多面体和旋转体试题1

高三数学测试题—多面体和旋转体（11）

一、选择题（本题每小题5分，共60分）

1．三棱锥的三个侧面与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影一定是底面三角形的 （ ）

A ．内心

B ．外心

C ．重心

D ．垂心

2．正三棱锥S —ABC 的侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，体积为V ，A ′、B ′、C ′分别是SA 、 SB 、SC 上的点，且SC C S SB B S SA A S 4

1

,31,21='='='，则三棱锥S —A ′B ′C ′的体 积为

（ ）

A ．V 9

1

B ．V 12

1

C ．V 24

1 D ．V 72

1

3．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于 （ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

4．把边长为4和2的一个矩形绕其一边卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的体积为 （ ）

A ．16π

B ．8π

C ．16π或8π

D ．16π或32π

5．正四棱台的上、下底面边长分别为1cm ，3cm ，侧棱长为2cm ，则棱台的侧面积为（ ）

A ．64

B ．68

C ．34

D ．38

6．圆台上、下底面边长分别为1和7，作与两底平行的截面，且截面与上、下两底距离之比 为1∶2，则截面的面积为

（ ）

A ．π3

7

B ．π73

C ．

π9

64 D ．π3

8

7．圆锥的顶角为120°，高为a ，用过顶点的截面去截圆锥，则截面的最大面积为（ ）

A ．a 2

B ．2a 2

C ．2

3a

D ．4a 2

8．若四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA=a ，PB=PD=a 2，则在它的 五个面中，互相垂直的面共有

（ ）

A ．3对

B ．4对

C ．5对

D ．6对

9．已知：圆柱的底面半径为1，高为4，则它的内接正三棱柱的体积等于 （ ）

A ．

2

3

3 B ．23 C ．33 D ．43

10．一个正四面体外切于球O 1，同时内接于球O 2，则球O 1与球O 2的体积之比为（ ）

A ．1∶27

B ．1∶66

C ．1∶8

D ．1∶33

11．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1，3,2，则此三棱锥的外接球面积是（ ）

A ．6π

B ．12π

C ．18π

D ．24π

12．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为1，P 是侧棱BB 1上的一点，则四棱锥P —ACC 1A 1的体

积是

（ ）

A ．

31

B ．

3

2 C ．

4

1 D ．

4

3 二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．正四面体的棱长为a ，对棱之距为b ，则

b

a

= . 14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，直线l

与平面△ABC 在同一平面内，且过B 点，l ⊥AB ，△ABC 绕直 线l 旋转一周所得几何体的体积为 .

15．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、

CC 1上的点，且AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为 . 16．圆台母线与底面成α角，半径为R 的球内切于圆台，则球面被圆台

分成的两部分面积之比是 . 三、解答题

17．（本题满分12分）如图，四棱锥ABCD 的底面是正方形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，截面

AEKH ⊥SC.求证：E 、H 在以AK 为直径的圆上.

l

A 1

B 1

C

1

18．（本题满分12分）斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA1和AB、AC都成45°的角，求棱柱的侧面积和体积.

19．（本题满分12分）如图在四面体ABCD中，AB=AC=AD=2a，且AB、AC、AD两两互相垂直，E、F分别是AB、AC的中点.求平面BCD与平面EFD所成二面角的正切值.

F

20．（本题满分12分）过半径为R的球面上一点P引三条长度相等的弦PA、PB、PC，它们间两两夹角相等.（Ⅰ）若∠APB=2α，求弦长：（Ⅱ）求三棱锥P—ABC体积的最大值.

21．（本题满分12分）圆锥底面半径为R，母线与底面夹角为2α，第一个球与圆锥底面和侧面都相切，第二个球与第一个球和圆锥侧面都相切，如此继续下去，当这些球的个数无限增多时，求所有球的体积之和.

22．（本题满分14分）正三棱台有一内切球，若内切球的面积与这棱台的全面积之比为 3

2∶39，求棱台的侧面与底面所成角的大小.

高三数学测试题参考答案

十一、多面体和旋转体

一、1.A 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10.A 11.A 12.B 二、13．

2 ； 14．

π33

20

； 15．

V 3

1 ； 16．)cos 1(:)cos 1(αα+-

三、17．（1）证明：∵SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，∴BC ⊥侧面SAB ，AE ⊂侧面SAB ，

∴AE ⊥BC ，又∵SC ⊥截面AEKH. ∴AE ⊥SC ，∴AE ⊥侧面SBC ，∴AE ⊥KE ，同理AH ⊥HK. ∴A 、E 、K 、H 四点共同，且AK 是圆的直径.

18．解：如图，过B 作BM ⊥AA 1，垂足为M ，连结CM. ∵侧棱AA 1和

AB 、AC 都成45°，∴△AMB ≌△CMA ，∴CM ⊥AA 1，于是截面 MBC 是斜三棱柱的直截面.由已知a CM BM 2

2==.

∴斜棱柱的侧面积.4

1

.)12()222(2b a V ab b a a S =+=⋅+⋅

=体积侧 19．解：∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF ∥底面BCD.设平面EFD ∩平面BCD=l ，取EF 、BC 的中点

分别为M 、N ，连结DM 、DN.∵AB=AC=AD=2a ，且AB 、AC 、AD 两两重直，∴BC=CD=BD=a 22， DE=DF=

a 5，且DM ⊥EF ，DN ⊥BC. 又∵EF ∥BC ∥l ，∴DM ⊥l ，DN ⊥l . ∴∠MDN 就是平面BCD

与平面EFD 所成二面角的平面角. 在△MND 中，a

a a FM DF DM 2

232152222⋅=-=-=

，

a BC DN 623==

. 连结AN ，则AN 必过M 且.2

221a AN MN ==

.3

352cos 222=⋅-+=∠∴DN DM MN DN DM MDN .

52=∠∴M D N tg

20．（1）如图（见题图），由PA=PB=PC ，且∠APB=∠BPC=∠CPA ，知三棱锥P —ABC 是一个正三棱锥，

作其高PO ′则O ′为正△ABC 的中心，显然球心O 也在PO ′所在的直线上. 设,..sin 2,2,,O P O B m AB APB m PB h O P '⊥'=∴=∠==' αα且αsin 23

3

33m AB O B ==' 又222222)sin 3

3

2(

,m h m PB O O B O =+='+'α即 ① 又∵过PO ′与PB 的平面截球的截面为球的大圆，延长PO ′交球面于Q ，则PB ⊥BQ.

.2,22R h m PQ O P PB ⋅=⋅'=∴即 ② 把②代入①消去h ，整理得

22

4224sin 34m

R m m =+α，).sin 43(34)sin 341(422222αα-=-=∴R R m .sin 433

3

22α-=

∴R m 此即为所求的弦PA 、PB 、PC 的长

.