多面体和旋转体试题1
第43讲：多面体、旋转体-苏深强
多面体、旋转体一、基本知识体系：1．棱柱2．棱锥3．圆柱4．圆锥5．球6．侧面积7．体积8. 球面距离二、典例剖析：【例题1】如图所示，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°．试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图．【例题2】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列______图形．(填序号)【例题3】如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？【例题4】有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．【例题5】有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．【例题6】已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则()A．以上四个图形都是正确的B．只有(2)(4)是正确的C．只有(4)是错误的D．只有(1)(2)是正确的【例题7】有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．【例题8】已知A，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求A，B的球面距离．三、巩固练习：【练习题1】下列命题中正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；【练习题2】以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．【练习题3】右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的________(填序号)．【练习题4】已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为__________【练习题5】若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为________________【练习题6】长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积_____________【练习题7】一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为____________【练习题8】已知球O的表面积为4π，A、B、C三点都在球面上，且每两点的球面距离均为π/2，则四面体OABC的体积是________________【练习题9】已知ABC三点在球心为P，半径为1的球面上，且三棱锥P-ABC为正四面体，那么AB 两点间的球面距离为__________________。
多面体与旋转体部分会考练习题(高三)
多面体与旋转体部分会考练习题一、选择题1、四棱柱成为长方体的一个充分必要条件是：它的（ ）A 、底面是矩形B 、侧面是正方形C 、侧面和底面都是矩形D 、侧面和底面都是正方形2、长方体共顶点的三个面的面积分别是22cm ，62cm 和92cm ，那么这个长方体的体积为（ ）A 、632cmB 、362cmC 、72cmD 、82cm3、对角线长d 为的正方体的棱长为（ ） A 、d 31B 、d 3C 、 ()d 13- D 、d 33 4、长方体的12条棱的总长度为56m ，表面积为1122m ，那么长方体的对角线长为（ ） A 、m 143 B 、m 67 C 、m 212 D 、m 95、如果直棱柱的底面是菱形，柱高9cm ，它的两条对角线分别与底面成060角和045角，那么这个棱柱的体积是（ ） A 、323243cm B 、33243cm C 、323729cm D 、33729cm 6、在斜三棱柱中，各棱长都是a ,且有一组共顶点的三条棱两两夹角相等，那么这个棱柱的全面积是（ ） A 、2233a B 、232a C 、()213a + D 、21233a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+7、已知正六棱柱底面的边长和柱高都等于a ，那么最大对角截面的面积是（ ）A 、22a B 、23a C 、232a D 、223a8、三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，各侧棱与底面所成的角彼此相等，那么顶点在底面的射影是底面三角形的（ ）A 、垂心但不是内心B 、内心但不是垂心C 、外心但不是重心D 、垂心又是重心9、三棱锥P-ABC 的侧棱两两互相垂直，且PA=1，PB=3，PC=6，那么∠ABC=（ ）A 、030 B 、060 C 、045 D 、07510、如果正三棱锥的侧棱长为2a ，底面周长为9a ，那么这棱锥的高为（ ）A 、 aB 、2aC 、a 23 D 、a 23 11、已知三棱锥各侧面与底面所成二面角彼此相等，那么顶点在底面上的射影，一定是底面三角形的（ ）A 、 内心B 、外心C 、垂心D 、重心12、一个棱锥被平行于底面的平面截成两部分，截面的面积恰好是棱锥底面面积的一半，那么截得的两部分的体积比为（ ） A 、21 B 、41C 、22D 、4213、正四棱锥底面边长为a ，侧棱长也是a ，那么过两相对侧棱的截面的面积是（ ） A 、223a B 、2a C 、221a D 、231a14、平行六面体的各棱长都等于4，在共顶点A 的三条棱上分别取点P 、Q 、R ，使AP=1，AQ=2，AR=3，那么，三棱锥A —PQR 的体积与平行六面体的体积比为（ ）A 、与顶点A 的选择无关，都等于321B 、 与顶点A 的选择无关，都等于641C 、 与顶点A 的选择有关，等于321或641D 、与顶点A 的选择有关，等于161或32115、如果棱锥的底面积为4，那么该棱锥的中截面的面积是（ ）A 、 1B 、2C 、2D 、316、正四棱台上下底面边长分别为a 和2a ，斜高为a ，那么台高等于（ ）A 、aB 、a 23 C 、a 22 D 、a 4317、圆柱的轴截面的对角线为定值，为了使圆柱的侧面积最大，轴截面对角线与底所成的角之正切函数值应为（ ） A 、3 B 、1 C 、33 D 、21 18、圆锥的侧面母线长为3，侧面展开所成的扇形的中心角等于060，那么这个圆锥的底面积是（ ）A 、π4B π2、C 、π21D 、π41219、将一个半圆围成一个圆锥面，则该圆锥两条母线的夹角之最大值是（ ）A 、0120 B 、090 C 、060 D 、045台的母线和底面成030，轴截面的面积为Q ，那么这个圆台的侧面积是（ ） A 、Q 2π B 、Q π C 、Q π2 D 、Q π421、圆台上下底的半径分别为1和4，母线长为23，则圆台的体积为（ ） A 、π15 B 、π21 C 、π25 D 、π22122、直角梯形以下底边所在直线为旋转轴旋转，那么其余各边旋转所生成的曲面围成的几何体可看成（ ）A 、 一个棱柱叠加一个棱锥B 、一个圆台叠加一个圆锥C 、一个圆柱叠加一个圆锥D 、一个棱台叠加一个圆锥23、体积为8的正方体的外接球的体积为（ ）A 、π34B 、π332C 、π362 D 、()π134+ 二、填空题24、如果正四棱柱对角线长为3.5cm ，侧面的一条对角线长为2.5cm ，那么这个棱柱的体积为________2cm ；25、棱锥的底面是边长为a 的正三角形，一个侧面垂直于底面，另外两个侧面和底面所成的二面角都等于θ，那么这个棱锥的侧面积是__________； 26、圆锥底面的半径为10cm ，轴截面是直角三角形，则圆锥的全面积是_______2cm ；27、圆台的高是8cm ，上底半径、下底半径和母线长三者的比1：4：5为，那么这个圆台轴截面的面积是__________2cm ；28、在面积为π26的球面内，作一个内接圆柱，柱的底面半径是柱高的31，那么样这 个圆柱的全面积是________；三、解答题29、三棱锥的一条侧棱长为4cm ，其余所有的棱长都等于3cm ，求该棱锥的体积。
《基本立体图形》考点讲解复习与同步训练
《8.1 基本立体图形》考点讲解【思维导图】考法一多面体【例1】下列说法正确的是（）A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体【一隅三反】1．（多选）下列说法正确的是（）A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等B．五棱锥只有五条棱C．一个棱柱至少有五个面D．棱台的各侧棱延长后交于一点2．列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行D．棱柱的侧面都是矩形3．下列命题中，正确的是（）A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体D．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥考法二旋转体【例2】给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【一隅三反】1．下列说法正确的是（）A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台2．下列结论中正确的是（）A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台3．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（）A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤考法三组合体【例3】如图所示的组合体，其结构特征是（）A．由两个圆锥组合成的B．由两个圆柱组合成的C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的【一隅三反】1．如图的组合体是由（）组合而成.A．两个棱柱B．棱柱和圆柱C ．圆柱和棱台D ．圆锥和棱柱2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 ( )A ．一个圆台、两个圆锥构成B ．两个圆台、一个圆锥构成C ．两个圆柱、一个圆锥构成D ．一个圆柱、两个圆锥构成3．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是_______(填序号).考法四 截面问题【例4】（多选）用一个平面截一个正方体，截面图形可以是（ ）A ．三角形B ．等腰梯形C ．五边形D ．正六边形【一隅三反】1．（多选）一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列可能的是（ ）A ．正三角形B ．正四边形C ．正五边形D ．正六边形 2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，AB ，AD 中点分别为E ，F ，若过EF 的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（ ）A BC ．D ．+《8.1 基本立体图形》考点讲解答案解析考法一 多面体【例1】下列说法正确的是（ ）A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体【答案】D【解析】选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体是棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故选项A错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故选项B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360 时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，由此推导出这个棱锥不可能为六棱锥，即选项C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，即选项D正确．故选：D．【一隅三反】1．（多选）下列说法正确的是（）A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等B．五棱锥只有五条棱C．一个棱柱至少有五个面D．棱台的各侧棱延长后交于一点【答案】CD【解析】四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等，A错误；五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共10条棱，B错误；一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，故至少有五个面，C正确；棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确.故选：CD.2．下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行D．棱柱的侧面都是矩形【答案】B【解析】对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正确；对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B正确；对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正确；对于D，斜棱柱的侧面可以不是矩形，D错误.3．下列命题中，正确的是（）A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体D．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥【答案】B【解析】对于A，根据直棱柱的概念，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，有两个侧面是矩形的棱柱可能是斜棱柱，只有相邻的两个侧面是矩形时，才是直棱柱，故A不正确；对于B，有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱，可知侧棱垂直于底面，又底面为正多边形，故B正确；对于C，侧面都是矩形的直棱柱，底面不是矩形，不是长方体，故C不正确；对于D，侧面都是等腰三角形，但底面不是正多边形的棱锥不是正棱锥，故D不正确.故选：B考法二旋转体【例2】给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】D【解析】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误；圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的，故②正确；③中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴共面，故③错误；④由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线相互平行，故④正确；综上可知②④正确，①③错误.故选：D.【一隅三反】1．下列说法正确的是（）A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台【答案】C【解析】以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错；以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确；平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错.故选：C.2．下列结论中正确的是（）A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台【答案】B【解析】因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故A错误；当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误；圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故D错误.故选：B.3．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（）A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤【答案】D【解析】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.故选：D.考法三组合体【例3】如图所示的组合体，其结构特征是（）A．由两个圆锥组合成的B．由两个圆柱组合成的C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的【答案】D【解析】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选：D【一隅三反】1．如图的组合体是由（）组合而成.A．两个棱柱B．棱柱和圆柱C．圆柱和棱台D．圆锥和棱柱【答案】B【解析】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选：B2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由( )A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成【答案】D【解析】旋转体如图，中间是一个圆柱，两端是相同的圆锥构成，故选D．3．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号).【答案】①④【解析】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.②③显然不是棱柱拼接而成.故答案为：①④考法四截面问题【例4】（多选）用一个平面截一个正方体，截面图形可以是（）A．三角形B．等腰梯形C．五边形D．正六边形【答案】ABCD【解析】如图所示：三角形等腰梯形五边形正六边形故用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形、等腰梯形、五边形、正六边形，故选：ABCD.【一隅三反】1．（多选）（用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列可能的是（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形【答案】ABDBDC，故A正确.【解析】如图（1），截面为三角形1如图（2），截面为正方形PQRS ，其中,,,P Q R S 为所在棱的中点，故B 正确.如图（3），截面为正六边形EFGHIJ ，其中,,,,,E F G H I J 为所在棱的中点，故D 正确.如图（4），因为平面11//ADD A 平面11BCC B ，平面KLMNO 平面11=BCC B MN ，平面KLMNO ⋂平面11=ADD A KO ，故//KO MN ，若截面为正五边形，则KO MN =，故四边形OKMN 为平行四边形， 但正五边形中不可能存在过4个顶点的平行四边形，故C 错误. 故选：ABD.2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，AB ，AD 中点分别为E ，F ，若过EF 的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（ ）A B C ． D ．+【答案】A【解析】将面11BCC B 展开与面11ABB A 处于同一平面要使1l E QC C Q FH H +++最大,则沿面1C QEFH 切才能保证五点共面，在1Rt ECC △中,112,12CC BC BE AB ====,此时1EQ QC +==又1FH HC EQ QC +=+.∴周长()12EF EQ QC =++=故选:A《8.1 基本立体图形（精练）》同步练习【题组一 多面体】1．下列几何体中是棱锥的有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列命题正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱3．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（）A．正三棱锥B．正四棱锥C．正五棱锥D．正六棱锥4．棱台不具备的特点是（）A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点5．某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（）A．五棱锥B．三棱柱C．三棱台D．四棱台6．下列说法中正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥7．下列说法正确的是（）A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形8．下列说法正确的是________(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.9．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是________.10．下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④棱台的各侧棱延长后必交于一点；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.11．如图，下列几何体中，_______是棱柱，_______是棱锥，_______是棱台(仅填相应序号).【题组二旋转体】1．以下空间几何体是旋转体的是（）A．圆台B．棱台C．正方体D．三棱锥2．给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③3．如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是圆台B．②是圆台C．③是圆锥D．④是圆台4．有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度；③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有一个大圆；其中正确命题的序号是_____ 【题组三组合体】1．说出图中物体的主要结构特征.2．如图，以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出这个几何体的结构特征.3．如图，说出图中两个几何体的结构特征.4．试指出图中组成各几何体的基本元素.【题组四截面问题】1．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．2 B．1 C．高D．考2．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（）A．棱锥B．圆锥C．圆柱D．正方体4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（）A．①②B．①③C．①④D．①⑤《8.1 基本立体图形（精练）》同步练习答案解析【题组一多面体】1．下列几何体中是棱锥的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥.故选：C.2．下列命题正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱【答案】D【解析】对于选项,A棱柱的底面也可以是三角形，五边形等，不一定是平行四边形，所以该选项错误；对于选项B，棱锥的底面不一定是三角形，也可以是四边形，五边形等，所以该选项错误；对于选项C，棱锥被平面分成的两部分可能都是棱锥，所以该选项错误；对于选项D，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，所以该选项正确.故选：D3．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（）A．正三棱锥B．正四棱锥C．正五棱锥D．正六棱锥【答案】D【解析】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长，所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长，故选：D.4．棱台不具备的特点是（）A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点【答案】C【解析】根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．棱台的两底面是相似多边形，A正确；侧面的上下底边平行，侧面都是梯形，B正确；侧棱延长后交于一点，D正确；由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱也不一定相等，C不一定成立，故选：C．5．某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（）A．五棱锥B．三棱柱C．三棱台D．四棱台【答案】D【解析】四棱台有8个顶点，不符合题意.，其他都是6个顶点．故选：D．6．下列说法中正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥【答案】D【解析】因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误；而一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，所以C错误；因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以D 正确.故选：D.7．下列说法正确的是（）A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形【答案】C【解析】A. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形,但不一定全等，故错误；B.用一个平面去截棱锥，当棱锥底面与截面平行时，才是棱台，故错误；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，如正方体共顶点的三个相邻平面，故正确；D.棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故错误；故选：C8．下列说法正确的是________(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.【答案】⑤【解析】对于①，如果棱锥的顶点在底面上的射影不是正多边形的中心，则此棱锥不是正棱锥，故①错误.对于②，如图（1），棱锥的顶点是圆锥的顶点，而底面多边形是圆锥底面圆的内接非正多边形，此时棱锥满足各侧棱都相等，但不是正棱锥，故②错误.对于③④，如图（2），侧面都是等腰三角形，且它们全等，但该三棱锥不是正棱锥，故③④错误.对于⑤，因为底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥，故顶点底面上的射影O为正多边形的中心，此时棱锥为正棱锥，故⑤正确.故答案为：⑤9．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是________.【答案】②③④【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； ②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体1111ABCD A B C D -中的三棱锥1C ABC -，四个面都是直角三角形.故答案为：②③④10．下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④棱台的各侧棱延长后必交于一点；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.【答案】②③④【解析】①错，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，则棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②对，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③对，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；④对，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点； ⑤错，如图所示四棱锥被平面PBD 截成的两部分都是棱锥.故答案为：②③④11．如图，下列几何体中，_______是棱柱，_______是棱锥，_______是棱台(仅填相应序号).【答案】①③④⑥⑤【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.故答案为：①③④；⑥；⑤.【题组二旋转体】1．以下空间几何体是旋转体的是（）A．圆台B．棱台C．正方体D．三棱锥【答案】A【解析】由封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体可知，只有A项满足题意故选：A 2．给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③。
不规则立体图形的分类和计算
不规则立体图形的分类和计算一、不规则立体图形的定义及特点不规则立体图形是指那些没有规则几何形状的立体图形，它们由不规则的多边形组成。
不规则立体图形在生活中广泛存在，如天然石块、树枝、果实的形状等。
不规则立体图形的特点是形状复杂、无规律，但可以通过数学方法进行分类和计算。
二、不规则立体图形的分类1.根据组成元素分类：（1）单体不规则立体图形：由一个不规则的多边形组成，如天然石块、树枝等。
（2）组合不规则立体图形：由多个不规则多边形组成，如拼图、建筑物的外观等。
2.根据空间结构分类：（1）一维不规则立体图形：如线段、曲线等。
（2）二维不规则立体图形：如平面上的不规则多边形等。
（3）三维不规则立体图形：如立体拼图、建筑物等。
三、不规则立体图形的计算方法1.单体不规则立体图形的计算：（1）体积计算：通过排水法、溢水法等实验方法测量不规则立体图形的体积。
（2）表面积计算：将不规则立体图形切割成多个规则几何图形，计算每个规则图形的面积，再求和。
2.组合不规则立体图形的计算：（1）体积计算：分别计算每个单体不规则立体图形的体积，再求和。
（2）表面积计算：分别计算每个单体不规则立体图形的表面积，再求和。
四、不规则立体图形的实际应用1.建筑设计：建筑师利用不规则立体图形设计独特的建筑物，提高建筑物的美观性和实用性。
2.工业制造：在不规则立体图形的基础上，设计生产各种形状的零件、产品，满足工业生产的需求。
3.艺术创作：艺术家利用不规则立体图形进行绘画、雕塑等艺术创作，展现个性和创意。
4.自然科学研究：科学家通过研究不规则立体图形，探索自然界中的规律和奥秘。
总结：不规则立体图形的分类和计算是中学数学的重要内容，通过对不规则立体图形的认识和计算，可以提高学生的空间想象能力、创新思维能力和实际应用能力。
习题及方法：1.习题一：计算下列不规则立体图形的体积。
一个天然石块，测量其排水体积为200cm³。
答案：200cm³解题思路：根据题目所给的排水体积，直接得出天然石块的体积。
第八讲多面体及旋转体(一)
第八讲多面体与旋转体（一）知识要求本章内容包括多面体和旋转体中常见的柱、锥、台、球的概念、性质、直观图、展开图的画法以及有关侧面积、体积的计算等．它是考查空间想象能力和逻辑思维能力及其运算能力的重要载体．高考试题中，立体几何试题的分值一般占20%左右，题量一般是五个，选择题、填空题、解答题的比例是3︰1︰1．立体几何试题大多以多面体和旋转体为载体，融线面关系于几何体中，融推理论证于几何量的计算中，融逻辑思维能力、空间想象能力于运算中．从近年高考立体几何试题中，可以发现以多面体和旋转体为载体设计的题目一般占25分左右，是立体几何试题分值的75%以上．涉及多面体或旋转体中有关元素的位置判定，数量的计算或最值的计算常常是以选择题或填空题的形式出现，涉及柱、锥、台体中的线面关系、面面关系的判定及运用于面积或体积的计算大多以中等难度的解答题的形式出现，而在面积或体积的计算中又侧重于体积．近年高考涉及多面体与旋转体的命题改革有所创新与突破，其主要特点是：①注意考查学生的想象、判断、推理与计算的综合能力素质，融推理与运算于一体；②注意对非常规空间几何图形的数量关系和位置关系的考查；③改变了选择题和填空题形式单一的弊端，拓宽了填空题的考查功能，采用多选、多填及开放性等形式，富有挑战性和探索性，体现高考“稳中有变”的思想．对柱、锥、台，会从复杂的空间图形中找出反映几何体特征的平面图形如：直角三角形、直角梯形，寻找有关的几何元素的位置关系，数量关系，并注意几种特殊四棱柱的联系与区别，重视平行于底面的截面的有关性质，树立“还台为锥”的思想，空间问题平面化的思想如：截面、展开图、平移、旋转、射影，应用整体思想、方程思想的策略．对多面体与旋转体的体积问题，应以公式法为基础并注意利用化归与转化思想，即①转移法（利用祖暅原理，把所求几何体的体积转化为与它等底、等高的几何体的体积），②分割求和法，③补形求差法，④换底等积法，沟通有关元素之间的联系，从而完成计算或证明．对多面体与旋转体的表面积除直接利用公式外，还可采用“化整为零”各个击破的策略，并熟悉直截面，轴截面的特性，通过展开图，将空间面积转化为平面面积来处理．解决折叠问题时，要将折叠前后的两个图形对照考察，弄清所涉及的元素在折叠前后的数量关系或位置关系．要计算柱、锥、台表面上两点的最短距离，可采用侧面展开图或全面展开图，化曲折为直．对简单多面体、旋转体的“切”“接”问题，一般是通过选择能够包含各元素间的关系的一个截面（多为轴截面），转化为平面图形或采用“等积法”来解决．应特别注意截面图形与直观图的联系，并注意两者构成元素的异同．对面积、体积的最值问题，一般转化为函数的最值问题加以解决，比较常用的方法是利用均值不等式．综合应用，关键在于沟通几何、代数、三角知识的联系，达到对知识的进一步理解、深化、升华．典型例题 例1．（2001福建）设长方体的三条棱长分别为a 、b 、c ，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则a 1＋b 1＋c1等于……………………………………（ ） A ．114 B ．411 C ．211 D ．112 【分析】根据题意可得三个方程，从而求出a ，b ，c ，但计算量太大．若对a 1＋b 1＋c1变形可得a 1＋b 1＋c 1＝abc ca bc ab ++，故只需求出ab ＋bc ＋ca ，从而利用整体思想求解． 【解】由题设，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=++.2524)(4222abc c b a c b a∵ （a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2（ab ＋bc ＋ca ），∴ 2)212(＝25＋2（ab ＋bc ＋ca ）， ∴ ab ＋bc ＋ac ＝211． 从而a 1＋b 1＋c 1＝abc ca bc ab ++＝411， 故选B ．【点评】本题考查长方体的对角线公式，体积公式．在解题过程中，常对a 、b 、c 设而不求，利用恒等式，整体思想避开繁琐的计算过程，而直接得出结论．若长方体的对角线与交于同一点的三条棱分别成角α、β、γ，则cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1，若长方体的对角线与交于同一点的三个面分别成角α、β、γ，则cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝2，在解题中的应用也应给予重视．例2．已知正三棱柱ABC—A1B1C1，过一面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D．①确定D点的位置，并证明你的结论；②证明平面AB1D⊥平面AA1D；③若AB＝6，AA1＝4，求直线BC1与平面AB1D的距离；④若AB︰A1A＝k，问是否存在k，使平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小为45°？若存在请求出k，若不存在请说明理由．【分析】①要证线面平行，须证线线平行，故可通过补形进行平移．②要证面面垂直，须证线面垂直．③要求线面距离可通过线面平行转化为点面距离．④对探索性性问题，不妨假设存在，然后求解或推理论证．【解】①将正三棱柱ABC—A1B1C1补成直平行六面体ABCE—A1B1C1E1，从而有AE1∥BC1，∴BC1∥面AB1E1．∴面AB1E1为所求平面，此时面AB1E1与A1C1交于D．又A1B1C1E1为平行四边形，∴D为A1C1中点．（或先猜D为A1C1中点，然后予以证明）．②连结AD，由直平行六面体定义知AA1⊥面A1B1C1E1，∴AA1⊥B1D，又A1B1C1E1为菱形，∴B1D⊥A1C1，∴ B 1D ⊥面AA 1D ，又 B 1D ⊂面AB 1D ，∴ 面AB 1D ⊥面AA 1D ．③∵ BC 1∥平面AB 1D ，∴ 只要求C 1 到平面AB 1D 的距离．又 A 1D ＝DC 1 故只要求A 1 到面AB 1D 的距离即可．由②，知面AB 1D ⊥面AA 1D ，所以过A 1 作AM ⊥AD ，则A 1M ⊥平面AB 1D ．∴ A 1M 为所求．由A 1D ·AA 1＝A 1M ·AD ，得：A 1M ＝512． （或由D AB C V 11-＝D C B A V 11-，D C B S 11∆＝293，1ADB S ∆＝2153，得C 1 到平面AB 1D 的距离为512）． ④过D 作DG ⊥A 1B 1 于G ，则DG ⊥面A 1B 1BA ；过G 作GH ⊥AB 1 于H ，连DH ，则DH ⊥AB 1，∴ ∠DHG 为A 1—AB 1—D 的平面角，若∠DHG ＝45°，设AA 1＝a ，则AB ＝ka ，DG ＝43ka ． ∵ AA 1︰AB 1＝GH ︰GB 1， ∴ GH ＝1432+k ka ． ∵ DG ＝GH ，∴ k ＝2．∴ 存在k ＝2，使平面AB 1D 与平面AB 1A 1 所成角的大小为45°．【点评】本题以正三棱柱为载体，考查了线线、线面、面面的位置关系以及距离、角、体积等问题．补形法、等积法是常用技巧，开放性问题是近年高考热点，应予重视．一般地利用三棱锥等积法寻找底面上的高，常将一个底面的顶点选在多面体的同一表面上．例3．各棱长都等于2的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1垂直于底面．①问侧棱与底面所成角为多少时，能使B1C⊥AC1；②在①的条件下求此三棱柱的侧面积．【分析】①取AB中点D，设BC1 B1C＝O，则DO∥AC1要证B1C⊥AC1只需证DO ⊥B1C又O为B1C中点，∴只需证B1D＝DC＝3，在△B1BD中由余弦定理可得：∠B1BD＝60°，又面B1BAA1⊥底面，∴∠B1BA为侧棱与底面所成角．故可猜测当侧棱与底面成角为60°时，B1C⊥AC1．②棱柱侧面积有两种解法，一是判断各侧面的形状，各个击破，再求各侧面的面积之和，二是求其直截面周长与侧棱长的乘积．【解】①当侧棱与底面成角为60°时，能使B1C⊥AC1．事实上，作B1D⊥AB于D．∵面ABB1A1⊥底面ABC，∴B1D⊥平面ABC．∴∠B1BD为侧棱与底面所成角．∴∠B1BD＝60°．又BD＝B1E cos 60°＝1，∴D为AB中点．∴CD＝3．又B1D＝3，∴CD＝B1D．又O为B1C中点，∴DO⊥B1C而AC1∥DO．∴AC1⊥B1C（或证B1C⊥面ABC1）．② 在侧面ABB 1A 1 中11A ABB S 平行四边形＝2·2·si n 60°＝4×23＝23， 在△B 1CD 中，CD ＝3＝B 1D ，∴ B 1C ＝6．又 BCC 1B 1 为菱形，∴ BC 1＝2 BO ＝222)26(2-＝10， 又 AB ⊥面B 1CD ，∴ AB ⊥DO ，又 DO ∥AC 1，∴ AC 1⊥AB ．在Rt △ABC 1中，AC 1＝222)10(-＝6．∴ 11B BCC S 平行四边形＝C C AA S 11平行四边形＝2110·6＝15． ∴ S 侧＝11A ABB S 平行四边形＋211B BCC S 平行四边形＝2（3＋15）．【点评】① 条件探索型命题，解题时要善于从所给的题断出发，逆向追索，逐步探寻出应具备的条件，然后予以证明．S 棱柱侧＝C 直截面×l ，V 棱柱＝S 直截面×l ，其中l 为侧棱长．例4．三棱锥P —ABC 中，侧棱P A ⊥底面ABC ，H 是A 在平面PBC 上的射影．① 若H 是△PBC 的重心，则在此三棱锥的棱所在直线中与AC 垂直的直线有几条？② 若H 是△PBC 的重心，且△ABC 是边长为2的正三角形，求二面角P —BC —A 的大小．【分析】① 充分利用线线垂直与线面垂直的相互关系进行挖掘与探求．② 二面角问题关键是“作”“证”“算”，本题关键要利用重心性质及方程思想进行求解．【解】① P A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴ P A ⊥AC ，AH ⊥平面PBC ，CH ⊥PB ．∴ AC ⊥PB ．∴ AC ⊥平面ABC ．又 AB 平面P AB ，∴ AC ⊥AB ．故与AC 垂直的直线有P A 、PB 、AB 三条．② 若H 是重心，连结PH 交BC 于D ，可设PH ＝2 x ，HD ＝x ，由AB ＝2，可知AD ＝3，于是有（3）2＝x ·（2 x ＋x ），则x ＝1，∴ PD ＝3．又 D 是BC 的中点，∴ AD ⊥BC ．∴ PD ⊥BC ．∴ ∠PDA 是二面角P —BC —A 的平面角．由cos ∠PDA ＝PD AD ＝33得∠PDA ＝arc cos 33即为所求． 【点评】① 结论探索型命题，解题时要充分利用已知条件或图形的特征进行全面、透彻分析，从而推理、发现、获取结论．② 要正确区分三棱锥的顶点在底面上的射影何时是底面三角形的外心、内心、重心、中心．例5．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱，侧面积和体积时，相应的截面面积依次为S 1、S 2、S 3，则…………………………………………………………（ ） A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 3＜S 2＜S 1 C ．S 2＜S 1＜S 3 D ．S 1＜S 3＜S 2【分析】棱锥被平行于底面的平面所截，若顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比为k ，则它们对应棱长的比等于k ，底面积（侧面积、全面积）的比等于k 2，体积比等于k 3．【解】设棱锥的底面积为S ，高为h ，以截面为底面的棱锥的高分别为h 1、h 2、h 3，则21S S ＝21h h ，S S 2＝h h 2，SS 3＝h h 3 由题意，得 h h 1＝21，21)(h h ＝21，23)(hh ＝21∴ 21S S ＝21，S S 2＝21，SS 3＝321． ∵ 21＜21＜321， ∴ S 1＜S 2＜S 3．故选A ．【点评】① 对于台体平行于底面的截面，可补台为锥，再利用有关比例性质便可解决．② 棱台中平行于底面的截面及上、下底面面积分别为S 0、S 1、S 2 截面与上下底面的距离之比为m ︰n 时，则0S ＝nm S n S m ++12，特别地当m ＝n 时，为中截面公式． ③ 圆台的上下底面半径分别为r 、R ，作平行于底面的截面分别平分圆台的侧棱、侧面积，体积时，若截面分母线（自上到下）的比为m ︰n ，中截面半径为x ，则可利用性质“mrx -＝n x R -”，得到相应的截面半径分别为2r R +，222r R +，3332r R +． 例6．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm 和6 cm ，高是23cm ．求三棱台的① 侧棱长；② 斜高；③ 侧棱与底面所成的角的正切值；④ 侧面与底面所成的角；⑤ 侧面积．【分析】利用图中的直角三角形与直角梯形进行求解．【解】如图，设O 1，O 分别是上、下底面中心，则O 1O ＝23cm ， 连结A 1O 1 并延长交B 1C 1 于D 1，连结AO 并延长交BC 于D ，过A 1 作A 1F ⊥AD 于F ，作D 1E ⊥AD 于E ．① 在Rt △A 1AF 中，A 1F ＝23cm ，AF ＝AO －A 1O 1＝33（6－3）＝3（cm ）， 所以AA 1＝212F A AF +＝221（cm ）． ② 在Rt △D 1DE 中， D 1E ＝23，DE ＝DO －D 1O ＝63（6－3）＝23（cm ）， 所以斜边上的高 D 1D ＝221DE E D +＝22)23()23(+＝3（cm ）． ③ 因为A 1F ⊥底面ABC ，所以∠A 1AF 为侧棱与底面所成的角，所以tan ∠A 1AF ＝AF F A 1＝323＝23． ④ 因为D 1D ⊥BC ，AD ⊥BC ，所以∠D 1DA 为侧面与底面所成二面角的平面角，tan ∠D 1DA ＝DE E D 1＝2323＝3 所以∠D 1DA ＝60°．（或还台为锥，设棱锥的高为h ，利用OA ＝2 OD ，得tan ∠D 1DE ＝OD h ＝OAh 2＝2 tan ∠A 1AF ＝3）． ⑤ S 侧＝21（3×3＋3×6）×3＝2273（cm 2） （或利用S 侧＝︒-60cos 上下S S ＝2（S 下－S 上）＝243（62－32 ）＝2273）． 【点评】对正棱锥、正棱台的问题可转化为直角三角形问题，使高、斜高、斜高在底面上的射影，侧棱、侧棱在底面上的射影，底面边长之半，边心距，外接圆半径及侧棱和底面所成角，侧面和底面所成的二面角等元素转化为直角三角形的边和角，还台为锥有利于整体上把握本章内容和公式．对正棱锥、正棱台，若侧面与底面所成角为α，则可利用公式：S 正棱锥侧＝αcos 底S ，S 正棱台侧＝αcos 上下S S -（适合选择、填空）． 基础练习一、选择题1．设M ＝｛正四棱柱｝，N ＝｛长方体｝，P ＝｛直四棱柱｝，Q ＝｛正方体｝则这四个集合的关系是……………………………………………………………………（ ） A ．P ⊂N ⊂M ⊂Q B ．Q ⊂M ⊂N ⊂PC ．P ⊂M ⊂N ⊂QD ．Q ⊂N ⊂M ⊂P2．如果三棱锥S —ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是三角形的……………………（ ） A ．垂心 B ．重心 C ．外心 D ．内心3．台体中一个平行于底面的截面把台体分成上、下两部分，若台体的上底面积，截面面积，下底面积之比为1︰4︰9，那么截面把台成分成上、下两部分的体积比为（ ） A ．278 B ．197 C ．135 D ．53 4．一个圆锥的轴截面的顶角为120°，过顶点的截面的最大值是4，那么此圆锥的侧面积是………………………………………………………………………………（ ） A ．23π B ．43π C ．63π D ．83π5．夹在两平行平面间的圆锥、球、圆柱在平面内的射影是等圆，那么它们的体积之比是…………………………………………………………………………………（ ） A ．1︰2︰3 B ．2︰3︰6 C ．4︰6︰9 D ．1︰2︰46．圆台的侧面积是它的内切球表面积的34倍，则圆台母线和底面所成角的大小是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°7．设地球半径为R ，在北纬45°圈上A 、B 两地的经度分别为东经165°和西经105°，则A 、B 两地间的球面距离是…………………………………………………（ ） A ．R B ．42π R C ．2πR D ．3πR 8．在轴截面是直角三角形的圆锥内，有一个体积最大的内接圆柱，则内接圆柱的体积与圆锥的体积的比值为…………………………………………………………（ ）A ．83B ．94C ．73D ．21 9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D —ABC的体积为…………………………………………………………………………（ ）A ．b a 3B ．123aC ．123a 3D ．122a 3 10．平行四边形两邻边的长为a 和b ，当它分别绕边a 、b 旋转一周后，所形成的几何体的体积之比为………………………………………………………………（ ） A ．a b B ．b a C ．3)(a b D ．3)(ba 11．如图三棱台ABC —A 1B 1C 1 中，已知S △ABC ＝S 1，111C B A S ＝S 2，高为h ，则四面体ACB 1C 1 的体积为………………………………………………………………（ ）A ．3h 21S S B ．31S 1h C ．31S 2h D ．3h （S 1＋S 2＋21S S ） 12．有三个球一个球内切于正方体的各个面，一球内切正方体各条棱，另一球过正方体的各顶点，则这三球面积比是…………………………………………………（ ） A ．1︰2︰3 B ．1︰2︰3 C ．1︰22︰33 D ．1︰4︰9二、填空题13．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1 的一个侧面的面积为S ，这个侧面与它对棱的距离为a ，则这个棱柱的体积是______________．14．若正棱台上下底面及侧面的面积比为4︰9︰10，则侧面与底面所成的角大小为________．15．圆锥母线长为3，底面半径为1 cm ，底面圆周上有一点A ，由A 点出发绕圆锥一周回到A 点的最短路线长等于_________________．16．一个正六棱锥，底面边长为2，高为1，则过两条侧棱所作的截面中，最大的截面积等于______________．17．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中有以下命题：① AB 与EF 所在直线平行；② AB 与CD 所在直线异面；③ MN 与BF 所在直线成60°角；④ MN 与CD 所在直线互相垂直．其中正确命题的序号是____________（注：把你认为正确的命题都填上）18．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____________（只需写出一个可能的值）．三、解答题19．正三棱台ABC —A ′B ′C ′上、下底面的边长分别为1 cm 和3 cm ，高是36cm ． ① 证明AA ′⊥平面BCC ′B ′；② 求正三棱台ABC —A ′B ′C ′的侧面积．20．把半径为R 的圆面剪去一个扇形，设剩下的扇形圆心角为α，将其作为一个圆锥的侧面围成一个圆锥．问α 为多大时，圆锥的体积最大？最大值为多少？21．如图所示四面体ABCD 中，已知AB ＝m ，CD ＝n ，还需要知道哪些条件（条件个数应最少）就可以求出四面体ABCD 的体积，并说明理由．参考答案基础练习一、选择题 1．B 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C7．D 8．B 9．D 10．A 11．A 12．A二、填空题13．21aS 14．60° 15．33 16．6 17．②④ 18．611或1214或1211三、解答题19．① 提示：还台为锥；② 6．20．α＝326π；V ＝2763π R 3．21．提示：以BD 、DC 为邻边作□BDCE ，利用三棱锥换底等积法得须两个条件得：AB 与CD 的距离h 及所成角θ．。
8.1 基本立体图形(1)(解析版)
8.1 基本立体图形（1）学习目标:1.掌握棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征.2.能够识别和区分多面体，培养空间思维能力和直观想象力.预习案一．空间几何体的定义： 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.二．空间几何体的分类：1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫多面体.围成多面体的各个多边形叫多面体的面，如面ABE ；两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AE ；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点_，如顶点E .2.旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫旋转体的轴.三．常见的多面体（一）.棱柱1.定义： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点_；两个底面之间的距离叫做棱柱的高.2.结构特征： （1）两个底面平行且全等_；（2）侧面是平行四边形，侧棱都平行且相等.（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.3.表示： 棱柱用底面各顶点的字母表示，如棱柱''''''ABCDEF A B C D E F .4.分类：（1）按底面多边形的形状分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…….（2）按侧棱与底面的位置分类：①侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；②侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；特殊地：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；注：四棱柱的分类：（1）底面是四边形的棱柱叫四棱柱；（2）底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；（3）侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；（4）底面是矩形的直平行六面体叫长方体；（5）棱长都相等的长方体叫正方体；即时练习1：判断对错：（1）长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体. （×）（2）斜棱柱的侧面不可能是矩形. （×）（3）平行六面体的所有面都是平行四边形. （√）（4）正四棱柱是长方体.（√）（5）长方体是正四棱柱.（×）（6）正四棱柱是正方体. （×）（7）正方体是正四棱柱. （√）（二）棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的__侧棱_；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.2.结构特征：（1）底面是多边形，侧面都是三角形；（2）侧棱交于一点.3.表示：.棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如棱锥S ABCD4.分类：按底面多边形的形状分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫三棱锥、四棱锥、五棱锥…….其中三棱锥又叫四面体.底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 即时练习2：（1）一个多面体最少 四 个面，此时这个多面体是三棱锥 .（2）正棱锥的侧面形状是 等腰三角形，并且这些三角形关系是 全等 .（三）棱台1.定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间那部分多面体叫棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱、顶点.2.结构特征：（1）两底面__平行_ 且 相似（2）侧棱延长后交于一点.3.表示：棱台用底面各顶点的_字母__表示，如_棱台''''ABCD A B C D .4.分类：按底面多边形的形状分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别三棱台、四棱台、五棱台…….即时练习3：判断对错：（1） 棱台的侧面都是梯形. （ √ ）（2） 正棱台的侧面是等腰梯形. （ √ ）探究案1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”（1）长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体. （× ）（2）四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体. （ √ ）（3）一个棱柱至少有5个面. （ √ ）（4）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. （ √ ）（5）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. （ √ ）（6）正棱台的侧面是全等的等腰梯形. （ √ ）2.一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是正五棱柱.3.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，指出经过顶点D 的棱和面.棱DA 、DC 、1DD面ABCD 、面11ADD A 、面11CDD C4. 如图，下列几何体中为棱柱的是___(1) (3)(5)___________（填写序号）。
多面体与旋转体 高二数学(沪教版2020必修第三册)
与平面上的正多边形类似，在空间中可以考虑正多面体．如果一个 多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的 棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体（ｒｅｇｕｌａｒｐ ｏｌｙｈｅｄｒｏｎ）．图１１３ １给出了五种不同的正多体．事 实上，用本节“课后阅读”中所介绍多面体的欧拉定理，可以验证 只有这五种正多面体．
旋转面是大学空间解析几何课程中的 内容之一．我们这里只关注最简单的 情况：一条直线a绕同一平面内的另
一条直线l旋转一周所形成的曲面： 圆柱面或圆锥面．当直线a与直线l平 行时，得到的是圆柱面；当直线a与 直线l相交（但不垂直）时，得到的 是圆锥面（图１１３３）．直线a称
为圆柱面或圆锥面的母线．在圆锥面
课本练习
１．我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑 （nào）”的几何体（见《九章算术》卷第五“商功”之一六），它 指的是由四个直角三角形围成的四面体．用你学过的立体几何知识说 明这种四面体确实存在
如图，先作一个底面为直角三角形的直棱柱AEF—BDC，其中∠BCD 是直角。 用平面ACD截此直三棱柱，则几何体A-BCD就是满足要求的“鳖臑”，这是 因为AB⊥平面BCD，所以△ABD、△ABC是直角三角形；又已知∠BCD为直 角，所以△BCD是直角三角形；最后，由CD⊥平面ABCF，推出CD⊥CA，即 ∠ACD为直角，所以△ACD是直角三角形。这样几何体A—BCD的四个面都是 直角三角形，即它是一个“鳖臑”。
我们迄今所见的多面体（如棱柱、棱锥、正多面体等）都是简单多 面体．但要构造一个非简单多面体也不难．如图１１-３-４，这是 一个中间有一个长方体空洞的十六面体，往这样的橡胶多面体充气， 得到的是一个游泳圈，而不是球．算一算，对于图１１- ３- ４的 多面体，V＋F－E等于多少．
11.3 多面体与旋转体(课件)高二数学(沪教版2020必修第三册)
空间几何体的相关概念 观察 如图示，这些图 片中的物体具有怎样的 形状? 在日常生活中， 我们把这些物体的形状 叫做什么? 如何描述它 们的形状?
认识旋转体：
直棱柱
多面体
棱柱
斜棱柱
棱锥
Hale Waihona Puke 几何体旋转体 …其它
七面体
八面体
练习：若将图中的平面图形旋转一周，试说出它 形成的几何体的结构特征．
解：将图中的平面图形旋转一周，形成的几何体 是圆锥、圆台和圆柱的组合体，并且圆锥底面与 圆台的下底面重合，圆柱的上底面和圆台的上底 面重合．
在我们周围存在着各种各样的物体，它 们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些 物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那 么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空 间几何体.
多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．如图
★ 多面体的面：围成多面体的各个多边形 叫做多面体的面； ★ 多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体 的棱； ★ 多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面 体的顶点.
认识多面体：
正多面体只有5个：
拓展 多面体由平面多边形围成，这里的多边形包括它内部的平面部分； 多面体至少有4个面；
各个面是相同的正多边形的多面体叫做正多面体，正多面体有如 下五种——
正四 面体
正六面体 正八 正方体 面体
正十二 正二十
面体
面体
旋转体
一条平面曲线(包括直线)绕它所在的平面内的一条定直 线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何 体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.
多面体与旋转体的表面积和体积
版
面．
数 学
一个投影面水平放置，叫做水平投影面，光线从几何
体的上面向下面正投影，投射到这个平面内的图形叫做俯
视图．
一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影
面；光线从几何体的前面向后面正投影，投射到这个平面
内的图形叫做正视图．
第九章 立体几何
和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投
影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，光线从几
答案：D
第九章 立体几何
[例4] 已知四棱锥P－ABCD的直观图及三视图如图所
示．
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
人 教
A
(2)若E是侧棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
版 数
学
(3)若E是侧棱PC上的动点，不论点E在什么位置，是
否都有BD⊥AE？证明你的结论．
第九章 立体几何
解析：(1)由该四棱锥的直观图和三视图可知，该四棱
定的平面表示水平平面．
第九章 立体几何
③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观
图中分别画成平行于x′轴，y′轴、z′轴的线段．并使它们和
所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标
轴的位置关系相同．
人 教
A
④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保
版 数
学
持长度不变，平行于y轴或在y轴上的线段，长度为原来的
做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球．
(2)球的截面性质
人 教
A
①用一个平面去截球，截面是圆面．
版 数
学
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有
下面的关系：
(如图)
多面体与旋转体复习题63
63．球
一、典型例题
1． 把地球看作半径为R 的球，A 、B 是北纬a 度圈上的两点，它们的经度差为b ，求A 、B
两点间的球面距离。
[2Rarcsin(xos α·sin β/2)]
2． 圆锥和一个球面相交，球心是圆锥的顶点，半径等于圆锥的高，若圆锥的侧面积被球与圆
锥侧面的交线所平分，求圆锥母线与底面所成角的大小。
[45°]
3． 过半径为R 的球面上一点作三条两两垂直的弦MA 、MB 、MC ，①求证：MA 2＋MB 2＋
MC 2为定值；②求三棱锥M －ABC 体积的最大值。
[4R 2、327
34R ] 4． 已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面
积最大？侧面积的最大值是多少？[R 2]
5． 如图，A 为直线y=3
3x 上一点，AB ⊥x 轴于B ，半圆的圆心O '在x 轴的正半轴上，且半圆与AB 、AO 相切，已知⊿ABO 绕x 轴旋转一周形成的几何体的体积为π39，求阴影部分旋转成的几何体积和表
面积。
[5π3、39π]
6． 已知一个圆锥和一个圆柱的底面在同一个平面内，且有一个公共的内切球，①求证：它们
的体积不可能相等；②若V 锥＝kV 柱，求k 的取值范围。
[⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,34]
7． 正四面体的内切球和外接球的半径分别是r 和R ，求r ∶R 。
[1∶3]
8． 如果球、正方体与等边圆柱的体积相等，求它们的表面积S 球、S 正方体、S 柱的大小关系。
[S
球< S 柱< S 正方体]。
多面体与旋转体高考题
第十章 多面体与旋转体考试内容：棱柱(包括平行六面体).棱锥.棱台.多面体. 圆柱.圆锥.圆台.球.球冠.旋转体.体积的概念与体积公理.棱柱、圆柱的体积.棱锥、圆锥的体积.棱台、圆台的体积.球和球缺的体积.考试要求：(1)理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及其有关概念和性质.(2)掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式以及球冠的面积、球缺的体积公式(球缺体积公式不要求记忆)，并能运用这些公式进行计算.(3)了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图.(4)对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题.一、选择题1. (85(1)3分)如果正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，那么四面体A'－ABD 的体积是A.2a 3 B.4a 3C.3a 3D.6a 3 2. (89(3)3分)如果圆锥的底半径为2，高为2，那么它的侧面积是 A.43π B.22π C.23π D.42π3. (89(8)3分)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 A.4 B.3 C.2 D.54. (90(3)3分)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于A.2S SB.πS 2SC.4S S D.πS 4S5. (90上海)设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别为a ，b ，c ，那么这个长方体的对角线长为 A.222222222222c b a 21D.)c b (a 31C.)c b (a 21B.c b a ++++++++ 6. (90广东)一个圆台的母线长是上下底面半径的等差中项，且侧面积为8πcm 2,那么母线长是 A.4cm B.22cm C.2cm D.2cm7. (91上海)设长方体对角线的长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是 A.27332 B.82 C.83 D.1638. (91上海)设正方体的全面积为24cm 2,一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是A.6πcm 3B.34πcm 3C.38πcm 3D.332πcm 39. (91三南)设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为A.63B.23C.33D.2 10. (91三南)体积相等的正方体、球、等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的全面积分别为S 、S ′、S",那么它们的大小关系是 A.S ＜S ′＜S" B.S ＜S"＜S ′ C.S ′＜S"＜S D.S ′＜S ＜S"CD AB D' A' B'C'11. (92(5)3分)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是 A.6:5 B.5:4 C.4:3 D.3:2 12. (92(18)3分)长方体的全面积为11，十二条棱长之和为24，则这个长方体的一条对角线长为A.23B.14C.5D.6 13. (92上海)下列命题中的真命题是 A.各侧面都是矩形的棱柱是长方体B.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.各侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥D.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是正四棱台 14. (92三南)在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AB ＝BC ＝a ，AA ′＝2a ，那么A 点到直线A ′C 的距离等于A.362 aB.263 aC.323a D.36a15. (92三南)有一条半径为2的弧，度数是60°,它绕过弧中点的直径旋转得一个球冠，那么这个球冠的面积是 A.4(2－3)π B.2(2－3)π C.43π D.23π 16. (92三南)若等边圆柱的体积是16πcm 2，则其底面半径为A.432cmB.4cmC.232cmD.2cm17. (93(3)3分)当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时，圆锥的轴截面顶角是A.45°B.60°C.90°D.120° 18. (93(13)3分)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是．． A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 19. (93(14)3分)如果圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是A.3)61(πB.3)31(π C.3)41(π D.4π)41(320. (93上海)设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体； 丙：直四棱柱是平行六面体； 以上命题中真命题的个数是： A.0 B.1 C.2 D.321. (94(7)4分)圆柱正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 A.323 B.283 C.243 D.20322. (94(13)5分)圆柱过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是 A.916π B.38π C.4π D.964π 23. (95(4)4分)正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是A.3a 2πB.2a 2π C.2πa 2 D.3πa 224. (95上海)设棱锥的底面面积为8cm 2，那么棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行于底面的截面)的面积是 A.4cm 2 B.22cm 2 C.2cm 2 D.2cm 225. (96(9)4分)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D －ABC的体积为A.6a 3B.12a 3C.12a 33D.12a 2326. (96(14)5分)母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角φ等于A.322π B.332π C.2π D.362π 27. (97(8)4分)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 A.202π B.252π C.50π D.200π28. (97(12)5分)圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是A.332πB.23πC.637πD.337π29. (98(8)4分)已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A.120°B.150°C.180°D.240° 30. (98(9)4分)如果棱台的两底面积分别为S ，S'，中截面积是S 0，那么A.2')('00SS S B S S S =+= C.2S 0＝S ＋S' D.S 02＝2SS' 31. (98(10)4分)向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是 A. B. C. D. 32. (98(13)分)球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆面积为4π，那么这个球的半径为A.43B.23C.2D.333. (99(7)4分)若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 A.63cm B.6cm C.2318cm D.3312cm34. (99(10)4分)如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF＝23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为 A.29 B.5 C.6 D.215 35. (99(12)5分)如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分成上下两个圆台，它们的侧面积之比为1:2，那么R ＝ A.10 B.15 C.20 D.2536. (2000安徽(5)4分)一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是 A.1:3 B.2:3 C.1:2 D.2:9 37. (2000⑶5分)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是 A.23 B.32 C.6 D.638. (2000⑼5分)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是A.ππ221+B.ππ441+C.ππ21+D.ππ241+39. (2000⑿5分)如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为A.arccos 321B.arccos 21H hVOC.arccos21 D.arccos42140. (2000上海(14)4分)设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：⑴若a∥α，b∥α，则a∥b； ⑵若a∥α，a∥β，则α∥β； ⑶若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 41. (2001(3)5分)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是A ．6πB ．π33C ．3πD ．9π二、填空题1. (86(13)4分)在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0，0)，(1，0)，(2，1)，(0，3)，则这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积为___________.2. (87(15)4分)一个正三棱台的下底和上底周长分别为30cm 和12cm ，而侧面积等于两底面积之差，则斜高为_________.注:满足条件“侧面积等于两底面积之差”的三棱台不存在，只有“压缩”成平面图形方可，而此时所求“斜高”实为内、外两正方形(上、下底)对应边的距离.3. (90(20)3分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，那么V 1:V 2＝______.4. (90上海)已知圆锥的中截面周长为a,母线长为l ，则它的侧面积等于____ 5. (91(18)3分)已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于________.6. (91(20)3分)在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ，那么这个球面的面积是_________.7. (91上海)一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积与球的体积的比值为___________8. (91三南)在体积为V 的三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，已知S 是侧棱CC ′上的一点，过点S 、A 、B 的截面截得的三棱锥的体积为V ′,那么过点S 、A ′、B ′的截面截得的三棱锥的体积为__________9. (91三南)已知圆台的上下底面半径分别为r 、2r ，侧面积等于上下底面面积之和，则圆台的高为__________10. (92上海)已知圆台下底面半径为8cm,高为6cm ，母线与底面成45°角，那么圆台的侧面积为_________(cm 2)(结果保留π) 11. 如(92上海)图，直平行六面体A ′C 的上底面ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，侧面为正方形，E 、F 分别为A ′B ′、AA ′的中点，M 是AC 与BD 的交点，则EF 与B ′M 所成的角的大小为_________(用反三角函数表示) 12. (92三南)已知三棱锥A －BCD 的体积为V ，棱BC 的长为a ，面ABC 和面DBC 的面积分别为S 、S ′，设面ABC 和面DBC 所成二面角为α，则sin α＝_____________ 13. (93(20)4分)在半径为30m 的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光成圆锥形，其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，其高度应为______(精确到0.1m) 14. (93上海)已知圆台的上下底半径分别是10cm 和20cm ，他的侧面展开后所得扇形的圆心角是180°,那么圆台的侧面积是______cm 2(保留π)15. (94(19)4分)设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB 的距离为3，AB 和圆锥轴的距离为1，则该圆锥的体积为________.16. (94上海)有一个实心圆锥体的零件，它的轴截面是边长为10cm 的等边三角形，现在要在它的整个表面镀上一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价格是0.10元，则需要费用_____元17. (95(17)4分)已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的BACDD'C' B'A' M F E角为3π，则圆台的体积与球的体积之比为________. 18. (95上海)把圆心角为216°，半径为5分米的扇形铁皮焊成一个锥形容器(不计焊缝)，那么容器的容积是_________立方分米(结果保留两位小数)19. (96上海)如图，在正三角形ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的几何体的体积为V ，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是___________ 20. (96上海)把半径为3cm ，中心角为π的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为_________cm 3(结果保留π)21. (97上海)设正四棱锥底面边长为4cm ，侧面和底面所成的二面角为60°，则这个棱锥的侧面积为___________cm 2 22. (98(18)4分)如图:在直四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A ′C ⊥B ′D ′.(注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形) 23. (99上海)若四面体各条棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是__________(只需写出一个可能的值)24. (2000安徽(16)4分)右图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长是_________.25. (2000安徽(18)4分)在空间，下列命题正确的是____________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)①如果两条直线a 、b 分别与直线l 平行，那么a ∥b②如果一条直线a 与平面β内的一条直线b 平行，那么a ∥β ③如果直线a 与平面β内的两条直线b 、c 都有垂直，那么a ⊥β ④如果平面β内的一条直线a 垂直平面γ，那么β⊥γ26. (2000⒃4分)如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是__________________.(要求：把可能的图的序号都．填上) 27. (2000上海(7)4分)命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且_________的三棱锥是正三棱锥.28. (2001(13)4分)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 ．29. (2001北京(13)4分)已知球内接正方体的表面积为S ，那么球体积等于__________。
多面体与旋转体
E
A
C
圆柱
圆柱：矩形绕其一边所在直线旋转一周所形 成的几何体。
圆柱
轴
侧面
母线 母线
底面
圆锥
圆锥：直角三角形绕其一条直角边所在的直 线旋转一周所形成的几何体。
圆锥
顶点
轴
侧面
母线 母线
底面
球
球：半圆以半圆的直径所在的直线旋转一周， 所形成的几何体。
（1）球面上的点到球心的距离都相等. （2)一球的半径都相等，直径都是半径的2倍. （3）一球只有一个球心. （4）球也可以看作是空间内到定点的距离为 定长的点的轨迹
大圆：经过球心的截面。 小圆：不经过球心的截面。 大圆的有关性质： （1）一球的各大圆都相等； （2）大圆平分球； （3）球的两大圆必相交且互分为半圆.
1.判断：有一个面是多边形,其余各面 都是三角形的几何体是棱锥. ( ) 2.有四个命题：① 各侧面是全等的等腰三角 形的四棱锥是正四棱锥；② 底面是正多边形 的棱锥是正棱锥；③ 棱锥的所有侧面可能都 是直角三角形；④ 四棱锥的四个侧面中可能 四个都是直角三角形。其中正确的命题 有 ③④ .
球与平面之间的性质： （1）用一个平面去截一个球，截面都是圆面. （2）当平面通过球心时，所得截线是大圆. （3）当平面不通过球心时，所得截线是小圆. （4）球心和截面的圆心的连线垂直于截面. （5）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r 有如下的关系： 2 2
r= R d
S 公共点 面侧 侧面：底面 上棱 外的面 的不 C D 棱在 高：顶点与底 。底 A B 面之间距离。 底面：棱锥的多边形的面
棱锥的记法: 棱锥S-ABCD 等
多面体与旋转体复习题64
64．折、转、展一、典型例题1． 长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的32倍，把它折成正三棱锥的侧面，使AD 与BC 重合，而长方形对角线AC 与折痕EF 、GH 分别交于M 、N ，求平面AMN 与底面所成的角。
[30°]2． 一扇形铁皮AOB ，半径OA ＝72 cm ，圆心角AOB ＝60°，现剪下一个扇环ABCD 做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形COD 内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台的下底面大于上底面），则OC 应取多少？[36 cm]3． 三棱锥P －ABC 中，AP ＝AC ，PB ＝2，将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P 1P 2P 3A ，①求证：侧棱PB ⊥AC ；②求侧面PAC 与底面ABC 所成的角θ的余弦。
[4/5]4． 直角三角形ABC 所在平面内有一条过直角顶点C 的直线l ,且三角形在l 的一侧，求⊿ABC以l 为轴旋转一周所得旋转体体积V 的最大值。
[3πabc] 5． 直三棱柱底面为Rt ⊿ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝15°，把这个棱柱的两个侧面C 1CAA 1和C 1CBB 1展开铺平在一个平面内，若C 1A ⊥C 1B ，求棱柱的侧面积和体积。
[2+6]6． 如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝a,BC=3a ，E 是BC 边上一动点，以DE 为棱把⊿CDE 折起，使其成直二面角C －DE －A ，求四棱锥C －ABED 体积的最大值。
[332a ] 7． 在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将此矩形沿对角线BD 折成直二面角，求A 到BC的距离；②BC 与AD 所成的角。
[413、arccos 43]。
考点38多面体旋转体及有关计算
例题分析
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变式练习
考点38 多面体、旋转体及有关计算
典例剖析 【例1】【例2】 【例3】 【例4】【例5】 方法总结
【例1】已知正四棱锥的高等于3 cm,底面边长为8 cm,求侧面积以及侧面与底面所 成二面角的正切值.
【解】如图所示，连接AC,BD交于点O,取BC的中点E,
连接VO,VE,OE,则VO 平面ABCD，VE BC,OE BC，
（ C）
（ C）
A. 1 πQ B. 1 πQ C.πQ D.2πQ
3
2
【提示】轴截面Q 2rl,则S侧 2 rl Q.
基础过关
考点38 多面体、旋转体及有关计算
5.已知球的表面积为144π,则球的体积为
A.48πB.192πC.162πD.288π
【提示】 S球 4 R2 144 , R 6,
【分析】圆柱的侧面积就是矩形ABCD 的面积，求圆柱的体积，关键是求出圆 柱的底面半径.
例题分析
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变式练习
考点38 多面体、旋转体及有关计算
典例剖析 【例1】【例2】 【例3】 【例4】【例5】 方法总结
【例3】已知圆柱的侧面展开图是一个矩形ABCD，其中AD是一条母线， 且矩形的对角线AC 8cm，BAC 30，求该圆柱的侧面积和体积. 【解】设圆柱底面半径为r.
典例剖析 【例1】 【例2】【例3】 【例4】【例5】 方法总结
【变式训练3】已知圆柱的轴截面的面积为4，高为2，求圆柱的侧面积和体积.
解：设圆柱的底面半径为r， 由题意得2r 2 4，解得r 1，
S侧 2 rl 2 1 2 4 , V r 2h 12 2 2 .
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考点38 多面体、旋转体及有关计算
多面体与旋转体1411棱柱
AC 2 AC 2 CC '2 AB2 BC 2 CC '2 AA' CC' , AD BC,
故
故AC AB AD AA
'2 2 2
'2
应 用
14.1.1棱柱
例2一个长方体的长是5cm,宽是4cm，高是 2 10 cm ，求对角线的长
解 :
d 5 4 (2 10) 81,
a ,求它的对角线长。
4. 已知正方体的对角线长为 4 3cm ,求它的棱长。Βιβλιοθήκη 应 用14.1.1棱柱
定理 长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长 的平方和。 ' ' ' ' AC ' 是一条对角线,求证： 已知，在长方体 ABCD A B C D 中，
AC AB AD AA
'2 2 2
'
'2
解 :连接AC, 可知CC ' AC, AC 2 AB2 BC 2
性质
14.1.1棱柱
（1）棱柱的每一个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直 棱柱的每个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 （2）两个底面与平行底面的截面是对应边互相平行的全等多边形 （3）过不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形
棱柱特例 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体 侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体 ，底面是矩形 的直平行六面体叫做长方体 棱长都相等的长方体叫做正方体
2 2 2 2
d 9cm
14.1.1棱柱
教材练习14.1
1. 四棱柱集合、平行六面体集合、直平行六面体集合、长方体 集合、正方体集合之间有怎样的包含的关系？用图表示出来。 2. 已知长方体的一个顶点上的三条棱长 ,求它的对角线 （1） a 1cm, b 2cm, c 3cm （2） a 2cm, b 2cm, c 2cm （3） a 5cm, b 7cm, c 4cm 3. 已知正方体的棱长为
《立体几何初步》复习
4.(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形， 平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
√B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
5 5.
即
AO
与平面
ABCD
所成角的正切值为
5 5.
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
解 由(1)可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
反思 感悟
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的 夹角). (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法； ③垂面法.
(2)BE∥平面PAD；
证明 因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD. 又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF， 所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD.
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高三数学测试题—多面体和旋转体（11）一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．三棱锥的三个侧面与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影一定是底面三角形的 （ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心2．正三棱锥S —ABC 的侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，体积为V ，A ′、B ′、C ′分别是SA 、 SB 、SC 上的点，且SC C S SB B S SA A S 41,31,21='='='，则三棱锥S —A ′B ′C ′的体 积为（ ）A ．V 91B ．V 121C ．V 241 D ．V 7213．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于 （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．把边长为4和2的一个矩形绕其一边卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的体积为 （ ）A ．16πB ．8πC ．16π或8πD ．16π或32π5．正四棱台的上、下底面边长分别为1cm ，3cm ，侧棱长为2cm ，则棱台的侧面积为（ ）A ．64B ．68C ．34D ．386．圆台上、下底面边长分别为1和7，作与两底平行的截面，且截面与上、下两底距离之比 为1∶2，则截面的面积为（ ）A ．π37B ．π73C ．π964 D ．π387．圆锥的顶角为120°，高为a ，用过顶点的截面去截圆锥，则截面的最大面积为（ ）A ．a 2B ．2a 2C ．23aD ．4a 28．若四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA=a ，PB=PD=a 2，则在它的 五个面中，互相垂直的面共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对9．已知：圆柱的底面半径为1，高为4，则它的内接正三棱柱的体积等于 （ ）A ．233 B ．23 C ．33 D ．4310．一个正四面体外切于球O 1，同时内接于球O 2，则球O 1与球O 2的体积之比为（ ）A ．1∶27B ．1∶66C ．1∶8D ．1∶3311．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1，3,2，则此三棱锥的外接球面积是（ ）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π12．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为1，P 是侧棱BB 1上的一点，则四棱锥P —ACC 1A 1的体积是（ ）A ．31B ．32 C ．41 D ．43 二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．正四面体的棱长为a ，对棱之距为b ，则ba= . 14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，直线l与平面△ABC 在同一平面内，且过B 点，l ⊥AB ，△ABC 绕直 线l 旋转一周所得几何体的体积为 .15．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为 . 16．圆台母线与底面成α角，半径为R 的球内切于圆台，则球面被圆台分成的两部分面积之比是 . 三、解答题17．（本题满分12分）如图，四棱锥ABCD 的底面是正方形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，截面AEKH ⊥SC.求证：E 、H 在以AK 为直径的圆上.lA 1B 1C118．（本题满分12分）斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA1和AB、AC都成45°的角，求棱柱的侧面积和体积.19．（本题满分12分）如图在四面体ABCD中，AB=AC=AD=2a，且AB、AC、AD两两互相垂直，E、F分别是AB、AC的中点.求平面BCD与平面EFD所成二面角的正切值.F20．（本题满分12分）过半径为R的球面上一点P引三条长度相等的弦PA、PB、PC，它们间两两夹角相等.（Ⅰ）若∠APB=2α，求弦长：（Ⅱ）求三棱锥P—ABC体积的最大值.21．（本题满分12分）圆锥底面半径为R，母线与底面夹角为2α，第一个球与圆锥底面和侧面都相切，第二个球与第一个球和圆锥侧面都相切，如此继续下去，当这些球的个数无限增多时，求所有球的体积之和.22．（本题满分14分）正三棱台有一内切球，若内切球的面积与这棱台的全面积之比为 32∶39，求棱台的侧面与底面所成角的大小.高三数学测试题参考答案十一、多面体和旋转体一、1.A 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10.A 11.A 12.B 二、13．2 ； 14．π3320； 15．V 31 ； 16．)cos 1(:)cos 1(αα+-三、17．（1）证明：∵SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，∴BC ⊥侧面SAB ，AE ⊂侧面SAB ，∴AE ⊥BC ，又∵SC ⊥截面AEKH. ∴AE ⊥SC ，∴AE ⊥侧面SBC ，∴AE ⊥KE ，同理AH ⊥HK. ∴A 、E 、K 、H 四点共同，且AK 是圆的直径.18．解：如图，过B 作BM ⊥AA 1，垂足为M ，连结CM. ∵侧棱AA 1和AB 、AC 都成45°，∴△AMB ≌△CMA ，∴CM ⊥AA 1，于是截面 MBC 是斜三棱柱的直截面.由已知a CM BM 22==.∴斜棱柱的侧面积.41.)12()222(2b a V ab b a a S =+=⋅+⋅=体积侧 19．解：∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF ∥底面BCD.设平面EFD ∩平面BCD=l ，取EF 、BC 的中点分别为M 、N ，连结DM 、DN.∵AB=AC=AD=2a ，且AB 、AC 、AD 两两重直，∴BC=CD=BD=a 22， DE=DF=a 5，且DM ⊥EF ，DN ⊥BC. 又∵EF ∥BC ∥l ，∴DM ⊥l ，DN ⊥l . ∴∠MDN 就是平面BCD与平面EFD 所成二面角的平面角. 在△MND 中，aa a FM DF DM 2232152222⋅=-=-=，a BC DN 623==. 连结AN ，则AN 必过M 且.2221a AN MN ==.3352cos 222=⋅-+=∠∴DN DM MN DN DM MDN .52=∠∴M D N tg20．（1）如图（见题图），由PA=PB=PC ，且∠APB=∠BPC=∠CPA ，知三棱锥P —ABC 是一个正三棱锥，作其高PO ′则O ′为正△ABC 的中心，显然球心O 也在PO ′所在的直线上. 设,..sin 2,2,,O P O B m AB APB m PB h O P '⊥'=∴=∠==' αα且αsin 23333m AB O B ==' 又222222)sin 332(,m h m PB O O B O =+='+'α即 ① 又∵过PO ′与PB 的平面截球的截面为球的大圆，延长PO ′交球面于Q ，则PB ⊥BQ..2,22R h m PQ O P PB ⋅=⋅'=∴即 ② 把②代入①消去h ，整理得224224sin 34mR m m =+α，).sin 43(34)sin 341(422222αα-=-=∴R R m .sin 433322α-=∴R m 此即为所求的弦PA 、PB 、PC 的长.（2）22433)3(43,,31n n S n O B h S V ABC ABC ABC P ==='=∆∆-则设， h h R h h n V ABC P )2(43432-==∴- 332738)324(83)24(83R h R h h h h R h =-++≤⋅-= 当且仅当h R h24-= 即R h 34=时取等号. ∴当圆锥的高等于R 34时，其体积取得最大值32738R21．解：作出满足题条件的轴截面图形（如图），圆锥的高SO 通过球心O 1、O 2、O 3…，设它们与圆锥侧面相切的切点分别是E 、F 、G ….球的半径分别是r 1、r 2、r 3….于是便有：r 1=Rtg α，在Rt △SO 2F 中， r 2=SO 2cos2α，又∵SO 2=SO －NO 2=Rtf2α－2r 1－r 2，∴r 2=（R ·tg2α，2Rte α－r 2）·cos2α，∴r 2=Rtg 3α. 同理r 3=Rtg 5α… ∴ααπαααπ63315933134)(34tg tg R tg tg tg R V -⋅=+++⋅=.)1(34633ααπtg tg R -=22．解：如图，球K 内分于三棱台ABC —A 1B 1C 1，O 1、 O 2为棱台上下底面中心， N 1、O 、O 2三点共线，迆 A 1A 、O 1O 作截面交B 1C 1BC 二D 1、D ，则球的大圆O 切AD 、D 1D 、A 1D 1于N 2、E ，O 1，设棱台上、下底面边长分为3a 、3b ，刘O 1D 1=2)3(63a a =， 2)3(632bb D O ==，).(212111b a D O D O D D +=+=过D 1作D 1F ⊥O 2D 于F ，则)(21a b DF -=ab a b b a DF D D F D O O =--+=-==∴22221121)(41)(41 设棱台的侧面与底面所成 的角为α，则.sin 4)(.)(4sin ,2sin 222211αααab b a b a ab b a ab D D F D =+∴+=∴+==ab ab O O S πππ===∴2221)2(4)2(4球. )33(43)(21)33(21322b a b a b a S ++++=棱台全 ]2)(2[433)]()[(4332222ab b a b a b a -+=+++=)1sin 4(233]sin 4[23322-=-=ααab ab ab .3932sin sin 4233.sin sin 42332222πααπαα=-=∴-=ab ab S S ab 棱台全球 13sin sin 4322=-∴αα，由此解得︒=∴=∴︒<<=60.23sin ,900.43sin 2αααα .21题图 22题图即棱台的侧面与底面所成的角为60°。