自动控制第5章3
自动控制原理_第5章_3
在绘制各个典型环节频率特性的基础上， 可以绘制控制系统的频率特性。
5.3.1 控制系统开环频率特性的Nyquist图
一个控制系统的开环传递函数可以写成典型
环节的连乘积形式。
1
举例 一个开环传递函数为
K ( s 1) G( s) 2 2 s(T1s 1)(T2 s 2 T2 s 1)
27
2
对于非单位反馈系统， 在其开环频率特性幅值
G( j)H ( j) 很大的频段内， 闭环频率特性
1 ( j ) H ( j )
即近似等于反馈环节频率特性的倒数。
对于开环放大倍数 K 很大的闭环系统，在低频段
具有这个特点。
28
3
对于非单位反馈系统， 一般来说， 其开环
频率特性的高频段幅值很小。在这一频段内， 闭环
1
当 0 时，放大环节、惯性环节、振荡环节、
一阶微分环节、二阶微分环节的幅角均为 00 。
。 只有积分环节， 0 时，相角为 900 当
如果开环传递函数中含有 v 个积分环节，开环频率 特性的Nyquist图在 0 的起始处幅角为 v 900 。
6
2
当 0 时， 放大环节的幅值为 K ，
21
[例5-5] 控制系统的开环传递函数为
10( s 1) G( s) s(2.5s 1)(0.04s 2 0.24s 1)
绘制系统的渐近开环对数幅频特性和相频特性。
22
100 Magnitude (dB)
Asymptotic Bode Diagram
-20dB/dec
50
20
频率特性近似等于系统前向通道的频率特性。 一般来说，闭环系统在高频段内显示这一性质。 在工程实践中， 当开环幅频特性
自动控制原理第五章
•表5-1 RC网络的幅频特性和相频特性数据
A( )
( )
0 1 0
1 0.707
45
2 0.45
5 0.196
0
63.4 78.69 90
图5-2 RC网络的幅频和相频特性
图5-3 RC网络频率特性的幅相曲线
对数频率特性图又称伯德图（Bode图），包 括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线， 其中，幅频特性曲线可以表示一个线性系 统或环节对不同频率正弦输入信号的稳态 增益；而相频特性曲线则可以表示一个线 性系统或环节对不同频率正弦输入信号的 相位差。对数频率特性图通常绘制在半对 数坐标纸上，也称单对数坐标纸。
图5-20控制系统结构图
将系统的开环频率特性函数按典型环节划分， 可以分解为： ( j 1) ( ( j ) 2 ( j ) 1) k
m1 m2
G ( j ) H ( j )
k
2 l
2
l l
( j )
0
k 1 n1
( i s 1) ( 2 ( j ) 2 2 j j ( j ) 1) j
图5-19 Ⅱ型三阶系统幅相频率特性图
讨论更一般的情况，对于如图5-20所示的闭 环控制系统结构图，其开环传递函数为 G( s) H ( s) ，可以把系统的开环频率特性写作如 下的极坐标形式或直角坐标形式：
G( j)H ( j) G( j)H ( j) e j () P() jQ()
•图5-6积分环节频率特性的极坐标图
在伯德图上，积分环节的对数频率特性为
L( ) lg A( ) lg G( j ) lg ( ) 2
图5-7积分环节的伯德图
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
自动控制原理第5章频率特性
自动控制原理第5章频率特性频率特性是指系统对输入信号频率的响应特点。
在自动控制系统设计中，了解和分析系统的频率特性是非常重要的，因为它可以帮助工程师评估系统的稳定性，性能和稳定裕度。
本章主要介绍频率特性的相关概念和分析方法，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性、对数坐标图等。
1.频率响应函数频率响应函数是描述系统在不同频率下的输出和输入之间的关系的函数。
在连续时间系统中，频率响应函数可以表示为H(jω)，其中j是虚数单位，ω是频率。
频率响应函数通常是复数形式，它包含了系统的振幅和相位信息。
2.频率幅频特性频率幅频特性是频率响应函数的模的图形表示，通常用于表示系统的增益特性。
频率幅频特性通常用对数坐标图绘制，以便更好地显示系统在不同频率下的增益特性。
对数坐标图上，增益通常以分贝（dB）为单位表示。
3.相频特性相频特性是频率响应函数的相角的图形表示，通常用于表示系统的相位特性。
相频特性可以让我们了解系统对输入信号的相位延迟或提前情况。
在相频特性图上，频率通常是以对数坐标表示的。
4. Bode图Bode图是频率幅频特性和相频特性的综合图形表示。
它将频率幅频特性和相频特性分别绘制在纵轴和横轴上，因此可以直观地了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
5.系统的稳定性分析频率特性可以帮助工程师判断系统的稳定性。
在Bode图上，当系统的相位角趋近于-180度，且增益在此处为0dB时，系统即将变得不稳定。
对于闭环控制系统，我们希望系统在特定频率范围内保持稳定，以便实现良好的控制性能。
6.频率特性的设计频率特性的设计是自动控制系统设计中的一个重要任务。
工程师需要根据系统对不同频率下的增益和相位的要求，设计出合适的控制器。
常见的设计方法包括校正器设计、分频补偿、频率域设计等。
总结：本章重点介绍了自动控制系统的频率特性，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性和Bode图。
频率特性的分析和设计对于掌握自动控制系统的稳定性、性能和稳定裕度非常重要。
自动控制原理_第5章习题解答-
第5章频率特性法教材习题同步解析一放大器的传递函数为：G (s )=1+Ts K测得其频率响应，当ω=1rad/s 时，稳态输出与输入信号的幅值比为12/2，稳态输出与输入信号的相位差为－π/4。
求放大系数K 及时间常数T 。
解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为A ==222172K T ω=+ 稳态输出与输入信号的相位差arctan 45T ϕω=-=-︒，即1T ω=当ω=1rad/s 时，联立以上方程得T =1，K =12放大器的传递函数为：G (s )=121s +已知单位负反馈系统的开环传递函数为5()1K G s s =+ 根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。
（1）r （t ）=sin （t +30°）； （2）r （t ）=2cos （2t －45°）；（3）r （t ）= sin （t +15°）－2cos （2t －45°）； 解：该系统的闭环传递函数为65)(+=Φs s 闭环系统的幅频特性为365)(2+=ωωA闭环系统的相频特性为6arctan )(ωωϕ-=（1）输入信号的频率为1ω=，因此有37375)(=ωA ，()9.46ϕω︒=- 系统的稳态输出537()sin(20.54)37ss c t t ︒=+ （2）输入信号的频率为2ω=，因此有10()A ω=，()18.43ϕω︒=- 系统的稳态输出10()cos(263.43)2ss c t t ︒=- （3）由题（1）和题（2）有对于输入分量1：sin （t +15°），系统的稳态输出如下5371()sin( 5.54)37ss c t t ︒=+ 对于输入分量2：－2cos （2t －45°），系统的稳态输出为102()cos(263.43)ss c t t ︒=-- 根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为)4363.632cos(210)537.5sin(37375)(︒︒--+=t t t c ss绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。
河南理工大学自动控制原理第5章 第3讲 Nyquist稳定性判据及稳定裕度2012
R= F(s)|开环右半极点数 −F(s)|右半零点数 =P-Z
K
试判断闭环系统的稳定性。
s(T1s + 1)(T2 s + 1)
解 系统的开环频率特性为
G ( jω )H ( jω ) =
K
jω (1 + jω T1 )(1 + jω T2 )
[解]：显然这是I型系统。先根据奈
氏路径画出完整的映射曲线。
ω = 0−
从图上看出：映射曲线顺时针包 围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0) 一圈，所以R=1-1=0，而P = 0 ， 故 Z = P − R = 0 ，闭环系统是稳 定的。
ω = +∞ −1 ω = −∞
ω = 0+
21
[例5]某最小相位系统的开环频率特性 如下图所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定性。
（3）若R≠P，则系统闭环不稳定，在右半平面的极点数 Z=P-R
（4）若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L 个极点分布在s平面的虚轴上。
13
[例1] 设单位反馈系统的开环传递函数如下如示，试
用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。G ( s) =
K
(T1 s + 1)(T 2 s + 1)
容易看出： δ ∠(s－z1)＝－2π
δ ∠(s－zi )＝0 (i＝2,3)
δ ∠(s－pj )＝0 ( j＝1,2,3)
孙炳达版 《自动控制原理》第5章 控制系统的频率特性分析法-3
比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入 信号，幅值上有放大或衰减作用；υ (ω)=0º ，表示输 出与输入同相位，既不超前也不滞后。
5.3 典型环节的频率特性
二、积分环节 1.代数表达式 传递函数
G (s) 1 s 1
频率特性 相频特性
幅频特性
A( )
1 1 1 j 90 G( j ) j e j () 90
对数频率特性曲线是一条斜线, 斜率为-20dB/dec, 称为高频渐 近线，与低频渐近线的交点为ωn=1/T，ωn称为交接频率或转 折频率，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。
5.3 典型环节的频率特性
3.伯德图 对数幅频图
L( ) 20lg A( ) 20lg 1 1 2T 2 20lg 1 2T 2
G ( j ) 1 j 2 2 2 (1 2 2 ) j 2 (1 2 2 ) 2 (2 ) 2 e
2 T j arctan 1 2 2
5.3 典型环节的频率特性
2.极坐标图 理想微分环节的极坐标图在0 ＜＜的范围内，与正虚轴重合。 可见，理想微分环节是高通滤 波器，输入频率越高，对信号的 放大作用越强；并且有相位超前 作用，输出超前输入的相位恒为 90º ，说明输出对输入有提前性、 预见性作用。 （纯微分）
在控制工程中，采用分段直线表示对数幅频特征 曲线，作法为： a.当Tω<<1（ω<<1/T）时，系统处于低频段 L( ) 20lg1 0 b.当Tω>>1（ω>>1/T）时，系统处于高频段
L( ) 20lg T
此直线方程过（1/T，0）点， 且斜率为-20dB/dec。
自动控制原理_第5章_3 (8)
20
1
减小或消除输入信号作用下的稳态误差
采用PI或PID控制是加入串联积分环节的常用方法。 PI
比例+积分
比例+积分+微分
PID
21
PI控制器
R(s)
E (s)
-
Kp
+
U (s)
G0 ( s )
Y (s)
KI s
PI控制器的传递函数为：
KI K p s K I Gc ( s) K p s s
[例3-19] 单位反馈系统的开环传递函数为：
K G ( s) s T1s 1T2 s 1
若输入信号为 r (t ) a 1(t ) bt
a 和 b 为正常数，
欲使系统的稳态误差 ess 0 （正常数）， 求系统各参数应满足的条件。
1
3.10.4 动态误差系数
(1) e
1 (l ) e (0) sl l!
记为
e ( s) c0 c1s c2 s 2 cl s l
其中
c0
c1 cl
称为动态误差系数。
4
e ( s) c0 c1s c2 s cl s
2 l
-
其偏差信号就等于误差信号： ( s) E ( s)
E ( s) e ( s ) R( s )
其中偏差闭环传递函数：
E ( s) 1 e ( s) R( s ) 1 G ( s )
3
在 s 0 的邻域内将 e ( s) 展成Taylor级数：
1 (2) e ( s) e (0) (0)s e (0)s 2 2!
自动控制原理第5章
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1 sin(t arctanT ) 1 2T 2
1
e jarctanT
j 1
e 1 jT
1 2T 2
jT
1
1 jT
RC网络的频率特性
只要把传递函数式中的s以j置换，就可以 得到频率特性，即
1
1
1 jT 1 Ts sj
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
对数相频特性：( ) arctan 特征点： 1 , L( ) 3dB, 45
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
一阶微分环节的伯德图 幅相曲线
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
六、振荡环节
传递函数： 频率特性：
G(s)
2 n
s2 2n s n2
1
s
n
2
2 n
s1
G( j
M ( ) G(j )
G1(j ) G2 (j ) G3(j ) M1( ) M2 ( ) M3 ( )
( ) G(j ) G1(j ) G2(j ) G3(j ) 1( ) 2( ) 3( )
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1.开环幅相特性曲线的绘制
例 某0型单位负反馈控制系统，系统开环
频率特性： G(j) 2 j 2 2 j 1
对数幅频特性：
L() 20lg G j 20lg 1 22 2 2 2
对数相频特性：
arctan
1
2 2
2
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅相曲线: 0时，M 1, 0 ; 时，M =, =180
自动控制原理
自动控制原理第五章
自动控制原理第五章1. 频率特性:在正弦信号作用下，系统输出稳态分量与输入复数的比值;其中,比(W)的振幅输出的稳态分量的振幅输入称为振幅频率特性,和φ的差异之间的相位角(W)输出稳态组件和输入相角称为相位频率特性,即(公式)。
2. 频率特性的几何表示幅相频率特性曲线(简称幅相曲线或奈奎斯特曲线或极坐标图):w从0到∞变化时，G (JW)在复平面上的轨迹。
绘制方法:方法1:计算每个W值的幅值A (W)和相位角(W)，然后跟踪点并将其连接成光滑曲线;方法二:对每个W值计算U (W)和V (W)，然后跟踪点线。
对数频率特性曲线：（简称对数坐标图或伯德图）①对数幅频特性：[公式]②对数相频特性：[公式]③横坐标是频率w，采用对数分度，单位是rad/s；对数幅频特性曲线的纵坐标为对数幅频特性的函数值，采用均匀分度，单位是dB；对数相频特性曲线的纵坐标为相频特性的函数值，采用均匀分度，单位是（°）。
注：采用对数显著优点是将频率特性的幅值乘除变为相加减，简化作图。
3、典型环节的频率特性①比例环节G(s)=K幅相频率特性：G(jw)=K，幅频特性A(w)=K；相频特性φ(w)=0°；曲线为实轴上一点。
对数频率特性：L(w)=20lgK；φ(w)=0°改变K：幅频曲线升高或降低；相频曲线不变②积分环节G(S)= [公式]幅相频率特性：G(jw)= [公式]；幅频特性：A(w)= [公式] ；相频特性：-90°对数频率特性：L(w)=20lg [公式] =-20lgw；φ(w)=-90°③微分环节G(S)=S(纯微分)幅相频率特性：G(jw)=jw；幅频特性：A(w)=w；相频特性：φ(w)=90°对数频率特性：L(w)=20lgw；φ(w)=90°④惯性环节G(S)= [公式]幅相频率特性：G(jw)= [公式]；A(w)= [公式] ；φ(w)=-arctanTw 【当w=0时，A(0)=1，φ(0)=0°；当w=1/T时，A(1/T)= [公式] ，φ(1/T)=-45°；当w=∞时，A(∞)=0，φ(∞)=-90°】对数频率特性：L(w)=20lg[公式]，φ(w)=-arctanTw【[公式]时，L(w)≈20lg1=0，[公式]时，L(w)≈20lg [公式]】⑤振荡环节G(s)=[公式](式中T= [公式] , 0<ζ<1)；G(jw)= [公式] 幅相频率特性：A(jw)= [公式]；φ(w)=-arctan [公式]【当w=0时，A(0)=1，φ(0)=0°；当w=1/T=wn时，A(1/T)= 1/2ζ，φ(1/T)=-90°；当w=∞时，A(∞)=0，φ(∞)=-180°】【令[公式] =0，有谐振频率[公式] = [公式] ，谐振峰值：[公式]=A( [公式] )= [公式]当[公式]固定，[公式] 越小，[公式]越接近[公式]，[公式]越大；当ζ大于[公式] 时，将不发生谐振，即A(w)随着w增大而单调减小】⑥延时环节G(S)= [公式]幅相频率特性：G(jw)=[公式]；幅频特性：A(w)=1；相频特性：φ(w)=-57.3τw对数频率特性：L(w)=0；φ(w)=-57.3w4、绘图奈氏曲线制图方法：[公式]①起点:令w→0，则[公式]= [公式]0型系统：始于实轴(K,j0)的点Ⅰ型系统：始于相角为-90°的无穷远处;当w趋于0+时，曲线与虚轴平行Ⅱ型系统：始于相角为-180°的无穷远处;当w趋于0+时，曲线渐进与负实轴平行②终点: [公式] ,n>m。
自动控制原理第五章
第五章§5-1 引言§5-2频率特性§5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制§5-4开环和闭环系统Bode图的绘制方法§5-5 系统稳定性分析§5-6控制系统的相对稳定性分析第五章 控制系统的频率响应分析[教学目的]：掌握利用频域法进行系统分析的一般方法 ，为后面的校正及信号与系统分析打下基础。
掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握Nyquist 图和Bode 图的绘制方法，根据系统的Nyquist 图和Bode 图分析系统的性质。
本章的难点是Nyquist 稳定性分析。
[主要容]：一、引言 二、 频率特性 三、 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 四、 频率域稳定判据 五、 稳定裕度 六、 闭环系统的频域性能指标[重点]： 频率特性的基本概念，各种频域特性曲线的绘制，Nyquist 稳定判据的应用，及相对稳定裕度的分析，理解三频段的概念与作用。
[难点]：时域性能指标与频域性能指标之间的相互转换。
闭环频域性能指标的理解与应用[讲授方法及技巧]：联系传递函数，微分方程等数学模型，将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较，理解和掌握古典控制系统的完整体系。
准确理解概念，把握各种图形表示法的相互联系。
与时域法进行对比，以加深理解。
§5-1 引言1.时域分析法（特点）1)以传递函数和单位阶跃响应为分析基础构成的一整套解析法为主响应曲线图形分析法为辅的分析方法。
它具有直观、明确的物理意义，但就是运算工作量较大，参数的全局特征不明显。
2) 原始依据－－数学模型，得来不易，也同实际系统得真实情况有差异，存在较多的近似、假设和忽略，有时对于未知对象，还可能要用经验法估计。
3) 对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无能为力。
4) 在定性分析上存在明显的不足。
5) 属于以“点”为工作方式的分析方法。
2.根轨迹法（特点）1）根轨迹法弥补了时域分析法中参数全局变化时特征不明显的不足，在研究单一指定参数对整个系统的影响时很有用；2）增加零极点（增加补偿器）时，是一种很好的辅助设计工具； 3）以“线”和“面”为工作方式；4）为定性分析提供了一种非常好的想象空间和辅助思维界面。
自动控制原理第5章
jY (ω )
ω =∞
X (ω )
ω
积分环节的Nyquist图 积分环节的Bode图
幅频特性与角频率ω成反比，相频特性恒为－90° 成反比， 90° 对数幅频特性为一条斜率为 － 20dB/dec的直线，此 线通过L(ω)=0，ω=1的点
三、微分环节 微分环节的频率特性为
G ( jω ) = jω = ωe
奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述 奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述 了反馈系统稳定性。 极坐标图(Polar 极坐标图(Polar plot) =幅相频率特性曲线=幅相曲线 幅相频率特性曲线=
G ( jω )
可用幅值 G( jω ) 和相角ϕ (ω ) 的向量表示。
当输入信号的频率 ω → 0 ~ ∞ 变化时，向量 G ( jω ) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面 上移动的轨迹称为极坐标图。
jY (ω )
ω →∞
ϕ (ω ) A(ω )
ω = 0 X (ω )
ω
RC网络对数频率特性 RC网络频率特性
5.2 典型环节的频率特性
用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态 响应时，是根据系统的开环频率特性进行的， 响应时，是根据系统的开环频率特性进行的， 而控制系统的开环频率特性通常是由若干典 型环节的频率特性组成的。 型环节的频率特性组成的。 本节介绍八种常用的典型环节。 本节介绍八种常用的典型环节。
频率响应: 正弦输入信号作用下， 系统输出的稳态分量。 频率响应 : 正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量。 （控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成） 控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成） 频率特性: 系统频率响应和正弦输入信号之间的关系， 频率特性 : 系统频率响应和正弦输入信号之间的关系，它 和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。 和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。 数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应 数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应 的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。 的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。 频域分析法:应用频率特性研究线性系统的经典方法。 频域分析法:应用频率特性研究线性系统的经典方法。
自动控制原理第5章
8
二、图形表示法
1.极坐标图（幅相频率特性图；奈奎斯特图） 1.极坐标图（幅相频率特性图；奈奎斯特图） 极坐标图 随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。 随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。 当频率ω 变化到无穷大时， 当频率ω从0变化到无穷大时，矢量的端点便在平面上画出一 条曲线，这条曲线反映出ω为参变量、模与幅角之间的关系。 条曲线，这条曲线反映出ω为参变量、模与幅角之间的关系。 通常称这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。 通常称这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。画 有这种曲线的图形称为极坐标图。 有这种曲线的图形称为极坐标图。
− j arctan 2 ζT ω 1−T 2ω 2
幅频特性 相频特性
A(ω ) =
ϕ (ω ) = − arctan
23
典型环节的频率特性
9
2.博德图（对数频率特性图） 博德图（对数频率特性图） 博德图 两张图构成 一张是对数幅频图 一张是对数相频图 构成： 对数幅频图， 对数相频图。 由两张图构成：一张是对数幅频图，一张是对数相频图。 两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。 两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。
10
对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20， 对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20， 是频率特性幅值的对数值乘20 即 L(ω ) = 20 lg A(ω ) 表示，均匀分度，单位为db。 表示，均匀分度，单位为db db。 对数相频特性图的纵坐标是相移角φ(ω)，均匀分度，单 对数相频特性图的纵坐标是相移角φ 是相移角 均匀分度， 位为“ 位为“度”。 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线， 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线， 对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。 对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。
自动控制理论第五章
kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根（亦即闭环极点） s1 1 1 k g ；2 1 1 k g 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当kg 从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点 就是开环极点。 （2）当0＜kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负 实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极 点重合在一起。 （4）当1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± j k g 1 ，两个闭 环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线 上。 （5）当kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞， 此时s1、s2将趋于无限远处。
例：求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解 ：g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5．2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件， s1不在根轨迹上。
满足相角条件， s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值 幅值条件：
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi
自动控制原理第五章
第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n-+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t稳态响应为：tj tj ss eA eA t y ωω⋅+⋅=-)(而)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-=)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m tj m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(= φωωj e j G j G -=-)()(∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j mss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m =)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
其幅值是输入正弦信号幅值的)(ωj G 倍，其相移为)(ωφj G ∠=。
自动控制原理_第5章
：0 ( )： 0
dB
24
对数幅频曲线近似作法：
通信技术研究所
25
九.一阶不稳定环节 1 1 G( s) 特征根s= Ts 1 T
1 G ( j ) 1 T j
A( )
1 T 2 2 1
：0
一阶不稳： 惯性环节： 0
Im
0 n
1
1
0
Re
n
2
n
3 1 2 3
通信技术研究所
21
七.二阶微分环节
G( s) s2
2 n
2
n
s 1
G( j ) 1
( j )2
2 n
2
n
( j)
2 n arctan ， n 1 ( )2 n ( ) G ( j ) 2 n arctan ， n 1 ( )2 n
——幅频特性 ——相频特性
( ) ( j )
r (t ) Ar sin(t r ) 4. 稳态输出 cs (t ) ( j) Ar sin[t r ( j)]
通信技术研究所
3
三.频域性能指标 1.峰值Am ： A（ω）的最大值 2.频带宽 b： A()下降到0.707 A(0)对应的频率 3.相频宽 b ： ( ) 时对应的频率 2 4.零频振幅比A（0）：ω＝0时输出输入振幅比
dB
0
( ) 90
0.1 0. 2 0.3 0. 7
1
180 0.707 A( )无峰值 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 6 8 2 4 / 0.707 Am 1 m =0 0.707 Am 1 m 0 m , =0 Am m （共振） 0 m n (最大值) n
自动控制原理第五章
均 匀 的
(lg ω)
0.1 0.2 0.3 … 1 2 3 … 10 20 30 … 100 200 …
ω
倍频程是均匀 均匀的 一倍频程是不均匀的, 十倍频程是均匀的! 倍频程是不均匀的 不均匀
§5.3 典型环节的频率特性
系统的传递函数可以看成是由若干个典型环节组成的. 系统的传递函数可以看成是由若干个典型环节组成的. 一,比例环节的频率特性 Y (s) = K 传递函数为 Φ ( s ) = R (s)
Im
ω =∞
(ω )
A(ω )
Re
ω =0
Φ( jω)
奈奎斯特 (N.Nyquist)在1932 年基于极坐标图 阐述了反馈系统 稳定性 奈奎斯特曲线, 简称奈氏图
2. 幅,相频率特性 它是将 A(ω) 和 (ω) 分别表示在以 为横坐标,以 A(ω) 分别表示在以ω 坐标, 坐标的平面上. 或 (ω) 为纵坐标的平面上.
A(ω)
ω单位为弧度/秒 单位为弧度 秒 单位为弧度
ω
(ω)
A(ω) 无量纲
ω
(ω) 单位为度 单位为度
3. 对数幅,相频率特性 对数幅,相频率特性——Bode图 图 纵坐标
幅频: L(ω ) = 20 lg A(ω ) 单位:分贝(dB) 单位:度 相频: (ω )
横坐标 以 lg ω 来分度,标注 ω ,单位:弧度 秒(rad/s) 分度, 单位:弧度/秒
本章需要掌握的主要内容:
典型环节 环节的频率特性 (1)典型环节的频率特性 系统开环频率特性的绘制 (2)系统开环频率特性的绘制 (3)利用频率特性分析系统的稳定性 利用频率特性分析系统的稳定性 (4)系统的稳态性能与动态性能分析 系统的稳态性能与动态性能分析 实验法求取元件或系统的 求取元件或系统的数学模型 (5)实验法求取元件或系统的数学模型
第5章 3 利用传感器制作简单的自动控制装置
3利用传感器制作简单的自动控制装置[学习目标] 1.进一步理解常用传感器的工作原理及应用.2.学会利用传感器制作简单的自动控制装置．一、实验1门窗防盗报警装置1．实验器材和装置干簧管作为传感器，用于感知磁体磁场是否存在．继电器(虚线框部分)作为执行装置．发光二极管LED作为电路正常工作提示，R为发光二极管的限流电阻，起保护作用．蜂鸣器H 作为报警提醒．电路设计如图1.图12．电路工作原理当门窗紧闭时，磁体M靠近干簧管SA，干簧管两簧片被磁化相吸，继电器接通而工作．当门窗开启时，磁体离开干簧管，干簧管失磁断开，继电器被断电，动触点c与常闭触点b接通，蜂鸣器H发声报警．3．实验操作(1)检查干簧管．用磁体直接靠近干簧管，观察干簧管簧片能否正常动作．(2)连接电路．连接电路前，要检查其他元件是否也能正常工作．(3)接通电源后，将磁体靠近和离开干簧管，分别观察实验现象．二、实验2光控开关1．实验器材和装置光敏电阻完成光信号向电信号的转变．晶体三极管将电流进行放大，同时具有完成断路和接通的开关作用．发光二极管LED模仿路灯．电路设计如图2甲．图2为了能够驱动更大功率的负载，需用继电器来启、闭另外的供电电路，如图乙所示．2．电路工作原理(1)光较强时，光敏电阻阻值小，三极管不导通，继电器断路，处于常开状态，小灯泡L不亮．(2)光较弱时，光敏电阻阻值变大，三极管导通，产生较大的集电极电流，点亮发光二极管或驱动继电器吸合，点亮小灯泡L.3．实验操作(1)连接电路，检查无误后，接通电源．(2)用白光照射光敏电阻，调节R1，使发光二极管LED或小灯泡L刚好不发光．(3)减弱光敏电阻的光照强度，当光减弱到某种程度时，发光二极管LED或小灯泡L发光．(4)让光照加强，当光增强到某种程度时，发光二极管LED或小灯泡L熄灭．一、光控开关的应用把蜂鸣器、光敏电阻、干簧管继电器开关、电源连成电路如图3所示，制成光电报警装置．当报警器有光照射时，峰鸣器发声，当没有光照或者光照很弱时，蜂鸣器不发声．①光敏电阻：光敏电阻受光照后，阻值会变小．②干簧管继电器开关：由干簧管和绕在干簧管外的线圈组成．当线圈中有一定的电流时，线圈产生的磁场使密封在干簧管内的两个铁质簧片磁化，两个簧片在磁力作用下由原来的分离状态变成闭合状态．当线圈中没有电流或者电流很微弱时，磁场消失，簧片在弹力的作用下恢复到分离状态．电路已经连接一部分，请将电路完整连接好．图3答案见解析解析电池、光敏电阻与开关及干簧管继电器开关外面接线构成一个回路；而另一组电池、蜂鸣器与干簧管继电器开关里面的两个接线构成又一个回路．当有光照时，光敏电阻阻值变小，使得干簧管继电器开关存在磁场，导致开关接通，最终使得蜂鸣器发声，电路如图所示．二、热敏电阻的应用(2016·全国卷Ⅰ)现要组装一个由热敏电阻控制的报警系统，要求当热敏电阻的温度达到或超过60 ℃时，系统报警．提供的器材有：热敏电阻，报警器(内阻很小，流过的电流超过I c时就会报警)，电阻箱(最大阻值为999.9 Ω)，直流电源(输出电压为U，内阻不计)，滑动变阻器R1(最大阻值为1 000 Ω)，滑动变阻器R2(最大阻值为2 000 Ω)，单刀双掷开关一个，导线若干．在室温下对系统进行调节，已知U约为18 V，I c约为10 mA；流过报警器的电流超过20 mA 时，报警器可能损坏；该热敏电阻的阻值随温度升高而减小，在60 ℃时阻值为650.0 Ω. (1)完成如图4所示待调节的报警系统原理电路图的连线．图4(2)电路中应选用滑动变阻器________(填“R1”或“R2”)．(3)按照下列步骤调节此报警系统：①电路接通前，需将电阻箱调到一固定的阻值，根据实验要求，这一阻值为________Ω；滑动变阻器的滑片应置于________(填“a”或“b”)端附近，不能置于另一端的原因是_____________________________________________________________________________．②将开关向________(填“c”或“d”)端闭合，缓慢移动滑动变阻器的滑片，直至____________________________________________________________________________．(4)保持滑动变阻器滑片的位置不变，将开关向另一端闭合，报警系统即可正常使用．答案(1)见解析图(2)R2(3)①650.0b接通电源后，流过报警器的电流会超过20 mA，报警器可能损坏②c报警器开始报警解析(1)热敏电阻工作温度达到60 ℃时，报警器报警，故需通过调节电阻箱使其电阻为60 ℃时的热敏电阻的阻值，即调节到阻值650.0 Ω，使报警器能正常报警，电路图如图所示．(2)U ＝18 V ，当通过报警器的电流10 mA ≤I c ≤20 mA ，故电路中总电阻R ＝U I c，即900 Ω≤R ≤ 1 800 Ω，故滑动变阻器选R 2.(3)热敏电阻阻值为650.0 Ω时，报警器开始报警，模拟热敏电阻的电阻箱阻值也应为650.0 Ω，实验调试时，将开关置于c 端，缓慢调节滑动变阻器，直到报警器开始报警．为防止通过报警器电流过大，造成报警器烧坏，应使滑动变阻器的滑片置于b 端．1．光敏电阻在各种自动化装置中有很多应用．街道路灯自动控制就是应用之一，如图5所示电路为模拟电路，其中A 为一光敏电阻，B 为电磁继电器，C 为电流信号放大器，D 为路灯．请连成正确的电路，达到日出路灯熄、日落路灯亮的效果．图5答案 见解析图解析 当有光照射时，电流经过放大器输出一个较大的电流，驱动电磁继电器吸合，使两个触点断开；当无光照时，电流减小，放大器输出电流减小，电磁继电器释放衔铁，使两个触点闭合，控制路灯电路接通，路灯开始工作，电路如图所示．2．如图6甲所示为一热敏电阻的R－t图像，图乙为用此热敏电阻R和继电器组成的一个简单恒温箱温控电路，继电器线圈的电阻为200 Ω.当线圈中的电流大于或等于20 mA时，继电器的衔铁被吸合．为继电器线圈供电电池的电动势E＝8 V，内阻可以不计．图中的“电源”是恒温箱加热电源．图6(1)图甲说明热敏电阻的阻值随着温度的升高而________(选填“增大”“减小”或“不变”)．(2)应该把恒温箱内加热器接________(选填“AB”或“CD”)端．(3)如果要使恒温箱内的温度保持100 ℃，滑动变阻器R1接入电路的电阻值为________ Ω.答案(1)减小(2)AB(3)150解析(1)由题图甲可知热敏电阻的阻值随着温度的升高而减小；(2)当温度较低的时候，热敏电阻的阻值较大，电路中的电流较小，此时继电器的衔铁与AB 部分连接，此时是需要加热的，恒温箱内的加热器要工作，所以应该把恒温箱内的加热器接在AB端．(3)当温度达到100 ℃时，加热电路就要断开，此时继电器的衔铁要被吸合，即控制电路的电，解得：R1＝150 Ω.流要达到20 mA＝0.02 A，根据闭合电路欧姆定律可得：I＝ER＋R1＋R01.测定压力变化的电容式传感器如图1所示，A为固定电极，B为可动电极，组成一个电容大小可变的电容器．可动电极两端固定，当待测压力施加在可动电极上时，可动电极发生形变，从而改变了电容器的电容．现将此电容式传感器连接到如图所示的电路中，当待测压力增大时()图1A．电容器的电容将减小B．电阻R中没有电流C．电阻R中有从a流向b的电流D．电阻R中有从b流向a的电流答案D解析当待测压力增大时，电容器板间距离减小，根据电容的决定式C＝εr S4πkd得知，电容C增大，故A错误．电容器板间电压U不变，电容器所带电荷量为Q＝CU，C增大，则Q增大，电容器处于充电状态，电路中形成逆时针方向的充电电流，电阻R中有从b流向a的电流，故B、C错误，D正确．2．(多选)电熨斗已经走进千家万户，特别是服装店更离不开它，现在的电熨斗具有自动控制温度功能，可以通过双金属片来控制电路的通断．如图2为电熨斗的结构示意图，下列关于电熨斗的控制电路的说法正确的是()图2A．常温下，电熨斗的上下触点应该是分离的B．图中双金属片上层的膨胀系数大于下层金属片的膨胀系数C．熨烫棉麻衣物时需要设定较高的温度，应旋转调温旋钮，使升降螺钉上升D．熨烫丝绸衣物时需要设定较低的温度，应旋转调温旋钮，使升降螺钉上升答案BD解析常温时，电熨斗的上下触点接触，这样电熨斗接通电源后能进行加热．当温度过高时双金属片膨胀，因上层的热膨胀系数较大，故上层膨胀得厉害，双金属片向下弯曲，弯曲到一定程度后，两触点分离，电路断开，电热丝停止加热；当温度降低后，双金属片恢复原状，重新接通电路加热，故A错误，B正确．熨烫棉麻衣物需要设定较高的温度，也就是要求双金属片弯曲程度较大时，两触点分离，所以应使升降螺钉下降；熨烫丝绸衣物需要设定较低的温度，应使升降螺钉上升，故C错误，D正确．3.(多选)如图3所示是某小区门口利用光敏电阻设计的行人监控装置，R1为光敏电阻、R2为定值电阻，A、B接监控装置．则()图3A．当有人通过而遮住光线时，A、B之间电压升高B．当有人通过而遮住光线时，A、B之间电压降低C．当仅增大R2的阻值时，可增大A、B之间的电压D．当仅减小R2的阻值时，可增大A、B之间的电压答案BC解析R1是光敏电阻，有光照射时，电阻变小，当有人通过而遮住光线时，R1的阻值变大，回路中的电流I减小，A、B间的电压U＝IR2减小，故A项错误，B项正确；由闭合电路欧姆定律得：U＝E－I(R1＋r)，当仅增大R2的阻值时，电路中的电流减小，A、B间的电压U 增大，故C项正确；当减小R2的阻值时，电路中的电流增大，A、B间的电压U减小，故D 项错误．4．如图4所示为一温度自动报警器的原理图，在水银温度计的顶端封入一段金属丝，下列说法正确的是()图4A．温度升高至74 ℃时，灯L1亮报警B．温度升高至74 ℃时，灯L2亮报警C．温度升高至78 ℃时，灯L1亮报警D．温度升高至78 ℃时，灯L2亮报警答案D解析当温度低于78 ℃时，线圈中没有电流，此时仅灯L1亮，并不报警；当温度升高到78 ℃时，线圈中有电流，磁体吸引衔铁，灯L2被接通，所以灯L2亮报警．5．(2020·太原市模拟)如图5是磁报警装置中的一部分电路示意图，其中电源电动势为E，内阻为r，R1、R2是定值电阻．R B是磁敏传感器，它的电阻阻值随磁体的出现而减小，c、d接报警器．电路闭合后，当传感器R B所在处出现磁体时，则通过电流表的电流I，c、d两端的电压U将()图5A．I变大，U变小B．I变小，U变大C．I变大，U变大D．I变小，U变小答案A解析由“串反并同”知当传感器处出现磁体，R B减小时，干路电流变大，U变小，电流表示数变大，即I变大，故A对，B、C、D错．6．温度传感器广泛应用于家用电器中，它是利用热敏电阻的阻值随温度变化的特性来工作的．如图6甲所示为某装置中的传感器工作原理图，已知电源的电动势E＝9.0 V，内电阻不计；G为灵敏电流表，其电阻R g保持不变，R为热敏电阻，其阻值随温度的变化关系如图乙所示．闭合开关S，当R的温度等于20 ℃时，电流表示数I1＝2 mA；当电流表的示数I2＝3.6 mA时，热敏电阻的温度是()图6 A．60 ℃B．80 ℃C．100 ℃D．120 ℃答案D解析由题图乙可知，当R的温度等于20 ℃时，热敏电阻的阻值R1＝4 kΩ，则由I1＝ER1＋R g 可得R g＝0.5 kΩ；当电流I2＝3.6 mA时，由I2＝ER2＋R g可得R2＝2 kΩ，由题图乙可知，此时热敏电阻的温度为120 ℃，故选D.7．(多选)(2019·大庆市实验中学月考)如图7所示的火灾报警装置，R1为热敏电阻，若温度升高，则R1的阻值会急剧减小，从而引起电铃两端电压增加，当电铃两端电压达到一定值时，电铃会响．下列说法正确的是()图7A．要使报警的临界温度升高，可以适当增大电源的电动势B．要使报警的临界温度升高，可以把R2的滑片P适当向下移C．要使报警的临界温度降低，可以适当增大电源的电动势D．要使报警的临界温度降低，可以把R2的滑片P适当向下移答案CD解析要使报警的临界温度升高，R1对应的阻值减小，电路中电流会增大，电铃两端的电压会增大，而当电铃两端电压达到一定值时，电铃会响，要使电铃的电压仍为原来的值，可以适当减小电源的电动势，相反，要使报警的临界温度降低，可以适当增大电源的电动势，故A错误，C正确；要使报警的临界温度升高，根据串联电路的特点可知，可以把R2的滑片P 适当向上移，以减小R2接入电路的阻值，相反，要使报警的临界温度降低，可以把R2的滑片P适当向下移，故B错误，D正确．8．如图8是某研究学习小组模拟街道路灯自动控制电路的电路图，光控开关可采用光敏电阻来控制，光敏电阻的阻值随着光照强度增强而减小，利用直流电源为电磁铁供电，利用照明电源为路灯供电．为达到天亮灯熄、天暗灯亮的效果，路灯应接在________(选填“AB”或“BC”)之间，请用笔画线代替导线，正确连接部分电路元件．图8答案AB见解析图解析该模拟电路原理是：由光敏电阻感知光照强度变化，调节电磁铁中电流的大小，即可调节电磁铁的磁性强弱，吸引或者释放衔铁，从而断开或接通路灯，达到天亮灯熄、天暗灯亮的效果．因为天亮时光照强度大，光敏电阻阻值较小，电路的电流较大，电磁的磁性强，可将衔铁吸下，接通BC，断开AB；又因为天亮需要断开路灯，所以路灯应接在AB之间．电路连线直接将DE两端口与光敏电阻、滑动变阻器、开关以及电源串联即可．电路如图所示．9．传感器担负着信息采集的任务，在自动控制中发挥着重要作用，传感器能够将感受到的物理量(如温度、光、声等)转换成便于测量的量(电学量)，例如热敏传感器．某热敏电阻R T阻值随温度变化的图线如图9甲所示，图乙是由该热敏电阻R T作为传感器制作的简单自动报警器线路图．问：图9(1)为了使温度过高时报警器响铃，c应接在__________(选填“a”或“b”)处．(2)若要使启动报警的温度提高些，应将滑动变阻器的滑片P向________(选填“左”或“右”)移动．(3)如果在调试报警器达到最低报警温度时，无论如何调节滑动变阻器的滑片P都不能使报警器工作，且电路连接完好，各电路元件都能处于工作状态，则造成工作电路不能正常工作的原因可能是_____________________________________________________________．答案(1)a(2)左(3)电源提供的电压太小以至于电磁铁磁性太弱或弹簧劲度系数太大，电磁铁的吸引力小于弹力解析(1)由题图甲可知，热敏电阻R T在温度升高时阻值变小，电路中电流变大，电磁铁磁性增强，把右侧衔铁吸引过来，与a接触，故c应接在a处．(2)若要使启动报警的温度提高，则应使电路中电阻更大，滑动变阻器的滑片P向左移动．(3)电源提供的电压太小以至于电磁铁磁性太弱或弹簧劲度系数太大，电磁铁的吸引力小于弹力．10．(2020·梅河口市第五中学高二月考)电饭煲的工作原理如图10所示，可分为两部分，即控制部分：由S1、S2、定值电阻R1和黄灯组成；工作(加热)部分：由发热电阻R3、定值电阻R2和红灯组成．S1是一个磁钢限温开关，手动闭合，当此开关的温度达到居里点(103 ℃)时，自动断开，且不能自动复位，S2是一个金属片自动开关，当温度达到70～80 ℃时，自动断开，低于70 ℃时，自动闭合，红灯、黄灯是指示灯，通过其电流必须较小，所以R1、R2起________作用．R3是发热电阻，接通电源并闭合S1后，黄灯熄而红灯亮，R3发热，当温度达到70～80 ℃时，S2断开，当温度达到103 ℃时饭熟，S1断开，当温度降到70 ℃以下时，S2闭合，电饭煲处于保温状态，由以上描述可知R2________R3(选填“<”“＝”或“>”)，若用电饭煲烧水时，S1________(选填“会”或“不会”)自动断开．图10答案限流>不会解析通过红灯、黄灯的电流必须较小，根据欧姆定律可知R1、R2起限流作用；R3是发热电阻，要产生很大的热量，所以电流要大一点，而通过R2的电流要小一点，且并联电路电压相等，根据欧姆定律可知R2>R3；若用电饭煲烧水时，温度达不到居里点(103 ℃)，S1不会自动断开．。
自动控制原理—第五章(3)
对数幅频特性曲线的纵坐标是将 A(ω)取常用对数，并乘上20倍，变成对数幅值 L() 2 0 lg G ( j ) 2 0 lg A ( ) ，单位为dB（分贝）。 由于直接标注 L()的数值，纵坐标是均匀的普通比例尺。 A()每变大十倍,L() 增加20dB。 至于对数相频特性,其横坐标与幅频特性的横坐标相同,不是均匀的线性刻度；其纵 坐标直接表示相角位移,单位为“度”(),采用普通比例尺。 对数频率特性曲线坐标系如图所示，在绘制函数关系时，相当于lgω为自变量。
2 2
幅频特性为
A ( ) 1 (1 T ) ( 2 T )
2 2 2 2
对数幅频特性为
L ( ) 20 lg A ( ) 20 lg (1 T ) ( 2 T )
2 2 2 2
1.低频段
T<<1(或<<1/T)时, L()20lg1=0dB，低频渐近线与0dB线重合。
一、比例环节 比例环节的频率特性表达式为 G(j)=K 幅频特性A(ω)= K，则比例环节的对数 幅频特性为 L() = 20lg|G(j)| = 20lgK
在对数频率特性上表现为平行于横轴的一条直线。若K=100,则 L()=20lg100=40分贝，如图6.5所示。当K＞1时，该平行线位于 0dB线之上；当0＜K＜1时，该平行线位于0dB线之下；当K=1时， 该平行线与0dB线重合。 比例环节的相频特性仍为()=0,与无关，为相频特性图的横轴,如 图5-29所示。
在 T=1/T 附近,用渐近线得到 的对数 幅 频 特 性 存 在 较 大 误差，近似值为
L(T)=20lg1=0
而准确值为
L(T)=20lg[1/(2)]
只在=0.5时,二者相等。在 不同时,精确曲线如图5-36所 示。 当ζ<0.707时，可以明显地看 出振荡环节出现了谐振。而且 ζ越小，谐振峰值Mr越大，谐 振角频率ωr越接近于转折频率 T（无阻尼自然振荡频率三、微Βιβλιοθήκη 环节理想微分环节的频率特性为
自动控制原理_第5章_3 (8)
[例3-19] 单位反馈系统的开环传递函数为：
K G ( s) s T1s 1T2 s 1
I型系统的开环放大倍数 K K v （静态速度误差系数）
II型系统的开环放大倍数 K K a （静态加速度误差系数）
14
增大开环放大倍数
K 可以
减小0型系统在阶跃输入作用下的稳态误差；
减小I型系统在斜坡输入作用下的稳态误差；
减小II型系统在加速度输入作用下的稳态误差。
注释 增大开环放大倍数只能减小某种输入信号 下的稳态误差值； 增大开环放大倍数不能改变稳态误差的性质。
c0 c1s c2 s cl s R ( s )
2 l
c0 R( s) c1sR( s) c2 s R( s) cl s R( s)
2 l
动态误差系数除了通过对 e ( s) 求各阶导数而获得 以外， 还可以通过长除法将 e ( s) 写成幂级数的形式 而获得。
20
1
减小或消除输入信号作用下的稳态误差
采用PI或PID控制是加入串联积分环节的常用方法。 PI
比例+积分
比例+积分+微分
PID
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PI控制器
R(s)
E (s)
-
Kp
+
U (s)
G0 ( s )
Y (s)
KI s
PI控制器的传递函数为：
KI K p s K I Gc ( s) K p s s
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17
例5-5
设闭环系统的开环传递函数为：
K H ( s)G ( s) (T1s 1)(T2 s 1)
H ( j )G( j )
的轨迹如图5-41所示。 的轨迹不包围 1 j 0
H (s)G( s) 在右半s平面内没有任何极点，并且
H ( j )G( j )
，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。 见下图
s lime j
0
(lim
0
K1
jv jv ) e e v
15
j
Im D
C
s平面
GH平面
G( s) H ( s)
K s (Ts 1)
2
j
j 0 j0
s e
s e
j
K
2 j e 2
B 1 A F
E
0
2018/10/18 16
5.3.5 Nyquist稳定判据 如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含 1 H (s)的 Z 个零点 G( s)
和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不
H (s)G( s) 通过 1 H (s)的任何极点或零点，则在 平面上相对应 G( s ) 的曲线将沿顺时针方向包围 点 N 1次（负 j0 N值表示逆时 Z P
5.3奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)
C (s) G ( s) 闭环传递函数为 R( s ) 1 H ( s)G ( s)
图3-35 闭环系统 充要条件
为了保证系统稳定，特征方程的全部根， 都必须位于s平面左半平面。
注：
虽然开环传递函数 H (s)G(s) 的极点和零点可能位
在 F ( s) 平面上的变换
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当s平面上的图形包围两个F ( s) 的极点时，
F ( s) 的轨迹将逆时针方向包围 F ( s)
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平面上原点两次
5
当s平面上的图形包围 F ( s) 的两个极点和两个零点， 相应的 F ( s) 的轨迹将不包围原点
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s 1 j2
6 F (1 j 2) 1 1.115 j 0.577 (2 j 2)(3 j 2)
这样，对于s平面上给定的连续轨迹，只要它不通过任何 奇点，在 F ( s ) 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
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F ( s )平面上的变换或影射 图5-36 s平面上的图形在 上半s平面内的直线 3,1 和 2
于s平面的右半平面，但如果闭环传递函数的所有
极点均位于s平面的左半平面，则系统是稳定的。
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5.3.1 预备知识
令
F (s) 1 H (s)G(s) 0
辅助函数
可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封 闭曲线 ，在 F ( s) 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。
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5.3.4 虚轴上有开环极点的奈奎斯特判椐
对于含有积分环节的开环传函，不能直接 应用前面所示的奈氏曲线。 因为：映射定理要求回线不经过F(s)极点。 当s沿着小半圆移动时，有：s lim e j
0
K G ( s) H ( s) s(Ts 1)
当s沿着小半圆从
0
变化到 0 时，
0
1
Re
j
limj G( s) H ( s)
90 90
180 180
在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围 G(s) s平面内存在两 1 j0 点两次。所以函数 1 H (s)在右半
个零点，即闭环极点。因此，系统是不稳定的。
N Z P
P0
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N 0 Z 0
P0
N 2
Z 2
K值比较小时是稳定的
K值比较大时是不稳定的
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例5-7 设开环传递函数为： 该系统的闭环稳定性取决于 T1 和 T2
T1 T2
Im
H ( s)G( s)
K (T2 s 1) s 2 (T1s 1)
相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。
其辅助方程为：
6 ( s 1.5 j 2.4)(s 1.5 j 2.4) F ( s) 1 H ( s)G( s) 1 0 ( s 1)(s 2) ( s 1)(s 2)
函数 例如
F ( s) 在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每 一个解析点， F ( s) 平面上必有一点与之对应。
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5.3.3 奈奎斯特稳定判椐
设系统的特征方程为： F ( s) 1 H ( s)G( s) 0 开环传递函数：
G( s) H ( s) K1 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
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根据系统的特征方程有： G(s) H (s) F (s) 1
F 1 G( jw) H ( jw) 曲线绕原点运动的情况，相当于 G( jw) H ( jw)
绕（-1,j0）点的运动情况。
Im
1 GH平面
01 1 G( j)H ( j)
Re
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mn
代入特征方程得： F (s) 1
K1 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) ( s p1 )(s p 2 ) ( s p n )
闭环系统稳定的条件： (s p1 )(s p2 )(s pn ) K1 (s z1 )(s z 2 )(s z m ) (s p1 )(s p2 )(s pn ) 系统特征方程的根， 特征方程根 F(s)的零点，都位于s平 ( s s1 )(s s 2 ) ( s s n ) 闭环极点 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) 面的左半平面。
如果这个曲线只包围一个零点，相应的 F ( s) 的轨迹将顺时针包 围原点一次； 若封闭曲线既不包围零点又不包围极点，F ( s) 的轨迹将永远不会 包围 F ( s) 平面上的原点 。
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如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点 (k=0,1,2…)， 即包围的零点数与极点数相同，则在 F (平面上，相 s) 应的封闭曲线不包围 F ( s 平面上的原点。 ) 上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判 据正是建立在影射定理基础上的。
2
从
经0变化到 2
，
G(s) H (s)
s lime
j
这时 G(s) H (s) 平面上的映射曲线将 沿半径无穷大的圆弧按顺时针 从 v 经0转到 v 。
2
2
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K1 ( j s 1)
j 1
m
0
s v (Ti s 1)
i 1
n v
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8
5.3.2 影射定理
Nyquist判据依据的是复变函数中的映射定理。设有复变函数：
s S为复变量，
jw
表示； F(s)为复变函数， F (s) U jV 表示。
对于s平面上的除了有限的奇点外的任意一点s，复变函数
F(s)为解析函数。 解析函数即：单值、连续的正则函数。 对于s平面上的每一点，在F(s)平面上必定有一个对应的映 射点。 如果在s平面上画一条封闭曲线，并使其不通过F(s)的任一 奇点，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线。
j 1 i 1 m n
假设在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点，而其他 零点、极点位于封闭曲线的外边，则当s沿着s平面上的封闭曲 线顺时针方向运动一周时，向量 (s 的相角变化 而其他各 2 z1 ) 向量的相角变化为零。 10 2018/10/18 这意味着映射曲线沿顺时针方向绕原点转动一周。
Re
T1 T2
H ( s)G( s)
K (T2 s 1) s 2 (T1s 1)
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例5-8 设一个闭环系统具有下列 K 开环传递函数： G ( s) H ( s) s(Ts 1)
试确定该闭环系统的稳定性。
(1 jT ) K H ( j)G( j) j (1 jT ) (1 jT )
GH平面
T 1 T2
Байду номын сангаас
Im
GH平面
0 1 0
0
Re
0 1
Re
T 1 T2
T1 T2 G( j)H ( j)矢量穿过 1 j0点
H (s)G( s) 的轨迹不包围
1 j 0 系统是稳定的
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图5-41 例5-5中的 H ( j )G( j ) 极坐标图
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H ( s)G ( s)
K (T1s 1)(T2 s 1)
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例5-6 设系统具有下列开环传递函数： K H ( s)G( s) s(T1s 1)(T2 s 1) 试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益K较小增益K较大。
结论： 为了判断系统的稳定性，需检验F(s)是否有 位于s右半平面的零点。
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系统开环极点
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为了判断系统的稳定性，令s平面上 的封闭曲线包围整个s右半平面。这 时的封闭曲线由虚轴（从 到 ）和整个右半s平面上半径 为无穷大的半圆轨迹两部分构成的。 称封闭曲线为奈奎斯特曲线。 奈奎斯特曲线包围了整个右半平面，所以包围了1 H (s)G(s) 所有正实部的极点和零点。 设F(s)在s平面的右半部有z个零点和p个极点，根椐映射定理， 当s沿着s平面上的奈氏曲线顺时针运动一周，在F(s)平面上的映 射曲线 F 1 G( jw)H ( jw) 按顺时针绕原点旋转N=Z-P周。 若在s平面上，s沿着奈氏曲线顺时针移动一周，在F(s)平面 上的映射曲线 F 绕原点逆时针旋转N=P周，则系统稳定。