数列知识点及常用结论
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结一、基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, …,an来表示，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的数称为项，n称为项数。
2. 数列的类型数列可以根据项的规律和性质进行分类，主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其序号之间的关系的公式，通常用an或者Un 表示第n个项，用n表示项数。
数列的通项公式可以根据数列的类型和性质进行求解。
二、等差数列1. 定义如果一个数列满足任意相邻两项之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列，差值为d。
2. 性质（1）通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）前n项和：等差数列的前n项和Sn= (a1+an) * n /2。
（3）求和公式推导：对于等差数列Sn= (a1+an) * n /2，可用数学归纳法进行证明。
3. 等差数列的应用等差数列在数学和现实生活中有着重要的应用，如计算机算法中的序列求和、物理学中等速直线运动、金融学中的等额本息贷款等。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的任意相邻两项的比值都相等的数列，比值为q。
2. 性质（1）通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（2）前n项和：等比数列的前n项和Sn= (a1*(q^n - 1)) / (q-1)。
3. 等比数列的应用等比数列在数学和现实生活中也有着重要的应用，如复利计算、生物学中种群增长问题、物理学中的指数衰减等。
四、递推数列1. 定义递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或几项通过某种规律得到的数列。
2. 性质递推数列的通常是通过递推关系式进行求解，递推数列的解可以是显式公式和递推公式。
3. 递推数列的应用递推数列是数学中的重要概念，它在代数、离散数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
五、常见数列形式1. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第n项等于其前两项之和的数列，通常用F(n)表示，前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …2. 调和数列调和数列是指数列中的每一项是调和级数的一部分的数列，通常用H(n)表示，前几项为1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …2. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项之间既满足等差数列的条件，又满足等比数列的条件的数列。
数列的有关知识点总结
数列的有关知识点总结一、数列的基本概念1.1 数列的定义数列是指按照一定的顺序排列的一组数，这组数称为数列的项。
数列通常用符号{an}或(an)表示，其中an表示第n个数列的项。
例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个常见的数列，其第n 个项表示为an=n。
1.2 数列的分类根据数列的性质和规律，可以将数列分为不同的类型。
常见的数列包括等差数列、等比数列、等差数列、递减数列、递增数列等。
不同类型的数列具有不同的性质和规律，需要根据具体情况选择适当的方法进行研究和分析。
1.3 数列的通项公式对于某些特定的数列，可以通过观察数列的规律和性质，得到其通项公式。
通项公式可以表示数列的第n个项与n之间的关系，通常用公式an=f(n)表示，其中f(n)为关于n的函数。
通过通项公式，可以方便地计算数列的任意项，从而更好地理解数列的规律和性质。
1.4 数列的性质数列具有许多重要的性质，包括有界性、单调性、敛散性等。
这些性质对于研究数列的规律和性质具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解和分析数列的特点。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列的相邻两项之差是一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如，{1, 3, 5, 7, 9, ...}就是一个等差数列，公差为2。
2.2 等差数列的通项公式对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1为等差数列的首项，d为公差，n为项数。
通过这个通项公式，可以方便地计算等差数列的任意项。
2.3 等差数列的性质等差数列具有许多重要的性质，包括有界性、单调性、求和性质等。
这些性质对于研究等差数列的规律和性质具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解和分析等差数列。
2.4 等差数列的求和公式对于等差数列，有求和公式Sn=n/2(a1+an)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
通过这个求和公式，可以方便地计算等差数列的前n项和。
三、等比数列3.1 等比数列的定义等比数列是指数列的相邻两项之比是一个常数的数列，这个常数称为公比。
数学知识点总结数列
数学知识点总结数列一、数列的定义数列是指按照一定的规律排列在一起的数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项，用a1,a2,a3,…,an,…表示，这些数按照一定的顺序排列。
例如，2,4,6,8,10,…是一个数列，其中的每一项都是偶数，并且每一项比前一项大2。
二、数列的性质1. 通项公式数列中的项之间通常会有一定的规律，如果能够找到这种规律，并且能够用一个公式来表示每一项，则这个公式就被称为数列的通项公式。
例如，数列1,3,5,7,9,…的通项公式为an=2n-1，表示第n项是2n-1。
2. 常数数列如果一个数列的每一项都相等，则这个数列称为常数数列。
常数数列的通项公式为an=c，其中c为某个常数。
3. 等差数列如果一个数列中任意两相邻项之差都相等，则这个数列称为等差数列。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
4. 等比数列如果一个数列中任意两相邻项之比都相等，则这个数列称为等比数列。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
5. 数列的和对于数列a1,a2,a3,…,an,…，如果求这个数列的前n项和Sn=∑(k=1→n)ak，则Sn称为数列的部分和。
如果数列的部分和Sn具有极限，且极限存在，则称这个极限为数列的和。
6. 数列极限数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的前n项和Sn的极限。
如果这个极限存在，则称这个极限为数列的极限。
三、常见的数列类型1. 等差数列等差数列是指数列中任意两相邻项之差都相等的数列。
例如，1,4,7,10,13,…就是一个等差数列，其中公差为3。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列等比数列是指数列中任意两相邻项之比都相等的数列。
例如，3,6,12,24,48,…就是一个等比数列，其中公比为2。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
数列的相关知识点总结
数列的相关知识点总结一、数列的定义数列是按照顺序排列的一组数字。
数列中的每个数字称为这个数列的项，通常用字母来表示数列的项，例如a₁, a₂, a₃, …, aₙ。
其中n代表数列的项数，称为数列的长度或者规模。
数列通常用一个通用公式来表示，这个公式描述了数列中每一项与前一项的关系，通常用递推公式或者递归公式来表示。
例如，斐波那契数列就是一个典型的递推数列，它的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F₁ = 1, F₂ = 1。
二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项的差值是一个常数的数列，这个常数称为公差。
等差数列的通用公式为an = a1 + (n-1)d，其中a₁为第一项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。
等比数列的通用公式为an = a₁ * rⁿ⁻¹，其中a₁为第一项，r为公比，n为项数。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个非常特殊的数列，它的每一项都等于前两项的和。
这个数列的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F₁ = 1, F₂ = 1。
三、数列的性质1. 数列的有界性：如果数列中的所有项都不大于一个常数M，那么这个数列就是有上界的；如果数列中的所有项都不小于一个常数N，那么这个数列就是有下界的。
如果一个数列既有上界又有下界，则称其为有界数列。
2. 数列的单调性：如果数列中任意相邻两项的大小关系保持不变，那么这个数列就是单调数列。
如果数列中的每一项都大于前一项，那么这个数列就是严格递增的；如果数列中的每一项都小于前一项，那么这个数列就是严格递减的。
3. 数列的极限性质：数列的极限是指数列中的项随着项数趋向于无穷大时的极限值。
如果一个数列存在有限的极限，则称其为收敛数列；如果数列的项随着项数趋向于无穷大时趋向于无穷大或者无穷小，则称其为发散数列。
四、数列的求和公式1. 等差数列的求和公式：等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = n/2 * (a₁ + an)，其中Sn表示前n项和，a₁表示第一项，an表示第n项。
数列知识点总结框架
数列知识点总结框架一、数列的概念和性质1. 数列的定义数列是指由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合，常用符号表示为{an}或(a1,a2, a3, …)，其中an表示第n个数。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
2. 数列的常见形式常见的数列形式包括等差数列、等比数列、等差-等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式对于数列{an}，如果能找到一个关于n的表达式an=f(n)，使得对于任意n，an都能用f(n)来表示，则f(n)便为数列的通项公式。
4. 数列的性质数列的性质包括有界性、单调性、极限性等。
其中，有界性指数列的值在一定范围内；单调性指数列中的项是递增或递减的；极限性指数列随着n的增大，其值趋于某一定值。
二、等差数列1. 等差数列的定义等差数列是指数列中的任意两项之间的差都相等的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等差数列的性质等差数列的性质包括前n项和公式、n项倒数和公式、性质及推导等。
3. 等差数列的应用等差数列常用于算术平均数的计算、数列求和、数列前n项和等问题的解答。
三、等比数列1. 等比数列的定义等比数列是指数列中的任意两项之间的比值都相等的数列，其通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 等比数列的性质等比数列的性质包括前n项和公式、无穷项和公式、收敛性等。
3. 等比数列的应用等比数列常用于几何平均数的计算、复利计算、无穷等比数列的求和等问题的解答。
四、递推数列1. 递推数列的定义递推数列是指数列中的每一项都是前面一项的某个函数，其通项公式可以通过前面一项来表示。
2. 递推数列的性质递推数列的性质包括递推关系、递推方程、解法等。
3. 递推数列的应用递推数列常用于递归函数的求解、动态规划问题的解答等。
五、数列求和1. 等差数列求和等差数列的前n项和可用公式S_n=(a1+an)n/2来表示，其中n为项数，a1为首项，an 为末项。
高中数学数列的公式及结论总结
高中数学数列的公式及结论总结1. 数列的定义数列是指按照一定规律排列的一列数，每个数称为数列的项。
数列的一般表示形式为a1,a2,a3,...,a n，其中a n表示数列的第 n 项。
2. 数列的通项公式数列的通项公式是指表示数列第 n 项的公式。
通项公式的推导需要根据数列的规律进行归纳总结，以下是一些常见的数列通项公式。
2.1. 等差数列通项公式等差数列的规律是每一项与它的前一项之间的差值相等。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的第n项为：a n=a1+(n−1)d2.2. 等比数列通项公式等比数列的规律是每一项与它的前一项之间的比值相等。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的第n项为：a n=a1q n−12.3. 斐波那契数列通项公式斐波那契数列是指首项为 1，第二项为 1，从第三项开始，每个数等于它前面两个数之和的数列。
设斐波那契数列的第n项为F n，则它的通项公式为：$$F_n = \\frac{1}{\\sqrt 5}[(\\frac{1+\\sqrt 5}{2})^n - (\\frac{1-\\sqrt5}{2})^n]$$3. 数列的常用结论数列的常用结论是指在运用数列通项公式时可以采用的一些常见结论。
3.1. 等差数列求和公式等差数列前n项和为：$$S_n = \\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$3.2. 等比数列求和公式当|q|<1时，等比数列前n项和为：$$S_n = \\frac{a_1 - a_n q}{1-q}$$当|q|>1时，等比数列前n项和为：$$S_n = \\frac{a_1 q^n - a_n}{q - 1}$$3.3. 等差中项的求法等差数列的等差中项m可以表示为：$$m = \\frac{a_n + a_1}{2}$$3.4. 等比中项的求法等比数列的等比中项m可以表示为：$$m = \\sqrt{a_1 a_n}$$4. 总结数列是数学中一个非常重要的概念，它代表着数学世界中的有序性和规律性。
高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)
数列一、 知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
高中数列知识点总结(附例题)
高中数列知识点总结（附例题）知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项如果 A ＝a ＋b2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)．7．等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最 大 值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值．[难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n .(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n2d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 ∵a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数． ∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0，解得d ≤－22或d ≥2 2. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．解 方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列． 令⎩⎨⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4(n ＋1)－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6. 即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n (n －1)2×(－4) (n ≤6)66＋3(n －6)＋(n －6)(n －7)2×4 (n ≥7)＝⎩⎨⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132 (n ≥7).例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3例5等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ，且7453n nS n T n,则使得n na b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ),由待定系数法求出,再化为等比数列； (3)逐差累加或累乘法.例6 已知数列{}n a 中，113a =，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-，则数列{}n a 的通项公式为例7在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a = .知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项若G 2＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a n q n－m，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，21221nn n n S S S S --=-1.21n S n ⇒=+1111122(2)n n n n n n S S S S n S S ---⇒-=⇒-=≥()()21132214n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-⎩≥13211221, 2.≥n n n n n a a a a a a n a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅2ln n+⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .7. 等比数列的单调性【难点】1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1及前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1)共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．例1：(1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8； (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项． (1)设数列{a n }的公比为q ，由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得： ⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24， ①a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64. ②由②得a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2.，故舍去．当q ＝2时，a 1＝1，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝85.(2)若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾．∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝40， ①a 1(1－q 2n )1－q ＝3 280， ②②①得：1＋q n ＝82，∴q n＝81， ③ 将③代入①得q ＝1＋2a 1. ④又∵q >0，∴q >1，∴a 1>0，{a n }为递增数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝27， ⑤ 由③、④、⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n.(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列． ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12. 又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解 (1)设公比为q ，则a 5a 2＝q 3，即q 3＝－18，∴q ＝－12，∴a n ＝a 5·q n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －4.(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 24，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 规范解答(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1， [1分]当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， [5分]∴{b n }是首项为1，公比为－12的等比数列． [6分](2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， [8分]当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) [10分]＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1， ∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 (n ∈N *)． [14分]例4 （07 重庆11）设11a a -+是和的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）例5 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为（ ）例 6 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形__________.【综合应用】例7.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；22,Z 3k k ππ±∈(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c nb n＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1 (n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎨⎧3 (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.知识点3：数列的基本知识1，1-1)1(n n n n n S S n S a S a -==或的关系：与例1：设{}n a 数列的前n 项和2n S n =，则8a 的值为 15 .2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法①对形如q pa a a a n n +==+11;的递推公式()1.≠p q p 为常数且，可令()λλ+=++n n a p a 1，整理得()λλλ+=+=+n n a p a p q1,1-，所以是{}λ+n a 等比数列②对形如q pa a a n n n +=+1的递推公式，两边取倒数后换元转化为nn a qp a +=+11，再求出⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1即可例2：已知数列{}n a 满足n a a a n n 2-,3311==+，则na n的最小值为 10.5。
数列高考知识点大全总结
数列高考知识点大全总结一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有限或无限个数按照一定的顺序排列组成的。
用数学语言描述就是一个由实数构成的序列。
一般用字母或符号表示，如{an}、{bn}等。
2. 数列中的相关概念（1）通项公式：数列中的第n个数的一般表达式，通常用an表示。
（2）前n项和：数列前n项的和，通常用Sn表示。
3. 数列的分类（1）等差数列：若数列中相邻两项的差恒定，称其为等差数列。
其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）等比数列：若数列中相邻两项的比恒定，称其为等比数列。
其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（3）常数数列：数列中的每一项都相等的数列称为常数数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：当数列中的数有上界和下界时，称其为有界数列。
（2）无界数列：当数列中的数没有上界和下界时，称其为无界数列。
2. 数列的单调性若数列中的每一项都满足an≤an+1或者an≥an+1时，称其为单调递增数列或者单调递减数列。
3. 数列的性质（1）数列的线性组合：若an和bn是两个数列，k和m是任意常数，那么k*an+m*bn 也是一个数列。
（2）数列的绝对值：若an是一个数列，那么|an|也是一个数列。
三、常见数列1. 等差数列（1）性质：等差数列的前n项和Sn=a1*n+n(n-1)d/2。
（2）求通项公式：an=a1+(n−1)d。
（3）常用公式：Sn=n/2(a1+an)。
2. 等比数列（1）性质：等比数列的前n项和Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，|q|>1。
（2）求通项公式：an=a1*q^(n-1)。
（3）常用公式：Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
3. 斐波那契数列（1）定义：斐波那契数列是一个典型的递推数列，前两项都为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
（2）通项公式：an=f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
（3）性质：斐波那契数列是一个无界数列。
数列知识点及经典结论总结
数列知识点及经典结论总结1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。
数列的前n 项和： a a a a s n n ++++=...321. 已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
2.等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). （1） 等差数列的判断方法：a 定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
b 中项法： a a a n n n 212+++=⇔{}a n为等差数列。
c 通项公式法：b an a n +=（a,b 为常数）⇔{}a n 为等差数列。
d 前n 项和公式法：Bn n A s n +=2（A,B 为常数）⇔{}a n 为等差数列。
（2） 等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
数列知识点总结及结论
数列知识点总结及结论一、数列的概念及分类数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合。
在数学中，数列是一个非常重要的概念，它被广泛应用在各个领域，如微积分、概率论、离散数学等。
数列有多种分类方式，根据数列的各个项之间的关系不同可以将数列分为等差数列、等比数列、递推数列等。
在日常生活中，数列也有着广泛的应用，如金融领域中的利息计算，物理学中的等速运动等。
二、等差数列等差数列是一种非常简单的数列，其特点是数列中每一项与前一项的差是一个常数。
等差数列的通项公式为An = A1 + (n-1)d。
其中An表示等差数列中第n项的值，A1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
在等差数列中，我们可以根据已知的条件，求出数列的首项、公差、任意项的值，以及数列的前n项和等一系列问题。
三、等比数列等比数列是另一种常见的数列，其特点是数列中每一项与前一项的比是一个常数。
等比数列的通项公式为An = A1 * q^(n-1)。
其中An表示等比数列中第n项的值，A1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比。
例如，1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
在等比数列中，也可以根据已知的条件，求出数列的首项、公比、任意项的值，以及数列的前n项和等一系列问题。
四、递推数列递推数列是一种通过前一项来定义后一项的数列。
其通项公式并不是一个固定的公式，而是通过给定的递推关系来确定。
例如，斐波那契数列就是一个著名的递推数列，其定义为F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
通过这个递推关系，我们可以得到斐波那契数列的每一项的值。
递推数列在计算机科学中有着广泛的应用，如动态规划算法、图论算法等。
它们的特点是可以通过已知的前几项来求得后面的项，而不需要知道整个数列的所有项。
五、数列的运算数列的运算是数列学习中的重要内容之一。
在数列的运算中，主要包括数列的加法、减法、乘法、除法等。
数列知识要点梳理
知识要点梳理知识点一:数列得概念1、数列得定义:数列就是按一定顺序排列得一列数,如1,１,2,３,5,…,ａｎ,…,可简记为{aｎ｝注意:ﻫ (１)数列可以瞧作就是定义在自然数集N*或它得有限子集{1,2,…,n｝上得函数。
函数当自变量n从1开始依次取自然数时所对应得一列函数值,,…,,…,通常用代替ﻫ ,于就是数列得一般形式为ａ１,a２,…,,…,简记为、其中就是数列得第n项,也叫做通项。
(２)数列得特征:有序性。
一个数列不仅与构成数列得“数”有关,而且与这些数得顺序有关,“顺ﻫ序”就是对数列本质属性得刻画。
ﻫ (3)数列得定义域就是离散得,因而其图象也就是离散得点集。
ﻫ2、数列得通项公式ﻫ一个数列得第n项与项数n之间得函数关系,如果可以用一个公式来表示,我们就把这个公式叫做这个数列得通项公式、注意:①不就是每个数列都能写出它得通项公式。
如数列1,２,3,―1,4,―２,就写不出通项公式;ﻫ②有得数列虽然有通项公式,但在形式上又不一定就是唯一得。
如:数列―1,1,―１,１,…得通项公ﻫ式可以写成,也可以写成;ﻫ③仅仅知道一个数列得前面得有限项,无其她说明,数列就是不能确定得。
ﻫ3、数列得表示:(1)列举法:如-2,－５,-８,…ﻫ注意:数列得列举法与集合得列举法不一样,主要就就是有序与无序得差别。
(２)图象法:由点组成得图象;就是离散得点集。
(3)解析式法:用数列得通项公式ａn=ｆ(ｎ),ｎ∈N*或其她式子表示得数列。
4ﻫﻫ、数列得分类:ﻫ (１)按项数:有限数列与无限数列;ﻫ (２)按单调性:递增数列、递减数列(递增数列与递减数列统称为单调数列);(3)按照任何一项得绝对值就是否都小于某一正数来分:有界数列、无界数列;ﻫ (４)其她数列:摆动数列、常数列。
ﻫﻫ５、数列得递推式:ﻫ如果已知数列得第一项或前若干项,且任一项与它得前一项或前若干项间得关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列得递推公式,简称递推式。
数列的知识点公式总结
数列的知识点公式总结一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一系列数字的集合。
数列中的每一个数字被称作数列的项，用泛指变量表示，通常用字母表示。
通常我们用 {an} 表示一个数列，其中 n 表示数列的项数。
例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...} 就是一个自然数列，其中的每一项都是自然数。
数列的项数可以是有限个，也可以是无限个。
当数列的项数是有限个时，这样的数列被称为有限数列；而当数列的项数是无限个时，这样的数列被称为无限数列。
数列中每一项的下标也称为项数，通常用 n 表示。
当数列的项数是有限个时，数列通常按照从小到大的顺序排列；当数列的项数是无限个时，数列可能有很多不同的排列方式。
数列的项可能是整数、分数、小数等各种类型的数。
而数列的项之间的关系按照一定的规律排列，这种规律可以通过不同的方式进行描述，如递推关系、通项公式等。
二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，其中相邻两项之间的差值是一个常数。
等差数列通常用{an} 表示，其中 a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示数列的第一项，d 表示数列的公差，n 表示数列的项数。
例如，数列 {3, 6, 9, 12, 15, ...} 就是一个等差数列，其中公差为 3。
这个数列的通项公式可以表示为 an = 3 + (n-1)×3。
如果给定一个等差数列的前 n 项和 Sn，那么其求和公式为：Sn = n/2×(a1 + an)，其中 a1表示数列的第一项，an 表示数列的第 n 项。
等差数列有一个重要的性质，即等差数列的中项等于其首项与末项的算术平均数。
即(an + a1)/2 = an表示数列的中项。
三、等比数列等比数列是另一种重要的数列类型，在等比数列中，相邻两项的比值是一个常数。
等比数列通常用{an} 表示，其中a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。
(完整版)数列知识点归纳
数列一、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*1(1) ()n a a n d n N =+-∈ ， 首项:1a ，公差:d 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列*-112(2,)n n n a a a n n N +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n -时，n a 是项数为2n-1的等差数列的中间项()()()1212121212n n n n a a S n a ---+==-（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
数列知识点公式总结
数列知识点公式总结一、数列的定义1. 数列的概念数列是由一系列按照特定规律排列的元素组成的有序集合。
数列中的每一个元素都有一个特定的位置，通常用自然数来表示。
2. 数列的表示方式数列可以用公式来表示，如an，其中n表示元素的位置，an表示第n个元素的值。
也可以用递推式表示，如an = an-1 + d，其中d表示公差。
3. 数列的分类数列可以根据元素之间的关系和规律进行分类。
常见的数列包括等差数列、等比数列、费波那契数列等。
二、常见数列的特点和求解方法1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差值都是相同的数列。
它的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的求和公式为Sn = n(a1 + an)/2，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
2. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
通过这个公式可以求得数列中任意一项的值。
3. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比值都是相同的数列。
它的一般形式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列的求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
4. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
通过这个公式可以求得数列中任意一项的值。
5. 费波那契数列费波那契数列是一个非常有趣的数列，它的前两项为1，后面的每一项都是前两项之和。
即an = an-1 + an-2。
费波那契数列的特点是它的每一项都是前两项之和，它的通项公式比较复杂，一般表示为an = (φ^n - (1-φ)^n)/√5，其中φ为黄金分割比例。
6. 求解数列的方法对于等差数列和等比数列，我们通常可以通过求和公式和通项公式来求解。
对于费波那契数列，我们可以通过递推公式和通项公式来求解。
常见数列公式性质汇总
数列常用公式和结论方法汇总一、基础公式（一）、等差数列1．等差数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．判断等差数列的方法：（1）、定义法：n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）（2）、等差中项法：()()*++*+-∈+=≥∈+=Nn a a a n N n a a a n n n n n n ,2,2,22111或者且 （3）、通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=是关于n 的一次函数。
（4）前n 项和公式法：n d a n d S n )2(212-+=，或者),(2为常数B A Bn An S n += 当d ≠0时，如果一个数列{}n a 的前项和n s 是一个常数项为零的二次函数，则数列{}n a 是一个等差数列；如果常数项不为0，则从第二项起为等差数列，首项不符合。
但是用于解答题证明数列是等差数列只能用：定义法和中项法3．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))4．有几种方法可以计算公差d① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 5．等差中项：成等差数列。
）（或者b A a b a A b a A ,,22⇔+=+= 6．下标和定理： m+n=p+q ，则 ；则，p n m q p n m a a a p n m a a a a 2,2=+=++=+ (m, n, p, q ∈N )7.等差数列的前n 项和公式（1）2)(1n n a a n S += （2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n d a n d S n )2(212-+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最小值n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n d a n d S n )2(212-+=二次函数配方法求得最值时n 的值 9. 项数为12-n 的等差数列，有n n a n S )12(12-=-，即中。
数列知识点及常用结论
数列知识点及常用结论数列是数学中一个重要的概念，它在数学中的应用非常广泛。
在学习数列时，我们不仅需要掌握数列的定义和性质，还需要了解数列的分类、递推关系以及求和公式等常用结论。
下面将详细介绍数列的相关知识点及常用结论。
首先，数列是由一串有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每一个数称为该数列的项，用字母表示。
数列中的项可以是整数、小数或者分数。
根据数列的特点，我们可以将数列分为以下几类：1.等差数列：等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数的数列。
常数差值称为等差数列的公差，用字母d表示。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项的值，a1表示第一项的值，n表示项数。
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。
2.等比数列：等比数列是指数列中的相邻两项之比为常数的数列。
常数比值称为等比数列的公比，用字母q表示。
等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项的值，a1表示第一项的值，n表示项数。
等比数列的求和公式分为两种情况：-当公比q不等于1时，求和公式为：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
-当公比q等于1时，求和公式为：Sn=n*a13.奇数列和偶数列：奇数列和偶数列是指数列中的奇数项和偶数项所构成的数列。
奇数列和偶数列之间存在对应关系。
4.斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中Fn表示第n项的值，F1=1，F2=1除了上述数列的分类，我们还需要掌握一些数列的常用结论，包括：1.数列的最大值和最小值：对于递增数列，最大值为最后一项；对于递减数列，最大值为第一项。
同理，对于递增数列，最小值为第一项；对于递减数列，最小值为最后一项。
2.数列的递推关系：数列中的每一项都可以通过前几项的值来确定。
递推关系可以是线性的，如等差数列和等比数列；也可以是非线性的，如斐波那契数列。
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数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差） ()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差）()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=⎧⎪=+-⇒⎨-=⎪-⎩②前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ （2）证明等差数列的法方.①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）⇔{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ⇔{}n a 为等差数列 即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+④前n 项和公式法：2n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ⇔{}n a 为等差数列即：关于n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论<①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b +(k ， b 为非零常数)均为等差数列.②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +. 特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列)④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2k d⑤若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{}nS n也为等差数列. $⑥ 11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 此性质对任何一种数列都适用⑦求n S 最值的方法：I: 若1a >0，公差d<0，则当10k k a a +≥⎧⎨≤⎩时，则n S 有最大值,且k S 最大；若1a <0，公差d>0，则当10k k a a +≤⎧⎨≥⎩时，则n S 有最小值，且k S 最小；II ：求前n 项和2n S pn qn =+的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ，当n k = 时，k S 为最值，是最大或最小，通过n S 的开口来判断。
；二、等比数列（1）等比数列的基本公式①通项公式：11n n a a q -= （从第1项1a 开始为等比）n mn m a a q -= （从第m 项m a 开始为等差）②前n 项和公式：1(1),(1)1n n a q S q q-=≠-，1,(1)n S na q == ：（2）证明等比数列的法方①定义法：对任意的n ，都有1(0)n n n a qa a +=≠⇔1n na q a +=(q ≠0) ⇔{}n a 为等比数列 ②等比中项法：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 ③通项公式法：1(,0n n a aq a q -=是不为的常数)⇔{}n a 为等比数列（3）常用结论①若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1{}n a ，{}n k a ，2{}n a ，21{}n a -，{}n n a b {}n na b (k 为非零常数) 均为等比数列.—②若m+n=p+q (m ， n ， p ， q ∈*N )，则n m a a =p q a a .特别的，当n+m=2k 时，得n m a a =2k a③在等比数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为1k q+ (例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公比3q 的等比数列)④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等比数列，且公差为kq(【（，三、求任意数列通项公式n a 的方法（1）累加法：若n a 满足a n+1=a n +f(n)利用累加法求：n a12132431()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-例题：若11=a ，且12+=+n n a a n ，求：n a:：练习题：若数列n a 满足1120++--=n n n a a ，且10=a!@}（2）累乘法：若n a 满足1()+=⋅n n a f n a 利用累乘法求：n a32411231()()()()n n n a a a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ~例题：在数列{a n }中，1111,2++==n n n a a a n，求：n a .)!练习题：在数列{a n }中，11a =且1n n a na +=，求：n a （提示：123......!n n ⨯⨯⨯=）》|…（3）递推公式中既有n S ，又有n a ，用逐差法11n nn S a S S -⎧=⎨-≥⎩ n=1 n 2 特别注意：该公式对一切数列都成立。
& ——% >（4）若n a 满足1,()+=+≠n n a pa q p q ，则两边加：1=-qx p ，在提公因式P ，构造出一个等比数列，再出求：n a—例题：已知数列{}n a ，满足：121+=+n n a a ，且11=a ，求：n a`习题1：已知数列{}n a 满足：131+-=n n a a 且11=a ，求：n a<习题2：已知数列{}n a 满足：12a =，且n n S a n +=，求：n a{~！（5）若n a 满足1++=+n k n n a pa p ，则两边同时除以：1+n p ，构造出一个等差数列，再求出：n a例题：已知n a 满足：11=a 1122-+=+n n n a a ，求：n a 解：111122222-++=+⇒=+n n n n n n n a a a a ，既有：11222+-=n n n n a a所以：2⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n a 是首项为：1122=a ，公差12=d 的等差数列 11(1)2222=+-⨯=∴n na n n 所以：1222-=⋅=⋅nn n n a n@习题1：已知1133++-=n n n a a 且11=a ，求：n a￥习题2：已知11232n n n a a -+=+⋅且11a =，求：n a、~（六）待定系数法：若{}n a 满足以下关系：&()1n n a ka f n +=+ 都可用待定系数法转变成一个等比数列来：温馨提示：提k ，对()f n 待定系数例题1：已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式. 解：11152(5)235++++⋅=+⋅⇒=-⋅n n n n n n n a x a x a a x ，与原式对应得，1=-x1111552(5)25++++--=-⇒=-∴n n nn n n nn a a a a 所以：{}5-n n a 是首项1151-=a ，公比2=q 的等比数列 既有：115252---=⇒=+n n n n n n a a￥例题2：已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.解：11123(2)322++++⋅+=+⋅+⇒=+⋅+n n n n n n n a x y a x y a a x y ，与原式对应得：5,2==x y 11115225223(522)3522+++++⋅++⋅+=+⋅+⇒=+⋅+∴n n nn n n n n a a a a 所以：{}522+⋅+n n a 是首项为：1152213+⋅+=a ，公比3=q 的等比数列既有：11522133133522--+⋅+=⋅⇒=⋅-⋅-n n n n n n a a|<（七）颠倒法：若{}n a 满足：1n n n C a a a C+⋅=+，用颠倒法； 11111n n n n n n n n n n C a a C a C a a C a C a C a C a C a ++⋅+=⇒==+=++⋅⋅⋅ 。
所以：1111n n a a C +-=，所以：1{}n a 是以首项为：11a ，公差1d C =的等差数列例题1：已知122nn n a a a +⋅=+，且12a =，求：n a|￥例题2：已知1133n n n n a a a a ++⋅=-，且11a =，求：n a…~（八）倒数换元法：若数列{}n a 满足：1+⋅=⋅+nn n A a a B a C，则颠倒变成111n n n n B a C C B a A a A a A+⋅+==⋅+⋅ 然后再用两边加：1-q p 或者待定系数法既可求出1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a ，再颠倒就可得到：{}n a 例题：若数列{}n a 满足：123+=+n n n a a a ，且11=a ，求：n a 解：1121311322++=⇒=⋅++n n n n n a a a a a ，两边加：1得：11313122++=⋅+n n a a )111113131(1)1221+++∴+=+⇒=+n n n na a a a ， 所以：11⎧⎫+⎨⎬⎩⎭n a 是首项为：1112+=a ，公比：32=q 的等比数列； 既有：122121213132212()2232--------+=⋅⇒=⇒=-n n n n n n n n n n a a a 若用待定系数法：11121311131()3222+++=⇒=⋅+⇒+=++n n n n n n na a x x a a a a a11131313112222+++=+⇒=+n n n n x x x a a a a 与原式子对应得1=x ，然后的方法同上； 习题：已知1132n n n n a a a a ++⋅=-且11a =，求：n a/四、求前n 项和S n 的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n 项和；或者是等差与等比的商的前n 项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。