解析函数

十字显示了两族曲线的正交性。
3 W=Z
• W =Z3 =（x3-3xy2）+i(3x2y-y3)
• Z3实部为u= x3-3xy2
• Z3虚部为v= 3x2y-y3 • 描述相互交成60°角并交于同一轴的三个无
穷大带电导体平面的静电场的等电位线和电 力线。这里u=c1为电场的等势线， v=c2为电 场的流线。图中最后给出的黄色十字显示了 两族曲线的正交性。
• 3解析函数的性质
(1)若f ( z) u iv在区域B上解析，则u( x, y) C1 , v( x, y) C2 (C1、C2是常数)是B上的两组正交曲线簇。 ˆx e ˆy , u表示u的梯度，是曲线u ( x, y ) C1 证： e x y
的法向矢量.v是曲线v( x, y ) C2的法向矢量 u u v v u v u v ˆ ˆ ˆ ˆ u v ( ex ey )( ex ey ) 0 x y x y x x y y
例题：已知解析函数f ( z )的虚部v( x, y) x x 2 y 2 ， 求实部u(x, y )和这个解析函数f ( z )
v v 解：求 , 比较麻烦，凡是看见有类似x 2 y 2的式子最好采用极坐标 x y x cos , y sin , x 2 y 2 2 , cos2 x2 y 2

2
1 2sin 2

2
v cos
(1 cos ) 2 sin
1 sin , 2 2 cos

2
1 v 1 (2 ) 2 2 sin 2 2
v 1 2 cos 2 2
• W=1/Z=(x-iy)/(x2+y2) • 1/Z的实部为u=x/(x2+y2)
• 1/Z的虚部为v=-y/(x2+y2)
• 则u=c1为电场的等势线，v=c2为电场的
流线；是相互正交的两族曲线。下图中 最后给出的黄色十字显示了两族曲线的 正交性。
函数w＝Z2
• W= Z2 =(x2-y2)+i2xy • Z2的实部为u= x2-y2 • Z2的虚部为v=2xy • 描述两相互垂直的无穷大带电导体平面的 静电场。这里u=c1为电场的等势线， v=c2为电场的流线。图中最后给出的黄色
积分，得：v( x, y ) 3 x 2 y y 3 C 解析函数f ( z ) u iv x 3 -3xy 2 i (3x 2 y y 3 ) iC ( x iy )3 iC＝z 3 iC 凑全微分显式法
v u ＝ ，对y积分来求（不定积分法）： y x v u v u u v dy ( x) dy ( x), dy '( x) － y x x x x y v 由上式求得 ( x)，代入v dy ( x)，可得v. y 例题：已知u＝x3 -3xy 2 ,求v 已知u求v, 可由关系
例题：已知u＝2( x 1) y,f (2) i, 求解析函数
u u v u v u 解： =2y, 2( x 1),由C-R条件, ＝ 2 y, ＝－ 2(1 x) x y y x x y v v dv dx dy 2(1 x)dx 2 ydy d (2 x x 2 y 2 ) x y 积分得:v( x, y ) 2 x x 2 y 2 C f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) 2( x 1) y i (2 x x 2 y 2 C ) i ( x iy ) 2 2i ( x iy ) iC iz 2 2iz iC f (0) iC i, C 1 f ( z ) iz 2 2iz i
作出u x 2 y 2 常数（实线，电力线）， v= 2 xy 常数（虚线，等势线族）的图像, 可见，相互正交。 表示以实轴和虚轴为截口的两块互相垂直的 很大的带电导体平面的静电场。
解析函数实部与虚部 的物理意义
• 将显示几种常见的解析函
数的等势线与流线的图像 以及二者的正交性
W=1/Z

2

2
由极坐标下的C-R方程： u 1 v 1 cos , 2 2 u v 1 cos d 2 2

2
sin

2
u u du d d 2 cos d 2 2 u 2 cos
0
解析函数的实部或者虚部。
• 平面静电场
如果将解析函数的实部u(x,y)看作某平面静电场的电势，那么v(x,y)=C2就代 表该静电场的电力线族，因为静电场的等势线族u(x,y)=C1与电力线族也 是处处相互正交的，所以称该解析函数为该平面静电场的复势。
例：考虑解析函数f ( z ) z 2 x 2 y 2 i 2 xy, 它对应什么样的平面静电场的复势？
2 2 2 = 2 2 x y
在物理学中，许多平面场（稳定温度场，静电场，稳定电流场） 都满足拉普拉斯方程。通过高斯定理可以推导得到静电场方程： E , E 0 E V
0
V 为电势函数
V
0
2V （泊松方程） 如果在静电场的某一区域没有电荷，＝0，则 2V 0 或 （拉普拉斯方程） 2V 2V 2 0, 所以可将某个平面静电场的电势看作 2 x y
• 若某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续偏导数，且满足拉普
拉斯方程 2 H 0 ，则称H(x,y)为区域B上的调和函数。 • （2）若函数f (z)= u +i v在区域B上解析，则 u , v 均为B上的 调和函数。
证：第二章将证明,解析函数具有任意阶微商 u,v的各阶偏导数存在且连续 由于f (z )=u +iv在区域B上解析，满足C-R条件 u v 2u 2 v ＝ ，对x求导： 2 ＝ x y x xy 2u 2u 2 0, 即 u0 2 2 2 2 u v u v x y ＝－ , 对y求导： 2 ＝y x y xy 2v 2v 同理： 2 2 0, 即 2 v 0 x y u ( x, y ), v( x, y )都是B上的调和函数。 又称共轭调和函数。
• 4由于解析函数的实部与虚部通过C-R条件相联系，只要知
道解析函数的实部（或虚部），就能求出相应的虚部（或实 部）
例题：已知u＝x3 -3xy 2 ,求v u 2 2 u 解： =3x -3y , 6 xy x y v u u 2 2 v 由C-R条件, ＝ 3x -3y , ＝－ 6 xy y x x y v v dv dx dy 6 xydx (3x 2 -3y 2 )dy d (3x 2 y y 3 ) x y

2
sin

2
d
ຫໍສະໝຸດ Baidu


2
2 d cos

2
d( 2 x c
cos

2
)

2
c
cos c
2 i 2 sin
1 2
x2 y 2 c
f ( z ) u iv
1 2
2 cos

2
2 (cos i sin ) c 2z c
e z e x iy e x eiy e x (cos y i sin y ) 1 iz iz sin z (e e ) 2i 1 iz iz cos z (e e ) 2 1 z z shz (e e ) 2 1 z z chz (e e ) 2 ln z ln(| z | eiArgz ) ln | z | iArgz ln | z | i ( 2k ) z s e s ln z ( s为复数)
u u v u v u 解： =3x 2 -3y 2 , 6 xy,由C-R条件, ＝ 3x 2 -3y 2 , ＝－ 6 xy x y y x x y v (3x 2 -3y 2 )dy ( x) 3x 2 y y 3 ( x ) v u 6 xy '( x) － 6 xy, '( x) 0, ( x) C , x y v 3x 2 y y 3 C 故得解析函数f ( z ) u iv x 3 -3xy 2 i (3x 2 y y 3 C ) ( x iy )3 iC＝z 3 iC
知识点回顾
复变函数的概念 区域的概念 复变函数可导的定义 ez ,sin z, cos z, shz, chz, ln z几个初等函数定义式 sin( x+iy ) = sinxchy +icosxshy sh( x+iy ) = shxcosy +ichxsiny C R条件
• 几个初等函数定义式
1.4解析函数
• 重点：解析函数的概念、由解析函数的实部求虚部，或由虚
部求实部。 • 难点：解析函数的性质，解析函数的求解 • 掌握：由解析函数的实部求虚部，或由虚部求实部的方法
• 1.解析：若函数f ( z )在点z0 及其邻域上处处可导，则称f ( z )
• • • • •
在点z0 解析。 2.解析函数：若f ( z )在区域B上每一点都解析，则称f ( z )是 区域B上的解析函数。 理解：解析的前提是可导 若函数在某点解析，则必在该点可导，反过来则不一定成立。 若函数在某一区域B上解析，则函数在区域B上处处可导 在区域上可导与解析是等价的。