在函数是双射的情况下存在的，并且逆函数的复合等于原函数。
四、图论图是由顶点和边组成的结构。
图可以分为无向图和有向图。
图的基本概念包括顶点的度、路径、回路、连通性等。
图的存储方式有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合表示稠密图，而邻接表适合表示稀疏图。
图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
这两种算法在图的处理中经常被用到，例如寻找图中的路径、判断图的连通性等。
离散数学课程总结
离散数学课程总结引言离散数学是计算机科学中重要的基础课程之一。
它不仅涉及离散结构的数学理论和方法，还包括离散数学在计算机科学中的应用。
在这门课程中，我们学习了离散数学的基本概念、原理和技巧，并且通过实际例子和练习掌握了离散数学在计算机科学中的具体应用。
在这篇文章中，我将总结我在离散数学课程中学到的知识和经验，并对其重要性和应用进行讨论。
知识概述离散数学是一门研究数量的离散性质和结构的数学学科。
在离散数学课程中，我们学习了以下几个主要主题：1.集合论：集合是离散数学的基础，我们学习了集合的定义、运算和基本性质，还学习了集合的关系和函数的基本概念。
2.逻辑与证明：逻辑是离散数学中重要的一部分，它涉及命题、命题逻辑、谓词逻辑等内容。
我们学习了逻辑运算、命题逻辑的规则和谓词逻辑的基本概念，还学习了如何进行数学证明。
3.图论：图论是离散数学中的一个分支，它研究图和图的性质。
我们学习了图的基本概念，如顶点、边、路径和回路，还学习了常见的图算法，如深度优先搜索和广度优先搜索。
4.关系与函数：关系和函数是离散数学中的重要内容，它们用于描述元素之间的关系和映射关系。
我们学习了关系和函数的定义、性质和运算，还学习了等价关系、偏序关系和全序关系等概念。
5.计数：计数是离散数学中的一个重要主题，它涉及组合分析、排列组合等内容。
我们学习了排列、组合和二项式系数的计算方法，还学习了鸽笼原理和容斥原理等重要概念。
重要性与应用离散数学在计算机科学中具有重要的地位和广泛的应用。
以下是离散数学的重要性和应用的几个方面：1.算法分析：离散数学理论为算法设计和分析提供了基础。
通过离散数学的学习，我们可以理解算法的时间复杂度、空间复杂度等重要概念，从而更好地设计和优化算法。
2.数据结构：离散数学的概念和方法对数据结构的设计和实现起着重要的指导作用。
例如，图论和关系的知识可以帮助我们设计高效的图算法和数据库模型。
3.计算机网络：离散数学的图论和关系理论对计算机网络的设计和优化有着重要的作用。
根据离散数学知识点总结
根据离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的结构和对象。
它在计算机科学、信息科学和电子工程等领域中扮演着重要的角色。
本文将根据离散数学的知识点进行总结。
一、集合论集合论是离散数学的基础，主要研究集合之间的关系和运算。
其中常用的概念有：- 并集：将两个或多个集合中的元素合并在一起，形成一个包含所有元素的新集合。
- 交集：取两个或多个集合中共有的元素，形成一个新集合。
- 补集：对于给定集合S，补集是指包含所有不属于S的元素的集合。
- 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合是另一个集合的子集。
- 幂集：对于给定集合S，幂集是指包含S的所有子集的集合。
二、逻辑逻辑是研究推理和证明方法的学科。
在离散数学中，逻辑起到了重要的作用。
常见的逻辑概念包括：- 命题逻辑：研究命题之间的关系和运算，例如“与”、“或”、“非”等。
- 谓词逻辑：研究命题中的变量和量词，能够表达更复杂的命题关系。
- 推理规则：用于从已知命题推导出新命题的规则，例如包括假言推理、析取规则等。
三、图论图论是研究图及其性质的学科。
在离散数学中，图论常常用于描述和分析各种关系和网络。
图论的基本概念包括：- 图：由节点和边构成的结构，用于描述事物之间的联系和关系。
- 顶点和边：图中的基本元素，顶点表示节点，边表示节点之间的关系。
- 路径和环：路径是指经过一系列节点和边连接起来的序列，环是指起点和终点相同的路径。
- 连通性：描述图中节点之间连接的特性，如连通图、强连通图等。
四、组合数学组合数学是研究离散结构的组合和排列的学科。
它在离散数学中有广泛的应用。
常见的组合数学概念包括：- 排列：将一组对象按照一定的顺序排列。
- 组合：从一组对象中选择若干对象，不考虑顺序。
- 布尔代数：用于描述逻辑运算和布尔函数的代数系统。
- 生成函数：用多项式表示数列，方便研究其性质和计算。
以上是根据离散数学的知识点进行的简要总结。
离散数学在计算机科学和信息科学中有重要的应用，对于学习和理解这些知识点能够提升对离散结构的认识和应用能力。
离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结
离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结集合论部分第三章、集合的基本概念和运算3.1 集合的基本概念集合的定义与表⽰集合与元素集合没有精确的数学定义理解：⼀些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员集合的表⽰列元素法A={ a, b, c, d }谓词表⽰法B={ x | P(x) }B 由使得P(x) 为真的x构成常⽤数集N, Z, Q, R, C 分别表⽰⾃然数、整数、有理数、实数和复数集合，注意0 是⾃然数.元素与集合的关系：⾪属关系属于∈，不属于?实例A={ x | x∈R∧x2-1=0 }, A={-1,1}1∈A, 2?A注意：对于任何集合A 和元素x (可以是集合)，x∈A和x?A 两者成⽴其⼀，且仅成⽴其⼀.集合之间的关系包含（⼦集）A?B??x (x∈A→x∈B)不包含A?B??x (x∈A∧x?B)相等A = B?A?B∧B?A不相等A≠B真包含A?B?A?B∧A≠B不真包含A?B思考：≠和?的定义注意∈和?是不同层次的问题空集?不含任何元素的集合实例{x | x2+1=0∧x∈R} 就是空集定理空集是任何集合的⼦集Ax (x∈?→x∈A) ?T推论空集是惟⼀的.证假设存在?1和?2，则?1??2 且?1??2，因此?1=?2全集E 相对性在给定问题中，全集包含任何集合，即?A (A?E )幂集定义P(A) = { x | x?A }实例P(?) = {?}，P({?}) = {?,{?}}P({1,{2,3}})={?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}计数如果|A| = n，则|P(A)| = 2n3.2 集合的基本运算集合基本运算的定义??-~⊕并A?B = { x | x∈A∨x∈B }交A?B = { x | x∈A∧x∈B }相对补A-B = { x | x∈A∧x?B }对称差A⊕B = (A-B)?(B-A)= (A?B)-(A?B)绝对补~A = E-A⽂⽒图（John Venn）关于运算的说明运算顺序：~和幂集优先，其他由括号确定并和交运算可以推⼴到有穷个集合上，即A1?A2?…A n= {x | x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈A n}A1?A2?…A n= {x | x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈A n}某些重要结果A-B?AA?B ?A-B=?（后⾯证明）A?B=??A-B=A命题演算法证X?Y：任取x ，x∈X?… ?x∈Y 例3 证明A?B?P(A)?P(B)任取xx∈P(A) ?x?A?x?B ? x∈P(B)任取xx∈A ? {x}?A ? {x}∈P(A) ? {x}∈P(B){x}B x∈B包含传递法证X?Y：找到集合T 满⾜X?T 且T?Y，从⽽有X?Y例4 A-B ? A?B证A-B ? AA ? A?B所以A-B ? A?B利⽤包含的等价条件证X?Y：例5 A?C∧B?C ?A?B?C证A?C?A?C=CB?C?B?C=C(A?B)?C=A?(B?C)=A?C=C(A?B)?C=C ?A?B?C命题得证反证法证X?Y：欲证X?Y, 假设命题不成⽴，必存在x 使得x∈X 且x?Y. 然后推出⽭盾.例6 证明A?C ∧ B?C ? A?B?C证假设A?B ? C 不成⽴，则?x (x∈A?B∧x?C)因此x∈A 或x∈B，且x?C若x∈A, 则与A?C ⽭盾；若x∈B, 则与B?C ⽭盾.利⽤已知包含式并交运算：由已知包含式通过运算产⽣新的包含式X?Y ?X?Z?Y?Z, X?Z?Y?Z 例7 证明A?C?B?C ∧ A-C?B-C ? A?B证A?C?B?C，A-C ? B-C上式两边求并，得(A?C)?(A-C) ? (B?C)?(B-C)(AC)(A~C) (BC)(B~C)A(C~C) B(C~C)AE BEA B命题演算法证明X=Y：任取x ，x∈X ?… ?x∈Yx∈Y ?… ?x∈X或者x∈X ?… ? x∈Y例8 证明A?(A?B)=A （吸收律）证任取x,x∈A?(A?B) ? x∈A∨ x∈A?Bx∈A ∨ (x∈A ∧ x∈B) ? x∈A等式替换证明X=Y：不断进⾏代⼊化简，最终得到两边相等例9 证明A?(A?B)=A （吸收律）证(假设交换律、分配律、同⼀律、零律成⽴)A?(A?B)=(A?E)?(A?B) 同⼀律=A?(E?B) 分配律=A?(B?E) 交换律=A?E 零律=A 同⼀律反证法证明X=Y：假设X=Y 不成⽴，则存在x 使得x∈X且x?Y，或者存在x 使得x∈Y且x?X，然后推出⽭盾.例10 证明以下等价条件A?B ? A?B=B ? A?B=A ? A-B=?(1) (2) (3) (4)证明顺序：(1) ?(2), (2) ?(3), (3) ?(4), (4) ?(1)(1) ?(2)显然B?A?B，下⾯证明A?B?B.任取x，x∈A?B ? x∈A∨x∈B ? x∈B∨x∈B ? x∈B因此有A?B?B. 综合上述（2）得证.(2) ?(3)A=A?(A?B) ? A=A?B（将A?B⽤B代⼊)(3) ?(4)假设A-B≠?, 即?x∈A-B，那么x∈A且x?B. ⽽x?B ? x?A?B.从⽽与A?B=A⽭盾.(4) ?(1)假设A?B不成⽴，那么x (x∈A ∧ x?B) ? x∈A-B ? A-B≠?与条件（4）⽭盾.集合运算法证明X=Y：由已知等式通过运算产⽣新的等式X=Y ? X?Z=Y?Z, X?Z=Y?Z，X-Z=Y-Z 例11 证明A?C=B?C ∧ A?C=B?C ? A=B证由A?C=B?C 和A?C=B?C 得到(A?C)-(A?C)=(B?C)-(B?C)从⽽有A⊕C=B⊕C因此A⊕C=B⊕C ? (A⊕C)⊕C =(B⊕C)⊕CA⊕(C⊕C) =B⊕(C⊕C) ?A⊕?=B⊕?? A=B3.3 集合中元素的计数集合的基数与有穷集合集合A 的基数：集合A中的元素数，记作card A有穷集A：card A=|A|=n，n为⾃然数.有穷集的实例：A={ a,b,c}, card A=|A|=3；B={ x | x2+1=0, x∈R}, card B=|B|=0⽆穷集的实例：N, Z, Q, R, C 等包含排斥原理：定理设S 为有穷集，P1, P2, …, P m是m 种性质，A i 是S中具有性质P i的元素构成的⼦集，i=1, 2,…, m.则S中不具有性质P1, P2, …, P m 的元素数为证明要点：任何元素x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为１，否则为０证设x不具有性质P1, P2, … , P m ,x?A i, i= 1, 2, … , mx?A i?A j, 1≤i < j ≤m…x?A1?A2?…?A m,x 对右边计数贡献为1 - 0 + 0 -0 + … + (-1)m· 0 = 1例1 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5 和6 整除，也不能被8 整除的数有多少个？解：S ={ x | x∈Z, 1≤x ≤1000 },如下定义S的3 个⼦集A, B, C：A={ x | x∈S, 5 | x }，B={ x | x∈S, 6 | x }，C={ x | x∈S, 8 | x }对上述⼦集计数：|S|=1000,|A|= ?1000/5? =200, |B|=?1000/6?=133，|C|= ?1000/8? =125,|A?B|= ?1000/30? =33, |B?C| = ?1000/40? =25,|B?C|= ?1000/24? =41,|A?B?C| = ?1000/120? =8,代⼊公式N = 1000-(200+133+125)+(33+25+41)-8=600例224名科技⼈员，每⼈⾄少会1门外语.英语：13；⽇语：5；德语：10；法语：9英⽇：2; 英德：4；英法：4；法德：4 会⽇语的不会法语、德语求：只会1 种语⾔⼈数，会3 种语⾔⼈数x+2(4-x)+y1+2=13x+2(4-x)+y2=10x+2(4-x)+y3=9x+3(4-x)+y1+y2+y3=19x=1, y1=4, y2=3, y3=2。
大一离散数学一知识点总结
大一离散数学一知识点总结一、集合论1.集合与元素：集合是由对象组成的整体，元素是集合中的个体。
2.集合的表示方法：列举法、描述法和图表法。
3.集合间的关系：包含关系、相等关系、空集和全集。
4.集合的运算：并集、交集、差集、补集和对称差集。
5.集合的基本定理：德摩根定律、分配律和交换律等。
6.集合的基数：集合中元素的个数（有限集和无限集）。
二、命题逻辑1.命题：能够判断真假的陈述句。
2.逻辑联结词：非、析取、合取、条件和双条件。
3.命题公式：由命题和逻辑联结词组成的公式。
4.真值表：列出所有可能的真值组合。
5.命题等价和命题蕴含：两个命题具有相同的真值时为命题等价，一个命题的真值在另一个命题真值为真的时候也为真则为命题蕴含。
6.逻辑等价式：两个命题公式具有相同的真值。
三、谓词逻辑1.谓词：含有变元的命题，变元通过谓词来确定。
2.量词：全称量词和存在量词。
3.谓词逻辑公式：由谓词、量词和逻辑联结词组成的公式。
4.真值表：列出所有可能的变元代入组合。
5.谓词等价和谓词蕴含：两个谓词公式具有相同的真值时为谓词等价，一个谓词公式的真值在另一个谓词公式真值为真的时候也为真则为谓词蕴含。
6.量词之间的分配律和德摩根定律。
四、数理逻辑1.永真式和重言式：在所有可能的真值组合下都为真的公式为永真式，只有真的真值组合下为真的公式为重言式。
2.可满足和不可满足：存在至少一个真值组合使得公式为真时为可满足，所有真值组合下都为假时为不可满足。
3.命题逻辑和谓词逻辑的相互转化。
4.归结法：通过使用归结规则进行推理。
5.形式化证明：使用公理和推理规则进行证明。
6.正确性和完备性：一个证明系统是正确的是指该系统能够证明所有真的命题，一个证明系统是完备的是指该系统能够证明所有可满足的公式。
五、代数结构1.半群：满足结合律的代数结构。
2.群：满足结合律、单位元和逆元的代数结构。
3.环：满足加法和乘法封闭性、结合律、分配律的代数结构。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。
- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。
- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。
2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。
- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。
- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。
3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。
- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。
- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。
4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。
- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。
- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。
5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。
- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。
- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。
6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。
- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。
- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。
7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。
- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。
- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。
8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。
- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。
- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。
9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。
- 空间复杂度：算法空间需求的分析。
- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。
离散数学：集合论总结
(性质3(2)) (定义) (性质3(2))
(性质3(3)) (反例) (定义)
自反 对称 传递
tsr(R)=trs(R) str(R)=srt(R)
=rts( R )
=rst( R )
16
等价关系
等价(equivalence)关系
自反、对称、传递 同余关系
等价类 商集 集合的划分
17
偏序关系
偏序关系表示
哈斯图
盖住COV 特殊元素 (反)链 线序(全序),拟序 良序
18
第8章 函数
19
函数
函数(映射)定义 (象,原象) 函数性质(单射,满射,双射) 计数问题 特殊函数(常数函数,恒等函数,特征函数,
单调函数) 复合,逆函数 等势、优势 基数
20
➢ 定义域、值域、域 ➢ 关系的集合运算 ➢ 关系的复合运算 ➢ 关系矩阵 ➢ 关系的逆运算 ➢ 关系图 ➢ 关系的幂运算
关系表示
关系运算
➢ 自反性(reflexivity) ➢ 反自反性(irreflexivity) ➢ 对称性(symmetry) ➢ 反对称性(antisymmetry) ➢ 传递性(transitivity)
12
总结
(rijrjk)rik＝１
13
关系运算是否保持关系性质
定理: 设R1,R2AA都具有某种性质.
自反 反自反 对称 反对称 传递
R1-1, R2-1
(4)
R1R2
R1R2
(2)
(5)
R1◦R2 , R2◦R1 (1)
R1-R2 , R2-R1(3) ~R1,~R2
(3‘)
14
定理7.10
关系性质 关系闭包
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
离散数学学习总结
离散数学学习总结【篇一：离散数学学习心得】离散数学学习心得姓名：周燕班级：12计本（2）班学号：1204012032第一章学习的是命题逻辑的基本概念，介绍了命题的定义，连接词以及命题公式的赋值。
然后学习了命题逻辑的等值演算，等值式即两个命题公式为重言式。
判断等值式的方法通常有列真值表，等值演算等。
本章还给出了命题公式的两种规范的表示方法。
析取范式和合取范式，本章还介绍了连结词的完备集。
第三章介绍的是命题逻辑的推理理论，在自然推理系统中，命题的推理证明。
第四章是对前面推理证明的补充与完备，前三章中，命题逻辑具有一定的局限性，有时候无法判断一些常见的简单推理，于是我们引进了一阶逻辑命题。
第五章便是一阶逻辑等值演算的推理。
第二部分学习集合论，介绍了集合论的基本概念，集合的运算集合恒等式，第七章关于二元关系，关系的性质，着重介绍了自反性，对称性，传递性。
第三部分学习图论，图的基本概念，通路与回路，以及图的连通性，然后学习了树，树的性质树的生成。
最后是代数系统。
以上就是本学期离散数学学习的所有内容，很开心能有华老师带我们学习离散数学。
华老师可以说是我上大学以来遇到的最负责任的老师了，教书很认真，每次上课声音都很洪亮，可以照顾到后座的同学。
最喜欢老师的幽默了，大学的学生并不再是高中时候埋头苦干的书呆子了，很需要在课堂上调动学生的学习兴趣。
所以我很支持老师能够将刻板的知识讲解的精彩生动，偶尔的幽默是很好的方法。
我对于老师的教学并没有太多的建议，因为老师已经做得很好了。
希望老师继续保持这种良好的状态，最后希望老师越来越可爱！【篇二：离散数学学习报告】离散数学总结报告《离散数学》这门课程是大二上学期学习的，经过一个学期的学习，对离散数学这门课有了更深的理解。
学习这门课程之前，教我们这门课的黄老师就告诉我们，离散数学是研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科，是计算机科技的数学基础，是数学与计算机之间的桥梁。
是计算机相关专业的核心主干课程，数据结构、编译原理、os、算法分析与设计、人工智能、数据库、计算机网络等后续课程都要用到离散数学的知识。
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第三章集合论基础1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。
⑴{a}∈A T ⑵⌝({a}⊆ A) F⑶c∈A F ⑷{a}⊆{{a,b},c} F⑸{{a}}⊆A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T⑺{{a,b}}⊆A T ⑻{a,b}⊆{{a,b},c} F⑼{c}⊆{{a,b},c} T ⑽({c}⊆A)→(a∈Φ) T2、证明空集是唯一的。
（性质1：对于任何集合A，都有Φ⊆A。
）证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ⊆Φ2 。
因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ⊆Φ1 。
所以Φ1=Φ2 。
3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念)a)是否Φ∈B?是否Φ⊆B?b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}⊆B?c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}⊆B?解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}}在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b}B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}}然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}}以后熟悉后就可以直接写出。
a) Φ∈B Φ⊆Bb) {Φ}∈B {Φ} ⊆ Bc) {{Φ}}∈B {{Φ}}⊆Ba)、b)、c)中命题均为真。
4、证明A⊆B ⇔ A∩B=A成立。
证明：A∩B=A ⇔∀x(x∈A∩B ↔x∈A)⇔∀x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B))⇔∀x((x∉A∩B∨x∈A)∧(x∉A∨x∈A∩B))⇔∀x((⌝(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B))⇔∀x(((x∉A∨x∉B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B)))⇔∀x(T∧(T∧( x∉A∨x∈B)))⇔∀x( x∉A∨x∈B)⇔∀x(x∈A→x∈B)⇔ A⊆B5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证明：任取x∈(A-C)-(B-C)⇔x∈(A-C)∧x∉(B-C)⇔(x∈A∧x∉C)∧⌝(x∈B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉C)∧(x∉B∨x∈C)⇔(x∈A∧x∉C∧x∉B)∨(x∈A∧x∉C∧x∈C)⇔x∈A∧x∉C∧x∉B⇔x∈A∧x∉B∧x∉C⇔(x∈A∧x∉B)∧x∉C⇔x∈A-B∧x∉C⇔x∈(A-B)-C所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)6、A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)证明：任取x∈A-(B∪C)⇔x∈A∧x∉(B∪C)⇔x∈A∧⌝(x∈B∨x∈C)⇔x∈A∧(x∉B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉B)∧(x∈A∧x∉C )⇔x∈A-B∧x∈A-C⇔x∈(A-B)∩(A-C)所以A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C))7、~(A∩B)=~A∪~B ~(A∪B)=~A∩~B 这两个公式称之为底-摩根定律。
证明：任取x∈~(A∩B)x∈~(A∩B)⇔x∉A∩B⌝⇔(x∈A∧x∈B)⇔(x∉A∨x∉B)⇔x∈~A∨x∈~B⇔x∈~A∪~B ∴~(A∩B)=~A∪~B8、A⊆B ⇔ ~B⊆~A证明：A⊆B ⇔∀x(x∈A→x∈B)⇔∀x(x∉B→x∉A)⇔∀x(x∈~B→x∈~A)⇔ ~B⊆~A9、~A=B 当且仅当A∪B=E且A∩B=Φ证明：A∪B=E∧A∩B=Φ⇔∀x(x∈A∪B↔x∈E)∧(P↔T⇔P)∀x(x∈A∩B↔x∈Φ) (P↔F⌝⇔P)⇔∀x(x∈A∪B↔T)∧∀x(x∈A∩B↔F)⇔∀x(x∈A∪B∧⌝(x∈A∩B))⇔∀x((x∈A∨x∈B)∧⌝(x∈A∧x∈B))⇔∀x((x∈A∨x∈B)∧(x∉A∨x∉B))⇔∀x((x∉A→x∈B)∧(x∈B→x∉A))⇔∀x((x∈~A→x∈B)∧(x∈B→x∈~A))⇔∀x((x∈~A↔x∈B)⇔~A=B关于对称差A、B是集合,由属于A而不属于B，或者属于B而不属于A的元素构成的集合,称之为A与B的对称差,记作A⊕B。
例如A={1,2,3} B={2,3,4}A⊕B={1,4}谓词定义：A⊕B=(A-B)∪(B-A)={x|(x∈A∧x∉B)∨(x∈B∧x∉A)}A⊕B=(A∪B)-(A∩B)10、∩对⊕可分配A∩(B⊕C)=(A∩B)⊕(A∩C)证明：(A∩B)⊕(A∩C)= ((A∩B)∪(A∩C))-((A∩B)∩(A∩C))= (A∩(B∪C))-(A∩B∩C)= A∩((B∪C)-(B∩C)) (∩对-分配)= A∩(B⊕C)但是∪对⊕不可分配， 举反例：A ∪(A ⊕B)＝A ∪B , 而(A ∪A)⊕(A ∪B)＝A ⊕(A ∪B)= (A ∪B)-AA ∪(A ⊕B)≠(A ∪A)⊕(A ∪B)一般地，有n 个有限集合A1, A2,... An,则11、某个研究所有170名职工，其中120人会英语，80人会法语，60人会日语，50人会英语和法语，25人会英语和日语，30人会法语和日语，10人会英语、日语和法语。
问有多少人不会这三种语言？解:令U 为全集，E 、F 、J 分别为会英语、 法语和日语人的集合。
|U|=170|E|=120 |F|=80 |J|=60 |E ∩F|=50|E ∩J|=25 |F ∩J|=30 |E ∩F ∩J|=10|E ∪F ∪J|=|E|+|F|+|J|-|E ∩F|-|E ∩J|-|F ∩J|+|E ∩F ∩J|= 120＋80＋60－50－25－30＋10＝165|U-(E ∪F ∪J)|=170-165=5 即有5人不会这三种语言。
12、求1到1000之间不能被5、6、8整除的数的个数。
解.设全集 E ＝{x| x 是1到1000的整数} |E|=1000A5、 A6、 A8是E 的子集并分别表示可被5、6、8整除的数的集合。
⎣x ⎦ 表示小于或等于x 的最大整数。
LCM(x,y):表示x,y 两个数的最小公倍数。
(Least Common Multiple ) 33301000)6,5(1000|65|12581000||16661000||20051000||865=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢==⎥⎦⎥⎢⎣⎢==⎥⎦⎥⎢⎣⎢==⎥⎦⎥⎢⎣⎢=LCM A A A A A E FJ10U不能被5、6、8整除的数的集合为～(A5∪A6∪A8)|~(A5∪A6∪A8)|=|E|－|A5∪A6∪A8|=|E|－(|A5|+|A6|+|A8|－|A5∩A6|－|A5∩A8|－|A6∩A8|+|A5∩A6∩A8|)＝1000－(200+166+125－33－25－41＋8)＝60013、对24名科技人员掌握外语的情况进行调查结果如下：英、日、德、法四种外语中，每个人至少会一种；会英、日、德、法语的人数分别是13、5、10、9人； 同时会英、日语的有2人； 同时会英、法语的有4人； 同时会德、法语的有4人； 同时会英、德语的有4人；会日语的人不会德语，也不会法语；问这24人中，只会一种外语的人各是多少人？同时会英、法、德三种语言的人有多少人？ 解：设全集为U ，E,F,G ,J 分别表示会英、法、德、日语人的集合。
|U|＝24 |E ∩F|=|G ∩F|=|E ∩G|=4又设 |E ∩F ∩G|=x 只会英、法、德、日一种外语的人分别是y1, y2, y3, y4。
于是可以画出文氏图及方程如下：y1 +2(4-x)+x+2=13y2 +2(4-x)+x=9y3 +2(4-x)+x=10y4+2=5y1+ y2+ y3 +y4 +3(4-x)+x+2=24 解得： y1＝4， y2＝2， y3＝3， y4＝3 x=114、A,B 是有限集合, P(A)表示A 的幂集,已知|A|=3,|P(B)|= 64 ,|P(A ∪B)|= 256, 则|B|=( ), |A ∩B|=( ),|A-B|=( ),|A ⊕B|=( )。
解:由|P(B)|=64=26，得 |B|=6由|P(A ∪B)|=256＝28，得|A ∪B|=8由包含排斥原理得 |A ∪B|=|A|+|B|－|A ∩B|得8＝3+6－|A ∩B| ，所以 |A ∩B|＝1|A-B|=|A|－|A ∩B|=3－1=2|A ⊕B|=|A ∪B|－|A ∩B|=8－1=7E F G J x 4-x 4-x 4-x 2 y 1y 2 y 3 y 481201000)8,6,5(1000||41241000)8,6(1000||25401000)8,5(1000||8658685=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢==⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢==⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=LCM A A A LCM A A LCM A A15、设F表示一年级大学生的集合,S表示二年级大学生的集合,M表示数学专业学生的集合,C表示计算机专业学生的集合,D表示听离散数学课学生的集合,G表示星期六晚上参加音乐会的学生的集合,H表示星期六晚上很晚才睡觉的学生集合,则将下面各个句子所对应的集合表达式分别写在句子后面的括号内:(1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课。
( C∩S ⊆ D )(2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期六晚上去听音乐会的学生在星期六晚上很晚才睡觉。
( D ∪G=H )(3)星期六晚上的音乐会只有大学一、二年级的学生参加。
( G ⊆ F∪S )(4)除去数学专业和计算机专业以外的二年级的学生都去参加星期六晚上的音乐会。
( ~(M∪C) ∩S ⊆ G )16、一个班有50人，第一次考试得A的人数等于第二次考试得A的人数，仅仅在一次考试中得A的学生总数是40，有4个学生两次考试都没有得到A，问有多少学生仅在第一次考试中取得A？问有多少学生仅在第二次考试中取得A？问有多少学生两次考试中都取得A？解.设A1、A2 分别表示在第一次和第二次得A的人的集合。
根据题意得: |E| = 50, |A1| = |A2|,(|A1| - |A1∩A2|) + (|A2| - |A1∩A2|) = 40 ,即|A1| + |A2| - |A1∩A2| - |A1∩A2 | = 40 ,∴2|A1| - 2|A1∩A2| = 40 , (1)∴|A1| - |A1∩A2| = |A2| - |A1∩A2| = 20 , (仅一次得A)又|E| - |A1∪A2| = 4, ∴|A1∪A2| = 50 - 4 = 46即|A1| + |A2| - |A1∩A2| = 2|A1| - |A1∩A2| = 46, (2)(2) - (1)得：|A1∩A2| = 6。