解析函数
第二章解析函数
第二章解析函数•复变函数的导数•解析函数的概念•初等解析函数复函数的求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.例2证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z , 有()()f z z f z +Δ−2.x yi =Δ+Δ()2()2x x y y i x yi =+Δ++Δ−−故0lim[()()]0.z f z z f z Δ→+Δ−=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.000()()() (), f z z f z f z z z z ρ′+Δ−=Δ+ΔΔ,)()(lim 000z f z z f z =Δ+→Δ所以lim ()0,z z ρΔ→Δ=再由即()f z 在0z 处连续.反之, 由例2知, 处处不可导，()2f z x yi =+但处处连续。
例5问题：对函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )，如何判别其解析（可导）性？换句话说：()(),f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系？解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
证明必要性. 若存在，设0()f z ′0()f z a ib ′=+(a , b 是实常数). 因此000()()()f z z f z f z z z α′+Δ−=Δ+Δ12()()()()a ib x i y i x i y αα=+Δ+Δ++Δ+Δ12()a xb y x y αα=Δ−Δ+Δ−Δ21(,i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ其中12Re , Im .αααα==且当时，0z Δ→120, 0.αα→→0000(,)(,),u u x x y y u x y Δ=+Δ+Δ−0000(,)(,),v v x x y y v x y Δ=+Δ+Δ−则于是有00()().f z z f z u i v +Δ−=Δ+Δ12()u i v a x b y x y ααΔ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ21().i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ由两个复数相等的条件可得设21.v b x a y x y ααΔ=Δ+Δ+Δ+Δ12,u a x b y x y ααΔ=Δ−Δ+Δ−Δ于是，1(,),(,)..a u x y v x y C R =−−当时，满足条件，().f z z 从而在平面上处处可微，处处解析1(,),(,)0..a u x y v x y y C R ≠−=−当时，仅在直线上满足条件，().f z z 故在平面上处处不解析()00.f z y y =≠从而仅在上可微，在上不可微作业3第89页，第二章习题（一）：2；4（1）（3）；5（2）（4）；7；8（2）（4）；9; 11（1）（3）。
第二章 解析函数
在z0解析，若f (z)在区域D内每一点解析，则称f (z)在D
内解析，则称f (z)是D内的一个解析函数（全纯函数或 正则函数）。 如f (z)在 z0不解析, 则称z0为f (z)的奇点。
§1 解析函数的概念
f (z)在 z0解析
函数f (z)在z0的邻域内可导
f (z)在 z0解析 函数f (z)在z0可导 二元函数的微分 [例 ] 的解析性
§3 初等函数 3 乘幂ab与幂函数 [例 ] 求 、 和 的值。
幂函数：
形如：zb=ebLnz（z≠0，b为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意复常数）
的函数成为幂函数。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 计算sin(3+4i) ，cosi，sin6i
|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。 [例] 求方程cosz=0的解。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 求方程sinz+cosz=0的解。
其它复变数三角函数：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 反三角函数和反双曲函数 设z=cosw，则称w为z的反余弦函数，记作： w=Arccosz
ii) f’(z) =f(z); iii) 当Im(z)=0时, f(z) =ex, 其中x=Re(z)。
§3 初等函数 1 指数函数
为整数)
加法定理
§3 初等函数 2 对数函数
主值
[例] 求Ln1, Ln(-2) 以及它们相应的主值。
§3 初等函数 1 指数函数 总结：
第二章 解析函数
z
zw
n
v
0
w
z1 0
x
u
r
n 0
w z
n
0
26
特别：将w 平面上的角形区域 n n 变成 z 平面上除原点与负实轴的区域．
一般：将张角为
都变成 z 平面除去原点与负实轴的区域．
27
2k 2k Tk : (k 0,1,, n 1) n n n n
33
支割线：用来割破 z 平面，借以分出 z n 的单值解析分支的割线，称为 z 的支割 线．
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
2
f ( z ) f ( z0 ) 注:（1）定义中极限可改为 lim0 z z ； z z 0
若 f (z ) 在D内处处可导，则称 f (z ) 在D内 可导。
（2） z z0 的方式是任意的，因此较一元 实变函数具有许多独特的性质和应用。
推论2：若函数 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D内解析，且 f ( z ) 0, ( z D) ，则 u( x, y ) c1 v( x, y ) c2 （ c1 , c2 为常数） 是D内两组正交曲线族。
12
证明：由于 f ( z) 0, ( z D) ，故在D内 ( x, y ) 点 u y 与 v y 不全为0。
§3 初等多值函数
定义:设函数 f (z ) 在区域D内有定义，且 对D内任意不同的两点 z1 及 z 2 ，有 f ( z1 ) f ( z2 ) ，则称函数 f (z ) 在D内是单 叶的．并且称区域D为 f (z ) 的单叶性区 域． １、根式函数 根式函数w z 为幂函数 z 数（n是大于１的整数）．
解析函数的理解
解析函数的理解高中的函数知识点中有一块是讲解析函数，它是由不同的函数相加而得到的，具有这样特征的函数就是解析函数。
其实，解析函数应该是一类函数的统称，它的基本性质也很重要，让我们进一步认识它吧！定义：设;当x=a x^2+bx+c时，设;f(a)=x^2+bx+c，1、对于有理函数，解析式与自变量的取值无关；2、对于一般的解析函数，若自变量x的连续可导，则解析式的值域为全体实数，反之亦然。
此外，由于解析函数自变量x的取值范围是其定义域的子集，所以对于非解析函数来说，自变量x的取值范围通常都不会是整个定义域。
2、在一般意义下，解析函数满足：如果f(a)是x在[a， +∞)上的可导函数，则称f是（沿）解析函数。
3、我们把函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)，y=f(x^n)+f(x)-f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称的函数叫做隐函数。
隐函数的表达式是由隐函数f=f(x)及f的定义而得到的， f=f(x)是函数，它是在一个集合X中选择一个元素y，使得f(y)=f(x)+c。
f(x)是x的函数，我们称它为f的原函数。
4、一般地，如果函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称，那么就称函数y为y=f(x)+c的一般形式。
5、设f(x)： f(x)与函数f：有两种表示法，即原函数及一般形式。
6、函数与其图像在某点有无数多对应点，并且对应点坐标满足f(x) = 0，则称此函数为可去奇点的函数，可去奇点的函数没有实际意义。
7、对于任何解析函数，当它的图像关于原点对称时，图像总过原点；反之，当它的图像关于原点的某一固定点对称时，图像总不过原点。
8、设： f：可以是不连续的，但一定是解析的。
9、设f(x)是f的图像，是f在x处的一条“虚线”。
如果图像的函数在x处可导，则称此函数为解析函数。
第二章 解析函数
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f (z) f ' ( z ) g( z ) f ( z ) g' ( z ) [ ]' , ( g( z ) 0) 2 g( z ) g (z) 由以上讨论
在(x,y)处满足
u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在且连续； x y x y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
• 2.2.2 函数解析的充要条件 • 定理１ 设函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 内有定义，则 f ( z )在 D 内解析的充分必要条 件为 u, v 在 D 内任一点 z x iy处 （1）可微； （2）满足
ex1
试用C-R条件判定下列函数在何处可导，在何处解析：
w z
2
解 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x x
u 2y y
v 0 x
v 0 y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 仅在0点可导，但处处不解析 。
2
例2: 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问 常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处 处解析。
例1 求函数 f ( z ) z 的导数（n 为正整数）.
n
解 因为
k k ( z z )n Cn z (z )nk k 0
高中数学的解析函数的性质及应用解析
高中数学的解析函数的性质及应用解析解析函数是高中数学中的重要概念，其性质及应用在数学学科及其他学科中具有广泛的应用。
本文将围绕解析函数的定义、性质和应用展开讨论。
一、解析函数的定义解析函数又称为复变函数，它是指在复数域上有定义的函数。
具体而言，对于一个定义在复数域上的函数f(z)，如果对于复数域上任意一个复数z，该函数都有唯一的函数值w与之对应，那么f(z)即为解析函数。
解析函数的定义可以用数学符号表示为：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别表示复变函数的实部和虚部。
二、解析函数的性质1. 连续性：解析函数在其定义域上连续，即实部和虚部都是连续函数。
2. 可微性：解析函数在其定义域上可导，即满足柯西-黎曼方程的充分必要条件。
柯西-黎曼方程表示为：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。
3. 奇点：解析函数在其定义域上无奇点，即没有使函数值发散或不唯一的点。
根据解析函数的性质，我们可以推导出一些重要的结论。
例如，解析函数的导函数也是一个解析函数，解析函数的连续叠加仍然是一个解析函数等。
三、解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，不仅在数学学科中有重要意义，也被应用于其他学科中。
1. 数学学科中的应用：解析函数可以用于复数域的积分计算，例如对于沿闭合曲线C的积分∮Cf(z)dz，由于解析函数是可导的，我们可以通过柯西定理将曲线内部的积分等于曲线上的积分，简化计算。
2. 物理学中的应用：解析函数被广泛应用于物理学中的电磁场、流体力学等领域。
例如，对于电势、磁场等物理量的描述往往使用解析函数的方法，通过假设解析函数满足某些条件，可以方便地求解实际问题。
3. 工程学中的应用：解析函数在工程学中的应用也非常重要。
例如，在信号处理领域，解析函数可以用于信号的频谱分析、信号的模拟与合成等方面。
总之，解析函数作为高中数学中的重要概念，其性质和应用在数学学科及其他学科中都有广泛的应用。
解析函数和调和函数的定义
解析函数和调和函数的定义
解析函数和调和函数是数学中的两个概念，它们的定义如下：
解析函数（Analytic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是解析的，如果它在该点附近的某个区域内满足柯西-黎曼方程，即f'(x)=[f(x)]^n，其中n为正整数，f(x)在该点处连续。
如果一个函数在整个定义域内都是解析函数，则称它为全解析函数。
常见的解析函数包括多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。
调和函数（Harmonic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是调和的，如果它满足拉普拉斯方程，即Δf(x)=0，其中Δ为二阶拉普拉斯方程。
调和函数具有许多优良的性质，如最大值原理、最小值原理、格林公式等等，因此在物理学和工程学中有着广泛的应用。
常见的调和函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等等。
总的来说，解析函数和调和函数都是数学中非常重要的概念，它们具有不同的性质和应用领域。
解析函数主要用于研究函数的导数和微分
方程，而调和函数主要用于研究波动现象和物理学中的振动问题。
第二章解析函数
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导， 则称f(z)在区域B内可导：
例2.1.4
讨论函数 w f ( z ) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足. 根据 有
f ( z) | Im z 2 | 2 | xy | u( x, y) iv ( x, y)
u ( x, y ) 2 | xy |
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1
2. 求证w= z 在z平面上处处连续，但 处处不可导
可导必连续。
例 2.1.1 用导数的定义证明公式： n nz n1 （n 为正整数） (z )
【证明】设 f ( z) z ，故
n
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) z n(n 1) n 2 n 1 z[nz z z (z )n 1 ] 2 f ( z z ) f ( z ) lim nz n 1 z 0 z
二、复变函数导数存在的充要条件
可导条件
分析
f ( z) f ( z) lim f ' ( z0 ) lim x x0 x x0 z z y y y y
0 0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
f ( z ) u iv u v lim i x x0 x x0 z x x x y y lim
多项式)，除去使Q(z)=0的点外处处解析。
解析函数的概念
f (z0 z) f (z0 ) z
z0 z 2 z0 2 z
(z0 z)(z0 z) z0 z0 z
z0 z0 z0 z z0z zz z0 z0 z
z0
z
z0
z z
(1)
若
z0
0，则
lim
z0
f
(0 z) z
f
(0)
0
(2) 若z0 0,让z0 z沿直线y y0 k(x x0 ) 趋向z0 则
据此定理：1’多项式在复平面内处处解析. 2’有理分式函数在不含分母为 零的点的区域 内解析，使分 母为零的点是其奇点.
注意：f (z)在区域内解析 f (z)在区域 内可导.
f (z)在一点处解析 f (z)在该点 处可导.
例3：讨论函数的 f (z) z2 , f (z) x 2 yi, f (z) z 2 的解析性
解： f (z) z2在复平面内是解析的； f (z) x 2 yi在复平面内是处处 不解析的； f (z) z 2的解析性
２．解析函数的概念
定义：如果函数f (z)在z0及z0的邻 域内处处可导，则称f (z)在z0解析.如 果f (z)在区域D内每一点解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的 一个解析函数.
如果f (z)在z0不解析，则称 z0为f (z)的 奇点.
z z
x xBiblioteka yi yi1 1y
x y
i i
1 ki 1 ki
x
由于k值的任意性，可知当 z 0时，
无极限 .
f (z0 z) f (z0 ) z
因此f (z) z 2 仅在z 0处可导，在其他点处 都不可导，由解析函数 的定义，它在复平面 上处处不解析 .
解析函数
第二章 解析函数[Cauchy-Riemann 条件的说明]二元函数),(y x u 的可微：()22''y x o y B x A u dy u dx u du y x ∆+∆+∆+∆=∆⇔+=y u x u u y x ∆+∆≈∆''[命题] ),(y x u 的一阶偏导数),('),,('y x u y x u y x 连续),(y x u ⇒的可微。
设ib a z f +=)('，由于zz f z ∆∆=→∆ω0lim )('，)(z f =ω在（x ，y ）可导意味着 ()()x b y a i y b x a y i x ib a z z f v i u ∆+∆+∆-∆=∆+∆+=∆≈∆+∆=∆))(()('ω x v y u b y v x u a x b y a v y b x a u ∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=⇒⎩⎨⎧∆+∆≈∆∆-∆≈∆, )(')('z f xv i x u ib a z f x =∂∂+∂∂=+= 另一版本的说明见课件。
------------------------------------------------------------------------------------[命题] 若R b a b a ∈≠,,，则iby ax +处处连续但处处不可导。
[证明] by y x v ax y x u ==),(,),(处处可微，因此函数处处连续，b v v u a u y x y x ===='0'0''，当且仅当b a =时CR 条件才满足，所以函数处处不可导。
□ 例如yi x z y i x iy x z z f ⋅+=+-==0Re ,2,)(等。
当b a =时a i a z f az iay ax z f =+==+=0)(',)(，与实变函数ax),(),,(y x v y x u P38 例 32222)(,2)(,)(y x z z h yi x z g z z f +==+==的可导、解析性。
解析函数
u v u v , . x y y x
Cauchy Riemann 方程 (简称 C R 方程)
定理 2.1 (可导的充要条件) f ( z ) u iv 在 z x iy 可导 (1) u、v 可微； ( 2) u、v 满足 C R 方程 : u v u v , . x y y x
例3 研究函数 h( z ) z 的解析性.
2
解： h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) (1) z0 0, lim 0. z 0 z ( 2) z0 0, 令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 ,
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
或
w f ( z0 )z o(| z |) ( z 0),
也称 df ( z0 ) f ( z0 )z 或 f ( z0 )dz 为 f ( z ) 在 z0 处
解析函数的运算法则
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析.
( 2) 设函数 g( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w f ( ) 在 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D 内的每一个点z , 函数 g( z ) 的对应值 都属 于 G , 那末复合函数w f [ g( z )] 在 D 内解析.
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都
解析函数
§1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 §２ 初等解析函数 §3 初等多值解析函数
§1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
１．复变函数的导数与微分
定义2.1 设函数 w f ( z ) 在点 z0 的邻域内D （或含 z0的区域
内）有定义， 若极限 存在， 则称此极限为函数 f ( z )在点 z0 的导数，记为 f ( z0 ) 这时也称 f ( z ) 在点 z0 可导
例2.3 设多项式P( z) an z n an1z n1 a0 (an 0) ，则由 基本性质（１）知， P( z ) 在
z
平面上解析，且
n1 n 2 P ( z) nan z (n 1)an1z a1
对于参数方程
z (t ) x(t ) iy(t ) (t [ , ]) ， 则可直
[ f1 ( z) f2 ( z)] f1( z) f 2( z)
[ f1 ( z) f 2 ( z)] f1( z) f 2 ( z) f1 ( z) f 2( z)
f1 ( z ) f1( z ) f 2 ( z ) f1 ( z ) f 2( z ) [ ] f2 ( z) [ f 2 ( z )]2
定理2.2 设 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 则 在 D f ( z ) 内一点 充要条件是： 内有定义，
z x 可微（或在 iy
内解析）的 D
（１） u ( x, y ) ，v( x, y )在点 ( x,
y) （或在 D 内）可微；
v( x, y ) 在点 （２） u ( x, y ) ，
( x, y )（或在 D 内）满足C-R条
复变函数-第二章-解析函数
23
(3.4)当为无理数或 Im 0时：
z e
Lnz
e
(ln z i arg z 2 k i )
e
ln z
e
i arg z
e
2 k i
---- 无穷多值函数
(3.5)当 0, z 0 e0Lnz e0 1
在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且 1 Ln z Ln z z e e z 1 z
e e
1 z
1 x yi
1 z
1 z
e
x y i x2 y2 x2 y2
,
Re(e ) e
x x2 y2
y cos 2 . 2 x y
16
2、 对数函数 定义 指数函数的反函数称为对数函数.即
把满 足 e w z( z 0)的函 数 w f (z) 称为 对数 函数 , 记作w Lnz.
10
推论1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y),如果u(x, y)
和 v(x, y)的四个偏导数 :
u u v v , , , x y x y
在点(x,y)处连续 且满足 方程，则 f(z)在点 u , v v C-R u
x y z=x+iy处可导。 , x y .
给定一复数 z，如何计算 Lnz ？
令w u iv , z re i , 那 么 e u iv re i u ln r , v 2k ( k为 整 数).
w Lnz ln r i ( 2k ) ( k 0,1,) 每个确 定的k 或 Lnz ln z iArg z ln z i (arg z 2k ) 对应一
复变函数第2章解析函数
当 f (z) z时，dw= dz ，z 所以 f 在(z)点
z 0处的微分又可记为
dw zz0 f (z0 ) d z
亦即
dw
dz zz0
f (z0 )
由此可知，函数 w f (z)在点 z处0 可导与可微 是等价的.
复变函数的求导法则与高数完全类似：
则称 gx, y为 D内的调和函数
定理2.3 设 f z u i，v 若 f 在z 区域 内D 解
析，则 与u 均v 为 内D的调和函数.
定义2.4 若在区域 D内， u与 v均为调和函数
且满足C-R条件
ux vy , uy vx 则称 u 为 v的共轭调和函数
定理2.4 设 ux, y在区域 D内为调和函数，则
z0
)
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f在(z)点 处z 0连续.
同高数一样，称函数 f (z) 的改变量 w的线性部 分 f (z0 )z为函数 f (z在) 点 z处0 的微分，记作 dw 或 zz0 df(z) z，z0 即
2.1 复变函数的导数
定义2.1 设函数 w f z定义在区域 D
内，z0 D ，（z0 z） D ，若极限
lim f z0 z f z0
z0
z
存在，则称此极限为函数 f z在点 z0处的导数，
记作 f z0 或
df ，即
dz zz0
f
z0
df dz
z z0
lim
z0
f
z0
解析函数
【证明】设 f (z) zn ，故
f (z z) f (z) (z z)n zn
z[nzn1 n(n 1) zn2z (z)n1] 2
lim f (z z) f (z) nzn1
z 0
z
例 2.1.2 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性.
【解】由
f (z z) f (z)
即 ux v y，显然在复平面处处不满足C-R条件，故 原函数在复平面处处不可导。 说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不 可导是方便的．但当满足C-R条件时，函数就一定可 导吗？
例2.1.4 讨论函数w f (z) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足.
1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件
即已知一个函数可导，得出其必须满足的条件.
设w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内可导，则
由函数可导的定义，使用直角坐标，考察沿两个不同的方
向 z 0 ，得到的极限值应该相等.
注意到：
f (z z) f (z) z
u(x x, y y) iv (x x, y y) [u(x, y) iv (x, y x iy
其中 令 由上式得
lim (z) 0
z 0
f (z z) f (z) u i v ,
f (z) a i b, (z) 1 i 2
u i v (a ib)(x i y) (1 i 2)(x i y) (ax by 1x 2y) i(bx ay 2x 1y)
iz z
由于沿 e方向和沿 er 方向的导数应该相等，比较可 得极坐标形式的柯西－黎曼条件 (2.1.10)。
解析函数
求函数的奇点
求函数的奇点，方法有：
第二章 解析函数
(1) f (z) 的不连续点为函数的奇点；
(2) f (z) = u + iv ， u ，v不可微的点为函数的奇点；
(3) f (z) 的不可导的点为函数的奇点；
(4) 不满足C-R条件的点为函数的奇点；
(5) 不满足解析定义的点为函数的奇点.
0
函数f (z) 在z0可导
函数f (z) 在z0连续
3.求导法则
第二章 解析函数
复变函数的求导法则完全类似于实变函数的求导法则. 如果f (z)和g(z)在区域D内可导，则： (1) ( f (z) g(z))' f '(z) g'(z)
(2) [ f (z)g(z)]' f '(z)g(z) f (z)g'(z)
vx 2cx dy , vy dx 2 y
由C-R方程： ux
v
，
y
uy
vx
2x ay dx 2y
ax 2by (2cx dy) a 2 , b 1, c 1, d 2
所以当 a 2 , b 1, c 1, d 2 时， f (z)在复平面内处处解析.
第二章 解析函数
第二章 解析函数
解析函数是复变函数研究的主要对象. 介绍复变函数导数概念和求导法则. 重点介绍解析函数的概念及判别方法. 介绍一些常用的初等函数及其解析性. 第一节 解析函数的概念
本章内容 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数
第二章 解析函数
第一节 解析函数
• 一．复变函数的导数和微分 • 二．解析函数的概念
则f (z) 在D内为常数.
§1.4 解析函数
（3）不定积分法。
例1：已知解析函数 f ( z ) 的实部 u( x, y) x2 y 2，
求其虚部和该解析函数。 解：
2u 2 2 x
u 2 2 y
2
u是一调和函数
曲线积分法
u 2x x 由C-R条件 u 2 y y
1 所以除z 0外，w 在复平面上处处 z 解析，z 0是它的奇点 .
定理1 若在区域D内，f ( z )、g ( z )解析，则
其和、差、 积、商（使分母为零的 点除外）仍解析.
定理 2.
h g ( z )在D内解析，w f (h )在G内 解析， 又对D内的每一点Z，g ( z )对应 的h值在G内， w f [ g ( z )]在D内解 则 析.
2
则称
u x, y 为B上的调和函数，方程
u u 2 0 2 x y
2 2
u u 2 0 2 x y
2
（记为
u 0
）称为拉普拉斯方程。
性质2：若 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在B上解析， 则u、v均为B上的调和函数，称为共轭调和函数， 即
所以：v
1
2
sin 2 c
整个函数可表示为： 1 1 f ( z ) 2 cos 2 i 2 sin 2 c 1 i 2 1 2 e ic 2 ic z
v 2y x
v 2x y
v v dv dx dy 2 ydx 2 xdy x y
v dv
v
0, y
x, y
解析函数
2、复变复值函数的导数与微分
定 义 3 ： 设 复 变 函 数 w f (z) 在 区 域 E 内 有 定 义 ，
z0, z0 z E ，如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
结论：所有多项式函数在整个复平面内是解析的，任何 一个有理分式函数 P(z) 在不含分母为零的点的区域内是解析
Q(z)
函数。
2.孤立奇点
定义 5：若函数 f (z) 在 z0 处不解析，但在 z0 的任一邻域内
都有 f (z) 的解析点，则 z0 称为 f (z) 的奇点。
若函数 f (z) 在点 z0 处不解析，而在 z0 的某一去心邻域内
t 0
t
t
即： z(t0 ) x(t0 ) iy(t0 ) ，
（B）实变复值函数可导必连续。连续不一定可导。
定义 2：如果实变复值函数 z(t) 在区间 I 处每 z(t) x(t) iy(t)。 注 1、四则运算由定义 2 推。
2) f (z) 2x3 i3y3 ，这个函数只在直线 2x 3y 0 上可
导，从而在 z 平面上处处不解析。
例 7：设函数 f (z) my3 nx2 y i(x3 lxy2 ) 。
问常数 m, n,l 取何值时， f (z) 在复平面内处处解析? 当 m 1,n l 3 时，此函数在复平面内处处解析。
即 (z2 ) 2z, 类似可得(zn ) nzn1.
注:a.定义中 z 0 方式是任意的。 b.连续函数不一定可导；但是容易证明：可导必连续。 在复变函数中，处处连续又处处不可导的函数几乎随手 可得，如 f (z) z ，而在实变函数中，要造一个这种函数却不 是一件容易的事情。 例 2：讨论函数 f (z) | z |2 和 f (x) | x |2 的可导性。可得 f (z) | z |2 只在 z0 0 处可导，而在其它点处都不可导。f (x) | x |2 处处可导。 可以证明： f (z) 可导与可微是等价的。
解析函数的理解
解析函数的理解我的理解是解析函数就是一个函数对自变量，也就是取得值在x 轴或者Y轴上面的函数。
这里所说的x轴和Y轴分别指的是对应于所取的自变量，只与自变量自身的一种特定关系的参照物。
1、解析函数都有一个基本性质，即当我们用解析函数解析式表示一个给定的函数时，一般情况下在左边自变量的对应值，会是符合我们要求的解析式中x轴和Y轴的一个函数值。
所以可以使用解析式解答问题。
不需要特别提示的就是y=f(x)， f(x)就是y=f(x)，如果f(x)，f(-x)， f(0)， f(2)……其实f(x)=y。
2、我们再来看解析式x=f(x)在自变量上也可以写成很多种形式，例如： y=f(x)+c。
从自变量角度来说就是把自变量写成含有已知值f的形式。
当然了，只有这些解析式才能用于解析函数，那么，我们把上面的解析式记住之后呢，就会发现，原来解析式不但可以把自变量直接表示出来，还可以通过f(x)，也就是解析式得到自变量的单调区间。
从而也就有了不同的解析函数之间的关系。
2、任意两个解析函数相乘，都是先对应的两个函数值进行相乘。
如果他们有共同点，即都符合x， y满足的关系。
我们称为这两个解析式相乘等于零。
如果没有共同点，或者说有差异，就要看乘积是否在零点上，有无意义。
如果在零点上，则是我们所熟知的二次函数，因为二次函数的图像可以简化为一条直线，与y=f(x)相乘为零，所以二次函数相乘等于零。
如果不在零点上，又是什么情况呢？这就要看， f(x)、 g(x)分别是两个函数在x轴的分界点，有意义的，这两个函数相乘等于零；没有意义，这两个函数相乘等于零。
3、利用对应法则。
对应法则的基本思想是：在求自变量值时，通常把一个实际问题（或函数）的自变量按照某种条件换算成与它有对应关系的另一个实际问题（或函数）的自变量，并对两个实际问题（或函数）求导，利用对应法则求得实际问题（或函数）的解析式。
在指数上有几个实用的解析函数，包括e^x， e^y， f^x， f^y，f^{-x}， g^x， g^y，它们分别对应x=0， x=y=1， y=x=-1， x=-y=-1，y=x=-1， y=0。
(解析函数)
实事上,函数在一点可导, 不一定在该点处解析.
函数在一点解析, 则在该点及该点的某个邻域一定可导. 练习： 试证 f (z) ex (cos y i sin y) 在复平面上解析，且求 f '(z)
2v y 2
0
调和函数指如果某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续
偏导数且满足拉普拉斯方程 2H 0 则称H(x,y)为
区域B上的调和函数.
4
以上说明u(x,y)和v(x,y)都满足二维的拉普拉斯方程,即都是 调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特别
称之为共轭调和函数
( x,0)
(x,y)
v 2 ydx 2xdy 2 ydx 2xdy C
y
(0,0)
( x,0)
(x,y)
( x, y)
•• 2xdy C 2xy C C为积分常数
(0,0)
o
x
(x,0)
7
(2)凑全微分法 由上已知
dv=2ydx+2xdy 很容易凑成全微分形式d(2xy),则
dv=d(2xy) 此时显然有v=2xy+C
实质上也是曲线积分法,在容易凑微分的时候很方便.
(3)不定积分法 上边算出
v 2x, ••v 2 y
y
x
第一式对y积分,x看做参数,可得
v 2xdy (x) 2xy (x) 其中(x)为x的任意函数,再
对x求导 v 2 y (x) 由柯西-黎曼条件知道 (x) 0
§1.4 解 析 函 数 上一节我们学习了复数的导数, 导出柯西-黎曼方程,本节我们
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0
解析函数的实部或者虚部。
• 平面静电场
如果将解析函数的实部u(x,y)看作某平面静电场的电势，那么v(x,y)=C2就代 表该静电场的电力线族，因为静电场的等势线族u(x,y)=C1与电力线族也 是处处相互正交的，所以称该解析函数为该平面静电场的复势。
例：考虑解析函数f ( z ) z 2 x 2 y 2 i 2 xy, 它对应什么样的平面静电场的复势？
2
sin
2
d
2
2 d cos
2
d( 2 x c
cos
2
)
2
c
cos c
2 i 2 sin
1 2
x2 y 2 c
f ( z ) u iv
1 2
2 cos
2
2 (cos i sin ) c 2z c
例题：已知u＝2( x 1) y,f (2) i, 求解析函数
u u v u v u 解： =2y, 2( x 1),由C-R条件, ＝ 2 y, ＝－ 2(1 x) x y y x x y v v dv dx dy 2(1 x)dx 2 ydy d (2 x x 2 y 2 ) x y 积分得:v( x, y ) 2 x x 2 y 2 C f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) 2( x 1) y i (2 x x 2 y 2 C ) i ( x iy ) 2 2i ( x iy ) iC iz 2 2iz iC f (0) iC i, C 1 f ( z ) iz 2 2iz i
• W=1/Z=(x-iy)/(x2+y2) • 1/Z的实部为u=x/(x2+y2)
• 1/Z的虚部为v=-y/(x2+y2)
• 则u=c1为电场的等势线，v=c2为电场的
流线；是相互正交的两族曲线。下图中 最后给出的黄色十字显示了两族曲线的 正交性。
函数w＝Z2
• W= Z2 =(x2-y2)+i2xy • Z2的实部为u= x2-y2 • Z2的虚部为v=2xy • 描述两相互垂直的无穷大带电导体平面的 静电场。这里u=c1为电场的等势线， v=c2为电场的流线。图中最后给出的黄色
• 3解析函数的性质
(1)若f ( z) u iv在区域B上解析，则u( x, y) C1 , v( x, y) C2 (C1、C2是常数)是B上的两组正交曲线簇。 ˆx e ˆy , u表示u的梯度，是曲线u ( x, y ) C1 证： e x y
的法向矢量.v是曲线v( x, y ) C2的法向矢量 u u v v u v u v ˆ ˆ ˆ ˆ u v ( ex ey )( ex ey ) 0 x y x y x x y y
2
1 2sin 2
2
v cos
(1 cos ) 2 sin
1 sin , 2 2 cos
2
1 v 1 (2 ) 2 2 sin 2 2
v 1 2 cos 2 2
• 若某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续偏导数，且满足拉普
拉斯方程 2 H 0 ，则称H(x,y)为区域B上的调和函数。 • （2）若函数f (z)= u +i v在区域B上解析，则 u , v 均为B上的 调和函数。
证：第二章将证明,解析函数具有任意阶微商 u,v的各阶偏导数存在且连续 由于f (z )=u +iv在区域B上解析，满足C-R条件 u v 2u 2 v ＝ ，对x求导： 2 ＝ x y x xy 2u 2u 2 0, 即 u0 2 2 2 2 u v u v x y ＝－ , 对y求导： 2 ＝y x y xy 2v 2v 同理： 2 2 0, 即 2 v 0 x y u ( x, y ), v( x, y )都是B上的调和函数。 又称共轭调和函数。
2 2 2 = 2 2 x y
在物理学中，许多平面场（稳定温度场，静电场，稳定电流场） 都满足拉普拉斯方程。通过高斯定理可以推导得到静电场方程： E , E 0 E V
0
V 为电势函数
V
0
2V （泊松方程） 如果在静电场的某一区域没有电荷，＝0，则 2V 0 或 （拉普拉斯方程） 2V 2V 2 0, 所以可将某个平面静电场的电势看作 2 x y
作出u x 2 y 2 常数（实线，电力线）， v= 2 xy 常数（虚线，等势线族）的图像, 可见，相互正交。 表示以实轴和虚轴为截口的两块互相垂直的 很大的带电导体平面的静电场。
解析函数实部与虚部 的物理意义
• 将显示几种常见的解析函
数的等势线与流线的图像 以及二者的正交性
W=1/Z
u u v u v u 解： =3x 2 -3y 2 , 6 xy,由C-R条件, ＝ 3x 2 -3y 2 , ＝－ 6 xy x y y x x y v (3x 2 -3y 2 )dy ( x) 3x 2 y y 3 ( x ) v u 6 xy '( x) － 6 xy, '( x) 0, ( x) C , x y v 3x 2 y y 3 C 故得解析函数f ( z ) u iv x 3 -3xy 2 i (3x 2 y y 3 C ) ( x iy )3 iC＝z 3 iC
知识点回顾
复变函数的概念 区域的概念 复变函数可导的定义 ez ,sin z, cos z, shz, chz, ln z几个初等函数定义式 sin( x+iy ) = sinxchy +icosxshy sh( x+iy ) = shxcosy +ichxsiny C R条件
• 几个初等函数定义式
• 4由于解析函数的实部与虚部通过C-R条件相联系，只要知
道解析函数的实部（或虚部），就能求出相应的虚部（或实 部）
例题：已知u＝x3 -3xy 2 ,求v u 2 2 u 解： =3x -3y , 6 xy x y v u u 2 2 v 由C-R条件, ＝ 3x -3y , ＝－ 6 xy y x x y v v dv dx dy 6 xydx (3x 2 -3y 2 )dy d (3x 2 y y 3 ) x y
e z e x iy e x eiy e x (cos y i sin y ) 1 iz iz sin z (e e ) 2i 1 iz iz cos z (e e ) 2 1 z z shz (e e ) 2 1 z z chz (e e ) 2 ln z ln(| z | eiArgz ) ln | z | iArgz ln | z | i ( 2k ) z s e s ln z ( s为复数)
2
2
由极坐标下的C-R方程： u 1 v 1 cos , 2 2 u v 1 cos d 2 2
2
sin
2
u u du d d 2 cos d 2 2 u 2 cos
积分，得：v( x, y ) 3 x 2 y y 3 C 解析函数f ( z ) u iv x 3 -3xy 2 i (3x 2 y y 3 ) iC ( x iy )3 iC＝z 3 iC 凑全微分显式法
v u ＝ ，对y积分来求（不定积分法）： y x v u v u u v dy ( x) dy ( x), dy '( x) － y x x x x y v 由上式求得 ( x)，代入v dy ( x)，可得v. y 例题：已知u＝x3 -3xy 2 ,求v 已知u求v, 可由关系
例题：已知解析函数f ( z )的虚部v( x, y) x x 2 y 2 ， 求实部u(x, y )和这个解析函数f ( z )
v v 解：求 , 比较麻烦，凡是看见有类似x 2 y 2的式子最好采用极坐标 x y x cos , y sin , x 2 y 2 2 , cos2 x2 y 2
1.4解析函数
• 重点：解析函数的概念、由解析函数的实部求虚部，或由虚
部求实部。 • 难点：解析函数的性质，解析函数的求解 • 掌握：由解析函数的实部求虚部，或由虚部求实部的方法
• 1.解析：若函数f ( z )在点z0 及其邻域上处处可导，则称f ( z )
• • • • •
在点z0 解析。 2.解析函数：若f ( z )在区域B上每一点都解析，则称f ( z )是 区域B上的解析函数。 理解：解析的前提是可导 若函数在某点解析，则必在该点可导，反过来则不一定成立。 若函数在某一区域B上解析，则函数在区域B上处处可导 在区域上可导与解析是等价的。
十字显示了两族曲线的正交性。
3 W=Z
• W =Z3 =（x3-3xy2）+i(3x2y-y3)
• Z3实部为u= x3-3xy2
• Z3虚部为v= 3x2y-y3 • 描述相互交成60°角并交于同一轴的三个无
穷大带电导体平面的静电场的等电位线和电 力线。这里u=c1为电场的等势线， v=c2为电 场的流线。图中最后给出的黄色十字显示了 两族曲线的正交性。