第十二章全等三角形教案
人教版第十二章 《全等三角形》教案——最新版
人教版第十二章《全等三角形》教案——最新版【教案】人教版第十二章《全等三角形》一、教学目标1. 理解全等三角形的定义，掌握全等三角形的判定条件。
2. 掌握全等三角形的性质，能够运用全等三角形的性质解决相关问题。
3. 进一步培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。
4. 培养学生的合作学习能力和自主学习能力。
二、教学内容1. 全等三角形的定义和判定条件。
2. 全等三角形的性质及应用。
3. 全等三角形的证明。
三、教学重点1. 全等三角形的定义和判定条件的掌握与运用。
2. 全等三角形的性质及应用的掌握与应用。
3. 全等三角形的证明方法的理解和运用。
四、教学难点1. 全等三角形的性质及应用的理解和运用。
2. 全等三角形的证明方法的理解和运用。
五、教学准备1. 教材、教辅资料。
2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器等。
六、教学过程教学活动一：导入（10分钟）1. 教师布置学生自学任务，让学生自行阅读教材第十二章的内容，并思考下列问题：如何判断两个三角形是否全等？全等三角形有哪些性质？应用在哪些问题中？2. 学生自学后，教师组织讨论，学生分享自己的思考结果。
教学活动二：概念讲解（25分钟）1. 教师利用黑板与彩色粉笔，进行全等三角形定义的讲解。
重点强调全等三角形的相等对应关系。
2. 讲解全等三角形的判定条件，包括SSS、SAS、ASA和AAS。
3. 教师通过举例说明判定条件的运用方法，让学生在实际操作中理解和掌握。
教学活动三：性质与应用（50分钟）1. 教师引导学生讨论全等三角形的性质，如边长相等、角度相等、对边相等等，通过实际问题分析和解决，培养学生的问题解决能力。
2. 教师提供相关应用题，要求学生利用全等三角形的性质解决问题，并与同桌合作讨论。
教师带领学生进行展示和讨论，指导学生发现问题的解决方法，并帮助学生纠正错误。
3. 学生合作完成教材练习册上的练习题，巩固全等三角形的性质与应用。
教学活动四：证明全等三角形（45分钟）1. 教师介绍全等三角形的证明方法，包括利用全等判定条件进行证明和利用全等三角形的性质进行证明。
《第12章 全等三角形》全章教案
课题§12.1 全等三角形序号12备课时间8.27 授课时间主备人王暖清授课班级8.1 8.2课标要求理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．1．理解全等形和全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．教学目标2．掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．教学重点全等三角形的性质．掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角教学难点形的对应元素．课型新授课教学准备PPT课件教学过程（一）观察实践，得到概念问题1：观察下列图案，找出这些图案中形状、大小相同的图形．师生活动：学生说出图案中形状、大小相同的图形．追问1：你能再举出一些类似的例子吗？师生活动：学生根据生活实际举出类似的例子．追问2：如果把这些形状、大小相同的图形放在一起，能够完全重合吗？问题2：把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？师生活动：学生动手操作，通过实践说明形状、大小相同的图形放在一起是完全重合的．教师顺势说出概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（板书课题）【设计意图】学生通过生活经验判断、猜想，进而动手实际操作，得到这些图形是能够完全重合的．培养学生观察、动手能力．（二）图形变换，加深理解图1 图2 图3问题3：（如图1）把△ABC平移，得到△DEF．（如图2）把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC．（如图3）把△ABC绕点A旋转，得到△ADE．追问：平移、翻折、旋转前后的图形，什么变化了，什么没有变化？它们全等吗？师生活动：学生分组根据要求操作，小组讨论得到平移、翻折、旋转前后的图形位置变化了，形状和大小没变，它们依然全等．教师巡回指导，并利用多媒体动画展示给学生看，加深印象．问题4：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．如，△ABC≌△DEF．把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．追问1：你能把图2和图3中全等三角形用符号表示出来，并说出它们的对应顶点、对应边和对应角吗？师生活动：教师讲解两个三角形全等的符号表示，结合图1讲解找两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角的方法．学生完成图2、图3中全等三角形的符号表示，并说出它们的对应顶点、对应边和对应角．追问2：上述几对全等三角形，它们的对应边和对应角有什么关系？为什么？师生活动：学生很容易得到全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．教师板书指出这是全等三角形的性质．追问3：全等三角形的性质怎样用几何语言表示？因为△ABC≌△DEF所以 AB=DE，AC=DF，BC=EF (全等三角形的对应边相等)∠A=∠D，∠C=∠F，∠B=∠E (全等三角形的对应角相等)【设计意图】利用三角形的平移、翻折、旋转的不变性，让学生通过具体操作直观感知，进一步理解全等三角形的概念．通过观察，猜测并验证全等三角形的性质，这种效果是抽象的讲授难以达到的．利用基本三角形变换出各种图形，然后观察它们的对应边、对应角的变化，有利于提高学生识别图形的能力．（三）习题练习，巩固新知问题5：练习：教科书第32页练习第2题．如图4，△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点．说出这两个三角形中相等的边和角．解：AC=DB, OA=OD, OC=OB;∠A=∠D, ∠C=∠B, ∠AOC=∠DOB．师生活动：学生回答图中相等的边和角．问题6：如图5，将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，说出图中相等的量．解：可能的结论有：对应角方面：∠A=∠D, ∠B =∠DEF, ∠ACB=∠F;对应边方面：AB=DE, AC=DF, BC=EF;间接的其他结论：AB∥DE, AC∥DF, BE=CF, 四边形ABEG与四边形FDGC面积相等．师生活动：学生独立完成后，分组讨论答案，教师巡回指导．【设计意图】通过练习，加强学生找全等三角形中对应边和对应角的能力，提高学生识别图形的能力．（四）小结与反思1．什么是全等形？什么是全等三角形？2．什么是全等三角形的对应顶点、对应边和对应角？3．全等三角形的性质是什么？4．怎样找全等三角形的对应边和对应角？【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会找全等三角形的对应边和对应角的一些具体方法．（五）布置作业A类：教科书第33页习题12.1第1题，B类：教科书第33页习题12.1第2题．板书设计§12.1 全等三角形1．全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．例：2．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．对应顶点、对应边、对应角3．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．（二）构建三角形全等判定的探索思路追问1：如果两个三角形满足上述六个条件中的一个可以判定两个三角形全等吗？（1）一条边相等．（2）一个角相等．追问2：如果两个三角形满足上述六个条件中的两个可以判定两个三角形全等吗？（1）一条边和一个角相等．（2）两个角相等．（3）两条边相等．追问3：如果两个三角形满足上述六个条件中的三个可以判定两个三角形全等吗？满足三个条件又有哪些情况呢？师生活动：教师引导学生分析，满足一个条件、两个条件分别有哪些情况．学生通过画图说明均不能判定两个三角形全等，接着分析满足三个条件有哪几种情况．【设计意图】让学生通过思考、实践形成认知，渗透分类讨论的思想．（三）尺规作图，探究“边边边”判定方法问题2我们先研究两个三角形满足三边分别相等的情况．任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′= BC，A′C′= AC，把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？画法：（1）画B′C′= BC；（2）分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；（3）连接线段A′B′、A′C′．追问：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？文字语言：三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．符号语言：在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．师生活动：师生共同进行尺规作图，学生操作、观察是否全等．然后引导学生得出“边边边”判定方法，掌握文字和符号语言．【设计意图】通过作图、剪图、比较图的过程让学生感悟到基本事实的正确性，获得“边边边”的判定方法，培养学生发现问题的能力，锻炼学生使用数学语言的能力．（四）应用新知，解决问题问题3如图：AB=AD，BC=DC，△ABC与△ADC全等吗？为什么？师生活动：学生先口述理由，然后写出完整的证明过程，教师规范步骤．【设计意图】让学生初步掌握证明两个三角形全等的一般程序，并善于从具体问题中发现隐含条件，比如公共边等．问题4例1 在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD．师生活动：学生分析解题思路，然后写出完整的证明过程．【设计意图】巩固新知，培养学生规范的解题步骤．问题5：作一个角等于已知角．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．师生活动：学生在教师的指导下进行作图，并掌握画法．学生思考：为什么画出的角等于已知角？【设计意图】为了作一个角等于已知角，实际上是先作出了一对全等的三角形，由全等三角形的对应角相等可知所作出的角等于已知角，这也启发学生：如果得到了全等的三角形，就能得到相等的角，当然也能得到相等的边，这为证明角相等、线段相等提供了全新的思路．师生活动：教师画一个△ABC，学生先讨论画法，再给出正确的画法．操作：（1）把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？（2）上面的探究说明什么规律？总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”．【设计意图】坚持让学生动手发现，在学习三角形画法的基础上探索全等条件．三、实际应用例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C不经过池塘可以直接到达A和B。
第12章全等三角形教案
八年级数学上册教案第12章 《全等三角形》教案12.1全等三角形的性质【教学目标】1.知识与技能目标掌握怎样的两个图形是全等形，了解全等形，了解全等三角形的的概念及表示方法。
掌握全等三角形的性质。
2.过程与方法目标：围绕全等三角形的这一中心。
让学生找出它的对应顶点、对应边、对应角，进而引入本节问题的主题，强化了本课的中心问题-----全等三角形的性质。
【重点难点】重点：全等三角形的性质难点：寻找全等三角形中的对应元素【教学过程】课前准备 ：全等三角形纸片一、引入新课全等形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形“全等”用“≌”表示，读“全等于”，记作：△ABC ≌△A ′B ′C ′二、 探究1.全等三角形中的对应元素问题：你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把相同的角重合到一起（或相同的边重合到一起）时它们才能完全重合。
这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。
表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形的对应关系。
①对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。
②对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。
③对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。
2.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等。
全等三角形的对应角相等。
用几何语言表示全等三角形的性质如图：∵∆ABC ≌ ∆DEF∴AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF （全等三角形对应边相等）∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F （全等三角形对应角相等）3.探求全等三角形对应元素的找法1.下图中的各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形的位置，使它能与另一个三角形完全重合?用式子表示全等关系.并说出其中的对应关系.回答：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合。
第12章全等三角形-一边一角构造全等(教案)
-如何通过测量边长和角度来确定两个三角形是否满足SSS和SAS条件。
-应用全等三角形的性质解决实际问题：重点在于学生能够将全等三角形的性质应用于解决具体的几何问题，例如计算未知边长或角度。
2.教学难点
-理解全等三角形的判定过程：难点在于学生需要理解全等判定不是简单的图形比较，而是一个逻辑推理过程。以下是具体的难点细节：
-难以将全等三角形的性质灵活运用于不同的解题场景。
-在解决综合问题时，难以决定使用哪种全等判定方法。
在教学过程中，需要通过具体的例题、图形演示和实际操作，帮助学生明确重点，突破难点。教师应设计不同难度的练习题，从基础的概念巩固到综合应用题，逐步引导学生深入理解全等三角形的判定和应用。同时，应鼓励学生主动参与，通过小组讨论、上台演示等方式，提高他们对核心知识的掌握程度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调SSS和SAS这两个全等判定的重点。对于难点部分，比如对应边和对应角的识别，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用模型或纸片来构造全等三角形，从而演示全等的基本原理。
-难以区分SSS和SAS条件，特别是在实际应用中。
-难以理解全等判定中的“对应”概念，容易混淆哪些边和角是需要比较的。
-难以从给定的信息中识别出可用于全等判定的要素。
-在实际问题中识别和应用全等三角形：难点在于学生需要将理论知识和实际问题联系起来，以下为具体的难点：
-难以从复杂的实际问题中抽象出全等三角形的模型。
八年级数学上册 第12章 全等三角形 教案新人教版
第十二章全等三角形12.1全等三角形【知识与技能】(1)了解全等形及全等三角形的概念.(2)理解全等三角形的性质.【过程与方法】在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直观.【情感态度与价值观】(1)让学生观察、发现生活中的全等三角形并体验在实际操作中获得全等三角形的喜悦.(2)在运用全等三角形的性质的过程中感受数学活动的乐趣.全等三角形的概念及性质.掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速、正确地指出两个全等三角形的对应元素.多媒体课件、剪刀教师引入：一位哲学家曾经说过“世界上没有完全相同的两片叶子”，但是在我们的周围，却有着好多形状、大小完全相同的图案.你能举出这样的例子吗？学生口答，教师点评并引入本节新课.探究1：全等形及全等三角形的相关概念教师让学生完成以下活动：1.动手做.(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能够重合吗?(2)把手中的直角三角尺按在纸上，画出三角形，并裁下来，把直角三角尺和纸三角形叠放在一起，观察它们能够重合吗?然后学生得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫作全等形，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.(教师板书)2.观察.观察图12-1-1中△ABC与△A′B′C′重合的情况.师生共同总结对应顶点、对应边、对应角的概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.然后教师指出：全等的符号“≌”，读作“全等于”.教师强调：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF 是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.接着教师出示例题：例1如图12-1-2，已知△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边.写出其他的对应边及对应角.师生共同分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABN和△ACM从复杂的图形中分离出来.根据元素位置来找对应元素，再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.然后学生自主完成.解：对应角为∠BAN与∠CAM,∠ANB与∠AMC.对应边为AM与AN，BN与CM.探究2：全等三角形的性质教师让学生把△ABC沿直线BC分别进行平移、翻折、绕定点旋转，然后观察图形的大小、形状是否发生变化(如图12-1-3).师生共同得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状.教师追问：那么在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？学生先思考，再小组交流，得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等.(教师板书) 接着教师出示例题：例2已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23 cm，BC=4 cm，求DE的长.教师引导学生先画出图形，再进行分析，然后师生共同完成，教师板书：解：因为△ABC的周长为23 cm，BC=4 cm，AB=AC，所以AB=AC=(23-4)÷2=9.5(cm).因为△DEF≌△ABC，∴DE=AB=9.5 cm.教师强调：运用全等三角形的定义和性质时，要注意规范书写格式.1.能够完全重合的两个图形叫作全等形.能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边,重合的角叫作对应角.全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.找全等三角形对应元素的方法,注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等.第十二章全等三角形12.2全等三角形的判定课时1 “边边边（SSS）”【知识与技能】(1)明确判定两个三角形全等至少需要三个条件.(2)掌握“边边边(SSS)”条件的内容.(3)能初步运用“边边边(SSS)”条件判定两个三角形全等.(4)会作一个角等于已知角.【过程与方法】使学生经历探索三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程.【情感态度与价值观】探究三角形全等条件的判定过程，以观察思考，动手画图，合作交流等多种形式让学生共同探讨，培养学生的合作精神.三角形全等的“边边边（SSS）”判定方法.运用“边边边(SSS)”判定方法进行简单的证明.多媒体课件.教师引入：如图12-2-1，教师在黑板上画两个三角形，请仔细观察，△ABC与△A′B′C′全等吗？你们是如何判断的？学生各抒己见，如动手用纸剪下一个三角形，将剪下的三角形叠到另一个三角形上，观察这两个三角形是否完全重合；测量两个三角形的所有边与角，观察是否有三条边对应相等，三个角对应相等.探究1：三角形全等的条件教师提出：(1)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？(2)如果给出两个条件呢?给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下画出的三角形一定全等吗？学生讨论有几种可能的情况，然后按照下面的条件画一画：①三角形的一个内角是30°，一条边是3 cm；②三角形的两个内角分别是30°和50°；③三角形的两条边长分别是 4 cm和6 cm.学生分组讨论、画图、探索、归纳，最后以组为单位展示结果.结果展示：(1)只给定一条边时，如图12-2-2.只给定一个角时，如图12-2-3.(2)给出的两个条件：一边一内角、两内角、两边，如图12-2-4.可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.教师提出：如果给出三个条件画三角形，你能说出有几种情况吗?(三条边，两条边和一个角，一条边和两个角，三个角)在刚才的探索过程中，我们已经发现，已知三个内角不能保证两个三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.(这节课只讨论第一种情况) 探究2：“边边边(SSS)”教师让学生完成以下活动：1.任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC.教师先让学生思考三角形的画法，再师生共同总结：(1)画B′C′=BC；(2)分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC的长为半径画弧，两弧相交于点A′；(3)连接A′B′，A′C′，如图12-2-5.2.把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？(即全等吗？)3.学生拿出直尺和圆规，按上面的要求作图并验证.教师在此过程中巡视、指导.进一步提出问题：作图的结果反映了什么规律？学生在思考、实践的基础上，归纳出判定三角形全等的方法.教师板演：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).教师出示教材P36例1：在如图12-2-6的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.求证：△ABD≌△ACD.师生共同分析：要证明△ABD≌△ACD，只需看这两个三角形的三条边是否分别相等.注意：题目中的隐含条件是AD是公共边(AD既是△ABD的边又是△ACD的边，我们称它为这两个三角形的公共边).分析完之后，师生共同证明，教师板书过程：教师总结证明三角形全等的书写格式可分为三部分：一是全等条件的证明；二是罗列两个三角形全等的条件；三是写三角形全等的结论.这里要求注明判定方法.(注意强调书写过程的严谨性).探究3：作一个角等于已知角教师：由三边分别相等判定三角形全等的结论还可以得到用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法.师生共同展示：已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.作法：(1)如图12-2-7，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.完成之后，教师让学生进行练习：教材P37练习第1，2题(学生首先独立思考，然后让两名学生板演，最后教师点评).1.三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.利用两个三角形全等可进行一些相关的计算和证明.2.尺规作图：作一个角等于已知角.第十二章全等三角形12.2全等三角形的判定课时2 “边角边（SAS）”【知识与技能】(1)掌握“边角边(SAS)”条件的内容.(2)能初步运用“边角边(SAS)”条件判定两个三角形全等.(3)知道两个三角形具备两边和一对角相等时，不一定全等.【过程与方法】使学生经历探索三角形全等的过程，培养学生观察图形、分析图形以及动手操作的能力.【情感态度与价值观】通过探究三角形全等条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质及发现问题的能力.对“边角边(SAS)”条件的理解和应用.运用“边角边(SAS)”判定方法进行简单的证明.多媒体课件.教师出示投影，让学生认识卡钳：如图12-2-8，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，在图中，利用这个工具就可以测量工件内的槽宽，你们能解释其中的道理吗？学生思考之后进行简单的回答，教师点评并引入本节课题.(板书)教师：上节课我们学习了三边分别相等的两个三角形全等，如果已知两个三角形的两条边及一个角对应相等，那么能判定这两个三角形全等吗？探究1：两边及其夹角分别相等〔“边角边(SAS)”〕教师让学生完成以下活动：图12-2-91.先任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A′=∠A(即两边和它们的夹角相等).师生共同分析：要画一个三角形，首先要确定这个三角形的三个顶点.然后教师出示作法，学生独立完成：如图12-2-9，(1)画∠DA′E=∠A；(2)在射线A′D上截取A′B′=AB，在射线A′E上截取A′C′=AC；(3)连接B′C′.2.引导学生剪下三角形，看是不是与原三角形全等.师生共同得出结论：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).教师补充：也就是说，如果三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定，那么这个三角形的形状、大小就能确定.用符号语言表示为(教师板书)：教师强调：“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.教师从而解决情境导入中的问题，卡钳测量工件内的槽宽的原理是利用全等三角形的对应边相等，把不能直接测量的物体“移”到可以直接测量的位置进行测量.接着教师出示投影，让学生完成这道练习题(学生口答)：图12-2-10中全等的三角形有(D).探究2：两边及其邻角分别相等(边边角)教师提出：如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其邻角分别相等”，即“两边及其中一边的对角相等”，那么这两个三角形还全等吗？学生分小组进行讨论，教师在此过程中及时点拨，画出反例图形，如图12-2-11.学生通过反例说明“已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”不一定成立(即SSA不一定成立).教师出示教材P38例2：如图12-2-12，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？教师引导学生把实际问题转化为数学问题，然后师生共同分析：如果能证明△ABC≌△DEC，那么就可以得出AB=DE.由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件.师生共同解答，教师板书过程：最后教师总结：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以在证明线段相等或角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.教师让学生完成：教材P39练习第1，2题.让学生在黑板上板演，教师点评，并强调证明过程的规范书写.1.运用“边角边(SAS)”判定两个三角形全等，注意“边边角”不能判定两个三角形全等.2.判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角.第十二章全等三角形12.2全等三角形的判定课时3 “角边角（ASA）”“角角边（AAS）”【知识与技能】(1)掌握“角边角(ASA)”及“角角边(AAS)”条件的内容.(2)能初步运用“角边角(ASA)”及“角角边(AAS)”条件判定两个三角形全等.【过程与方法】使学生经历作图、证明等探究过程，从而提高学生分析、作图、归纳、推理等能力.【情感态度与价值观】通过探索和动手操作的过程，体会数学思维的乐趣，激发应用数学的意识，通过合作交流，培养合作意识，体验成功的喜悦.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法.运用“角边角”“角角边”的判定方法进行简单的证明.多媒体课件.1.复习旧知：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？分别是什么？学生举手回答，教师点评并表扬.2.教师引入：在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等.(板书课题)教师：已知两角和一边对应相等有两种情况，首先我们研究第一种情况，即两角及这两角的夹边对应相等.探究1：“角边角(ASA)”教师提出问题：如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，那么这两个三角形全等吗？学生完成以下活动：1.先任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得∠A′=∠A，∠B′=∠B，A′B′=AB.教师指导△A′B′C′的作法：如图12-2-14，(1)作线段A′B′，使A′B′=AB；(2)分别以A′，B′为顶点，A′B′为一边在A′B′的同旁画∠DA′B′，∠EB′A′，使∠DA′B′=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA；(3)射线A′D与B′E相交于一点，记为点C′，即可得到△A′B′C′.2.将画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，发现两个三角形全等.3.教师让学生模仿上一节所学的“边角边”定理，用一句话来总结一下：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).教师补充：也就是说，三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就确定了.教师出示教材P40例3：如图12-2-15，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE.师生共同分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE.学生写出证明过程，教师点评.探究2：“角角边(AAS)”教师提出问题：如果把“两角和它们的夹边分别相等”改为“两角及邻边分别相等”，即“两角分别相等且其中一组等角的对边相等”，两个三角形还全等吗？教师出示教材P40例4：如图12-2-16，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.教师引导学生分析题目中的已知条件，让学生思考解题思路：如果能证明∠C=∠F，就可以利用“角边角”证明△ABC和△DEF全等，由三角形的内角和定理可以证明∠C=∠F.学生分小组交流想法，教师点评.师生共同完成证明过程，教师板书：证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A-∠B.同理∠F=180°-∠D-∠E.又∠A=∠D，∠B=∠E，∴∠C=∠F.在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF(ASA).教师：我们从这道例题可以得到两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就确定了.教师紧接着让学生完成P41练习第1，2题.学生板演，教师点评.教师最后总结：(1)已知两个三角形的两组角对应相等，要证明这两个三角形全等，应选择判定方法“ASA”或“AAS”.(2)在运用“ASA”或“AAS”判定三角形全等时，同样要注意题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等.最后，教师提出：到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等的问题已全部结束.然后让学生把两个三角形全等的判定方法做一个小结.学生自我回忆总结，然后小组讨论、交流，补充：边边边(SSS),边角边(SAS),角边角（ASA）,角角边(AAS).1.用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等.2.用三角形全等来证明线段或角相等.3.到目前已经学习了四种判定两个三角形全等的方法.第十二章全等三角形12.2全等三角形的判定课时4 “斜边直角边（HL）”【知识与技能】(1)探索和了解直角三角形全等的条件——“斜边、直角边(HL)”.(2)会运用“斜边、直角边(HL)”判定两个直角三角形全等.【过程与方法】让学生在合作交流中获取知识，组织学生通过观察、发现、交流、体验、说理归纳等活动，感知并掌握直角三角形的判定方法.【情感态度与价值观】通过创设情境，激发学生的求知欲，通过动手操作等活动，让学生乐于探究，培养学生独立思考和合作交流的能力.探究直角三角形全等的条件.灵活运用直角三角形全等的条件进行证明.多媒体课件.教师出示投影：如图12-2-18，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量其长度.你们能帮他想个办法吗？学生思考之后，回答：方法一：测量斜边和一个对应的锐角(“AAS”)；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(“ASA”或“AAS”).教师继续指出：工作人员只带了一把卷尺，他测量了两个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“这两个直角三角形是全等的”.你们相信他的结论吗？学生回答：这两个三角形都是直角三角形，也许是全等的.因为它还有直角这个特殊条件.教师点评：有道理，但科学是严谨的，今天我们就来探究“两个直角三角形全等的条件”.(板书课题)探究1：“斜边、直角边(HL)”教师：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了?教师出示教材P42探究5：师生共同按照下面的步骤做一做(如图12-2-19)：画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.图12-2-19(1)画∠MC′N=90°；(2)在射线C′M上截取B′C′=BC；(3)以点B′为圆心，AB长为半径画弧，交射线C′N于点A′；(4)连接A′B′.教师提问：Rt△A′B′C′就是所求作的三角形吗？接着让学生把画好的Rt△A′B′C′剪下来放在Rt△ABC上，观察这两个三角形是否全等.学生由此可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).教师出示教材P42例5：如图12-2-20，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证：BC=AD.师生共同分析：要想证明BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△BAD 和△ABC，△ADO和△BCO，其中O为DB，AC的交点，经过对条件的分析，发现△ABD和△BAC 具备全等的条件.师生共同完成证明过程，教师板书：证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.教师接着提问：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？学生回答：直角三角形是特殊的三角形，所以不仅能用一般三角形判定全等的方法“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，还能用直角三角形独有的判定全等的方法——“HL”.最后教师总结：对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等，或两条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形也全等.在判定三角形全等的各个条件中，一个必要的条件为至少有一条边对应相等.判定两个三角形全等时，要注意对应边、角的相对位置关系，然后按照以下思路寻求解题方法：（1）已知两边找夹角→SAS找直角→HL找第三边→SSS（2）已知两角找夹边→ASA找一角的对边→AAS（3）已知一边一角边为角的对边→找一角→AAS边为角的邻边找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS找夹角的另一边→SAS紧接着，让学生完成：教材P43练习第1，2题.(学生板演，教师点评)1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).2.直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它.同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法，所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质课时一角的平分线的性质【知识与技能】(1)掌握已知角的平分线的画法.(2)利用角的平分线的定义进行简单的证明与计算.(3)利用全等三角形证明角的平分线.(4)掌握角的平分线的性质.(5)了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.【过程与方法】经历角的平分线的画法和角的平分线的性质的探索过程，体会探索、研究问题的基本方法，培养学生的合作精神，体会转化的数学思想，感受数学来源于生活.【情感态度与价值观】在探究角的平分线的作法及性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣,获得解决问题的成功体验，增强解决问题的信心.角的平分线的性质，能灵活运用角的平分线的性质解题.灵活运用角的平分线的性质解题.多媒体课件.复习引入教师提出问题：1.角的平分线的概念.2.点到直线(射线)的距离的概念.学生举手回答.探究1：角的平分线的画法教师引入：工人师傅常常用一种简易平分角的仪器(如图12-3-1)，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗？学生分组讨论，说明简易平分角仪器的原理，并写出证明过程.(教师提示：用全等三角形的知识)教师：其实这种平分角的方法告诉了我们作已知角的平分线的一种方法.然后教师引导学生用尺规作图：已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.先让学生讨论作法，再由教师总结作法，师生共同作图：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N.(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求，如图12-3-2.教师紧接着提出问题：你们能说明OC为什么是∠AOB的平分线吗？学生进行交流，教师提示(可证明△MOC≌△NOC)，然后让学生写出证明过程.教师巡示并指导.探究2：角的平分线的性质教师让学生完成以下活动：1.任意作一个∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？2.在OC上再取几个点试一试.3.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？学生动手操作，独立思考，然后举手回答自己的发现，学生互相补充，教师指导，一起概括出角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.教师进一步提问：你们能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？教师首先引导学生分析命题的条件和结论.如果学生感到困难，可以让学生先将命题改写成“如果……那么……”的形式，再引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐含条件(垂直).最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程.接着师生共同概括证明几何命题的一般步骤：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似于以下的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.最后教师归纳：利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等，但在推导过程中，不要漏掉垂直关系的书写.以后涉及角的平分线上的点到角的两边的垂线段时，可直接得到其相等，不必再通过证两个三角形全等而走弯路.教师出示例题：例1如图12-3-3，在△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，BM=5.2 cm，点M到AB的距离为3 cm.求BC的长.师生共同分析：只需补出点M到AB的距离，利用角的平分线的性质得到CM=3 cm，从而求出BC的长.师生共同完成证明过程，教师板书：解：过点M作MN⊥AB于点N，∴MN=3 cm.∵AM平分∠CAB，∠C=90°，∴CM=MN=3 cm.又∵BM=5.2 cm，∴BC=CM+BM=3+5.2=8.2(cm).进而教师让学生独立完成：教材P50练习第2题(学生完成之后，教师点评).本节课我们学习了角的平分线的性质是由三个条件(一条角平分线，两条垂线段)得到一个结论(线段相等)，角的平分线的性质可独立地作为证明两条线段相等的依据.。
第十二章全等三角形12.1全等三角形教案
在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们在讨论全等三角形在实际生活中的应用时，思路不够开阔。为此，我计划在下一节课提前准备一些与全等三角形相关的实际问题，引导学生从不同角度去思考和探讨。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过全等三角形的定义、性质及判定方法的探讨，使学生掌握严密的逻辑推理过程，提高几何证明能力。
2.培养学生的空间想象能力：运用全等三角形的知识解决实际问题，激发学生对几何图形的空间想象，增强几何直观感知。
3.提升学生的数据分析能力：在解决实际问题时，指导学生分析数据，运用全等三角形的判定方法，培养学生从几何角度分析问题的能力。
3.全等三角形的证明：指导学生运用已知条件和全等三角形的判定方法，进行严密的逻辑推理，证明两个三角形全等。
4.实际应用：结合生活实际，让学生运用全等三角形的性质和判定方法解决一些几何问题，提高学生解决问题的能力。
5.练习题：设计具有代表性的练习题，巩固学生对全等三角形知识的掌握，提高学生的几何解题技巧。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法和性质这两个重点。对于难点部分，如判定方法的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠、剪裁等操作，演示全等三角形的基本原理。
五、教学反思
今天在讲授全等三角形这一章节时，我发现学生们对全等三角形的定义和判定方法掌握得还不错，但在实际应用上，他们似乎还有一些困难。我意识到，可能需要在以下几个方面进行改进：
第十二章-全等三角形-教案
初中数学导学案初中数学导学案学习例题：例1:找对应边，对应角⑴ 已知：△ ABC^A DBC DCB =、、D(2)>C已知：△ ABC^AAB^Z CD例2、已知：△ ABE^A DCF AB与DC是对应边，上〈A与/ D是对应角.BE=8，EF=3.(1) 求: CE AV --------------B 7=*(2)求证：AB// DCyC D巩固新知练习：课本P33复习巩固：1、2、找对应边和对应角分别是哪些。
1、全等用符号表示，读作：2、判断题(1)全等三角形的对应角相等，对应边相等。
( )(2)全等三角形的周长相等，面积也相等。
( )(3)周长相等的三角形是全等三角形。
( )达(4)面积相等的三角形是全等三角形。
( )标3、课本P33页3、4题训4、已知：(1)、△ ABE^A ACD (2)已知: △ACF^A练找出对应边，对应角•A*XBCA B CD小结1、(交流归纳)今天我们学了哪些内容：提2、谈谈本节课的收获：升教学反思初中数学导学案初中数学导学案初中数学导学案教学反思巩固新知练习：课本P41页练习第1、2题•••△ ADC BOD （）•••△ ADC BOD （3、如图，AB 丄BC，AD 丄DC,/ 仁/2。
求证AB = AD。
4、如图，要测量河两岸相对的两点A, B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C, D,使BC=CD再定出BF的垂线DE使A, C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。
为什么？1、区分ASA和AAS AS 两角一夹边对应相等；AA两角及其中一角的对边对应相等，两种方法可以相互转化.3、证明属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常通过证明这两个三角形全等来解决例2、如图，/ ACB M DBC / A=Z D.求证：AC=DB.达标训练1、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是 ___________A、带①去B、带②去C、带③去 D 带①②③去2、如图，应填什么就有「/ A= / B （已知）J _____________ （已知）/ C= / D （已知）△ AOC 也△ BODA= / B （已知）（CA=DB （已知小结提升）C E初中数学导学案教学反思1、在Rt△ ABC和Rt△ DEF中，/ ACB=/ DFE=90。
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形教学设计
要求：通过观察、思考，发现生活中的全等三角形，培养学生的观察能力和应用意识，提高学生对几何知识的兴趣。
3.小组合作，设计一道与全等三角形相关的几何题目，要求题目具有一定的挑战性，并给出解题步骤。
要求：学生通过小组讨论，设计出有创意的几何题目，培养团队合作精神和创新意识。同时，给出解题步骤，提高学生的解题能力和逻辑思维能力。
6.课后作业，延伸拓展
设计有针对性的课后作业，巩固所学知识，同时注重培养学生的独立思考能力和创新能力。
7.教学评价，关注成长
通过课堂表现、作业完成情况、小组讨论参与度等多方面，全面评价学生的学习情况，关注学生的成长过程。
8.教学反思，不断提高
教师应认真反思教学过程中的优点和不足，不断调整教学策略，以提高全等三角形教学的有效性。
2.学生分享学习心得，教师适时补充，提高学生的概括能力和思维能力。
师：很好，大家总结得都很到位。全等三角形的学习不仅让我们了解了几何图形的美丽，还提高了我们的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.教师布置课后作业，鼓励学生课后继续巩固所学知识。
师：课后，请大家完成课后作业，巩固全等三角形的性质和判定方法。同时，也要注意观察生活中的全等三角形，将所学知识运用到实际中。
4.总结全等三角形的学习方法，从知识点、解题技巧、学习心得等方面进行归纳。
要求：学生通过反思学习过程，总结全等三角形的学习方法和经验，为今后的学习奠定基础。
5.家长参与，与孩子一起探讨全等三角形在实际生活中的应用，增进亲子关系，提高学生的学习兴趣。
要求：家长与孩子共同完成此项作业，关注孩子的学习过程，激发孩子对几何知识的探索欲望。
2.引导学生感受数学的严谨性和逻辑性，培养认真、细致的学习态度，养成良好的学习习惯。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第12章 全等三角形12.1 全等三角形教案
第十二章全等三角形12.1 全等三角形一、教学目标【知识与技能】1.掌握全等形、全等三角形的概念,能应用符号语言表示两个三角形全等;2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素,理解全等三角形的性质,并解决相关简单的问题.【过程与方法】掌握全等三角形对应边相等,对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.【情感、态度与价值观】联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.二、课型新授课三、课时第1课时四、教学重难点【教学重点】全等三角形的概念、性质及对应元素的确定.【教学难点】全等三角形对应元素的识别.五、课前准备教师：课件、三角尺、全等图形等。
学生：三角尺、直尺、全等图形、三角形纸板。
六、教学过程（一）导入新课观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？（出示课件2-3）（二）探索新知1.观察图形，学习全等图形教师问1：下列各组图形的形状与大小有什么特点？（出示课件5）学生回答：每一组图中的两个图形形状相同，大小相等.教师问2：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？（出示课件6）学生回答：前三组图形的形状相同，大小也相等，第4组图形的形状相同，但是大小不相等，第5组图形的形状不相同，但是大小相等.教师问3：它们能够完全重合吗？你能再举出一些类似的例子吗？学生讨论分析，教师引导后学生回答：举例：学生手中含30度角的三角板；含45度角的三角板；学生手中的小量角器；由同一张底片洗出的尺寸相同的照片；两本数学书等.教师讲解：由图①②③中的图形，我们可以看到，它们的形状相同，大小相等，像这样，形状相同、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形.教师问4：同学们讨论一下，全等图形有什么性质呢？学生回答：全等图形的形状相同，大小相等.总结点拨：全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.2.师生互动，认识全等三角形的概念教师问5：观察下边的两个三角形，它们的形状和大小有何特征？学生回答：它们的形状相同，大小相等.教师问6：这两个三角形能够完全重合吗？学生回答：能够完全重合教师问7：这两个三角形能够完全重合之后，△ABC的顶点A、B、C与△DEF的顶点D、E、F那两个点重合呢？它们的边呢？它们的角呢？学生回答：点A与点D重合，点B与点E重合，点C与点F重合，边AB 与边DE重合，边AC与边DF重合，边CB与边FE重合，∠A与∠D重合，∠B与∠E重合，∠C与∠F重合.教师总结：（出示课件9）像上图一样，把△ABC 叠到△DEF上，能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形. 把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.教师问8：平移、翻折、旋转前后的两个三角形什么变化，什么没有变化呢？学生讨论并回答：三角形的形状和大小没有变化，位置变化了.教师问9：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？（出示课件10）学生回答：平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等.总结点拨：（出示课件11）一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等.学生小组活动：教师提出下列要求：①请你用事先准备好的三角形纸板通过平移、翻折、旋转等操作得到你认为美丽的图形；②在练习本上画出这些图形，标上字母，并在小组内交流；③指出这些图形中的对应顶点、对应边、对应角.教师问10：请同学们观察分析，指出下列图形的对应边、对应角和对应顶点.学生分组做完后并点名回答教师问11：寻找对应元素有什么方法和规律吗？学生思考交流后，师生共同归纳、板书.（出示课件13）1. 有公共边，则公共边为对应边；2. 有公共角（对顶角），则公共角（对顶角）为对应角；3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；4. 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.教师问12：全等三角形的对应边、对应角有什么数量关系？学生回答：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.教师问：全等三角形用什么表示呢？学生阅读教材32页内容回答：全等”用符号“≌”表示，△ABC全等于△DEF，记作△ABC≌△DEF.教师问13：全等三角形有哪些性质呢？学生讨论回答：全等三角形的对应边相等，对应角相等.总结点拨：全等的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”. （出示课件15）警示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等的性质：（出示课件16-17）全等三角形的对应边相等，对应角相等.几何语言：∵△ABC≌△DEF(已知），∴AB=DE，AC=DF，BC=EF(全等三角形对应边相等），∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F(全等三角形对应角相等）.例1：如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.（出示课件18）师生共同解答如下：解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.例2：如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．（出示课件20）师生共同解答如下：解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC–BF＝7–4＝3.例3：如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.（1）试写出两三角形的对应边、对应角；（2）求线段NM及HG的长度；（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.（出示课件22-23）师生共同解答如下：解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；对应角有∠E和∠N，∠F和∠M，∠EGF和∠NHM.（2）解：∵△EFG≌△NMH，∴NM=EF=2.1cm，EG=NH=3.3cm.∴HG=EG –EH=3.3 – 1.1=2.2（cm）.（3）解：结论：EF∥NM证明：∵ △EFG≌△NMH，∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.总结点拨：全等三角形的性质:能够重合的边是对应边,重合的角是对应角,对应边所对的角是对应角.对应角所对的边是对应边;两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边; 两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角.（三）课堂练习（出示课件27-30）1.能够_________的两个图形叫做全等形.两个三角形重合时，互相__________的顶点叫做对应顶点.记两个全等三角形时，通常把表示___________顶点的字母写在_________的位置上.2.如图，△ABC≌ △ADE，若∠D=∠B，∠C= ∠AED，则∠DAE=_______；∠DAB=__________ .3.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm，BD=4cm，AD=6cm，那么BC 的长是( )A.6cmB.5cmC.4cmD.无法确定4.在上题中，∠CAB的对应角是( )A.∠DABB.∠DBAC.∠DBCD.∠CAD5. 如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )A.△ABD 和△CDB 的面积相等B.△ABD 和△CDB 的周长相等C.∠A +∠ABD =∠C +∠CBDD.AD∥BC，且AD = BC6.如图，△ABC ≌△AED，AB是△ABC 的最大边，AE是△AED的最大边，∠BAC 与∠ EAD是对应角，且∠BAC=25°，∠B= 35°，AB =3cm，BC =1cm，求出∠E，∠ ADE 的度数和线段DE，AE 的长度.参考答案：1. 重合重合对应相对应2. ∠BAC ∠EAC3.A4.B5.C6. 解:∵ △ABC ≌△AED，(已知)∴∠E= ∠B = 35°，(全等三角形对应角相等)∠ADE =∠ACB =180°–25°–35°=120 °，(全等三角形对应角相等) DE = BC =1cm，AE = AB =3cm.(全等三角形对应边相等)（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.全等三角形的有关概念2.全等三角形的性质3.寻找对应元素的方法（五）课前预习预习下节课（11.2）教材35页到教材37页的相关内容。
第十二章全等三角形教案
第十二章全等三角形教案篇一：人教版第十二章《全等三角形》——最新版12．1 全等三角形教学目标1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．教学重点全等三角形的性质．教学难点找全等三角形的对应边、对应角．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？AA1C11这两个三角形是完全重合的．2．学生自己动手〔同桌两名同学配合〕取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画以下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 3．获取概念让学生用自己的语言表达：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．要是把两个图形放在一起，能够完全重合，?就可以说明这两个图形的形状、大小相同．概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等〞符号表示的要求．Ⅱ．导入新课利用投影片演示将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC 旋转180°得△AED．ADADEBCBC甲EF乙DB丙C议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．〔注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上〕启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？〔引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系〕得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等．[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角．CAB问题：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，?所以C和B重合，A和D重合．D∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．[例2]如图，△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，?指出其他的对应边和对应角．ABDEC分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中别离出来．根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再依据的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：〔1〕全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．〔2〕全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．解：对应角为∠BAE和∠CAD．对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD． [例3]如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．〔由学生讨论完成〕ABCD借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A，?在两个三角形中∠A的对边分别是BC 和DE，所以BC和DE是一组对应边．而AB与AE显然不重合，所以AB?与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角，∠ACB与∠AED是对应角．所以说对应边为AB与 AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED．做法二：沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC?翻折180°后，它正好和△ADE重合．这时就可找到对应边为：AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B 与∠D、∠ACB与∠AED．Ⅲ．课堂练习课本练习1．课本习题12．1Ⅳ．课时小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，?并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．找对应元素的常用方法有两种：〔一〕从运动角度看1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素． 2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．〔二〕根据位置元素来推理1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边． 2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．Ⅴ．作业课后作业:顶尖板书12．2 三角形全等的条件12．2．1 三角形全等的条件〔一〕教学目标1．三角形全等的“边边边〞的条件． 2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程．教学重点三角形全等的条件．教学难点寻求三角形全等的条件．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形．△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．ABCB C图中相等的边是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎篇二：全等三角形-人教版数学八年第十二章全等三角形12.1 全等三角形1教学目标1.1 知识与技能：[1] 理解全等形的概念，了解几种常用的全等变换方式。
第12章全等三角形全章教案
第十二章全等三角形12.1 全等三角形教学内容本节课主要介绍全等三角形的概念和性质．教学目标1．知识与技能领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念．2．过程与方法经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角．3．情感、态度与价值观培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值．重、难点与关键1．重点：会确定全等三角形的对应元素．2．难点：掌握找对应边、对应角的方法．3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，•两条对应边所夹的角是对应角．教具准备四张大小一样的纸片、直尺、剪刀．教学方法采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程一、动手操作，导入课题1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，•思考得到的图形有何特点？2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，•思考得到的图形有何特点？【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论．【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心．【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等．【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边．【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论：1．任意放置时，并不一定完全重合，•只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了．3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，•对应顶点在相对应的位置．【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范．1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，•重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，•如果本图11．1─2△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，•记作△ABC≌△DBC．【问题提出】课本图11．1─1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？【学生活动】经过观察得到下面性质：1．全等三角形对应边相等；2．全等三角形对应角相等．二、随堂练习，巩固深化课本P4练习．【探研时空】1．如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交流．（AB=6）2．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．•（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°）三、课堂总结，发展潜能1．什么叫做全等三角形？2．全等三角形具有哪些性质？四、布置作业，专题突破1．课本P4习题11．1第1，2，3，4题．2．选用课时作业设计．板书设计把黑板分成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思考”中的问题，右边部分板书学生的练习．疑难解析由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，•公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．12.2.1三角形全等的判定（SSS）教学内容本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SSS），•及利用全等三角形进行证明．教学目标1．知识与技能了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．2．过程与方法经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题．3．情感、态度与价值观培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识．重、难点与关键1．重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法．2．难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法．3．关键：掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形．教具准备一块形状如图1所示的硬纸片，直尺，圆规．(1) (2)教学方法采用“操作──实验”的教学方法，让学生亲自动手，形成直观形象．教学过程一、设疑求解，操作感知【教师活动】（出示教具）问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，•你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．【学生活动】观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图1•的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图2，•剪下模板就可去割玻璃了．【理论认知】如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等．•反之，•如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′．这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′，从刚才的实践我们可以发现：•只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全等．信不信？【作图验证】（用直尺和圆规）先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证．（如课本图11．2-2所示）画一个△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC：1．画线段取B′C′=BC；2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；3．连接线段A′B′、A′C′．【教师活动】巡视、指导，引入课题：“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？”【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理．（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论──边边边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验．二、范例点击，应用所学【例1】如课本图11．2─3所示，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC 中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．（教师板书）【教师活动】分析例1，分析：要证明△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等．证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD在△ABD和△ACD中,,.AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．【评析】符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”；从例1可以看出，•证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程．书写中注意对应顶点要写在同一个位置上，哪个三角形先写，哪个三角形的边就先写．三、实践应用，合作学习【问题思考】已知AC =FE ，BC =DE ，点A 、D 、B 、F 在直线上，AD =FB （如图所示），要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC =FE ，BC =DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？【教师活动】提出问题，巡视、引导学生，并请学生说说自己的想法．【学生活动】先独立思考后，再发言：“还应该有AB =FD ，只要AD =FB 两边都加上DB 即可得到AB =FD ．”【教学形式】先独立思考，再合作交流，师生互动．四、随堂练习，巩固深化课本P 8练习．【探研时空】如图所示，AB =DF ，AC =DE ，BE =CF ，BC 与EF 相等吗？•你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由．（BC =EF ，△ABC ≌△DFE ）五、课堂总结，发展潜能1．全等三角形性质是什么？2．正确地判断出全等三角形的对应边、对应角，•利用全等三角形处理问题的基础，你是怎样掌握判断对应边、对应角的方法？3．“边边边”判定法告诉我们什么呢？•（答：只要一个三角形三边长度确定了，则这个三角形的形状大小就完全确定了，这就是三角形的稳定性）六、布置作业，专题突破1．课本P15习题11．2第1，2题．2．选用课时作业设计．12.2.2 三角形全等判定（SAS）教学内容本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SAS），及利用全等三角形证明．教学目标1．知识与技能领会“边角边”判定两个三角形的方法．2．过程与方法经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决简单的推理问题．3．情感、态度与价值观培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值．重、难点及关键1．重点：会用“边角边”证明两个三角形全等．2．难点：应用结合法的格式表达问题．3．关键：在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法．教具准备投影仪、直尺、圆规．教学方法采用“操作──实验”的教学方法，让学生有一个直观的感受．教学过程一、回顾交流，操作分析【动手画图】【投影】作一个角等于已知角．【学生活动】动手用直尺、圆规画图．已知：∠AOB．求作：∠A1O1B1，使∠A1O1B1=∠AOB．【作法】（1）作射线O1A1；（2）以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA•于点C，•交OB于点D；（3）以点O1为圆心，以OC长为半径画弧，交O1A1于点C1；（4）以点C1为圆心，以CD •长为半径画弧，交前面的弧于点D 1；（5）过点D 1作射线O 1B 1，∠A 1O 1B 1就是所求的角．【导入课题】教师叙述：请同学们连接CD 、C 1D 1，回忆作图过程，分析△COD 和△C 1O 1D 1•中相等的条件．【学生活动】与同伴交流，发现下面的相等量：OD =O 1D 1，OC =O 1C 1，∠COD =∠C 1O 1D 1，△COD ≌△C 1O 1D 1．归纳出规律：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）．【评析】通过让学生回忆基本作图，在作图过程中体会相等的条件，在直观的操作过程中发现问题，获得新知，使学生的知识承上启下，开拓思维，发展探究新知的能力．【媒体使用】投影显示作法．【教学形式】操作感知，互动交流，形成共识．二、范例点击，应用新知【例2】如课本图11．2-6所示有一池塘，要测池塘两侧A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点，连接AC 并延长到D ，使CD =CA ，连接BC 并延长到E ，•使CE =CB ，连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？【教师活动】操作投影仪，显示例2，分析：如果能够证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB =DE ．在△ABC 和△DEC 中，CA =CD ，CB =CE ，如果能得出∠1=∠2，△ABC 和△DEC •就全等了．证明：在△ABC 和△DEC 中12CA CD CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEC （SAS ）∴AB =DE想一想：∠1=∠2的依据是什么？（对顶角相等）AB =DE 的依据是什么？（全等三角形对应边相等）【学生活动】参与教师的讲例之中，领悟“边角边”证明三角形全等的方法，学会分析推理和规范书写．【媒体使用】投影显示例2．【教学形式】教师讲例，学生接受式学习但要积极参与．【评析】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．三、辨析理解，正确掌握【问题探究】（投影显示）我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？【教师活动】拿出教具进行示范，让学生直观地感受到问题的本质．操作教具：把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，•使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来（课本图11．2-7），出现一个现象：△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但△ABC与△ABD不全等．这说明，•有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．【学生活动】观察教师操作教具、发现问题、辨析理解，动手用直尺和圆规实验一次，做法如下：（如图1所示）（1）画∠ABT；（2）以A为圆心，以适当长为半径，画弧，交BT于C、C′；（3）•连线AC，AC′，△ABC与△ABC′不全等．【形成共识】“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．【教学形式】观察、操作、感知，互动交流．四、随堂练习，巩固深化课本P10练习第1、2题．五、课堂总结，发展潜能1．请你叙述“边角边”定理．2．证明两个三角形全等的思路是：首先分析条件，•观察已经具备了什么条件；然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法，来确定还需要证明哪些边或角对应相等，再设法证明这些边和角相等．六、布置作业，专题突破1．课本P15习题11．2第3、4题．2．选用课时作业设计．板书设计把黑板分成左、中、右三部分，其中右边部分板书“边角边”判定法，中间部分板书例题，右边部分板书练习题．12.2.3 三角形全等判定（ASA）教学内容本节课主要内容是探索三角形全等的判定（ASA，AAS），•及利用全等三角形的证明．教学目标1．知识与技能理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法．2．过程与方法经历探索“角边角”、“角角边”判定三角形全等的过程，能运用已学三角形判定法解决实际问题．3．情感、态度与价值观培养良好的几何推理意识，发展思维，感悟全等三角形的应用价值．重、难点与关键1．重点：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等．2．难点：学会综合法解决几何推理问题．3．关键：把握综合分析法的思想，寻找问题的切入点．教具准备投影仪、幻灯片、直尺、圆规．教学方法采用“问题教学法”在情境问题中，激发学生的求知欲．教学过程一、回顾交流，巩固学习【知识回顾】（投影显示）情境思考：1．小菁做了一个如图1所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，•将上述条件注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴交流．(1) (2)[答案：能，因为根据“SAS”，可以得到△EDH≌△FDH，从而EH=FH]2．如图2，AB=AD，AC=AE，能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗？[答案：BC=•DE （SSS）或∠BAC=∠DAE（SAS）]．3．如果两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形一定会全等吗？试举例说明．【教师活动】操作投影仪，提出问题，组织学生思考和提问．【学生活动】通过情境思考，复习前面学过的知识，学会正确选择三角形全等的判定方法，小组交流，踊跃发言．【教学形式】用问题牵引，辨析、巩固已学知识，在师生互动交流过程中，激发求知欲．二、实践操作，导入课题【动手动脑】（投影显示）问题探究：先任意画一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B （即使两角和它们的夹边对应相等），把画出的△A′B′C′剪下，•放到△ABC上，它们全等吗？【学生活动】动手操作，感知问题的规律，画图如下：画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，DCBAE∠A ′=∠A ，∠B ′=∠B ： 1． 画A ′B ′=AB ；2． 在A ′B ′的同旁画∠DA ′B ′=∠A ， ∠EBA ′=∠B ，A ′D ，B ′E 交于点C ′。
第12章《全等三角形》教案
在今天的教学中，我发现同学们对全等三角形的概念和判定方法掌握得还算不错。通过引入日常生活中的例子，大家对这个章节的兴趣被成功激发，这让我感到很高兴。不过，我也注意到，在具体的案例分析中，部分学生对于判定方法的运用还不够熟练，尤其是在区分SSS、SAS等判定方法时，容易混淆。
在讲授过程中，我尽量用简洁明了的语言解释全等三角形的性质和判定方法，并通过大量例题进行讲解。但是，我意识到可能还需要更多的实际操作和练习来加深学生的理解。在接下来的课程中，我会增加一些互动环节，比如让学生上台演示解题过程，或者分组进行讨论，以提高他们的参与度和理解力。
第12章《全等三角形》教案
一、教学内容
第12章《全等三角形》教案：
1.教材章节：本节课内容对应人教版八年级数学下册第12章《全等三角形》。
2.教学内容：
（1）全等三角形的定义与性质；
（2）全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；
（3）全等三角形的性质应用：线段、角、周长、面积等；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法和性质这两个重点。对于难点部分，如判定方法的区分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示全等三角形的基本原理，如利用尺规作图构造全等三角形。
举例判定法，即三边分别相等的两个三角形全等。
（3）全等三角形的性质应用：运用全等三角形的性质解决线段、角、周长、面积等问题。
举例：运用全等三角形的性质证明两条线段相等，或求解三角形的面积。
2.教学难点
人教版八年级上数学教学设计《第12章全等三角形》
人教版八年级上数学教学设计《第12章全等三角形》一. 教材分析人教版八年级上数学第12章《全等三角形》是初中数学中的重要内容，主要介绍了全等三角形的概念、性质和判定方法。
通过本章的学习，使学生理解和掌握全等三角形的判定和性质，能运用全等三角形的知识解决一些实际问题。
教材中安排了丰富的例题和练习题，有利于学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了相似三角形的知识，并具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但全等三角形与相似三角形既有联系又有区别，学生需要通过对比、分析、归纳等方法，理解和掌握全等三角形的概念和性质。
同时，学生需要通过大量的练习，提高运用全等三角形知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握全等三角形的概念、性质和判定方法，能运用全等三角形的知识解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、对比、分析等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.教学重点：全等三角形的概念、性质和判定方法。
2.教学难点：全等三角形的判定方法以及在实际问题中的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入全等三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.对比教学法：对比全等三角形与相似三角形的异同，帮助学生深入理解全等三角形的性质。
3.实践操作法：让学生动手操作，通过实际操作得出全等三角形的判定方法。
4.小组合作学习法：培养学生团队合作精神，共同解决实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作全等三角形的相关课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学素材：准备一些全等三角形的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.练习题：挑选一些具有代表性的练习题，用于检验学生对全等三角形知识的掌握程度。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际问题，引导学生思考：如何判断两个三角形是否全等？从而引出全等三角形的概念。
第12章全等三角形全章教案
12．1 全等三角形1．了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素．(重点)2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．(重点)3．能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边．(难点)一、情境导入在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形．你能再举出一些例子吗？二、合作探究探究点一：全等形和全等三角形的概念及对应元素【类型一】全等形的认识2013年第十二届全运会在辽宁举行，下图中的图形是全运会的会徽，其中是全等形的是( )A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)解析：根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断．由此可以判断选项D 是正确的． 方法总结：判断两个图形是不是全等形，可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合起来观察，看其是否能完全重合，有时还可以借助网格背景来观察比较．【类型二】全等三角形的对应元素如图，若△BOD ≌△COE ，∠B ＝∠C ，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO ，指出这两个三角形的对应角．解析：结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可．解：△BOD 与△COE 的对应边为：BO 与CO ，OD 与OE ，BD 与CE ；△ADO 与△AEO 的对应角为：∠DAO 与∠EAO ，∠ADO 与∠AEO ，∠AOD 与∠AOE .方法总结：找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．探究点二：全等三角形的性质【类型一】应用全等三角形的性质求三角形的角或边如图，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝70°，∠B ＝50°，BF ＝4，EF ＝7，求∠DEF 的度数和CF 的长．解析：根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF 的度数和CF 的长．解：∵△ABC ≌△DEF ，∠A ＝70°，∠B ＝50°，BF ＝4，EF ＝7，∴∠DEF ＝∠B ＝50°，BC ＝EF ＝7，∴CF ＝BC －BF ＝7－4＝3.方法总结：本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关键是准确识别图形．【类型二】全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用如图，△ABC ≌△ADE ，∠CAD ＝10°，∠B ＝∠D ＝25°，∠EAB ＝120°，求∠ACB 的度数．解析：根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB ＝∠EAD ＋∠CAD ＋∠CAB ＝2∠CAB ＋10°＝120°，即∠CAB ＝55°.然后在△ACB 中利用三角形内角和定理来求∠ACB 的度数．解：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠CAB ＝∠EAD .∵∠EAB ＝120°，∠CAD ＝10°，∴∠EAB ＝∠EAD ＋∠CAD ＋∠CAB ＝2∠CAB ＋10°＝120°，∴∠CAB ＝55°.∵∠B ＝∠D ＝25°，∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠B ＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB 的度数是100°.方法总结：本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．三、板书设计全等三角形1．全等形与全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角、对应边相等．首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念．最后总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理．通过实例熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题．12．2三角形全等的判定第1课时“边边边”1．了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．(重点)2．经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．(重点)3．在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索．(难点)一、情境导入问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图①所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．学生活动：观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图①的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图②，剪下模板就可去割玻璃了．如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等．反之，如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB＝A′B′，BC＝B′C′，CA＝C′A′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′.从刚才的实践我们可以发现：只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全等．这种说法对吗？二、合作探究探究点：三角形全等的判定方法——“边边边”【类型一】利用“SSS”判定两个三角形全等如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.解析：已知△ABC 与△DEF 有两边对应相等，通过BE ＝CF 可得BC ＝EF ，即可判定△ABC ≌△DEF .证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF .在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝EF ，AB ＝DE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF (SSS)．方法总结：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【类型二】 “SSS ”与全等三角形的性质结合进行证明或计算如图所示，△ABC 是一个风筝架，AB ＝AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D的支架，求证：AD ⊥BC .解析：要证AD ⊥BC ，根据垂直定义，需证∠1＝∠2，∠1＝∠2可由△ABD ≌△ACD 证得．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .在△ABD 和△ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SSS)，∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等)．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD ⊥BC (垂直定义)．方法总结：将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的间接应用．【类型三】 利用“边边边”进行尺规作图已知：如图，线段a 、b 、c .求作：△ABC ，使得BC ＝a ，AC ＝b，AB ＝c .(保留作图痕迹，不写作法)解析：首先画AB ＝c ，再以B 为圆心，a 为半径画弧，以A 为圆心，b 为半径画弧，两弧交于一点C ，连接BC ，AC ，即可得到△ABC .解：如图所示，△ABC 就是所求的三角形．方法总结：关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．【类型四】 利用“SSS ”解决探究性问题如图，AD ＝CB ，E 、F 是AC 上两动点，且有DE ＝BF .(1)若E 、F 运动至图①所示的位置，且有AF ＝CE ，求证：△ADE ≌△CBF .(2)若E 、F 运动至图②所示的位置，仍有AF ＝CE ，那么△ADE ≌△CBF 还成立吗？为什么？(3)若E 、F 不重合，AD 和CB 平行吗？说明理由．解析：(1)因为AF ＝CE ，可推出AE ＝CF ，所以可利用SSS 来证明三角形全等；(2)同样利用三边来证明三角形全等；(3)因为全等，所以对应角相等，可推出AD ∥CB .解：(1)∵AF ＝CE ，∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，∴AE ＝CF .在△ADE 和△CBF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CB ，DE ＝BF ，AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF .(2)成立．∵AF ＝CE ，∴AF －EF ＝CE －EF ，∴AE ＝CF .在△ADE 和△CBF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CB ，DE ＝BF ，AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF .(3)平行．∵△ADE ≌△CBF ，∴∠A ＝∠C ，∴AD ∥BC .方法总结：解决本题要明确无论E 、F 如何运动，总有两个三角形全等，这个在图形中要分清．三、板书设计边边边1．三边分别相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS ”．2．“边边边”判定方法可用几何语言表示为：在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，AC ＝A 1C 1，∴△ABC ≌△A 1B 1C 1(SSS)．本节课从操作探究活动入手，有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握．从课堂教学的情况来看，学生对“边边边”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到困难，不知道如何添加合理的辅助线，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练．第2课时 “边角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”．(重点)2．能运用“边角边”判定方法解决有关问题．(重点)3．“边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻找．(难点)一、情境导入小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件吧！二、合作探究探究点一：应用“边角边”判定两三角形全等【类型一】 利用“SAS ”判定三角形全等如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD ＝BF ，AE ＝BC ，且AE ∥BC.求证：△AEF ≌△BCD .解析：由AE ∥BC ，根据平行线的性质，可得∠A ＝∠B ，由AD ＝BF 可得AF ＝BD ，又AE ＝BC ，根据SAS ，即可证得△AEF ≌△BCD .证明：∵AE ∥BC ，∴∠A ＝∠B .∵AD ＝BF ，∴AF ＝BD .在△AEF 和△BCD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BD ，∴△AEF ≌△BCD (SAS)．方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【类型二】“边边角”不能证明三角形全等下列条件中，不能证明△ABC ≌△DEF 的是( )A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EFB ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DFC ．BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AC ＝DFD ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF解析：要判断能不能使△ABC ≌△DEF ，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C 的条件不符合，故选C.方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA 时是不能判定三角形全等的．探究点二：全等三角形判定与性质的综合运用【类型一】利用全等三角形进行证明或计算已知：如图，BC ∥EF ，BC ＝BE ，AB ＝FB ，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C 的度数．解析：利用已知条件易证∠ABC ＝∠FBE ，再根据全等三角形的判定方法可证明△ABC ≌△FBE ，由全等三角形的性质即可得到∠C ＝∠BEF .再根据平行，可得出∠BEF 的度数，从而可知∠C 的度数．解：∵∠1＝∠2，∴∠ABC ＝∠FBE .在△ABC 和△FBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝BE ，∠ABC ＝∠FBE ，AB ＝FB ，∴△ABC≌△FBE (SAS)，∴∠C ＝∠BEF .又∵BC ∥EF ，∴∠C ＝∠BEF ＝∠1＝45°.方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．【类型二】全等三角形与其他图形的综合如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG .求证：(1)AE ＝CG ；(2)AE⊥CG .解析：(1)因为已知条件中有两个正方形，所以AD ＝CD ，DE ＝DG ，它们的夹角都是∠ADG 加上直角，可得夹角相等，所以△ADE 和△CDG 全等；(2)再利用互余关系可以证明AE ⊥CG .证明：(1)∵四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，∴AD ＝CD ，GD ＝ED .∵∠CDG ＝90°＋∠ADG ，∠ADE ＝90°＋∠ADG ，∴∠CDG ＝∠ADE .在△ADE 和△CDG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDG ，DE ＝GD ，∴△ADE≌△CDG (SAS)，∴AE ＝CG ；(2)设AE 与DG 相交于M ，AE 与CG 相交于N ，在△GMN 和△DME 中，由(1)得∠CGD ＝∠AED ，又∵∠GMN ＝∠DME ，∠DEM ＋∠DME ＝90°，∴∠CGD ＋∠GMN ＝90°，∴∠GNM ＝90°，∴AE ⊥CG .三、板书设计边角边1．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS ”．2．“边角边”判定方法可用几何语言表示为：在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A 1B 1，∠B ＝∠B 1，BC ＝B 1C 1，∴△ABC ≌△A 1B 1C 1(SAS)．3．“SSA ”不能判定两个三角形全等．本节课从操作探究入手，具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认识，从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握．第3课时 “角边角”“角角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”，“角角边”．(重点)2．能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题．(重点)3．“角边角”和“角角边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻找．(难点)一、情境导入如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．二、合作探究探究点一：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等【类型一】应用“ASA ”判定两个三角形全等如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，求证：△ADF ≌△CBE .解析：根据平行线的性质可得∠A ＝∠C ，∠DFE ＝∠BEC ，再根据等式的性质可得AF ＝CE ，然后利用ASA 可证明△ADF ≌△CBE .证明：∵AD ∥BC ，BE ∥DF ，∴∠A ＝∠C ，∠DFE ＝∠BEC .∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在△ADF 和△CBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AF ＝CE ，∠DFA ＝∠BEC ，∴△ADF ≌△CBE (ASA)．方法总结：在“ASA ”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA ”中，“边”必须是“两角的夹边”．【类型二】 应用“AAS ”判定两个三角形全等如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于E .AD 与BE 交于F ，若BF＝AC ，求证：△ADC ≌△BDF .解析：先证明∠ADC ＝∠BDF ，∠DAC ＝∠DBF ，再由BF ＝AC ，根据AAS 即可得出两三角形全等．证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ADC ＝∠BDF ＝∠BEA ＝90°.∵∠AFE ＝∠BFD ，∠DAC ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∠BDF ＋∠BFD ＋∠DBF ＝180°，∴∠DAC ＝∠DBF .在△ADC 和△BDF中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC ＝∠DBF ，∠ADC ＝∠BDF ，AC ＝BF ，∴△ADC ≌△BDF (AAS)．方法总结：在“AAS ”中，“边”是“其中一个角的对边”．【类型三】 灵活选用不同的方法证明三角形全等如图，已知AB ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ，要使△ABC ≌△AED ，还需添加一个条件，这个条件可以是______________．解析：由∠BAD ＝∠CAE 得到∠BAC ＝∠EAD ，加上AB ＝AE ，所以当添加∠C ＝∠D 时，根据“AAS ”可判断△ABC ≌△AED ；当添加∠B ＝∠E 时，根据“ASA ”可判断△ABC ≌△AED ；当添加AC ＝AD 时，根据“SAS ”可判断△ABC ≌△AED .方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．探究点二：运用全等三角形解决有关问题已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .求证：(1)△BDA ≌△AEC ；(2)DE ＝BD ＋CE.解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB ＝AC ，利用AAS 即可得证；(2)由△BDA ≌△AEC ，可得BD ＝AE ，AD ＝EC ，根据DE ＝DA ＋AE 等量代换即可得证．证明：(1)∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°.∵AB ⊥AC ，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE .在△BDA 和△AEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∠ABD ＝∠CAE ，AB ＝AC ，∴△BDA ≌△AEC (AAS)；(2)∵△BDA ≌△AEC ，∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝DA ＋AE ＝BD ＋CE .方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．三、板书设计“角边角”“角角边”1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA ”．2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS ”．3．三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法．本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA ”的选择上混淆不清，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练．第4课时 “斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE.解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用 【类型一】 利用“HL ”判定线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】 利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等． 证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS. 三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL ”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL ”，除此之外，还可以选用“SAS ”“ASA ”“AAS ”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．12．3 角的平分线的性质第1课时 角平分线的性质1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)一、情境导入问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的作法如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD于点M .若∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°，再根据AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°，又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12∠CAB ＝30°.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．探究点二：角平分线的性质【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝BD ，DC ＝DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △EDB (HL)．∴CF ＝EB ；(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB . 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC＝12×4×2＋12AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F .求证：CE＝CF .解析：由角平分线的性质可得DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF . 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．三、板书设计角平分线的性质1．角平分线的作法； 2．角平分线的性质； 3．角平分线性质的应用．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练．第2课时 角平分线的判定1．掌握角平分线的判定定理．(重点) 2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点) 一、情境导入中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)二、合作探究探究点一：角平分线的判定定理 【类型一】角平分线的判定如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】 角平分线性质和判定的综合如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF ；②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥。
第12章《全等三角形》全章教案(11页,含反思)
第十二章全等三角形12．1全等三角形1．了解全等形及全等三角形的概念．2．理解全等三角形的性质．重点探究全等三角形的性质．难点掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素．一、情境导入一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案．你能举出这样的例子吗？二、探究新知1．动手做(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重合吗？(2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念．能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．观察观察△ABC与△A′B′C′重合的情况．总结知识点：对应顶点、对应角、对应边．全等的符号：“≌”，读作：“全等于”．如：△ABC≌△A′B′C′.3．探究(1)在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？通过以上探索得出结论：全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等，对应角相等．(2)把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状．把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B 和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．三、应用举例例1如图，△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的长．分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可．解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6 cm，∴BC＝6 cm.又∵CD＝5 cm，∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)．四、巩固练习教材练习第1题．教材习题12.1第1题．补充题：1．全等三角形是()A．三个角对应相等的三角形B．周长相等的三角形C．面积相等的两个三角形D．能够完全重合的三角形2．下列说法正确的个数是()①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长相等；④全等三角形的面积相等．A．1B．2C．3D．43．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE 的度数与DE的长．补充题答案：1．D2．D3．∠DFE＝35°，DE＝8五、小结与作业1．全等形及全等三角形的概念．2．全等三角形的性质．作业：教材习题12.1第2，3，4，5，6题．本节课通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，加深对三角形全等、对应含义的理解，即培养了学生的画图识图能力，又提高了逻辑思维能力．12．2三角形全等的判定(4课时)第1课时“边边边”判定三角形全等1．掌握“边边边”条件的内容．2．能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等．3．会作一个角等于已知角．重点“边边边”条件．难点探索三角形全等的条件．一、复习导入多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等吗？二、探究新知根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？出示探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？(1)三角形的两个角分别是30°，50°.(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三角形重合．引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，并作出△A′B′C′，通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等．强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”．实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．明确：三角形的稳定性．三、举例分析例1如右图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件，学会观察隐含条件．让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．教师引导学生作图．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”．四、巩固练习教材第37页练习第1，2题．学生板演．教师巡视，给出个别指导．五、小结与作业回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等．布置作业：教材习题12.2第1，9题．本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全等．在课堂上让学生参与到探索的活动中，通过动手操作、实验、合作交流等过程，学会分析问题的方法．通过三角形稳定性的实例，让学生产生学数学的兴趣，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物，为下一节内容的学习打下基础．第2课时“边角边”判定三角形全等1．掌握“边角边”条件的内容．2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．重点“边角边”条件的理解和应用．难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．一、复习引入1．什么是全等三角形？2．全等三角形有哪些性质？3．“SSS”具体内容是什么？二、新知探究已知△ABC ，画一个三角形△A′B′C′，使AB ＝A′B′∠B ＝∠B ′，BC ＝B′C′. 教师画一个三角形△ABC.先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法．操作：(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？(2)上面的探究说明什么规律？总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”．三、举例分析多媒体出示教材例2.例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA.连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB.连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离，为什么？分析：如果证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB ＝DE. 证明：在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，∠1＝∠2，CB ＝CE ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE.归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法．四、课堂练习如图，已知AB ＝AC ，点D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DB ＝EC.求证：∠B ＝∠C.学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程． 五、小结与作业 1．师生小结：(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．(2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角． 2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来解决．第3课时“角边角”和“角角边”判定三角形全等1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容．2．能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等．重点“角边角”条件及“角角边”条件．难点分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件．一、复习导入1．复习旧知：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等．二、探究新知1．[师]三角形中已知两角一边有几种可能？[生](1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边．做一做：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．活动结果展示：以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”) [师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？[生]能．学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．[生](1)先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长；(2)画线段A′B′，使A′B′＝AB；(3)分别以A′，B ′为顶点，A ′B ′为一边作∠DA′B′，∠EB ′A ′，使∠DA′B′＝∠CAB ，∠EB ′A ′＝∠CBA ；(4)射线A′D 与B′E 交于一点，记为C′.即可得到△A′B′C′.将△A′B′C′与△ABC 重叠，发现两三角形全等． [师]于是我们发现规律：两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA ”) 这又是一个判定两个三角形全等的条件． 2．出示探究问题：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠D ＋∠E ＋∠F ＝180°， ∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ， ∴∠A ＋∠B ＝∠D ＋∠E. ∴∠C ＝∠F.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )． 于是得规律：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角角边”或“AAS ”) 例 如下图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C.求证：AD ＝AE.[师生共析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD ＝AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．学生写出证明过程．证明：在△ADC 和△AEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AC ＝AB ，∠C ＝∠B ，∴△ADC ≌△AEB(ASA )． ∴AD ＝AE.[师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等问题已全部结束．请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结．学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．三、随堂练习1．教材第41页练习第1，2题． 学生板演． 2．补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．四、课堂小结有五种判定两个三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 2．边边边(SSS ) 3．边角边(SAS ) 4．角边角(ASA ) 5．角角边(AAS )推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．五、课后作业教材习题12.2第5，6，11题．在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下，本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程，在这节课的教学中，学生也了解了分类思想和类比思想．第4课时 “斜边、直角边”判定三角形全等1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”． 2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．重点探究直角三角形全等的条件．难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS )；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA 或AAS )． 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？ 二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°.再画一个Rt △A ′B ′C ′，使∠C′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB.把画好的Rt △A ′B ′C ′剪下来，放到Rt △ABC 上，它们全等吗？画一个Rt △A ′B ′C ′，使∠C′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB. 想一想，怎么样画呢？按照下面的步骤作一作： (1)作∠MC′N ＝90°；(2)在射线C′M 上截取线段B′C′＝BC ；(3)以B′为圆心，AB 为半径画弧，交射线C′N 于点A′；(4)连接A′B′.△A ′B ′C ′就是所求作的三角形吗？学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC 上，观察这两个三角形是否全等．由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL ”． 多媒体出示教材例5如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD.求证：BC ＝AD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠C 与∠D 都是直角．在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL )． ∴BC ＝AD.想一想：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”．三、巩固练习如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．学生独立思考完成．教师点评．四、小结与作业1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边．2．直角三角形全等的所有判定方法：定义，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？3．作业：教材习题12.2第7题．本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．12．3角的平分线的性质掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．重点角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．难点灵活运用角的平分线的性质和判定解题．一、复习导入1．提问角的平分线的定义．2．给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？二、探究新知(一)角的平分线的画法教师出示：已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．然后让学生阅读教材第48页上方思考．(教师演示画图)通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角的平分线的方法，师生共同完成具体作法．(二)角的平分线的性质试验：(1)让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P；(2)分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E；(3)测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系；(4)再换一个新的位置看看情况怎样？归纳总结得到角的平分线的性质．分析讨论PD＝PE的理由．(三)角平分线的判定教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(1)写出已知、求证．(2)画出图形．(3)分析证明过程．巩固应用：解决教材第49页思考(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点1．例题：教材第50页例题．2．针对例题的解答，提出：P点在∠A的平分线上吗？通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一点．练习：教材第50页练习．三、归纳总结引导学生小组合作交流：(1)本节课学到了哪些知识？(2)你有什么收获？四、布置作业教材习题12.3第1～4题．教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好的理解掌握角平分线的性质。
新人教版八年级上册第十二章----全等三角形教案
第十二章《全等三角形》单元备课一、教学分析1、内容分析：本章主要内容是学习全等三角形的概念、性质以及判定方法，应用全等三角形的性质和判定探索角平分线的性质，能够应用全等三等三角形的性质和判定以及角平分线的性质解决简单的几何总是，初步掌握推理证明的方法。
2、教材分析：学生已经学过线段、角、相交线、平行线、有关三角形的一些知识，通过本章的学习可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其它图形打好基础，教材力求创设与生活场景相近的、有趣的问题情境引入，使学生经历了从现实生活探索并抽象出几何模型，并应用几何模型解决实际问题的过程，在内容上重点探索三角形全等的判定方法经及应用，至于角平分线的改天换地的两上互逆定理，只要求学生了解其条件与结论之间的关系，不必介绍互逆定理的概念，通过结合具体问题，使学生理解证明的基本过程，初步掌握推理、证明的正确的方法是本章的难点，初步培养学生的推理能力。
二、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图：（二）本章的学习目标：1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
3．利用尺规作图作一个角等于已知角、作一个角的角平分线。
4、经历角平分线的性质和判定方法的探究过程，灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.三、本章教学建议（一）注重探索结论（二）注重推理能力的培养1．注意减缓坡度，循序渐进。
2．在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。
3．注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。
（三）注重联系实际三、几个值得关注的问题（一）关于内容之间的联系（二）关于证明一般情况下，证明一个几何中的命题有以下步骤：（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
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第十二章全等三角形教案篇一：人教版第十二章《全等三角形》一一最新版12. 1全等三角形教学目标1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等;3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.教学重点全等三角形的性质.教学难点找全等三角形的对应边、对应角.教学过程I .提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？AAlCIl这两个三角形是完全重合的.2.学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸, 将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样.3.获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号.形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.要是把两个图形放在一起，能够完全重合，？就可以说明这两个图形的形状、大小相同.概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义•仔细阅读课本中”全等”符号表示的要求.1【.导入新课利用投影片演示将AABC沿直线BC平移得ADEF；将AABC沿BC翻折180° 得到ZiDBC;将Z∖ABC 旋转180° 得AAED. ADADEBCBC 甲EF 乙D B丙C议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：AABC9Z∖DEF, ΔABC^ΔDBC, ΔABC^ΔAED.（注虑强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，？但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.观察与思考：寻找中图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.［例1］如图，AOCA^Z∖OBD, C和B, A和D是对应顶点，？说出这两个三角形中相等的边和角.CAB问题：AOCABZiOBD,说明这两个三角形可以重合，？思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将AOCA翻折可以使Δ0CA与AOBD重合.因为C和B、A和D是对应顶点，？所以C和B重合，A和D 重合.DZC=ZB：ZA=ZD; ZAOC=ZDOB. AC二DB; OA=OD; OC二OB. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法.［例2］如图，已知△ ABEBZ∖ACD, ZADE=ZAED, ZB二ZC, ?指出其他的对应边和对应角.ABDEC分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将AABE 和AACD从复杂的图形中分离出来.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，？然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.常用方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边.（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.解：对应角为ZBAE和ZCAD.对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD.［例3］已知如图厶ABCΔADE,试找岀对应边、对应角.（由学生讨论完成）ABCD 借鉴例2的方法，可以发现ZA=ZA, ?在两个三角形中ZA的对边分别是BC和DE,所以BC和DE是一组对应边.而AB与AE显然不重合，所以AB?与AD是一组对应边，剩下的AC 与AE自然是一组对应边了.再根据对应边所对的角是对应角可得ZB与ZD是对应角，ZACB与ZAED是对应角.所以说对应边为AB与AD、AC与AE、Be与DE.对应角为ZA 与ZA、ZB与ZD、ZACB与ZAED. 做法二：沿A与BC、DE交点0的连线将AABC?翻折180°后，它正好和AADE重合.这时就可找到对应边为：AB与AD、AC与AE、BC与DE.对应角为ZA与ZA、ZB与ZD、ZACB与ZAED. III.课堂练习课本练习1.课本习题12. 1IV.课时小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，？并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是这节课大家要重点掌握的.找对应元素的常用方法有两种：（一）从运动角度看1.翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素.2.旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素.3.平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.（二）根据位置元素来推理1.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边.2.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.V.作业课后作业:顶尖板书12. 2三角形全等的条件12. 2. 1三角形全等的条件（一）教学目标1.三角形全等的“边边边”的条件.2. 了解三角形的稳定性.3.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、？归纳获得数学结论的过程.教学重点三角形全等的条件.教学难点寻求三角形全等的条件.教学过程I .创设情境，引入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形.已知△ ABC^∆A, B, C z,找出其中相等的边与角.A BCB C 图中相等的边是：AB=A, B、BC=B, C Z、AC=A, C. 相等的角是：ZA二ZA' ∖ZB=ZB'、ZOZC'.展示课作前准备的三角形纸片，提出问题: 你能画一个三角形与它全等吗？怎篇二：全等三角形-人教版数学八年级上第十二章12. 1第一课时教案第十二章全等三角形12.1全等三角形1教学目标1.1知识与技能：［1］理解全等形的概念，了解儿种常用的全等变换方式。
［2］掌握全等三角形的概念，并能熟练表示一对全等三角形，并找到对应元素。
［3］掌握全等三角形的性质，并能运用其解决相关问题1。
1.2过程与方法：［1］通过观察、动手的方式，感知全等形以及全等三角形的概念。
［2］通过想象三角形的平移、旋转和翻折等变换，直观找出三角形的对应元素，以及判断出全等三角形的性质。
1.3情感态度与价值观：［1］通过学习全等形和全等三角形，认识和熟悉生活中的全等图形，认识生活和数学的关系，激发数学兴趣。
2教学重点/难点/易考点2.1教学重点［1］全等三角形的对应元素。
［2］在通过观察、实际操作来感知全等形和全等三角形的基础上，形成理性认识，理解并掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2.2教学难点［1］在复杂图形中不重不漏地找出全等三角形的对应元素。
3专家建议教师在教授本节内容时，应该引导学生从观察、动手中抽象出全等形和全等三角形的概念，使学生联系起生活和数学，注重方式方法。
教学思路上，可以紧紧围绕三种全等变换，介绍三角形的对应元素以及性质。
4教学方法观察思考一一动手操作一一概念介绍——练习提高5教学用具多媒体，教学用三角板、按照三角板剪好的纸板等。
学生课前准备好三角尺、纸板、剪刀。
6教学过程6.1引入新课【师】同学们好。
这节课开始，我们先来看儿张图片，大家观察一下，老师给出的图片有什么特点呢？【生】这些图中都有形状、大小相同的图形。
【师】同学们观察的很仔细，这也是我们这节课要学习的一类图形：全等形。
【板书】第十二章全等三角形12.1全等三角形6.2新知介绍［1］全等形【师】请大家看投影。
下面问大家一个问题，大家生活中都知道，照片可以从底片中冲洗出来，那么从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起能完全重合吗？【生】能重合。
【师】没错，大家看投影上的动画就知道了，这两张照片一模一样，形状、大小都相同，放在一起能够完全重合。
而能够完全重合的两个图形就叫做全等形。
【板书/PPT］一、全等形形状、大小完全相同的图形放在一起能完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形。
［2］全等三角形的概念【师】下面请大家动手做一下，把一块三角尺按在纸板上，画下图形，找图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？【生】（动手操作）形状、大小完全一样。
【师】没错，下面请大家看投影，老师给大家演示一下。
（投影播放动画）那老师接着问你们，把三角尺和裁下来的纸板放在一起，能完全重合吗？【生】能重合。
【师】对了，那么，这块三角板对应的三角形和你们裁下来的纸板对应的三角形大小相等、形状一致，而且能够完全重合，这两个三角形就是全等的，也就是全等三角形。
（接下来介绍全等三角形的概念）【板书/PPT］二、全等三角形1.概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
［3］儿种常见的全等变换【师】下面请大家看投影，观察这三组图形。
这三组图形中各有两个三角形，其中一个三角形是另一个三角形经过平移、翻折、旋转之后得到的，那下面我问大家，每一组图形中的两个三角形全等吗？【生】全等。
【师】没错，经过这些变化之后，图形的位置发生了改变，但是形状和大小都没有改变。
平移、翻折、旋转之后的图形全等。
【板书/PPT］2.常见的全等变换：平移、翻折、旋转之后的图形全等。
［4］全等三角形的对应元素【师】两个三角形全等，就意味着这两个三角形的顶点、边还有角都可以对应重合，这就是我们下面要介绍的全等三角形的对应元素（板书介绍内容）。
［PPT/板书】3.对应元素: 把两个全等的三角形重合到一起（1）重合的顶点叫做对应顶点。
（2）重合的边叫做对应边。
（3）重合的角叫做对应角。
【师】下面大家看投影上这个三角形平移的例子，点A和点D、点B和点E、点C和点F是对应点；AB和DE, BC 和EF, Ae和DF是对应边；ZA和ZD、ZB和ZE、ZC和ZF是对应点。
如果我现在把图形换成大家刚才看到的翻折的变换，请大家找出这里面的对应元素。
【生】对应点有点A和点D,点B和点B,点C和点C；对应边有AB和DB, AC 和DC, BC和BC；对应角有ZA和ZD, ZABC和ZDBC, ZACB和ZDCBo【师】那如果是旋转呢？这幅图上面的对应元素有哪些？【生】点A和点A,点B和点D,点C 和点E； AB 和AD, AC 和AE, BC 和DE； ZBAC 和ZDAE, ZB 和ZD, ZC和ZE ［5］全等三角形的表示方法【师】下面我们介绍全等三角形的表示方法。
请大家看投影，右面这图中，ΔABC和ADEF全等，我们记作△ ABC今ADEF,“仝”读作全等于，“s”表示形状相同，“二”表示大小相等，在表示全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
【板书/PPT】4.表示方法：（I）AABC和ZXDEF全等，记作△ ABC^∆DEFo （2）通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。