2020北京师大附中初二(下)期中数学含答案
2020-2021学年度(北师大版)八年级数学下册期中考试试卷(含答案)
八年级数学下册期中考试试卷满分：150分考试用时：120分钟范围：第一章《三角形的证明》～第三章《图形的平移和旋转》班级姓名得分卷Ⅰ一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45.0分。
在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上）1.如图，在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)，则空白部分表示的草地面积是()A. 70m2B. 60m2C. 48m2D. 18m22.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.3.以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是()A. a=9，b=40，c=41B. a=b=5，c=5√2C. a:b:c=3:4:5D. a=11，b=12，c=154.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线．若AB=13，AD=12，则BC的长为()A. 5B. 10C. 20D. 245.如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD=5cm，DE=5cm，∠ACD=30°，则∠DCE=()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6.不等式组{x−1>0,5−x≥1的整数解共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.下列说法不一定成立的是()A. 若a>b，则a+c>b+cB. 若a+c>b+c，则a>bC. 若a>b，则ac2>bc2D. 若ac2>bc2，则a>b8.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 平行四边形D. 圆9.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是()A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°10.在如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有()A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组11.已知关于x的不等式组{2x−a<1,x−2b>3的解集为−1<x<1，则(a+1)(b−1)的值为()A. 6B. −6C. 3D. −312.如图所示的仪器中，OD=OE，CD=CE.小州把这个仪器往直线l上一放，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是()A. 到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等C. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等13.如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等边三角形，AB⊥x轴，AB=4√3，点C的坐标为(2,0).P为OB边上的一个动点，则PA+PC的最小值为()A. √13B. 2√13C. 4√13D. 1214.在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是()①这次比赛的全程是500米②乙队先到达终点③比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快④乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟⑤在1.8分钟时，乙队追上了甲队A. ①③④B. ①②⑤C. ①②④D. ①②③④⑤15. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点M 在CD 的边上，且DM =1，△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A. 3B. 2√3C. √13D. √15 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16. 根据平移的知识可得图中的封闭图形的周长(图中所有的角都是直角)为______．17. 已知x −y =3，若y <1，则x 的取值范围是 ．18. 如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离ℎ=6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v =0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 秒．19. 当k 时，代数式23(k −1)的值不小于代数式1−5k−16的值．20. 如图，线段AB 和CD 关于点O 中心对称．若∠B =40°，则∠D 的度数为 ．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）21. （8分）(1)解不等式0.2x 0.3−6−7x 3≤1(2) 解不等式组{12x >13x x+43>3x−72−122. （8分）如图，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一条直线上，连接BE ．(1)求证：AD=BE；(2)若∠CAE=15°，AD=5，求AB的长．23.（10分）如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F.将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．(1)若∠B=50°，求∠DAF的度数；(2)若∠E=∠CAD，求证：AD=CD．24.（12分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图①中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′;(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．25.（12分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．(1)求每千克苹果和每千克梨的售价；(2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？26.（14分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF=2CD．27.（16分）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．(1)求证：∠OMP=∠OPN；(2)当OP=2时，点M关于点H的对称点为Q，连接QP．①用量角器和直尺以图1中OP的长为2，画出一个尽可能准确的图形。
2020-2021学年北京市首都师大附中八年级(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京市首都师大附中八年级（下）期中数学试卷1.勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”.中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家()A. 赵爽B. 祖冲之C. 刘徽D. 杨辉2.一次函数y=2x+1的图象沿y轴向上平移3个单位，所得图象的函数解析式为()A. y=2x−4B. y=2x+4C. y=2x−5D. y=2x+73.解一元二次方程x2+4x−1=0，配方正确的是()A. (x+2)2=3B. (x−2)2=3C. (x+2)2=5D. (x−2)2=54.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是()A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. △ABO≌△ADO5.如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+3的图象交于点P(1,2)，则关于不等式x+b>kx+3的解集是()A. x>0B. x>1C. x<1D. x<06.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 47.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数．得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如表信息：平均数中位数众数m67则下列选项正确的是()A. 可能会有学生投中了8次B. 五个数据之和的最大值可能为30C. 五个数据之和的最小值可能为20D. 平均数m一定满足4.2≤m≤5.88.中考体育篮球运球考试中，测试场地长20米，宽7米，起点线后5米处开始设置10根标志杆，每排设置两根，各排标志杆底座中心点之间相距1米，距两侧边线3米，假设某学生按照图1路线进行单向运球，运球行进过程中，学生与测试老师的距离y与运球时间x之间的图象如图2所示，那么测试老师可能站在图1中的位置为()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D9.函数y=√4x−2中，自变量x的取值范围是______．10.已知m是方程x2−3x−2020=0的根，则代数式1+3m−m2的值为______ ．11.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=−2x+1的图象经过P1(π,y1)、P2(√2,y2)两点，则y1______ y2.(填“>”“<”或“=”)12.已知A(0,2)，B(3,1)，在x轴找一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为______ ．13.如图，等边△DEC在正方形ABCD内，连接EA、EB，则∠AEB的度数是______．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，使∠DAC=∠BAC，E为BD的中点.若∠ABC=60°，则∠ACE=______ ．15.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(4,8)，将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______ ．16.一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话.某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人.外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人.”另一个成员李四说：“张三是老实人.”据此可判断李四是______ (填“老实人”或“骗子”)．17.计算：2−2+√2(√2−1)−(π−2021)0−√1．1618.解方程：3x(x−1)=2x−2．19.已知：一次函数图象如图：(1)求一次函数的解析式；(2)若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP=2，求点P的坐标．20.关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0．(1)若方程有两个相等的实数根，请比较a、c的大小，并说明理由；(2)若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根．21.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若AC=12，AB=16，求菱形ADCF的面积．22.人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普査等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．a.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)的频数分布直方图(数据分成6组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x≤12)：b.人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9c.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)、出生率(单位：‰)、死亡率(单位：‰)的散点图：d.如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：0～14岁人口比例15～59岁人口比例60岁以上人口比例第二次人口普查40.4%54.1% 5.5%第五次人口普查22.89%66.78%10.33%第六次人口普查16.6%70.14%13.26%e.世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高>50‰，最低<20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．根据以上信息，回答下列问题：(1)2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第______位．(2)人口增长率=人口出生率−人口死亡率，我国大陆(不含港澳台)地区中人口在2018年出现负增长的地区有______个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为______千万人(保留小数点后一位)．(3)下列说法中合理的是______．①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．23.如果方程x2+px+q=0满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有遮掩的一元二次方程为x2+px+q=0同族方程，并规定：满足G=P2q.例如x2−7x+12=0有正整数解3和4，所以x2−7x+12=0属于同族方程，所以G=(−7)212=4912．(1)如果同族方程x2+px+q=0中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G=4；(2)如果同族方程x2+px+q=0中的实数q满足如下条件：①q为一个两位正整数，q=10x+y(1≤x≤y≤9,x，y为自然数)；②q交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为54，那么我们称这样为同族方程中和谐方程，求所有和谐方程中的G的最小值．24.已知，将Rt△DAE水平向右平移AD的长度得到Rt△CBF(其中点C与点D对应，点B与点A对应，点F与点E对应)，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM．(1)根据题意补全图形，并证明MB=ME；(2)①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；②用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系(直接写出即可)．25.对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线y=kx+b使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l，记所有的点到l的距离的最小值为d1，约定：d1越大，分类直线l的分类效果越好，某学校“青春绿”的7位同学在2020年期间网购文具的费用x(单位：百元)和网购图书的费用y(单位：百元)的情况如图所示，现将P1，P2，P3和P4归为第Ⅰ组点，将Q1，Q2和Q3归为第Ⅱ组点，在上述约定下，定义两组点的分类效果最好的分类直线叫做“成达线”．(1)直线l1：x=2.5与直线l2：y=3x−5的分类效果更好的是______ ；(2)小明同学的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第______ 组点位于“成达线”的同侧；(3)如果从第Ⅰ组点中去掉点P1，第Ⅱ组点保持不变，则此时“成达线”的解析式为______ ；(4)这两组点的“成达线”的解析式为______ ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：图中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．故选：A．在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”．本题考查勾股定理，记住“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过．2.【答案】B【解析】解：原直线的k=2，b=1；向上平移3个单位长度得到了新直线，那么新直线的k=2，b=1+3=4．∴新直线的解析式为y=2x+4．故选：B．注意平移时k的值不变，只有b发生变化．本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后k值不变．3.【答案】C【解析】解：∵x2+4x−1=0，∴x2+4x+4=5，∴(x+2)2=5，故选：C．根据一元二次方程的配方法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB，故A、B、C正确，故选：D．利用排除法解决问题即可，只要证明A、B、C正确即可．本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质解决问题，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：当x>1时，x+b>kx+3，即不等式x+b>kx+3的解集为x>1．故选：B．观察函数图象得到当x>1时，函数y1=x+b的图象都在y2=kx+3的图象上方，所以关于x的不等式x+b>kx+3的解集为x>1．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y= ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．6.【答案】C【解析】解：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，AD2=12+32=10，BC2= 52=25，CD2=12+32=10，BD2=12+22=5，∴AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，故选：C．先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【解析】解：∵中位数是6，唯一众数是7，∴最大的三个数的和是：6+7+7=20，∵这五个数据的平均数是m，∴另外2个数的和是5m−20，∴不可能会有学生投中了8次；五个数据之和的最大值可能为20+5+4=29，不可能为30；五个数据之和的最小值可能为20+0+1=21，不可能为20；∵29÷5=5.8，21÷5=4.2，∴平均数m一定满足4.2≤m≤5.8．故选：D．根据题意可得最大的三个数的和是6+7+7=20，再根据这五个数据的平均数是m，求出另外2个数的和为5m−20，据此即可求解．此题考查了平均数、中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．8.【答案】B【解析】解：根据图2得：学生与测试老师的距离先快速减小，然后短时间缓慢减小，然后再快速减小，又短时间缓慢增大，然后再快速减到最小，又开始快速增大，再减小，而且开始的时候与测试老师的距离大于快结束的时候，由此可得测试老师可能站在图1中的位置为点B．故选：B．根据图2可得学生与测试老师的距离的变化情况，即可作出判断．本题考查了动点问题的函数图象，利用观察学生与测试老师之间距离的变化关系得出函数的增减性是解题关键．9.【答案】x≥12【解析】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的有意义的条件：被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得4x−2≥0，，解得：x≥12．故答案为x≥1210.【答案】−2019【解析】解：∵m是方程x2−3x−2020=0的根，∴m2−3m−2020=0，∴m2−3m=2020，∴1+3m−m2=1−(m2−3m)=1−2020=−2019．故答案为：−2019．根据m是方程x2−3x−2020=0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出代数式的值．11.【答案】<【解析】解：∵一次函数y=−2x+1中k=−2<0，∴y随x的增大而减小，又∵π>√2，∴y1<y2．故答案为：<．由k=−2<0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合π>√2，即可得出y1<y2．本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．12.【答案】(2,0)【解析】解：作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B 交x 轴于P ，则P 即为所求点，如图：∵A(0,2)，A 关于x 轴的对称点A′，∴A′(0,−2)，设直线A′B 的解析式为y =kx +b ，把A′(0,−2)，B(3,1)代入得，则{−2=b 1=3k +b， 解得{k =1b =−2， ∴直线A′B 的解析式为：y =x −2，当y =0时，x =2，∴点P 的坐标为(2,0)．故答案为：(2,0)．“将军饮马”问题：作A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B 交x 轴于P ，则P 即为所求点，求出A′坐标和直线A′B 解析式，即可得到P 坐标．本题考查线段和的最小值，解题的关键是熟悉“将军饮马问题”模型：作一个点的对称点，连接对称点和另一个点，连线与对称轴交点即为所求点．13.【答案】150°【解析】解：由题意可知：AD =CD =DE =CE =CB ，∴∠EDC =60°，∠ADE =30°，∴∠AED =∠BEC =75°，∴∠AEB =360°−2∠AED −∠DEC =150°，故答案为：150°根据正方形的性质以及等边三角形的性质即可求出答案．本题考查正方形的性质，解题的关键是熟练运用正方形的性质，本题属于基础题型． 14.【答案】30°【解析】解：延长BC、AD交于F，在△ABC和△AFC中{∠BAC=∠FAC AC=AC∠ACB=∠ACF，∴△ABC≌△AFC(ASA)，∴BC=FC，∴C为BF的中点，∵E为BD的中点，∴CE为△BDF的中位线，∴CE//AF，∴∠ACE=∠CAF，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∴∠ACE=∠CAF=∠BAC=30°，故答案为：30°．延长BC、AD交于F，通过全等证明C是BF的中点，然后利用中位线的性质即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质，作出正确的辅助线是解题的关键．15.【答案】(−125,24 5)【解析】解：如图，过D作DF⊥x轴于F，∵点B的坐标为(4,8)，∴AO=4，AB=8，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=4，设OE =x ，那么CE =8−x ，DE =x ，∴在Rt △DCE 中，CE 2=DE 2+CD 2，∴(8−x)2=x 2+42，∴x =3，又DF ⊥AF ，∴DF//EO ，∴△AEO∽△ADF ，而AD =AB =8，∴AE =CE =8−3=5， ∴AE AD =EO DF =AO AF ， 即58=3DF =4AF ，∴DF =245，AF =325， ∴OF =325−4=125，∴D 的坐标为(−125,245). 故答案是：(−125,245).过D 作DF ⊥x 轴于F ，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE ，然后利用全等三角形的性质得到OE =DE ，OA =CD =4，设OE =x ，那么CE =8−x ，DE =x ，利用勾股定理即可求出OE 的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF ，而AD =AB =8，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了D 的坐标．此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．16.【答案】骗子【解析】解：因为圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人，所以可知：老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数，而张三说有45人是奇数，这说明张三说了假话，张三是骗子，而李四却说张三是老实人，也说了假话，所以李四也是骗子．故答案为骗子．此题抓住题干中“每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”找出总人数，进行推理．本题主要考查了奇数与偶数，解答此类题的关键是：先找出题中的突破口，进而得出甲是骗子，进而得出结论．17.【答案】解：原式=14+2−√2−1−14=1−√2．【解析】直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：3x(x −1)−2(x −1)=0(x −1)(3x −2)=0∴x 1=1，x 2=23．【解析】把右边的项移到左边，用提公因式法进行因式分解求出方程的根．本题考查的是用因式分解法解方程，根据题目的结构特点，用提公因式法因式分解求出方程的根．19.【答案】解：(1)设一次函数解析式为y =kx +b ，把(−2,3)、(2,−1)分别代入得{−2k +b =32k +b =−1，解得{k =−1b =1， 所以一次函数解析式为y =−x +1；(2)当y =0时，−x +1=0，解得x =1，则A(1,0)，设P(t,−t +1)，因为S △OAP =2，所以12×1×|−t +1|=2，解得t =−3或t =5，所以P 点坐标为(−3,4)或(5,−4)．【解析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；(2)先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A 点坐标，设P(t,−t +1)，根据三角形面积公式得到12×1×|−t +1|=2，然后解绝对值方程求出t 即可得到P 点坐标． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．20.【答案】解：(1)根据题意得，a≠0且△=4a2−4ac=0，∴4a(a−c)=0，∴a=c；(2)把x=0代入原方程得出c=0，∴方程为ax2+2ax=0，∴ax(x+2)=0，∴该方程的另一个根为−2．【解析】(1)根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到a≠0且△=4a2−4ac=0，然后得到a=c；(2)把x=0代入原方程得出c=0，再将c=0代入ax2+2ax+c=0，解方程即可求出方程的另一根．本题考查了根的判别式△=b2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．21.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF//BC，∴∠AFE=∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵{∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEB AE=DE，∴△AEF≌△DEB(AAS)，∴AF=DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=CD=12BC，∴四边形ADCF是菱形；(2)解：设AF到CD的距离为h，∵AF//BC，AF=BD=CD，∠BAC=90°，∴S菱形ADCF =CD⋅ℎ=12BC⋅ℎ=S△ABC=12AB⋅AC=12×12×16=96．【解析】(1)先证明△AEF≌△DEB(AAS)，得AF=DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD=CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；(3)先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积=直角三角形ABC的面积，即可解答．本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积，解决本题的关键是掌握以上基础知识．22.【答案】6 2 3.8①②【解析】解：(1)∵人口为0≤x<2千万人的有5的地区，又∵人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9，北京在第一位，∴我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第6位．故答案为6．(2)由散点图可知：在2018年出现负增长的地区有2个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为3.8千万人，故答案为2，3.8．(3)①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的，正确．②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力，正确．故答案为①②．(1)观察统计图结合已知条件即可判断．(2)观察散点图可得结论．(3)根据题意①②说法都是合理的．本题考查频数分布直方图，统计表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.【答案】(1)证明：∵同族方程x2+px+q=0中有两个相同的解，∴b 2−4ac =0，∴p 2−4q =0，∴p 2=4q ，∵G =P 2q ， ∴G =4q q =4；(2)根据题得10y +x −(10x +y)=54，∴9y −9x =54，∴y −x =6，∵1⩽x ⩽y ⩽9，∴{x =3y =9，{x =2y =8，{x =1y =7， ∴q =39或28或17，∴可得三个方程x 2+px +39=0，x 2+px +28=0，x 2+px +17=0， 由和谐方程定义可得x 2+px +39=0的解为x =1或39；x =3或13，此时p =−40或−16；方程x 2+px +28=0的解为x =1或x =28；x =2或x =14；x =4或x =7，此时p =−29或−16或−11；方程x 2+px +17=0的解为x =1或17，此时p =−18；则和谐方程x 2+px +39=0中G 的最小值为(−16)239=25639； 方程x 2+px +28=0中G 的最小值为(−11)228=12128； 方程x 2+px +17=0中G 的值为(−18)217=32417； ∵32417>25639>12128，∴G 的最小值为12128．【解析】(1)先根据判别式得出p 2=4q ，代入G =P 2q ，即可得出结论；(2)先判断出y −x =6，进而求出q 的值，再分情况求出每个方程的解，即可得出结论． 此题是一元二次方程的整数解，理解新定义，理解和应用新定义是解本题的关键． 24.【答案】解：(1)如图所示，∵四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，∴∠ABD=45°，∵EM⊥BD，∴△BEM是等腰直角三角形，∴MB=ME．(2)①结论：FC=√2AM．理由：如图所示，连接CM、FM，∵△BEM是等腰直角三角形，∴MB=ME，∠ABM=∠BEM=45°，∴∠AEM=∠FBM=135°，又∵AE=FB，∴△AEM≌△FBM(SAS)，∴AM=FM，∵AE=BF，∴EF=BC=AB，∴△MEF≌△MBC(SAS)，∴∠EMF=∠BMC，FM=MC，∴∠FMC=90°，∴△FCM是等腰直角三角形，∴FC=√2MF=√2AM，即√2AM=FC．②结论：DM2+BM2=2AM2，理由：如图，连接DE，∵AE=BF，∴AE+BE=BF+BE=EF，又∵DC//AB且DC=AB，∴DC=EF，DC//EF，∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE=CF，∵CF=√2MF，MF=AM，∴DE=√2AM，又BM=EM，∠DME=90°，∴DM2+EM2=DE2，则DM2+BM2=2AM2．【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质证明即可．(2)①结论：FC=√2AM.证明△FCM是等腰直角三角形即可．②结论：DM2+BM2=2AM2，利用勾股定理证明即可．本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】l2：y=3x−5Ⅰy=x y=x【解析】解：(1)由图可知：P1(1.5,2)，P2(1,3)，P3(2,3)，P4(2,4)，Q1(3,1)，Q2(3,2)，Q3(4,3)，当l1：x=2.5为分类直线时，d1=0.5，>0.5，当l2：y=3x−5为分类直线时，d2=√105∴l2：y=3x−5分类效果更好；(2)由题意可知，x=y=300，则小明两项网购花费所对应的点(3,3)与第一组点位置于“成达线”的同侧；(3)去掉P1后2k−3+b=3k−2+b，∴k=1，P2，P3，P4与Q1，Q2，Q3关于y=x对称，∴此时“成达线”为y=x；(4)当y=x时，两组点到y=x的距离最小，∴两组点的“成达线”为y=x．故答案为：(1)l2：y=3x−5；(2)Ⅰ；(3)y=x；(4)y=x．(1)根据题意算出距离最小值比较一下即可得出；(2)算出小明两项花费对应的点即可；(3)去掉P1后P2，P3，P4与Q1，Q2，Q3关于y=x对称，即可得出此时的“成达线”的解析式；(4)当y=x时，两组点到y=x的距离最小，可得两组点的“成达线”为y=x．本题考查一次函数的图象和性质与新定义结合综合题，关键是对新定义的理解和运用．。
北京师大附中下学期初中八年级期中考试数学试卷(附答案解析)
北京下学期初中八年级期中考试数学试卷本试卷Ⅰ卷有三道大题，Ⅱ卷有两道大题；考试时长120分钟，满分100＋20分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A.326=÷B. 2)2(2-=-C. 632)32(2=⨯=D.532=+2. 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A. x y 3=B. 13=xyC. xy 11+= D. 21-=x y 3. 下列条件中，不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A. ∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D B. AB ∥CD ，AB ＝CD C. AB ＝CD ，AD ∥BCD. AB ∥CD ，AD ∥BC4. 下列三角形中不是．．直角三角形的是（ ） A. 三个内角之比为5：6：1 B. 三边长为5，12，13C. 三边长之比为1.5：2：3D. 其中一边上的中线等于这一边的一半 5. 如图，在数轴上点A 表示的实数是（ ）A. 1B.2C.3D.56. 反比例函数xy 2-=的图象上有两点),(),,(2211y x y x A ，若021<<x x 则（ ） A. 21y y <B. 12y y <C. 21y y =D. 无法确定7. 如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，∠EDA ＝35°，则∠C 等于（ ）A. 125°B. 105°C. 65°D. 55° 8. 反比例函数xky =与)0(1≠+-=k kx y 在同一坐标系的图象可能为（ ）9. 如图，反比例函数xky =的图象经过点A （4，1），当4<x 时，y 的取值范围是（ ）A. 1<yB. 1>yC. 10<<yD. 10><y y 或10. 如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（ ）A. )0,24(B. )0,24(-C. )0,8(-D. )8,0(-二、填空题（本大题共8小题，第11—16题每题2分，第17—18每题3分，共18分） 11. 函数x x y --+=32中，自变量x 的取值范围是__________。
2020最新八年级下册期中数学试卷及答案北师大版
八年级（下）期中数学试卷A卷（共100分）一、选择题：在每题所给出的四个选项中，只有一项符合题意.把所选项前的字母代号填在答案栏中.1．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+92．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或173．若将分式中的a与b的值都扩大为原来的10倍，则这个分式的值将（）A．扩大为原来的10倍B．分式的值不变C．缩小为原来的D．缩小为原来的4．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a=0 B．a=1 C．a≠﹣1 D．a≠05．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B 的度数是（）A．70°B．65° C．60° D．55°6．分式的值为0时，x的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣27．分解因式a3﹣a的结果是（）A．a（a2﹣1）B．a（a﹣1）2C．a（a+1）（a﹣1） D．（a2+a）（a﹣1）8．计算的结果为（）A．B．C．﹣1 D．29．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30° C．35° D．40°10．某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（）A． B． C．D．二、填空题11．若式子有意义，则实数x的取值范围是．12．分解因式：x2﹣4= ．13．化简： = ．14．若a+b=6，ab=7，则a2b+ab2的值是．15．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC．若∠B=20°，则∠C=°．三、解答题（第16题每小题18分，共18分）16．（1）分解因式：ax2+2ax﹣3a（2）分解因式：（3x+2）（﹣x6+3x5）+（3x+2）（﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）（3）（+）÷，其中x=2．四、解方程与解不等式组（第17题每小题12分，18题8分，共20分）17．解方程：（1）+=（2）=+1．18．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．五、解答题（共17分）19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．20．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？B卷（共50分）一．填空题21．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=．22．已知x、y为实数，且方程为（x2+y2）（x2﹣2+y2）=15，则x2+y2= ．23．已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab=c2+2ac，则△ABC的形状是．24．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．二．解答题（共30分）26．观察下列各式：，，，，，…（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含x（x表示正整数）的等式表示出来．（2）请利用上述规律计算：．（x为正整数）（3）请利用上述规律，解方程：．27．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC 于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）28．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析A卷（共100分）一、选择题：在每题所给出的四个选项中，只有一项符合题意.把所选项前的字母代号填在答案栏中.1．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．2．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．3．若将分式中的a与b的值都扩大为原来的10倍，则这个分式的值将（）A．扩大为原来的10倍B．分式的值不变C．缩小为原来的D．缩小为原来的【考点】分式的基本性质．【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案．【解答】解：将分式中的a与b的值都扩大为原来的10倍，则这个分式的值将缩小为原来的，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变．4．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a=0 B．a=1 C．a≠﹣1 D．a≠0【考点】分式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】根据分式有意义的条件进行解答．【解答】解：∵分式有意义，∴a+1≠0，∴a≠﹣1．故选C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，要从以下两个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；5．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B 的度数是（）A．70°B．65° C．60° D．55°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．6．分式的值为0时，x的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】分式的值为零的条件．【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣1=0，x+2≠0，解可得答案．【解答】解：由题意得：x﹣1=0，x+2≠0，解得：x=1，故选：B．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件：是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．7．分解因式a3﹣a的结果是（）A．a（a2﹣1）B．a（a﹣1）2C．a（a+1）（a﹣1） D．（a2+a）（a﹣1）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：a3﹣a=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1），故选：C．【点评】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．8．计算的结果为（）A．B． C．﹣1 D．2【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】分母相同的分式，分母不变，分子相加减．【解答】解：﹣===﹣1故选：C．【点评】本题主要考查同分母的分式的运算规律：分母不变，分子相加减．9．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在A．25°B．30° C．35° D．40°【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．故选D．【点评】本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键．10．某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（）A．B． C． D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意可得等量关系：（原计划20天生产的零件个数+10个）÷实际每天生产的零件个数=15天，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意得：=15，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．二、填空题11．若式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．【解答】解：依题意得x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．12．分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．13．化简： = 1 ．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式=故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．14．若a+b=6，ab=7，则a2b+ab2的值是42 ．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接利用提取公因式分解因式进而求出答案．【解答】解：∵a+b=6，ab=7，∴a2b+ab2=ab（a+b）=7×6=42．故答案为：42．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．15．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC．若∠B=20°，则∠C= 20 °．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】在△BAE和△CAD中由∠A=∠A，AD=AE，AB=AC证明△BAE≌△CAD，于是得到∠B=∠C，结合题干条件即可求出∠C度数．【解答】解：在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠B=∠C，∵∠B=20°，∴∠C=20°，故答案为20．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握两三角形全等的判定定理，此题难度一般．三、解答题（第16题每小题18分，共18分）16．（1）分解因式：ax2+2ax﹣3a（2）分解因式：（3x+2）（﹣x6+3x5）+（3x+2）（﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）（3）（+）÷，其中x=2．【考点】分式的化简求值；提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分组分解法；因式分解-十字相乘法等．【分析】（1）先提取公因式，再利用因式分解法把原式进行因式分解即可；（2）直接提取公因式即可；（3）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：（1）原式=ax2+2ax﹣3a=a（x2+2x﹣3）=a（x+3）（x﹣1）；（2）原式=（3x+2）（﹣x6+3x5﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）=（3x+2）（﹣3x6+4x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）=﹣（3x6﹣4x5）（3x+2﹣x﹣1）=﹣（3x6﹣4x5）（2x+1）；（3）原式=[+]÷=•=，当x=2时，原式==2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．四、解方程与解不等式组（第17题每小题12分，18题8分，共20分）17．解方程：（1）+=（2）=+1．【考点】解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x+2（x﹣2）=x+2，去括号得：x+2x﹣4=x+2，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解；（2）方程两边同乘（2x+1），得4=x+2x+1，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．【解答】（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．五、解答题（共17分）19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转中心旋转180°的对应点A1、B1的位置，然后与点（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为点P．【解答】解：（1）△A1B1C如图所示，△A2B2C2如图所示；（2）如图，旋转中心坐标为（1.5，3）；（3）如图所示，点P的坐标为（﹣2，0）．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；（2）设甲队再单独施工a天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，由题意，得，解得：x=20．经检验，x=20是原方程的解，∴x+10=30（天）答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；（2）设甲队再单独施工a天，由题意，得，解得：a≥3．答：甲队至少再单独施工3天．【点评】本题是一道工程问题的运用，考查了工作时间×工作效率=工作总量的运用，列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是学生容易忽略的地方．B卷（共50分）一．填空题21．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=55°．【考点】旋转的性质．【分析】根据题意得出∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，即可得出∠A的度数．【解答】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∠A′DC=90°，∴∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，则∠A=∠A′=55°．故答案为：55°．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出∠A′的度数是解题关键．22．已知x、y为实数，且方程为（x2+y2）（x2﹣2+y2）=15，则x2+y2= 5 ．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．【解答】解：设x2+y2=u，原方程等价于u2﹣2u﹣15=0．解得u=5，u=﹣3（不符合题意，舍），x2+y2=5，【点评】本题考查了换元法解一元一次方程，利用x 2+y 2=u 得出关于u 的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数．23．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，b 2+2ab=c 2+2ac ，则△ABC 的形状是 等腰三角形 ． 【考点】因式分解的应用．【分析】把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出b=c ，才能说明这个三角形是等腰三角形．【解答】解：b 2+2ab=c 2+2ac 可变为b 2﹣c 2=2ac ﹣2ab ，（b+c ）（b ﹣c ）=2a （c ﹣b ），因为a ，b ，c 为△ABC 的三条边长，所以b ，c 的关系要么是b ＞c ，要么b ＜c ，当b ＞c 时，b ﹣c ＞0，c ﹣b ＜0，不合题意；当b ＜c 时，b ﹣c ＜0，c ﹣b ＞0，不合题意．那么只有一种可能b=c ．所以此三角形是等腰三角形，故答案为：等腰三角形．【点评】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，分类讨论思想的应用是解题关键．24．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是 12° ．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP 7P 8，∠AP 8P 7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设∠A=x，∵AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，∴∠A=∠AP 2P 1=∠AP 13P 14=x ，∴∠P 2P 1P 3=∠P 13P 14P 12=2x ，∴∠P 3P 2P 4=∠P 12P 13P 11=3x ，…，∠P 7P 6P 8=∠P 8P 9P 7=7x ，∴∠AP 7P 8=7x ，∠AP 8P 7=7x ，在△AP 7P 8中，∠A+∠AP 7P 8+∠AP 8P 7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．25．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点D 是BC 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 1+ ．【考点】轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【专题】几何动点问题．【分析】连接CE ，交AD 于M ，根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和D 重合时，PE+BP 的值最小，即可此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE ，先求出BC 和BE 长，代入求出即可．【解答】解：连接CE ，交AD 于M ，∵沿AD 折叠C 和E 重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE ，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+，∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．二．解答题（共30分）26．观察下列各式：，，，，，…（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含x（x表示正整数）的等式表示出来=﹣．（2）请利用上述规律计算：．（x为正整数）（3）请利用上述规律，解方程：．【考点】解分式方程；分式的加减法．【专题】规律型．【分析】（1）观察一系列等式得出一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简所求式子计算即可得到结果；（3）利用得出的规律化简方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）=﹣；（2）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣，=1﹣，=；（3）方程变形得：﹣+﹣+﹣=，整理得：﹣=，去分母得：x+1﹣x+2=x﹣2，解得：x=5，检验：将x=5代入原方程得：左边=右边，∴原方程的根为x=5．【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，弄清题中的规律是解本题的关键．27．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC 于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可；（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；（3）设OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBC﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，∴∠3=∠4，∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，在△BPO和△PDE中∴△BPO≌△PDE（AAS）；（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，∵BP平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4，在△ABP和△CPD中∴△ABP≌△CPD（AAS），∴AP=CD．（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，则AP=2x+x=3x，由△OBP≌△EPD，得BO=PE，PE=2x，CE=2x﹣x=x，∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，即AP=3x，CD=x，∴CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力．28．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是①②③④（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：等腰直角三角形．【考点】四边形综合题．【专题】压轴题．【分析】操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；【解答】解：●操作发现：∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD=CE，AD=AE，∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，∴AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=AC．∵AB=AC，∴AF=AG=AB，故①正确；∵M是BC的中点，∴BM=CM．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，即∠DBM=∠ECM．在△DBM和△ECM中，∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD=ME．故②正确；连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，∴整个图形是轴对称图形，故③正确．∵AB=AC，BM=CM，∴AM⊥BC，∴∠AMB=∠AMC=90°，∵∠ADB=90°，∴四边形ADBM四点共圆，∴∠ADM=∠ABM，∵∠AHD=∠BHM，∴∠DAB=∠DMB，故④正确，故答案为：①②③④●数学思考：MD=ME，MD⊥ME．理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，∴AF=AB，AG=AC．∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，∴DF⊥AB，DF=AB，EG⊥AC，EG=AC，∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MG∥AB，∴四边形AFMG是平行四边形，∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，∴∠DFM=∠MGE．在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS），∴DM=ME，∠FDM=∠GME．∵MG∥AB，∴∠GMH=∠BHM．∵∠BHM=90°+∠FDM，∴∠BHM=90°+∠GME，∵∠BHM=∠DME+∠GME，∴∠DME+∠GME=90°+∠GME，即∠DME=90°，∴MD⊥ME．∴DM=ME，MD⊥ME；●类比探究：∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，∴MF∥AC，MF=AC，MG∥AB，MG=AB，∴四边形MFAG是平行四边形，∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°∴MF=EG，DF=MG，∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE，即∠DFM=∠MGE．在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS），∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．∵MG∥AB，∴∠MHD=∠BFD=90°，∴∠HMD+∠MDF=90°，∴∠HMD+∠EMG=90°，即∠DME=90°，∴△DME为等腰直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．。
北京师大附中2020-2021学年下学期初中八年级期中考试数学试卷
1．D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
【详解】
解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
三、解答题
17．在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形．
已知：两条线段 、 ．
求作：菱形 ，使得其对角线分别等于 和 ．
小军的作法如下：
如图
（ ）画一条线段 等于 ．
（ ）分别以 、 为圆心，大于 的长为半径，在线段 的上下各作两条弧，两弧相交于 、 两点．
（ ）作直线 交 于 点．
22．阅读下列材料：
五个边长为 的小正方形如图①放置，要求用两条线段将它们分割成三部分后把它们拼接成一个新的正方形．
小辰是这样思考的：图①中五个边长为 的小正方形的面积的和为 ，拼接后的正方形的面积也应该是 ，故而拼接后的正方形的边长为 ，因此想到了依据勾股定理，构造长为 的线段，即： ，因此想到了两直角边分别为 和 的直角三角形的斜边正好是 ，如图②，进而拼接成了一个便长为 的正方形．
∴AB=EF=AF=BE，
∴以上结论中只有C不成立．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换，解答本题的关键是图形折叠的性质和平行四边形的性质，此题难度一般，是一道比较不错的试题．
4．B
【解析】
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．
(2)若一次函数y=ax+2a和其交换函数与x轴所围图形的面积为3，求a的值．
2020-2021学年北京大学附属中学八年级下学期期中数学试卷
2020-2021学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（）A．22°B．68°C．96°D．112°4．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．56．已知＝1﹣2a，那么a的取值范围是（）A．a＞B．a＜C．a≥D．a≤7．在某时段有50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（）A．60B．50C．40D．158．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（）A．1种B．2种C．4种D．无数种9．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳10．一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．4二、填空题（每小题2分，共20分）11．（2分）若根式有意义，则实数x的取值范围为．12．（2分）在实数范围内分解因式a2﹣6＝．13．（2分）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是．14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC 的度数为．15．（2分）当x＝时，代数式+1取最小值为．16．（2分）已知平行四边形ABCD的一个内角平分线把一边分为3cm，5cm两部分，这个平行四边形的周长是．17．（2分）如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是．18．（2分）北大附中实验学校科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．已知某个作品各项得分如表所示（各项得分均按百分制计）：按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩（百分制），则该作品的最后得分是．项目专业得分展示得分支持得分成绩（分）969896 19．（2分）如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是．20．（2分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．：S△BAC＝；（1）S△BDC（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN ⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为．三、解答题（第21-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题7分，第27、28题每题8分，共50分）21．（5分）计算：（π﹣1）0++﹣2．22．（5分）已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣6的值．23．（5分）下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB③连接AD，CD所以四边形ABCD即为所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是矩形（）（填推理的依据）24．（6分）在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F．求证：四边形BEDF是平行四边形．25．（6分）我校小李同学对北大附中初中三个年级的学生年龄构成很感兴趣，整理数据并绘制如图所示不完整的统计图．依据信息解答下列问题．（1）求样本容量；（2）直接写出样本数据的众数、中位数和平均数；（3）已知北大附中实验学校一共有1920名学生，请估计全校年龄在14岁及以上的学生大约有多少人．26．（7分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．27．（8分）已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，①如图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是．②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．（2）在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，①根据描述在图3中补全图形．②若AB＝4，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长．28．（8分）对于平面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上一点，B为图形G2上一点，如果线段AB的长度有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”，此时线段AB的长度记为m（G1，G2）；如果线段AB的长度有最大值，称图形G1和图形G2存在“最长距离”，此时线段AB的长度记为M（G1，G2）．例如：线段EF两端点坐标为E（1，3），F（3，1），线段KH两端点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．（1）线段AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距离”？如果存在，请直接写出m（AD，BC）和M（AD，BC）；如果不存在，请说明理由．（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于AD的直线l与四边形ABCD没有公共点，且m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值范围．（3）已知四边形QRST，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．现将四边形ABCD绕点O旋转，旋转后的图形记为A′B'C′D′，记m*表示m（A'B′C′D′，QRST）的最小值，M*表示M（A′B'C′D′，QRST）的最大值，直接写出M*+m*的值．2020-2021学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．【解答】解：A.的被开方数3a不含有能开得尽方的数或因式，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；B.＝2，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项B不符合题意；C.＝，被开方数中含有分母，因此选项C不符合题意；D.＝，被开方数的分母含有二次根式，因此选项D不符合题意；故选：A．2．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求解即可．【解答】解：设另一条对角线长为xcm，则×6•x＝12，解得x＝4．故选：B．3．△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（）A．22°B．68°C．96°D．112°【分析】根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质即可求得∠AED＝∠C＝68°．【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵∠C＝68°，∴∠AED＝∠C＝68°．故选：B．4．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．5【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解．【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．6．已知＝1﹣2a，那么a的取值范围是（）A．a＞B．a＜C．a≥D．a≤【分析】根据二次函数的性质列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵＝1﹣2a，∴2a﹣1≤0，解得a≤．故选：D．7．在某时段有50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（）A．60B．50C．40D．15【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：由条形图知，车速40km/h的车辆有15辆，为最多，所以众数为40，故选：C．8．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（）A．1种B．2种C．4种D．无数种【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知这样的折纸方法有无数种．【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种．故选：D．9．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好【解答】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．故选：D．10．一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．4【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD＝＝2（米），∵∠MBN＝90°，MN＝4米，EM＝NE，∴BE＝MN＝2（米），∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2米为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为（2﹣2）米．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2﹣2确定最小值），故选：B．二、填空题（每小题2分，共20分）11．（2分）若根式有意义，则实数x的取值范围为x≥8．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵根式有意义，∴x﹣8≥0，解得x≥8．故答案为：x≥8．12．（2分）在实数范围内分解因式a2﹣6＝（a+）（a﹣）．【分析】因为a2﹣6＝a2﹣（）2，符合平方差公式的特点，所以利用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣6＝（a+）（a﹣）．故答案为：（a+）（a﹣）．13．（2分）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形．【分析】把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题．【解答】解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC 的度数为52°．【分析】根据直角三角形的性质得到DC＝AD，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝AB＝AD，∴∠DCA＝∠A＝26°，∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝52°，故答案为：52°．15．（2分）当x＝2时，代数式+1取最小值为1．【分析】直接利用非负数的性质得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵代数式+1取最小值，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，故当x＝2时，代数式+1取最小值为：1．故答案为：2，1．16．（2分）已知平行四边形ABCD的一个内角平分线把一边分为3cm，5cm两部分，这个平行四边形的周长是22cm或26cm．【分析】根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE 为等腰三角形，可以求解．【解答】解：∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE为角平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴①当BE＝3cm，CE＝5cm，AB＝3cm，则周长为22cm；②当BE＝5cm时，CE＝3cm，AB＝5cm，则周长为26cm．故答案为：22cm或26cm．17．（2分）如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是两组对角分别相等的四边形是平行四边形．【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论．【解答】解：如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故答案为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．18．（2分）北大附中实验学校科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．已知某个作品各项得分如表所示（各项得分均按百分制计）：按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩（百分制），则该作品的最后得分是96.8分．项目专业得分展示得分支持得分成绩（分）969896【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．【解答】解：根据题意，该作品的最后得分是96×50%+98×40%+96×10%＝96.8（分），故答案为：96.8分．19．（2分）如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是①③④．【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE＝OF，HO＝GO，可证四边形EGFH是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG＝OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．20．（2分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．：S△BAC＝5：1；（1）S△BDC（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为．：S△BAC 【分析】（1）由题意得：AC＝1，AD＝6，CD＝5，由三角形面积公式得出S△ABD：S△BAC＝5：1即可；＝6：1，得出S△BDC（2）证出CE＝DE＝CD＝，由勾股定理求出BC＝＝，证明△CNE∽△BAC，得出＝，解得：CN＝，由矩形面积公式即可得出矩形BCNM的面积【解答】解：（1）由题意得：AC＝1，AD＝6，CD＝5，：S△BAC＝6：1，∴S△ABD：S△BAC＝5：1；∴S△BDC故答案为：5：1；（2）如图所示：∵点P为BD的中点，直线l∥BC，∴PE是△BCD的中位线，CE＝DE＝CD＝，∵四边形BCNM是矩形，∴∠BCN＝∠CNE＝90°，∴∠ACB+∠ECN＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，BC＝＝＝，∴∠ECN＝∠ABC，∴△CNE∽△BAC，∴＝，即＝，解得：CN＝，∴矩形BCNM的面积＝BC×CN＝×＝；故答案为：．三、解答题（第21-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题7分，第27、28题每题8分，共50分）21．（5分）计算：（π﹣1）0++﹣2．【分析】按照实数的运算法则依次计算；考查知识点：负指数幂、零指数幂、绝对值、二次根式的化简．【解答】解：原式＝1+2+（﹣5）﹣2＝3+3﹣5﹣2＝﹣2．22．（5分）已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣6的值．【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．【解答】解：x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣7当x＝时，原式＝＝5﹣7＝﹣2．23．（5分）下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB③连接AD，CD所以四边形ABCD即为所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝OC，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）（填推理的依据）【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．【解答】解：（1）如图，矩形ABCD即为所求．（2）：∵OA＝OC，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：OA＝OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．24．（6分）在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F．求证：四边形BEDF是平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质和角平分线定义即可证明四边形DEBF是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形．25．（6分）我校小李同学对北大附中初中三个年级的学生年龄构成很感兴趣，整理数据并绘制如图所示不完整的统计图．依据信息解答下列问题．（1）求样本容量；（2）直接写出样本数据的众数、中位数和平均数；（3）已知北大附中实验学校一共有1920名学生，请估计全校年龄在14岁及以上的学生大约有多少人．【分析】（1）根据15岁的人数和所占的百分比求出样本容量；（2）根据众数、中位数和平均数的定义分别进行解答即可；（3）用总人数乘以年龄在14岁及以上的学生所占的百分比即可．【解答】解：（1）样本容量是：16÷20%＝80；（2）14岁的人数有：80﹣4﹣35﹣16＝25（人），∵13岁的有35人，人数最多，∴众数是13岁；把这些数从小大排列，中位数是第40、41个数的平均数，则中位数是＝14（岁），平均数是：≈13.7（岁）．（3）1920×＝984（人），答：全校年龄在14岁及以上的学生大约有984人．26．（7分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【解答】（1）证明：∵CF＝BE，∴CF+EC＝BE+EC．即EF＝BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，∴AD∥EF且AD＝EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE＝8，∴AF＝DE＝8．∵AB＝6，BF＝10，∴AB2+AF2＝62+82＝100＝BF2．∴∠BAF＝90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积＝AB•AF＝BF•AE．∴AE＝＝＝．27．（8分）已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，①如图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是AP＝AQ．②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．（2）在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，①根据描述在图3中补全图形．②若AB＝4，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长．【分析】（1）①由菱形的性质得出BC＝CD，AB∥CD，证明AQ⊥BC，由菱形的面积公式可得出答案；②过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N．证明△AMQ≌△ANP（AAS），由全等三角形的性质可得出答案；（2）①按题意画出图形即可；②过点A作AH⊥CD于点H，由直角三角形的性质求出HN，DH的长，则可得出答案．【解答】解：（1）①AP＝AQ．∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B+∠QCD＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠QCD＝180°，∴∠APC+∠AQC＝180°，∵AP⊥CD，∴∠APC＝90°，∴∠AQC＝90°，∴AQ⊥BC，＝BC•AQ＝CD•AP，∵S菱形ABCD∴AP＝AQ；故答案为：AP＝AQ；②①中的结论仍然成立．证明：如图2中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N．∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，＝BC•AM＝CD•AN，∴S菱形ABCD∵BC＝CD，∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠C＝180°，∴∠AQC+∠APC＝180°，∵∠AQM+∠AQC＝180°，∴∠AQM＝∠APN，∴△AMQ≌△ANP（AAS），∴AP＝AQ．（2）①补全图形如下：②如图3，过点A作AH⊥CD于点H，∵∠ANC＝45°，∴∠NAH＝45°，∴AH＝HN，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝4，∴DH＝AD＝2，∴AH＝DH＝2，∴HN＝2，∴DN＝HN﹣DH＝2﹣2．28．（8分）对于平面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上一点，B为图形G2上一点，如果线段AB的长度有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”，此时线段AB的长度记为m（G1，G2）；如果线段AB的长度有最大值，称图形G1和图形G2存在“最长距离”，此时线段AB的长度记为M（G1，G2）．例如：线段EF两端点坐标为E（1，3），F（3，1），线段KH两端点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．（1）线段AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距离”？如果存在，请直接写出m（AD，BC）和M（AD，BC）；如果不存在，请说明理由．（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于AD的直线l与四边形ABCD没有公共点，且m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值范围．（3）已知四边形QRST，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．现将四边形ABCD绕点O旋转，旋转后的图形记为A′B'C′D′，记m*表示m（A'B′C′D′，QRST）的最小值，M*表示M（A′B'C′D′，QRST）的最大值，直接写出M*+m*的值．【分析】（1）AD，BC为平行线，最短距离为AD、BC间的垂线即BD．最长距离为垂点交错的两端点间距即AC．（2）无交点可得l∥BC，当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），由（1）知，m（AD，BC）＝，若m（l，BC）＝2m（l，AD），得t＝2．当l在BC右侧时，t＝﹣4，不超过最大值时，即可得取值范围．（3）M（O，ABCD）＝|OC|＝2，M（O，QRST）＝，m（O，QRST）＝，根据运算法则可得结果．【解答】解：（1）∵AD，BC为平行线，∴最短距离为AD、BC间的垂线即BD，即m（AD，BC）＝，最长距离为垂点交错的两端点间距即AC，即M（AD，BC）＝；（2）∵过P的直线l平行于AD，且与▱ABCD无交点，∴l∥BC，∴当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），m（l，ABCD）＝m（l，AD），由（1）知，m（AD，BC）＝，若m（l，BC）＝2m（l，AD），则m（l，AD）＝，此时t＝2，同理，当l在BC右侧时，t＝﹣4，∴不超过最大值时：0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）由题意知，M（O，ABCD）＝|OC|＝2，M（O，QRST）＝，m（O，QRST）＝，∴M*＝+2，m*＝﹣2，∴M*+m*＝10．。
2020-2021学年北京师大附属实验中学八年级(下)期中数学试卷
2020-2021学年北京师大附属实验中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列二次根式中，能与√2合并的是()A. √20B. √12C. √8D. √42.在平行四边形ABCD中，∠A=2∠B，则∠C的度数是()A. 60°B. 90°C. 120°D. 135°3.已知x=2是一元二次方程x2+mx−8=0的一个解，则m的值是()A. 2B. −2C. −4D. 2或−44.下列说法不正确的是()A. 矩形的对角线相等B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 菱形的对角线互相垂直5.如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是()A. √5−2B. −√5+1C. √5+1D.√5−16.菱形ABCD的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为()A. 30B. 20C. 24D. 487.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为()A. 1B. 2C. 3D. 48.已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x−3)2=4的根，则此三角形的周长为()A. 17B. 11C. 15D. 11或159.已知，如图长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为()A. 6B. 7.5C. 12D. 1510.如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有()A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处二、填空题（本大题共8小题，共18.0分）11.若√2x−1有意义，则x的取值范围是______．12.化简：(1)√18=______ ；(2)−√413=______ ．13.如图，▱ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长为______ ．14.若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．15.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长______．16.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,2)，则CE的长是______．17.对任意的两实数a，b，用min(a,b)表示其中较小的数，如min(2,−4)=−4，则方程x⋅min(2,4x−3)=x−1的解是______ ．18.在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：(1)在直线l上任取一点B；(2)以B为圆心，BA长为半径作弧，交直线l于点C；(3)分别以A、C为圆心，BA长为半径作弧，两弧相交于点D；(4)作直线AD．直线AD即为所求．小云作图的依据是______．三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）19.计算：(1)3√5+√20−√8+4√2；(2)√45÷√15×23√32．20.解下列方程(1)(x−5)2=9(2)x2−4x−1=0．21.已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，求证：BE//DF．22.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．23.在▱ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若点E为BC的中点，且BC=8，∠ABC=60°，求OC的长．24.请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小.小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3，在图2的基础上，设AA′与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D.若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值为______ ；(2)如图3，若AC=1，BD=2，CD=6，写出此时AP+BP的最小值______ ；(3)写出√(5m−3)2+1+√(5m−8)2+9的最小值为______ ．25.如图，已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．(1)求证：∠FAB=∠BCF；(2)作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．①依据题意补全图形；②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明．26.(1)用“=”、“>”、“<”填空：4+3______ 2√4×3，1+16______ 2√1×16，5+5______ 2√5×5．(2)由(1)中各式猜想m+n与2√mn(m≥0,n≥0)的大小，并说明理由．(3)请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃.如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要______ m.27.阅读、操作与探究：小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式(如4：6的最简形式为2：3)为两个连续自然数的比，具体操作如下：如图1，Rt△ABC中，BC，AC，AB的长分别为3，4，5，先以点B为圆心，线段BA的长为半径画弧，交CB的延长线于点D，再过D，A两点分别作AC，CD的平行线，交于点E.得到矩形ACDE，则矩形ACDE的邻边比为______ ．请仿照小亮的方法解决下列问题：(1)如图2，已知Rt△FGH中，GH：GF：FH=5：12：13，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；(需保留做图痕迹)(2)若已知直角三角形的三边比为(2n+1)：(2n2+2n)：(2n2+2n+1)(n为正整数)，则所画矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)的邻边比为______ ；(3)若小亮所画的矩形的邻边比为3：4，那么他所借助的直角三角形的三边比为______ ．28.在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N(M,N可以重合)使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)．①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______ ，最大值是______ ；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______ ；②在P1(32(2)如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于x轴，对角线的交点为点O，点D的坐标为(2,0).若点E(x,2)在第一象限，且点D与点E是正方形的一对平衡点，求x的取值范围；(3)已知点F(−2,0)，G(0,2)，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为a(a≤2).若线段FG上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的应用，注意：几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．先化成最简二次根式，再判断即可．【解答】解：A、√20=2√5，不能和√2合并，故本选项错误；B、√12=2√3，不能和√2合并，故本选项错误；C、√8=2√2，能和√2合并，故本选项正确；D、√4=2不能和√2合并，故本选项错误；故选：C．2.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，∴∠A+∠B=180°，把∠A=2∠B代入得：3∠B=180°，∴∠B=60°，∴∠C=120°故选C．根据平行四边形的性质得出BC//AD，根据平行线的性质推出∠A+∠B=180°，代入求出即可．本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A+∠B=180°是解此题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx−8=0的一个解，∴22+2m−8=0，∴m=2．故选A．根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．4.【答案】C【解析】解；矩形的对角线相等，故选项A不符合题意；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故选项B不符合题意；对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项C符合题意；菱形的对角线互相垂直，故选项D不符合题意；故选：C．利用矩形的性质，直角三角形的性质，正方形的判定，菱形的性质依次判断可求解．本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．5.【答案】D【解析】解：直角三角形斜边长为√12+22=√5，∴点M表示的数m为−1+√5．故选：D．本题可以通过勾股定理及数轴上的运算求解．本题考查数轴上点的运算及勾股定理，解题在直角三角形中利用勾股定理求解．6.【答案】C【解析】解：如图，当BD=6时，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，∵AB=5，∴AO=√AB2−BO2=4，∴AC=8，∴菱形的面积是：6×8÷2=24，故选：C．根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB=√AC2−BC2=√102−82=6，∵M是AD的中点，CD=3．∴OM=12故选C．8.【答案】C【解析】解：(x−3)2=4，x−3=±2，解得x1=5，x2=1．若x=5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6=15；若x=1时，6−4=2，不能构成三角形，则此三角形的周长是15．故选：C．求出方程的解得到原方程的解，即可能为三角形的第三边，然后利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．此题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的解．运用三角形的三边关系解决问题时常常把最长的边作为第三边，用剩下的两边相加与最长边比较大小来判断能否三角形．9.【答案】B【解析】解：设AE=x，则ED=BE=9−x，根据勾股定理可得，32+x2=(9−x)2，解得：x=4，由翻折性质可得，∠BEF=∠FED，∵AD//BC，∴∠FED=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF=5，×5×3=7.5．∴S△BFE=12故选：B．根据翻折的性质可得，BE=DE，设AE=x，则ED=BE=9−x，在直角△ABE中，根据勾股定理可得32+x2=(9−x)2，即可得到BE的长度，由翻折性质可得，∠BEF=∠FED，由矩形的性质可得∠FED=∠BFE，即可得出△BEF是等腰三角形，BE=BF，即可得出答案．本题主要考查了翻折的性质及矩形的性质，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．10.【答案】D【解析】解：由题意可得，CD=2，AB=√22+32=√13．∵以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，∴AB2+CD2=EF2或CD2+EF2=AB2，即13+4=EF2或4+EF2=13，解得EF=√17或3，F点的位置如图所示．故选：D．先利用勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足AB2+CD2=EF2或CD2+EF2=AB2，即为直角三角形，解出EF的长，进而得出点F的位置．本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．11.【答案】x≥12【解析】解：由题意，得2x−1≥0，解得x≥12，故答案为：x≥12．根据被开方数是非负数，可得答案．本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．12.【答案】√24−√393【解析】解：(1)√18=√8=2√2=√24；故答案为：√24；(2)−√413=−√133=−√393．故答案为：−√393．(1)直接利用二次根式的性质化简得出答案；(2)直接利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．13.【答案】14【解析】解：由题意得，OB+OC=12(AC+BD)=9，又∵AD=BC=5，∴△OBC的周长=9+5=14．故答案为：14．根据两对角线之和为18，可得出OB+OC的值，再由AD=BC，可得出△OBC的周长．此题考查了平行四边形的性质，解答此题需要掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等的性质，难度一般．14.【答案】2【解析】解：∵(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，∴m+2≠0，|m|=2，解得：m=2，故答案为：2．根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，|m|=2，求出即可．本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)．15.【答案】14和4【解析】解：(1)如图，锐角△ABC中，AC=13，AB=15，BC边上高AD=12，∵在Rt△ACD中AC=13，AD=12，∴CD2=AC2−AD2=132−122=25，∴CD=5，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2−AD2=152−122=81，∴CD=9，∴BC的长为BD+DC=9+5=14；(2)钝角△ABC中，AC=13，AB=15，BC边上高AD=12，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2−AD2=132−122=25，∴CD=5，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2−AD2=152−122=81，∴BD=9，∴BC的长为DB−BC=9−5=4．故答案为14或4．分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=BD−CD．本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．16.【答案】√5【解析】【分析】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．根据矩形的对角线相等，求出OD即可．【解答】解：如图，连结EC、OD．∵D(1,2)，∴OD=√12+22=√5，∵四边形OCDE是矩形，∴CE=OD=√5，故答案为√5．17.【答案】x=12【解析】解：①若2<4x−3，即x>5，则2x=x−1，解得x=−1不符合题意，舍去；4②若2≥4x−3，即x≤5，则x(4x−3)=x−1，4解得x=12；故答案为：x=12．分2<4x−3和2≥4x−3两种情况，列出关于x的方程，解之可得答案．本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程、一元二次方程，解题的关键是根据新定义列出关于x的方程．18.【答案】四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．【解析】解：由作法得BA=BC=AD=CD，所以四边形ABCD为菱形，所以AD//BC．故答案为四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．【分析】利用作法可判定四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质得到AD与l平行．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19.【答案】解：(1)原式=3√5+2√5−2√2+4√2=5√5+2√2；(2)原式=23√45×5×32=5√6．【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(2)根据二次根式的乘除法则运算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：(1)x−5=±3，∴x=8，x=2(2)x2−4x+4=4+1(x−2)2=5∴x=2±√5【解析】根据一元二次方程的解法即可求出答案本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．21.【答案】证明：∵AF=CE，∴AF−EF=CE−EF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE与△CDF中，{AE=CF∠BAE=∠DCF AB=CD，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴∠BEA=∠DFC，∴∠BEF=∠DFE，∴BE//DF．【解析】由AF=CE可得AE=CF，再结合平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF，从而得出∠BEA=∠DFC，于是得到BE//DF．此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，∵E是AD的中点，∴AE=OE=12AD，∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE//FG，∵OG//EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∴∠EFG=90°，∴四边形OEFG是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，∴OE=AE=12AD=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5，∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．【解析】(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=12AD，推出OE//FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=12AD=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴AF//BE，∴∠FAO=∠BEO，∵O为AE的中点，∴OA=OE，在△AOF和△EOB中，{∠FAO=∠BEO OA=OE∠AOF=∠EOB，∴△AOF≌△EOB(ASA)，∴四边形ABEF是平行四边形；∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，∵∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴BA=BE，∴四边形ABEF是菱形；(2)解：过O作OH⊥BC于H，如图所示：∵E为BC的中点，且BC=8，∴BE=CE=4，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，∴∠OBH=30°，∠BOE=90°，BE=2，∠EOH=∠OBH=90°−∠OEH=30°，∴OE=12OE=1，∴EH=12∴OH=√OE2−EH2=√22−12=√3，CH=EH+CE=5，∴OC=√OH2+CH2=√(√3)2+52=2√7．【解析】(1)证△AOF≌△EOB，得AF=BE，由AF//BE，则四边形ABEF是平行四边形，再证AB=BE，即可解决问题；BE=2，根据勾(2)过O作OH⊥BC于H，根据菱形的性质得到∠OBH=30°，∠BOE=90°，求得OE=12股定理即可得到结论．本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．24.【答案】3√23√5√41【解析】解：（1）∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，∴PA=√2，∴PA′=PA=√2，∵AA′∥BD，∴△A′PC∽△BPD，∴PB PA′=PDPC，∴PB √2=21，∴PB=2√2，∴AP+PB=√2+2√2=3√2；故答案为：3√2；（2）作A′E∥l，交BD的延长线于E，如图3，则四边形A′EDC是矩形，∴A′E=DC=6，DE=A′C=AC=1，∵BD=2，∴BD+AC=BD+DE=3，即BE=3，在Rt△A′BE中，A′B=√32+62=3√5，∴AP+BP=A′P+BP=A′B=3√5，故答案为：3√5；（3）如图3，设AC=5m-3，PC=1，则PA=√(5m−3)2+1；设BD=8-5m，PD=3，则PB=√(8−5m)2+9，∵DE=AC=5m-3，∴BE=BD+DE=5，A′E=CD=PC+PD=4，∴PA+PB=A′B=√A′E2+BE2=√42+52=√41，∴（√(5m−3)2+1）2+（√(8−5m)2+9）2=（√(5m−3)2+1）2+（√(5m−8)2+9）2=√41．故答案为：√41．（1）利用勾股定理求得PA，根据三角形相似对应边成比例求得PB，从而求得PA+PB；（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；（3）设AC=5m-3，PC=1，则PA=√(5m−3)2+12；设BD=8-5m，PD=3，则PB=√(8−5m)2+9，结合（2）即可求解．本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．25.【答案】(1)证明：∵CF⊥AE，∴∠EFC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE=90°，∴∠EFC=∠ABE，又∵∠AEB=∠CEF，∠AEB+∠FAB=90°，∠CEF+∠BCF=90°，∴∠FAB=∠BCF．(2)①如图：图形即为所求作．②解：结论：AF+BM=CF．理由：在CF上截取点N，使得CN=AF，连接BN．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB．在△AFB和△CNB中，{AF=CN∠FAB=∠NCB AB=CB，∴△AFB≌△CNB(SAS)，∴∠ABF=∠CBN，FB=NB，∴∠FBN=∠ABC=90°，∴△FBN是等腰直角三角形，∴∠BFN=45°．∵点B关于直线AE的对称点是点M，∴FM=FB，∵CF⊥AE，∠BFN=45°，∴∠BFE=45°，∴∠BFM=90°，∴∠BFM=∠FBN，∴FM//NB．∵FM=FB，FB=NB，∴FM=NB，∴四边形FMBN为平行四边形，∴BM=NF，∴AF+BM=CF．【解析】(1)根据等角的余角相等证明即可．(2)①根据要求画出图形即可．②结论：AF+BM=CF.在CF上截取点N，使得CN=AF，连接BN.证明△AFB≌△CNB(SAS)，推出∠ABF=∠CBN，FB=NB，再证明四边形FMBN为平行四边形，可得结论．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26.【答案】>>=40【解析】解：(1)∵4+3=7，2√4×3=4√3，∴72=49，(4√3)2=48，∵49>48，∴4+3>2√4×3；∵1+16=76>1，2√1×16=√63<1，∴1+16>2√1×16；∵5+5=10，2√5×5=10，∴5+5=2√5×5．故答案为：>，>，=．(2)m+n≥2√mn(m≥0,n≥0).理由如下：当m≥0，n≥0时，∵(√m−√n)2≥0，∴(√m)2−2√m⋅√n+(√n)2≥0，∴m−2√mn+n≥0，∴m+n≥2√mn．(3)设花圃的长为a米，宽为b米，则a>0，b>0，S=ab=200，根据(2)的结论可得：a+2b≥2√a⋅2b=2√2ab=2√2×200=2×20=40，∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．(1)分别进行计算，比较大小即可；(2)根据第(1)问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2√mn；比较大小，可以作差，m+n−2√mn，联想到完全平方公式，问题得证；(3)设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为(a+2b)米，利用第(2)问的公式即可求得最小值．本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．27.【答案】1：2 n：(n+1)24：7：25【解析】解：阅读、操作与探究：根据题意得：AC=4，CD=CB+BD=3+5=8，则矩形ACDE的邻边比为1：2；故答案为：1：2．(1)根据题意画出矩形，如图2所示，矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比为FG ：GN =12：(5+13)=12：18=2：3；(2)根据题意得：(2n 2+2n)：(2n +1+2n 2+2n +1)=2n(n +1)：2(n +1)2=n ：(n +1)． 故答案为：n ：(n +1)．(3)由题意：直角三角形的一条直角边为3，设斜边为x ，则另一条直角边为4−x ．∵32+(4−x)2=x 2，∴x =258，∴直角三角形的三边的比=3：(4−258)：258=24：7：25． 故答案为：24：7：25． 阅读、操作与探究：根据题意求出AC 与CD 的值，即可求出矩形ABDE 邻边之比；(1)根据题中的方法画出矩形FGNM ，求出矩形邻边之比即可；(2)归纳总结得到一般性规律，求出所画矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)的邻边比即可．(3)由题意：直角三角形的一条直角边为3，设斜边为x ，则另一条直角边为4−x.利用勾股定理求出x ，即可解决问题．此题属于四边形综合题，认真阅读题中画矩形的方法，弄清题中矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)邻边之比的规律是解本题的关键．28.【答案】3 √13 P 1【解析】解：(1)①由题意知：OA=3，OB=√22+32=√13，则d的最小值是3，最大值是√13；②如图1，过P1作P1N⊥AB于N，∵P1N=OA=3，∴根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点；故答案为：3，√13，P1；(2)如图2中，E1B=DB，E2B=D1D，且M，N均在正方形上，符合平衡点的定义，∴0<x≤4；(3)如图2，正方形ABCD1边长为2，F，G上任意两点关于AC是一对平衡点，且AC，BD的交点是O，则2−a2≤d(F)≤2+a2，2−√22a≤d(G)≤√2+√22a，∴2−a2≤a≤√2+√22a，∴a≥6√2−8，∴6√2−8≤a≤2．(1)①观察图象d的最小值是OA长，最大值是OB长，由勾股定理即可得出结果；②过P1作P1N⊥AB于N，可得出P1N=OA=3，根据平衡点的定义，即可得出点P1与点O是线段AB的一对平衡点；(2)如图2，可得E1B=DB，E2B=D1D，由平衡点的定义可求出x的范围；(3)如图2，正方形ABCD边长为2，F，G上任意两点关于AC是一对平衡点，且AC，BD的交点是O，根据平衡点的定义，可得2−a2≤d(F)≤2+a2，2−√22a≤d(G)≤√2+√22a，即可求出a的范围．本题属于四边形综合题，考查了点P与点Q是图形W的一对平衡点、正方形性质、点与点的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
2020年北师大八年级下册期中阶段数学试题有答案
八年级（下）期中数学试卷一、选择题1.已知a <a ，下列式子不成立的是（ ） A.a +1<a +1 B.3a <3aC.−12a >−12aD.如果a <0，那么a a <aa2.下列银行标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A.B.C.D.3.如图，a ，a 的坐标为(2, 0)，(0, 1)，若将线段aa 平移至a 1a 1，则a +a 的值为（ ）A.2B.3C.4D.54.西宁市天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法，若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元．某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ） A.至少20户 B.至多20户 C.至少21户 D.至多21户5.如图，在aa △aaa 中，∠a =90∘，∠aaa 的平分线aa 交aa 于点a ，aa =3，aa =10，则△aaa 的面积是（ ）A.10B.15C.20D.306.如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，aa 与地面的夹角为50∘，∠a =25∘，小贤同学将它绕点a 旋转一定角度，扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄aa 绕点a 转动的角度为（ ）A.75∘B.25∘C.115∘D.105∘7.如图，函数a =2a 和a =aa +4的图象相交于点a (a , 2)，则不等式2a <aa +4的解集为（ ）A.a >3B.a <1C.a >1D.a <38.已知△aaa 中，aa =aa ，∠aaa =90∘，直角∠aaa 的顶点a 是aa 中点，两边aa ，aa 分别交aa ，aa 于点a ，a ，给出以下结论： ①aa =aa ；②△aaa 和△aaa 可以分别看作由△aaa 和△aaa 绕点a 顺时针方向旋转90∘得到的； ③△aaa 是等腰直角三角形； ④a △aaa =2a 四边形aaaa ． 其中始终成立的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个 二、填空题9.命题“等腰三角形两腰上的高相等”是________命题（填“真”或“假”），写出它的逆命题________．10.如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转________次，每次旋转________度形成的．11.如图，在△aaa 中，aa =4，aa =6，∠a =60∘，将△aaa 沿射线aa 的方向平移2个单位后，得到△a′a′a′，连接a′a ，则△a′a′a 的周长为________．12.如图，等腰△aaa 中，aa =aa ，aa 的垂直平分线aa 交aa 于点a ，∠aaa =15∘，则∠a 的度数是________度．13.若不等式{a +a ≥01−2a >a −2无解，则实数a 的取值范围是________．14.如图，已知aa 平分∠aaa ，∠aaa =60∘，aa =2，aa // aa ，aa ⊥aa 于点a ，aa ⊥aa 于点a ．如果点a 是aa 的中点，则aa 的长是________．三、作图题15.已知：线段a ，直线a 及a 外一点a ．求作：aa △aaa ，使直角边aa ⊥a ，垂足为点a ，斜边aa =a ．四、解答题16.解下列不等式（组）(1)解不等式2a −13−5a +12≥1；(2)解不等式组{a −3(a −2)≤41−2a4<1−a．17.在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将△aaa 绕点a 逆时针旋转90∘，得到△a′a′a′；再将△a′a′a′，向右平移2个单位，得到△a ″a ″a ″；请你画出△a′a′a′和△a ″a ″a ″（不要求写画法）18.有10名合作伙伴承包了一块土地准备种植蔬菜，他们每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知每亩茄子平均可收入0.5万元，每亩辣椒平均可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种茄子？19.如图，已知∠a =∠a =90∘，点a 、a 在线段aa 上，aa 与aa 交于点a ，且aa =aa ，aa =aa ．求证：(1)aa =aa(2)若aa ⊥aa ，求证：aa 平分∠aaa ．20.百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，某市举行龙舟赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时，路程a （米）与时间a （分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：(1)最先达到终点的是________队，比另一对早________分钟到达；(2)在比赛过程中，乙队在第________分钟和第________分钟时两次加速；(3)求在什么时间范围内，甲队领先？(4)相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30a的时间范围是________．21.(1)如图1所示，在△aaa中，aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a．aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a，连接aa、aa，求证：△aaa的周长=aa；21.(2)如图1所示，在△aaa中，若aa=aa，∠aaa=120∘，aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a．aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a，连接aa、aa，试判断△aaa的形状，并证明你的结论．21.(3)如图2所示，在△aaa中，若∠a=45∘，aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a，aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a，连接aa、aa，若aa=3√2，aa=9，求aa的长．22.如图，在△aaa中，aa=aa=2，∠a=40∘，点a在线段aa上运动（a不与a、a重合），连接aa，作∠aaa=40∘，aa交线段aa于a．(1)点a从a向a运动时，∠aaa逐渐变________（填“大”或“小”）；设∠aaa=a∘，∠aaa=a∘，求a与a的函数关系式；(2)当aa的长度是多少时，△aaa≅△aaa，请说明理由；(3)在点a的运动过程中，△aaa的形状也在改变，当∠aaa等于多少度时，△aaa是等腰三角形？判断并说明理由．答案1. 【答案】D【解析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．【解答】解：a、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；a、不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；a 、不等式两边同时乘以−12，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意； a 、不等式两边同时乘以负数a ，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意． 故选a ．2. 【答案】C【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：a 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； a 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； a 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； a 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：a ． 3. 【答案】A【解析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由a 点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得a 点向上平移了1个单位， 由a 点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得a 点向右平移了1个单位， 由此得线段aa 的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位， 所以点a 、a 均按此规律平移，由此可得a =0+1=1，a =0+1=1， 故a +a =2． 故选：a ． 4. 【答案】C【解析】根据“a 户居民按1000元计算总费用>整体初装费+500a ”列不等式求解即可． 【解答】解：设这个小区的住户数为a 户． 则1000a >10000+500a ， 解得a >20． ∵a 是整数，∴这个小区的住户数至少21户． 故选a ．5. 【答案】B【解析】过a 作aa ⊥aa 于a ，根据角平分线性质求出aa =3，根据三角形的面积求出即可． 【解答】解：过a 作aa ⊥aa 于a ，∵∠a =90∘， ∴aa ⊥aa ，∵aa 平分∠aaa ， ∴aa =aa =3，∴△aaa 的面积是12×aa ×aa =12×10×3=15，故选a6. 【答案】D【解析】连结aa 并且延长至a ，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解． 【解答】解：如图：连结aa 并且延长至a ，因为∠aaa =180∘−∠aaa −∠aaa =105∘，即旋转角为105∘， 所以灰斗柄aa 绕点a 转动的角度为105∘．故选：a ． 7. 【答案】B【解析】观察图象，写出直线a =2a 在直线a =aa +4的下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵函数a =2a 的图象经过点a (a , 2)， ∴2a =2， 解得：a =1， ∴点a (1, 2)，当a <1时，2a <aa +4，即不等式2a <aa +4的解集为a <1． 故选a ．8. 【答案】B【解析】先利用△aaa 为等腰直角三角形得到∠a =∠a =45∘，再利用等腰三角形的性质得到aa ⊥aa ，aa 平分∠aaa ，aa =aa =aa ，于是可证明△aaa ≅△aaa ，所以aa =aa ，aa =aa ，于是可判定△aaa 为等腰直角三角形，aa =√2aa ，由于当aa ⊥aa 时，aa =√2aa ，所以aa 与aa 不一定相等；利用旋转的定义可对②进行判断；最后利用△aaa ≅△aaa 得到a △aaa =a △aaa ，所以a 四边形aaaa =a △aaa ，从而得到a △aaa =2a 四边形aaaa ． 【解答】解：∵aa =aa ，∠aaa =90∘， ∴△aaa 为等腰直角三角形， ∴∠a =∠a =45∘， ∵a 点为aa 的中点，∴aa ⊥aa ，aa 平分∠aaa ，aa =aa =aa ， ∵∠aaa =90∘，∴∠aaa =∠aaa ， 在△aaa 和△aaa 中 {∠a =∠aaa aa =aa ∠aaa =∠aaa ， ∴△aaa ≅△aaa ，∴aa =aa ，aa =aa ，∴△aaa 为等腰直角三角形，所以③正确； ∴aa =√2aa ，而当aa ⊥aa 时，aa =√2aa ， 所以①错误；∵aa =aa ，aa =aa ，∠aaa =∠aaa =90∘， ∴△aaa 绕点a 顺时针旋转90∘可得到△aaa ，同理可得△aaa 绕点a 顺时针旋转90∘可得到△aaa ， 所以②正确；∵△aaa ≅△aaa ， ∴a △aaa =a △aaa ，∴a 四边形aaaa =a △aaa +a △aaa =a △aaa +a △aaa =a △aaa ， ∴a △aaa =2a 四边形aaaa ． 所以④正确． 故选a9. 【答案】真,如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形． 【解析】正确的命题即为真命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：等腰三角形两腰上的高相等是真命题；等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．故答案为：真，如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形． 10. 【答案】7,45【解析】利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形和旋转次数与角度．【解答】解：如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转7次，每次旋转45度形成的，故答案为：7；45． 11. 【答案】12【解析】根据平移性质，判定△a′a′a 为��边三角形，然后求解． 【解答】解：由题意，得aa′=2， ∴a′a =aa −aa′=4．由平移性质，可知a′a′=aa =4，∠a′a′a =∠aaa =60∘， ∴a′a′=a′a ，且∠a′a′a =60∘， ∴△a′a′a 为等边三角形，∴△a′a′a 的周长=3a′a′=12． 故答案为：12． 12. 【答案】50【解析】由aa 的垂直平分线aa 交aa 于点a ，可得aa =aa ，即可证得∠aaa =∠a ，又由等腰△aaa 中，aa =aa ，可得∠aaa =180∘−∠a 2，继而可得：180∘−∠a2−∠a =15∘，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵aa 是aa 的垂直平分线， ∴aa =aa ， ∴∠aaa =∠a ，∵等腰△aaa 中，aa =aa ， ∴∠aaa =∠a =180∘−∠a2， ∴∠aaa =∠aaa −∠aaa =180∘−∠a2−∠a =15∘，解得：∠a =50∘．故答案为：50．13. 【答案】a ≤−1【解析】先把a 当作已知条件求出不等式的解集，再根据不等式组无解即可得出a 的取值范围．【解答】解：{a +a ≥01−2a >a −2，由①得，a ≥−a ，由②得，a <1，∵不等式组无解，∴−a ≥1，解得a ≤−1． 故答案为：a ≤−1． 14. 【答案】√3【解析】由aa 平分∠aaa ，∠aaa =60∘，aa =2，aa // aa ，易得△aaa 是等腰三角形，∠aaa =30∘，又由含30∘角的直角三角形的性质，即可求得aa 的值，继而求得aa 的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得aa 的长． 【解答】解：∵aa 平分∠aaa ，∠aaa =60∘， ∴∠aaa =∠aaa =30∘， ∵aa // aa ，∴∠aaa =∠aaa ， ∴∠aaa =∠aaa ， ∴aa =aa =2，∵∠aaa =∠aaa =60∘，aa ⊥aa ， ∴∠aaa =30∘，∴aa =12aa =1，∴aa =√aa 2−aa 2=√3， ∴aa =2aa =2√3，∵aa ⊥aa ，点a 是aa 的中点，∴aa =12aa =√3． 故答案为：√3． 15. 【答案】解：作法：①过a 作aa ⊥a ，垂足为a ，②以a 为圆心，以a 为半径画圆，交直线a 于a ， ③连接aa ，则△aaa 就是所求作的直角三角形；【解析】利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法过a 作a 的垂线aa ，再以a 为圆心，a 长为半径画弧，交a 于a ，即可得到aa △aaa ； 【解答】解：作法：①过a 作aa ⊥a ，垂足为a ，②以a 为圆心，以a 为半径画圆，交直线a 于a ， ③连接aa ，则△aaa 就是所求作的直角三角形；16. 【答案】解：(1)去分母得2(2a −1)−3(5a +1)≥6)， 去括号得4a −2−15a −3≥6， 移项得4a −15a ≥6+2+3， 系数−11a ≥11，系数化为1得a ≤−1．; (2){a −3(a −2)≤41−2a4<1−a ． 解不等式①得：a ≥1，解不等式②得：a <32，∴不等式组的解集为1≤a ≤32．【解析】(1)去分母，然后去括号、移项、合并，再把a 的系数化为1即可．; (2)先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【解答】解：(1)去分母得2(2a −1)−3(5a +1)≥6)， 去括号得4a −2−15a −3≥6， 移项得4a −15a ≥6+2+3， 系数−11a ≥11，系数化为1得a ≤−1．; (2){a −3(a −2)≤41−2a 4<1−a ．解不等式①得：a ≥1， 解不等式②得：a <32，∴不等式组的解集为1≤a ≤32．17. 【答案】解：如图，△a′a′a′和△a ″a ″a ″即为所求．【解析】现将点a 、a 绕点a 逆时针旋转90∘得到其对应点a′、a′，顺次连接可得△a′a′a′，再将△a′a′a′三顶点分别向右平移2个单位得到其对应点，顺次连接可得△a ″a ″a ″． 【解答】解：如图，△a′a′a′和△a ″a ″a ″即为所求．18. 【答案】解：安排a 人种茄子，依题意得：3a ⋅0.5+2(10−a )⋅0.8≥15.6， 解得：a ≤4．所以最多只能安排4人种茄子．【解析】设安排a 人种茄子，根据有10名合作伙伴，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知每亩茄子可收入0.5万元，每亩辣椒可收入0.8万元，若要使收入不低于15.6万元，可列不等式求解． 【解答】解：安排a 人种茄子，依题意得：3a ⋅0.5+2(10−a )⋅0.8≥15.6， 解得：a ≤4．所以最多只能安排4人种茄子．19. 【答案】证明：(1)∵aa =aa ，∴aa +aa =aa +aa ，即aa =aa ， ∵∠a =∠a =90∘，∴△aaa 与△aaa 都为直角三角形， 在aa △aaa 和aa △aaa 中， {aa =aa aa =aa ，∴aa △aaa ≅aa △aaa (aa )，∴aa =aa ；; (2)∵aa △aaa ≅aa △aaa （已证）， ∴∠aaa =∠aaa ， ∴aa =aa ， ∵aa ⊥aa ，∴aa 平分∠aaa ．【解析】(1)由于△aaa 与△aaa 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定和性质即可证明；; (2)先根据三角形全等的性质得出∠aaa =∠aaa ，再根据等腰三角形的性质得出结论． 【解答】证明：(1)∵aa =aa ，∴aa +aa =aa +aa ，即aa =aa ， ∵∠a =∠a =90∘，∴△aaa 与△aaa 都为直角三角形， 在aa △aaa 和aa △aaa 中， {aa =aa aa =aa ，∴aa △aaa ≅aa △aaa (aa )，∴aa =aa ；; (2)∵aa △aaa ≅aa △aaa （已证）， ∴∠aaa =∠aaa ， ∴aa =aa ，∵aa ⊥aa ，∴aa 平分∠aaa ．20. 【答案】乙,0.6; 1,3; (3)设甲队对应的函数解析式为a =aa ， 5a =800，得a =160，即甲队对应的函数解析式为a =160a ，当3≤a ≤4.4时，乙队对应的函数解析式为a =aa +a ， {3a +a =4504.4a +a =800，得{a =250a =−300， 即当3≤a ≤4.4时，乙队对应的函数解析式为a =250a −300，令250a −300<160a ，得a <103，即当0<a <103时，甲队领先；; 0<a ≤0.5或3≤a ≤103【解析】(1)根据函数图象可以直接得到谁先到达终点和早到多长时间；; (2)根据函数图象可以得到乙队在第几分钟开始加速；; (3)根据函数图象可以去的甲乙对应的函数解析式，从而可以得到在什么时间范围内，甲队领先；; (4)根据函数图象可以求得相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30a 的时间范围． 【解答】解：(1)由图象可得，最先达到终点的是乙队，比甲队早到：(5−4.4)=0.6分钟， ; (2)由图象可得，在比赛过程中，乙队在第1分钟和第3分钟时两次加速， ; (3)设甲队对应的函数解析式为a =aa ， 5a =800，得a =160，即甲队对应的函数解析式为a =160a ，当3≤a ≤4.4时，乙队对应的函数解析式为a =aa +a ， {3a +a =4504.4a +a =800，得{a =250a =−300， 即当3≤a ≤4.4时，乙队对应的函数解析式为a =250a −300， 令250a −300<160a ，得a <103，即当0<a <103时，甲队领先；; (4)当0<a <1时，设乙对应的函数解析式为a =aa ， a =100，即当0<a <1时，乙对应的函数解析式为a =100a ， 160a −100a ≤30， 解得，a ≤0.5，即当0<a ≤0.5时，甲乙两队之间的距离不超过30a ，当1<a <3时，设乙队对应的函数解析式为a =aa +a ， {a +a =1003a +a =450，得{a =175a =−75， 当1<a <3时，乙队对应的函数解析式为a =175a −75， 160a −(175a −75)≤30，得a ≥3（舍去）， 乙在aa 段对应的函数解析式为a =250a −300， 则160a −(250a −300)≤30，得a ≥3，令160a =250a −300，得a =103，由上可得，当0<a ≤0.5或3≤a ≤103时，甲乙两队之间的距离不超过30a ，21. 【答案】解：(1)∵直线aa 为线段aa 的垂直平分线（已知）， ∴aa =aa （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 又直线aa 为线段aa 的垂直平分线（已知），∴aa =aa （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴△aaa 的周长a =aa +aa +aa =aa +aa +aa =aa （等量代换），; (2)∵aa =aa ，∠aaa =120∘， ∴∠a =∠a =30∘，∵aa 的垂直平分线交aa 于点a ， ∴aa =aa ，∴∠aaa =∠aaa =30∘，∴∠aaa=∠aaa+∠aaa=60∘，同理：∠aaa=60∘，∴△aaa是等边三角形；; (3)∵aa是aa的垂直平分线，∴∠aaa=2∠aaa，aa=12aa=32√2，aa=aa，在aa△aaa中，∠a=45∘，∴∠aaa=∠a=45∘，aa=√2aa=3，∴∠aaa=90∘，aa=3，∵aa=9，∴aa=aa−aa=6=aa+aa，∴aa=6−aa，∵aa是aa的垂直平分线，∴aa=aa=6−aa，在aa△aaa中，根据勾股定理得，(6−aa)2−aa2=9，∴aa=94．【解析】(1)由直线aa为线段aa的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：可得aa=aa，同理可得aa=aa，然后表示出三角形aaa的三边之和，等量代换可得其周长等于aa的长；; (2)由aa=aa，可得∠a=∠a=30∘，又由aa的垂直平分线aa交aa于a，得出∠aaa=30∘，即可得出∠aaa=60∘，同理：∠aaa=60∘，即可得出结论；; (3)先利用aa是aa垂直平分线计算出aa，进而得出aa，进而得出aa=6−aa，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：(1)∵直线aa为线段aa的垂直平分线（已知），∴aa=aa（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），又直线aa为线段aa的垂直平分线（已知），∴aa=aa（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴△aaa的周长a=aa+aa+aa=aa+aa+aa=aa（等量代换），; (2)∵aa= aa，∠aaa=120∘，∴∠a=∠a=30∘，∵aa的垂直平分线交aa于点a，∴aa=aa，∴∠aaa=∠aaa=30∘，∴∠aaa=∠aaa+∠aaa=60∘，同理：∠aaa=60∘，∴△aaa是等边三角形；; (3)∵aa是aa的垂直平分线，∴∠aaa=2∠aaa，aa=12aa=32√2，aa=aa，在aa△aaa中，∠a=45∘，∴∠aaa=∠a=45∘，aa=√2aa=3，∴∠aaa=90∘，aa=3，∵aa=9，∴aa=aa−aa=6=aa+aa，∴aa=6−aa，∵aa是aa的垂直平分线，∴aa=aa=6−aa，在aa△aaa中，根据勾股定理得，(6−aa)2−aa2=9，∴aa=94．22. 【答案】小; (2)当aa=2时，△aaa≅△aaa，理由：∵∠a=40∘，∴∠aaa+∠aaa=140∘，又∵∠aaa=40∘，∴∠aaa+∠aaa=140∘，∴∠aaa=∠aaa，又∵aa=aa=2，在△aaa 和△aaa 中{∠aaa =∠aaa∠a =∠a aa =aa，∴△aaa ≅△aaa (aaa )；; (3)当∠aaa 的度数为110∘或80∘时，△aaa 的形状是等腰三角形， 理由：在△aaa 中，aa =aa ，∠a =40∘，∴∠aaa =100∘，①当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa =40∘，∴∠aaa =100∘，不符合题意舍去，②当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa ，根据三角形的内角和得，∠aaa =12(180∘−40∘)=70∘，∴∠aaa =∠aaa −∠aaa =100∘−70∘=30∘，∴∠aaa =180∘−∠a −∠aaa =110∘，③当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa =40∘，∴∠aaa =100∘−40∘=60∘，∴∠aaa =180∘−40∘−60∘=80∘，∴∠aaa 的度数为110∘或80∘时，△aaa 的形状是等腰三角形，【解析】(1)利用三角形的内角和即可得出结论；; (2)当aa =2时，利用∠aaa +∠aaa =140∘，∠aaa +∠aaa =140∘，求出∠aaa =∠aaa ，再利用aa =aa =2，即可得出△aaa ≅△aaa ．; (3)由于△aaa 的形状是等腰三角形．分三种情况讨论计算．【解答】解：(1)在△aaa 中，∠a +∠aaa +∠aaa =180∘，∴40+a +a =180，∴a =140−a (0<a <100)，当点a 从点a 向a 运动时，a 增大，∴a 减小，; (2)当aa =2时，△aaa ≅△aaa ，理由：∵∠a =40∘，∴∠aaa +∠aaa =140∘，又∵∠aaa =40∘，∴∠aaa +∠aaa =140∘，∴∠aaa =∠aaa ，又∵aa =aa =2，在△aaa 和△aaa 中{∠aaa =∠aaa∠a =∠a aa =aa，∴△aaa ≅△aaa (aaa )；; (3)当∠aaa 的度数为110∘或80∘时，△aaa 的形状是等腰三角形， 理由：在△aaa 中，aa =aa ，∠a =40∘，∴∠aaa =100∘，①当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa =40∘，∴∠aaa =100∘，不符合题意舍去，②当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa ，根据三角形的内角和得，∠aaa =12(180∘−40∘)=70∘，∴∠aaa =∠aaa −∠aaa =100∘−70∘=30∘，∴∠aaa =180∘−∠a −∠aaa =110∘，③当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa =40∘，∴∠aaa =100∘−40∘=60∘，∴∠aaa =180∘−40∘−60∘=80∘，∴∠aaa 的度数为110∘或80∘时，△aaa 的形状是等腰三角形，。
2020北京师大附属实验中学初二(下)期中数学含答案
2020北京师大附属实验中学初二（下）期中数学一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）下列等式成立的是（）A．（）2＝3 B．＝﹣3 C．＝3 D．（﹣）2＝﹣32．（3分）在下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2+3＝0 B．x2+6x﹣9＝0 C．x2﹣x+＝0 D．x2+x+＝03．（3分）已知长方形的面积为12，其中一边长为，则另一边长为（）A．B．C．D．4．（3分）在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（）A．9.7m，9.8m B．9.7m，9.7m C．9.8m，9.9m D．9.8m，9.8m5．（3分）若m是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的根，则代数式4m﹣m2的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣226．（3分）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7．（3分）如图，在▱ABCD中，两条对角线交于点O，且AC＝10，BD＝6，AD⊥BD．则下列选项错误的是（）A．DO＝3 B．S▱ABCD＝24C．D．▱ABCD的周长为8．（3分）把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．3二、填空题（每题3分，共24分）9．（3分）若要说明“＝2b”是错误的，则可以写出的一个b的值为．10．（3分）将方程x（x﹣2）＝x+3化成一般形式后，二次项系数，一次项系数和常数项分别是．11．（3分）若有意义，则x的取值范围是．12．（3分）为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班40名学生的捐书情况：捐书（本）345710人数5710117该班学生平均每人捐书本．13．（3分）已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为．14．（3分）已知菱形ABCD的一条对角线的长为4，边AB的长是x2﹣5x+6＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为．15．（3分）已知平面上有三个点，点A（2，0），B（5，2），C（3，4），以点A，点B，点C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标为_．16．（3分）已知图1：线段AB，BC，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．以下是小林同学的作业：小林：①以点C为圆心，AB长为半径作弧：②以点A为圆心，BC长为半径作弧：③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求矩形．（如图2）根据小林的作图过程，填写下面推理的依据：证明：∵CD＝ABAD＝BC．∴四边形ABCD为平行四边形（）．又：∠ABC＝90°∴平行四边形ABCD为矩形（）．三、解答题（本题共有7小题，第17小题10分，第18小题10分，第19-22小题每小题10分，第23小题8分，共52分，请务必写出解答过程）17．（10分）计算（1）（2）（+）2﹣（﹣）218．（10分）解下列方程：（1）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2（2）x2﹣4x﹣7＝019．（6分）如图，已知E，F分别是▱ABCD的边CD，AB上的点，且DE＝BF．求证：AE∥CF．20．（6分）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）甲9582888193798478乙8375808090859295（1）请你计算这两组数据的平均数、中位数；（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．21．（6分）如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．22．（6分）我们知道，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的四个顶点分别为A（1，3），B（0，1），C （3，1），D（4，3）．（1）作▱A1B1C1D1，使它与▱ABCD关于原点O成中心对称．（2）作▱A1B1C1D1的两条对角线的交点O1关于y轴的对称点O2，则点O2的坐标为．（3）若将点O2向上平移a个单位，使其落在▱ABCD内部（不包括边界），则a的取值范围是．23．（8分）如图，在△ABD中，AB＝AD，将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．E是BD上一点，且BE＞DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE．（1）依题意补全图形；（2）判断∠DFC与∠BAE的大小关系并加以证明；（3）若∠BAD＝120°，AB＝2，取AD的中点G，连结EG，求EA+EG的最小值．四、附加题（本题10分）24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x 上，那么称该菱形为点A，C的“极好菱形”．如图为点A，C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）．（1）点E（2，1），F（1，3），G（4，0）中，能够成为点M，P的“极好菱形”的顶点的是；（2）如果四边形MNPQ是点M，P的“极好菱形”．①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积；②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线y＝x+b有公共点时，写出b的取值范围．2020北京师大附属实验中学初二（下）期中数学参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．【解答】解：（）2＝3，A正确；＝3，B错误；＝＝3，C错误；（﹣）2＝3，D错误；故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．2．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．【解答】解：A、△＝02﹣4×1×3＜0，无实数根；B、△＝62﹣4×1×（﹣9）＞0，有两个不相等实数根；C、△＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，有两个相等实数根；D、△＝12﹣4×1×＜0，无实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．3．【分析】根据二次根式的除法法则进行计算．【解答】解：由题意得：12÷2＝＝＝3，故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）．4．【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用出现次数最多的数是众数找到众数即可．【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，9.7m出现了2次，最多，所以众数为9.7m，故选：B．【点评】考查中位数、众数的计算方法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数．5．【分析】将x＝m代入原式可得：m2﹣4m＝1，从而可求出答案．【解答】解：将x＝m代入原式可得：m2﹣4m＝1，∴原式＝4m﹣m2＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．6．【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【解答】解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．【分析】由平行四边形的性质得出DO＝3，由勾股定理求出AD＝4，得出S▱ABCD＝24，由勾股定理求出AB的长，求出▱ABCD的周长为，得出＝，即可得出结论．【解答】解：∵▱ABCD中，两条对角线交于点O，且AC＝10，BD＝6，∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝AC＝5，DO＝BD＝3，选项A不符合题意；又∵AD⊥BD，∴AD＝＝＝4，∴S▱ABCD＝AD×BD＝4×6＝24，选项B不符合题意；在Rt△ABD中，AB＝＝＝2，∴＝＝，选项C符合题意；∵AB＝CD＝2，BC＝AD＝4，∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝，选项D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的运用．由勾股定理求出AD、AB是解题的关键．8．【分析】设AB＝a，BC＝b，图1中的平行四边形的边长是x、y（y＞x），GH＝c，则EH＝2c，根据图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3得出（2b+2a）﹣[2（b﹣2c）+2（a﹣c）]＝3，求出c，根据图形得出AB﹣AD＝（y﹣+3x）﹣（3x﹣1+y），再求出即可．【解答】解：设AB＝a，BC＝b，图1中的平行四边形的边长是x、y（y＞x），GH＝c，则EH＝2c，∵图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3，∴（2b+2a）﹣[2（b﹣2c）+2（a﹣c）]＝3，解得：c＝0.5，即GH＝0.5，EH＝1，所以AB﹣AD＝（y﹣+3x）﹣（3x﹣1+y）＝0.5，故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质和整式的运算，能根据题意得出（2b+2a）﹣[2（b﹣2c）+2（a﹣c）]＝3是解此题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）9．【分析】根据二次根式的性质进行分析即可．【解答】解：当b＝﹣1时，＝|2b|＝﹣2b＝2，因此＝2b是错误的，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握＝|a|．10．【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数、常数项即可．【解答】解：将方程x（x﹣2）＝x+3化成一元二次方程的一般形式为x2﹣3x﹣3＝0，则二次项系数为1，一次项系数为﹣3，常数项为﹣3，故答案是：1、﹣3、﹣3．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．11．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x+4≥0，x﹣2≠0，解得，x≥﹣4且x≠2，故答案为：x≥﹣4且x≠2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数、分式分母不为0是解题的关键．12．【分析】根据加权平均数的定义计算可得．【解答】解：该班学生平均每人捐书＝6（本），故答案为：6．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．13．【分析】此题要分两种情况：当3和5都是直角边时，当5是斜边长时，分别利用勾股定理计算出第三边长即可．【解答】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：＝，当5是斜边长时，第三边长为：＝4，故答案为：4或．【点评】此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．14．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝3，再利用菱形的性质和三角形三边的关系可判断AB的长为3，从而得到菱形ABCD的周长．【解答】解：x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3，∵菱形ABCD的一条对角线的长为4，∴AB的长为3，∴菱形ABCD的周长＝4×3＝12．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．15．【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标．【解答】解：以AC为对角线，将AB向上平移2个单位，再向左平移2个单位，A点对应的位置为（0，2）就是第四个顶点D；以AB为对角线，将BC向下平移4个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（4，﹣2）就是第四个顶点D′；以BC为对角线，将AB向上平移4个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（6，6）就是第四个顶点D″；∴第四个顶点D的坐标为：（0，2）或（6，6）或（4，﹣2），故答案为：（0，2）或（6，6）或（4，﹣2）．【点评】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质、坐标与图形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质与平移的性质是解题的关键．16．【分析】根据小林的作图过程，先根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可．【解答】解：根据小林的作图过程，证明：∵CD＝ABAD＝BC．∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），又：∠ABC＝90°∴平行四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定与性质．三、解答题（本题共有7小题，第17小题10分，第18小题10分，第19-22小题每小题10分，第23小题8分，共52分，请务必写出解答过程）17．【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；（2）利用完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式＝+2＝24+2；（2）原式＝5+2+2﹣（5﹣2+2）＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．【分析】（1）移项，利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2（2x﹣1）2﹣（3﹣x）2＝0，[（2x﹣1）+（3﹣x）][（2x﹣1）﹣（3﹣x）]＝0，∴x+2＝0或3x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝；（2）x2﹣4x﹣7＝0，x2﹣4x＝7，x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，∴x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝DC，进而结合平行四边形的判定以及性质方法得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∵DE＝BF，∴AB﹣BF＝DC﹣DE，∴EC＝AF，∴EC AF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，正确得出四边形AECF是平行四边形是解题关键．20．【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法分别计算即可，（2）从平均数、中位数、方差以及数据的变化趋势分析．【解答】解：（分），（分）．将甲工人成绩从小到大排序处在第4、5位的平均数为（82+84）÷2＝83分，因此甲的中位数是83分，将乙工人成绩从小到大排序处在第4、5位的平均数为（83+85）÷2＝84分，因此乙的中位数是84分，答：甲、乙两组数据的平均数都是85分，中位数分别为83分、84分．（2），．①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．【点评】考查平均数、中位数、方差的意义及计算方法，从多角度分析数据的发展趋势是一项基本的能力．21．【分析】连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACD中根据勾股定理求出AC的长，由等腰三角形的性质得出AE＝BE＝AB，在Rt△CAE中根据勾股定理求出CE的长，再由S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC即可得出结论．【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D＝90°．在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，AC＝＝＝13．∵BC＝13，∴AC＝BC．∵CE⊥AB，AB＝10，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5．在Rt△CAE中，CE＝＝＝12．∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC＝×5×12+×10×12＝30+60＝90．【点评】本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22．【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到▱A1B1C1D1；（2）作▱A1B1C1D1的两条对角线的交点O1关于y轴的对称点O2，即可得出点O2的坐标；（3）根据点O2到BC和AD的距离，即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）如图所示，▱A1B1C1D1即为所求；（2）如图所示，点O2即为所求，点O2的坐标为（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（3）将点O2向上平移a个单位，使其落在▱ABCD内部（不包括边界），则a的取值范围是3＜a＜5，故答案为：3＜a＜5．【点评】本题主要考查了利用轴对称变换以及旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．23．【分析】（1）将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．E是BD上一点，且BE＞DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE，据此画图即可；（2）根据△ABE≌△CBE（SAS），可得∠BAE＝∠BCE．再根据AD∥BC，可得∠DFC＝∠BCE，进而得出∠DFC＝∠BAE；（3）连接CG，AC，根据EC+EG≥CG可知，CG长就是EA+EG的最小值，根据△ACD为边长为2的等边三角形，G为AD的中点，运用勾股定理即可得出CG＝，进而得到EA+EG的最小值．【解答】解：（1）如图所示：（2）判断：∠DFC＝∠BAE．证明：∵将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．∴BC＝BA＝DA＝CD．∴四边形ABCD为菱形．∴∠ABD＝∠CBD，AD∥BC．又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE＝∠BCE．∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠BCE．∴∠DFC＝∠BAE．（3）如图，连接CG，AC．由轴对称的性质可知，EA＝EC，∴EA+EG＝EC+EG，根据EC+EG≥CG可知，CG长就是EA+EG的最小值．∵∠BAD＝120°，四边形ABCD为菱形，∴∠CAD＝60°．∴△ACD为边长为2的等边三角形．又∵G为AD的中点，∴DG＝1，∴Rt△CDG中，由勾股定理可得CG＝，∴EA+EG的最小值为．【点评】本题主要考查了折叠问题，菱形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．四、附加题（本题10分）24．【分析】（1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点．（2）①如图2中，根据已知三点的坐标可得极好菱形为正方形，根据正方形面积公式可得结果；②根据菱形的性质得：PM⊥QN，且对角线互相平分，由菱形的面积为8，且菱形的面积等于两条对角线积的一半，可得QN的长，证明Q在y轴上，N在x轴上，可得结论．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点．故答案为：F，G；（2）①如图2，∵M（1，1），P（3，3），N（3，1），∴MN＝2，PN⊥MN，∵四边形MNPQ是菱形，∴四边形MNPQ是正方形，∴S四边形MNPQ＝2×2＝4；②如图3，∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），∴PM＝2，∵四边形MNPQ的面积为8，∴S四边形MNPQ＝PM•QN＝8，即××QN＝8，∴QN＝4，∵四边形MNPQ是菱形，∴QN⊥MP，ME＝，EN＝2，作直线QN，交x轴于A，∵M（1，1），∴OM＝，∴OE＝2，∵M和P在直线y＝x上，∴∠MOA＝45°，∴△EOA是等腰直角三角形，∴EA＝2，∴A与N重合，即N在x轴上，同理可知：Q在y轴上，且ON＝OQ＝4，由题意得：四边形MNPQ与直线y＝x+b有公共点时，b的取值范围是﹣4≤b≤4．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了菱形的性质、正方形的判定、点M ，P 的“极好菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，属于中考创新题目．。
2020-2021学年度(北师大版)八年级下学期期中考试数学试卷及答案
八年级下学期期中考试数学试卷满分：150分考试用时：120分钟范围：第一章《三角形的证明》～第三章《图形的平移和旋转》班级姓名得分卷Ⅰ一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45.0分。
在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上）1.如图，△ABC经过平移后得到△DEF，则下列说法中正确的有()①AB//DE，AB=DE；②AD//BE//CF，AD=BE=CF；③AC//DF，AC=DF；④BC//EF，BC=EF．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.下列不等式中是一元一次不等式的是()x−y<1 B. x2+5x−1≥0A. 12C. x+y2>3D. 2x<4−3x3.在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形()A. 三条中线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条高的交点4.如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处5. 如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG=CD，DF=DE，则∠E=()A. 35°B. 30°C. 25°D. 15°5.用不等式表示：“a的12与b的和为正数”，正确的是()A. 12a+b>0 B. 12(a+b)>0 C. 12a+b≥0 D. 12(a+b)≥06.已知m<n，则下列不等式中错误的是()A. 2m<2nB. m+2<n+2C. m−n>0D. −2m>−2n7.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则α的度数是()A. 50°B. 60°C. 40°D. 30°8.如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图案应该是()A. B. C. D.9.如图，是平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30∘，OA=2.将△AOB绕点O逆时针旋转90∘，点B的对应点B′的坐标是()A. (−√3,3)B. (−3,√3)C. (−√3,2+√3)D. (−1,2+√3)10.下列说法中，错误的是()A. 不等式x<2的正整数解只有一个B. −2是不等式2x−1<0的一个解C. 不等式−3x>9的解集是x>−3D. 不等式x<10的整数解有无数个11.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.若ED=3，则AC的长为()A. 3√3B. 3C. 6D. 912.如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BM是AC边的中线，有AD⊥BM，垂足为点E，交BC于点D，且AH平分∠BAC交BM于N，交BC于H，连接DM，则下列结论：①∠AMB=∠CMD②HN=HD③BN=AD④∠BNH=∠MDC⑤MC= DC中，错误的有()个．A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个13.若不等式组{x>ax−3<0只有两个整数解，则a的取值范围为()A. 0<a <1B. 0<a ≤1C. 0≤a <1D. 0≤a <2 14. 如图，每次旋转都以图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 中不同的点为旋转中心，旋转角度为k ⋅90°(k 为整数)，现在要将左边的阴影四边形正好通过n 次旋转得到右边的阴影四边形，则n 的值可以是( )A. n =1可以，n =2，3不可B. n =2可以，n =1，3不可C. n =1，2可以，n =3不可D. n =1，2，3均可卷Ⅱ二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）15. 如图所示，在正方形网格中，图①经过平移变换可以得到图②;图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 (填“A ”“B ”或“C ”)．16. 如图，直线y =kx +b(k,b 是常数，k ≠0)与直线y =2交于点A(4,2)，则关于x 的不等式kx +b <2的解集为 ．17. 如图，已知OC 平分∠AOB ，CD//OB ，若OD =6 cm ，则CD 的长为________cm ．18. 若不等式组{2x <3(x −3)+1,3x+24>x +a恰有四个整数解，则a 的取值范围是 ．19.如图，将△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE.若∠CAE=60∘，∠E=65∘，且AD⊥BC，则∠BAC=°.三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）20.（8分）解下列不等式：①3(x+2)<4(x−1)+7．②x+43−x−12>1．21.（10分）如图，∠MAN=90°，B，C分别为射线AM，AN上的两个动点，将线段AC绕点A逆时针旋转30°到AD，连接BD交AC于点E．(1)当∠ACB=30°时，依题意补全图形，并直接写出DEBE 的值；(2)写出一个∠ACB的度数，使得DEBE =12，并证明．22.（8分）如图，在等边△AOB中，点B(2,0)，点O是原点，点C是y轴正半轴上的动点，以OC为边向左侧作等边△COD，当AD=2√213时，求AC的长．23.（12分）如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于点Q．(1)求证：AM=BN；(2)求∠BQM的度数．24.（12分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．(1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数表达式；(2)新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？25.（14分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．(1)点A的坐标为______________，点C的坐标为______________；(2)将△ABC向下平移7个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；(3)如果M为△ABC内的一点，其坐标为(a,b)，那么平移后点M的对应点M1的坐标为______________．26.（16分）如图，已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=8cm，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△ODC，连接BC.点M从点D出发，沿DB 方向匀速行动，速度为1cm/s；同时，点N从点O出发，沿OC方向匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．连接AM，MN，MN交CD 于点P.设运动时间为t(s)(0<t<4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，OM平分∠AMN？(2)设四边形AMNO的面积为S(cm2)，求S与t的函教关系式；(3)在运动过程中，当∠AMO=45°时，求四边形AMNO的面积；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P为线段CD的中点？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案1.D2.D3.C4.D5.D6.A7.C8.C9.A10.A11.C12.D13.B14.C15.D16.平移；A17.x<418.619.−114≤a<−5220. 8521.解：(1)去括号，得：3x+6<4x−4+7，移项，得：3x−4x<−4+7−6，合并同类项，得：−x<−3，系数化为1，得：x>3；(2)去分母，得：2(x+4)−3(x−1)>6，去括号，得：2x+8−3x+3>6，移项，得：2x−3x>6−8−3，合并同类项，得：−x>−5，系数化为1，得：x<5．22.解：(1)补全图形如下：由旋转的性质可得AC=AD，∠DAC=30°，如图1，过点D作DF⊥AC于点F，∴DF//AB，∴△DFE∽△BAE，∴DFAB =DEBE，设DF=x，则DA=2x，则AC=2x，∴AB=2√33x，∴DFAB=√32∴DEBE =√32．(2)解：∠ACB=45°．证明：∵∠ACB=45°，∴AB=AC．∵AC=AD，∴AB=AD．如图2，过点D作DF⊥AC于点F，∴∠DFE=90°∵∠CAD=30°，∴DF=12AD=12AB．∵∠BAE =90°，∴∠DFE =∠BAE =90°．∵∠FED =∠AEB ．∴△FED∽△AEB ． ∴DE BE =DF AB =12． 23.解：如图，连结BC ，作AH ⊥OB 交OB 于点H ，∵△AOB 和△COD 是等边三角形，∴∠DOC =∠AOB =60°，∴∠DOC +∠COA =∠AOB +∠COA =90°， ∵B(2,0)，∴OB =OA =2，又∵AD =2√213， ∴CO =DO =√AD 2−AO 2=4√33， ∴C(0,4√33)， ∵OH =BH =1，∴AH =√AO 2−HO 2=√3，∴A(1,√3)，∴AC =√(0−1)2+(4√33−√3)2=2√33． ∴AC 的长为2√33．24.解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC =∠C =60°，AB =BC ．在△AMB 和△BNC 中，{AB =BC,∠ABM =∠C,BM =CN,∴△AMB≌△BNC(SAS)．∴AM =BN ．(2)60°．25.解：(1)y 甲=0.9x ．y 乙={x(0≤x ≤100),0.8x +20(x >100).(2)当购物在200元以内时，选择甲商场购物更省钱；当购物200元时，去两家商场购物一样优惠；当购物超过200元时，选择乙商场购物更省钱． 26.解：(1)(2,7)；(6,5)(2)图略．(3)(a,b −7)27.解：(1)∵Rt △OAB ，∠OAB =90°，∠ABO =30°，斜边OB =8， ∴∠AOB =60°，OA =12AB =4，AB =√OB 2−OA 2=√82−42=4√3， 由旋转的性质得：OB =OC =8，AB =CD =4√3，∠DOC =∠AOB =60°， 当OM 平分∠AMN 时，即∠AMO =∠NMO ，在△AMO 和△NMO 中，{∠AMO =∠NMOOM =OM ∠AOM =∠NOM，∴△AMO≌△NMO(ASA)，∴OA =ON =4，∴t =42=2(s)， ∴当t 为2s 时，OM 平分∠AMN ；(2)过点A 作AE ⊥OB 于E ，过点N 作ZF ⊥OB 于F ，如图1所示：∵∠DOC =∠AOB =60°，∴AE =OA ⋅sin60°=4×√32=2√3，NF =ON ⋅sin60°=2t ×√32=√3t ，∵OM =OD +DM =4+t ，∴S =S △AOM +S △NOM =12OM ⋅AE +12OM ⋅NF =12(4+t)×2√3+12(4+t)×√3t =√32t 2+3√3t +4√3；(3)当∠AMO =45°时，则△AEM 为等腰直角三角形，∴AE =ME ，∵∠AOE =60°，∴∠OAE =30°，∴OE =12OA =2，∴DE=OD−OE=4−2=2，∴ME=2+t，∴2+t=2√3，∴t=2√3−2，∴S=√32t2+3√3t+4√3=√32(2√3−2)2+3√3(2√3−2)+4√3=6√3+6；(4)存在某一时刻t，使点P为线段CD的中点，理由如下：过点N作NQ⊥OB于Q，如图2所示：∵P为线段CD的中点，∴DP=12CD=2√3，∵∠NOQ=60°，∴∠ONQ=30°，NQ=ON⋅sin60°=2t×√32=√3t，∴OQ=12ON=t，∴DQ=OD−OQ=4−t，∵S△NOM=12OM⋅NQ=12(4+t)×√3t，S△NOM=S△MDP+S梯形DQNP +S△OQN=12DM⋅DP+12(DP+NQ)⋅DQ+12OQ⋅NQ=1 2t×2√3+12(2√3+√3t)(4−t)+12×t×√3t，∴12t×2√3+12(2√3+√3t)(4−t)+12×t×√3t=12(4+t)×√3t，整理得：t2=8，∴t=2√2，即存在t=2√2s时，使点P为线段CD的中点．。
2019-2020学年北京师大附中八年级下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年北京师大附中八年级下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.若√x+3=2，则(x+3)2的平方根是()A. 4B. 8C. ±4D. ±82.如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则下列结论错误的是()A. ac<0B. a+c<0C. |b−c|=b−cD. a−c<ab3.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是()A. 1，2，3B. 4，5，6C. 5，12，15D. 1，√3，24.如图，直线l上摆有三个正方形a，b，c，若a、c的面积分别为10和8，则b的面积是()A. 16B. 20C. 18D. 245.关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≤3B. m<3C. m<3且m≠2D. m≤3且m≠26.若△ABC的一边为4，另两边分别是方程x2−6x+k=0的两个根，则△ABC的周长()A. 为10B. 为11C. 为12D. 不确定7.中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入200美元，预计2018年年收入将达到1000美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为()A. 200(1+2x)=1000B. 200(1+x)2=1000C. 200(1+x2)=1000D. 200+2x=10008.近几年，某市在经济建设中取得突出成就，2004−2006年三年该市的国内生产总值的和为2200亿元．图甲是这三年该市的国内生产总值的扇形统计图，图乙是这三年该市总人口折线统计图．根据以上信息，下列判断：①2006年该市国内生产总值超过800亿元；②2006年该市人口的增长率比2005年人口的增长率低；③2006年比2004年该市人均国内生产总值增加(2200×37%455−2200×29%448)万元；④如果2007年该市人口的年增长率与2006年人口的年增长率相同，且人均国内生产总值增长10%，那么2007年全市的国内生产总值将为2200×37%×(1+10%)(1+455−451451)亿元．其中正确的只有()A. ①②④B. ①③④C. ②③D. ①③二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.已知y=√x−1+√1−x+4，则xy的算术平方根为______．10.两组数据m，n，6与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的方差是______．11.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ADC=2∠ABC=120°，连接BD，点H为四边形ABCD内一点，连接AH，BH，若∠AHB=90°，AH=AD，2∠ABH−∠HAD=60°，CD=43，则BD的长为______．12.关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2+3a−4=0有一个实数根是x=0，则a的值为______．13.已知7+√19的整数部分是m，11−√19的小数部分是n，则m+n=______．14.已知关于x的方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根，则m的值为___________．15.在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，CA=8，AB=16.如图，矩形ABCD两邻边分别为3，4，点P是矩形一边上任意一点，则点P到两条对角线AC、BD的距离之和PE+PF为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.计算：(√3)2−(√9−1)+√(−2)218.若x=√23−1时，求代数式x2+2x+2的值．19.解方程：(1)(x+4)2−25=0(2)4x2−18=0．20.已知关于x的方程x2−2x+2k−1=0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)设方程的两根分别是x1，x2，且满足(x1⋅x2)2−(x1+x2)2=0，试求k的值．21.国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了解这项政策的落实情况，有关部门就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校随机抽查了部分学生，再根据活动时间t(小时)进行分组(A组：t<0.5，B组：0.5≤t<1，C组：1≤t<1.5，D组：t≥1.5)，绘制成如下两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题：(1)此次抽查的学生数为______人；(2)补全条形统计图；(3)从抽查的学生中随机询问一名学生，该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是______；(4)若当天在校学生数为1200人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有______人．22.如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与A，C重合)，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．(1)求证：△DCE≌△BCE；(2)求证：∠AFD=∠EBC；(3)若∠DAB=90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查的是平方根、算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．先依据算术平方根的定义求得x+3的值，然后两边同时平方求得(x+3)2的值，最后再求平方根即可．解：∵√x+3=2，∴x+3=4．∴(x+3)2=42=16．∵16的平方根是±4，∴(x+3)2的平方根是±4．故选C．2.答案：C解析：解：根据数轴上点的位置得：a<b<0<c，|c|<|b|<|a|，∴b−c<0，a−c<0，根据两数相乘(除)，同号为正、异号为负，知ac<0，0<a，b根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，知a+c<0，∴|b−c|=c−b，a−c<a，b故ABD正确，C错误，故选：C．根据数轴上点的位置得出三个数的大小关系、正负情况、绝对值大小情况，再依据有理数的乘法法则、加法法则、去绝对值法则、除法法则判断即可求解．此题考查了数轴，及有理数运算法则，弄清数轴上点表示数的特征是解本题的关键．3.答案：D解析：判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．解：A、12+22≠32，故不能组成直角三角形，错误；B、42+52≠62，故不能组成直角三角形，错误；C、52+122≠152，故不能组成直角三角形，错误；D、12+(√3)2=22，故能组成直角三角形，正确．故选：D．4.答案：C解析：解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°∴∠ACB=∠DEC∵∠ABC=∠CDE，AC=CE，∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE，∴(如图)，根据勾股定理的几何意义，b的面积=a的面积+c的面积∴b的面积=a的面积+c的面积=10+8=18，故选C．根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积．本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．5.答案：D解析：解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x+1=0有实数根，∴m−2≠0且△≥0，即22−4×(m−2)×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是m≤3且m≠2．故选：D．根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac的意义得到m−2≠0且△≥0，即22−4×(m−2)×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．6.答案：A解析：解：设x2−6x+k=0的两个根分别为x1、x2，则有x1+x2=−ba =−−61=6，当两边不同时，周长为4+4+2=10，当两边相同时．周长为4+3+3=10，故选：A．设x2−6x+k=0的两个根分别为x1、x2，由根与系数的关系可得出x1+x2=6，分两种情形分别求解即可．本题考查了根与系数的关系以及三角形的周长，解题的关键是找出三角形的两边之和．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根与系数的关系得出两根之和，再结合三角形的周长公式即可解决问题．7.答案：B解析：解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2018年年收入为：200(1+x)2，列出方程为：200(1+x)2=1000．故选：B．是关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意可用x表示2018地区居民年人均收入，然后根据已知可以得出方程．考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．8.答案：B解析：试题分析：①利用该部分所占的百分比即可求出2006年该市国内生产总值；②分别求出2006年该市人口的增长率和2005年人口的增长率即可作出判断；③求出2006年比2004年该市人均国内生产总值增加的量和2007年全市的国内生产总值即可作出判断．①2006年该市国内生产总值为37%×2200亿=814亿元，超过800亿元，此结论正确；②2006年该市人口的增长率为(451−448)÷448×100%≈0.67%，2005年人口的增长率为(455−451)÷451×100%=0.89%，故该结论错误； ③2006年比2004年该市人均国内生产总值增加(2200×37%455−2200×29%448)万元，所以此结论正确；④2007年全市的国内生产总值将为2200×37%×(1+10%)(1+455−451451)亿元，所以此结论正确；综上，正确的有①③④，故选B ．9.答案：2解析：解：∵y =√x −1+√1−x +4， ∴1−x =0， 则x =1，y =4， 故xy =4，则xy 的算术平方根为：2． 故答案为：2．直接利用二次根式有意的条件得出x 、y 的值，进而得出答案． 此题主要考查了二次根式有意的条件，正确得出x 的值是解题关键．10.答案：6解析：本题考查方差、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出m 、n 的值．根据题目中的数据可以求得m 、n 的值，然后根据方差的计算公式即可解答本题． 解：∵数据m ，n ，6与1，m ，2n ，7的平均数都是6，∴{m+n+63=61+m+2n+74=6， 解得，{m =8n =4，∴这组新数据的方差是：(8−6)2+(4−6)2+(6−6)2+(1−6)2+(8−6)2+(8−6)2+(7−6)27=6，故答案为：6．11.答案：4解析：解：∵2∠ABH−∠HAD=60°，∴∠ABH+90°−∠BAH−∠HAD=60°，∴∠ABH−∠BAD=−30°，∴∠BAD=∠ABH+30°，作∠FBH=30°交AH的延长线于F，∴∠ABF=∠BAD，延长DA至E，使AE=CD，∵∠ADC=2∠ABC=120°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAD+∠BAE=180°，∴∠BAE=∠BCD，∵AB=BC，∴△AEB≌△CDB(SAS)，∴DE=BD，∠ABE=∠CBD，∴∠EBC=∠ABC=60°，∴△EBD为等边三角形，∴∠ADB=60°，∵∠FBH=30°，∴∠F=60°，∴∠F=∠ADB，∵AB=BA，∴△ABD≌△BAF(AAS)，∴BD=AF=AH+HF=AD+HF，∵BD=DE=AD+CD，∴HF=CD=43，∴BF=AD=2HF=83，∴BD=43+83=4．故答案为：4．证得∠BAD=∠ABH+30°，作∠FBH=30°交AH的延长线于F，延长DA至E，使AE=CD，则△AEB≌△CDB，可得△EBD为等边三角形，得∠ADB=∠F=60°，证明△ABD≌△BAF，可得BD=AF，BF=AD，可求出答案．本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．12.答案：−4解析：解：∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得a2+3a−4=0，解此方程得到a1=−4，a2=1；又∵原方程是一元二次方程，∴二次项系数a−1≠0，即a≠1；综合上述两个条件，a=−4，故答案是：−4．把x=0代入已知方程，得到关于a的一元二次方程，通过解该一元二次方程即可得到a的值．本题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义．逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件a−1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．13.答案：16−√19解析：解：∵16<19<25，∴4<√19<5．∴m=11，n=5−√19，∴m+n=11+5−√19=16−√19．故答案为：16−√19．由于16<19<25得到4<√19<5，则7+√19的整数部分是11，即m=11，小数部分是11−√19−6即n=5−√19，然后代入计算即可．本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．14.答案：±4解析：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为：当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的两个实数根；当b2−4ac<0时，方程无实数根．根据方程有两个相等的实数根，得到△=m2−4×4×1=0，然后解关于m的一元二次方程即可．解：根据题意，得△=m2−4×4×1=0，即m2=16，∴m=±4．故答案为±4．15.答案：10解析：试题分析：找到直角边和斜边，根据勾股定理直接解答即可．如图：根据勾股定理，BC=6，CA=8，AB=√BC2+AC2=√62+82=10；故答案为10．16.答案：125解析：解：设矩形对角线的交点为O，连接OP∵矩形ABCD，对角线交与点O∴OA=OC=12AC=OB=OD=12BD在Rt△ABC中，AB=3，BC=4∴AC=√AB2+BC2=5∴OA=OB=5 2∵S△OAB=S△OAP+S△OPBS△OAP=12OA·EP，S△OBP=12OB·FP∴S△OAB=12OA(PE+PF)又∵S△OAB=14S▭ABCD∴S△OAB=14×3×4=3∴3=12×52(PE+PF)，故PE+PF=125．故答案为：125．根据面积间的关系找到等式，从而求出两个线段的和本题考查的是矩形的性质，难度中等．17.答案：解：原式=3−2+1+2=4．解析：根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．18.答案：解：原式=x2+2x+1+1=(x+1)2+1当x=√23−1时，原式=23+1=24．解析：首先把所求的式子进行配方，然后把x的值代入求解即可．本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行配方，化成(x+1)2+1的形式是关键．19.答案：解：(1)由原方程移项，得(x+4)2=25，直接开平方，得x+4=±5，即x=−4±5，解得，x1=1，x2=−9；(2)由原方程移项，得4x2=18，化二次项系数为1，得x2=92，直接开平方，得x=±3√22，解得，x1=3√22，x2=−3√22．解析：先移项，写成(x+a)2=b的形式，然后利用数的开方解答．考查了解一元二次方程−直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．20.答案：解：(1)根据题意得△=(−2)2−4(2k−1)≥0，解得k≤1；(2)根据题意得x1+x2=2，x1x2=2k−1，∵(x1⋅x2)2−(x1+x2)2=0，∴x1+x2=x1x2或x1+x2+x1x2=0，即2=2k−1或2+2k−1=0，解得k =32或k =−12，而k ≤1，∴k 的值为−12．解析：(1)根据判别式的意义得到△=(−2)2−4(2k −1)≥0，然后解不等式即可；(2)根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1x 2=2k −1，再利用(x 1⋅x 2)2−(x 1+x 2)2=0得到2=2k −1或2+2k −1=0，解方程后利用(1)的k 的范围得到满足条件的k 的值．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca .也考查了根的判别式． 21.答案：解：(1)300；(2)C 组的人数=300×40%=120(人)，A 组的人数=300−100−120−60=20(人)，补全条形统计图如图所示，(3)40%；(4)720．解析：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(1)用D 组的人数除以所占的百分比即可得到结论；(2)由抽查的总人数乘以C 组所占的百分比求出C 组的人数，进而求出A 组的人数，然后补全条形统计图即可；(3)根据概率公式即可得到结论；(4)用总人数乘以达到国家规定体育活动时间的百分比即可得到结论．解：(1)60÷20%=300(人)答：此次抽查的学生数为300人，故答案为300；(2)见答案；(3)该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是120300=40%．故答案为40%；(4)当天达到国家规定体育活动时间的学生有1200×180300=720(人)．故答案为720．22.答案：解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，在△DCE和△BCE中，{DC=CB∠DCE=∠BCE EC=EC，∴△DCE≌△BCE(SAS)，(2)∵△DCE≌△BCE，∴∠CDE=∠CBE，∵CD//AB，∴∠CDE=∠AFD，∴∠EBC=∠AFD，即∠F=∠EBC；(3)解：分两种情况：①如图1，当F在AB延长线上时，∵∠EBF为钝角，∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，可通过三角形内角形为180°得：90+x+x+x=180，解得：x=30，∴∠EFB=30°；②如图2，当F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角，∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°．综上：∠F=30°或120°．解析：(1)直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE(SAS)；(2)利用全等三角形平行线的性质即可解决问题；(3)利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当F在AB延长线上时；②当F在线段AB上时；分别求出即可．此题主要考查了菱形的性质以及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．。
2019-2020学年北京师大二附中西城实验学校八年级下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年北京师大二附中西城实验学校八年级下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列根式是最简二次根式的是()A. √13B. √0.3C. √42D. √202.下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是()A. 4，8，7B. 2，2，2C. 2，2，4D. 13，12，53.下列计算正确的是()A. √(−4)2=−4B. √125144=1512C. √3−√2=1D. √8−√2=√24.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠BAC=90°，AC=6，BD=8，则CD的长为()A. √7B. 5C. √43D.105.如图，△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD长()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为(m,)，反比例函数的图像与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是()A. B. C. D.7.取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图(2)；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图(3)．若AB=√3，则EF的值是()A. 1B. 2C. 3D. 48.将一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是()A. ℎ≤17B. ℎ≥8C. 15≤ℎ≤16D. 7≤ℎ≤169.如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB=30°，B点的坐标为(0,2)，将△ABO沿着斜边AB翻折后得到△ABC，则点C的坐标是()A. (2√3,4)B. (2,2√3)C. (√3,3)D. (√3,√3)10.如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，过AB的中点E有一动弦CD(点C只在弦AB所对的劣弧上运动，且不与A、B重合)，设CE=x，ED=y，下列图象中能够表示y与x之间函数关系的是()A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.当x满足条件______ 时，代数式√4−x有意义．12.已知|3a+1|+√b−1=0，则−a2−b2013=．13.如图，菱形ABCD的BC边在x轴上，顶点C坐标为(−3,0)，顶点D坐标为(0,4)，点E在y轴上，线段EF//x轴，且点F坐标为(8,6)，若菱形ABCD沿x轴左右运动，连接AE、DF，则运动过程中，四边形ADFE周长的最小值是______ ．14.如图是由6个形状大小完全相同菱形组成的网格，若菱形的边长为1，一个内角(∠O)为60°，△ABC的各顶点都在格点上，则BC边上的高为______．15. 如图，△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是△ABC 的角平分线，若BD =1，则D 点到AC 的距离是__________．(16题图)三、解答题（本大题共6小题，共40.0分）16. 解方程组和计算(1)计算 ①√8+√32−√2 ②(√6−2√15)×√3−6√12(2)解方程组①{4x +3y =5y =2x −2②{3x −4y =142x −3y =317. 已知：m =√7+2,n =√7−2，求：(1)(m +1)(n +1)(2)mn+nm18.已知：如图，在四边形ABCD中，，E，F分别是对角线BD，AC的中点.求证：．19.如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5，AB=4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？20.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，∠B=∠C.求证：DE=DF．21.如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，∠COA=60°，点A的坐标为(6,0)，点B的坐标为(10,4√3).动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒(t>0)．(1)当运动2秒时，求△APQ的面积．(2)求点C的坐标和平行四边形OABC的周长；(3)在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？【答案与解析】1.答案：C解析：解：A、√13=√33，不符合题意；B、原式=√310=√3010，不符合题意；C、原式为最简二次根式，符合题意；D、原式=2√5，不符合题意，故选：C．利用最简二次根式定义判断即可．此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：A、42+72≠82，故不为直角三角形；B、22+22≠22，故不为直角三角形；C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；D、52+122=132，故不为直角三角形；故选：D．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．3.答案：D解析：解：A、√(−4)2=4，故错误；B、√125144=√169144=1312，故错误；C、√3−√2=√3−√2，故错误；D、√8−√2=2√2−√2=√2，正确，故选：D．利用二次根式的加减的运算法则及二次根式的性质分别计算后即可确定正误．本题考查了二次根式的加减法及其化简的知识，属于基础题，比较简单．4.答案：A解析：解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO，AO=CO，AB=CD，∵∠BAC=90°，AC=6，BD=8，∴BO=4，OA=3，∴AB=√OB2−OA2=√16−9=√7，∴CD=√7．故选：A．利用平行四边形的性质和勾股定理易求AB的长，进而可求出CD的长．本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．5.答案：C解析：解：∵△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=3．∴∠BDC=∠CBD=30°．∴∠BDE=90°．∴BD=√BE2−DE2=3√3．故选：C．根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理．6.答案：D解析：本题考查了菱形的性质，直角三角形的边角关系，反比例函数解析式的求法.在直角三角形OCE 中根据点C的坐标，求出OC，由OC=OB，在Rt△OBD中，利用边角关系求出点D的坐标，代入反比例函数解析式即可求出K值．故选D．7.答案：B解析：解：如图所示，将图3展开，可得图4，由折叠可得，Rt△AMB′中，AM=12AB=12AB′，∴∠AB′M=30°，∴∠BAE=∠B′AE=30°，∴∠EAF=60°，∠AEB=60°=∠AEB′，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE=2BE，又∵Rt△ABE中，AB=√3，∴BE=1，∴EF=2，故选：B．根据折叠得到△AEF是等边三角形，再根据Rt△ABE中，AB=√3，即可得到EF的长．本题属于折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．得到△AEF是等边三角形是解决问题的关键．8.答案：D解析：解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴ℎ=24−8=16(cm)；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17(cm)，∴此时ℎ=24−17=7(cm)，所以h的取值范围是：7cm≤ℎ≤16cm．故选：D．当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．9.答案：C解析：解：∵∠OAB=∠ABC=30°，∠BOA=∠BCA=90°，AB=AB，∴△BOA≌△BCA．∴OB=BC=2，∠CBA=∠OBA=60°，过点C作CD⊥y轴，垂直为D，则∠DCB=30°．∴DB=12BC=1，DC=√32BC=√3．∴C(√3,3)．故选：C．过点C作CD⊥y轴，垂直为D，首先证明△BOA≌△BCA，从而可求得BC的长，然后再求得∠DCB= 30°，接下来，依据在Rt△BCD中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、含30°直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．10.答案：C解析：【试题解析】解：连接AC、BD，连接OA、OE．∵AE=EB，∴OE⊥AB，∴EO=√52−42=3，∴2≤x<4，∵∠EAC=∠D，∠C=∠B，∴△AEC∽△DEB，∴AEDE =CEEB，∴4y =x4，∴y=16x(2≤x<4)∴图象是反比例函数，故选：C．连接AC、BD，连接OA、OE.由△AEC∽△DEB，可得AEDE =CEEB，推出4y=x4，即y=16x(2≤x<4)，由此即可判定．本题考查相似三角形的判定和性质、反比例函数、垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11.答案：x≤4解析：解：代数式√4−x有意义，则4−x≥0，解得x≤4．故答案为x≤4．根据二次根式有意义的条件得到4−x≥0，然后解不等式即可．本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式√a有意义，则a≥0．12.答案：−119解析：根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．根据题意得，3a+1=0，b−1=0，解得a=−13，b=1，所以，−a2−b2013=−(−13)2−12013=−19−1=−119．故答案为：−119．13.答案：18解析：解：在EF上截取ET，使得ET=AD，作点T关于直线AD的对称点T′，连接FT′交直线AD 于D′，即为D′A′=AD，连接EA′，此时四边形EA′D′F的周长最小．∵D(0,4)，C(−3,0)，∴OC=3，OD=4，∴CD=√OC2+OD2=√32+42=5，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=5，AD//BC，∵EF//x轴，F(8,6)，∴E(0,6)，∵ET=AD=5，∴T(5,6)，T′(5,2)，∴FT′=√32+42=5，∴四边形EADF的周长的最小值=EA′+A′D′+D′F+EF=D′T+5+8+D′F=14+D′T′+D′F= 13+FT′=18．故答案为18．在EF上截取ET，使得ET=AD，作点T关于直线AD的对称点T′，连接FT′交直线AD于D′，即为D′A′=AD，连接EA′，此时四边形EA′D′F的周长最小．本题考查轴对称最短问题，解直角三角形，菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．14.答案：√3解析：解：如图，连接EA，EC，∵菱形的边长为1，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=√3，∴∠AEC=90°，∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°，∴∠ECB =180°，∴E 、C 、B 共线，∴AE 即为△ACB 的BC 边上的高，∴AE =√3，故答案为√3．如图，连接EA 、EC ，先证明∠AEC =90°，E 、C 、B 共线，求出AE 即可；本题考查菱形的性质，特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．15.答案：1.解析：过D 作DE ⊥AC 于E ，则DE 是点D 到AC 的距离，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∠B =90°，∴BD =DE ，∵BD =1，∴DE =1．故答案为1．16.答案：解：(1)①原式=2√2+4√2−√2=5√2；②原式=√6×3−2√15×3−3√2=3√2−6√5−3√2=−6√5；(2)①{4x +3y =5 ①y =2x −2 ②，把②代入①得4x +3(2x −2)=5，解得x =1110，把x =1110代入②得y =15，所以方程组的解为{x =1110y =15 ②{3x −4y =14 ①2x −3y =3 ②①×2−②×3得−8y +9y =28−9，解得y =19，把y =19代入②得2x −57=3，解得x =30，所以方程组的解为{x =30y =19．解析：(1)①先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；②先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可；(2)①利用代入消元法解方程组；②利用加减消元法解方程组．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了解二元一次方程组．17.答案：解：(1)∵m =√7+2，n =√7−2，∴(m +1)(n +1)=mn +(m +n)+1=(√7+2)(√7−2)+√7+2+√7−2+1=4+2√7；(2)m n +n m =m 2+n 2mn =(m+n)2−2mn mn =(2√7)2−63=223．解析：(1)直接利用已知结合多项式乘以多项式运算法则计算得出答案；(2)直接通分运算，再把已知代入求出答案．此题主要考查了二次根式的化简求值，正确将原式变形是解题关键．18.答案：证明：连接AE，CE∵，∴△ABD，△CBD为直角三角形，又∵E为BD中点∴AE=12BD，CE=12BD∴AE=CE又∵F是AC中点∴EF⊥AC解析：本题考查直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．连接AE，CE，根据条件判定△ABD，△CBD为直角三角形，结合直角三角形的性质即可得到AE=12BD，CE=12BD，从而推出AE=CE，然后结合条件F是AC中点，根据等腰三角形的性质即可证明EF⊥AC.19.答案：解：在Rt△ABC中，BC=√AC2−AB2=√52−42=3，∵∠ABC=∠ADB=90°，∴当BD BC =AB AC 时，Rt △DBA∽Rt △BCA ，即BD 3=45，解得BD =125，当BD BA =AB AC 时，Rt △DBA∽Rt △BAC ，即BD 4=45，解得165， 综上所述，当BD 的长是125或165时，图中的两个直角三角形相似．解析：本题考查了直角三角形相似的判定与性质：一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例．先利用勾股定理计算出BC =3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当BD BC =AB AC 时，Rt △DBA∽Rt △BCA ，即BD 3=45，当BD BA =ABAC 时，Rt △DBA∽Rt △BAC ，即BD 4=45，然后利用比例性质求出对应的BD 的长即可． 20.答案：证明：∵D 是BC 的中点，∴BD =CD ，又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB =∠DFC =90°，在△DEB 和△DFC 中，{∠B =∠C ∠BED =∠CFD BD =CD，∴△DEB≌△DFC(AAS)，∴DE =DF ．解析：由“SAS ”可证△DEB≌△DFC ，可得DE =DF ．本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．21.答案：解：(1)如图1中，作QE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ．∵A(6,0)，B(10,4√3)，∴OA=6，OF=10，BF=4√3，∴AF=10−6=4，AB=√AF2+BF2=8，当t=2时，OP=2，PA=4，AQ=4，∵四边形OABC是平行四边形，∴∠BAF=∠COA=60°，∵QE⊥AE，∴∠AEQ=90°，∴EQ=AQ⋅sin60°=2√3，∴S△PAQ=12⋅PA⋅QE=12×4×2√3=4√3．(2)∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC=6，BC//OA，∵B(10,4√3)，∴C(4,4√3)，∵OA=BC=6，OC=AB=8，∴四边形OABC的周长=2×(6+8)=28．(3)如图2中，当点Q在射线BC上时，CQ=PA时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．∴|14−2t|=|t−6|，解得t=203或8，∴t为203s或8s时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．解析：(1)如图1中，作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F.求出PA.QE即可解决问题．(2)利用平行四边形的性质解决问解即可．(3)如图2中，当点Q在射线BC上时，CQ=PA时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
北京市北京师范大学附属中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
北京市北京师范大学附属中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各组数据中的三个数，可以作为直角三角形三边长的是（ ） A ．1，2，3 B ．2，4，7 C ．6，8，10 D ．111,,345 2．下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．矩形的对角线相等且互相平分C ．对角线互相平分的四边形是矩形D ．矩形的对角线互相垂直且平分3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．下列选项中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB //CD ，AD ＝BCB ．∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C C ．AB //CD ，∠A ＋∠B ＝180° D ．∠A ＝∠C ，∠B ＋∠D ＝180° 5．某公司员工2018年的人均年收入为18万元，2020年的人均年收入为23万元，设年平均增长率为x ，根据题意，可列出方程为（ ）A ．218(1)23x -=B ．218(1)23x +=C ．223(1)18x -=D ．223(1)18x +=6．在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，且AE ∠BC ，AF ∠CD ，那么∠EAF 等于（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°7．若关于x 的一元二次方程()221230m x x m m +++--=有一个根为0，则m 的值是（ ）A ．3B ．1-C ．1-或3D ．l 或3- 8．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图2（1）所示的菱形，并测得∠B ＝60°，接着活动学具成为图2（2）所示的正方形，并测得对角线AC ＝40 cm ，则图2（1）中对角线AC 的长为（ ）A．20cm B ．30cm C ．40cm D ． 9．如图，在▱ABCD 中，已知AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm 10．定义新运算：对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a ，b 中的较大值，如：{1,3}3max =，因此，{1,3}1max --=-；按照这个规定，若max {,}x x -=2212x x --，则x 的值是（ ）A ．－1B ．－1或2C ．2D ．1或2二、填空题 11．若（k ＋4）x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______． 12．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD=____________ .13．方程230x x -=的根为_______．14．写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”的逆命题____________________．该逆命题是______命题（填“真”或“假”）．15．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，∠ABD 的周长为16cm ，则∠DOE 的周长是_________；16．如图，平行四边形ABCD 的顶点B 在矩形AEFC 的边EF 上，点B 与点E ，F 不重合，若∠ACD 的面积3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为____________．17．如图，从边长为（a ＋3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（无重叠无缝隙），则拼成的长方形的两条边长分别是___________，面积是____________．18．如图，在坐标系中放置一菱形OABC ，已知∠ABC ＝60°，OA ＝1，将菱形OABC 沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2022次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2022的坐标为_____________．三、解答题19．22(21)(1)x x +=-20．2410x x --=21．6(2)(2)(3)x x x x -=-+22．解方程：2-+=x x231023．如图，在∠ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF，EF、BD相交于点O，求证：OE＝OF．24．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH∠AB 于点H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.25．已知关于x的一元二次方程2++-+-=．k x k x k(1)(31)220（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值．26．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∠BC，AF∠CD，垂足分别为点E，F，且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝4，求EG的长．27．已知：如图，正方形ABCD边长为4，点E为边BC上的一动点（点E可以与点B、点C重合），将线段AE绕点E顺时针旋转∠B的度数，得到线段EF，过点F作FG∠BC交BC的延长线于点G，连接CF．（1）如图1，依题意补全图形；（2）证明：∠FCG是等腰直角三角形；（3）分别取AE和EF的中点M，N，连接MN，直接写出线段MN的最大值和最小值；（4）如图2，将题目中的正方形换成边长为4的菱形，其中∠B＝120°，在（3）的条件下，直接写出线段MN的最大值和最小值．28．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．（1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．∠设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为___________，最大值为___________．∠在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（－2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是_____________．（2）直线l平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线l的距离都是1，若点C （x，y）是直线l上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．参考答案：1．C2．B3．D4．C5．B6．C7．A8．D9．A10．B11．k≠-412．1313．120,?3x x ==.14． 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 假 15．816．317． ,6a a + (6)a a +18．19．10x =，22x =-20．12x =22x =21．12x =或235x =22．11x =,212x = 23．证明见解析24．证明见解析.25．（1）见解析；（2）1,3k =．26．（1）见解析；（2）8．27．（1）见详解；（2）见详解；（3）MN 的最小值是MN 的最大值是4；（4）MN 的最小值是MN 的最大值是28．（1）5；∠13,P P ；（2）44x ≤≤+11x -≤．。
北京市师范大学附属实验中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
北京市师范大学附属实验中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是()A．2，4，4 B2，2 C．3，4，5 D．5，12，14 2．下列各式中属于最简二次根式的是()A B CD3．在平行四边形ABCD中，∠A=2∠B，则∠C的度数是()A．60°B．90°C．120°D．135°4．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOD=120°，AC=4，则CD 的长为()A．2 B．3 C．D．5．若函数y＝（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，则m＝（）A．±1 B．±3 C．﹣1 D．16．下列命题中错误的是（）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．三个角是直角的四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形7．如图，正方形ABOC的边长为3，点A在反比例函数ykx(k≠0)的图象上，则k的值是()A ．3B ．﹣3C ．9D ．﹣98．如图，在▱ABCD 中，AB =3，AD =5，∠ABC 的平分线交AD 于E ，交CD 的延长线于点F ，则DF =( )A ．1B C ．2 D ．39．已知点()12,A y - 、B （－1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数4y x=的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 310．如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是边AB 上一动点，点F 在边BC 上，且满足OE ⊥OF ，在点E 由A 运动到B 的过程中，以下结论正确的个数为( )①线段OE 的大小先变小后变大；②线段EF 的大小先变大后变小；③四边形OEBF 的面积先变大后变小．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11x 的取值范围是____．12．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是____(填写一个即可)．13(y﹣2)2=0，则(x+y)2019=____．14．请写出一个位于第一、三象限的反比例函数表达式，y = ．15．已知菱形的一条对角线长为6，面积是12，则这个菱形的另一条对角线长是____．16．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为.17．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则线段A'B的长度为____，折痕DG的长度为____．18．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为1和3，点C在边BG上，线段DF、EG交于点M，连接DE、BM，则△DEG的面积为____，BM=____．三、解答题1920．计算：21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是线段AC上的两点，并且AE=CF．求证：DE∥BF．22．心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间x(分)的变化规律如图所示，其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分．（1）写出线段AB和双曲线CD的函数关系式(不要求指出自变量取值范围)：线段AB：y1=；双曲线CD：y2=；（2）开始上课后第5分钟时的注意力水平为y1，第30分钟时的注意力水平为y2，则y1、y2的大小关系是；（3）在一节课中，学生大约最长可以连续保持分钟(精确到1分钟)，使得注意力维持在32以上．23．如图，每个小正方形的边长为1．（1）直接写出四边形ABCD的面积和周长；（2）求证：∠BCD=90°．24．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数myx=(m≠0)的图象交于A(2，2)、B(﹣1，n)两点．（1）求反比例函数myx=和一次函数y=kx+b的表达式；（2）根据图象，直接写出关于x的不等式mkx bx+<的解集．25．如图，在▱ABCD中，BC=2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，∠ABC=60°，求OC的长．26．[问题情境]已知矩形的面积为一定值1，当该矩形的一组邻边分别为多少时，它的周长最小？最小值是多少？[数学模型]设该矩形的一边长为x，周长为L，则L与x的函数表达式为．[探索研究]小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1y xx=+的图象性质．（1）结合问题情境，函数1y xx=+的自变量x的取值范围是，如表是y与x的几组对应值．①直接写出m的值；②画出该函数图象，结合图象，得出当x=时，y有最小值，y的最小值为．[解决问题]（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．27．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；（2）如图1，四边形ABCD是“等对边四边形”，其中AB=CD，边BA与CD的延长线交于点M，点E、F是对角线AC、BD的中点，若∠M=60°，求证：EF12=AB；（3）如图2．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且满足∠DBC=∠ECB12=∠A，线段CE、BD交于点．①求证：∠BDC=∠AEC；②请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明．28．如图的三张形状相同、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长为1，请依次在3个图中画出满足要求的三角形，要求所画的三角形的各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合．（1）画一个底边长为4，面积为10的等腰三角形；（2）画一个面积为10的等腰直角三角形；（3）画一个一边长为且面积为10的等腰三角形．29．四边形ABCD是边长为4正方形，点E是边BC上一动点(含端点B，不含端点C)，点F是正方形外角∠DCM的平分线上一点，且满足∠AEF=90°．（1）当点E与点B重合时，直接写出线段AE与线段EF的数量关系；（2）如图1，当点E是边BC的中点时．①补全图形；②请证明（1）中的结论仍然成立；（3）取线段CF的中点N，连接DE、NE、DN．①求证：EN=DN；②直接写出线段EN长度的取值范围．30．在平面直角坐标系xOy中，若▱ABCD的对角线交点在原点O上，并且其中一条对角线在坐标轴上，那么我们称▱ABCD为“中心平行四边形”，其中要求▱ABCD的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列．（1）如图1，点A(2，3)．①若点B(3，0)，在图中画出▱ABCD，并直接写出▱ABCD的面积；②若“中心平行四边形”▱ABCD是矩形，求▱ABCD的面积；（2）如图2，点M(1，5)，N(4，2)，点A在线段MN上，若“中心平行四边形”▱ABCD 中有一组对边垂直于坐标轴，直接写出▱ABCD面积的取值范围．参考答案1．C【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】A．∵22+42=20≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵)2+22=6≠22，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵32+42=25=52，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意；D．∵52+122=169≠142，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．2．A【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．求解即可．【详解】A是最简二次根式，本选项正确；B==，不是最简二次根式，本选项错误；C=，不是最简二次根式，本选项错误．D2故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．C【分析】根据平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，将∠A=2∠B代入求出∠B即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，把∠A=2∠B代入得：3∠B=180°，∴∠B=60°，∴∠C=120°，故选：C．【点睛】本题主要考查对平行四边形性质的理解和掌握，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．4．A【分析】根据邻补角的定义求出∠COD＝60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得AO＝BO＝CO＝DO＝2，然后判断出△COD是等边三角形，根据等边三角形三条边都相等可得CD＝DO＝2．【详解】∵∠AOD=120°，∴∠COD=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO=2，∴△COD是等边三角形，∴CD=DO=2．故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出△COD是等边三角形是解题的关键．5．D【解析】【分析】根据反比例函数的定义列方程求解即可得到结论．【详解】∵函数y=（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，∴|m|﹣2=﹣1，解得：m=±1．∵m+1≠0，∴m≠－1，∴m=1．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确列出方程是解题的关键．6．B【分析】根据直角三角形的性质以及菱形，矩形，正方形的判定定理，逐一判断命题的真假，即可得到答案.【详解】∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是真命题，∴A不符合题意；∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴B符合题意；∵“三个角是直角的四边形是矩形”是真命题，∴C不符合题意；∵“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”是真命题，∴D不符合题意.故选B.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及菱形，矩形，正方形的判定定理，掌握直角三角形的性质和特殊平行四边形的判定定理是解题的关键.7．D【分析】由正方形的边长为3，可以确定点A的坐标为（−3，3），代入反比例函数的关系式求出k 的值．【详解】如图，正方形ABOC的边长为3，∴A(﹣3，3)，代入反比例函数ykx得：k=﹣9．故选：D．【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质等知识，求出点A的坐标是解决问题的关键．8．C【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC=5，AB=CD=3，然后求出∠CBF=∠CFB，得到CF=CB=5即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=5，AB=CD=3，∴∠ABE=∠CFE．∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE=∠CBF，∴∠CBF=∠CFB，∴CF=CB=5，∴DF=CF﹣CD=5﹣3=2．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．9．D【解析】【分析】分别把各点坐标代入反比例函数y=4x，求出y1，y2，y3的值，再比较大小即可．【详解】∵点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=4x的图象上，∴y1=-2，y2=-4，y3=43，∵-4＜-2＜43，∴y2＜y1＜y3．故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．10．B【分析】①根据E点运动路线可知E点在起始A点和终点B点时都最大，在此过程中当OE⊥AB时，OE最小，所以线段OE的大小先变小后变大；②易知△AOE≌△BOF，可得OE＝OF，根据勾股定理可知EF2＝OE2＋OF2=2OE2，所以EF 的变化和OE变化一致：先变小后变大；③证明四边形OEBF面积＝△AOB面积，可得其面积始终不变．【详解】①在点E由A运动到B的过程中，根据垂线段最短可知当OE⊥AB时，OE最小，所以线段OE的大小先变小后变大，①正确；②∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB=90°，即∠AOE+∠BOE=90°，∵∠BOF+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠BOF，又∵∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，∴△OAE≌△OBF(ASA)，∴OE=OF，∵在Rt△OEF中，利用勾股定理可知EF2=OE2+OF2=2OE2，∴EF的变化是先变小后变大，②错误；③∵△OAE≌△OBF，∴△OAE的面积=△OBF的面积，∴四边形OEBF的面积=△OEB的面积+△OBF的面积=△OEB的面积+△OAE的面积=△AOB 的面积，∴四边形OEBF的面积不会改变，始终等于△AOB面积，③错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，本题同时也属于动点问题，解决此题的关键是分析出E点运动轨迹，同时推导出△OAE≌△OBF，不仅可得OF ＝OE，判断出EF变化趋势，而且还推导出四边形OEBF面积不会改变，始终等于△AOB的面积．11．x≥﹣2．【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，可以求出x的范围．【详解】根据题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键．12．AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定，要使四边形ABCD成为矩形，添加的一个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【详解】∵对角线AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，要使四边形ABCD成为矩形，需添加一个条件是：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．故答案为：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．【点睛】此题主要考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．13．1．【分析】由二次根式和偶次方的非负性得出x、y的值，代入计算可得．【详解】(y﹣2)2=0，∴x=﹣1，y=2，则(x+y)2019=(﹣1+2)2019=12019=1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查二次根式和偶次方的非负性，解题的关键是掌握非负数之和等于0时，各项都等于0．14．2yx=（答案不唯一）.【详解】设反比例函数解析式为kyx =，∵图象位于第一、三象限，∴k＞0，∴可写解析式为2yx=（答案不唯一）.考点：1.开放型；2.反比例函数的性质．15．4．【分析】设另一条对角线长为x，根据菱形的面积计算公式列方程求解即可．【详解】设另一条对角线长为x，则12⨯6x=12，解得：x=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了菱形面积的计算方法，熟记菱形的面积公式是解题的关键．16．20．【详解】∵AB＝5，AD＝12，∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线∴BO＝6.5∵O是AC的中点，M是AD的中点，∴OM是△ACD的中位线∴OM＝2.5∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20故答案为2017．4【分析】在矩形中根据勾股定理可求出BD的长，由折叠得DA＝DA′＝6，进而求出A′B，在Rt△A′BG 中，由勾股定理建立方程可求出A′G，即AG，在Rt△ADG中，由勾股定理可求出DG．【详解】∵矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，∴BD==10，由折叠得：DA=DA'=6，GA=GA'，∴A'B=DB﹣DA'=10﹣6=4，设GA=GA'=x，则GB=8﹣x，在Rt△A'BG中，由勾股定理得：x2+42=(8﹣x)2，解得：x=3，即AG=3，在Rt △ADG 中，由勾股定理得：DG =故答案为：4，【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质，设未知数建立方程是解决此类问题的常用方法．18．92【分析】依据五边形AEFGD 的面积减去△ADE 和△EFG 的面积，即可得到△DEG 的面积；连接BD ，BF ，即可得到△BDF 是直角三角形，然后证明M 是DF 的中点，再根据勾股定理求出DF 的长，依据直角三角形斜边上中线的性质即可得出BM 的长．【详解】根据题意得：△DEG 的面积为：12+3212+⨯1×(3﹣1)12-⨯1×(1+3)12-⨯32=1+9+1﹣29922-=， 如图，连接BD ，BF ，则∠DBF=90°，∴△BDF 是直角三角形．∵BM 与FM 关于GE 对称，∴BM=FM ，∴∠MBF=∠MFB ，又∵∠MBF+∠MBD=∠MFB+∠MDB ，∴∠MDB=∠MBD ，∴DM=BM ，∴M 是DF 的中点，∴Rt △BDF 中，BM 12=DF ． ∵正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为1和3，∴BD =，∴DF ==∴BM =故答案为：92【点睛】此题主要考查了正方形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解本题的关键．19．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】原式5.【点睛】本题考查二次根式的加减，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 20．4．【分析】利用平方差公式和二次根式的除法法则运算．【详解】原式=5﹣3．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21．证明见解析．【分析】由平行四边形的性质可求得OA=OC ，OB=OD ，再结合条件可求得OE ＝OF ，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可证得结论．【详解】如图，连接BE ，DF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，又∵AE=CF ，∴OE=OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE ∥BF ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用平行四边形的性质求得OE ＝OF 是解题的关键． 22．（1）y 1=2x+20，y 21000x =；（2）y 1＜y 2；（3）25． 【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB 和CD 的函数表达式，进而得出答案；（2）利用（1）中所求，计算出第5分钟和第30分钟的注意力，最后比较判断； （3）分别求出注意力为32时的两个时间，求差即可得到结论．【详解】（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x+20，把B(10，40)代入得：40=10k 1+20，解得：k 1=2，∴y 1=2x+20，设C 、D 所在双曲线的解析式为y 22k x=， 把C(25，40)代入得：24025k =，解得：k 2=1000， ∴y 21000x=； （2）当x 1=5时，y 1=2×5+20=30，当x 2=30时，y 21000100303==， ∵100303<， ∴y 1、y 2的大小关系是y 1＜y 2；（3）令y 1=32，即32=2x+20，解得：x 1=6，令y 2=32，即321000x =， 解得：x 2≈31，∵31﹣6=25，∴学生大约最长可以连续保持25分钟(精确到1分钟)，使得注意力维持在32以上．【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求对应的函数值．23．（1）四边形ABCD 的面积为14.5，四边形ABCD （2）证明见解析．【分析】（1）用四边形ABCD 所在长方形的面积减去4个小三角形的面积，列出算式计算即可求得四边形ABCD 的面积；利用勾股定理分别求出AB 、BC 、CD 、AD ，即可求得四边形ABCD 的周长；（2）求出BD 2，利用勾股定理的逆定理即可证明；【详解】（1）四边形ABCD 的面积=5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2=14.5；由勾股定理得AB =BC ==CD =AD=故四边形ABCD =（2）连接BD ．∵BD 2223425=+=，BC 2+CD 2=20+5=25，∴BC 2+CD 2=BD 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°．【点睛】本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（1）4y x =，y =2x ﹣2；（2）x ＜﹣1或0＜x ＜2． 【分析】（1）首先，根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得B 的坐标，然后再根据待定系数法求得一次函数的解析式；（2）结合函数图象即可得出结论．【详解】（1）∵反比例函数y m x =(m ≠0)的图象经过A(2，2)， ∴22m =，解得：m=4， ∴反比例函数解析式为：y 4x=， ∵B(﹣1，n )在反比例函数y 4x=的图象上， ∴n 41==--4， ∴B(﹣1，﹣4),∵将A(2，2)、B(﹣1，﹣4)代入一次函数y=kx+b(k≠0)中，得224k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得22k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数解析式为y=2x﹣2；（2）结合一次函数图象与反比例函数图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，故不等式kx+bmx＜的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，能够根据函数图象确定出不等式的解集是解决问题的关键．25．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）首先证明四边形ABEF是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）过点O作OG⊥BC于点G．分别在Rt△OEG，Rt△OCG中，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC=AD．∵E，F分别是BC，AD的中点，∴BE12=BC，AF12=AD，∴BE=AF，∴四边形ABEF是平行四边形．∵BC=2AB，∴AB=BE，∴平行四边形ABEF是菱形．（2）过点O作OG⊥BC于点G，如图所示，∵E是BC的中点，BC=2AB，∴BE=CE=AB=4．∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，∴BE=CE=AB=4，∠OBE=30°，∠BOE=90°，∴OE=2，∠OEB=60°，∴GE=1，OG==∴GC=GE+CE=5，∴OC===．【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．26．[数学模型]L=2(x1x+)；[探索研究]（1）x＞0；①m的值为4；②1，2；（2）当邻边分别为1和1时，它的周长最小，最小值是4．【分析】[数学模型]求出另一边长，然后根据矩形的周长公式即可得到结论；[探索研究]（1）根据边长大于0可得自变量x的取值范围；①求出y=414时x的值即可；②根据表中的数据画出函数的图象，再结合表中的数据和函数图象得到y的最小值；（2）根据（1）中的结论就可以求出周长的最小值．【详解】[数学模型]∵矩形的面积为1，一边长为x，∴另一边长为：1x，∴L与x的函数表达式为：L=2(x1x +)；[探索研究]（1）自变量x的取值范围是x＞0；①当y=414时，即11x4x4+=，解得：x=4或14，∴m的值为4；②函数图象如图：由图象得：当0＜x＜1时，y随x增大而减小；当x＞1时，y随x增大而增大；∴当x=1时，函数y=x1x(x＞0)的最小值为2．（2）当邻边分别为1和1时，它的周长最小，最小值是4．【点睛】本题考查了函数图象和性质的探究，描点法画函数的图象，正确的理解题意是解题的关键．27．（1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②四边形EBCD是等对边四边形．证明见解析．【分析】（1）理解等对边四边形的图形的定义，有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等，可得出答案．（2）取BC的中点N，连结EN，FN，由中位线定理可得EN＝12CD，FN＝12AB，可证明△EFN为等边三角形，则结论得证；（3）①证明∠EOB＝∠A，利用四边形内角和可证明∠BDC＝∠AEC；②作CG⊥BD于G点，作BF⊥CE交CE延长线于F点．根据AAS可证明△BCF≌△CBG，则BF＝CG，证明△BEF≌△CDG，可得BE＝CD，则四边形EBCD是“等对边四边形”．【详解】（1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等．（2）如图1，取BC的中点N，连结EN，FN，∴EN12=CD，FN12=AB，∴EN=FN．∵∠M=60°，∴∠MBC+∠MCB=120°．∵FN∥AB，EN∥MC，∴∠FNC=∠MBC，∠ENB=∠MCB，∴∠ENF=180°﹣120°=60°，∴△EFN为等边三角形，∴EF=FN12=AB．（3）①证明：∵∠BOE=∠BCE+∠DBC，∠DBC=∠ECB12=∠A，∴∠BOE=2∠DBC=∠A．∵∠A+∠AEC+∠ADB+∠EOD=360°，∠BOE+∠EOD=180°，∴∠AEC+∠ADB=180°．∵∠ADB+∠BDC=180°，∴∠BDC=∠AEC；②解：此时存在等对边四边形，是四边形EBCD．如图2，作CG⊥BD于G点，作BF⊥CE交CE延长线于F点．∵∠DBC=∠ECB12∠A，BC=CB，∠BFC=∠BGC=90°，∴△BCF≌△CBG(AAS)，∴BF=CG．∵∠BEF=∠ABD+∠DBC+∠ECB，∠BDC=∠ABD+∠A，∴∠BEF=∠BDC，∴△BEF≌△CDG(AAS)，∴BE=CD，∴四边形EBCD是等对边四边形．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，中位线定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，解决本题的关键是理解等对边四边形的定义．28．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析．【分析】（1）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可；（2）利用勾股定理、三角形面积求法、等腰直角三角形的性质画出即可；（3）利用勾股定理、三角形面积求法、等腰三角形的性质画出即可．【详解】（1）如图1所示，△ABC即为所求；（2）如图2所示，△ABC即为所求；（3）如图3所示，△ABC即为所求．【点睛】此题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是关键．29．（1）AE=EF；（2）①答案见解析；②证明见解析；（3）①证明见解析；②EN≤4．【分析】（1）根据图形可得答案；（2）①由题意画出图形；②在AB上取AB中点H，连接HE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，可得AE＝EF；（3）①如图2，延长DN，使HN＝DN，连接FH，EH，由“SAS”可证△DCN≌△HFN，可得DC＝FH，∠DCF＝∠FCM＝45°，由“SAS”可证△ADE≌△FHE，可得DE＝EH，由等腰三角形的性质可得EN＝DN；②由等腰直角三角形的性质可得DE EN，即可求解．【详解】（1）当点E与点B重合时，且∠AEF=90°，∴点F与点C重合，∴AE=EF，（2）①如图1，②如图1，在AB上取AB中点H，连接HE．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，且点H是AB中点，点E是BC中点，∴AH=BH=BE=CE，∴∠BEH=∠BHE=45°，∴∠AHE=135°．∵CF平分∠DCM，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°=∠AHE．∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEC=90°，且∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠FEC，且AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF(ASA)，∴AE=EF，（3）①如图2，延长DN，使HN=DN，连接FH，EH，∵CN=FN，∠DNC=∠HNF，DN=NH，∴△DCN≌△HFN(SAS)，∴DC=FH，∠DCF=∠FCM=45°，∴FH∥DC，且CD⊥BC，∴FH⊥BM，∴∠FEM+∠EFH=90°，且∠FEM=∠BAE，∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAE=∠EFH．∵AD=CD，CD=FH，∴AD=FH，且AE=EF，∠DAE=∠EFH，∴△ADE≌△FHE(SAS)，∴DE=EH，且DN=NH，∴EN=DN，②∵DE=EH，DN=NH，∴EN=DN，EN⊥DN，∴DE ．∵点E是边BC上一动点(含端点B，不含端点C)，∴4＜，∴EN≤4.【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．30．（1）①作图见解析，S▱ABCD=18；②S▱ABCD（2）10≤▱ABCD面积≤18．【分析】（1）①作点C（−2，−3），点D（−3，0），依次连接AB，BC，CD，AD，即可得平行四边形ABCD，由平行四边形的面积公式可求解；②由矩形的性质可得OA＝OB x轴上和y轴上两种情况讨论，由矩形的性质可求解；（2）由待定系数法求直线MN解析式为y＝−x＋6，设点A（a，−a＋6），即可求▱ABCD面积，由二次函数的性质可求解．【详解】（1）①作点C(﹣2，﹣3)，点D(﹣3，0)，依次连接AB，BC，CD，AD，即可得平行四边形ABCD，∴S▱ABCD=6×3=18；②∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD．∵点A(2，3)，∴OA==当对角线在x轴上，OB=OA=∴S▱ABCD当对角线在y轴上，OB=OA=∴S▱ABCD（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，且过点M(1，5)，N(4，2)，∴245k bk b=+⎧⎨=+⎩解得：16kb=-⎧⎨=⎩，∴直线MN的解析式为y=﹣x+6．∵点A在线段MN上，∴设点A(a，﹣a+6)，(1≤a≤4)∵有一组对边垂直于坐标轴，∴S▱ABCD=412⨯⨯a×(﹣a+6)=﹣2(a﹣3)2+18，∴当a=3时，S▱ABCD有最大值为18，当a=1时，S▱ABCD有最小值为10，∴10≤▱ABCD面积≤18．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，待定系数法求直线解析式，二次函数的性质，用参数表示▱ABCD面积是本题的关键．。
2020年北师大八年级下数学期中试题及答案
八年级下册期中考试题号 一 二 三 总 分 1-8 9-15 16 17 18 19 20 2122 23 得分一、选择题 （每小题3分，共24分）1．下列各组数中，能够组成直角三角形的是 【 】 A ．3，4，5 B ．4，5，6 C ．5，6，7 D ．6，7，82．若式子21x -－12x -＋1有意义，则x 的取值范围是 【 】A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x ＝12D ．以上答案都不对 3．在根式①21x + ②5x③2x xy - ④27xy 中，最简二次根式是 【 】A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．① ④4．若三角形的三边长分别为2，6，2，则此三角形的面积为 【 】 A ．22B ．2C ．3D ． 35．如图所示，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上， 连接BD ，则BD 的长为 【 】 A ．3 B ．23 C ．33 D ．436．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ， 若∠ADC ＝130°，则∠AOE 的大小为 【 】 A ．75° B ．65° C ．55° D ．50°7．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC ＝4，则四边形CODE 的周长是 【 】 A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ．10 8．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两条直角边（x ＞ y ），请观察图案，指出下列关系式不正确．．．的是 【 】 A ．2249x y += B ．2x y -= C ．2449xy += D ．13x y +=二、填空题（ 每小题3分，共21分） 9．若x ，y 为实数，且∣x ＋2∣＋3y -＝0，则（x ＋y ）2017的值为 ．1022(23)(31)-- ．座号第5题图AB C D E 第6题图O EA B C D 第7题图ABC OE D y x第8题图12．若x ＝27＋x 2＋（2）x＝ ．13．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为（－3，0）， （2，0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是 ．14．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过顶点D ，B 作DE ⊥a 于点E ， BF ⊥a 于点F ，若DE ＝4，BF ＝3，则EF ＝ ．15．如图，R t △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在斜边AC 上，与点B ＇重合，AE 为折痕，则E B ＇＝ ．三、解答题：（本大题共8个小题，满分75分）16．（每小题4分 共8分）计算：（101)； （2）a53217．(8分)有意义， x 的取值范围是什么？18．（9分）如图，每个小正方形的边长都是1， （1）求四边形ABCD 的周长和面积 （2）∠BCD 是直角吗？ 第11题图0ba B 'A B C E aA B C D E F第13题图第14题图第15题图第18题图AB19．(9分)如图所示，在□ABCD 中，点E ，F 分别在边BC 和AD 上，且CE ＝AF ，（1）求证：△ABE ≌ △CDF ；（2）求证：四边形AECF 是平行四边形．20．(10分) 如图所示，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，（1）求证：△ABE ≌ △CDF ； （2）若∠B ＝60°，AB ＝4，求线段AE 的长．21．（10分）如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，连接OE ，过点C作CF ∥BD 交线段OE 的延长线于点F ，连接DF ．求证： （1）OD ＝CF ；（2）四边形ODFC 是菱形．22．（10分）如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，OF ⊥AD 于点F ，OF ＝2cm ， AE ⊥BD 于点E ，且BE ﹕BD ＝1﹕4，求AC 的长．第19题图AB C DE F第20题图A B C D FE 第21题图A B C DF E O A B O ED F C 第22题图23．（11分）在平面内，正方形ABCD 与正方形CEFH 如图放置，连接DE ，BH ，两线交于M ，求证：（1）BH ＝DE ； （2）BH ⊥DE ．HM A BFEC D第23题图参考答案一、 选择题 题号 1 23 4 5 6 7 8 答案 A CCBDBCD二、填空题 题号 9 10 1112 13 1415答案 11b2＋3（5，4） 732三、 解答题16．（1）321+（4分） （2）272a a （4分） 17．a ＝5； ……………………3分 5≤x ≤10 ……………………8分18．（1）周长263517++ ……………………3分面积14.5 ……………………6分（2）是……………………7分，证明：略．……………………9分 19．（1）略 5分 （2）略 9分20．（1）略 5分 （2）证出AE 是高 8分，AE ＝ 23 10分 21．证明：（1）∵CF ∥BD ∴∠DOE ＝∠CFE ，∵E 是CD 的中点，∴CE ＝DE在△ODE 和△FCE 中，DOE CFE CE DE DEO CEFì??ïïï=íïï??ïïî，∴△ODE ≌△FCE （ASA ）∴OD ＝CF ．……………………6分（2）由（1）知OD ＝CF ，∵CF ∥BD ，∴四边形ODFC 是平行四边形在矩形ABCD 中，OC ＝OD ，∴四边形ODFC 是菱形．……………………10分22．解法一：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°，OB ＝OD ，AC ＝BD ，又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥AB ，又∵OB ＝OD ，∴ AB ＝2OF ＝4cm ，∵BE ︰BD ＝1︰4，∴BE ︰ED ＝1︰3 ……………………3分 设BE ＝x ，ED ＝3 x ，则BD ＝4 x ，∵AE ⊥BD 于点E∴22222AE AB BE AD ED =-=-，∴16－x 2＝AD 2－9x 2………………6分 又∵AD 2＝BD 2－AB 2＝16 x 2－16 ，∴16－x 2＝16 x 2－16－9x 2，8 x 2＝32 ∴x 2＝4，∴x ＝2 ……………………9分 ∴BD ＝2×4 ＝8（cm ），∴AC ＝8 cm ． ……………………10分解法二：在矩形ABCD 中，BO ＝OD ＝12BD ，∵BE ︰BD ＝1︰4，∴BE ︰BO ＝1︰2， 即E 是BO 的中点 ……………………3分 又AE ⊥BO ，∴AB ＝A O ，由矩形的对角线互相平分且相等，∴AO ＝BO ……………………5分 ∴△ABO 是正三角形，∴∠BAO ＝60°，∴∠OAD ＝90°－60°＝30° ……………………8分 在Rt △AOF 中，AO ＝2OF ＝4，∴AC ＝2AO ＝8 ……………………10分23．（1）提示：证明：△BCH ≌△DCE （SAS ） ……………………6分 （2）由（1）知 △BCH ≌△DCE ∴∠CBH ＝∠EDC 设BH ，CD 交于点N ，则∠BNC ＝∠ DNH ∴∠CBH ＋∠BNC ＝∠EDC ＋∠DNH ＝90°∴∠DMN =180°-90°＝90°∴BH ⊥DE ．……………………11分。
2020北京师大附中初二(下)期中数学含答案
2020北京师大附中初二（下）期中数学一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．（3分）4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．162．（3分）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|＝|b|，则下列结论中错误的是（）A．a+b＞0 B．a+c＞0 C．b+c＞0 D．ac＜03．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，34．（3分）如图，已知点A的坐标为（1，2），则线段OA的长为（）A．B．C．D．35．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝06．（3分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣67．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570B．32x+2×20x＝32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570D．32x+2×20x﹣2x2＝5708．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数，如图描述了A、B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是（）①消耗1升汽油，A车最多可行驶5千米；②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油；③对于A车而言，行驶速度越快越省油；④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油．A．①④B．②③C．②④D．①③④二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．10．（3分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是．甲乙丙丁7887s21 1.20.9 1.811．（3分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝°．12．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k＝．13．（3分）写出一个满足的整数a的值为．14．（3分）若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为．15．（3分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为．三、解答题（本题共52分）17．（6分）计算：（1）﹣+＝；（2）（3﹣2）÷＝．18．（8分）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：（1）a2﹣2ab+b2；（2）a2﹣b2．19．（16分）解方程：（1）x2﹣9＝0；（2）x2＝x+12；（3）x2﹣4x＝6；（4）2（x+3）2＝x（x+3）．20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+＝0 有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最小整数时，求此时方程的解．21．（7分）为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100成绩x学校甲41113102乙6315142（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲74.2n85乙73.57684根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．22．（8分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（CA＞2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE＝α，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（3）若点G在线段CF上，CG＝BD，连接DG．①判断DG与BC的位置关系并证明；②用等式表示DG、CG、AB之间的数量关系为．2020北京师大附中初二（下）期中数学参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．【分析】根据|a|＝|b|，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．【解答】解：∵|a|＝|b|，∴原点在a，b的中间，如图，由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，b+c＜0，ac＜0，a+b＝0，故选项A错误，故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．3．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；D、12+（）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：OA＝＝，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．5．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【解答】解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．6．【分析】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．7．【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．8．【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．【解答】解：①由图象可知，当A车速度超过40km时，燃油效率大于5km/L，所以当速度超过40km时，消耗1升汽油，A车行驶距离大于5千米，故此项错误；②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，路程为40km，40km÷10km/L＝4L，最多消耗4升汽油，此项正确；③对于A车而言，行驶速度在0﹣80km/h时，越快越省油，故此项错误；④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车燃油效率更高，所以更省油，故此项正确．故②④合理，故选：C．【点评】本题考查了折线统计图，熟练读懂折线统计图是解题思的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．【点评】本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．10．【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故答案为：丙．【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．11．【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE＝∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．【解答】解：在△DCE和△ABD中，∵，∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE＝∠DAB，∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝90°，故答案为：90．【点评】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．12．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程求得k 的值；注意二次项系数不为零．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个解为0，∴（k﹣1）×02+3×0+k2﹣1＝0且k﹣1≠0，解得k＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了一元二次方程的定义．13．【分析】先估算和的范围，再得出整数即可．【解答】解：∵1＜＜2，3＜＜4，∴满足的整数a的值是2或3，故答案为：2或3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出和的范围是解此题的关键．14．【分析】分两种情况：①k﹣2≠0时，由△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k﹣6）≥0，解不等式即可；②当k﹣2＝0时为一元一次方程，方程有一根．【解答】解：分两种情况：①k﹣2≠0时，∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，∴△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k﹣6）≥0，且k≠2，解得k≥且k≠2，∴k的取值范围为k≥且k≠2；②当k﹣2＝0时为一元一次方程，方程有一根．综上所知k的取值范围为k≥，故答案为：k≥．【点评】本题主要考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．进行分类讨论是解题的关键．15．【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】解：观察发现，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝1，同理S3+S4＝3．则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为：4．【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．16．【分析】根据折叠的性质得到AF＝AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF＝6，然后设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x，CF＝10﹣6＝4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．【解答】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝8，∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△AOF中，OF＝＝6，∴FC＝10﹣6＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，即EC的长为3．∴点E的坐标为（10，3），解法二：证明△AOF∽△FCE，求出EC即可．故答案为：（10，3）．【点评】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质以及勾股定理．三、解答题（本题共52分）17．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的除法法则运算．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+＝；（2）原式＝3﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；（2）结合平方差公式计算得出答案．【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝+2+﹣2＝2，a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，（1）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝42＝16；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．19．【分析】（1）（2）（4）运用因式分解法求解比较简单；（3）运用配方法求解比较简单．【解答】解：（1）∵x2﹣9＝0，∴（x+3）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣3，x2＝3；（2）x2＝x+12；∴x2﹣x﹣12＝0，∴（x+3）（x﹣4）＝0，∴x1＝﹣3，x2＝4；（3）∵x2﹣4x＝6，∴x2﹣4x+4＝6+4，∴（x﹣2）2＝10，∴x﹣2＝±，∴x1＝2﹣，x2＝2+；（4）∵2（x+3）2＝x（x+3），∴2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，∴（x+3）[2（x+3）﹣x]＝0，∴（x+3）（x+6）＝0，∴x+3＝0或x+6＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣6．【点评】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法和配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．20．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到△＝（k+1）2﹣4×k2＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可；（2）根据k取最小整数，得到k＝0，列方程即可得到结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+＝0 有两个不相等的实数根，∴△＝（k+1）2﹣4×k2＞0，∴k＞﹣；（2）∵k取最小整数，∴k＝0，∴原方程可化为x2+x＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21．【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；（2）根据甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，所以中位数n＝＝72.5；（2）甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生．故答案为：甲，甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分．（3）在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14+2＝16．假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为．【点评】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．22．【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；（3）①根据全等三角形的判定和性质以及垂直的判定解答即可；②根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠ACE＝α，∴∠ECB＝45°+α，∵CF⊥BD交BD的延长线于点E，∴∠BEF＝90°，∴∠F+∠ABD＝90°，∵∠F+∠ECB＝90°，∴∠ABD＝∠ECB＝45°+α；（3）①DG与BC的位置关系：DG⊥BC，证明如下：连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图2，∵AB＝BC，∠ABD＝∠ECB，BD＝CG，∴△ABD≌△BCG（SAS），∴∠CBG＝∠BAD＝45°，∴∠ABG＝∠CBG＝∠BAC＝45°，∴AM＝BM，∠AMB＝90°，∵AD＝BG，∴DM＝GM，∴∠MGD＝∠GDM＝45°，∴∠BHG＝90°，∴DG⊥BC；②∵AB＝BC，BD＝CG，由勾股定理可得：CE2+BE2＝CB2，GE2+DE2＝GD2，∴DG2＝2DM2，AB2＝2BM2，DG2+AB2＝2（DM2+BM2）＝2BD2＝2CG2∴DG、CG、AB之间的数量关系为：2CG2＝DG2+AB2，故答案为：2CG2＝DG2+AB2，【点评】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．。
2020-2021学年北京市海淀区首都师大二附中初二数学第二学期期中试卷及解析
2020-2021学年北京市海淀区首都师大二附中初二数学第二学期期中试卷一、选择题（共10小题；共50分）1．（5分）下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A ．12B ．3C ．8D ．122．（5分）下列各式中，计算正确的是( ) A ．235+=B ．2(2)2-=-C ．2(3)3-=D ．233363⨯=3．（5分）一次函数(0y kx b k =+≠，k ，b 为常数）的图象如图所示，则k ，b 的取值范围是( )A ．0k >，0b >B ．0k <，0b >C ．0k >，0b <D ．0k <，0b <4．（5分）若点1(3,)y 和2(1,)y -都在一次函数25y x =-+的图象上，则1y 与2y 大小关系是( ) A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．无法确定5．（5分）下列各曲线表示的y 与x 的关系中，y 不是x 的函数的是( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，13AB =，5AC =，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，则DE 的长是( )2222aaA．6.5B．6C．5.5D．119 27．（5分）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是()A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是否为直角8．（5分）有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则2||b a b--等于()A．a B．a-C．2b a+D．2b a-9．（5分）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，3BC=，5AB=，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使DAC DCE∠=∠，连接BE，则BE的最小值为()A．253-B．52C．132-D．9510．（5分）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B E D--的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是()A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D二、填空题（共8小题；共40分）11．（5分）若式子1x+在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（5分）将直线3=沿y轴向下平移4个单位长度后得到的直线解析式为．y x13．（5分）如图，在数轴上点A表示的实数是．14．（5分）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，9+=尺，3BC=尺，则AC=尺．AB AC15．（5分）某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树中各采摘了15棵，产量的平均数x（单位：千克）及方差2s如表所示：甲乙丙丁x262326232s 1.7 1.2 1.6 1.6若准备从四个品种中选出一种产量高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是．16．（5分）如图，已知菱形ABCD的一个内角80BAD∠=︒，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE BO∠=度．=，则EOA17．（5分）如图，直线3=+与x轴交于点A，与y轴交于点D，将线段AD沿x轴向右平移4个单位长y x度得到线段BC，若直线4=-与四边形ABCD有两个交点，则k的取值范围是．y kx18．（5分）边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为ah为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为．（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为6)5中的格点，则ABC∆的面积为．三、解答题（共7小题；共60分）19．（6分）计算：(246)3-÷20．（9分）如图，一次函数1:22l y x=-的图象与x轴交于点D，一次函数2:l y kx b=+的图象与x轴交于点A，且经过点(3,1)B，两函数图象交于点(,2)C m．（1）求m的值和一次函数2:l y kx b=+的解析式；（2）根据图象，直接写出22kx b x+<-的解集．21．（9分）如图，已知，在ADE∆中，90ADE∠=︒，点B是AE的中点，过点D作//DC AE，DC AB=，连接BD，CE．（1）求证：四边形BDCE 是菱形；（2）若6AD =，5BD =，求菱形BDCE 的面积．22．（9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解，甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按22元收费：超过1千克，超过的部分按每千克15元收费；乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x 千克．（1）当0x >时，直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元)与x （千克）之间的函数关系式； （2）当小明快递的物品超过1千克时，选择哪家快递公司更省钱？23．（9分）某年级共有150名女生，为了解该校女生实心球成绩（单位：米）和仰卧起坐（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了她们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．（a ）实心球成绩的频数分布表如下： 分组 6.2 6.6x <6.67.0x <7.07.4x <7.47.8x <7.88.2x <8.28.6x <频数2m10621（b ）实心球成绩在7.07.4x <这组的数据是： 7.0 7.0 7.0 7.17.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.3 （c ）一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m 的值为 ．（2）抽取的30名女生一分钟仰卧起坐成绩的众数为 个，中位数为 个．（3）若实心球成绩达到7.2米及以上，成绩记为优秀，请估计全年级女生成绩达到优秀的人数．24．（9分）如图，正方形ABCD 中，点M 在CD 边上，在正方形ABCD 外部做一个等腰直角三角形CMN ，且满足90CMN ∠=︒．连接AN ，CN ，取AN 的中点E ，连接BE ，AC ，交于F 点． （1）①依题意补全图形； ②求证：F 是AC 中点．（2）请探究线段CD ，CN ，BE 所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设2AB =，若点M 沿着线段CD 从点C 运动到点D ，则在该运动过程中，线段EN 所扫过的面积为 （直接写出答案）．25．（9分）对于正数x ，用符号[]x 表示x 的整数部分，例如：[0.1]0=，[2.5]2=，[3]3=．点(,)A a b 在第一象限内，以A 为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直，其中垂直于y 轴的边长为a ，垂直于x 轴的边长为[]1b +，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点A 的伴随域．例如，点3(3,)2的伴随域是一个以3(3,)2为对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6．根据上面的定义，回答下列问题：（1）在图2所示的坐标系中画出点7(4,)2的伴随域，该伴随域的面积是 ；（2）点7(4,)2P ，(Q a ，7)(0)2a >的伴随域重叠部分面积为2，求a 的值；（3）已知点(B m ，)(0)n m >在直线1y x =+上，且点B 的伴随域的面积S 满足57S <<，那么m 的取值范围是 ．（直接写出结果）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题；共50分）1．【解答】解：ABCD =，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B ．2．【解答】解：（A A 错误． （B ）原式2=，故B 错误． （D ）原式6318=⨯=，故D 错误． 故选：C ．3．【解答】解：观察图形可知：一次函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限， 0k ∴>，0b <．故选：C ．4．【解答】解：当3x =时，12351y =-⨯+=-； 当1x =-时，22(1)57y =-⨯-+=． 17-<， 12y y ∴<．故选：A ．5．【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C 不满足条件．故选：C ．6．【解答】解：在ABC ∆中，90C ∠=︒，13AB =，5AC =，则12BC ==，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，162DE BC ∴==， 故选：B ．7．【解答】解：A 、对角线是否相互平分，只能判定平行四边形；B 、两组对边是否分别相等，只能判定平行四边形；C 、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D 、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选：D ．8．【解答】解：观察数轴可知： 2||b b =，当0b <时，2b b =-，所以原式()b a b b a b a =---=--+=-． 故选：B ．9．【解答】解：Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，5AB =，4AC ∴=，如图，取AC 的中点O ，连接OE ，OB ， DAC DCE ∠=∠，90DCE ACE ∠+∠=︒， 90DAC ACE ∴∠+∠=︒， 90AEC ∴∠=︒， CE AD ∴⊥，可得E 点在以O 为圆心，半径为OA 的圆上运动，当O ，E ，B 三点在同一直线上时，BE 最短， 可得此时2OE OC OA ===， 在Rt OCB ∆中，223213OB =+ 故BE 的最短值为：132OB OE -=， 故选：C ．10．【解答】解：由题意和图象，可得由监测点A 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减小再增大；由监测点B 监测P 时，函数值y 随t 的增大而增大；由监测点C 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减小再增大，然后再减小； 由监测点D 监测P 时，函数值y 随t 的增大而减小； 故选：C ．二、填空题（共8小题；共40分） 11．【解答】解：根据题意得：10x +， 解得1x -， 故答案为：1x -．12．【解答】解：将直线3y x =沿y 轴向下平移4个单位长度后得到的直线解析式为34y x =-， 故答案为：34y x =-．13．【解答】解：由勾股定理，得， 由圆的性质，得点A ，．14．【解答】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(9)x -尺， 根据勾股定理得：2223(9)x x +=-． 解得：4x =，答：折断处离地面的高度为4尺． 故答案为：4．15．【解答】解：在四个品种中甲、丙的平均数大于乙、丁，且丙的方差小于甲的方差，∴丙品种的苹果数的产量高又稳定，故答案为：丙．16．【解答】解：80BAD ∠=︒，菱形邻角和为180︒ 100ABC ∴∠=︒，菱形对角线即角平分线 50ABO ∴∠=︒， BE BO =18050652BEO BOE ︒-︒∴∠=∠==︒， 菱形对角线互相垂直 90AOB ∴∠=︒，906525AOE ∴∠=︒-︒=︒，故答案为 25．17．【解答】解：直线3y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ， 令0x =，则3y =，令0y =，则3x =-， (0,3)D ∴，(3,0)A -，将直线AD 向右平移4个单位长度，点A 平移后的对应点为点B 为(1,0)； 把(3,0)A -代入4y kx =-中得340k --=， 43k ∴=-，把(1,0)B 代入4y kx =-中得40k -=， 4k ∴=，把(4,3)C 代入4y kx =-中得443k -=， 74k ∴=， 74k ∴>或43k <-， 故答案为：74k >或43k <-． 18．【解答】解：（1）边长为a 的正方形面积2a =，边长为a 的菱形面积ah =，∴菱形面积：正方形面积2::ah a h a ==，菱形的变形度为2，即2ah=， ∴ “形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比1:2=，故答案为：1:2；（2）菱形的边长为1，“形变度”为65， ∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比为65， 111545(36633336)22264ABC S ∆∴=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=故答案为：454． 三、解答题（共7小题；共60分）19．【解答】解：原式==-=20．【解答】解：（1）两函数图象交于点(,2)C m ，∴把点C 的坐标代入22y x =-得：222m =-，解得：2m =，即(2,2)C ，函数y kx b =+经过点(3,1)B ，点(2,2)C ，∴1322k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：1k =-，4b =，即4y x =-+，所以2m =，一次函数2:l y kx b =+的解析式是4y x =-+；（2）由图象可知不等式22kx b x +<-的解集是2x >．21．【解答】（1）证明：//DC BE ，DC AB =，∴四边形BECD 是平行四边形，90ADE ∠=︒，点B 是AE 的中点，12DB AE AB BE ∴===， ∴平行四边形BDCE 是菱形；（2）解：如图，连接BC 交DE 于O ，四边形BDCE 是菱形，BC DE ∴⊥，OD OE =，OB OC =，点B 是AE 的中点，OB ∴是ADE ∆的中位线，132OB AD ∴==，26BC OB ∴==，4OD ===，28DE OD ∴==，11682422BDCE S BC DE ∴=⋅=⨯⨯=菱形．22．【解答】解：（1）当01x <时，22y =甲；当1x >时，()22151157y x x =+-=+甲．22(01)157(1)x y x x <⎧∴=⎨+>⎩甲， 由题可得，163y x =+乙；（2）当1x >时，令y y =乙甲，即157163x x +=+，解得4x =；当4x =，选甲、乙两家快递公司快递费一样多，故当小明快递的物品超过1千克而小于4千克，则他应选择乙快递公司更省钱，当小明快递的物品超4千克，则他应选择甲快递公司更省钱．23．【解答】解：（1）302106219m =-----=，故答案为：9；（2）由（c ）中统计图可知，抽取的30名女生一分钟仰卧起坐成绩的众数为43，中位数是45，故答案为：43，45；（3）46211506530+++⨯=（人)， 即估计全年级女生成绩达到优秀的约有65人．24．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．②证明：连接CE ，如图2所示．四边形ABCD 是正方形，90BCD ∴∠=︒，AB BC =，1452ACB ACD BCD ∴∠=∠=∠=︒， 90CMN ∠=︒，CM MN =，45MCN ∴∠=︒，90ACN ACD MCN ∴∠=∠+∠=︒，在Rt ACN ∆中，点E 是AN 中点，12AE CE AN ∴==． AE CE =，AB CB =，∴点B 、E 在AC 的垂直平分线上，F ∴是AC 中点；（2）由②可得，BE 是线段AC 的垂直平分线，90ACN ∠=︒，EF AC ∴⊥，F 是AC 中点，190452FBC FBA ∠=∠=⨯︒=︒， //EF CN ∴，且F 是AC 中点，EF ∴是ANC ∆的中位线，12EF CN ∴=， 22sin 452BF CF BC BC ==︒=， 212BE BF EF CN ∴=++，即22BE CD CN =+； （3）在点M 沿着线段CD 从点C 运动到点D 的过程中，线段EN 所扫过的图形为四边形DFCN ．45BDC ∠=︒，45DCN ∠=︒，//BD CN ∴， ∴四边形DFCN 为梯形．2AB CD ==，sin451CF DF CD ∴==︒=，2cos45CD CN ==︒， ()()113121222DFCN S DF CN CF ∴=+⋅=+⨯=梯形， 故答案为：32． 25．【解答】解：（1）点7(4,)2的伴随域是一个以点7(4,)2为对角线交点，长为4，宽为4的矩形所覆盖的区域，如图2所示：该矩形区域的面积为16．（2）点7(4,)2P ，(Q a ，7)(0)2a >的伴随域重叠部分面积为2，且平行于y 轴的边长均为4， ∴点7(4,)2P ，(Q a ，7)(0)2a >的伴随域重叠部分也一个矩形，且平行于y 轴的边长均为4，平行于x 轴的边长均为12，①当04a<<时，12422aa +-=-，解得53a=；②4a>时，12422aa+-=-，解得11a=．综上分析a的值为53或11．（3）当1m=时，3S=；当2m=时，8S=；57S<<，12m∴<<，∴平行于y轴的矩形的边长为3，∴平行于x轴的矩形的边长m的范围为57 33m<<．12m<<，故答案为523m<<．。
2020年最新北师大八年级下册期中数学试卷及答案
八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若x＞y，则下列变形正确的是（）A．x+3＞y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．﹣3x＞﹣3y D．﹣2．在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．不等式﹣x＞﹣1的解集为（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣24．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点Q，下列结论不一定成立的是（）A．DE=DF B．AE=AF C．OD=OF D．OE=OF5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为（）A．40°B．70° C．80° D．140°6．如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为（）A．﹣1＜x≤1B．﹣1＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x≤17．平面直角坐标系中，点P（2，0）平移后对应的点为Q（5，4），则平移的距离为（）A．3个单位长度B．4个单位长度C．5个单位长度D．7个单位长度8．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图，已知△ABC中，AC＜BC，分别以点A、点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D、点E；作直线DE交BC边于点P，连接AP．根据以上作图过程得出下列结论，其中不一定正确的是（）A．PA+PC=BC B．PA=PB C．DE⊥AB D．PA=PC10．如图，直线y1=k1x+b1与坐标轴交于点（﹣4，0）和（0，2.9）；直线y2=k2x+b2与坐标轴交于点（3，0）和（0，4）．不等式组的解集是（）A．x＞﹣4 B．x＜3 C．﹣4＜x＜3 D．x＜﹣4或x＞3二、填空题（共6小题，每小题2分，满分12分）11．如图，等边△ABC中，AD为高，若AB=6，则CD的长度为．12．如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，边AC与DB相交于点O，要使△ABC≌△DCB，则需要添加的一个条件是．（写出一种情况即可）13．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是．14．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，2），不等式kx+b≥2解集是．15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC=30°，则∠DBC的度数为°．16．如图是一张边长为3cm的正方形纸片ABCD．现要利用这张正方形纸片剪出一个腰长为2cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与正方形的一个顶点重合，另外两个顶点都在正方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为cm2．三、解答题（共8小题，满分58分）17．解不等式2x﹣7＜5﹣2x．18．解不等式组：并将其解集表示在如图所示的数轴上．19．如图，已知△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的高CD和BE；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）判断线段BE与CD的数量关系，并证明你的猜想．20．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣4）．（1）画图：将△ABC绕点（0，﹣3）旋转180°，画出旋转后对应点△A1B1C1；平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为（﹣1，6），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）分析：①描述由△ABC到△A2B2C2的平移过程；②△A2B2C2可由△A1B1C1通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标及旋转角的度数．21．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了A，B两种型号家用净水器，其数量和进价如表：型号数量（台）进价（元/台）A 10 150元B 5 350元为使每台B型号家用净水器的售价是A型号的2倍，且保证售完这批家用净水器的利润不低于1650元，每台A型号家用净水器的售价至少应为多少元？（注：利润=售价﹣进价）22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，连接CD交AB于点O，连接BD．（1）求证：AB垂直平分CD；（2）若AB=6，求BD的长．23．同学们用气象探测气球探究气温与海拔高度的关系，1号气球从海拔5米处出发，以1米/分的速度匀速上升．与此同时，2号气球从海拔15米处出发，以0.5米/分的速度匀速上升．设1号、2号气球在上升过程中的海拔分别为y1（米）、y2（米），它们上升的时间为x（分），其中0≤x≤60．（1）填空：y1，y2与x之间的函数关系式分别为：y 1，y2；（2）当1号气球位于2号气球的下方时，求x的取值范围；当1号气球位于2号气球的上方时，求x的取值范围；（3）设两个气球在上升过程中的海拔高度差为s（米）．请在A，B两题中任选一题解答，我选择题．A．直接写出当s=5时x的值．B．直接写出当s＞5时x的取值范围．24．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，△CDE的边CE在射线AC上，CE＜AC，∠DCE=90°，CD=CA，沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF，过点F作FG⊥BC，垂足为点G，连接EG，DG．（1）如图1，边CE在线段AC上，求证：GC=GF；（2）在以下A，B两题中任选一题解答，我选择题．A．在图1中，求证：△EFG≌△DCG；B．如图2，边CE在线段AC的延长线上，其余条不变．①在图2中，求证：△EFG≌△DCG；②若∠CDE=20°，直接写出∠CGE的度数．2015-2016学年山西省太原市八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若x＞y，则下列变形正确的是（）A．x+3＞y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．﹣3x＞﹣3y D．﹣【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【解答】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A正确；B、两边都减3，不等号的方向不变，故B错误；C、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故C错误；D、两边都除以﹣3，不等号的方向改变，故D错误；故选：A．2．在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（）A．B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选B．3．不等式﹣x＞﹣1的解集为（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2【考点】解一元一次不等式．【分析】不等式两边乘以﹣2，将x系数化为1，即可求出解集．【解答】解：不等式﹣x＞﹣1，解得：x＜2，故选B．4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点Q，下列结论不一定成立的是（）A．DE=DF B．AE=AF C．OD=OF D．OE=OF【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．【分析】首先运用角平分线的性质得出DE=DF，再由HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出AE=AF；根据SAS即可证明△AEG≌△AFG，即可得到OE=OF．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAO=∠FAO，在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴OE=OF；故选C．5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为（）A．40°B．70° C．80° D．140°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转角的定义，旋转角就是∠ABC，根据等腰三角形的旋转求出∠ABC即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==×140°=70°，∵△A′BC′是由△ABC旋转得到，∴旋转角为∠ABC=70°．故选B．6．如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为（）A．﹣1＜x≤1B．﹣1＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x≤1【考点】在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），可得答案．【解答】解：由题意，得﹣1＜x≤1，故选：A．7．平面直角坐标系中，点P（2，0）平移后对应的点为Q（5，4），则平移的距离为（）A．3个单位长度B．4个单位长度C．5个单位长度D．7个单位长度【考点】坐标与图形变化-平移．【分析】平移的距离为一对对应点所连线段的长度，由于点P（2，0）平移后对应的点为Q（5，4），根据两点间的距离公式求出PQ即可．【解答】解：∵平面直角坐标系中，点P（2，0）平移后对应的点为Q（5，4），∴平移的距离为PQ==5．故选C．8．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD 是等腰三角形；在△BCD 中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD 是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE 是等腰三角形；∴∠BED=÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠AD E ，∴DE=AE，∴△ADE 是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D ．9．如图，已知△ABC 中，AC ＜BC ，分别以点A 、点B 为圆心，大于AB 长为半径作弧，两弧交于点D 、点E ；作直线DE 交BC 边于点P ，连接AP ．根据以上作图过程得出下列结论，其中不一定正确的是（ ）A ．PA+PC=BCB ．PA=PBC ．DE⊥ABD ．PA=PC【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】根据作图过程可得DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定义和性质可得AP=BP ，DE⊥AB，利用等量代换可证得PA+PC=BC ．但是AP 和PC 不一定相等．【解答】解：由作图可得：DE 是AB 的垂直平分线，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AP=BP，DE⊥AB，∴AP+CP=BP+CP=BC，故A 、B 、C 选项结论正确；∵P 在AB 的垂直平分线上，∴AP 和PC 不一定相等，故D 选项结论不一定正确，故选：D ．10．如图，直线y 1=k 1x+b 1与坐标轴交于点（﹣4，0）和（0，2.9）；直线y 2=k 2x+b 2与坐标轴交于点（3，0）和（0，4）．不等式组的解集是（ ）A ．x ＞﹣4B ．x ＜3C ．﹣4＜x ＜3D ．x ＜﹣4或x ＞3【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】先根据图象求出每个不等式的解集，再根据大小小大中间找求出它们的公共部分即可．【解答】解：∵直线y 1=k 1x+b 1与x 轴交于点（﹣4，0），且y 随x 的增大而增大，∴不等式k 1x+b 1＞0的解集为x ＞﹣4；∵直线y 2=k 2x+b 2与x 轴交于点（3，0），且y 随x 的增大而减小，∴不等式k 2x+b 2＞0的解集为x ＜3，∴不等式组的解集是﹣4＜x ＜3．故选C ．二、填空题（共6小题，每小题2分，满分12分）11．如图，等边△ABC 中，AD 为高，若AB=6，则CD 的长度为 3 ． 【考点】等边三角形的性质．【分析】直接根据等边三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵等边△ABC 中，AB=8，∴AB=BC=6．∵AD⊥BC，∴BD=BC=3．故答案为：3．12．如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，边AC与DB相交于点O，要使△ABC≌△DCB，则需要添加的一个条件是AB=DC ．（写出一种情况即可）【考点】全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠A=∠D=90°，隐含的条件是BC=BC，那么只需添加一个条件即可．添边的话可以是AB=DC，符合HL．【解答】解：所添加条件为：AB=DC，∵∠A=∠D=90°，∴在Rt△ABC和△RtDCB中，∵，∴△ABC≌△DCB（HL）．故答案为AB=DC．（答案不唯一）13．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是同位角相等，两直线平行．【考点】命题与定理．【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．14．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，2），不等式kx+b≥2解集是x≤0．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】由一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），且y随x的增大而减小，从而得出不等式kx+b≥2的解集．【解答】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，即y随x的增大而减小，∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，2），∴当x≤0时，有kx+b≥2．故答案为x≤015．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC=30°，则∠DBC的度数为15 °．【考点】等腰三角形的性质．【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数，然后在Rt△DBC中，求出∠DBC 的度数．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，∴∠ABC=∠ACB=÷2=75°；又∵BD⊥AC垂足为D，∴∠DBC=90°﹣∠ACB=90°﹣75°=15°．故答案为：15．16．如图是一张边长为3cm的正方形纸片ABCD．现要利用这张正方形纸片剪出一个腰长为2cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与正方形的一个顶点重合，另外两个顶点都在正方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为2或cm2．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；正方形的性质．【分析】分类讨论：顶角的顶点是正方形的顶点，顶角的顶点在正方形的边上，根据勾股定理，可得答案．【解答】解：①如图，角的顶点是正方形的顶点，AC=AB=2cm，则剪下的等腰三角形的面积为：×2×2=2（cm2）；②顶角的顶点在正方形的边上，∵AB=BC=2，∴BD=1．在直角△BCD中，由勾股定理得到CD==（cm），则剪下的等腰三角形的面积为：×2×=（cm2）．综上所述，剪下的等腰三角形的面积为2cm2或cm2．故答案是：2或．三、解答题（共8小题，满分58分）17．解不等式2x﹣7＜5﹣2x．【考点】解一元一次不等式．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2x、7，再除以4，不等号的方向不变．【解答】解：由原不等式移项，得4x＜12，不等式的两边同时除以4，得x＜3．18．解不等式组：并将其解集表示在如图所示的数轴上．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3（x﹣2）≤x﹣4，得：x≤1，解不等式，得：x＜4，所以不等式组的解集为：x≤1，其解集在数轴上表示为：19．如图，已知△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的高CD和BE；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）判断线段BE与CD的数量关系，并证明你的猜想．【考点】作图—复杂作图．【分析】（1）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线）作CD⊥AB于D，BE⊥AC于E；（2）利用“AAS”证明△ADC≌△AEB即得到BE=CD．【解答】解：（1）如图，（2）CD=BE．理由如下：∵CD和BE为高，∴∠ADC=∠AEB=90°，在△ADC和△AEB中，∴△ADC≌△AEB，∴BE=CD．20．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣4）．（1）画图：将△ABC 绕点（0，﹣3）旋转180°，画出旋转后对应点△A 1B 1C 1；平移△ABC，使点A 的对应点A 2的坐标为（﹣1，6），画出平移后对应的△A 2B 2C 2；（2）分析：①描述由△ABC 到△A 2B 2C 2的平移过程；②△A 2B 2C 2可由△A 1B 1C 1通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标及旋转角的度数．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）设P （0，﹣3），延长AP 到A 1使A 1P=AP ，则点A 1为点A 的对应点，同样作出点B 的对应点B 1、点C 的对应点C 1，从而得到△A 1B 1C 1；利用点A 的对应点A 2的坐标为（﹣1，6），可得到三角形的平移规律，从而写出B 2和C 2点坐标，然后描点即可得到△A 2B 2C 2；（2）①利用对应点A 和A 2的平移规律可确定△ABC 到△A 2B 2C 2的平移过程；②作C 1C 2和B 1B 2的垂直平分线即可得到旋转中心，同时可得到旋转角度．【解答】解：（1）如图，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2为所作；（2）①△ABC 先向右平移2个单位，再向上平移6个单位得到△A 2B 2C 2；②△A 2B 2C 2可由△A 1B 1C 1通过旋转得到，旋转中心为Q （1，0），旋转的度数为180°．21．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了A ，B 两种型号家用净水器，其数量和进价如表：型号 数量（台） 进价（元/台）A 10 150元B 5 350元为使每台B 型号家用净水器的售价是A 型号的2倍，且保证售完这批家用净水器的利润不低于1650元，每台A 型号家用净水器的售价至少应为多少元？（注：利润=售价﹣进价）【考点】一元一次不等式的应用．【分析】设每台A 型号家用净水器的售价为x 元，则每台B 型号家用净水器的售价是2x 元，根据售完这批家用净水器的利润不低于1650元，列出不等式解答即可．【解答】解：设每台A 型家用净水器售价为x 元，根据题意可得：10（x ﹣150）+5（2x ﹣350）≥1650，解得：x≥245，故x 的最小值为245，答：每台A 型号家用净水器的售价至少245元．22．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段AC 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AD ，连接CD 交AB 于点O ，连接BD ．（1）求证：AB 垂直平分CD ；（2）若AB=6，求BD 的长．【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【分析】（1）根据旋转的性质得到△ACD 是等边三角形，根据线段垂直平分线的概念判断即可；（2）根据直角三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵线段AC 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AD ，∴AD=AC，∠CAD=60°，∴△ACD 是等边三角形，∵∠BAC=30°，∴∠DAB=30°，∴∠BAC=∠DAB，∴AO⊥CD，又CO=DO ，∴AB 垂直平分CD ；（2）解：∵AB 垂直平分CD ，∴BD=BC，∠ADB=∠ACB=90°，∴BD=AB=3．23．同学们用气象探测气球探究气温与海拔高度的关系，1号气球从海拔5米处出发，以1米/分的速度匀速上升．与此同时，2号气球从海拔15米处出发，以0.5米/分的速度匀速上升．设1号、2号气球在上升过程中的海拔分别为y 1（米）、y 2（米），它们上升的时间为x （分），其中0≤x≤60．（1）填空：y 1，y 2与x 之间的函数关系式分别为： y 1 =x+5 ，y 2 =0.5x+15 ；（2）当1号气球位于2号气球的下方时，求x 的取值范围；当1号气球位于2号气球的上方时，求x 的取值范围；（3）设两个气球在上升过程中的海拔高度差为s （米）．请在A ，B 两题中任选一题解答，我选择 A 题．A ．直接写出当s=5时x 的值．B ．直接写出当s ＞5时x 的取值范围．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据：上升过程中的海拔=起始位置海拔+上升的高度，分别列出函数关系式即可；（2）根据（1）中两个函数关系式，根据位置的高低列出不等式，解不等式即可；（3）海拔高度差s 有2种可能，s=y 1﹣y 2、s=y 2﹣y 1，根据A 、B 两种情形列方程或不等式求解可得．【解答】解：（1）根据题意，y 1=5+1•x=x+5，y 2=15+0.5•x=0.5x+15；（2）当y1＜y2时，x+5＜0.5x+15，解得：x ＜20，∵0≤x≤60，∴当20＜x≤60时，1号气球在2号气球的下方，当y1＞y2时，x+5＞0.5x+15，解得：x ＞20，∵0≤x≤60，∴当20＜x≤60时，1号气球在2号气球的上方；（3）A 、根据题意，s=y 1﹣y 2=x+5﹣0.5x ﹣15=0.5x ﹣10，若s=3，则0.5x ﹣10=5，解得：x=30；或s=y 2﹣y 1=0.5x+15﹣x ﹣5=﹣0.5x+10，若s=5，则﹣0.5x+10=5，解得：x=10；故当s=5时，x 的值为10或30；B 、当s ＞5时，①0.5x﹣10＞5，解得：x ＞30；②﹣0.5x+10＞5，解得：x ＜10；故当s ＞5时，0≤x＜10或30＜x≤60．故答案为：（1）=x+5，=0.5x+15；（3）A ．24．已知Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，△CDE 的边CE 在射线AC 上，CE ＜AC ，∠DCE=90°，CD=CA ，沿CA 方向平移△CDE，使点C 移动到点A ，得到△ABF，过点F 作FG⊥BC，垂足为点G ，连接EG ，DG ．（1）如图1，边CE 在线段AC 上，求证：GC=GF ；（2）在以下A ，B 两题中任选一题解答，我选择 A 题．A ．在图1中，求证：△EFG≌△DCG；B ．如图2，边CE 在线段AC 的延长线上，其余条不变．①在图2中，求证：△EFG≌△DCG；②若∠CDE=20°，直接写出∠CGE 的度数．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和平移的性质即可组织三角形全等的条件；（2）与（1）类似，运用等腰直角三角形的性质和平移的性质组织全等的条件．【解答】证明：（1）如图1，∵Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵FG⊥CG，∴∠FGC=90°，∴∠GCF+∠GFC=90°，∴∠GCF=45°=∠GCF，∴GC=GF，∵∠DCE=90°∴∠DCG=90°﹣45°=45°∴∠DCG=∠GCF，∵平移△CDE，得到△ABF，∴CA=EF，∵CD=CA，∴CD=EF，在△EFG和△DCG中，，∴△EFG≌△DCG；（2）①如图2，与（1）同理可证：GC=GF，∠GCF=∠GFC=45°∵∠DCE=90°，∴∠DCF=90°∴∠DCG=90°﹣∠GCF=45°∴∠DCG=∠GFC∵△ABF由△CDE平移得到，∴EC=FA∴EF=CA∵AC=CD∴EF=CD在△EFG和△DCG中，，∴△EFG≌△DCG．②∠CGE=20°．2016年4月29日。
2020-2021北京师范大学附属中学初二数学下期中一模试卷带答案
2020-2021北京师范大学附属中学初二数学下期中一模试卷带答案一、选择题1．李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如下： 阅读时间（小时） 2 2.5 3 3.5 4 学生人数（名）12863则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（ ） A ．众数是8 B ．中位数是3 C ．平均数是3D ．方差是0.342．如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60︒，得到线段BM .连接AM 并延长交CD 于点N ，连接MC ，则MNC ∆的面积为（ ）A ．231a - B ．221a - C ．231a - D ．221a - 3．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是( )A ．小丽从家到达公园共用时间20分钟B ．公园离小丽家的距离为2000米C ．小丽在便利店时间为15分钟D ．便利店离小丽家的距离为1000米4．若正比例函数y ＝mx （m 是常数，m≠0）的图象经过点A （m ，4），且y 的值随x 值的增大而减小，则m 等于（ ） A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣45．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC ，FC=2，则AB 的长为（ ）A．83B．8C．43D．66．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱的高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．42dm B．22dm C．25dm D．45dm7．如图，要测量被池塘隔开的A，B两点的距离，小明在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，并分别找出它们的中点D，E，连接DE，现测得DE ＝45米，那么AB等于()A．90米B．88米C．86米D．84米8．菱形周长为40cm，它的条对角线长12cm，则该菱形的面积为（）A．24B．48C．96D．369．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）A．∠BCA＝45°B．AC＝BDC．BD的长度变小D．AC⊥BD10．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人车离开A城的距离y(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A，B两城相距300 km；②小路的车比小带的车晚出发1 h，却早到1 h；③小路的车出发后2.5 h 追上小带的车；④当小带和小路的车相距50 km 时，t ＝54或t ＝154.其中正确的结论有( )A ．①②③④B ．①②④C ．①②D ．②③④11．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，6AB =，9BC =，将ABC △折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段BN 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．612．下列各式中一定是二次根式的是( ) A ．23-B ．2(0.3)-C ．2-D ．x二、填空题13．菱形ABCD 中，边长为10，对角线AC =12．则菱形的面积为__________． 14．已知一个三角形的周长是48cm ，以这个三角形三边中点为顶点的三角形的周长为_______cm ． 15．若函数()12m y m x-=+是正比例函数，则m=__________.16．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是 ㎝2． 17．如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +AP 的最小值为______．18．放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．小刚离家的距离()s m 和放学后的时间之间()t min 的关系如图所示，给出下列结论：①小刚边走边聊阶段的行走速度是125/m min ；②小刚家离学校的距离是1000m ；③小刚回到家时已放学10min ；④小刚从学校回到家的平均速度是100/m min .其中正确的是_____(把你认为正确答案的序号都填上)19．如图，在∠MON 的两边上分别截取OA 、OB ，使OA ＝OB ；分别以点A 、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；连接AC 、BC 、AB 、OC ．若AB ＝2cm ，四边形OACB 的面积为4cm 2．则OC 的长为_____cm ．20．如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P, 则根据图象可得，关于y ax by kx=+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是_____________。
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