第二章连续时间傅里叶变换

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傅里叶变换(对弄懂傅里叶变换很有帮助)

傅里叶变换(对弄懂傅里叶变换很有帮助)
0
2、连续时间傅里叶级数
连续时间信号的傅里叶级数:
2 jk 0 t , 0 x (t ) a k e T0 k jk 0 t a 1 x (t )e dt k T0 T0
其中系数 a k 往往又称为 x (t ) 的频谱系数,它对信号 x (t ) 中 的每一个谐波分量的大小和初始相位作出度量。系数 a 0 就 是 x (t ) 中的直流或常数分量,也称为平均分量:
k 0
k
k 0 t C k sin k 0 t ) cos k 0 t C k sin k 0 t )
B0
(B
k 1

k
2、连续时间傅里叶级数
系数 a k 的确定:
x (t ) e
jn 0 t
ake
k

jk 0 t
e
jn 0 t
将上式两边从0到
T 0 2 / 0
T0
对 t 积分,有
jk 0 t
0
T0
x (t ) e
jn 0 t
dt 0 ( a k e
k
e
jn 0 t
) dt
0
T0
x (t )e
jn 0 t
dt a k ( 0 e
1 2

k

X ( jk 0 ) e
jk 0 t
0
3、连续时间傅里叶变换
随着T 0 或者 0
2 T0 0 ,x ( t ) 趋近于 x (t )
~

X ( jk 0 ) e
jk 0 t

信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析

信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析

第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
-14B1+2B2-6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。

连续时间傅里叶变换

连续时间傅里叶变换

连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换(Continuous-Time Fourier Transform,CTFT)是傅里叶变换(Fourier Transform,FT)的一种,它适用于连续信号。

它能够将连续时间信号表示为一系列相同时间周期内信号幅度和相位不同的空间频率组份,即信号可以按其频率分解为更加精细的空间组份,这也是傅里叶级数的基础。

CTFT可以将任意连续时间信号表示成一组正弦信号的和,即可以将一种信号表示为正弦信号组成的线性组合,这样就可以将信号的复杂性减简,并用数学方法对它进行分析。

从理论上讲,CTFT可以将任意的空间信号表示为一组正弦信号的和,这也是CTFT的核心特性之一,也是CTFT的优势所在。

CTFT的公式可以用以下方式表示:X(ω)=∫-∞σ(t)e-^{jωt} dt其中ω为频率,s(t)为连续时间信号,X(ω)表示其傅里叶变换。

具体而言,CTFT既能够反映信号的时间变化,也能够反映其频域变化,可以将信号从时域变换到频域,允许我们从不同的角度看待信号,从而更好地理解信号。

如果将CTFT与频域分析进行比较,CTFT能够更精确地捕捉信号特征,可以更精确地确定频率、幅度和相位,因此它在信号处理、声学分析和时域分析等方面具有重要作用。

CTFT能够有效应用于维纳滤波器(Wiener Filters)、短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform,STFT)和抗谐波滤波(Notch Filters)等方面,通过CTFT的应用,可以利用频域的信号表示技术来提高信号分析的精度和效率。

总的来说,CTFT是一种非常实用的时域分析工具,它能够密切捕捉信号的复杂性,在信号处理,时域分析和声学分析等方面都有着广泛的应用,为更好地获取信号中的有价值信息提供了重要的视角。

信号与系统第2章

信号与系统第2章

第二章 傅立叶变换
(5) 微分特性 如果 那么
(6)积分特性 如果 那么
如果F(0)=0
第二章 傅立叶变换
(7)卷积定理 1.时域卷积定理 如果 那么 (8)频域卷积定理 如果
那么
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗? (1)正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
n1 ) 2 n1 2
2 E sin( An T
2 E sin( An T

2
)

2
这里
2 1 T
Hale Waihona Puke n1第二章 2 E sin( An T
傅立叶变换

2
)

2
若: 2 An 0 (1) 2 (2) 2
该式表明:周期信号f(t)的傅里叶变换F(ω )是由一些冲击函数组成的, 并位于基波ω 1的整数倍处,冲击强度为f(t)的指数傅里叶级数的系数Cn 的2π 倍。
第二章 傅立叶变换
例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。
傅里叶级数为
第二章 傅立叶变换
例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换 矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶系数为:
第二章 傅立叶变换
例1已知矩形脉冲f1(t)如图(a)所示,其相位谱如图(b)所示, 将f1(t)右移τ /2得到如图(c)所示f2(t),试画出其相位谱。
由题意可知
根据时移特性,可得f2(t)的频谱函数 为
第二章 傅立叶变换
f2(t)幅度谱没有变化,其相位谱比图(b)滞后τ ω /2、如图(d)所示。要

傅里叶变换公式

傅里叶变换公式

连续时间周期信号傅里叶级数:⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数:[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换:()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换:()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换:∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换:()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换:∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换:⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换:∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换:[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换:()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换:()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换:∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换: ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。

《信号、系统与数字信号处理》第二章 连续时间信号与系统的频域分析

《信号、系统与数字信号处理》第二章 连续时间信号与系统的频域分析

0 21
/4
/2
(b)相位图
图2.1-2例2.1-2的频谱图
二、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式将三角形式的傅里叶级数,表示为 复指数形式的傅氏级数
其中
f t F n1 e jn1t
n
F n1
1 T
t0 T t0
f t e jn1tdt
F n1 是复常数,通常简写为 Fn 。
21t
5
4
2
sin
1t
1 2
sin
31t
解:将 f t 整理为标准形式
f
(t)
1
2cos 1t来自4cos 21t
5
4
1 2
cos
31t
2
1
2
cos
1t
4
cos
21t
4
1 2
cos
31t
2
振幅谱与相位谱如图2-1所示。
cn
2
1
1
1/2
0 1 21 31
(a) 振幅图
n
/4
31
第二章 连续时间信号与系统的频域分析 ——Fourier变换
2. 1 周期信号的傅里叶级数分析 2. 2 非周期信号的频谱--傅里叶变换 2. 3 傅里叶变换的性质及定理 2. 4 系统的频域分析方法 2. 5 无失真传输系统与滤波
LTI系统分析的一个基本任务,是求解系统对任意 激励信号的响应,基本方法是将信号分解为多个基本信 号元。
一、三角形式傅里叶级数
周期信号: f t f t nT
其中
T
是信号的最小重复时间间隔,f1
1 是信号的基波频率。 T
若 f t 满足狄里赫利条件,则 f t 可以展开为三角形

连续时间信号的傅里叶变换的对称

连续时间信号的傅里叶变换的对称

连续时间信号的傅里叶变换的对称傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。

在信号处理和通信系统中,傅里叶变换广泛应用于信号的分析与处理。

对于连续时间信号而言,傅里叶变换可以用于将信号从时域表示转换到频域表示,并且在频域中可以观察到信号的频谱特性。

连续时间信号的傅里叶变换的对称性是指在频域中存在一些特殊的对称关系。

具体来说,连续时间信号的傅里叶变换具有以下几种对称性:偶对称、奇对称和周期性对称。

偶对称性是指当信号在时域中关于原点对称时,在频域中的傅里叶变换具有偶对称性。

换句话说,如果一个信号在时域中满足x(t) = x(-t),那么它的傅里叶变换X(jω)具有偶对称性,即X(jω) = X(-jω)。

具体来说,对于偶对称信号,其频谱在负频率部分与正频率部分是镜像对称的。

奇对称性是指当信号在时域中关于原点对称时,在频域中的傅里叶变换具有奇对称性。

换句话说,如果一个信号在时域中满足x(t) = -x(-t),那么它的傅里叶变换X(jω)具有奇对称性,即X(jω) = -X(-jω)。

具体来说,对于奇对称信号,其频谱在负频率部分与正频率部分是关于坐标轴对称的。

周期性对称性是指当信号在时域中具有周期性时,在频域中的傅里叶变换也具有周期性。

具体来说,如果一个信号在时域中具有周期性,那么它的傅里叶变换在频域中也具有相应的周期性。

周期性对称性在信号处理中有着重要的应用,可以用于分析周期性信号的频谱特性。

这些对称性的存在使得我们可以通过观察傅里叶变换的对称性来判断信号在时域中的对称性或周期性。

通过对信号的傅里叶变换进行分析,我们可以得到信号的频谱信息,进而了解信号的频率成分和特征。

而傅里叶变换的对称性则为我们提供了一种便捷的方法来判断信号的对称性或周期性,从而更好地理解信号的特性。

总结起来,连续时间信号的傅里叶变换具有偶对称性、奇对称性和周期性对称性。

这些对称性的存在使得我们可以通过观察傅里叶变换的对称性来判断信号在时域中的对称性或周期性。

傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶变换的变换对对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ,它的离散傅里叶变换(DFT)为? x [k ] = N - 1 Σ n = 0 e - i 2 π –––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 其中e 是自然对数的底数,i 是虚数单位。

通常以符号F表示这一变换,即? x = Fx 离散傅里叶变换的逆变换(IDFT)为:x[n ] = 1 ––N N - 1 Σ k = 0 e i 2 π –––––N nk ? x [k ] n = 0,1, …,N-1. 可以记为:x = F -1 ? x 实际上,DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。

在上面的定义中,DFT和IDFT前的系数分别为 1 和1/N。

有时会将这两个系数都改成1/ √ ––N ,这样就有x = FFx,即DFT成为酉变换。

从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换(CT)? x ( ω) 都是连续的。

由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号,因此必须将x 和? x 都离散化,并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。

数字系统只能处理有限长的信号,为此假设x(t)时限于[0, L],再通过时域采样将x(t) 离散化,就可以得到有限长的离散信号。

设采样周期为T,则时域采样点数N=L/T。

x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(t-nT) = N - 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里叶变换为? x discrete ( ω) = N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 ––T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T 这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换,也就是离散时间傅里叶变换,它在频域依然是连续的。

类似的,频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。

02-第二章 序列的Z变换与傅里叶变换

02-第二章 序列的Z变换与傅里叶变换
变换收敛的所有z值的集合组成的区域。

根据级数理论,式(2.1)收敛 的充分必要条件是满足绝对 可和条件,即
n
| x(n)z

n
|<

根据罗朗级数性质,收敛域一般是某个环域

收敛半径Rx-可以小到0,Rx+可以大到∞
收敛域以原点为中心,Rx-和Rx+为半径的环域
10
2.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域


显然,级数X(z) 收敛。
讨论:级数X(z)中没有负幂项, |z|= 0时级数收敛,因此收敛域 包括0点,即为 0 ≤ |z| < Rx+
18
左边序列(非因果)的收敛域

当n2>0时,序列为非因果序列
X ( z)
n n | x ( n ) z | n2 n n n | x ( n ) z | | x ( n ) z | n 0 1 n2
例:长除法--X(z) 升幂排列
例2.7 求
3z 1 X ( z) (1 3z 1 )2
,|z|< 3的逆Z变换。
解:收敛域是圆内部,对应左边序列。当z=0时,X(z)趋 近于有限值0,说明收敛域包括0点,因此是逆因果序列。 把X(z)的分子分母按z的升幂排列
3z 1 X ( z ) 2 9 z 6 z 1 1
| <
14
右边序列(因果)的收敛域
假设:z是圆外任意一点,即|z|>|z1|

当n1≥0时,序列为因果序列
n X ( z ) | x(n)z n | < | x(n)z1 | < n n1 n n1


显然,级数X(z) 收敛。

连续信号的傅里叶变换

连续信号的傅里叶变换

连续信号的傅里叶变换一、引言连续信号的傅里叶变换是信号处理领域中非常重要的一部分。

它可以将时域上的连续信号转换为频域上的频谱,从而方便我们对信号进行分析和处理。

在本文中,我们将详细介绍连续信号的傅里叶变换的相关概念、公式以及应用。

二、连续信号与傅里叶变换1. 连续信号在信号处理领域中,连续信号是指在时间上是连续的函数。

它可以表示为:f(t) = A*cos(ωt + φ)其中,A表示振幅,ω表示角频率,φ表示相位。

2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域上的函数转换为频域上函数的方法。

对于一个连续信号f(t),它的傅里叶变换F(ω)可以表示为:F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dt其中,j为虚数单位。

3. 傅里叶变换公式对于一个实数函数f(t),其傅里叶变换F(ω)和反变换f(t)可以表示为:F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dtf(t) = (1/2π)∫F(ω)*exp(jωt)dω4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质,包括线性性、平移性、卷积定理等。

这些性质使得傅里叶变换在信号处理中得到了广泛的应用。

三、连续信号的频域表示1. 频谱对于一个连续信号f(t),它的频谱是指在频域上表示该信号的振幅和相位信息。

通常情况下,我们将频谱表示为F(ω)或S(ω),其中F(ω)为傅里叶变换结果,S(ω)为傅里叶变换结果的幅度谱。

2. 幅度谱和相位谱对于一个连续信号f(t),它的频谱可以分解为振幅和相位两个部分。

振幅谱指的是在不同频率下该信号振动的强度大小,而相位谱则表示不同频率下该信号振动相对于某个参考点所处的相位差。

四、应用举例1. 语音信号处理语音信号是一种典型的连续信号,在语音处理领域中,傅里叶变换被广泛应用于声学特征提取、语音识别等方面。

通过对语音信号的傅里叶变换,我们可以得到该信号在不同频率下的频谱信息,从而方便我们进行特征提取和分类。

2. 图像处理图像信号也是一种连续信号,在图像处理领域中,傅里叶变换被广泛应用于图像滤波、图像增强等方面。

信号与系统第三版课后习题答案

信号与系统第三版课后习题答案

信号与系统第三版课后习题答案信号与系统第三版课后习题答案信号与系统是电子信息类专业中一门重要的基础课程,它是研究信号的产生、传输、处理和识别的学科。

在学习这门课程时,课后习题是非常重要的,它可以帮助我们巩固所学的知识,并且提高解决问题的能力。

下面是信号与系统第三版课后习题的答案。

第一章:信号与系统的基本概念1. 信号是指随时间、空间或其他独立变量的变化而变化的物理量。

系统是指能够对输入信号进行处理并产生输出信号的物理设备或数学模型。

2. 连续时间信号是在连续时间范围内定义的信号,可以用连续函数表示。

离散时间信号是在离散时间范围内定义的信号,可以用数列表示。

3. 周期信号是指在一定时间间隔内重复出现的信号,具有周期性。

非周期信号是指不具有周期性的信号。

4. 奇对称信号是指关于原点对称的信号,即f(t)=-f(-t)。

偶对称信号是指关于原点对称的信号,即f(t)=f(-t)。

5. 系统的线性性质是指系统满足叠加原理,即对于输入信号的线性组合,输出信号也是这些输入信号的线性组合。

6. 系统的时不变性质是指系统对于不同时间的输入信号,输出信号的特性是不变的。

7. 系统的因果性质是指系统的输出只依赖于当前和过去的输入信号,而不依赖于未来的输入信号。

第二章:连续时间信号与系统的时域分析1. 奇偶分解是将一个信号分解为奇对称和偶对称两个部分的过程。

奇偶分解的目的是简化信号的处理和分析。

2. 卷积是信号处理中常用的一种操作,它描述了两个信号之间的相互作用。

卷积的定义为:y(t) = ∫[x(τ)h(t-τ)]dτ。

3. 系统的冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。

冲激响应可以用来描述系统的特性和性能。

4. 系统的单位阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。

单位阶跃响应可以用来描述系统的稳定性和响应速度。

5. 系统的单位斜坡响应是指系统对于单位斜坡信号的输出响应。

单位斜坡响应可以用来描述系统的积分特性。

2.z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

2.z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

z 变换与离散时间Fourier 1、z 变换2、离散时间3、序列的z Fourier 变换的关系4、离散系统的系统函数,系统的频率响应信号与系统的分析方法:时域分析方法 变换域分析方法连续时间信号与系统: Fourier Laplace离散时间信号与系统: z 变换离散时间信号与系统的分析方法2.1.1 z 变换的定义2.1 z 变换:z X )(其中成一个复平面,称为ωj e r z ⋅=(x z 反变换:其中,积分路径是在逆时针旋转的闭合围线。

在数字信号处理中,不需要用围线积分来求2.1.2 z 变换的收敛域对任意给定序列的所有z 值的集合称为z 变换公式的级数收敛的充要条件是满足绝对可和,对某一具体的使该不等式成立,这个域,收敛域内不能有极点。

n ∞=−∞∑2.1.3 4 种典型序列的除0 和∞两点是否收敛与n 1和n 2取值情况有关外,整个z 平面均收敛。

1. 有限长序列x (n ) 只在n 1≤n ()()z X z x n 其变换:即要求: ROC 至少为:1()()X z x n z −=0(0)x z +如果n 2 ≤0 n 1<0,n 2≤如果n 1≥0 n 1≥0,n 2> 0如果n 1< 0 <n 1<0,n 2 > 0 1100n n Roc ∴≥<当时, 当时, 因果序列的处收敛在∞处收敛的变换,其序列必为因果序列在工程中,人们感兴趣的主要是因果序列。

1()()n n X z x n ∞==∑2. 右边序列x (n ) 在n ≥n 1时有值,在2200n n Roc ∴≤>当时, 当时,2()()()n n n X z x n x n =−∞=−∞==∑∑3. 左边序列x (n ) 在n ≤n 2 时有值,在x x x x x R R R R z R −+−++∴≥<<<当时, 当时,0()()()nn n X z x n x n z ∞−=−∞==∑ Roc: 0≤前式 Roc: x R −后式4. 双边序列n 为任意值时x 例1:x (n )=δ(变换及收敛域。

第二章傅里叶变换解析

第二章傅里叶变换解析

1 u Mx
13
4.2 傅里叶变换和频率域介绍
二维DFT及反变换
二维傅里叶变换本质上是一维情形向两个方向的简单扩展.
F (u, v)
f ( x, y)


f ( x, y)e j 2 (ux vy) dxdy F (u, v)e j 2 (ux vy) dudv
F(u)可以看作f(x)在谐波上的投影,即f(x)在频率为u的谐波 上占有的成份。
9
4.2 傅里叶变换和频率域介绍
谱的概念:
注意到傅里叶变换后的函数是在复数域内, 也可以表示为
F(u) = R(u) + iI(u)
或极坐标的形式: F(u) = |F(u)|ej(u). 我们把量|F(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2称为傅里叶变换的幅度(Magnitude) 或者谱(Spectrum). 这是在图像处理中要经常用到的量. 谱可以表示原函 数(或图像)对某一频谱分量的贡献.
频率域的概念:
利用欧拉公式: ej = cos + jsin, 有
1 F (u ) M
M 1 x 0
f ( x)[cos(2 ux / M ) j sin(2 ux / M )]
其中u = 0, 1, 2, …, M-1.
变量u确定了变换的频率成分→ u的取值范围称为频率域(给定一个u 上述公式可以计算出离散信号中包含了“多少”这个频率的谐波 ).对每一 个u, F(u)称为变换的频率分量(也叫振幅).
1 v Ny
17
4.2 傅里叶变换和频率域介绍
例4.2 一个简单函数的频谱(已经做过中心化处理).
图像是512512的黑色背景上叠加一个2040 象素的白色矩形. 频谱的显示 经过了对数变换处理以加强灰度级细节, 并适当调整了灰度强度.可以看出, u方 向谱的零点分隔恰好是v方向零点分隔的两倍, 在不同方向上符合了原图中1:2的 矩形尺寸比例. 这和一维情形完全类似. 极限情况、能量分布情况? 18

4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换

4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换



R( ) R( ) X ( ) X ( )
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F ( j) F ( j) e j ( )
| F ( j) |= R2 () + X 2 ()
R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )
f (t) 为偶函数, 相位频谱为:
F ( j ) 为
且为

的实函数,
( ) 0
的偶函数。
4.4 连续时间信号傅里叶变换 例:利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换
f (t ) e
1 lim e
0
t
(a>0)
t
FT [1] lim F ( j )
0
2 lim 2 0 2

0
0 0
lim
2[

2 ( )
2 d( )
2
2 lim d 0 2 2
0
1 ( )2
( 2 )]
lim 2 arctan( ) 0
dt
e e
t

0
j t
dt e
0

t
e
j t
dt

1 j
1 j
2 2 2
4.4 连续时间信号傅里叶变换 双边指数信号一
f (t ) e
t
(a>0)
2 F ( j ) 2 2
其振幅频谱为:
2 F ( j ) 2 2
t0 t0
t0 t0
f (t ) sgn(t )

信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT

信号与系统复习资料 第2章  z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT

Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ,则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ,则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2,收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0), 0 z
3) n1 0, n2 0, 0 z
Rx
当Rx Rx 时,Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时,Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n

n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容:
1. z变换:定义及收敛域,z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
(信号)
3. 离散时间信号的DTFT(序列的傅立叶变换)
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2:求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解:X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1

连续时间傅里叶变换

连续时间傅里叶变换

连续时间傅⾥叶变换連續時間傅裡葉變換(Continuous Time Fourier Transform)引⾔傅裡葉變換試圖將⾮週期信號也納⼊到傅裡葉的體系中。

對於⾮週期信號,可以看成是週期無限⾧的週期信號。

當週期無限⼤時,傅裡葉級數的頻率分量就變成了⼀個連續域。

⾮週期信號的表⽰:連續時間傅裡葉變換⾸先以週期⽅波為例,即在⼀個週期內x(t)=1,|t|<T10,T1<|t|<T/2若將其表⽰為傅裡葉級數,其傅裡葉級數的係數為a k=2sin(kω0T1)kω0T將其在頻域圖上畫出來,並逐漸增⼤週期T就可以得到下圖可想⽽知,隨著T的增⼤,頻率越來越⼩,包絡線裡⾯的頻率越來越密集,最終形成⼀條連續的曲線。

傅裡葉變換的⼯作就是要求出這條曲線,從⽽完成信號從時域到頻域的轉換。

這就是對⾮週期信號建⽴傅裡葉級數表⽰的基本思想。

將˜x(t)看作是x(t)的⼀個週期,由於傅裡葉的級數表⽰是在⼀個週期內推出來的,所以對於⾮週期信號的⼀個週期,也有˜x(t)=+∞∑k=−∞a k e jkω0t a k=1T∫T2−T2˜x(t)e−jkω0t dt由於⾮週期信號可以看成只有⼀個週期的信號,所以在週期之外,即|t|>T/2時,x(t)=0,⽽在週期之內,˜x(t)=x(t),則有a k=1T∫+∞k=−∞x(t)e−jkω0t dt則可以得到X(jω)=Ta k=∫+∞−∞x(t)e−jωt dt 稱X(jω)為Ta k的包絡。

再將a k=X(jω)T代⼊式1得˜x(t)=+∞∑k=−∞1T X(jkω0)ejkω0t=12π+∞∑k=−∞X(jkω0)e jkω0tω0當T→∞時,˜x(t)→x(t),ω0→0,因此ω0可以看作⼀個微分,⽽右端式⼦可以看作⼀個積分式。

則有x(t)=12π∫+∞−∞X(jω)e jωt dω{⽽X(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jωt dt這兩式即稱為⼀對傅裡葉變換對。

傅立叶变换

傅立叶变换
* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
*
正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
频移性质
若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换,则对任意实数 ω0,函数f(x) e^{i \omega_
x}也存在傅里叶变换,且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 )
\right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在,α 和 β 为任意常系数,则\mathcal[\alpha
f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g];傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符;
傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字,可以解释为深入的研究。从字面上来看,"分析"二字,实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看,"分析主义"和"还原主义",就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子,而原子不过数百种而已,相对物质世界的无限丰富,这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。
变换 时间 频率
连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性
傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性
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是信号 的频谱密度函数或FT频谱,简称为频谱(函数)。
(2)频谱密度函数 的逆傅里叶变换为:
(3)称 为FT的变换核函数, 为IFT的变换核函数。
(4)FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等,则这两个函数必然相等。
(5)FT具有可逆性。如果 ,则必有 ;反之亦然。
(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数,可写成
表示按自变量进行傅里叶变换,结果是t的函数。
IFT可以通过FT来实现。
FT的对偶特性:
若 为偶函数,则 ;
若 为奇函数,则 。
(5)尺度变换特性:
此性质表明:时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩。
(6)时移特性:
时移不影响幅度谱,只在相位谱上叠加一个线性相位。
与尺度变换特性综合:
(7)频移特性:
(5)冲激信号:
均匀谱/白色谱:频谱在任何频率处的密度都是均匀的。
强度为E的冲激函数的频谱是均匀谱,密度就是冲激的强度。
单位冲激信号及直流信号的频谱函数总结:
FT定义
FT可逆性
FT可逆性
IFT定义
(6)阶跃信号:不满足绝对可积条件,但存在FT
在 处有一个冲激,该冲激来自 中的直流分量。
单位阶跃信号及其幅度谱如图6所示。
(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线,反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。
(viii)称 为单边谱,表示了信号在谐波处的实际分量大小。
(ix)称 为双边谱,其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加,才是实际幅度。
(8)周期矩形脉冲序列的FS谱的特点:
(i)谱线包络线为Sa函数;
(i)设周期为 的周期信号 在第一个周期内的函数为 ,则
(ii)周期单位冲激序列的FT:
(a)FT的对偶性( )
(b)冲激串FS为:
(c)
(d)FT的线性性
(iii)一般周期信号的FT:
(iv)
(v)关系图:
图8非周期信号FT与周期信号FS/FT比较
6
(1)抽样信号的FT:
(2)理想抽样前后信号频谱的变化如图9所示:
(i)称 为幅度频谱密度函数,简称幅度谱,表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性;
(ii)称 为相位频谱密度函数,简称相位谱函数,表示信号的相位随频率变化的相频特性。
(7)FT频谱可分解为实部和虚部:
(8)FT存在的充分条件:时域信号 绝对可积,即 。
注意:这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。
图6单位阶跃函数及其幅度谱
4 FT
(1)线性性:
线性性包括:齐次性 ;叠加性 。
(2)奇偶虚实性:
偶 偶
奇 奇
实偶 实偶(FT可变为余弦变换)
实奇 虚奇(FT可变为正弦变换)
实信号的FT:(实信号可分解为:实偶+实奇)
实部是偶函数,虚部是奇函数:实 实偶+j实奇
偶共扼对称:
幅度谱为偶函数,相位谱为奇函数:实 实偶EXP(实奇)
(2)偶双边指数信号:
,为实偶函数。
幅度谱:
相位谱:
偶双边指数信号及其频谱如图2所示。
图2 (a)偶双边指数信号(b)频谱
(3)矩形脉冲信号: (脉宽为、脉高为E)
,为实函数。
幅度谱:
相位谱:
矩形脉冲信号及其频谱如图3所示。
图3 (a)矩形脉冲信号(b)频谱
矩形脉冲FT的特点:
(i) FT为Sa函数,原点处函数值等于矩形脉冲的面积;
(4)从抽样信号恢复原始信号的方法:
(i)理论上:
(ii)工程上:将 通过截止频率为 、放大倍数为 的低通滤波器。
(ii) FT的过零点位置为 ;
(iii)频域的能量集中在第一个过零点区间 之内
(iv)带宽为 或 ,只与脉宽 有关,与脉高E无关。
信号等效脉宽:
信号等效带宽:
图4 (a)信号的等效脉宽(b)等效带宽
(4)符号函数:不满足绝对可积条件,但存在FT。
幅度谱:
相位谱:
符号函数及其频谱如图5所示。
图5 (a)符号函数(b)频谱
(3)结论1:按间隔 进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换,是周期函数,是原函数傅里叶变换的 分之一按周期 所进行的周期延拓。
(4)结论2:时域离散频域周期
图9理想抽样信号的FT
7
(1)抽样定理:要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号(即抽样不会导致任何信息丢失),必须满足:信号是频带受限的(信号频率区间有限);采样率 至少是信号最高频率的两倍。
(vi)傅里叶系数之间的关系:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(5)复指数形式的FS:
(i)展开式:
(ii)系数计算:
(iii)系数之间的关系:
(iv) 关于n是共扼对称的,即它们关于原点互为共轭。
(v)正负n(n非零)处的 的幅度和等于 或 的幅度。
(6)奇偶信号的FS:
(i)偶信号的FS:
(ii)谱线包络线过零点:(其中 为谱线间隔):
,或 ,
即当 时, 。
(iii)在频域,能量集中在第一个过零点之内。
(iv)带宽 或 只与矩形脉冲的脉宽 有关,而与脉高和周期均无关。(定义 为周期矩形脉冲信号的频带宽度,简称带宽)
(9)周期信号的功率:
(10)帕斯瓦尔方程:
2
(1)信号f(t)的傅里叶变换:
(2)概念(名词):
抽样周期:进行理想采样的冲激串的周期 。
抽样频率:
抽样角频率:
奈奎斯特率:无失真恢复原信号条件允许的最小抽样率 或
奈奎斯特间隔:所允许的最大抽样周期
奈奎斯特频率(折叠频率):信号经采样后,采样率的一半 或 )
奈奎斯特区间: 或
(3)性质:在连续信号的抽样满足抽样定理时,奈奎斯特频率 是信号频率的上限。
第二章连续时间傅里叶变换
第二章
1
(1)狄义赫利条件:在同一个周期 内,间断点的个数有限;极大值和极小值的数目有限;信号绝对可积 。
(2)傅里叶级数:正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集 或复指数函数集 ,函数周期为T1,角频率为 。
(3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
(4)三角形式的FS:
; ;
( 实,偶对称); ;
(ii)偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。
(iii)奇信号的FS:
; ; ;
( 纯虚,奇对称); ;
(iv)奇的周期信号的FS系数只有正弦项。
(7)周期信号的傅里叶频谱:
(i)称 为信号的傅里叶复数频谱,简称傅里叶级数谱或FS谱。
(ii)称 为信号的傅里叶复数幅度频谱,简称FS幅度谱。
(9)FT及IFT在赫兹域的定义:

(10)比较FS和FT:
FS
FT
分析对象
周期信号
非周期信号
频率定义域
离散频率,谐波频率处
连续频率,整个频率轴
函数值意义
频率分量的数值
频率分量的密度值
3
(1)单边指数信号:
幅度谱:
相位谱:
单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。
图1 (a)单边指数信号(b)幅度谱(c)相位谱
(i)展开式:
(ii)系数计算公式:
(a)直流分量:
(b)n次谐波余弦分量:
(c)n次谐波的正系数。
(iv)称 为信号的基波、基频; 为信号的n次谐波。
(v)合并同频率的正余弦项得:
(a)
(b)
和 分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(iii)称 为傅里叶复数相位频谱,简称FS相位谱。
(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率 (或频率 )上有值。
(v)FS也被称为傅里叶离散谱,离散间隔为 。
(vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线,分别表示FS频谱的值、幅度和相位
频域卷积定理:
(11)时域相关性定理:
若 是实偶函数,则 。此时,相关性定理与卷积定理一致。
自相关的傅里叶变换: 。即函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对)。
(12)帕斯瓦尔定理:
5
(1)正余弦信号的FT:
余弦信号和正弦信号的频谱如图7所示:
图7余弦信号和正弦信号的FT
(2)一般周期信号的FT:
虚信号的FT具有奇共扼对称性:
偶共轭对称或奇共轭对称的函数满足幅度对称: 。
实信号或虚信号的FT幅度谱偶对称,幅度谱函数是偶函数。
(3)反褶和共轭性:
时域
频域
原信号
f(t)
F()
反褶
f(-t)
F(-)
共扼
f*(t)
F*(-)
反褶+共扼
f*(-t)
F*()
(4)对偶性:
傅里叶正逆变换的变换核函数是共轭对称的: ;
与尺度变换特性综合:
频谱搬移:时域信号乘以一个复指数信号后,频谱被搬移到复指数信号的频率位置处。利用欧拉公式,通过乘以正弦或余弦信号达到频谱搬移目的。
(8)微分特性:
时域微分:
频域微分:
如果连续运用微分特性,则
(9)积分特性:
时域积分:
如果 在 处有界(或 ),则
频域积分:
(10)卷积定理:
时域卷积定理:
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