数学初高中衔接教学讲义

初高中衔接教学讲义

一、常用公式

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．

例3 ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．

例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．

（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求2212

11

x x +的值；（3）求x 13＋x 23的值．

练 习：填空

2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

若2

12x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （用m 表示）

已知：1,a x a +=用x 表示3

31a a

+＝_____________.

二、因式分解

2.1．十字相乘法

例5（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． （5）222456x xy y x y +--+-

2.2．求根法

例6（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．

练 习

分解因式：

（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；

（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-

（5）42

4139x x -+； （6）2

2

215x xy y --

（7）22

222b c ab ac bc ++++； （8）2

2

35294x xy y x y +-++-

（9）222

(2)7(2)12x x x x ---+

2.3.综合除法

例7在实数范围内分解因式：

3231x x x -++ 43276x x x x +--+

练 习

在实数范围内分解因式： 32432727510x x x x x x x -----++

三、平行线分线段成比例定理

3.1三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

如图 3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF .当然，也可以得出AB DE

AC DF

=

.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.

例1 如图： 123////l l l ，且2,3,4,AB

BC DF 求,DE EF .

例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，

求证：AD AE DE

AB AC BC

==

.

例3 在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，求证：

AB BD

AC DC

.

例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.

练习：如图，在ABC 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长. 3.2相似形

例4 （射影定理）如图：,在直角三角形ABC 中，BAC 为直角，AD

BC D 于.

求证：（1）2AB BD BC ，2

AC CD CB ；

（2）2AD BD CD

练习

1．已知：如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.

（1） 请判断四边形EFGH 是什么四边形，试说明

理由；

（2） 若四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、

BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？

2.(外角平分线定理)在ABC 中， BAC 的外角平分线AD 交BC 延长线于D ，

求证：AB BD

AC DC

.

3. 证明：ABCD 中，2

2

2

22()AC BD AB AD

3.3 三角形的“四心”

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

例 1 三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.

已知 D 、E 、F 分别为ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点， 求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.

例2三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.

练习： 已知ABC 的三边长分别为,,BC

a AC

b AB

c ，I 为ABC 的内

心，且I 在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：

2

b c a

AE AF

.

过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

例3求证：三角形各3分线的交于一点.