利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
在考研数学概率论与数理统计中，切比雪夫不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其它一些十分有用的结论或重要的定理，如切比雪夫大数定律等，然而有些同学对这个不等式不是很理解，也不太会利用该不等式去解决相关问题，另外，很多资料上也没有对该不等式进行完整的分析或证明，为此，在这里对比雪夫不等式及其典型例题做些分析总结，供各位2016考研的朋友和其它学习的同学参考。
一、切比雪夫不等式的分析证明
从上面的分析我们看到，利用切比雪夫不等式可以对随机变量在其均值附近的对称区间内取值的概率进行估计，它也说明了方差的基本特性，即随机变量的方差越小，随机变量取值越集中，方差越大，则取值越分散，不论对于什么随机变量，它在区间
内取值的概率基本都是约90%。
以上分析希望对大家理解和应用切比雪夫不等式有所帮助，最后预祝各位考生2016考研成功。
几何图形的切比雪夫不等式
几何图形的切比雪夫不等式在数学中，我们常常遇到需要估计几何图形之间距离的问题。
而切比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）为我们提供了一种有效的估计方法。
本文将介绍切比雪夫不等式的定义和应用，并通过实例来说明其实用性。
一、切比雪夫不等式的定义切比雪夫不等式是由俄罗斯数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）于1867年提出的。
该不等式描述了一维实数集合中数值距离的分布情况。
而在几何图形中，我们可以将其应用到二维平面上的点集之间的距离估计。
定义：对于在平面上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离d满足以下不等式：d ≤ max(|x1 - x2|, |y1 - y2|)其中max为取两个数中的较大值的函数。
二、切比雪夫不等式的应用1. 距离估计切比雪夫不等式为我们提供了一种简便的方式来估计两点之间的距离。
通过计算两点在x和y方向上坐标差的绝对值，我们可以得到一个上界，在平面上任意一点与这两点之间的真实距离d一定小于等于这个上界。
这在实际应用中有很多用途，比如在地理信息系统中计算两个地点之间的地面距离等。
2. 图像处理在图像处理领域，切比雪夫不等式可以用来估计图像中不同像素之间的差异。
通过比较像素之间在RGB或灰度空间的数值差异，我们可以得到一个上界，该上界可以用来判断两个像素是否相似。
例如，当两个像素的RGB数值差异小于某个阈值时，我们可以认为它们是相似的。
通过切比雪夫不等式的应用，我们可以更加高效地进行图像相似性的判断。
三、切比雪夫不等式的实例应用为了更好地理解切比雪夫不等式的应用，我们以图形距离估计的实例来说明。
假设我们有一个平面上的正方形ABCD，其中A(0, 0)、B(0, 2)、C(2, 2)、D(2, 0)。
现在我们需要估计任意一点P(x, y)与这个正方形之间的最短距离。
根据切比雪夫不等式的定义，我们可以计算点P与正方形ABCD的四个顶点之间的距离，并取最大值作为距离的上界。
概率论第四章-切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
或 成立， P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε 成立，
1
2
|x−µ |
2
ε
2
f (x)dx ≤ ∫
2
|x−µ |2
≤
ε
∫(x−µ)
f (x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f (x)dx
2
是 于 P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
切比雪夫不等式 证明切贝谢夫大数定律； 说明 （1）证明切贝谢夫大数定律； （2）表明D（X）描述了X偏离E（X）的离散程度； 表明D 描述了X偏离E 的离散程度； （3）给出X的分布未知时，事件 给出X的分布未知时， 概率的一个大致估计。 概率的一个大致估计。 大致估计 |X|X-E（X）|＜ε的
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
2 2
称此式为切比晓夫不等式. 称此式为切比晓夫不等式.
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
切比雪夫不等式估计概率
切比雪夫不等式估计概率 前言：切比雪夫不等式是概率论中一条重要的不等式，它用于估计随机变量与其均值之间的偏离程度。
本文将介绍切比雪夫不等式的概念、推导过程以及应用场景，并通过实例说明其实用性。
一、切比雪夫不等式的概念 切比雪夫不等式是数学上关于随机变量分布的一种重要不等式。
它可以用来估计随机变量与其均值之间的偏离程度。
切比雪夫不等式的数学表述如下：对于任意一个随机变量X和正数ε，有：P(|X - μ|≥ε)≤σ^2 / ε^2 其中，P表示概率，X表示随机变量，μ表示X的均值，σ^2表示X的方差，ε表示给定的正数。
切比雪夫不等式的实质是通过随机变量的方差来描述随机变量与其均值之间的偏离程度。
方差越小，随机变量与均值之间的偏离越小，概率也就越高。
二、切比雪夫不等式的推导过程1. 根据随机变量X的定义，我们知道E(X) = μVar(X) = σ^22. 根据方差的定义，我们可以得到Var(X) = E((X- μ)^2)3. 根据概率的定义，我们可以得到 P(|X - μ|≥ε) = 1 - P(|X - μ| < ε) 4. 由于对于任意的ε，X - μ的绝对值小于ε的概率范围是[0, ε]，所以我们可以将其改写为 P(|X - μ| < ε) = P(-ε < X - μ < ε)5. 再将上式展开，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = P(-ε < X - μ) - P(X - μ > ε) 6. 根据概率的性质，我们知道 P(-ε < X - μ) = 1 - P(X - μ < -ε) P(X - μ > ε) = 1 - P(X - μ≤ε)7. 将上述两个概率代入第5步的等式中，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = 1 - P(X - μ < -ε) - (1 - P(X - μ≤ε))8. 继续简化上式，我们可以得到 P(-ε < X - μ < ε) = P(X - μ≤ε) - P(X - μ < -ε) 9. 根据对称性，我们知道P(X - μ < -ε) = P(X - μ > ε)10. 将第9步的结果代入第8步的等式中，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = 2P(X - μ≤ε)三、切比雪夫不等式的应用场景 切比雪夫不等式在概率论和统计学中有广泛的应用场景。
用切比雪夫不等式证明伯努利大数定律
用切比雪夫不等式证明伯努利大数定律
伯努利大数定律是统计数学中极为重要的定律，它表明了在某些条件下，一个事件发生的概率能够通过多次重复试验收敛到某个值。
这个定律是数学家费米于1713年发表的，后来由英国数学家伯努利于1785年重新提出并发展，因此被称为“伯努利大数定律”。
【用切比雪夫不等式证明伯努利大数定律】
伯努利大数定律的定义可以用下面的公式表示：
P(A)≥P(B)
其中，P(A)代表事件A发生的概率，P(B)代表事件B发生的概率。
伯努利大数定律要求当P(A)和P(B)均趋于1时，P(A)≥P(B)。
现在我们来用切比雪夫不等式证明伯努利大数定律。
由伯努利大数定律可知，当n回投掷硬币，投出双面n次后，投出正面次数S的概率大于等于S/n的概率。
其中，S表示正面投出的次数。
由切比雪夫不等式可知：
P(S≥k)=1-P(S<k)≥1-P(|S-k|≥c)=1-P(|S-k|≥n/2) 其中，k=n/2，c=n/2
根据上式，我们可以得出P(S≥n/2)≥1-P(S<n/2)，即P(S≥n/2)≥1-P(S≤n/2)，因此P(S≥n/2)≥P(S≤n/2)，也就是P(S≥n/2)≥1/2，即P(S≥n/2)≥P(S/n)，这正符合伯努利大数定律的要求，说明切比雪夫不等式可以用来证明伯努利大数定律。
【结论】
从上面的分析可以看出，切比雪夫不等式可以用来证明伯努利大
数定律，即P(A)≥P(B)，这样我们就可以更好的理解伯努利大数定律了。
切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)知识分享
切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2设随机变量X 有数学期望μ及方差2σ，则对任何正数ε，下列不等式成立{}22()P X E X σεε-≥≤证明：设X 是离散型随机变量，则事件()X E X ε-≥表示随机变量X 取得一切满足不等式()i x E X ε-≥的可能值i x 。
设i p 表示事件i X x =的概率，按概率加法定理得{}()()i i x E X P X E X p εε-≥-≥=∑这里和式是对一切满足不等式()i x E X ε-≥的i x 求和。
由于()i x E X ε-≥，即()22()i x E X ε-≥，所以有()22()1ix E X ε-≥。
又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以()22()ix E X ε-，则和式的值将增大。
于是得到{}()()2222()()()()1()()i i i i i i iix E X x E X x E X x E X P X E X p p x E X p εεεεεε-≥-≥-≥--≥=≤=-∑∑∑因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量X 的一切可能值i x 求和，则只能增大和式的值。
因此{}()221()()ii iP X E X x E X p εε-≥≤-∑上式和式是对X 的一切可能值i x 求和，也就是方差的表达式。
所以，{}22()P X E X σεε-≥≤。
切比雪夫不等式及大数定律
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
1.1 切比雪夫不等式
在随机变量 X 分布未知的情况下，可以利用切比雪夫不等式对随机事件 {| X E(X ) | } 的概率进行估计．例如，当 3 D( X ) 时，有
P{| X E(X ) | 3 D(X )} 8 0.888 9． 9
也就是说，随机变量 X 落在以 E(X ) 为中心，以 3 D( X ) 为半径的邻域内的概率很大，而 落在该邻域之外的概率很小．当 D( X ) 较小时，随机变量 X 的取值就越集中在 E(X ) 附 近，而这正是方差这个数字特征的意义所在．
概率论与数理统计
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生， 但在大量的重复试验中随机事件的发生呈现出明显 的规律性．实际上，大量随机现象的结果均具有稳 定性，大数定律以严格的数学形式阐述了这种稳定 性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在 联系．下面，我们先来介绍证明大数定律的重要工 具—切比雪夫（Chebyshev）不等式．
1， 在第k次试验中事件A发生， X k 0 ， 在第k次试验中事件A不发生，
其中， k 1，2， ，则
Xk
~
n
B(1，p) ，
k 1
Xk
nA
，1 n
n
Xk
k 1
nA n
，1 n
n
E(Xk )
k 1
p，
并且 X1 ，X2 ， ，Xn ， 满足切比雪夫大数定律的条件，于是由切比雪夫大数定律可证明伯努利大数 定律．
1，2 ，
)
，
由辛钦大数定律得
Yn
1 n
n k 1
切比雪夫不等式 证明
切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式是数学中的一个重要不等式，它可以用来估计一个随机变量与其均值之间的差距。
下面是切比雪夫不等式的证明：假设X是一个随机变量，其均值为μ，方差为σ²（方差的定义为Var(X) = E[(X-μ)²]）。
对于任意大于0的实数k，我们希望证明以下不等式成立：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²首先，我们定义一个新的随机变量Y，表示X与其均值之间的差距的绝对值：Y = |X-μ|。
根据Y的定义，我们可以得到：Y²= (X-μ)²由于Y²始终大于或等于0，我们可以对Y²应用马尔可夫不等式（Markov's inequality），得到：P(Y²≥k²σ²) ≤E(Y²) / (k²σ²)接下来，我们计算Y²的期望（E(Y²)）：E(Y²) = E((X-μ)²) = Var(X) = σ²将E(Y²)代入不等式中，得到：P(Y²≥k²σ²) ≤σ²/ (k²σ²)化简后可得：P(Y²≥k²σ²) ≤1/k²由于Y²与|X-μ|²是等价的，我们可以将不等式中的Y²替换为|X-μ|²：P(|X-μ|²≥k²σ²) ≤1/k²最后，我们注意到，对于任意实数a和b，若a²≥b²，则|a| ≥|b|。
因此，我们可以将不等式中的|X-μ|²替换为|X-μ|，得到最终形式的切比雪夫不等式：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²这就完成了切比雪夫不等式的证明。
需要注意的是，切比雪夫不等式并没有给出具体的概率估计，它只给出了一个上界。
切比雪夫不等式证明的启示及应用
一
一 告 ＝
２）求解或证 明一些有关概率 的不 等式 例 ２ 设在每次试验 中，事件 Ａ发生 的概率 为 ０．７５，利用切 比雪夫不等式求 ： ｎ需要多 大时 ，才能使得在 ｎ次独立重复试验 中 ，事件 Ａ出现 的频率在 ０．７４—０．７６之间的概率至少为 ０．９０７ 解 ：设 为 ｎ次试验 中 ，事件 Ａ出现 的次数 ，则 Ｘ—Ｂ（ｎ，０．７５）
二、切比雪夫不等式 的应 用
切 比雪夫不 等式主要有 ２个方面 的应用 ： １）利用切 比雪夫不等式估计 随机变量 落入 区间（ａ，ｂ）内的概率 Ｐ（ａ＜ ＜ｂ），关键是将待估 概率 Ｐ（ａ＜Ｘ＜ｂ）化 为 Ｐ（１Ｘ—Ｅ（Ｘ）Ｉ＜ｓ）或 Ｐ｛ｌ —Ｅ（Ｘ）１）≥ｓ的形式 ，方法是将不等式 ａ＜Ｘ＜ｂ的各端 同减去 Ｅ（Ｘ）
（ｍ ＋１）（ｍ ＋２）一 （ｍ ＋１） ＝ ｍ ＋１ 第二 步 ：将不等式 ０＜Ｘ＜２（ｍ＋１）的各端 同减去 Ｅ（ ）＝ｍ＋１，把待估概率 Ｐｆ０＜Ｘ＜２（ｍ＋１）】化成 Ｐ（１ —Ｅ（ ） ＜ｓ）的形 式
Ｐ［０ ＜ Ｘ ＜ ２（ｍ ＋１）］＝ Ｐ［一 （ｍ ＋ １） ＜Ｘ 一（ｍ ＋１） ＜ ｍ ＋１】＝
在切 比雪夫不等式 中取 ＝０．０１ｎ，则
Ｐ（ｏ．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ｘ ７６）
… ）ｌ＜ ｏ．ｏ ≥
一
一
一
依 题意 ，取 １一 ≥０．９０
解 得 ｎ≥
＝１８ ７５ｏ
即 ｎ取 １８ ７５０时 ，可以使得在 ｎ次独立重复试验 中，事件 Ａ出现 的频率在 ０．７４～０．７６之间的概率至少为 ０．９０
切 比雪夫不等式 的证 明步骤 ： １）先将 随机变量在 区间内取值 的概率用其概率密度在该 区间上的积分表示 ； ２）利用 随机变量取值满足 的不等式 ，将被积 函数扩 大 ，产生概率不 等式 ； ３）将积分 区间扩大到 （一 ，＋ ），将积分再次扩 大 ，切使 积分化 为随机变 量或 随机变 量的 函数 的期 望或方 差的表 达式 ，则得要证 的概率不 等式 。 从 中我们 得到含期望和方差 的概率 不等式的证法 。
概率论与数理统计 五大数定理
,
i
1,2, , n, .
设Yn
Xi,
i 1
n
n
则： E Yn
i , D Yn
2 i
sn2 .
i 1
i 1
Zn
Yn
Yn
EYn DYn
1 sn
n i1
Xi
n i 1
i
1 n
sn i1
Xi i ,
则有：E(Zn ) 0, D( Zn ) 1.
11
林德伯格定理:
显然， 当n 时，P(Bn ) 1.
[注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
中几乎必然发生。 10
第二节 中心极限定理
概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定
理叫做中心极限定理。
设
X1
,
X
, , X , 是独立随机变量，并各有
2
n
n
EX i
i ,
DX i
2 i
的频率作为事件 A 的概率近似值时, 误差小于0.01的概率.
解
设事件A 在每次试验中发生的概率为 p，
在这10000次试验
中发生了X 次, 因此，所求事件的概率为
则 EX np 10000 p, DX 10000 p1 p,
P
X 10000
p
0.01 P
X 10000 p
100
P X EX 100 1 DX 1002
DX n
1 n2
nK
K n
由此，
当 n 充分大时，
随机变量
也就是说，
X 的值较紧密地聚集在它的数学期望 n
分散程度是很小的，
Xn
切比雪夫不等式公式揭示切比雪夫不等式的数学表达
切比雪夫不等式公式揭示切比雪夫不等式的数学表达切比雪夫不等式是概率论与数理统计中一项重要的基本定理，它可以被用来描述一个随机变量与其均值之间的关系。
切比雪夫不等式的公式形式是：P(|X-μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²其中，X是一个随机变量，μ是X的均值，σ是X的标准差，k是一个大于零的常数。
这个不等式告诉我们，在概率为1-1/k²的情况下，一个随机变量与其均值之间的距离不会超过k个标准差。
切比雪夫不等式的证明方法之一是利用标准化的随机变量。
我们使用以下形式的标准化随机变量：Z = (X-μ)/σ其中，Z是标准正态分布。
将X用Z表示之后，切比雪夫不等式可以转化为：P(|Z| ≥ k) ≤ 1/k²接下来，我们将详细解释切比雪夫不等式的证明。
首先，我们定义一个随机变量Y，其形式为：Y = (X-μ)²显然，Y是非负的。
我们可以通过定义一个指示函数，使得当|X-μ| ≥ kσ时，指示函数的值为1，否则为0。
将指示函数记作I(|X-μ| ≥ kσ)，我们可以将切比雪夫不等式改写为以下形式：P(I(|X-μ| ≥ kσ)) ≤ 1/k²接下来，我们可以用指示函数和标准化的随机变量Z来表示Y。
有以下等式成立：Y = (X-μ)² = (σZ)² = σ²Z²我们令函数g(z) = z²，显然，g(z)是一个非负的连续函数。
由非负随机变量的性质可知，E(g(Z)) ≥ 0，其中E表示期望。
将Y用Z来表示之后，我们可以将不等式重写为：P(g(Z) ≥ k²) ≤ 1/k²接下来，我们使用Markov不等式来证明切比雪夫不等式。
Markov不等式表明，对于一个非负随机变量U和任意一个大于零的常数a，有以下不等式成立：P(U ≥ a) ≤ E(U)/a将我们的不等式形式与Markov不等式进行对比，我们可以发现，我们的不等式可以看作是Markov不等式的一个特例，其中U = g(Z)，a = k²。
切比雪夫不等式的两种形式
切比雪夫不等式的两种形式一、切比雪夫不等式的第一种形式切比雪夫不等式是概率论中的一个重要不等式，它是指对于任意一个随机变量X，其概率分布函数的任意两个矩的差的绝对值小于等于这两个矩的乘积的两倍。
数学上，切比雪夫不等式的第一种形式可以表示为：P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2其中，X为随机变量，μ为随机变量X的均值，σ为随机变量X的标准差，k为大于0的任意实数。
这个不等式告诉我们，对于一个随机变量X，无论它的分布是怎样的，它与其均值的差的绝对值大于等于k倍标准差的概率不会超过1/k^2。
也就是说，如果我们想要计算随机变量与其均值之间的差距大于一个给定的倍数的概率，可以使用切比雪夫不等式的第一种形式进行估计。
二、切比雪夫不等式的第二种形式切比雪夫不等式的第二种形式是对于一个随机变量X，其概率分布函数的任意两个矩的差的绝对值小于等于这两个矩的乘积的两倍的概率不小于1-1/k^2。
数学上，切比雪夫不等式的第二种形式可以表示为：P(|X - μ| < kσ) ≥ 1-1/k^2其中，X为随机变量，μ为随机变量X的均值，σ为随机变量X的标准差，k为大于0的任意实数。
这个不等式告诉我们，对于一个随机变量X，无论它的分布是怎样的，它与其均值的差的绝对值小于k倍标准差的概率不会小于1-1/k^2。
也就是说，如果我们想要计算随机变量与其均值之间的差距小于一个给定的倍数的概率，可以使用切比雪夫不等式的第二种形式进行估计。
切比雪夫不等式的两种形式分别给出了随机变量与其均值之间差距的上界和下界的估计。
这两种形式的切比雪夫不等式在概率论和统计学中有着重要的应用，可以帮助我们对随机变量的分布进行估计和推断。
无论是在理论研究还是实际应用中，切比雪夫不等式都具有重要的价值，并且在概率论和统计学的发展中起到了重要的作用。
高一数学不等式的证明与应用
高一数学不等式的证明与应用不等式在数学中起着重要的作用，它们除了有着理论性的证明外，还有丰富的实际应用。
本文将介绍高一数学中常见的不等式以及其证明与应用。
一、基础不等式证明与应用1.1 三角不等式三角不等式是数学中最基本的不等式之一，对于任意实数a和b，有不等式：|a + b| ≤ |a| + |b|。
证明：根据绝对值的定义，可得到以下三种情况：- 当a和b同号时，不等式恒成立，因为等式两边都等于a + b。
- 当a和b异号时，若a > 0，则|a + b| = |a| - |b| ≤ |a| + |b|；若a < 0，则|a + b| = |b| - |a| ≤ |a| + |b|。
综上所述，三角不等式得证。
应用：三角不等式可用于证明其他不等式，并在求解实际问题时起到重要的作用。
1.2 幂不等式幂不等式是通过指数的性质得到的不等式。
常见的幂不等式包括比较大小不等式、平均值不等式等。
证明：以比较大小不等式为例，对于任意正实数a和b，以及实数r>1，有不等式：a^r > b^r（a > b）。
假设a > b，则(a/b) > 1。
设k = a/b > 1，则(a/b)^r = k^r > 1，即a^r > b^r。
应用：幂不等式广泛应用于数列、函数以及图形的比较中，帮助我们判断大小关系。
二、不等式证明与应用2.1 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中应用较为广泛的不等式之一，对于任意n维向量[a1, a2, ..., an]和[b1, b2, ..., bn]，有不等式：|(a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn)| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
证明：可以使用向量的点乘和模的定义进行证明。
不同于基础不等式的证明，柯西-施瓦茨不等式的证明较为繁琐，具体过程可参考数学教材。
切比雪夫不等式证明
切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明一、试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且~XB(1000,1/2).因此500211000=×==npEX,250)2答题完毕，祝你开心!11(211000)1(= ××= =pnpDX,而所求的概率为}500600500400{}600400{ }100{975.010012= ≥DX.二、切比雪夫(Chebyshev)不等式对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,恒有P{|X-EX|>=ε}=1-DX/ε^2切比雪夫不等式说明，DX越小，则P{|X-EX|>=ε}越小，P{|X-EX|同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。
需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。
这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16……与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。
切比雪夫不等式
概概率为 0.75, 利 用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90?
解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数， 则 X~B(n, 0.75)
E(X)=0.75n, D(X)=0.75×0.25n=0.1875n
概率论
切比雪夫不等式
定理 设随机变量X具有数学期望E( X ) ,方差
D( X ) 2,则对于任意正数，有不等式
或
P{| X E( X P{| X E( X )
) |
|
}
} 1
2
2
2 2
由切比雪夫不等式可以看出，若 2越小，则
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
= P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)| 2100}
概率论
由切比雪夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}
1
D( X ) (2100)2
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
中在期望附近的可能性越大.
概率论
例1 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞 数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等 式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400)
P(0.74 X 0.76) = P{ |X-E(X)| <0.01n} n
切比雪夫判别法
切比雪夫判别法是一种常用的统计学方法，它可以用来判断一个随机变量与其均值之间的距离有多远。
该方法基于切比雪夫不等式，是一种非常简单但有效的方法。
一、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中的一条重要不等式，它给出了任意随机变量与其均值之间距离的上限。
具体地说，对于任意的随机变量X和任意的正数k，有如下不等式：P(|X-μ|≥kσ) ≤ 1/k²其中，μ表示X的均值，σ表示X的标准差。
这个不等式说明，当k越大时，X与其均值之间距离超过k倍标准差的概率就越小。
例如，当k=2时，有至少75%的概率X与其均值之间的距离不超过2倍标准差；当k=3时，有至少89%的概率X与其均值之间的距离不超过3倍标准差。
二、切比雪夫判别法基于切比雪夫不等式，我们可以得到切比雪夫判别法。
该方法可以用来判断一个随机变量X是否属于某个分布。
具体地说，假设我们有一个随机变量X，它的均值为μ，标准差为σ。
现在我们要判断X是否服从某个分布，例如正态分布N(μ,σ²)。
根据切比雪夫不等式，我们可以得到以下结论：如果X服从N(μ,σ²)，那么P(|X-μ|≥kσ) ≤1/k²，其中k>0。
如果X不服从N(μ,σ²)，那么至少存在一个k>0，使得P(|X-μ|≥kσ) > 1/k²。
基于这个结论，我们可以设计如下的切比雪夫判别法：1. 假设X服从N(μ,σ²)，则计算样本均值x和样本标准差s。
2. 对于任意的k>0，计算区间[x-ks, x+ks]的概率。
如果该概率大于1/k²，则认为X服从N(μ,σ²)；否则，认为X不服从N(μ,σ²)。
该方法的优点是简单易用，不需要对样本分布做出假设，适用于各种类型的数据。
但是，它只能提供二元判断结果，不能给出具体的分布参数估计。
此外，当样本量较小时，误判率可能较高，需要谨慎使用。
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利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明一、
试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此
1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.
解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且
~XB1000,1/2.因此
500
2
1
1000=×==npEX,
250
2
答题完毕，祝你开心!
1
1
2
1
10001= ××= =pnpDX,
而所求的概率为
}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP
}100{< =EXXP
975.0
100
1
2
= ≥
DX
.
二、
切比雪夫Chebyshev不等式
对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2
切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}
越小，P{|X-EX|<ε}越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进
一步说明了方差的意义。
同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该
上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫
不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。
需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多
是1/K^2。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。
这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4
与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9
与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16
……
与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2
举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，
我们便可得出结论：少于50分与平均相差3个标准差以上的人，数目不多于4个=36*1/9。
设X,Σ,μ为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。
对於任意实数t > 0，
一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有
上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：
概率论说法
设X为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。
对于任何实数k>0，
改进
一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。
考虑下面例子：
这个分布的标准差σ = 1 / k，μ = 0。
当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：
[1]
证明
定义，设为集的指标函数，有
又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有
\Pr|Y| \le \opeatorname{E}|Y|/a。
取Y = X ? μ2及a = kσ2。
亦可从概率论的原理和定义开始证明。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。