多面体与球的接切问题ppt课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P
R
O
R
A
C M
D
A
B
.
P
O•
D M E
将正四面体放到正方体中，
得 正 方 体 的 棱 长 为 2 a, 2
且正四面体的外接球 即正方体的外接球，
所 以 R＝ 6 a. 4
.
2.棱长为a的正四面体的棱切球的半径_____
R＝ 2 a 4
.
3.棱长为a的正四面体的内切球的半径_____
1
1
？
V3S底面h积3S全面r积
.
题目： 正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为 2 ，它
的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ A ）
A . 3 B . 3 C . 6D . 6
2
6
解：
设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ΔABC的中心. A
AH 2 3 2 6
32
3
PH P2A A2 H 1633 9 93
延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，∴∠PAM=90°
.
一、正方体的内切球
o
2Ra
切点：各个面的中心。 球心：正方体的中心。 直径：相对两个面中心连线。 球的直径等于正方体. 棱长。
二、球与正方体的棱相切
2R 2 a
切点：各棱的中点。 球心：正方体的中心。 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
.
.
三、 正方体的外接球
2R 3a
正四面体的四条高相交于同一点，这点 叫做正四面体的中心。
正四面体的外接球、内切球是同心球， 球心即为正四面体的中心。
.
小结:常见的补形
正四面体常常补成正方体求外接球的半径 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体
.
§正三棱锥与球
P
P
P
A
A
O•
CA
HD
O•H
C
D
B
B
M
M
球心在高PH上， 球心与底面正Δ中
B
A •O
B
22a2 a2 R2
, 2R2 3a2
A
O
S半球
2R2
3a2
S正方体 6a2 6a2 2
.
例. 已知球O的表面上有P、A、B、C 四点，且PA、PB、PC两两互相垂直， 若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积 和体积。
变式：将上面的条件改为 “PA=a,PB=b,PC=c”
.பைடு நூலகம்
内 切 球 半 径 公 式 ： r=3V， 其 中 V为 几 何 体 的 体 积 ， S表
.
结 论 ： 1.边 长 为 a的 正 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 r 3a
3 2 .斜 边 为 c 的 直 角 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 r c
2
3 .长 为 a ， 宽 为 b 的 矩 形 的 外 接 圆 半 径 ra 2 b 2 2
.
§正方体与球
正方体的内切球,外接球,棱切球
S表 为 几 何 体 的 表 面 积
.
例：如图为某几何体的三视图，该几何 体的内切球体积为______
4
3
3
V四
棱
锥
=
1 3
3
2
4
=1
2
S
表
=32
+
1 2
3
4
2+
1 2
3
5
2=36
内切球半径r= 3V =1 S表
.
§正四面体与球 1.棱长为a的正四面体的
外接球的半径为___
.
.正四面体的外接球可 利用直角三角形勾股 定理来求
P
H
C
•OB D
M
由RtΔ中的射影定理得： P 2 A PP HM ,即 1 23 2 R， R 3
3
2
V 球 3 4R 33 4（ 2 3） 32 3
法二 由AH>PH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtΔAHO,有：
(6)2 (R 3)2R 2 , R 3
即在锥体内部
心H重合
HC •OB D
M
球心在高 PH的延长 线上，即在 锥体外部
正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上
.
度量关系：
设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a， 高为h，外接圆半径为R，
a2( 3b)2h2 3 PA 2 PH PM , 即 a2 h 2R
或在RtΔAHO中，
AH 2 HO2 AO2 , 即 （ 3 b)2 (h R)2 R2 3
.
.
解：设 O 为球心，O′为截面圆圆心，如右图，则 OO′ ⊥O′A，O′A 为截面圆半径，OA 为球的半径．
根据球的表面积公式，则有： 4π·AO2＝256π，得 AO＝8 cm， 在 Rt△AO′O 中， OO′＝12AO＝4 cm. 所以 AO′＝ AO2－OO′2＝ 82－42＝4 3(cm)． S 截面圆＝π·AO′2＝π·(4 3)2＝48π(cm2)． 所以截面圆半径为 4 3 cm，面积为 48πcm2.
S底 面 积hS全 面 积r
S底面积 r 1 S全面积 h 4
r1h h 6a
4
3
.
r 6a 12
正四面体的内切球
还可利用截面三角
形来求
A
P
O
K
O• F
A
CB
E
H
O1
D
B
.
r6
内切
a
12
R棱 切＝
2a 4
R外接＝
6a 4
.
正四面体的内切球, 棱切球,外接球
半径之比为： 3 : 1 : 3 3
球直径等于正方体的（体）对角线
.
正方体的内切球, 棱切球,外接球 三个球心合一
半径之比为： 1: 2 : 3
.
§长方体与球
一、长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长分 、别 宽a为 、 、 b、 高 c，则 l a2b2c2 2R
.
？
一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多可 以和该长方体的5个面相切。 如果一个长方体有内切球，
那么它一定是 正方体
.
例：
.
例：如图，半球内有一内接正方体，正方体 的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面 积与正方体表面积的比为 （ ） 将半球补成整球
l a2a2(2a)2 6a
.
分析2
设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。
如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB.
设正方体棱长为a，易知：
OA 2a , OBR , ABa 2
简单多面体与球 的接切问题
.
球的概念
1．球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。 .
球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面．
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
A
有下面的关系: r. R2 d2
一球的球面面积为 256π cm2，过此 球的一条半径中点，作垂直于这条半径 的截面，求截面圆的半径和面积．
R
O
R
A
C M
D
A
B
.
P
O•
D M E
将正四面体放到正方体中，
得 正 方 体 的 棱 长 为 2 a, 2
且正四面体的外接球 即正方体的外接球，
所 以 R＝ 6 a. 4
.
2.棱长为a的正四面体的棱切球的半径_____
R＝ 2 a 4
.
3.棱长为a的正四面体的内切球的半径_____
1
1
？
V3S底面h积3S全面r积
.
题目： 正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为 2 ，它
的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ A ）
A . 3 B . 3 C . 6D . 6
2
6
解：
设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ΔABC的中心. A
AH 2 3 2 6
32
3
PH P2A A2 H 1633 9 93
延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，∴∠PAM=90°
.
一、正方体的内切球
o
2Ra
切点：各个面的中心。 球心：正方体的中心。 直径：相对两个面中心连线。 球的直径等于正方体. 棱长。
二、球与正方体的棱相切
2R 2 a
切点：各棱的中点。 球心：正方体的中心。 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
.
.
三、 正方体的外接球
2R 3a
正四面体的四条高相交于同一点，这点 叫做正四面体的中心。
正四面体的外接球、内切球是同心球， 球心即为正四面体的中心。
.
小结:常见的补形
正四面体常常补成正方体求外接球的半径 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体
.
§正三棱锥与球
P
P
P
A
A
O•
CA
HD
O•H
C
D
B
B
M
M
球心在高PH上， 球心与底面正Δ中
B
A •O
B
22a2 a2 R2
, 2R2 3a2
A
O
S半球
2R2
3a2
S正方体 6a2 6a2 2
.
例. 已知球O的表面上有P、A、B、C 四点，且PA、PB、PC两两互相垂直， 若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积 和体积。
变式：将上面的条件改为 “PA=a,PB=b,PC=c”
.பைடு நூலகம்
内 切 球 半 径 公 式 ： r=3V， 其 中 V为 几 何 体 的 体 积 ， S表
.
结 论 ： 1.边 长 为 a的 正 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 r 3a
3 2 .斜 边 为 c 的 直 角 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 r c
2
3 .长 为 a ， 宽 为 b 的 矩 形 的 外 接 圆 半 径 ra 2 b 2 2
.
§正方体与球
正方体的内切球,外接球,棱切球
S表 为 几 何 体 的 表 面 积
.
例：如图为某几何体的三视图，该几何 体的内切球体积为______
4
3
3
V四
棱
锥
=
1 3
3
2
4
=1
2
S
表
=32
+
1 2
3
4
2+
1 2
3
5
2=36
内切球半径r= 3V =1 S表
.
§正四面体与球 1.棱长为a的正四面体的
外接球的半径为___
.
.正四面体的外接球可 利用直角三角形勾股 定理来求
P
H
C
•OB D
M
由RtΔ中的射影定理得： P 2 A PP HM ,即 1 23 2 R， R 3
3
2
V 球 3 4R 33 4（ 2 3） 32 3
法二 由AH>PH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtΔAHO,有：
(6)2 (R 3)2R 2 , R 3
即在锥体内部
心H重合
HC •OB D
M
球心在高 PH的延长 线上，即在 锥体外部
正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上
.
度量关系：
设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a， 高为h，外接圆半径为R，
a2( 3b)2h2 3 PA 2 PH PM , 即 a2 h 2R
或在RtΔAHO中，
AH 2 HO2 AO2 , 即 （ 3 b)2 (h R)2 R2 3
.
.
解：设 O 为球心，O′为截面圆圆心，如右图，则 OO′ ⊥O′A，O′A 为截面圆半径，OA 为球的半径．
根据球的表面积公式，则有： 4π·AO2＝256π，得 AO＝8 cm， 在 Rt△AO′O 中， OO′＝12AO＝4 cm. 所以 AO′＝ AO2－OO′2＝ 82－42＝4 3(cm)． S 截面圆＝π·AO′2＝π·(4 3)2＝48π(cm2)． 所以截面圆半径为 4 3 cm，面积为 48πcm2.
S底 面 积hS全 面 积r
S底面积 r 1 S全面积 h 4
r1h h 6a
4
3
.
r 6a 12
正四面体的内切球
还可利用截面三角
形来求
A
P
O
K
O• F
A
CB
E
H
O1
D
B
.
r6
内切
a
12
R棱 切＝
2a 4
R外接＝
6a 4
.
正四面体的内切球, 棱切球,外接球
半径之比为： 3 : 1 : 3 3
球直径等于正方体的（体）对角线
.
正方体的内切球, 棱切球,外接球 三个球心合一
半径之比为： 1: 2 : 3
.
§长方体与球
一、长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长分 、别 宽a为 、 、 b、 高 c，则 l a2b2c2 2R
.
？
一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多可 以和该长方体的5个面相切。 如果一个长方体有内切球，
那么它一定是 正方体
.
例：
.
例：如图，半球内有一内接正方体，正方体 的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面 积与正方体表面积的比为 （ ） 将半球补成整球
l a2a2(2a)2 6a
.
分析2
设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。
如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB.
设正方体棱长为a，易知：
OA 2a , OBR , ABa 2
简单多面体与球 的接切问题
.
球的概念
1．球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。 .
球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面．
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
A
有下面的关系: r. R2 d2
一球的球面面积为 256π cm2，过此 球的一条半径中点，作垂直于这条半径 的截面，求截面圆的半径和面积．